【初二数学下册(春季班)讲义】第16讲_三角形的中位线(教师版)A4
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八年级数学下册：三角形的中位线 课件(共22张PPT)
A
D
E
猜想：
B
C
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
问题5：如何证明你的猜想？
证一证
已知：已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC，DE 1 BC ．
2
证明：延长DE到F，使EF=DE．
A
连接AF、CF、DC ．
D
∵AE=EC，DE=EF ，
B
∴四边形ADCF是平行四边形．
5.如图，在四边形ABCD中， AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分 别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
G
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG∥AC,
FG∥BD,
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
BFED和CFDE，四边形ADFE
B
和DFCE.
A
D
E
FC
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形； 中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.
三角形的中位线的综合运用
例1 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
A
D
E
B
C
(1)
D
E
B (2)
C
3. 如图：如果AD= 1AC，AE= 1 AB，DE=2cm，
4
4
那么BC= 8 cm.
A A
DE
G
H
C
D
E
猜想：
B
C
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
问题5：如何证明你的猜想？
证一证
已知：已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC，DE 1 BC ．
2
证明：延长DE到F，使EF=DE．
A
连接AF、CF、DC ．
D
∵AE=EC，DE=EF ，
B
∴四边形ADCF是平行四边形．
5.如图，在四边形ABCD中， AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分 别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
G
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG∥AC,
FG∥BD,
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
BFED和CFDE，四边形ADFE
B
和DFCE.
A
D
E
FC
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形； 中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.
三角形的中位线的综合运用
例1 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
A
D
E
B
C
(1)
D
E
B (2)
C
3. 如图：如果AD= 1AC，AE= 1 AB，DE=2cm，
4
4
那么BC= 8 cm.
A A
DE
G
H
C
北师大版八年级数学下册三角形的中位线课件
亲爱的同学们： 今天我们上了一节有关
三角形中位线的课，在这节课 上，我学会……
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半。 应用： ① 证明平行问题。② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
∴四边形EFGH是平行四边形 (一组对边平行并且
相等的四边形是平行四边形).
证明: 连结AC BD ∵ EF和HG分别是⊿ABC 和
A
H
D
E G
⊿ADC的中位线
B
F
C
∴ EF//AC HG//AC(三角形的中位线平行于第三
边,并且等于张三边的一半)
∴ EF//HG 同理可证 EH//FG ∴四边形EFGH是平行四边形 (两组对边分别平行的 四边形是平行四边形).
你还能用不 同的方法加
DE 1 BC 2
以证明吗?
A
D
EF
B
C
D B
A E C
A
D
E
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
A 如果 DE是△ABC的中位线
D B
E 那么 ⑴ DE∥BC， ⑵ DE=1/2BC
C
用 ① 证明平行问题
途 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
四边形
（2007湖南怀化）如图： A1，B1，C1 分别是
BC，AC，AB 的中点，A2 ，B2，C2 分别是 B1C1，A1C1 ，
A1B1的中点这样延续下去．已知△ABC的周长是
1，△A1B1C1 的周长是 L1 ，△A2B2C2 的周长是L2
1
人教版八年级数学下册：三角形的中位线【精品课件】
（2）由（1）知DE=CF，又∵AD=BC，
∴Rt△DAE≌Rt△CBF，∴∠A=∠B.
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，
DF∥BE且交BC于点F. 求∠1的大小.
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=70°，∴∠ADC=∠ABC=70°，
解：分别取AC，BC的中点D，E， 连接DE，并量出DE的长，则 AB=2DE.
根据三角形的中位线平行于三角 形的第三边，且等于第三边的一半.
误区 诊断
误区 错误认识中点四边形 一 1.下列说法①任意四边形的四边中点的连线所 形成的四边形是平行四边形；②一个四边形的四边 中点的连线所形成的四边形是平行四边形，则这个 四边形一定是平行四边形；③平行四边形四边中点 的连线所形成的四边形是平行四边形.其中正确的是 （）
B
C
如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB 上的中线，BD与CE相交于点O，试探究BO与OD 的大小关系.(提示：分别取OB、OC的中点M、N)
解：OB=2OD， 如图，取OB、OC的中点M、 N，连接EM、MN、ND.∵E、D 分别为△ABC的中点，
∴ED∥BC，ED=
1 2
BC,
∵M、N是△OBC的中点，
A
D
理由：因为光线AD∥BC，纸板
对边AB∥CD，所以光线与纸板所形
B
C
成的四边形ABCD是平行四边形，而平行四边形对角
相等，所以∠2=∠1.
