第六部分量子物理基础习题
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第六部分 量子物理基础 习题：
1.从普朗克公式推导斯特藩玻尔兹曼定律。（提示：15
1
4
3
π
=
-⎰
∞
dx e x
x
）
解：λλ
πλλλd e hc d T M T M T k hc
⎰⎰∞
-∞-=
=
5
20
001
1
2),()(
令
x T
k hc =λ，则dx kTx
hc d 2
-
=λ，所以
44
2
5
4503
4
2
3
40
2
5
2
5
2015
21
2)(11)
(
211
2)(T
T
c
h k
dx
e
x
T
c h k dx
kTx
hc e hc
kTx hc d e hc T M x
x
T k hc
σπππλ
λ
πλ=⋅⋅
=-=
--=
-=
⎰⎰⎰∞
∞
∞
-
证毕。
2.实验测得太阳辐射波谱中峰值波长nm m 490=λ，试估算太阳的表面温度。 解：由维恩位移定律b T m =λ得到
K b
T m
3
9
3
1091.510
49010897.2⨯⨯⨯=
=
--＝λ
3.波长为450nm 的单色光射到纯钠的表面上（钠的逸出功A ＝2.29eV ），求： （1）这种光的光子能量和动量； （2）光电子逸出钠表面时的动能。
解：（1） 2.76eV J 10
42.410
45010
310
63.619
9
8
34
＝＝－－⨯⨯⨯⨯⨯=
=
=-λ
hc
hv E
s m /kg 10
47.110
4501063.6h
p 27
9
34⋅⨯⨯⨯--－＝＝
＝
λ
（2）由爱因斯坦光电效应方程，得光电子的初动能为
eV A hv E k 47.029.276.2=-=-=
4.铝的逸出功是4.2eV ，现用波长nm 200=λ的紫外光照射铝表面。试求： （1）发射的光电子的最大动能； （2）截止电压； （3）铝的红限频率。
解：（1）由光电效应方程得光电子的最大动能为
J 10
2.310
6.12.410
20010
310
63.619
19
9
8
34
－－－－＝⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=
-=
-=A hc
A hv E k λ
（2）截止电压
V 0.210
6.1102.319
190＝－－⨯⨯==
e
E V k
（3）红限频率
Hz 1001.110
63.6106.12.415
34
19
0⨯=⨯⨯⨯=
=
-－h
A v
5.在一次康普顿散射中，传递给电子的最大能量为MeV E 045.0=∆，试求入射光子的波长。已知电子的静能量MeV c m E 511.02
00==，m V hc ⋅⨯=-e 10
4.127
。
解：要使一个电子的反冲能量具有最大值，入射光子必定是反向散射。
设入射光子的能量为E ，散射光子得能量为'E ，电子的初能量为2
0c m ，反冲能量为＋0.045MeV 。由能量守恒定律有
)045.0('2
02
0MeV c
m E c
m E ++=+
整理后得MeV E E 045.0'=-. 由动量守恒定律，有
e p c E c E +-
='
考虑到电子能量与动量的相对论关系，有 2
2
02
2
2
0)()()045.0(c m c p MeV c m e +=+
所以c MeV p e /219.0=. 于是MeV cp E E e 219.0'==+ 这样可以求得MeV E 132.02
219
.0045.0=+=
根据λ/hc hv E ==可以得到入射光的波长
m 10
39.9132.0MeV 10
4.1212
13
－－⨯=⋅⨯=
=MeV
m
E
hc λ
6.有一功率1W 的光源，发射波长为589nm 的单色光。试求单位时间内落在半径为1mm 、距光源1m 的薄圆片上的光子数。假设光源向各个方向发射的能量是相同的。
解：圆片的面积为2
6
2
10m R S ππ-==。由于光源发射出来的能量在各个方向是相同的，故单位时间落在圆片上的能量为
2
4r
S P
E π=
其中，r 为光源到圆片的距离，P 为光源的功率，于是
W E 7
2
6
10
5.21
410
1－－＝⨯⨯⨯
=ππ
单位时间落在圆片上的光子数为
s hc
E hv
E N /10
4.710
0.310
63.610
58910
5.211
8
34
97
⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
==－－－－λ
第二章 原子光谱与原子结构
1.根据氢原子光谱实验规律求巴耳末系的最长波长和最短波长。 解：巴耳末系的波长由里德堡线系公式确定，即
⋯
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==,5,4,3121
1
~22n n R λν
所以，n ＝3时对应的频率最小，波长最长，此时