2018秋八年级数学上册第17章特殊三角形17.2直角三角形课件新版冀教版
【冀教版】初中数学八年级上：17.2《直角三角形》ppt课件
证明:∵∠CEF=135°,∠ECB=
1 2
∠ACB=45°,
∴∠CEF+∠ECB=180°,∴EF∥BC.
7.如图所示,在Rt △ ABC
中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D.求证AD= 1
解析:在A直B.角三角形ABC中,由∠B=30°,利用
4
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜
4.含有30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
检测反馈 1.在△ ABC中,满足下列条件: ①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C; ③∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5;④∠A=90°-∠C. 其中能确定△ ABC是直角三角形的有 ( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4
=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C.
4.如图所示, △ ABC中,∠ACB=90的长为( A )
A.20
B.15 C.10
D.18
解析:∵∠ACB=90°,CD是高, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A=30°, 在Rt △ BCD中,BC=2BD=2×5=10,在Rt △ ABC中, AB=2BC=2×10=20.故选A.
1 2
AB.
由(1)知∠ACD=∠DCE=30°,∴∠ACE=∠A=60°,
∴ △ ACE是等边三角形,∴AC=AE=EC= 1 AB,
∴AE=BE,即点E是AB的中点. ∴CE是AB边上的中线,且CE=
1 2
AB.
2
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
冀教版八年级数学上册第十七章《特殊三角形》PPT课件
B
C
能力提升：在△ABC中,已知 AABB=≠AACC ,BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB. 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.
（1）请问图中有多少个等腰三角形?请一一列举.
5个，△ABC，△AEF，△OBE，△OBC，△OCF.
（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?
A
顶
角
腰
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
二 等腰三角形的性质定理
找一找： 剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的 等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
等腰三角形是轴对称图形.
A
重合的线段
重合的角
AB与AC
练一练： 如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为 18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 12 cm.
A
D
E
B
C
当堂练习
1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
A
A
120° 36°
B
C
B
C
∠B=∠C = 72°
∠B=∠C = 30°
2.(1)等腰三角形一个底角为60°,它的另外两个角为6_0_°__, 60°__； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 __7_2_°__,7_2_°__或__3_6_°__,_1_0_8_°； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为3_0°__，_ 30°__.
_△__A_B__C__△__D__B_A___△__B_C__D______. D
冀教版初中八年级数学上册17-4直角三角形全等的判定课件
4.如图,在正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+ ∠BDC= 90 °.
解析 如图,取格点E,连接AE,EC,AD,设AC,BD交于点F.
在Rt△AEC和Rt△DAB中,
AC∴RBt△D, AEC≌Rt△DAB
AE AD,
(HL),∴∠ACE=∠ABD.∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠EAC+
DE AD
EC, BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL),∴AE=BC,
∵AD+BC=7,∴AB=AE+BE=BC+AD=7.
9.(2023河北邯郸大名月考,19,★★☆)如图,点D在BC上,DE ⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD= 145°,则∠EDF= 55° .
B.12 cm
C.12 cm或6 cm
D.以上答案都不对
解析 由题意可知∠C=∠QAP=90°.①当AP=CB时,在Rt△APQ
与Rt△CBA中, PAQP∴RCBt△BA,, APQ≌Rt△CBA(HL),此时AP= BC=6 cm;②当P运动到C点时,AP=AC,在Rt△QAP与Rt△BCA
中, QAPP∴RAAt△CB,,QAP≌Rt△BCA(HL),此时AP=AC=12 cm. 综上所述,AP=6 cm或12 cm.故选C.
3.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DF,若要用 “斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,还需 补充一个条件,这个条件可以是 BC=EF(或BE=CF) .