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，且AC+BD=36，AB=11，求△OCD的周长.
解：∵ ABCD的对角线互相平分，
（OC=
数学北师大版八年级下册《三角形中位线》教学课件
三角形的中位线一、学生知识情况剖析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判断的基础上学习三角形中位线的观点和性质。
三角形中位线是继三角形的角均分线、中线、高线后的第四种重要线段。
三角形中位线定理所显示的特色既有线段的地点关系又有线段的数目关系，所以对实质问题可进行定性和定量的描绘，在生活中有着宽泛的应用。
二、教课任务剖析本节课以“问题情境——成立模型——稳固训练——拓展延长”的模式睁开，指引学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同研究、议论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生经过课件进行研究活动，使他们直观、详细、形象地感知知识，从而达到化解难点、打破要点的目的。
教课目的1、认知目标（1）知道三角形中位线的观点，明确三角形中位线与中线的不一样。
（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行相关的论证和计算。
（3）经过对问题的研究及进一步变式，培育学生逆向思想及分解结构基本图形解决较复杂问题的能力．2、能力目标指引学生经过察看、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培育学生察看问题、剖析问题和解决问题的能力。
3、感情目标利用制作的Powerpoint课件，创建问题情形，激发学生的热忱和兴趣，激活学生思想。
教课重难点【要点】三角形中位线定理【难点】证明三角形中位线性质定理时协助线的添法和性质的灵巧应用．三、教课过程剖析本节课设计了七个教课环节：第一环节：创建情形,导入课题；第二环节：教师讲解、教授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵巧运用、自我检测；第五环节：回首小结、共同提高；第六环节：分层作业，拓展延长；第七环节：课后反省。
第一环节：创建情形，导入课题１、平行四边形有哪些性质和判断？2、思虑：什么叫三角形的中线？下边图中画出的是三角形的中线吗？连结两边中点的线段不是中线，那么它叫什么？从而引出中位线的概念，导入课题。
湘教版八年级数学下册三角形的中位线课件
2.如图，△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别 是D，E，F.
四边形ADEF是平行四边形吗？为什么？ 四边形ADEF的周长等于AB+AC吗？为什么？
A
D
F
B
E
C
解 ∵ DE是△ABC的一条中位线，
∴ DE∥AC，且DE= 1 AC. 2
A
又 ∵F是AC的中点，
∴ AF= 1 AC. 2
∴ DE=AF，
∴ EF∥HG，且EF=HG.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
练习
1.已知△ABC各边的长度分别为3cm，3.4cm，4cm， 求连接各边中点所构成的△DEF的周长.
解 ∵△DEF 的三边分别是△ABC的三条中位线， ∴△DEF 的周长等于△ABC的周长的一半， 即 (3+3.4+4)÷2=5.2(cm).
CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF.
则 EA∥CG，即 BE∥CG.
∴ 四边形BCGF是平行四边形.
∴ EG BC.
A
又 ∵EF=FG，
∴ EF=1 FG= 1 BC， 22
从而 EF
1
BC.
2
E B
FG C
由此得到三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于 第三边的一半.
学习例题
A
A
E
F
BDC
B
C
EF不是△ABC的中线！
新概念
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
如图2-37，D、E、F分别为△ABC的三边 的中点，所以DE、DF、EF分别是三角形的三 条中位线.
A
D
F
B EC
图2-37
三角形的中位线-八年级数学下册课件(北师大版)
又∵△OAB 的周长是18 cm，
∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.
又∵点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，
∴EF＝
1 2
AB＝3
cm.
此题易错之处在于忽视运用整体思想求OA，OB
的长度和，从而导致求不出中位线长．
1 如图，△ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC， AD，BE，CE 的中点，则△AFG 的面积是( A )
总结
证明线段倍分关系的方法： 由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要
证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常 考虑三角形中位线定理．
1 已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和12 cm， 求以各边中点为顶点的三角形的周长.
解：以各边中点为顶点的三角形的周长为 1 (8＋10＋12)＝15(cm)． 2
A．5 B．7 C．9 D．11
知识点 2 三角形中位线在四边形中的应用
议一议 如图，任意画一个四边形，以 四边的中点为顶点组成一个新 四边形，这个新四边形的形状 有什么特征？请证明你的结论， 并与同伴交流.
