昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
昆明理工大学2004线性代数期末试卷B
3 A E 必有一个特征
一．填空题（每题 3 分，共 30 分） (1)已知三阶方阵 A ,且 (2)设矩阵 A
A _______ 。 a4 a4 a4 a4 a4 b4
A 2 ，则 A =
。
二． (8 分)计算行列工
a 1 时， A 可为逆矩阵。 ，则当 a 2 1 1 1 0 (3)已知矩阵 A 2 1 1 ，则 A 的秩 R( A) ________ 。 0 2 2
线性代数 B 卷
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五．(12 分)已知向量组
T T 1 1, 3, 2, 4, ， 2 0, 1, 5, 1, ， T T 3 2, 0, 1, 2, ， 4 1, 1, 0, 2, ；
(1)求向量组的秩； （2）判别向量组的线性相关性； （3）求向量组 的一个最大无关组。
昆明理工大学 2004 级《线性代数》A 试卷 (B 卷)
一 二 三 四 五 六 总分
3 2 1 (8)当 a _______ 时， A 2 2 1 为对称矩阵。 1 a 1
(9)设四阶方阵 A 有一个特征值为 ，则矩阵 2 A 值为 。 (10)设三阶方阵 A 的特征值为1 ,2 ,3 ，则
线性代数 B 卷
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1 2 0 1 三．(12 分)解矩阵方程： 3 5 2X 4 。 2 5 1 2
四． (18 分) 解非齐次线性方程组:
x1 5 x2 x3 x4 1 x 2 x x 3x 3 1 2 3 4 3 x1 8 x2 x3 x4 1 x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
理工大学线性代数考试试卷及参考答案(A)
考试时间：年月日
课程名称：线性代数适用专业年级：
考生学号：考生姓名：
………………………………………………………………………………………………………
一、单项选择（20分＝4分 5）：来自1．（ ） ,( ) ,
( ) , ( ) ．
2．设 为同阶方阵，则（）成立
（ ） ,( ) ,
５．二次型 ，当满足（）时，是正定二次型．
( ) ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
二、填空题（20分＝4分 ）：
6． ，则 _______．
7．设 为四阶方阵，若 ＝ ，则其伴随矩阵 的行列式 =_______．
8．若 ，当 _______时， 2．
9．设 ，其中 ，则 ________．
10．设 为正定矩阵，则 _______．
( ) , ( ) ．
3．设 为 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是 的（）．
( )列向量组线性无关，（ ）列向量组线性相关，
（ ）行向量组线性无关，（ ）行向量组线性相关．
4．向量 线性无关，而 线性相关，则（）。
( ) 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出，
（ ） 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出．
七、解答题(6分)：
16．解：设 则有
， 的特征值为 2’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
作正交变化 得到 ，由正交变化得刚性知面积为 。2’
七、解答题(6分)：
16．求曲线 所围成的图形的面积。
2005级线性代数期末考试参考答案（A卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
昆明理工大学线性代数试卷
昆明理工大学 2015级 试卷( A 卷 )考试科目： 线性代数 考试日期： 命题教师：集体命题 一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则12A -= ；2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- =- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A = ；4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =；5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为__________；6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则()A r =__________；7. 已知n 元非齐次线性方程组Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；8. 设A 为正交矩阵，且0A <，则A =__________；9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；10.设112 -，，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .11（8分）、计算4阶行列式 40123210342403110D -=---.12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 求矩阵X 使得AX B =.14（12分）、设线性方程组123123123+ 11x x x aax x x x x ax +=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，证明：（1）当1a ≠时方程组有唯一解，并求唯一解； (2) 当1a =时方程组有无穷多解，并求通解.15(4分)、设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关. 证明向量1α可由23,αα线性表示.。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
昆明理工大学高等代数历年考研真题(2016-2020)
是
。
4. 设方阵 A 满足 Ak O ，则 (E A)1 =
。
5. 若实二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3 是正定的，则 t 的
取值范围是
。
6. 设线性空间V L f1(x), f2 (x), f3 (x), f4 (x), 其中 f1(x) 1 x, f2 (x) 1 x,
1 0
1 1.