解析
补充条件BC=EF,在Rt△ABC和Rt△DFE中,
BC
AB
EF , DF ,
(基础题)冀教版八年级上册数学第十七章 特殊三角形含答案
冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图钢架中，∠A=a，焊上等长的钢条P1P2， P2P3， P3P4， P4P5来加固钢架，若P1A=P1P2，∠P5P4B=95°，则a等于（）A.18°B.23.75°C.19°D.22.5°2、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A.9B.6C.4D.33、已知一个直角三角形两边的长分别为3和4.分别以此三角形的三边为边作正方形，则这三个正方形面积的和为（）A.50B.32C.50或32D.以上都不对4、在中，斜边AB=2，则的值是（）A.6B.8C.10D.125、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A.7B.8C.9D.106、已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（）A.16B.20C.16或20D.147、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（）A.3B.C.6+D.6﹣8、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则边AC的长是（）A. B.3 C. D.9、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm10、如图，在中，，且.若，，则的长度为（）A. B. C. D.811、已知等腰三角形的两边长是4和10，则它的周长是（）A.18B.24C.18或24D.1412、在平面直角坐标系中，已知点A（a，3），点P在坐标轴上，若使得△AOP 是等腰三角形的点P恰有6个，则满足条件的a值有（）A.2个B.3个C.4个D.5个13、如图所示，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1 = 40°，则∠AED的度数是（ )A.70°B.68°C.65°D.60°14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，，如果OE=2，那么对角线BD的长为（）.A.4B.6C.8D.1015、如图，在△ABC中，AO⊥BC，垂足为O，若AO=4，∠B=45°，△ABC的面积为10，则AC边长的平方的值是（）A.16B.17C.6D.18二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是的中线，，把沿着直线对折，点C落在点E的位置，则的形状是________．17、如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为________．18、已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为________.19、一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，从三角尺的刻度可知为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为________ .20、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB与∠CAB的平分线交于点P，PD⊥AB于点D，若△APC与△APD的周长差为，四边形BCPD的周长为12+ ，则BC等于________.21、在△ABC中，AB=AC=10，cosB= ，如果圆O的半径为2 ，且经过点B、C，那么线段AO的长等于________．22、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB＝，AB⊥OB，∠AOB＝30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为________．23、如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线的对径.若双曲线的对径是4，则k=________.24、在矩形ABCD中,AB=4,AD=9点F是边BC上的一点,点E是AD上的一点,AE:ED=1:2,连接EF、DF,若EF=2 ,则CF的长为________。
冀教版初中八年级数学上册17-3勾股定理第一课时勾股定理课件
11.(2024江苏扬州邗江期末,16,★★☆)如图,在Rt△ABC中,
AC=4,AB=5,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,则DC的长
3
是2.
解析 在Rt△ABC中,AC=4,AB=5,∠C=90°,∴BC=
A=B2 =3A,C如2图,过52 D 作42 DE⊥AB于点E,∵BD平
分∠ABC,DC⊥BC,∴DC=DE,设DC=DE=x,∵S△BCD+S△ABD=S△ABC,
2
2ab+b2-2ab=a2+b2,∵中间小正方形的边长为c,∴小正方形的
面积为c2,∴a2+b2=c2,∴甲能利用面积验证勾股定理.乙中直
角梯形的面积为 (a =b)(aa2+b) b12+ab1,两个直角三角形
2
22
的面积和为2× 1 ab=ab,则中间等腰直角三角形的面积为1 a2+
2
2
1 b2+ab-ab=1 a12+ b2,∵中间等腰直角三角形的两条直角边
7.(2024四川成都龙泉驿期末)如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于 点D,∠BDF=∠BAF=∠C,BD=3,CD=1. (1)求证:∠CBD=∠EDA. (2)求AB的长.
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=∠EDA+∠BDF=90°, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
∴1 BC·DC+1 AB·DE1=222解33
冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 直角三角形全等的判定
4．如图，BD＝CF，FD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，BE＝ CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF 的度数为( A ) A．44° B．36° C．46° D．34°
5．(中考·湖南娄底)如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DCB 中，已知∠A ＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使 Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是__A_B_＝__D_C_____．
13．(中考·黑龙江哈尔滨)已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角 三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接 AE，BD 交于点 O， AE 与 DC 交于点 M，BD 与 Aห้องสมุดไป่ตู้ 交于点 N.