中点四边形的定义： 依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中
点四边形． 拓展：
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行 四边形．
3 如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在 AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点 D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝ 24 m，则AB＝( B )
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
4 如图，在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E， F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边 形DBEF 的周长是( B )
《三角形的中位线》PPT课件
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
学以致用一
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,
A
在没有任何测量工具的情况下,小
M
明通过学习,估测出了A,B两地之
间的距离:先在AB外选一点C,然后 C 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN
N
B
的长,由此他就知道了A,B间的距
离.你能说出其中的道理吗?
三角形的中位线
-.
学习目标：
1.掌握三角形中位线的概念及其定理。 2.能够应用三角形中位线概念及定理进行有关证明和计算。 3.感受三角形与四边形的联系，提高分析问题、解决问题的能 力。
重点：
三角形的中位线的概念与三角形中位线定理。
难点：
三角形中位线定理的证明。
1.自学课本130-----132页。 2.三角形的中位线有什么性质。 3.你会证明吗？
一起探究
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
B
F
C
友情提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线 不同
A 仔细辨认 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关；
（2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点 是三角形的顶点。
周长=9_c__m___
B
F
④⑤若图△中AB有C_的_3_周_长_个为平24行，四△边D形EF的周长是___1_2_ C⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_6____
三角形的中位线 课件 数学北师大版八年级下册
感悟新知
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
知1－练
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.∴DB＝EC.
∵点 F，G，H 分别为 BE，DE，BC 的中点，
∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△ BCE 的中位线．
∴FG＝12BD，FH＝12CE.∴FG＝FH.
三角形的中 位线
中点
关键 三角形的 中位线 应用 中点四边形
性质
位置
平行于 第三边
数量 等于第三 边的一半
(2)若 AB=8， BC=12，求 DO 的长 .
知1－练
感悟新知
知1－练
解：∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12， ∴由勾股定理得 AC＝ BC2－AB2＝ 122－82＝4 5. 由(1)知，OA＝OF，易得 AF＝CF，∴OA＝14AC＝ 5. 在△ AOD 中，∠DAO＝90°，AD＝12AB＝4，OA＝ 5， ∴由勾股定理得 DO＝ DA2＋OA2＝ 42＋（ 5）2＝ 21.
感悟新知
知1－讲
2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等 于第三边的一半 . 几何语言： 如图 6-3-1，∵ AD=BD， AE=EC，
∴
DE
∥
BC，且
DE=
1 2
BC.
感悟新知
3. 三角形中位线的应用
知1－讲
(1) 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的
双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；
感悟新知
知1－练
例2 如图 6-3-3，在△ ABC 中， BC>AC，点 D 在 BC 上， 且DC=AC，∠ ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB 的中点，连接 EF. 求证： EF ∥ BC.
三角形的中位线课件北师大版数学八年级下册
BC 的中点.
A
（1）DE⊥BC 吗？为什么？ ∵ D、E 分别是 AB、BC 的中点，
∴ DE∥BC.
∵∠C = 90°，∴∠DEC = 90°. ∴ DE⊥BC.
D
（2）若 AB = 10，DE = 4， 求△ABC 的面积.
∵ DE = 4，∴ AC = 8.
∵ AB = 10，AC = 8，∴ BC = 6.
∴SABC
1 2
AC
BC
1 2
8 6
24.
B EC
随堂练习
4.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是 CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为____1_5___．
A
D
O
E
B
C
随堂练习
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2(BC＋CD)＝36，则BC＋CD＝18.
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
随堂练习
1．已知一个三角形的三条中位线的长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，求这个三角形的周长为___1_8_cm____．
2．如图，D，E，F分别为△ABC三边 的中点，则图中平行四边形的个数为 ___3__．
随堂练习
3. 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°， D 是斜边 AB 的中点，E 是
探究新知
证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
A
∴△ADE≌△CFE， ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
D
1E 2
F
∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴CF＝BD，
B
湘教版八年级数学下册第二章《三角形中位线》公开课课件
A
D
E
F
B
C
1、剪一个三角形，记为△ABC
2、分别取AB、AC的中点D、E，连接DE
3、沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕 点E按顺时针方向旋转180°后得到△CFE的位 置，得四边形BCFD
概括:
我们把连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线.