（1）求W 的一组基；
（2）证明W 是 的不变子空间；
（3）将 看成W 上的线性变换，求W 的一组基，使 在该基下的矩阵为对角矩阵。
三、证明题 （共 30 分）
1. （15 分）设V 是数域 P 上的 n 维线性空间， 1,2 , , n 是V 的一个基，V1 是由
1 2 n 生成的子空间，V2
(1) 求由基 (I) 到基 (I I) 的过渡矩阵 C ；
(2) 求向量 1 22 3 4 在基 (I) 下的坐标。 5. （20 分）设 1, 2 , 3 是欧氏空间V 的一组标准正交基， T 是V 的线性变换。已知
T (1) 1 2 2 3,T ( 2 ) 1 2 2 3,T ( 3) 21 2 3. (1) 证明 T 是一个对称变换； (2) 求V 的一组标准正交基，使 T 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
1. （15 分）计算 n 阶行列式 1 2 3 n 1 n 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 . 0 0 0 2n 0 0 0 0 n 1 1 n
2. （15 分）当 a, b 取何值时，下列非齐次线性方程组
有解？ 并求其通解。
ax1 x2 x1 bx2
x3 x3
2020 年昆明理工大学高等代数考研真题
(完整版)线性代数试题和答案精选版
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案
1习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ⇔=⇔<；仅有零解0()A R A n ⇔≠⇔=（1）123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ ；解：11421112317213126A ----=---213241311420054045402168r r r r r r ---=-------21054054544544004016821682168r r -=---=-=-≠--------仅有零解。
（2）12451234123453020426340x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎨⎪-++-=⎩ .分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ⇔≤；仅有零解()R A n ⇔= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。
二、求齐次线性方程组12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系。
解：322112314123512110121101201036130004000010051015000400000r r r r r r r r r A --------=--→-→--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以原方程组等价于1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1122134220x k k x k xx k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,k k R ∈）2改写为11221211123422222101000000001x k k k k x k k x k k x x k k -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）因此齐次线性方程组的基础解系为1221100001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且()12345Tη=，()231234Tηη=+, 求该方程组的通解。
昆明理工大学线性代数模拟 试卷1
2011-2012线性代数期末模拟试卷(一)一、判断（每小题1分，共10分）1、若.,,O B O A O AB =≠=则必有且（ ）2、222()AB A B =必成立. （ ）3、齐次线性方程组0m n A x ⨯=只有零解⇔()R A n =.（ ）4、A, B 均可逆，则AB 可逆. （ ）5、设A ，B ，C ，D 都是n 阶方阵，且ABCD=E, 则一定有CDAB=E. ( )6、5级排列41253是一个奇排列.（ ）7、A 为任意的m n ⨯矩阵, 则A T A, AA T 都是对称矩阵.（ ）8、对向量1234,,,αααα都线性无关，则123,,ααα线性无关. ( )9、A 为n 阶方阵，k 为常数，则||||kA k A =. ( )10、n 矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则A 相似于对角矩阵. ( )二、填空题（每小题2分，共20分）1、设 1 0 00 2 00 0 3A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= .2、设2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为二阶单位阵，且满足2BA B E =+则B = .3、设34004-30000200022A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则2A = . 4、方阵A 满足220A A E --=，则1A -= . 5、若矩阵A 与B 等价，且()3R A =，则()R B = .6、已知向量组()11,2,1α=- ，()22,0,t α= ，()30,4,5α=- 的秩为2，则t = .7、向量空间V 的维数为m ，则V 中任意1m +个向量121,,...,m ααα+必线性 . 8、设四元非齐次线性方程组AX b = 的系数矩阵A 的秩为3，且已知它的两个解为12(1,1,2,1)T ηη-=- ，则对应齐次方程0AX = 的通解为X = .9、两向量()()121,6,,0,1,3t αα==-正交的条件是t = .10、已知三阶方阵A 的特征值为1,2,3,则3257A A A -+= .三、单项选择（每题1分，共10分）1..若=---=322212332313323122211211333231232221131211,1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则( ). )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( )．()();)B (;)A (n A R m A R ==()().)D (;)C (m A R n A R m ≤≤≤ 3. 下列结论错误的是( ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B ( 若向量321,,ααα线性无关，则21,αα线性无关；)C ( n 阶方阵A 与对角阵相似是A 有n 个不同的特征值的必要条件;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A R <=)(，下述结论中正确的是 .)