(1)如图①，求证：AE＝BD；
证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD. ∴∠BCD＝∠ACE.
∠AFE＝∠B， 在△AEF 和△CEB 中，∠AEF＝∠CEB，
AE＝CE， ∴△AEF≌△CEB(AAS)．
(2)AF＝2CD.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中，AABD＝＝AACD，， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)．∴BD＝CD.∴BC＝2CD. ∵△AEF≌△CEB，∴AF＝CB.∴AF＝2CD.
【答案】D
10．(2019·江苏南通)如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF，若∠ BAE＝25°，则∠ACF＝___7_0____度．
【点拨】在 Rt△ABE 与 Rt△CBF 中，AAEB＝＝CCFB，， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．∴∠BCF＝∠BAE＝25°. ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°， ∴∠ACF＝25°＋45°＝70°.
冀教版八年级数学 17.4 直角三角形全等的判定(学习、上课课件)
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 [母题 教材 P159 例 1 ]如图 17-4-3，已知线段 a，求 作直角三角形，使一直角边长为 a，斜边长为 3a.(不 写作法，保留作图痕迹)
感悟新知
解题秘方：紧扣尺规作直角三角形的基本步骤作 出直角三角形 .
解：如图 17-4-4， △ ABC 即为所求 .
知2－练
课堂小结
直角三角形全 等的判定
特殊 HL
直角三角形 全等的判定
一般
SAS ASA AAS SSS
感悟新知
证明：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在 Rt△ BDE 和 Rt△ CDF 中，DBDE＝＝DCDF，， ∴Rt△ BDE≌Rt△CDF(HL)．
知1－练
感悟新知
(2) AD ⊥ BC． 证明：∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. ∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
第十七章 特殊三角形
17.4 直角三角形全等的判定
学习目标
1 课时讲解 直角三角形全等的判定
用尺规作直角三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 直角三角形全等的判定
知1－讲
1. 定理 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(可 以简写为“斜边、直角边”或“ HL”) . 几何语言 如图 17-4-1，
直角边长的线段(或以第二步中弧与直角边的交点为圆心，以
已知斜边长为半径画弧交另一条直角边于一点)；
第四步： 连接第二步、第三步中弧与直角边的交点 .
感悟新知
冀教版八年级数学上册17.2《直角三角形》 (共22张PPT)
么PD等于( )
4 A．1
5 B．2
6 C．4 7 D．8
〔来自?点拨?〕
知3－练
2在Rt△ABC中，∠A＝30°，那么以下结论正确 的是( D ) A．BC＝ 1 AB B．BC≠ 2AB C．当∠B1＝90°时，BC＝ AB D．当∠C2＝90°时，BC＝ 1 AB 2 1 2
〔来自?典中点?〕
C
又∠A+∠B=90º，且∠A=30º，
∴∠B=60º，
∴△BCD是等边三角形， ∴ BC CD BD 1 AB.
2
60º B
30º A
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30º，那么它所对的直角边等于斜边的 一半.
用几何语言表示为：
C
在Rt△ABC中，∠C=90º，
∵ ∠A=30º，
直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角互余，那么 这个三角形是直角三角形.
小试牛刀
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一 个锐角度数为 38° .
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
(3)如下图,在△ ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边 AB上的高,
D
C
A
E
B
知识点 3 含30°角的直角三角形的性质
知3－导
证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半.
动脑筋？
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，假设 ∠A=30º那么BC与斜边AB有什么关系呢？
取线段AB的中点D，连接CD，
即CD是Rt△ABC斜边上的中线.
那么CD=AD=BD.
冀教版八上数学 直角三角形全等的判定
复习引入
1.全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等. 2.判别两个三角形全等的方法:
SSS
SAS ASA
AAS
讲授新课
用“HL”判定三角形全等
在一个三角形中，由勾股定理可知：如果两条边确定， 那么第三条也随之确定.由此可以得出直角三角形的新的判定 方法.
