北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

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北京海淀区高三一模数学(理)试题答案

北京海淀区高三一模数学(理)试题答案
在等腰直角三角形 中, , ,
所以 , ,所以 ………………8分
又 平面 , 平面 ,所以 平面 ………………9分
(Ⅲ)因为 ,
所以 ,分别以 为 轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系,
所以
由(Ⅱ)可知,
为平面 的法向量………………10分

设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
令 则平面 的一个法向量为 ………………12分
设二面角 的大小为 , 则
所以二面角 余弦值为 ………………14分
18. 解:(I)因为 所以 ………………2分
因为函数 在 处取得极值
………………3分
当 时, , ,随 的变化情况如下表:0 Nhomakorabea0
极大值
极小值
………………5分
所以 的单调递增区间为 ,
单调递减区间为 ………………6分
(II)因为
令 , ………………7分
所以该考场有 人………………1分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 ………………3分
(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
………………7分
(Ⅲ)设两人成绩之和为 ,则 的值可以为16,17,18,19,20………………8分


所以 的分布列为
16
17
18
19
20
………………11分
所以
所以 的数学期望为 ………………13分
17.证明:(I) 因为 是正三角形, 是 中点,
所以 ,即 ………………1分
又因为 , 平面 , ………………2分
又 ,所以 平面 ………………3分
又 平面 ,所以 ………………4分(Ⅱ)在正三角形 中, ………………5分

海淀区高三一模数学试卷及答案(理科)

海淀区高三一模数学试卷及答案(理科)

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学(理科)2012.04一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合1Ax x ,B x x m ,且A B R ,那么m 的值可以是(A )1 (B )0 (C )1 (D )2 (2)在等比数列{}n a 中,14358a a a a ,,则7a =(A )116(B )18 (C )14 (D )12(3)在极坐标系中,过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 (A )sin 2ρθ (B )cos 2ρθ(C )sin 2ρθ(D )cos 2ρθ(4)已知向量=(1)=(1)x x ,a b ,,-,若2-a b 与b 垂直,则=a(A(B(C )2 (D )4 (5)执行如图所示的程序框图,输出的k 值是(A )4 (B )5 (C )6 (D )7(6)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是(A )12 (B )24 (C )36 (D )48(7)已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ,使得12()()f x f x =成立,则实数a 的取值范围是(A )2a (B )2a (C )22a(D )2a或2a(8)在正方体''''ABCD A B C D 中,若点P (异于点B )是棱上一点,则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为(A )0 (B )3 (C )4 (D )6二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. (9)复数2i1ia 在复平面内所对应的点在虚轴上,那么实数a = . (10)过双曲线221916x y 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . (11)若1tan 2α,则cos(2)απ2= . (12)设某商品的需求函数为1005QP ,其中,Q P 分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性EQEP大于1(其中'EQ Q P EP Q,'Q 是Q 的导数),则商品价格P 的取值范围是 .(13)如图,以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ,交BC 于点E ,EF AB 于点F ,3AF BF ,22BE EC ,那么CDE = ,CD = .(14)已知函数1,,()0,,x f x xRQ Q 则(ⅰ)(())f f x = ; (ⅱ)给出下列三个命题:FEDCBAA'B'C'D'ABCD①函数f x 是偶函数; ②存在(1,2,3)i x iR ,使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i为顶点的三角形是等腰直角三角形; ③存在(1,2,3,4)ix iR ,使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i为顶点的四边形为菱形.其中,所有真命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,且A ,B , C 成等差数列. (Ⅰ)若13b,3a ,求c 的值;(Ⅱ)设sin sin t A C =,求t 的最大值.(16)(本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中,AB //CD ,ABAD ,4,22,2AB AD CD ,PA平面ABCD ,4PA .(Ⅰ)设平面PAB平面PCD m =,求证:CD //m ;(Ⅱ)求证:BD ⊥平面PAC ;(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点,且直线QC 与平面PAC,求PQPB的值.(17)(本小题满分13分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(Ⅰ)求直方图中x 的值;(Ⅱ)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿;PDCBA(Ⅲ)从学校的新生中任选4名学生,这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ,求X 的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率)(18)(本小题满分13分)已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)是否存在实数k ,使得函数()f x 的极大值等于23e -?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.(19)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆G 的中心为坐标原点,左焦点为1(1,0)F -, P 为椭圆G 的上顶点,且145PF O ∠=︒. (Ⅰ)求椭圆G 的标准方程;(Ⅱ)已知直线1l :1y kx m =+与椭圆G 交于A ,B 两点,直线2l :2y kx m =+(12m m ≠)与椭圆G 交于C ,D 两点,且||||AB CD =,如图所示.(ⅰ)证明:120m m +=;(ⅱ)求四边形ABCD 的面积S 的最大值.(20)(本小题满分14分)对于集合M ,定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ,N ,定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A ,{1,2,4,8,16}B.(Ⅰ)写出(1)A f 和(1)B f 的值,并用列举法写出集合A B ∆;(Ⅱ)用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数,求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值;(Ⅲ)有多少个集合对(P ,Q ),满足,P Q AB ⊆,且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆?海淀区高三年级第二学期期中练习数 学(理科)参考答案及评分标准 2012.04一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)2 (10)43200xy (11)45(12)(10,20)(13)60°(14)1 ①③ 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为,,A B C 成等差数列, 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π, 所以3B π=. ………………………………………2分 因为13b,3a,2222cos b a c ac B =+-,所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-(舍去). ………………………………………6分(Ⅱ)因为23A C +=π, 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )22A A A =+11cos22()22A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分 因为203A π<<,所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=,即3A π=时,t 有最大值34.………………………………………13分(16)(本小题满分14分)(Ⅰ)证明: 因为AB //CD ,CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ,平面PAB平面PCD m =,所以CD //m . ………………………………………4分 (Ⅱ)证明:因为AP平面ABCD ,ABAD ,所以以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则(4,0,0)B ,(0,0,4)P,(0,D,(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-,(2,AC =,(0,0,4)AP =,所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=,(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥,BD AP ⊥.因为 AP AC A =,AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分(Ⅲ)解:设PQ PBλ(其中01λ),(,,)Q x y z ,直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQPB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以4,0,44,xy zλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQλλ. ………………………………………11分由(Ⅱ)知平面PAC 的一个法向量为(4,BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ,所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB . ………………………………………14分(17)(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由直方图可得:200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x . ………………………………………2分(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:0.0032200.12⨯⨯=, ………………………………………4分因为6000.1272⨯=,所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分(Ⅲ)X 的可能取值为0,1,2,3,4. ………………………………………7分由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14, 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(或1414EX =⨯=)所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分(18)(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+,即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =,解得:1x =-或2x k=. 当2k =-时,22'()2e (1)0xf x x =+≥,故()f x 的单调递增区间是(,).………………………………………3分 当20k -<<时,()f x ,'()f x 随x 的变化情况如下:所以,函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞和(1,)-+∞,单调递减区间是(,1)k-.………………………………………5分当2k <-时,()f x ,'()f x 随x 的变化情况如下:所以,函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞,单调递减区间是2(1,)k-.………………………………………7分(Ⅱ)当1k时,()f x 的极大值等于23e -. 理由如下:当2k =-时,()f x 无极大值.当20k -<<时,()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+, ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=,即2413,k k += 解得 1k =-或43k =(舍).………………………………………9分当2k <-时,()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k-<,1102k <-<, 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<, 所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分 综上所述,当1k =-时,()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)(本小题满分13分)(Ⅰ)解:设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -,145PF O ∠=︒,所以1b c .所以 2222ab c . ………………………………………2分所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分 (Ⅱ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y .(ⅰ)证明:由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>,1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =. ………………………………………7分 因为 ||||AB CD =,所以=.因为 12m m ≠,所以 120m m +=. ………………………………………9分 (ⅱ)解:由题意得四边形ABCD 是平行四边形,设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则 1221m m dk.因为 120m m +=, 所以 1221m dk. ………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=(或S ==所以 当221212k m +=时, 四边形ABCD 的面积S取得最大值为 ………………………………………13分(20)(本小题满分14分)解:(Ⅰ)(1)=1A f ,(1)=1B f -,{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分(Ⅱ)根据题意可知:对于集合,C X ,①若aC 且aX ,则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆-;②若a C 且a X,则(({})()1Card C Xa Card C X ∆=∆+.所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值;集合X 不能含有A B 之外的元素.所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分 (Ⅲ)因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-,所以 A B B A ∆=∆.由定义可知:()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以 对任意元素x ,()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅, ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知:()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅. 所以 P Q ∆=∅,即P Q .因为 ,P Q AB ⊆,所以 满足题意的集合对(P ,Q )的个数为72128=.………………………………………14分。

北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准、选择题共8小题,每小题 5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