(A A 的任意m 个列向量必线性无关； )(B A 的任意一个m 阶子式不等于零；)(C 齐次线性方程组Ax b =只有零解； )(D 非齐次线性方程组0Ax =必有无穷多解.5. n 阶矩阵C B A ,,满足,E ABC =则下列各式中成立的是 .)(A E BCA D E BAC C E CBA B E ACB ====)(;)(;)(;6．设矩阵142242A ab a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦2 12 的秩为2，则 （A ）0,0==b a ； （B ）0,0≠=b a ； （C ）0,0=≠b a ； （D ）0,0≠≠b a .7. B A ,均为n 阶方阵，则下列结论中 成立．（A ）,0=AB 则,O A =或O B =； （B ） ,0=AB 则,0=A 或0=B ；（C ）,O AB =则,O A =或O B =； （D ）,O AB ≠则,0≠A 或0≠B ．四*、（10分）1、求行列式1222222222322224A =的值.2*、(10分)设向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--，问：（1）参数t 取何值时，123,,ααα线性相关？ （2）t 取何值时123,,ααα线性无关？求出一个极大无关组。
大学线性代数期末考试练习题含答案
线性代数练习题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.下列等式中，正确的是（ ）A.2001002001021⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1233693456456⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1051002⎛⎫= ⎪⎝⎭D.120120035035--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2.设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ）A.3B.2C.1D.03.设向量1α=（-1，4），2α=（1，-2），3α=（3，-8），若有常数a,b 使a 1α-b 2α-3α=0,则（）A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量组1α=（1，2，0），2α=（2，4，0），3α=（3，6，0），4α=（4，9，0） 的极大线性无关组为（ ）A.1α，4αB.1α，3αC.1α，2αD.2α，3α5.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）A.1223⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3336-⎛⎫ ⎪-⎝⎭C.0331⎛⎫ ⎪-⎝⎭D.1001-⎛⎫⎪-⎝⎭二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）6.行列式111123149=___ ___.7.已知3维向量α=（1，-3，3），β=（1，0，-1）则α+3β=_ _. 8.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的 通解为__ __.9.设1，2，…，n 是n 阶矩阵A 的n 个特征值，则矩阵A 的行列式|A |=_ ___. 10.二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3的秩为_ __.三、计算题（本大题共8小题，共70分）11.（9分）已知矩阵A =111210101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B =100210021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.12.（9分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100111001A ，B =2153⎛⎫ ⎪⎝⎭，C =132031⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，且满足C AXB =，求矩阵X .13.（9分）求向量组1α=(-1,2,1,0)T ，2α=（0,1,1,2）T ，3α=（1,4,3,4）T ，4α=（1,1,6,4）T 的秩 与一个极大线性无关组.14.（9分）判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x 是否有解，有解时求出它的解.15.（9分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 01020101，01=λ是A 的一个特征值，求A 的全部特征值及其特征向量.16.（9分）求一个正交变换将二次型322322214332x x x x x f +++=化为标准形.17.（8分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵.18.（8分）利用施密特正交化法将向量组()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111,,321a a a 正交化.。
昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第一 学期课程试卷 A一、填空11 1 12 345 12.1.=49 16 25 827641252． 设 A 、B 为 4阶方阵，且 | A 13 B81，则|AB | 1/2.| 2 ,3. 给定矩阵 A ，且 AE 可逆, 满足 ABEA 2B ,则B AE.1 0 01 0 04．设 A0 1 1 ，则 A 121 .0 12115．已知1,2, 3 线性相关 ,3不能由 1,2 线性表示，则1,2 线性 相关．116．设 12 ,2t ,32 ，且 1,2,3 线性相关， 则 t8．3611 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3 12．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为零， 又R(A) 2 ，则齐次线性方程组AxO 的通解为81 k 1 ( kR ).113 0 19. 向量组11的一个最大线性无关组为1, 22 ,3 1,4 1 1131,2,4.10. 设 A 为 n 阶方阵 , Ax0 有非零解 , 则 A 必有一个特征值为0.二、单项选择x3 1x2 y 4z2 1.. 若 y0 21 , 则30 2 ( A )z21121(A)1 ； (B )2 ； (C )1 ；(D) 0.2．