我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股 定理可知：两边对应相等的两个直角三角形，其第三条也一 定相等.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
A
E
B
F
C
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
D∴BF=DE.课源自小结内容斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等.
2.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求
证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
E
D
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). B
C
3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
∵AB=A'B'，AC=A'C',
B
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
C C'
B'
冀教版数学八年级上册第17章特殊三角形学案
等腰三角形的性质学习目标：1. 知道等腰三角形的有关概念，会画等腰三角形，能利用等腰三角形的性质进行有关的计算和证明.2 . 经历等腰三角形学习过程，积累数学活动经验，体会数学的基本思想.3．学会从数学角度发现问题和提出问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体会解决问题的多样性.学习过程一 .学习准备1.已知等腰三角形的一边等于6cm，另一边等于8cm，则此三角形的周长为 .2．等腰三角形中，一个角是40°，那么它的顶角度数为 .3．等腰三角形腰为5cm，底边为6 cm，面积是 .4．证明:等腰三角形两底角相等.（用规范的格式证明）（通过上面的练习，说一说等腰三角形有那些性质）二．学习探究活动一（1）如图1在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P点为底边的中点，PD+PE= .（2）如图2在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，你认为PD+PE是定值吗？说明理由.（3）如图3在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，过C点做腰AB 上的高CF，你能发现PD，PE和CF存在什么数量关系，提出你的猜想并证明.（4）如图4，若P点在BC的延长线上，那么PD，PE和CF的数量关系又有何变化？写出你的猜想并证明.活动二如图，点O 是等边△ABC 内一点， ∠AOB= 110°,∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转得△ADC ，连接OD探究：当α为多少度时， △AOD △是等腰三角形？活动三在边长为3、4、5的直角三角形周围拼接一个直角三角形,使它们拼成一个等腰三角形,请画出图形并写出你拼成的等腰三角形的周长.3备用图三．学习反思通过今天的学习，你认为等腰三角形中常用的辅助线是什么？常用的数学方法是什么？四．学习评价1．已知等腰三角形的一边等于6cm ，另一边等于8cm ，则此等腰三角形底角的余弦值为 .2已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为（思考 ：若去掉腰长为5的条件情况又如何）ABCDO1103．已知等腰三角形一边长为20 , 且面积为120,求等腰三角形的周长.等腰三角形的判定导学活动过程教学目标：知识与能力1、了解等腰三角形的边角定义。
冀教版初中数学八年级上册第十七章特殊三角形复习课件
• A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A-∠B
பைடு நூலகம்
• C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
• D、a:b:c=12:13:15
• 3、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等
的是（
）
• A、一条直角边和一个锐角分别相等
• B、两条直角边对应相等
• C、斜边和一条直角边对应相等
• D、两个锐角对应相等
5、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，
• ∴∠1=∠2（等角的余角相等） • ∴BM=CM（等角对等边）
A
E
M
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
例2.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和
AC上，且BD=CE，M是AB的中点.