注:第12、14题第一空均为3分,第二空均为2分。

三、解答题共6小题,共80分。

解答题应写出解答步骤。

15.(本题满分13分)(I) f ( )2』3 sin cos 2cos 1(□) f(X ) 、、3sin 2x cos2x因为函数y sinx的单调递增区间为2k -,2k-( k Z),令2k2x - 2k(k Z ),2 62解得kx k _ (k Z ),36故f (x)的单调递增区间为[k , k ]( k Z ).................. 13分3616.(本题满分13分)(I )设事件A :从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气 月平均相对湿度 有利于病毒繁殖和传 播•用A 表示事件抽取的月份为第i 月,则{A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A s , A 7, A s , A 9, A 10, A 1, A 2}共 12 个基本事件, A {A 2,A 6,A 8,A 9, AI 0,A 11}共 6 个基本事件,所以,P( A) 6- . ................................................................................. 4分 12 2(n)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地 空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月2018.46 6 62 .................................................................................................... •分份只有2月和6月,故X所有可能的取值为0 , 1, 2 .2随机变量的分布列为(川)的最大值为58%,最小值为54%. ................................................................-13分 17.(本题满分14分)(I )方法1 :设AC 的中点为0,连接BO ,PO .由题意PA PB PC 2, P0 1,AO BO CO 1因为 在 PAC 中,PA PC ,O 为AC 的中点 所以PO AC ,因为在 POB 中,PO 1,OB 1,PB 、、2 所以PO OB因为 AC^OB O ,AC,OB 平面 ABC 所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC ............................................................................. 4分 所以平面PAC 平面ABC 方法2:设AC 的中点为O ,连接BO , PO . 因为 在 PAC 中,PA PC ,O 为AC 的中点所以 PO AC ,因为 PA PB PC , PO PO PO , AO BO CO所以 POA 也 POB 也 POC所以POAPOBPOC 90所以 PO OB因为 AC |>B O , AC,OB平面ABC所以 PO平面 ABC因为 PO 平面 PAC ................. 4分所以平面PAC 平面ABC 方法3:设AC 的中点为O ,连接PO ,因为在 PAC 中,PA PC , 所以PO ACP(X0)Cl6_ C !15 -,P(X 5C 1C 1 i )CC C 6 -,P(X152)1 15x设AB 的中点Q ,连接PQ , OQ 及OB . 因为 在 OAB 中,OA OB , Q 为AB 的中点 所以OQ AB .因为 在 PAB 中,PA PB , Q 为AB 的中点 所以PQ AB .因为 PQ^OQ Q , PQ,OQ 平面 OPQ 所以 AB 平面OPQ 因为 OP 平面OPQ 所以 OP AB因为 AB p| AC A , AB, AC 平面 ABC 所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC ......................................................... 所以平面PAC 平面ABC(n)由PO 平面ABC , OB AC ,如图建立空间直角坐标系,则O(0,0,0) , C(1,0,0) , B(0,1,0), A( 1,0,0) , P(0,0,1) 由OB 平面APC ,故平面 APC 的法向量为O B 由 B C (1,1,0), P C (1,0,1)0得:1 2当[3刁时,设平面PBC 的法向量为n(x,y,z),则(0,1,0)令x 1,得y 1 (1,1,1)由二面角A PC B 是锐二面角, 所以二面角APC B 的余弦值为(出)设B N B P ,令B M AN1,则得(1(1) (1,□是关于 入的单调递增函数,所以 B N [I,:2]BP 4 514分18.(本题满分13分)(I)当a 0时,f(x)In x故 f'(x)In令 f '(x)1 ln x 2x0,得0故f (x)的单调递增区间为(0,e)(n)方法1: f'(x)x a ,ln x x ______彳 a i1 ln x x (x 令 g(x) 1 a .In xXa 1 x a -则 g2 2 0X XX由 g(e) a a 1a 0,g(e ) 1a 1(1 a)1a (F1)。

北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

代入 , 得到 19
4k 2
9k 2
2π 2 2k 3k cos ,
3
解得 k 1, 所以 BC 3 .
16 解 : (I) 由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数
3.6 4.4 4.4 3.6
x
4
4
则山下试验田 100株青蒿的青蒿素产量 S 估算为
S 100x 400 g
(Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差
19.(本小题满分 14 分)
x2 已知椭圆 C: a 2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A , B 两点,且| AB|= 2. 2
(Ⅰ)求椭圆 C的方程; (Ⅱ)设点 P是椭圆 C上的一个动点,且点 P在 y 轴的右侧.直线 PA,PB与直线 x= 4 分别交于 M,N两点.若以 MN 为 直径的圆与 x 轴交于两点 E,F,求点 P横坐标的取值范围及| EF|的最大值.
共 30 分)
9. 3
10 . 5
12. x 2 y 2 1 3
13 . 4,6
在 ACD 中,由正弦定理 , 有 AC
AD
sin ADC sin
在 BCD 中,由正弦定理 , 有 BC
BD
sin BDC sin
1
11.
2
三、解答题 ( 本大题共 6
14 . 2, [ 6
小题 , 共 80 分)
2,2) U [2 3,4]