并且有：三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2) 顺次连接四边形各边中点得怎样的四边形，取 决于原四边形对角线的特征：
①对角线相等时，得菱形； ②对角线互相垂直时，得矩形； ③对角线互相垂直且相等时，得正方形；
练习：
6. 顺次连接以下四边形各边的中点，可以得 到什么四边形？
①平行四边形， ②矩形， ③菱形 ④正方形，
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月30日星期三2022/3/302022/3/302022/3/30 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/302022/3/302022/3/303/30/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/302022/3/30March 30, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
①判断四边形EFGH是什么四边形，并证明;
②如果四边形EFGH是矩形，那么四边形 ABCD应满足什么条件？
③如果四边形EFGH是菱形，那么四边形
ABCD应满足什么条件？
④据上面的结论，你Biblioteka E可得出什么结论？
D
E
F
B
C
1、剪一个三角形，记为△ABC
2、分别取AB、AC的中点D、E，连接DE
3、沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕 点E按顺时针方向旋转180°后得到△CFE的位 置，得四边形BCFD
概括:
我们把连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线.
并且有：三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2) 顺次连接四边形各边中点得怎样的四边形，取 决于原四边形对角线的特征：
①对角线相等时，得菱形； ②对角线互相垂直时，得矩形； ③对角线互相垂直且相等时，得正方形；
练习：
6. 顺次连接以下四边形各边的中点，可以得 到什么四边形？
①平行四边形， ②矩形， ③菱形 ④正方形，
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月30日星期三2022/3/302022/3/302022/3/30 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/302022/3/302022/3/303/30/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/302022/3/30March 30, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
①判断四边形EFGH是什么四边形，并证明;
②如果四边形EFGH是矩形，那么四边形 ABCD应满足什么条件？
③如果四边形EFGH是菱形，那么四边形
ABCD应满足什么条件？
④据上面的结论，你Biblioteka E可得出什么结论？
湘教版八年级下册数学：2.4 三角形的中位线课件(共16张PPT)
三
角
知形
识 点 二Βιβλιοθήκη 的 中 位线定
理
已知：如图，点D、E分别为△ABC的边
AB、AC的中点. 求证：DE∥BC且DE= 1 BC．
2
位置关系 数量关系 A
D
E
B
C
定理证明——一题多解
A
A
D
E
F
D
EF
B
C
延长DE到F，使EF=DE,连接CF
A
B
C
• 过点C作CF∥AB与DE的延
长线交于点F
A
G
D
EF
D
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版八年级数学下册 三角形的中位线(课件)
BC=8cm、 AC =6cm.则: DE=__3__cm，DF=__4__cm, EF=_5_._5_cm,△DEF的周长是_1_2_._5_cm.
6.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
AB=10cm， AC=6cm， 则四边形ADEF的周长为__1_6__cm.
7.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O,点E是CD的中点，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
例3.如图，D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是 OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．
D.6cm
3.如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP， RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成
立的是( C )
A.线段EF的长逐渐增长 B.线段EF的长逐渐减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定
D
5.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB=11cm、
(2)如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．
1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若
BC=6，则DE的长为( B )
A.2
B.3
C.4
D.6
2.如图，在□ABCD中， 对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，若
OE=2cm,则CD的长为( B )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的 知识来解决吗？
八年级数学下册 2.4 三角形的中位线 三角形中位线知识总结素材 (新版)湘教版
三角形中位线知识总结一、三角形中位线的定义连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形有三条边，所以三角形的中位线应该有三条，如图1所示：如果点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，那么线段DE 、EF 、FD 都是三角形的中位线。
例题、如图2所示，在△ABC 中，AB=8cm ，AC=10cm ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，并且AD=4cm ，CE=5cm ，则下列线段中是△ABC 的中位线的是（ ）A 、线段CDB 、线段BEC 、线段DED 、线段AE解：根据三角形的中位线的定义，可以知道线段DE 是三角形的中位线，所以选择C 。
二、三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图3所示，点D 是线段AB 的中点，点E 是线段AC 的中点，则线段BC 就属于第三边，线段DE 是三角形的中位线，所以DE∥BC，DE=12BC 。
例题1、如图1所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，△ABC 的周长是18cm ，则△DEF 的周长是 cm 。
解：根据三角形中位线的性质，可得DE=12AC ，DF=12BC ，EF=12AB ，所以DE ＋DF ＋EF=12AC ＋12BC ＋12AB=12（AC ＋BC ＋AB ）=12×18=9cm。
所以△DEF 的周长是9cm 。
例题2、如图3所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 的中点，并且∠ADE=70°，∠A=80°，则∠C= °。
解：因为∠ADE=70°，∠A=80°，所以∠AED=30°。
因为D 、E 分别是AB 、CA 的中点，F E D C B AE D C B A ED CBA 图1 图2 图3所以DE∥BC所以∠C=∠AED=30°。
第章第课三角形的中位线课件人教版八年级数学下册
17．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，
AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的
长．(提示：取BC边的中点G，连接EG、FG.)