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
• 证明：∵AB=AC • ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） • ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E • ∴∠BEC=∠CDB=90° • ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
学习目标
1、知识与能力 能利用等腰三角形、等边三角形、直 角三角形的性质定理和判定定理解决实际问题 2、过程与方法 通过对特殊三角形的学习，进一步 认识各类三角形，培养学生视察、类比的思维能力， 体会数学知识在解决实际问题中的作用 3、情感态度与价值观 在探索三角形性质的过程中， 感受数学逻辑推理的重要性，体会数学在现实生活 中的广阔应用，提高数学的学习兴趣
冀教版八年级上册数学《直角三角形》PPT教学课件
做一做
证明：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在RtABC中，ABC 90，A 30. A
求证：BC 1 AC
2
D
B C
分析：如果中线CD=
1 2
AB,则有∠ACD= ∠A。
于是受到启发，在图中，过R
顶点C作射线CD'交AB于D'，使∠1=∠A，
则有A D' =C D' ( 等角对等边)
如果一个三角形的两个角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形
学习目标
• 1.掌握直角三角形的性质定理和判定 定理
• 2.掌握含30º角的直角三角形的性质
学习重点和难点
• 重点： • 直角三角形的性质定理和判定定理 • 难点： • 含30º角的直角三角形的性质
1.如图，在R
∠A+∠B= 90 °
直角三角形的性质定理：
1 2
在直角三角形12 中，斜边上的中线等于斜边的一半
∵CD是直1 角三角形ABC斜边上的中线 ∴CD= 2 AB
如图，在R
取线段AB的中点D，1连结CD，即CD为R 2
C
A
由此可得出结论：
B
D
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对 的直角边等于斜边的一半
想 一 你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的 想 这条性质吗？
1
如图，在R
2
由此可得出结论：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°
例2
在A岛周围20海里（1海里=1852 m）水域内有暗礁，
一轮船由西向东航行到O处时，发现A到在北偏东60°
冀教版八年级上册数学第十七章 特殊三角形 含答案
冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q 运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）A. B.2 C.2 D.32、如图是一张边长为8的正方形纸片，在正方形纸片上剪下一个腰长为5的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，其余两个顶点在正方形的边上），则剪下的等腰三角形的底边长是（）A.4B.5C.4 或5D.4 或53、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2 ，则⊙O 的半径为（）．A.4B.6C.8D.124、如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（）A.5B.8C.10D.115、如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC，△COB，弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A.S1＜S2＜S3B.S2＜S1＜S3C.S1＜S3＜S2D.S3＜S2＜S16、如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=13，AB=10，△ABC的顶点A、B 分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（）A.5B.7C.12D.7、如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：①、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，②、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：①、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．②、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确、乙错误D.甲错误，乙正确8、下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为。
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
04
直角三角形中特殊角度计算
30°-60°-90°三角形性质
角度关系
在30°-60°-90°三角形中，一个角 为30°，另一个角为60°，还有一
个直角为90°。
边长关系
对于30°-60°-90°三角形，若设较 短的直角边长度为a，则较长的直 角边长度为√3a，斜边长度为2a。
应用场景
在解决与30°-60°-90°三角形相关的 问题时，可以利用这些性质进行角 度和边长的计算。
灵活运用三角函数公式
在解决复杂问题时，可以灵活运用三角函数的和差公式、倍角公式等，将问题转化为与特殊 角度相关的计算问题。
05
直角三角形在生活中的应用
测量问题中直角三角形应用
1 2 3
测量高度 利用直角三角形的性质，可以通过测量角度和距 离来计算高度，如测量建筑物、山峰等的高度。
测量距离 在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
测量角度 通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
初中数学冀教版八年级上册第十七章 特殊三角形17.4 直角三角形全等的判定-章节测试习题
章节测试题1.【答题】已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD （HL）成立，还需要加的条件是（）A. ∠BAC=∠BADB. BC=BD或AC=ADC. ∠ABC=∠ABDD. AB为公共边【答案】B【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD.【解答】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选B.2.【答题】如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，则利用______可说明三角形全等．A. SASB. AASC. SSAD. HL【答案】D【分析】根据斜边、直角边定理解答．【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，∴利用（HL）可说明三角形全等．选D.3.【答题】如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB、AC的距离相等．