cos(x b), x 0
A. a , b
4
4
C. a , b 36
2
B. a
,b
3
6
5

2023年北京市海淀区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年北京市海淀区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年北京市海淀区高考数学一模试卷1. 已知集合,,则( )A. B. C. D.2. 若,其中i是虚数单位,则( )A. B. 1 C. D. 33. 在等差数列中,,,则( )A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知抛物线的焦点为F,点P在该抛物线上,且P的横坐标为4,则( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 若,则( )A. B. 1 C. 15 D. 166. 已知直线与圆O:交于A,B两点,且为等边三角形,则m的值为( )A. B. C. D.7. 在中,,,的平分线交BC于点若则( )A. B. C. 2 D. 38. 已知二次函数,对任意的,有,则的图象可能是( )A. B.C. D.9.已知等比数列的公比为q,且,记……,则“且”是“为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 刘老师沿着某公园的环形跑道周长大于按逆时针方向跑步,他从起点出发,并用软件记录了运动轨迹,他每跑1km,软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了11km,恰好回到起点,前5km的记录数据如图所示,则刘老师总共跑的圈数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1011. 不等式的解集是______.12. 已知双曲线的渐近线方程为,则它的离心率为______ .13. 已知函数若在区间上单调递减,则的一个取值可以为______ .14. 设函数①当时,______ ;②若恰有2个零点,则a的取值范围是______ .15. 在中,,,D是边AC的中点,E是边AB上的动点不与A,B重合,过点E作AC的平行线交BC于点F,将沿EF折起,点B 折起后的位置记为点P,得到四棱锥,如图所示,给出下列四个结论:①平面PEF;②不可能为等腰三角形;③存在点E,P,使得;④当四棱锥的体积最大时,其中所有正确结论的序号是______ .16. 如图,直三棱柱中,,,,D是的中点.证明:平面BCD;求直线CD与平面所成角的正弦值.17. 在中,求;若的面积为,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求a的值.条件①:;条件②:;条件③:注:如果选择的条件不符合要求,第问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查,从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户,分别记为4组和8组,这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图:假设用频率估计概率,且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户,估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率;从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户,记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X,估计X的数学期望;从A组和B组中分别随机抽取2户家庭,记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数,为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数,比较方差与的大小结论不要求证明19.已知椭圆的左、右顶点分别为,,上、下顶点分别为,,,四边形的周长为求椭圆E的方程;设斜率为k的直线l与x轴交于点P,与椭圆E交于不同的两点M,N,点M关于y轴的对称点为,直线与y轴交于点Q,若的面积为2,求k的值.20. 已知函数,当时,求曲线在点处的切线方程;求的单调区间;若存在,,使得,求a的取值范围.21. 已知数列给出两个性质:①对于中任意两项,在中都存在一项,使得;②对于中任意连续三项,,,均有分别判断一下两个数列是否满足性质①,并说明理由;有穷数列:;无穷数列:…若有穷数列满足性质①和性质②,且各项互不相等,求项数m的最大值;若数列满足性质①和性质②,且,,,求的通项公式.答案和解析1.【答案】A【解析】解:集合,,则故选:根据交集定义,找出两个集合的公共元素即可.本题考查集合的运算,属于基础题.2.【答案】B【解析】解:,则,,故选:根据复数相等,可得a,b的取值.本题考查复数的相等,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:在等差数列中,,,,解得,,则故选:利用等差数列通项公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.本题考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.【答案】D【解析】解:抛物线方程为,,又点P在该抛物线上,且P的横坐标为4,故选:根据抛物线的几何性质,即可求解.本题考查抛物线的几何性质,属基础题.5.【答案】C【解析】解:设,则故选:设,再根据赋值法,即可求解.本题考查赋值法的应用,属基础题.6.【答案】D【解析】解:由题意,圆心到直线的距离为,,,故选:确定圆心到直线的距离为,利用点到直线的距离公式,建立方程,即可求出实数m的值.本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属基础题.7.【答案】B【解析】解:设,因为,,所以,又AD是的平分线,所以,,,又,所以,,所以故选:根据角平分线定理可得,利用三角形法则先将表示出来,再利用向量相等可求出,本题考查向量的表示,属于中档题.8.【答案】A【解析】解:二次函数,对任意的,有,令得,,即,故CD都不可能,对于B,二次函数的对称轴方程为,由图象可知,设的图象与x轴的两个交点为,,且,则,所以,所以,当时,,两者相矛盾,故B不可能.故选:由题意可得,所以CD都不可能,对于B,由图象可知,与时,相矛盾,所以B不可能.本题主要考查了二次函数的图象和性质,属于基础题.9.【答案】B【解析】解:①当,时,则,,充分性不成立,②若为递增数列,则,则,,当,时,则,则可能成立,当,时,则,则可能成立,当,时,则,则可能成立,当,时,则,则恒成立,且是为递增数列的必要不充分条件.故选:利用举实例判断充分性,利用等比数列的通项公式、充要条件的定义判定必要性.本题考查了等比数列的通项公式、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.【答案】B【解析】解:设公园的环形道的周长为t,刘老师总共跑的圈数为x,,则由题意,所以,所以,因为,所以,又,所以,即刘老师总共跑的圈数为故选:利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围,再结合跑回原点的长度建立方程,即可求解.本题考查不等关系,考查不等关系在实际中的应用,属于中档题.11.【答案】或【解析】解:不等式即为或,解得或则解集为或故答案为:或不等式即为或,由一次不等式的解法,即可得到解集.本题考查分式不等式的解法,可以运用符号法则或化为整式不等式,注意等价变形,属于基础题.12.【答案】2【解析】解:由题意,双曲线的渐近线方程为,故答案为:2利用双曲线的渐近线方程为,可得,结合离心率公式,即可求得结论.本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.13.【答案】答案不唯一【解析】解:令,,可得,,的单调减区间为,,又在区间上单调递减,,,,,,,又,,可取故答案为:答案不唯一先求出在R上的单调减区间,再根据题意建立不等式组,即可求解.本题考查三角函数的单调性,不等式思想,属中档题.14.【答案】【解析】解:①当时,,;②令,得或,又,当,即时,,此时恰有2个零点,,;当时,易知恰有2个零点,1,;当,即时,要使恰有2个零点,则,,综合可得a的取值范围是故答案为:①1;②①代值计算,即可求解;②分类讨论,根据二次函数的性质,对数函数的性质,不等式思想,即可求解.本题考查函数值的求解,二次函数的性质,对数函数的性质,分类讨论,不等式思想,属中档题.15.【答案】①③【解析】解:①因为,平面PEF,平面PEF,所以平面PEF,故①正确;②因为是等腰直角三角形,所以也是等腰直角三角形,则,因为,,所以,且,当时,≌,所以,此时是等腰三角形,故②错误;③因为,且,,且平面PCF,平面PCF,所以平面PCF,平面ABC,所以平面平面PCF,且平面平面,如图,过点P作,连结DM,则平面ABC,平面ABC,所以,若,,平面PDM,平面PDM,所以平面PDM,平面PDM,所以,如图,,延长MD,交AB于点N,则和都是等腰直角三角形,则,点N到直线AC的距离等于,这样在翻折过程中,若能构成四棱锥,则,设,则,则,则存在点E,P,使得,故③正确:④当底面ACFE的面积一定时,平面平面PEF时,即平面ABC时,四棱锥的体积最大,设,,,,,得舍或,当,,函数单调递增,当,,函数单调递减,所以当时,函数取得最大值,此时,故④错误;故答案为:①③根据线面平行的判断定理,判断①;证明≌,即可判断②;利用垂直关系转化,结合反证法,即可判断③;表示四棱锥的体积后,利用导数计算最值,即可判断④.本题考查空间中线面的位置关系,利用导数求最值,属于难题.16.【答案】证明:在直三棱柱中,平面ABC,且,点C为坐标原点,CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,点、、、,、、,所以,,,则,,因为,CB、平面BCD,因此,平面解:设平面的法向量为,,则,取,可得,所以,,,因此,CD与平面所成角的正弦值为【解析】以点C为坐标原点,CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法证明平面BCD;利用空间向量法可求得直线CD与平面所成角的正弦值.本题考查空间向量的应用,属于中档题.17.【答案】解:因为,由正弦定理得,,又,所以,得到,又,所以,又,所以,得到,所以;选条件①:;由知,,根据正弦定理知,,即,所以角C有锐角或钝角两种情况,存在,但不唯一,故不选此条件.选条件②:;因为,所以,又,得到,代入,得到,解得,所以,由余弦定理得,,所以选条件③:;因为,所以,由,得到,又,由知,所以,又由正弦定理得,得到,代入,得到,解得,所以,由余弦定理得,,所以【解析】利用正弦定理:边转化角,再利用正弦的二倍角公式,即可求出结果;条件①,可得角C是锐角或钝角,不满足题设中的条件,故不选①;条件②,利用条件建立,边b与c的方程组,求出b与c,再利用余弦定理,即可求出结果;条件③,利用正弦定理,先把角转化成边,再结合条件建立,边b与c的方程组,求出b与c,利用余弦定理,即可求出结果.本题考查正余弦定理,属于中档题.18.【答案】解:设C事件为“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20“,又在A组10户中超过20次的有3户,由样本估计总体可得所求概率为;由得:从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户,则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为,同理:从二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户,则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为,,1,2,又,,,;根据题意可得,的取值可能为0,1,2,且得,服从超几何分布,又,,,,,,,,,,【解析】根据古典概型的概率公式,即可求解;根据题意可知,1,2,再分别求出对应的概率,从而可求解;根据方差公式计算,即可求解.本题考查根据样本估计总体,古典概型的概率公式,离散型随机变量的期望的求解,超几何分布列的期望与方差的求解,属中档题.19.【答案】解:依题意可得,解得,椭圆E的方程为;依题意,可设直线l的方程为,,,联立方程,可得,,即,,,在直线l的方程中,令,得,得,依题意得,得直线的方程为,令,得,,,,解得的值为【解析】依题意可得,求解即可;可设直线l的方程为,联立方程组可得,,求得的方程,进而可得,计算可得结论.本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,属中档题.20.【答案】解:当时,,则,,所以曲线在点处的切线的斜率为,所以曲线在点处的切线的方程为,当时,恒成立,则在R上单调递减,当时,令得,所以在上,单调递减,在上,单调递增,综上所述,当时,在R上单调递减,当时,在上单调递减,在上单调递增.在区间上的最大值为,最小值为,所以存在,使得成立,即或,当,,所以存在,使得成立,只需,由可知在区间上单调或先单调递减后递增,所以为与中的较大者,所以只需或,即可满足题意,即或,解得或,综上所述,a的取值范围为【解析】当时,,计算,由导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为,进而可得答案.求导得,分两种情况:当时,当时,分析的符号,的单调性.在区间上的最大值为,最小值为,存在,使得成立,即或,由于当,,只需,由可知在区间上单调或先单调递减后递增,为与中的较大者,只需或,即可得出答案.本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.21.【答案】解:有穷数列:不满足性质①.令,则不是数列中的项,有穷数列不满足性质①;无穷数列:…满足性质①.对于任意的,,有,,令即可,无穷数列满足性质①.对于有穷数列,记其非零项中绝对值最大的一项为,绝对值最小的一项为,故令时,存在一项,即,再令时,存在一项,即,又,数列所有非零项的绝对值均为1,又数列的各项均不相等,其最多有0,,1,共3项,,构造数列:0,,1,其任意两项乘积均为0,,1之一,满足性质①,其连续三项满足,满足性质②,又其各项均不相等,该数列满足条件,此时,综上,项数m的最大值为首先证明:当,时,数列满足,,且,,2,3,,对于任意数列的连续三项,,,总有,即或,不论是哪种情形,均有:当时,,即,当时,,即,,性质得证.考虑,,三项,有或,若,则,此时令,有,由性质知不存在k,使得,且,只有,此时,,令时,,由性质知,只有或,当时,,此时令,,,但,即,由性质知不存在k,使得,,即,从而,经验证,数列:满足条件,下面证这是唯一满足条件的数列,假设是第一个不满足上述通项公式的项,则,当,时,只能为,令,,则,但,由性质,不存在k,使得,当,时,只能为,则,令,,则,但,由性质,不存在k,使得,不存在不满足上述通项公式的项,综上,数列的通项公式为【解析】利用性质①直接判断.对于有穷数列,记其非零项中绝对值最大的一项为,绝对值最小的一项为,令时,得,令时,得,由此能求出项数m的最大值.首先证明当,时,数列满足,,由此能求出数列的通项公式.本题考查数列的性质、新定义、分类讨论思想等基础知识,考查运算求解能力,是难题.。

北京市海淀区2022届高三一模数学试题(含答案解析)

北京市海淀区2022届高三一模数学试题(含答案解析)

北京市海淀区2022届高三一模数学试题(含答案解析)北京市海淀区2022届高三一模数学试题学校:___________ 姓名:___________ 班级:___________ 考号:___________一、单选题1.已知集合 $A=\{x-1\leq x\leq 2\}$,$B=\{x|x>0\}$,则$A\cup B=$()A。

$\{x|x\leq 2\}$B。

$\{x|x\geq -1\}$C。

$\{x|x>-1\}$D。

$\{x|x>0\}$2.在复平面内,复数 $z$ 对应的点为 $(1,-1)$,则$z(1+i)=$()A。

$2$B。

$2i$C。

$-2i$D。

$-2$3.双曲线 $-y^2=1$ 的离心率为()A。

$\sqrt{3}$B。

$\sqrt{6}$C。

$\frac{\sqrt{23}}{3}$D。

$3$4.在 $(x-x_0)^4$ 的展开式中,$x^2$ 的系数为()A。

$-1$B。

$1$C。

$-4$D。

$4$5.下列说法中正确的是A。

平行于同一直线的两个平面平行B。

垂直于同一直线的两个平面平行C。

平行于同一平面的两条直线平行D。

垂直于同一平面的两个平面平行6.已知直线 $l:ax+by=1$ 是圆 $x^2+y^2-2x-2y=0$ 的一条对称轴,则 $ab$ 的最大值为()A。

$\frac{1}{4}$B。

$\frac{1}{2}$C。

$1$D。

$2$7.已知角 $\alpha$ 的终边绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\pi$ 后与角 $\beta$ 的终边重合,且 $\cos(\alpha+\beta)=1$,则$\alpha$ 的取值可以为()A。

$\frac{\pi}{6}$B。

$\frac{\pi}{3}$C。

$\frac{2\pi}{3}$D。

$\frac{5\pi}{6}$8.已知二次函数 $f(x)$ 的图象如图所示,将其向右平移$2$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象,则不等式$g(x)>\log_2x$ 的解集是()A。

北京海淀区高三一模数学(理)试题(含答案)

北京海淀区高三一模数学(理)试题(含答案)