解：如图，取 BC 边的中点 G，连接 EG、FG.
∵E，F 分别为 AB，CD 的中点，
∴EG 是△ABC 的中位线，
FG 是△BCD 的中位线．
∴AD 与 EF 互相平分．
8．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，
CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点， ∴DF，DE 为△ABC 的中位线． ∴DF∥BC，DE∥AC. ∴四边形 DECF 是平行四边形．
总结：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于 三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
志不立，如无舵这舟，无衔之马，漂荡奔逸，终亦何所底乎。 儿童有无抱负，这无关紧要，可成年人则不可胸无大志。 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何! 雄心志四海，万里望风尘。 一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。 胸有凌云志，无高不可攀。 立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。 无钱之人脚杆硬，有钱之人骨头酥。 对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
知识点 三角形中位线的定义及其定理
(2)若∠B＝65°，则∠ADE＝______； 50° B．25° C．15° D．20° 知识点 三角形中位线的定义及其定理
1．三角形的中线：三角形的顶点与对边中点的连线． 14．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝10 cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求AF 和DE的长． ∵AD是△ABC的中线， 12．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN＝20 m，那么 知A，识B点两点三间角的形距中离位为线_的__定__义_m及.其定理 121．．三如角图形，的若中E位，线F分的别定是义A：B连，接AC三的角中形点两，边B_C_＝__6_c_m__，的∠线B＝段6叫0做°三，角则形EF的＝中__位_线__．_ cm，∠AEF＝______． 1总1结．：如三图角，形若的E，中F位分线别定是理A：B，三A角C形的的中中点位，线BC平＝行6于cm三，角∠形B＝的6第0三°边，，则并EF且＝等__于_第__三_ c边m的，一∠A半E．F＝______． ∵DE是△ABC的中位线， ∵11D．E如是图△，AB若CE的，中F位分线别，是AB，AC的中点，BC＝6 cm，∠B＝60°，则EF＝______ cm，∠AEF＝______．
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高斯初二数学八年级下册
春季班（教师版）
最
新
讲
义
初二数学八年级下册春季班辅导讲义
学员姓名：刘小米
年 级：
辅导科目：小学思维
学科教师：五块石1
上课时间
2017-06-25 14:00-16:00
授课主题
第02讲_三角形的中位线
三角形的中位线
一．三角形的中位线
1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
【答案】见解析
【解析】连接 ，取 中点 ，连接 、 ．
∵ ， ，∴ ， ，
同理， ，
∵ ，∴ ，∴
∵ ，
∴ ， ，∴
随练1.1△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长为（ ）
A．60cm
B．45cm
C．30cm
D． cm
【答案】C
【解析】
∵△ABC三条中位线围成的三角形与△ABC相似，
一．考点：1．中位线定理．
二．重难点：构造中位线，解决相关的角度线段问题．
三．易错点：中线与中位线的区别．
题模一：中位线定理
例1.1.1如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（ ）
A．5
B．10
C．20
D．40
【答案】C
【解析】此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，难度一般．
∴DE= BC=2．
故选D．
随练1.3如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
证明：四边形DECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵D、F分别为边AB、CA的中点．
∴DF∥BC，DF= BC=EC，
∴四边形DECF是平行四边形．
随练1.4如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，则MN的长度为__________．
根据中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．
∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，
故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=20．
故选C．
例1.1.2如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．1+
【答案】A
【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
【答案】（1）见解析（2）4
【解析】该题考查的是平行四边形的判定与性质．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点
∴ ， ， ，
∴ ，
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）∵
∴
例1.1.5已知，如图四边形 中， ， 、 分别是 和 的中点， 、 、 的延长线分别交于 、 两点．求证： ．
（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半．
（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
（4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．
（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．
4．补充说明：任意两点的中点坐标公式：对于平面直角坐标系内的任意两点 ， ，线段AB的中点坐标为 ．
∴DE= AB=1．
例1.1.3如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是____
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】
连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，则线段DE是△ABC的中位线．
2．性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
如图，点D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，求证：DE∥BC，
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC、DC、AF．
3．补充说明：任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：
【答案】
【解析】延长BN交AC于D，∵AN⊥BN，AN平分∠BAC，∴AN是BD的垂直平分线，∵点M是BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，
随练1.5（1）如图1，在四边形 中， 、 分别是 、 的中点，连接 并延长，分别与 、 的延长线交于点 、 ，则 ，求证： ．（提示取 的中点 ，连接 ， 作辅助线）
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF= BH，
∴BH=AB-AH=AB-DC=2，
∴EF=1．
故选D．
例1.1.4在□ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）若□ABCD的周长为8，求□EFGH的周长．