设 A , B , C 均为二阶方阵， ABAC ，则当 (C ) 时，可以推出 B C ．1 0 1 1 0 1 1 1 (A) A;(B)A; (C) A; (D) A.1 011 13. 下列结论正确的是 ( A ) ．( A )1,2,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量1,2,3 线性相关，则 1 , 2 线性相关；(C ) 若 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则 A 有 n 个不同的特征值 ;( D ) 若方程组 AxO 有非零解，则 Axb 有无穷多解 .14 4. 已知, 3 是四元方程组 Ax2， 241 ,2b 的三个解，其中 R( A)3,13 3，444则以下不是方程组Axb 的通解为 ( D ) .21 11 123 1 0 2 ;0 2 0 2 ;( D ) k2 2 ( A ) k2 3 ( B ) k; ( C ) k2 1 .1 3 1 344242245. 设向量组1 ,2,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（B ）( A ) 12,23,31;( B ) 1,2 ,31;(C )1,2,213 2 ;( D )2,3,223.．若 n 阶矩阵 A , B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A）6( A ) A 与B 相似;(B) A B ，但|A B| 0;(C )AB ;(D) A 与 B 不一定相似，但 | A | |B |.7. 设 Ap11 p1, Ap22 p2 , 且12 , 则以下结论正确的是（ B ） .( A ) p1p2不一定是A的一个特征向量;( B )p1p2一定不是A的一个特征向量 ;(C ) p1p2一定是A的一个特征向量 ;( D )p1p2为零向量 .x 1x 2x 41,三、 k 为何值时 ,线性方程组x 1 2 x2x 3 2 x 4 3 ,有解，并在有解时求通解 . x 1x 2x 3x4 6 ,x 2x4k1101111011解 :1212301112A11160010510101k0101k1101111011011120111200105001050010k 20 0 00k 3当 k3时，方程组有解，1000401013A010，0500000x 1440 x 2 3 x 4，（12分）通解为 X3k1 x 3550 x 4x 401a0b四、已知矩阵 A010的特征值之和为1，特征值之积为 1 ．b00(1) 求a , b( b0) 的值；(2)求可逆矩阵 P 和对角阵，使得 P 1. APa101001解a0, b 1.A010, 21b10001E A010(21 )1, 3 1 .1 ) (121010110101当121时， E A000000,p11, p20101000011011011当31时，EA020010, p301010001 0111取 P10011有P AP0111a 11a1a1五、计算 D n a 2 a 21 a 2.a n a n a n1111 n a 2a21a2解 D r1r n a i（1)i1a n a n a n1c2c1100 n a210（ a i1)c ni1c1a n01 n（ a i 1 )(1) n 1i1六、设 A 为3阶矩阵， 1 ,2为 A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3 满足A32 3，证明（ 1）1 ,2,3线性无关；（）令P1,2,3，求1.2P AP证明 k 11k2 2k 33O (1)，A ( k 1 1 k 22k 33)O即 k1 1k 22k 3 (23)O (2) (2)-(1)2 k 11k3 2O因为1,2 线性无关，k 1k 30 ,代入（ 1），得 k 22O ,2O , k 2 01,2,3 线性无关1 0（2）P 1AP0 1 1 01《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷 B一、填空1 2 3 61. 设2 2 2 2 又 是 aij 的代数余子式 则A42A 43 A 44 =0| A | | ( a ij )4 4 |1 0 7, A ij, A 41234182 设 A 、B 为 3阶方阵，且 | A|2, 3 B181 ，则|A1B| 1/6 .3. 设 A 为方阵 ,满足 A20,则 A1AE.A 2 E21 1 01 31 04．设 A130，则A 1 1 1 0.2 215．向量组 1 , 2 ,3 ,1 线性相 关．6．设 A 是 mn 矩阵 , R ( A )r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是r n1 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3128．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3，则 A 有特征值3 .1 319. 向量组11 3 的一个最大线性无关组为1 ,2.1, 2,35 8 911710．属于方阵 A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关.二、单项选择a11a 12 a 13 a11a 12a 21a221.. 若 a21a 22a 231 , 则a 13a 23a31a32 a33a12 a22(A)1；(B )2 ； (C)1；2．设 A 为 m n 矩阵，且 m n ，则一定有 ( D ) ．(A)RAm ;(B)R A n ; (C ) m R An ;(D) RAm .3. 下列结论错误的是 ( D ) ．a31a 32a 33(A).a32(D) 0.( A )1, 2 ,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量 1,2 ,3 线性无关，则1,2 线性无关；(C )n 阶方阵 A 与对角阵相似是 A 有 n 个不同的特征值的必要条件;( D ) 若方程组 Ax O 有非零解，则Axb 有无穷多解 .4. 设矩阵 A m n 的秩 R ( A ) mn ，下述结论中正确的是D.( A ) A 的任意 m 个列向量必线性无关； ( B ) A 的任意一个 m 阶子式不等于零；(C ) 齐次线性方程组Ax0 只有零解；( D ) 非齐次线性方程组Axb 必有无穷多解 .5. n 阶矩阵 A , B , C 满足 ABCE , 则下列各式中成立的是D.( A ) ACBE ;( B )CBA E ;(C )BACE ;( D )BCAE1．设矩阵 Aab4 2 的秩为 2，则 C624a 2（ A ） a0 , b0 ； （ B ） a 0 , b 0 ； （ C ） a0 , b 0 ； （ D ） a0 , b 0 .7. A , B 均为 n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（ ） AB 0 , 则 A O , 或 B O ；（ ） 0 ,则A0, 或B0 ；AB AB（C）AB O,则A O,或B O ；（D）AB O,则 A0,或 B 0．