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科) 2013.4一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.集合,则( )A. B. C. D. 2.在极坐标系中, 曲线围成的图形面积为( ) A. B. C. D.3.某程序的框图如图所示,执行该程序, 若输入的值为5,则输出的值为A. B. C. D.4.不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则的值为A. B. C. D. 5. 若向量满足,则 的值为 A. B. C. D. 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是( ) A.B.D. 8. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论:①,使得是直角三角形;2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|AB ={3,4,5}{4,5,6}{|36}x x <≤{|36}x x ≤<4cos ρθ=π44π16x y 2-1-1221,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩k 2-1-01,a b ||||||1==+=a b a b ⋅a b 12-121-124y x =F (,)P x y (1,0)A -||||PF PA 1223123,,l l l i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆②,使得是等边三角形;③三条直线上存在四点,使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中,所有正确结论的序号是 A. ① B.①② C. ①③ D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上,若复数()对应的点恰好在实轴上,则=_______. 10.等差数列中,, 则 11.如图,与切于点,交弦的延长线于点,过点作圆的切线交于点. 若,,则弦的长为_______.12.在中,若,则 13.已知函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是_____.14.已知函数,任取,定义集合: ,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记. 则 (1)函数的最大值是_____;(2)函数的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.(13分)已知函数. (Ⅰ)求的值和的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆(1,2,3,4)i A i =1234A A A A + i a b ,a b ∈R b {}n a 34259,18a a a a +==16_____.a a =AP O A DB P B O AP C 90ACB ∠=︒3,4BC CP ==DB ABC ∆4,2,a b ==1cos 4A =-_____,sin ____.c C ==22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩a π()sin2f x x =t ∈R {|t A y =()y f x =(,())P t f t (,())Q x fx ||PQ ≤, t t M m t A ()t t h t M m =-()h t ()ht 2()2cos )f x x x =--π()4f ()f x ()f x [,]63ππ-D CBPAO16.(13分)在某大学自主招生考试中,所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. (I )求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数; (II )若等级A ,B ,C ,D ,E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分. (i )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(ii)若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分. 从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.(14分)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且P ABCD -PA ⊥ABCD ABC ∆AC BD M AC 4PA AB ==120CDA ∠=N PB PN =(Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证:平面; (Ⅲ)求二面角的余弦值.18.(13分)已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I) 当时,求的单调区间; (II) 若在上的最大值为,求的值.19.(14分)已知圆:().若椭圆:()的右顶点为圆. (I )求椭圆的方程;BD PC ⊥//MN PDC A PC B --2()ln f x x ax bx =++,a b 0a ≠1x =1a =()f x ()f x (]0,e 1a M 222(x y r -+=0r >C 22221x y a b +=0a b >>M C(II )若存在直线:,使得直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点,点在线段上,且,求圆半径的取值范围.20.(13分)设为平面直角坐标系上的两点,其中.令,,若,且,则称点为点的“相关点”,记作:. 已知为平面上一个定点,平面上点列满足:,且点的坐标为,其中.(Ⅰ)请问:点的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若与重合,一定为偶数;(Ⅲ)若,且,记,求的最大值.l y kx =l C A B M G H G AB AG BH =M r (,),(,)A A B B A x y B x y ,,,A A B B x y x y ∈Z B A x x x ∆=-B A y y y ∆=-x ∆+=3y ∆||||0x y ∆⋅∆≠B A ()B A τ=0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z {}i P 1()i i P P τ-=i P (,)i i x y 1,2,3,...,i n =0P 0P n P n 0(1,0)P 100n y =0ni i T x ==∑T海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 (理)参考答案及评分标准 2013.4一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分, 共30分)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)解:(I )因为2()2cos )f x x x =--9.0 10.14 11.12. 13.14.2453, 16491a <≤2,(21,2), Z k k k -∈…2分……4分……6分所以………7分 所以 的周期为 ………9分 (II )当时,, 所以当时,函数取得最小值 ……11分 当时,函数取得最大值 ……13分 16.解:(I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人, 所以该考场有人 ……1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为……7分(Ⅲ)设两人成绩之和为,则的值可以为16,17,18,19,20 ……8分,, 22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+-2= 12sin 2x x -+cos22x x =+π= 2sin(2)6x +πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==()f x 2π2π= π||2T ω==ππ[,]63x ∈-π2π2[,]33x ∈-ππ5π(2)[,]666x +∈-π6x =-π()16f -=-π6x =π()26f =100.2540÷=40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ξξ2621015(16)45C P C ξ===116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=11222104(19)45C C P C ξ===所以的分布列为………………11分 所以 所以的数学期望为……13分17.证明:(I) 因为是正三角形,是中点, 所以,即………………1分 又因为,平面, …2分又,所以平面………………3分又平面,所以………………4分(Ⅱ)在正三角形中,5分在中,因为为中点,,所以,所以 ………6分 在等腰直角三角形中,,所以,,所以 ……8分又平面,平面,所以平面 ……9分(Ⅲ)因为, 所以,分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系,所以222101(20)45C P C ξ===ξ1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ865ABC ∆M AC BM AC ⊥BD AC ⊥PA ABCD ⊥平面BD ⊂ABCD PA BD ⊥PAAC A =BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥ABC BM =ACD ∆M AC DM AC ⊥AD CD =120CDA ∠=3DM =:3:1BM MD =PAB 4PA AB ==PB =:3:1BN NP =::BN NP BM MD =//MN PD MN ⊄PDC PD ⊂PDC //MN PDC 90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=AB AD ⊥,AB AD AP , x y z (4,0,0),(0,0,4)B C D P yx由(Ⅱ)可知,为平面的法向量 ……10分 ,设平面的一个法向量为,则,即,令则平面的一个法向量为 ……12分 设二面角的大小为, 则 所以二面角余弦值为…14分 18. 解:(I )因为所以 ……2分 因为函数在处取得极值, ……3分当时,,,随的变化情况如下表:………………5分所以的单调递增区间为,;单调递减区间为 ………6分 (II)因为 令, ……7分 (4,3DB =-PAC 4)PC =-(4,0,4)PB =-PBC (,,)n x y z =00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩3,z =PBC (3,3,3)n =A PC B --θ7cos n DB n DBθ⋅==⋅A PC B --72()ln ,f x x ax bx =++1()2f x ax b x'=++2()ln f x x ax bx =++1x =(1)120f a b '=++=1a =3b =-2231()x x f x x-+'='(),()f x f x x ()f x 1(0,)21+∞(,)1(,1)2222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==()0f x '=1211,2x x a==因为在 处取得极值,所以 当时,在上单调递增,在上单调递减 所以在区间上的最大值为,令,解得 ……9分 当, 当时,在上单调递增,上单调递减,上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以,解得 ………11分 当时,在区间上单调递增,上单调递减,上单调递增 所以最大值1可能在或处取得而所以,解得,与矛盾 ………12分 当时,在区间上单调递增,在单调递减, 所以最大值1可能在处取得,而,矛盾 综上所述,或. ………13分 19.(14分)解:(I )设椭圆的焦距为,因为,所以, ()f x1x =21112x x a=≠=102a<()f x (0,1)(1,e]()f x (]0,e (1)f (1)1f =2a =-0a >2102x a=>112a <()f x 1(0,)2a 1(,1)2a(1,e)12x a=e x =2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-11e 2a ≤<()f x (0,1)1(1,)2a 1(,e)2a1x =e x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-211e 2x a<=<21e 2x a=≥()f x (0,1)(1,e)1x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<12a e =-2a =-2c a =2c a =1c =A BGH所以.所以椭圆: ……4分 (II )设(,),(,)由直线与椭圆交于两点,,则 所以 ,则, ……6分 所以……7分 点,0)到直线的距离………9分 显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾,所以要使,只要 所以 ……11分 当时,……12分 当时, 又显然,14分 20.解:(Ⅰ)因为为非零整数)故或,所以点的相关点有8个 ……2分又因为,即 所以这些可能值对应的点在以为半径的圆上 ……4分1b =C 2212x y +=A 1x 1y B 2x 2y l C A B 22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩22(12)20k x +-=120x x +=122212x x k =-+AB ==M l d =GH =H AB y kx =y AG BH =AB GH =222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++0k =r =0k ≠242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++24212(1)2132r k k =+>++<r ≤<x ∆+=3(,y x y ∆∆∆1,2x y ∆=∆=2,1x x ∆=∆=0P 22()()5x y ∆+∆=221010()()5x x y y -+-=0P(Ⅱ)依题意与重合则,即,两式相加得(*) 因为故为奇数,于是(*)的左边就是个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数,所以一定为偶数 ……8分(Ⅲ)令,依题意,因为………………10分因为有,且为非零整数,所以当的个数越多,则的值越大,而且在这个序列中,数字的位置越靠前,则相应的的值越大 而当取值为1或的次数最多时,取2的次数才能最多,的值才能最大. 当时,令所有的都为1,都取2,则.当时,若, (,)n n n P x y 000(,)P x y 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==,11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----n n 11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆3i i x y ∆∆=+i i x y ∆∆,2i x ∆=T 123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆2T i y ∆1-i x ∆T 100n =i y ∆i x ∆1012(12100)10201T =++++=100n >*2(50,)n k k k =>∈N此时,可取个1,个,此时可都取2,达到最大 此时=. 若,令,其余的中有个,个1.相应的,对于,有,其余的都为2,则当时,令 则相应的取则=+综上, ………13分i y ∆50k +50k -1-i x ∆()S n T 212((1)1)21n n n n n +++-++=++*21(50,)n k k k =+≥∈N 2n y ∆=i y ∆49k -1-49k +i x ∆1n x ∆=212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+50100n ≤<1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤T 1n +2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-=22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数,且为奇数.。

2022年北京海淀区高三一模数学试题和答案

2022年北京海淀区高三一模数学试题和答案

【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交,故不正确,垂直于同一直线的两个平面平行正确,平行于同
一平面的两条直线平行错误,因为也可以相交也可以是异面直线,垂直于同一平面的两个平面平行错误,因为也可
以相交,故选 B.
6. 已知直线 l : ax + by = 1是圆 x2 + y2 − 2x − 2 y = 0 的一条对称轴,则 ab 的最大值为( )
= − 3
+ k , k Z