则△PEA≌△PFA 的理由是（）A. HLB. AASC. SSSD. ASA【答案】A【分析】根据题意找出三角形全等的条件，然后根据条件确定全等的依据，解答即可．【解答】解：∵点P到AB、AC的距离相等，∴PE=PF，又∵PA是公共边，∴△PEA≌△PFA用的是PA=PA，PE=PF，符合斜边直角边定理，即HL．选A.4.【答题】如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）A. HLB. ASAC. AASD. SAS【答案】A【分析】已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB.【解答】解：HL，理由是：∵∠A=∠D=90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），选A.5.【答题】如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A. ∠BAC=∠BADB. AC=AD或BC=BDC. AC=AD且BC=BDD. 以上都不正确【答案】B【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．【解答】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，选B.6.【答题】如图，∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（）A. HLB. ASAC. SASD. AAS【答案】A【分析】由于∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB.题中还隐含了公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，DB=DB，∴△BAD≌△BCD（HL）．选A.7.【答题】如图，∠C=∠D=90°，AC=AD，∠1=30°，则∠ABD的度数是（）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°【答案】C【分析】首先根据直角三角形的性质求得∠ABC=60°，然后通过全等三角形Rt△ACB≌Rt△ADB的对应角相等求得∠ABD=∠ABC.【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠1=30°，∴∠ABC=60°．∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB与Rt△ADB中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），∴∠ABD=∠ABC=60°．选C.8.【答题】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=30°，则∠ACD 的度数为（）A. 10°B. 2°C. 30°D. 40°【答案】C【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DCB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DBC，再根据直角三角形两锐角互余列式求出∠BCD，然后根据∠ACD=∠BCD-∠ACB计算即可得解．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠ACB=∠DBC=30°，在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠DBC=90°-30°=60°，∴∠ACD=∠BCD-∠ACB，=60°-30°，=30°．选C.9.【答题】如图，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，若CB=CD，且∠BAC=30°，则∠BAD的度数是（）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°【答案】C【分析】根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC=30°，进而求出∠BAD=60°．【解答】解：∵AB⊥BC于B，AD⊥CD于D∴∠ABC=∠ADC=90°又∵CB=CD，AC=AC∴△ABC≌△ADC（HL）∴∠BAC=∠DAC=30 o∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°选C.10.【答题】下列语句中不正确的是（）A. 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B. 有两边对应相等的两个直角三角形全等C. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等D. 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定定理进行解答即可．【解答】解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；C、有两个锐角相等的两个直角三角形，可以一大一小但形状相同，故本选项错误；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．选C.11.【答题】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A. AC=A′C′，BC=B′C′B. ∠A=∠A′，AB=A′B′C. AC=A′C′，AB=A′B′D. ∠B=∠B′，BC=B′C′【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，选C.12.【答题】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A. 两条直角边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条直角边和它所对的锐角对应相等D. 一个锐角和锐角所对的直角边对应相等【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL 对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【解答】解：A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；选B.13.【答题】下列说法正确的说法个数是（）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【解答】解：A、三个角相等，不能判定全等，故本选项错误；B、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”，故本选项正确；C、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”，故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．选C.14.【答题】下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据HL可得①正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形不全等；由AAS或ASA可得③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等．【解答】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；选C.15.