三、 k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．x1x2x 3x 4x 51,3 x1 2 x2x 3x4 3 x 50 ,x 2 2 x 3 2 x 4 6 x 5k .111111解 A32113001226k11111111111101226301226301226k00000k 3当 k3时， R( A)R(B )2 5 , 所以有依赖于 3 个独立参数的无穷多解．10115201226300000k3x1x 3x4 5 x52x 2 2 x 3 2 x 4 6 x53得 x 3x 3x 4x 4x 5x 511522263x c11c20c300(c1 , c2 , c3R ).01000000101四、已知矩阵A010 ,求可逆矩阵P 与对角阵,使得 P 1. AP101101解E A010( 1 )(2),10 , 21, 3 2 ，101进一步可求得相应的特征向量为101p10 , p21, p30。
昆明理工大学 线性代数 第1章 习题册答案
习题1.1（逆序数、行列式定义及行列式性质）一、求下列各排列的逆序数：⑴ 24351；解：τ(2 4 3 5 1)= 1+2+1+1 = 5 ⑵ 13425；解：τ(1 3 4 2 5)= 0+1+1+0 = 2⑶ n (n -1)…2 1. 解：τ( n (n -1)…2 1)=(n -1)+(n -2)+ … + 2 + 1 = n (n -1)/2 二、写出五阶行列式中含有112335a a a 及2412a a 的所有项.解：五阶行列式中含有112335a a a 的项为4511233545p p p p a a a a a τ45(135)(-1)，其中45p p 为2、4两个数的排列，共有2！= 2个，所以五阶行列式中含有112335a a a 的项分别是：11233542541123354254a a a a a a a a a a τ(13524)(-1)=-、11233542541123354452a a a a a a a a a a τ(13542)(-1)=。
五阶行列式中含有2412a a 的项为3451224345p p p p p p a a a a a τ345(24)(-1)，其中345p p p 为1、3、5三个数的排列，共有3！= 6个，所以五阶行列式中含有2412a a 的项分别是：24135122431435512243143551a a a a a a a a a a τ()(-)=-、 24153122431455312243145531a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24315122433415512243341551a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24351122433455112243345511a a a a a a a a a a τ()(-)=-、 24531122435435112243543511a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24513122435415312243541531a a a a a a a a a a τ()(-)=-。
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
昆明理工大学线性代数第1章习题册答案
习题1.1 （逆序数、行列式定义及行列式性质）、求下列各排列的逆序数：⑴ 24351 ;解：T 2 4 3 5 1) = 1+2+1+1 = 5 ⑵ 13 425 ;解：T 1 3 4 2 5) = 0+1+1+0 = 2⑶ n(n -1)…2 1.解：T n(n -1)…2 1)=( n-1)+( n-2) + …+ 2 + 1 = n( n -1)/2 、写出五阶行列式中含有ana 23a 35及的所有项.解：五阶行列式中含有 耳£23玄35的项为-/P^ana 23a 35a 4p 4a 5p 5，其中P 4P 5为2、4两个数的排列，共有2! = 2个，所以五阶行列式中含有a 11a 23a 35的项分别是:ana 23a 35a 42a 54 = -ana 23a 35a 42354、 ana 23a 35a 42a 54 =ana 23a 35a 44a 52。
五阶行列式中含有az 24的项为（-1）耳煞Wb 12a 24a 3p 3a 4p 4a 5p 5，其中P 3P 4P 5为1、3、5三个数 的排列，共有3! = 6个，所以五阶行列式中含有a 12a 24的项分别是:、计算下列三阶行列式:2-10⑴34-2 ; 1 31解：D =2 4 1(-1)(-2) 10 3 3 -0 4 1 -(-1) 3 1-2 (-2) 3 = 251 -10 ⑵ 01 -1 . 1 23解：D =1 1 3 (-1) (-1) 1 0 0 2 -0 1 1 -(-1) 0 3-1 (-1) 2=6x y x + y 四、计算行列式yx + y x-1 24135 a 12a 24a 31a 43a 55=_a 12a 24a 31a 43a 55、 -「Ia 12a 24a 31a 45a 53 = a 12a 24a 31a 45a 53、 -1 24315a 12a24a 33a 41a 55-a 12a 24a 33a 41a 55、-1「a 12a 24a 33a 45a 51 = _a 12a 24a 33a 45a 51、\ 1812824935843851-a 12a 24a 35a 43a 51、i …1「 a 12a 24a 35a 41a 53 = _a12a 24a 35a 41a 53。
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
昆明理工大学线性代数试卷及答案
k1
0
10 0
k1
k2
0 ，∵ 系数行列式 1 1 0 =10，
k1 k2 k3 0
11 1
由克莱姆法则，方程组只有零解，即 k1=k2=k3=0，
故1 2 3 ， 2 3 ，3 线性无关。
（6 分） （10 分）
三、证明题（10 分） 设向量组1,2,3线性无关，求证1 2 3 ，2 3，3 也线性无关。（10 分）
班 级_________________姓 名_________________学 号_________________
……………………………………………装 订 线……………………………………………………
d n 1 dn
an1
bn 1
0
0
a n1
bn1
=an
a1 b1
c1 d1
+bn(1)1+2n
a1 b1
c1 d1
4 分）
c
n 1
0
d n1
d n
cn
c n 1
d
n 1
0
=andnD2n 2 bncn(1)2 n1+1D2n2=(andnbncn)D2(n1)
4 5 1
1.解： 2 3
04
3 1
2 3
0 4 c4 c2 0 4
3 0
2 =4(1)3+2 2 3
0
2
1 2 5