当 k = 1 时, = 2 , 3
故选:C.
8. 已知二次函数 f ( x) 的图象如图所示,将其向右平移 2 个单位长度得到函数 g ( x) 的图象,则不等式
g ( x) log2 x 的解集是( )
A. (−, 2)
B. (2, +)
C. (0, 2)
D. (0,1)
20.
已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
的下顶点 A
和右顶点 B 都在直线 l1 :
y
=
1 (x − 2) 上. 2
(1)求椭圆方程及其离心率;
(2)不经过点 B 的直线 l2 : y = kx + m 交椭圆 C 于两点 P, Q ,过点 P 作 x 轴的垂线交 l1 于点 D ,点 P 关于点 D 的
1
5. 下列说法中正确的是
C. −4
D. 4
A. 平行于同一直线的两个平面平行
B. 垂直于同一直线的两个平面平行
C. 平行于同一平面的两条直线平行
D. 垂直于同一平面的两个平面平行
6. 已知直线 l : ax + by = 1是圆 x2 + y2 − 2x − 2 y = 0 的一条对称轴,则 ab 的最大值为( )

2022年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)

2022年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)

2022年北京市海淀区高考数学一模试卷一、单选题(本大题共10小题,共40.0分)1.已知集合A={x|−1≤x≤2},B={x|x>0},则A∪B=()A. {x|x≤2}B. {x|x≥−1}C. {x|x>1}D. {x|x>0}2.在复平面内,复数z对应的点为(1,−1),则z(1+i)=()A. 2B. 2iC. −2iD. −23.双曲线x23−y2=1的离心率为()A. √33B. √63C. 2√33D. √34.在(√x−x)4的展开式中,x2的系数为()A. −1B. 1C. −4D. 45.下列命题中正确的是()A. 平行于同个平面的两条直线平行B. 平行于同一条直线的两个平面平行C. 垂直于同一个平面的两个平面平行D. 垂直于同一条直线的两个平面平行6.已知直线l:ax+by=1是圆x2+y2−2x−2y=0的一条对称轴,则ab的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. √27.已知角α的终边绕原点O逆时针旋转23π后与角β的终边重合,且cos(α+β)=1,则α的取值可以为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.已知二次函数f(x)的图象如图所示,将其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)> log2x的解集是()A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (0,2)D. (0,1)9.在△ABC中,A=π4,则“sinB<√22”是“△ABC是钝角三角形”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人,经检测后分为确诊组和排除组,患者年龄分布如下表:为研究患病与年龄的关系,现采用两种抽样方式.第一种:从98人中随机抽取7人,第二种:从排除组的84人中随机抽取7人.用X,Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论:①在第一种抽样方式下,抽取的7人中一定有1人在确诊组;②在第二种抽样方式下,抽取的7人都小于20岁的概率是0;③X,Y的取值范围都是(0,16,25 );④E(X)<E(Y).其中,正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)11.已知抛物线y2=2px的准线方程为x=−1,则p=______.12.已知{a n}是等比数列,S n为其前n项和.若a2是a1,S2的等差中项,S4=15,则q=______,a1=______.13.若函数f(x)=|2x−a|−1的值域为[−1,+∞),则实数a的一个取值可以为______.14.已知e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是单位向量,且e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0,设向量a⃗=λe1⃗⃗⃗ +μe2⃗⃗⃗ ,当λ=μ=1时,<a⃗,e1⃗⃗⃗ >=______;当λ+μ=2时,|a⃗−e1⃗⃗⃗ |的最小值为______.15.已知函数f(x)=cosπxx2+1,给出下列四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)有无数个零点;③f(x)的最小值为−1;2④f(x)的最大值为1.其中,所有正确结论的序号为______.三、解答题(本大题共6小题,共85.0分)16.设函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x(A∈R).已知存在A使得f(x)同时满足下列三个条件中的两个:条件①:f(0)=0;条件②:f(x)的最大值为√2;是f(x)图象的一条对称轴.条件③:x=π8(1)请写出f(x)满足的两个条件,并说明理由;(2)若f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,求m的取值范围.17.如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1,中,底面ABCD是正方形,平面A1ADD1⊥平面ABCD,AD=2,AA1=A1D.(1)求证:A1D⊥AB;(2)若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为√21,求AA1的长度.718.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为:子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明,人睡时间越晚,深睡时间越少,睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据,对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.注:早睡人群为23:00前入睡的人群,晚睡人群为01:00后入睡的人群.(1)根据表中数据,估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组?(2)据统计,睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中,早睡人群约占80%.从睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中随机抽取3人,以X表示这3人中属于早睡人群的人数,求X的分布列与数学期望E(X);(3)根据表中数据,有人认为,早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[76,90)内.试判断这种说法是否正确,并说明理由.19.已知函数f(x)=e x(ax2−x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程;(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值,求a的取值范围;(3)若函数f(x)存在最小值,直接写出a的取值范围.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点A和右顶点B都在直线l1:y=12(x−2)上.(1)求椭圆方程及其离心率;(2)不经过点B的直线l2:y=kx+m交椭圆C于两点P,Q,过点P作x轴的垂线交l1于点D,点P关于点D的对称点为E.若E,B,Q三点共线,求证:直线l2经过定点.21.设m为正整数,若无穷数列{a n}满足|a ik+i|=|a ik+i|(i=1,2,…,m;k=1,2,…),则称{a n}为P m数列.(1)数列{n}是否为P1数列?说明理由;(2)已知a n={s,n奇数,t,n为偶数,其中s,t为常数.若数列{a n}为P2数列,求s,t;(3)已知P3数列{a n}满足a1<0,a8=2,a6k<a6k+6(k=1,2,…),求a n.答案和解析1.【答案】B【解析】解:∵A={x|−1≤x≤2},B={x|x>0},∴A∪B={x|x≥−1}.故选:B.进行并集的运算即可.本题考查了集合的描述法的定义,并集及其运算,考查了计算能力,属于基础题.2.【答案】A【解析】解:∵在复平面内,复数z对应的点为(1,−1),∴z(1+i)=(1−i)(1+i)=1−i2=2.故选:A.利用复数几何意义和运算法则直接求解.本题考查复数的运算,考查复数的运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.【答案】C【解析】解:双曲线x23−y2=1可得a=√3,b=1,则c=√3+1=2,所以e=ca =√3=2√33.故选:C.直接利用椭圆方程,求解离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的求法,是基础题.4.【答案】B【解析】解:由(√x−x)4的展开式的通项公式为T=C4r(√x)4−r(−x)r=(−1)r C4r x4+r2,r+1=2,令4+r2解得r=0,即x2的系数为(−1)0C40=1,故选:B.先由二项式定理求通项公式,然后求展开式的项系数即可.本题考查了二项式定理,重点考查了二项式展开式的项系数,属基础题.5.【答案】D【解析】解:对于A,平行于同个平面的两直线相交、平行或异面,故A错误;对于B,平行于同一条直线的两个平面相交或平行,故B错误;对于C,垂直于同一个平面的两个平面相交或平行,故C错误;对于D,由面面平行的判定定理得:垂直于同一条直线的两个平面平行,故D正确.故选:D.对于A,相交、平行或异面;对于B,相交或平行;对于C,相交或平行;对于D,由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面平行本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力,是中档题.6.【答案】A【解析】解:圆x2+y2−2x−2y=0的圆心(1,1),直线l:ax+by=1是圆x2+y2−2x−2y=0的一条对称轴,可得a+b=1,则ab≤(a+b2)2=14,当且仅当a=b=12时,取等号,所以ab的最大值为:14.故选:A.求出圆的圆心坐标,代入直线方程,然后利用基本不等式求解即可.本题考查直线与圆的位置关系的应用,基本不等式的应用,是基础题.7.【答案】C【解析】解:由于角α的终边绕原点O逆时针旋转23π后与角β的终边重合,故α+2π3=β;由于cos(α+β)=1,所以cos(2α+2π3)=1,整理得2α+2π3=2kπ(k∈Z),故α=−π3+kπ(k∈Z);当k=1时,α=2π3.故选:C.直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果.本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,三角函数的值,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.8.【答案】C【解析】解:设f(x)=ax2+bx+c(a<0),由图象可得f(0)=1,f(−2)=0,则c=1,4a−2b+1=0,)x+1,所以f(x)=ax2+(2a+12将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到函数)(x−2)+1的图g(x)=a(x−2)2+(2a+12象.由g(2)=1,又y=log2x在(0,2)上递增,且log21=0,log22=1,所以由图像可得不等式g(x)>log2x的解集为(0,2).故选:C.,设f(x)=ax2+bx+c(a<0),由图象可得f(0)=1,f(−2)=0,求得c=1,b=2a+12再由g(2)=1,结合对数函数的图象可得所求解集.本题考查函数的图象和运用,考查转化思想和运算能力,属于中档题.9.【答案】A【解析】解:在△ABC 中,由sinB <√22,则0<B <π4或3π4<B <π,又A =π4, 则0<B <π4, 即C =π−A −B >π2, 即△ABC 是钝角三角形, 由△ABC 是钝角三角形, 当B =2π3时,sinB =√32>√22, 即“△ABC 是钝角三角形”不能推出“sinB <√22”,即“sinB <√22”是“△ABC 是钝角三角形”的充分而不必要条件,故选:A .先解三角不等式,再结合充分必要条件判断即可.本题考查了三角不等式的解法,重点考查了充分必要条件,属基础题.10.【答案】B【解析】解:对于①:98人中确诊的有14人,若抽取的7人都是84个排除组的,则可能出现7人都不在确诊组,①错误;对于②:排除组中小于20岁的人有7人,抽取7人小于20岁的概率为P =C 77C 847≠0,故②错误;对于③:第一种[0,80)有96人,[80,+∞)有2人, 第二种[0,80)有82人,[80,+∞)有2人,故设抽取80岁以上的人数为M ,则M =0,1,2, 当M =0时,X =Y =0, 当M =1时,X =Y =16, 当M =2时,X =Y =25,故③正确; 对于④:P(X =0)=C 967C 20C 987=585679,P(X =16)=C 966C 21C 987=1397,P(X =25)=C 965C 22C 987=3679,P(Y =0)=C 827C 20C 847=209249,P(Y =16)=C 826C 21C 847=77498,P(Y =25)=C 825C 22C 847=1166,E(X)=0×58584679+16×1397+25×3679≈0.024,E(Y)=0×209249+16×77498+25×1166≈0.028E(X)<E(Y), E(X)<E(Y), 故④正确; 故选:B .根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案. 本题考查离散型随机变量的期望,考查学生的运算能力,属于中档题.11.【答案】2【解析】解:由抛物线y 2=2px ,得直线方程为x =−p2, 由题意,−p2=−1,得p =2. 故答案为:2.由已知结合抛物线的直线方程列式求得p 值. 本题考查抛物线的简单性质,是基础题.12.【答案】2 1 【解析】解:设a n =a 1qn−1,由题意知{2a 2=a 1+S 2S 4=15,即{2a 1q =2a 1+a 1q a 1(1−q 4)1−q=15,解得q =2,a 1=1;易知q ≠1.故答案为:2;1.根据题意列出关于首项、公比的方程组,求解即可. 本题考查等比数列的通项和求和公式,属于基础题.13.【答案】1(答案不唯一,符合a >0即可) 【解析】解:令g(x)=|2x −a|,∵函数f(x)=|2x −a|−1的值域为[−1,+∞), ∴g(x)=|2x −a|的值域为[0,+∞), 又∵y =2x 的值域为(0,+∞), ∴a >0∴a 的一个值可以为1.