∴相似比是 ，
∵△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，
∴△ABC的周长为30cm，
故选C．
随练1.2如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A．4
B．3
C．
D．2
【答案】D
【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC= AB=4，
又∵DE是中位线，
作业1如图，点 分别是 三边的中点，若 的周长为 ，则 的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】该题考查的是三角形中位线定理．
∵D、E、F是 的中点
∴DE、EF、FD是 的中位线
∴ ， ，
∵
∴
故本题答案为D．
作业2如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是____
（2）如图2，在 中，且 是 边的中点， 是 边上一点， 是 的中点，直线 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的长度．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】连结 ，取 的中点 ，连结 、 ．
、 分别是 、 的中点，
， ， ，
，
，
；
（2）解：连结 ，三角形，
春季班（教师版）
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年 级：
辅导科目：小学思维
学科教师：五块石1
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2017-06-25 14:00-16:00
授课主题
第02讲_三角形的中位线
三角形的中位线
一．三角形的中位线
1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
【答案】见解析
【解析】连接 ，取 中点 ，连接 、 ．
∵ ， ，∴ ， ，
同理， ，
∵ ，∴ ，∴
∵ ，
∴ ， ，∴
随练1.1△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长为（ ）
A．60cm
B．45cm
C．30cm
D． cm
【答案】C
【解析】
∵△ABC三条中位线围成的三角形与△ABC相似，
一．考点：1．中位线定理．
二．重难点：构造中位线，解决相关的角度线段问题．
三．易错点：中线与中位线的区别．
题模一：中位线定理
例1.1.1如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（ ）
A．5
B．10
C．20
D．40
【答案】C
【解析】此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，难度一般．
∴DE= BC=2．
故选D．
随练1.3如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
证明：四边形DECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵D、F分别为边AB、CA的中点．
∴DF∥BC，DF= BC=EC，
∴四边形DECF是平行四边形．
随练1.4如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，则MN的长度为__________．
根据中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．
∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，
故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=20．
故选C．
例1.1.2如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．1+
【答案】A
【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
【答案】（1）见解析（2）4
【解析】该题考查的是平行四边形的判定与性质．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点
∴ ， ， ，
∴ ，
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）∵
∴
例1.1.5已知，如图四边形 中， ， 、 分别是 和 的中点， 、 、 的延长线分别交于 、 两点．求证： ．
（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半．
（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
（4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．
（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．
4．补充说明：任意两点的中点坐标公式：对于平面直角坐标系内的任意两点 ， ，线段AB的中点坐标为 ．
∴DE= AB=1．
例1.1.3如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是____
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】
连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，则线段DE是△ABC的中位线．
2．性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
如图，点D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，求证：DE∥BC，
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC、DC、AF．
3．补充说明：任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：
【答案】
【解析】延长BN交AC于D，∵AN⊥BN，AN平分∠BAC，∴AN是BD的垂直平分线，∵点M是BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，
随练1.5（1）如图1，在四边形 中， 、 分别是 、 的中点，连接 并延长，分别与 、 的延长线交于点 、 ，则 ，求证： ．（提示取 的中点 ，连接 ， 作辅助线）
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF= BH，
∴BH=AB-AH=AB-DC=2，
∴EF=1．
故选D．
例1.1.4在□ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）若□ABCD的周长为8，求□EFGH的周长．
∴相似比是 ，
∵△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，
∴△ABC的周长为30cm，
故选C．
随练1.2如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A．4
B．3
C．
D．2
【答案】D
【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC= AB=4，
又∵DE是中位线，
作业1如图，点 分别是 三边的中点，若 的周长为 ，则 的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】该题考查的是三角形中位线定理．
∵D、E、F是 的中点
∴DE、EF、FD是 的中位线
∴ ， ，
∵
∴
故本题答案为D．
作业2如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是____
（2）如图2，在 中，且 是 边的中点， 是 边上一点， 是 的中点，直线 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的长度．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】连结 ，取 的中点 ，连结 、 ．
、 分别是 、 的中点，
， ， ，
，
，
；
（2）解：连结 ，三角形，