1 4 2 1
1 4 2 5
=4(60+104+3+16+50) =4135=540
（4 分） （8 分）
an
an 1
bn
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《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A一、填空1.1256427825169454321111= 12 .2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1=-A 813=B ，则=||AB 1/2 .3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + .4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210110001A ，则=-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110120001 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ．6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34⨯矩阵,且2)(=A R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为)(111R k k ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ .9. 向量组,11011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α,02132⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α,31103⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα .10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 .二、单项选择1..若=---+=--121203242,1122013z y x zyx则( A ))A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =．.1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A A3. 下列结论正确的是( A ) ．)A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关；)C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43211η，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+444432ηη，则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) .)A (;43214202⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )B (;43212101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )C (;22222101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )D (⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210123k .5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ）)A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ;)C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+.6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）)A ( A 与B 相似; )B (B A ≠，但0||=-B A ;)C ( B A =; )D (A 与B 不一定相似，但||||B A =.7. 设,,222111p Ap p Ap λλ==且,21λλ≠则以下结论正确的是（ B ）.)A (21p p +不一定是A 的一个特征向量; )B (21p p +一定不是A 的一个特征向量;)C (21p p +一定是A 的一个特征向量; )D (21p p +为零向量.三、k 为何值时,线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-++=-++=-+k x x x x x x x x x x x x x 4243214321421,6,322,1有解，并在有解时求通解.解: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=k k A 10105010021110110111010611113212111011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→300050100211101101120100501002*********k k 当3-=k 时，方程组有解，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000501003101040001A ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-==443421534x x x x x x ， （12分） 通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10100534k X四、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100b b a A 的特征值之和为1，特征值之积为1-． (1) 求)0(,>b b a 的值； (2) 求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1.