故答案为:1(答案不唯一,符合a >0即可).由题意可得g(x)=|2x −a|的值域为[0,+∞),又y =2x 的值域为(0,+∞),则a >0,因此答案可以说大于0的任何数.本题考查函数的单调性与值域,考查学生的逻辑推理和运算求解的能力,属于基础题.14.【答案】4 √2 【解析】解:当λ=μ=1时,a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ,|a ⃗ |2=e 1⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=2,∴|a⃗ |=2, cos <a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >=a ⃗ ⋅e 1⃗⃗⃗⃗|a ⃗ |×|e 1⃗⃗⃗⃗ |=(e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅e 1⃗⃗⃗⃗ |a ⃗ |×|e 1⃗⃗⃗⃗ |=√2=√22, ∵<a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >∈[0,π],∴<a⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >=π4; 当λ+μ=2时,a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ =(λ−1)e 1⃗⃗⃗ +μe 2⃗⃗⃗ =(λ−1)e 1⃗⃗⃗ +(2−λ)e 2⃗⃗⃗ ,则|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |=(λ−1)2+(2−λ)2=2(λ−32)2+12,当λ=32时,|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |的最小值为√22.故答案为:π4;√22.求出|a ⃗ |,根据夹角公式可得<a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >,将|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |表示为关于λ的二次函数,求出最小值即可.本题考查向量夹角、向量模的最小值的求法,考查向量运算法则、向量夹角余弦公式、二次函数的性质等基础知识,考查推理论证能力,是中档题.15.【答案】①②④【解析】解:∵函数f(x)=cosπx x 2+1,∴f(−x)=cos(−πx)(−x)2+1=cosπx x 2+1=f(x),∴该函数是偶函数,故①正确;令函数f(x)=cosπx x 2+1=0,则cosπx =0,∴πx =kπ+π2(k ∈Z),∴x =k +12(k ∈Z),故②正确; ∵f(x)=cosπx x 2+1,∴f′(x)=−π(x 2+1)sinπx−2xcosπx(x 2+1)2,∵f(1)=−12,∴f′(1)=12≠0, ∴函数的最小值不可能为−12,故③错误;|cosπx|≤1,当πx =kπ(k ∈Z)时取等号,∴0<1x 2+1≤1, 当且仅当x =0时取等号,∴|cosπx|x 2+1≤1,当且仅当x =0时取等号,∴f(x)=cosπx x 2+1≤1,故④正确.故答案为:①②④.根据偶函数的定义、零点定义,结合导数的性质逐一判断即可.本题考查命题真假的判断,考生查三角函数的奇偶性、导数性质、函数极值与最值的关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16.【答案】解:(1)函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x=sin2x+Acos2x=√1+A2sin(2x+φ),其中(tanφ=A,φ∈(−π2,π2 )),对于条件①:若f(0)=0,则A=0,对于条件②:f(x)的最大值为√2,则√1+A2=√2,得A=±1,①②不能同时成立,当A=0时,f(π8)=√22≠±1即不满足条件③,当A=1时,f(x)=√2sin(2x+π4),f(π8)=√2,即满足条件③,当A=−1时,f(x)=√2sin(2x−π4),f(π8)=0,即不满足条件③,综上可得,存在A=1满足条件②③;(2)由(1)得f(x)=√2sin(2x+π4),当0<x<m时,π4<2x+π4<2m+π4,由于f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,则π<2m+π4≤2π,解得3π8<m≤7π8,即m的取值范围是(3π8,7π8].【解析】(1)首先分析①②可得A=0,1,−1,逐个验证条件③即可得结果;(2)由(1)得函数的解析式,通过x的范围求出2x+π4的范围,结合正弦函数的性质列出关于m的不等式即可得解.本题考查了函数的零点和函数的最值,属于难题.17.【答案】(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,则AB⊥AD,因为平面A1ADD1⊥平面ABCD,平面A1ADD1⋂平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD ,∴AB ⊥平面AA 1D 1D ,∵A 1D ⊂平面AA 1D 1D ,所以,AB ⊥A 1D . (2)解:取AD 的中点O ,连接A 1O ,∵AA 1=A 1D ,O 为AD 的中点,则A 1O ⊥AD ,因为平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ,平面AA 1D 1D ∩平面ABCD =AD ,A 1O ⊂平面AA 1D 1D , 所以,A 1O ⊥平面ABCD ,以点O 为坐标原点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,设A 1O =a ,其中a >0,则A(0,−1,0)、B(2,−1,0)、A 1(0,0,a)、C 1(1,1,a)、D(0,1,0), AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−a), 设平面A 1C 1D 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z),则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0m⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −az =0,取x =a ,则m⃗⃗⃗ =(a,−a,−1), 由题意可得|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√2a 2+1=√2a 2+1=√217, ∵a >0,解得a =√3,则|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+a 2=2. 【解析】(1)利用面面垂直的性质可证得AB ⊥平面AA 1D 1D ,再利用线面垂直的性质可证得结论成立;(2)取AD 的中点O ,连接A 1O ,证明出A 1O ⊥平面ABCD ,以点O 为坐标原点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立空间直角坐标系,设A 1O =a ,其中a >0,利用空间向量法可得出关于a 的方程,求出a 的值,即可求得棱AA 1的长.本题主要考查空间中的垂直关系,线面角的相关计算,空间向量的应用等知识,属于中等题.18.【答案】(1)解:早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组,晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.(2)解:由题意可知,X ~B(3,45),随机变量X 的可能取值有0、1、2、3,P(X =0)=(15)3=1125,P(X =1)=C 31⋅(15)2⋅45=12125,P(X=2)=C32⋅15⋅(45)2=48125,P(X=3)=(45)3=64125,X的分布列为:E(X)=3×45=125;(3)解:这种说法不正确,理由如下:当第1组的均值为0,第2组的均值为51,第3组的均值为66,第4组的均值为76,第5组的均值为91,则睡眠指数的均值为0×0.001+51×0.111+66×0.346+76×0.486+91×0.056< 0+51×0.12+66×0.35+76×0.5+91×0.06=72.68<76.【解析】(1)根据百分位数的定义判断可得出结论;(2)分析可知X~B(3,45),利用二项分布可得出随机变量X的分布列,利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值;(3)取第1组的均值为0,第2组的均值为51,第3组的均值为66,第4组的均值为76,第5组的均值为91,结合平均数公式判断可得出结论.本题考查离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的运算能力,属于中档题.19.【答案】解:(1)函数f(x)=e x(ax2−x+1),f(0)=1.f′(x)=e x(ax2−x+1+2ax−1)=e x(ax2−x+2ax),∴f′(0)=0,∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为y−1=0.(2)f′(x)=xe x(ax−1+2a),f′(0)=0.①若a=0,则f′(x)=−xe x,x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.∴0是函数f(x)的极大值点.②a≠0时,f′(x)=axe x(x−1−2aa ),令f′(x)=0,解得x1=0,x2=1−2aa,下面对a 分类讨论:a =12时,f′(x)=12x 2e x ≥0,函数f(x)在R 上单调递增,无极值点,舍去.a >12时,x 2<0,列出表格:0为函数f(x)的极小值点,舍去. a <0时,x 2<0, 列出表格:0为函数f(x)的极大值点,满足题意. 0<a <12时,x 2>0,列出表格: 列出表格:0为函数f(x)的极大值点,满足题意. ∴a 的取值范围是(−∞,12).(3)结合(2):a ≤0,或a ≥12时,f(x)不存在最小值.例如a >12或a <0,0是函数f(x)的极大值点,且f(0)=1.x →−∞时,f(x)→0,无最小值,舍去.0<a <12时,x →−∞时,f(x)→0.x 2是极小值点,x 2>0,满足:ax 22−x 2+2ax 2=0,x 2=1−2a a,需要f(x 2)=f(1−2a a )=e x 2(ax 22−x 2+1)=e x 2(1−2ax 2)=e x 2[1−2(1−2a)]≤0,解得:0<a ≤14.因此函数f(x)存在最小值,a 的取值范围是(0,14].【解析】(1)函数f(x)=e x (ax 2−x +1),f(0)=1.通过求导可得f′(x),可得切线斜率f′(0),利用点斜式可得切线方程.(2)f′(x)=xe x (ax −1+2a),f′(0)=0.通过对a 分类讨论,利用取得极大值的条件即可得出结论.(3)结合(2)可得:a ≤0,或a ≥12时,f(x)不存在最小值.对0<a <12时,x →−∞时,f(x)→0.x 2是极小值点,.x 2>0.需要f(x 2)=f(1−2a a)≤0,解得a 的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【答案】(1)解:因为下顶点A 和右顶点B 都在直线l 1:y =12(x −2)上, 故A (0,−1),B(2,0),故椭圆方程为:x 24+y 2=1.其离心率为e =√4−12=√32. (2)证明:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1≠2,x 2≠2. 则D(x 1,12(x 1−2)),故E (x 1,x 1−y 1−2), 因为E ,B ,Q 三点共线,故y 2x2−2=x 1−y 1−2x 1−2,整理得到:x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4, 即(2k −1)x 1x 2+(m −2k +2)(x 1+x 2)−4m −4=0. 由{x 24+y 2=1y =kx +m 可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0, 故Δ=16(4k 2+1−m 2)>0且x 1+x 2=−8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2−41+4k 2,故(2k −1)4m 2−41+4k 2−(m −2k +2)8km1+4k 2−4m −4=0, 整理得到:(m +2k)(m +2k +1)=0,若m =−2k ,则l 2:y =kx −2k ,故l 2过B ,与题设矛盾;若m=−2k−1,则l2:y=kx−2k−1,故l2过定点(2,−1).【解析】(1)求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率;(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则可用此两点坐标表示E,根据三点共线可得x1y2+x2y1= 2(y1+y2)+x1x2−2(x1+x2)+4,利用点在直线可得(2k−1)x1x2+(m−2k+2)(x1+x2)−4m−4=0,再联立直线方程和椭圆方程,消元后利用韦达定理可得定点.本题主要考查椭圆方程的求解,椭圆离心率的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,韦达定理及其应用,直线恒过定点问题等知识,属于中等题.21.【答案】解:(1)∵a n=a1×(n−1)+1=(n−1)+1=a1×(n−1)+1(n≥2),∴|a1×(n−1)+ 1|=|a|×(n−1)+1|,(2)依题意,a2=t,a1=a3=s,因为a n是P2数列,|a2|=|a1×1+1|=|a1+1|=|t+1|=|t|,∴t=−1,|a3|=|a2×1+1=|a2+1|=|t+1|=|s|,∴s=0;(3)∵a n是P3数列,∴|a8|=|a1×7+1|=|a7+1|,|a8|=|a2×3+2|=|a6+2|,∴|a7+1|=|a6+2|=2…(1),|a9|=|a8×1+1|=|a8+1|=3,|a9|=|a3×2+3|=|a6+3|=3,由(1)(2)得a6=0,a7=1,∴猜想a n是首项为−5,公差为1的等差数列,即a n=n−6,检验:|a1×k+1|=|a k+1|=|k−6+1|=|a k+1|,∴是P数列;|a2×k+2|=|a2k+2|=|2k+2−6|=|2k−6+2|=|a2k+2|,∴是P2数列;|a3k+3|=|3k+3−6|=|3k−6+3|=|a3k+3|,∴是P3数列,并且a6k=6k−6,a6k+6=6k+6−6=6k, (k=1,2,3,⋯),∴a6k<a6k+6,a1=−5<0符合题意,故a n=n−6.【解析】(1)根据P1数列的性质,即可判断,(2)根据P2数列的性质,求出a1,a2,a3即可;(3)根据P3数列的性质,利用所给的条件,合理演绎即可.本题考查数列的应用,考查学生的运算能力,属于中档题.第21页,共21页。