【答题】如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】D【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3．【解答】解：∵∠B=90°，∠1=30°，∴∠3=90°-∠1=90°-30°=60°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠3=60°．选D.16.【答题】如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 以上都不对【答案】B【分析】利用HL得到直角三角形ABC与直角三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠2=∠ACD，根据∠1与∠ACD互余即可求出∠2的度数．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠ACD，∵∠1+∠ACD=90°，∴∠2+∠1=90°，∵∠1=40°，∴∠2=50°，选B.17.【答题】下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一条边对应相等B. 两条直角边对应相等C. 一个锐角对应相等D. 两个锐角对应相等【答案】B【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答．【解答】解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；而D构成了AAA，不能判定全等；B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．选B.18.【答题】下列条件中不能使两个直角三角形全等的是（）A. 两条直角边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条直角边和斜边对应相等D. 一个锐角和斜边对应相等【答案】B【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不符合题意；B、全等三角形的判定必须有边的参与，三个角对应相等不能判定两三角形全等，故本选项符合题意；C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不符合题意．选B.19.【答题】使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等【答案】D【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确．选D.20.【答题】命题"有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等"是______命题.【答案】假【分析】根据直角三角形全等的判定方法判断即可.【解答】解：一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形，边与角不一定是对应边和对应角，例如：两个直角三角形中相等的∠α的邻边与对边相等，两个三角形不全等，所以，这两个直角三角形不一定全等，所以，"有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等"是假命题.。
八年级数学上册 第十七章 特殊三角形 专题练习 直角三角形和勾股定理 冀教版(2021学年)
八年级数学上册第十七章特殊三角形专题练习直角三角形和勾股定理(新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第十七章特殊三角形专题练习直角三角形和勾股定理(新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为八年级数学上册第十七章特殊三角形专题练习直角三角形和勾股定理（新版）冀教版的全部内容。
专题一勾股定理与方程1.如图所示,已知在三角形纸片ABＣ中，BＣ=3, AＢ＝6，∠BCＡ=90°，在AＣ上取一点E，以BE为折痕,使AB的一部分与ＢＣ重合，Ａ与ＢＣ延长线上的点D重合,则DE的长度为（)A.6 Ｂ．3ﻩﻩC．23ﻩﻩＤ．32．一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示。
正方形DEFＨ的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B＝９0°，ＢＣ=6米。
当正方形DEFH运动到什么位置,即当ＡE= 米时，有DC2=AE2＋BC2.专题二构造直角三角形3.如图,在△ＡBC中,∠A＝3０°,∠B＝4５°，AC=23,求AＢ的长.4．如图，在四边形AＢCＤ中,ＡB:ＢC:CD:DA=2：2：3:1，且∠ＡＢC=９0°，求∠DAB的度数．专题三勾股定理中的分类讨论思想5.在等腰△ＡBC中,∠Ａ=3０°,AＢ＝8，则AB边上的高CＤ的长是．６.在△ABC中，AB=15，AC=13，高ＡD=12,则△ABC的周长为＿___＿＿_.7。
在△AＢC中，AB=25,ＡＣ＝4,BＣ=2,以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.参考答案1.C 解析：由折叠可知ＢC=ＢA=6，DＥ＝AE，∵BC＝３,∴CD=BＣ=3，∴BE=ＤＥ=AE,由勾股定理可得ＡＣ=33，设DＥ=AE=BE=x,在Rｔ△ＢCE中，３２＋()2-=x２，解得33xx=23，即ＤE的长度为23。
八年级数学上册17.4直角三角形全等的判定课件(新版)冀教版
第十五页，共17页。
3.如图所示,用“HL”判定(pàndìng)Rt △ ABC和 Rt △DEF全等的条件是 ( C )
A.AC=DF,BC=EF B.∠A=∠D,AB=DE C.AC=DF,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF
解析:∵在两个直角三角形中,AB,DE是斜边,
∴只有C中,AC=DF,AB=DE符合(fúhé)
1.画一线(yīxiàn)段AB,使它等于4 c2m.画; ∠EAB=90°; 3.以点B为圆心,以5 cm长为半径 (bànjìng)画 4.连弧接,交B射C.线△AAEB于C即点为C所; 求,
如图(2)所示.
第四页，共17页。
如何证明：斜边和直角边对应相等(xiāngděng)的两个 直角三角形全等,简记为HL(或斜边、直角边).
八年级数学(shùxué)·上 新课标 [冀 教]
第十七章 特殊(tèshū)三角 形
17.4 直角三角形全等的判定 (pàndìng)
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第一页，共17页。
复习(fùxí)巩固 三角形全等的判定(pàndìng)方法有哪些?
SSS(三边对应相等的两个三角形全等) ASA(两角和它们(tā men)的夹边对应相等的两个三角形 全等) SAS(两边和它们(tā men)的夹角对应相等的两个三角形全 等) AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)
AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD,DF,则图中全等的
直角三角形共有 ( B )
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
解析:由E是CD中点(zhōnɡ diǎn),可知DE=EC,由四边形 ABCD是矩形,可得AD=BC,AB=CD,∠DCB=∠DCF=90°, AD∥BF,∴∠DAE=∠EFC,图中全等的直角三角形 有:△AED≌△FEC, △BDC≌△FDC≌△DBA,共4对.故选B.