解 .1,011012==⇒⎩⎨⎧-=-=++b a b a ,001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A )1()1(0101102+-=---=-λλλλλλA E .1,1321-===∴λλλ当121==λλ时，,000000101101000101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴101,01021p p当13-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--101,0000101011010201013p A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110001110P 取 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111AP P五、计算 111222111---=n nnn a a a a a a a a a D.11111)122211---++∑=n nnni i n a a a a a a a r r D（解1001001)121112-----∑=n ni i n a a a c c c c （ 11)1)(1-=--=∑n ni i a （六、设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关；（2）令123,,P ααα=⎡⎤⎣⎦，求1P AP -.证明 O k k k =++332211ααα (1)， O k k k A =++)(332211ααα 即O k k k =+++-)(3232211αααα(2) (2)-(1) O k k =+-⇒23112αα因为21,αα线性无关，,031==∴k k 代入（1），得0,,2222=∴≠=k O O k αα123,,ααα∴线性无关（2）1100011001P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦《线性代数B 》2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷B一、填空1.设 8143701222226321|)(|||44-==⨯ij a A ,又ij A 是ij a 的代数余子式,则44434241A A A A +++=02 设A 、B 为3阶方阵，且,2||=A 8131=-B，则=-||1B A 1/6 .3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A2E A - .4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031011A ，则=-1A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10001101321 . 5．向量组1321,,,αααα线性 相 关．6．设A 是n m ⨯矩阵,r A R =)(,则齐次线性方程组O Ax =有非零解的充分必要条件是 nr <7.设A 是34⨯矩阵,且2)(=A R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为3，则A 有特征值 3 .9. 向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=7931,1813,1511321ααα的一个最大线性无关组为21,αα.10．属于方阵A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关 .二、单项选择1..若=---=322212332313323122211211333231232221131211,1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则( A ).)A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( D )．()();)B (;)A (n A R m A R ==()().)D (;)C (m A R n A R m ≤≤≤3. 下列结论错误的是( D ) ．)A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性无关，则21,αα线性无关；)C ( n 阶方阵A 与对角阵相似是A 有n 个不同的特征值的必要条件; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A R <=)(，下述结论中正确的是 D .)(A A 的任意m 个列向量必线性无关； )(B A 的任意一个m 阶子式不等于零； )(C 齐次线性方程组0=Ax 只有零解； )(D 非齐次线性方程组b Ax =必有无穷多解.5. n 阶矩阵C B A ,,满足,E ABC =则下列各式中成立的是 D .)(A E BCA D E BAC C E CBA B E ACB ====)(;)(;)(;6．设矩阵142242A ab a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦2 12 的秩为2，则 C（A ）0,0==b a ； （B ）0,0≠=b a ； （C ）0,0=≠b a ； （D ）0,0≠≠b a .7. B A ,均为n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（A ）,0=AB 则,O A =或O B =； （B ） ,0=AB 则,0=A 或0=B ；（C ）,O AB =则,O A =或O B =； （D ）,O AB ≠则,0≠A 或0≠B ． 三、k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+++=++++.622,0323,154325432154321k x x x x x x x x x x x x x x 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=k A 62210031123111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→k 62210362210111111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→300000362210111111k当,52)()(3<===B R A R k 时，所以有依赖于3个独立参数的无穷多解．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→300000362210251101k得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+--+-=-++=55443354325431362225x x x x x x x x x x x x x x).,,(00032000650102100121321321R c c c c c c x ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴四、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101010101A , 求可逆矩阵P 与对角阵Λ,使得Λ=-AP P 1.解 ),2)(1(11010101--=---=-λλλλλλλA E 2,1,0321===∴λλλ，进一步可求得相应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101,010,101321p p p 。