北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

注:第12、14题第一空均为3分,第二空均为2分。

三、解答题共6小题,共80分。

解答题应写出解答步骤。

15. (本题满分13分)(Ⅰ)2()cos 2cos 16666f ππππ=+- 2121222⎛=⨯+⨯- ⎝⎭ 2= ······················ 3分(Ⅱ)()2cos 2f x x x =+2sin(2)6x π=+ 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ), 令222262k x k πππππ-≤+≤+(k ∈Z ),解得 36k x k ππππ-≤≤+(k ∈Z ),故()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+(k ∈Z ) ···· 13分16. (本题满分13分)(Ⅰ)设事件A :从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i A 表示事件抽取的月份为第i 月,则123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件,26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件,所以,61()122P A ==. ················ 4分 (Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月,故X 所有可能的取值为0,1,2. 242662(0)155C P X C ====,1124268(1)15C C P X C ===,22261(2)15C P X C === 随机变量X 的分布列为(Ⅲ)M 的最大值为58%,最小值为54%. ·········· 13分17.(本题满分14分)(Ⅰ)方法1:设AC 的中点为O ,连接BO ,PO . 由题意PA PB PC ===1PO =,1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中,PA PC =,O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥,因为 在POB ∆中,1PO =,1OB =,PB =所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ,,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC方法2:OC A B设AC 的中点为O ,连接BO ,PO .因为 在PAC ∆中,PA PC =,O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥,因为 PA PB PC ==,PO PO PO ==,AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ,,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC方法3:OC A设AC 的中点为O ,连接PO ,因为在PAC ∆中,PA PC =, 所以 PO AC ⊥设AB 的中点Q , 连接PQ ,OQ 及OB .因为 在OAB ∆中,OA OB =,Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中,PA PB =,Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥.因为 PQ OQ Q =I ,,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ因为 OP ⊂平面OPQ所以 OP AB ⊥因为 AB AC A =I ,,AB AC ⊂平面ABC OPC ABQ所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC················4分所以平面PAC⊥平面ABC(Ⅱ)由PO⊥平面ABC,OB AC⊥,如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O,(1,0,0)C,(0,1,0)B,(1,0,0)A-,(0,0,1)P由OB⊥平面APC,故平面APC的法向量为(0,1,0)OB=u u u r由(1,1,0)BC=-u u u r,(1,0,1)PC=-u u u r设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=r,则由BCPC⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u ru u u rnn得:x yx z-=⎧⎨-=⎩令1x=,得1y=,1z=,即(1,1,1)n=rcos,||||n OBn OBn OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r由二面角A PC B --是锐二面角,所以二面角A PC B --········· 9分 (Ⅲ)设BN BP μ=u u u r u u u r ,01μ≤≤,则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r令0BM AN ⋅=u u u u r u u u r得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++,μ是关于λ的单调递增函数, 当12[,]33λ∈时,12[,]45μ∈, 所以12[,]45BNBP ∈ ··················14分18. (本题满分13分)(Ⅰ)当0a =时,ln ()xf x x =故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >,得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ············ 4分(Ⅱ)方法1:22ln 1ln '()()()x a a x x x x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ,1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ,0()0g x =故当0(0,)x x ∈时,()0g x >;当0(,)x x ∈+∞时,()0g x <故021()f x =e故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e,解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e············ 13分 故a 的值为2e .(Ⅱ)方法2:()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞,2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞,使得020ln 1x x a =+e,等价于对任意的(0,)x ∈+∞,2ln a x x ≥-e 且存在 0(0,)x ∈+∞,使得200ln a x x ≥-e ,等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a . Q 2'()1g x x=-e , 令'()0g x =,得2x =e .故()g x 的最大值为22222()ln g =-=e e e e e ,即2a =e . ···· 13分(19)(本小题14分)(Ⅰ)由题意222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩,解得:a =b =c = 故椭圆C 的标准方程为22182x y += ··········· 5分(Ⅱ)假设直线TP 或TQ 的斜率不存在,则P 点或Q 点的坐标为(2,-1),直线l 的方程为11(2)2y x +=-,即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得2440x x -+=,此时,直线l 与椭圆C 相切,不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1:设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则 直线111:1(2)2y TP y x x --=--, 直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--,222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =,设直线1:2PQ y x t =+(0t ≠)联立方程,2222182224012x y x tx t y x t⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当0∆>时,122x x t +=-,21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t--=-++-+-121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++-22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+-4= ··················· 14分方法2:设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k 由1:2OT y x =,设直线1:2PQ y x t =+(0t ≠) 联立方程,2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时,122x x t +=-,21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- 121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=-- 0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零故TMN TNM ∠=∠故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上,即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ················· 14分20. (本题满分13分)(Ⅰ)A 是“N -数表 ”,其“N -值”为3,B 不是“N -数表”. 3分 (Ⅱ)假设,i j a 和','i j a 均是数表A 的“N -值”,① 若'i i =,则,,1,2,',1',2',','max{,,...,}max{,,...,}i j i i i n i i i n i j a a a a a a a a ===; ② 若'j j =,则,1,2,,1,'2,','','min{,,...,}min{,,...,}i j j j n j j j n j i j a a a a a a a a === ;③ 若'i i ≠,'j j ≠,则一方面,,1,2,,'1,'2,','','max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=,另一方面','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=; 矛盾. 即若数表A 是“N -数表”,则其“N -值”是唯一的. 8分 (Ⅲ)方法1:对任意的由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=. 定义数表,1919()j i B b ⨯=如下,将数表A 的第i 行,第j 列的元素写在数表B 的第j 行,第i 列,即,,j i i j b a =(其中119i ≤≤,119j ≤≤)显然有:① 数表B 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表 ② 数表B 的第j 行的元素,即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素,即为数表A 的第i 行的元素 ④ 若数表A 中,,i j a 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值 则数表B 中,,j i b 是第i 列中的最大值,也是第j 行中的最小值. 定义数表,1919()j i C c ⨯=如下,其与数表B 对应位置的元素的和为362,即,,362j i j i c b =-(其中119i ≤≤,119j ≤≤)显然有① 数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表 ② 若数表B 中,,j i b 是第i 列中的最大值,也是第j 列中的最小值 则数表C 中,,j i c 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值特别地,对由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯= ① 数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表 ② 若数表A 中,,i j a 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值 则数表C 中,,j i c 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值 即对任意的19A ∈Ω,其“N -值”为,i j a (其中119i ≤≤,119j ≤≤),则19C ∈Ω,且其“N -值”为,,,362362j i j i i j c b a =-=-.记()C T A =,则()T C A =,即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362, 故可按照上述方式对19Ω中的数表两两配对,使得每对数表的 “N -值”之和为362,故X 的数学期望()181E X =. ·············· 13分 方法2:X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.记19Ω中使得X k =的数表A 的个数记作k n ,19,20,21,...,341,342,343k =,则218182136119[(18)!]k k k n C C --=⨯⨯⨯.则218182362361119[(18)!]k k k k n C C n ---=⨯⨯⨯=,则343343343362191919343343343191919(362)()k k k k k k k k kk k k nk n k n k E X n n n -======⋅⋅⋅-===∑∑∑∑∑∑, 故34334319193433431919(362)2()362k k k k k kk k nk n k E X n n ====⋅⋅-=+=∑∑∑∑,()181E X =. ··· 13分。

2024北京海淀高三一模数学试题及答案

2024北京海淀高三一模数学试题及答案

2024北京海淀高三一模数 学本试卷共9页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项。

1. 已知全集{}22U x x =−≤≤,集合{}12A x x =−≤<,则U C A =A.(2,1)−−B.[2,1]−−C.{}(2,1)2−−D.{}[2,1)2−−2. 若复数z 满足i 1i z ⋅=+,则z 的共轭复数z =A.1i +B.1i −C.1i −+D.1i −−3. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和. 若122a a =,公差0d ≠,0m S =,则m 的值为A.4B.5C.6D.74. 已知向量,a b 满足||2=a ,(2,0)=b ,且||2+=a b ,则,<>=a bA.π6B.π3 C .2π3D.5π65. 若双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b−=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ,则该双曲线的方程为A.2214x y −=B.2212x y −= C.2212y x −= D.2214y x −= 6. 设,αβ是两个不同的平面,,l m 是两条直线,且m α⊂,l α⊥. 则“l β⊥”是“//m β”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知3, 0()lg(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩,函数()f x 的零点个数为m ,过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ,则,m n 的值分别为A.1,1B.1,2C.2,1D.2,28. 在平面直角坐标系xOy 中,角α以Ox 为始边,终边在第三象限. 则 A.sin cos tan ααα−≤ B.sin cos tan ααα−≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>9. 函数()f x 是定义在(4,4)−上的偶函数,其图象如图所示,(3)0f =. 设()f x '是()f x 的导函数,则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是A.[0,2]B.[3,0][3,4)−C.(5,0][2,4)−D.(4,0][2,3)−10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,如图1 . 通过观察发现,该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60︒),再沿直线繁殖,;②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心O 开始,沿直线繁殖到11A ,然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖,其中21112260A A A ∠=︒,且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称,11211122111,2A A A A OA ==.若114cm OA =,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径r *(,cm)r ∈N 单位:至少为A.6B.7C.8D.9第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

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海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准 2018.4一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

三、解答题共6小题,共80分。

解答题应写出解答步骤。

15. (本题满分13分)(Ⅰ)2()cos2cos 16666f ππππ=+-2=····················································································· 3分(Ⅱ)()2cos 2f x x x =+因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ),令222262k x k πππππ-≤+≤+(k ∈Z ),解得 36k x k ππππ-≤≤+(k ∈Z ),故()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+(k ∈Z ) ···························· 13分16. (本题满分13分)(Ⅰ)设事件A :从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i A 表示事件抽取的月份为第i 月,则123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件, 26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件, 所以,61()122P A ==. ···································································· 4分 (Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月,故X 所有可能的取值为0,1,2.242662(0)155C P X C ====,1124268(1)15C C P X C ===,22261(2)15C P X C === 随机变量X 的分布列为· 13分 17.(本题满分14分) (Ⅰ)方法1:设AC 的中点为O ,连接BO ,PO . 由题意PA PB PC ===1PO =,1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中,PA PC =,O 为AC 的中点 所以 PO AC ⊥,因为 在POB ∆中,1PO =,1OB =,PB =所以 PO OB ⊥ 因为 ACOB O =,,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法2:设AC 的中点为O ,连接BO ,PO .因为 在PAC ∆中,PA PC =,O 为AC 的中点 所以 PO AC ⊥,因为 PA PB PC ==,PO PO PO ==,AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以 PO OB ⊥ 因为 ACOB O =,,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法3:设AC 的中点为O ,连接PO ,因为在PAC ∆中,PA PC =, 所以 PO AC ⊥设AB 的中点Q , 连接PQ ,OQ 及OB . 因为 在OAB ∆中,OA OB =,Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中,PA PB =,Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥. 因为 PQOQ Q =,,PQ OQ ⊂平面OPQ所以 AB ⊥平面OPQ 因为 OP ⊂平面OPQ 所以 OP AB ⊥ 因为 ABAC A =,,AB AC ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC(Ⅱ)由PO ⊥平面ABC ,OB AC ⊥,如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O ,(1,0,0)C ,(0,1,0)B ,(1,0,0)A -,(0,0,1)P由OB ⊥平面APC ,故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB = 由(1,1,0)BC =-,(1,0,1)PC =- 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =,则由00BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得:00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =,得1y =,1z =,即(1,1,1)n = 由二面角A PC B --是锐二面角,所以二面角A PC B --··········································· 9分 (Ⅲ)设BN BP μ=,01μ≤≤,则令0BM AN ⋅=得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++,μ是关于λ的单调递增函数, 当12[,]33λ∈时,12[,]45μ∈,所以12[,]45BN BP ∈ ········································································ 14分 18. (本题满分13分)(Ⅰ)当0a =时,ln ()xf x x=故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >,得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ························································ 4分(Ⅱ)方法1:22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ,1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ,0()0g x =故当0(0,)x x ∈时,()0g x >;当0(,)x x ∈+∞时,()0g x <故02()f x =e 故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e,解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e ··················································· 13分 故a 的值为2e . (Ⅱ)方法2:()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞,2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞,使得020ln 1x x a =+e,等价于对任意的(0,)x ∈+∞,2ln a x x ≥-e 且存在 0(0,)x ∈+∞,使得200ln a x x ≥-e ,等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a .2'()1g x x=-e ,令'()0g x =,得2x =e .↗极大值↘故()g x 的最大值为()ln g =-=e e e e e ,即a =e . ··························· 13分 (19)(本小题14分)(Ⅰ)由题意222224113a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩,解得:22a =,2b =,6c =故椭圆C 的标准方程为22182x y += ···················································· 5分 (Ⅱ)假设直线TP 或TQ 的斜率不存在,则P 点或Q 点的坐标为(2,-1),直线l 的方程为11(2)2y x +=-,即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得2440x x -+=,此时,直线l 与椭圆C 相切,不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在. 方法1:设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则 直线111:1(2)2y TP y x x --=--, 直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--,222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =,设直线1:2PQ y x t =+(0t ≠) 联立方程,2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时,122x x t +=-,21224x x t ⋅=-4= ········································································ 14分 方法2:设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =,设直线1:2PQ y x t =+(0t ≠) 联立方程,2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时,122x x t +=-,21224x x t ⋅=-故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠ 故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上,即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ······································································ 14分 20. (本题满分13分)(Ⅰ)A 是“N -数表 ”,其“N -值”为3,B 不是“N -数表”.························· 3分 (Ⅱ)假设,i j a 和','i j a 均是数表A 的“N -值”, ① 若'i i =,则,,1,2,',1',2',','max{,,...,}max{,,...,}i j i i i n i i i n i j a a a a a a a a ===;② 若'j j =,则,1,2,,1,'2,','','min{,,...,}min{,,...,}i j j j n j j j n j i j a a a a a a a a === ; ③ 若'i i ≠,'j j ≠,则一方面,,1,2,,'1,'2,','','max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=,另一方面','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=;矛盾. 即若数表A 是“N -数表”,则其“N -值”是唯一的. ······················· 8分 (Ⅲ)方法1:对任意的由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=.定义数表,1919()j i B b ⨯=如下,将数表A 的第i 行,第j 列的元素写在数表B 的第j 行,第i 列,即,,j i i j b a =(其中119i ≤≤,119j ≤≤)显然有:① 数表B 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表 ② 数表B 的第j 行的元素,即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素,即为数表A 的第i 行的元素④ 若数表A 中,,i j a 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值 则数表B 中,,j i b 是第i 列中的最大值,也是第j 行中的最小值. 定义数表,1919()j i C c ⨯=如下,其与数表B 对应位置的元素的和为362,即,,362j i j i c b =-(其中119i ≤≤,119j ≤≤)显然有① 数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表 ② 若数表B 中,,j i b 是第i 列中的最大值,也是第j 列中的最小值 则数表C 中,,j i c 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值 特别地,对由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯= ① 数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表 ② 若数表A 中,,i j a 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值 则数表C 中,,j i c 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值即对任意的19A ∈Ω,其“N -值”为,i j a (其中119i ≤≤,119j ≤≤),则19C ∈Ω,且其“N -值”为,,,362362j i j i i j c b a =-=-.记()C T A =,则()T C A =,即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362, 故可按照上述方式对19Ω中的数表两两配对,使得每对数表的 “N -值”之和为362, 故X 的数学期望()181E X =. ··························································· 13分 方法2:X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.记19Ω中使得X k =的数表A 的个数记作k n ,19,20,21,...,341,342,343k =,则218182136119[(18)!]k k k n C C --=⨯⨯⨯.则218182362361119[(18)!]k k k k n C C n ---=⨯⨯⨯=,则343343343362191919343343343191919(362)()kkkk k k kkkk k k nk nk nk E X nnn-======⋅⋅⋅-===∑∑∑∑∑∑,故34334319193433431919(362)2()362kkk k kkk k nknk E X nn====⋅⋅-=+=∑∑∑∑,()181E X =. ················ 13分。

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