1.1从梯子的倾斜程度谈起导学案(第一课时)

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北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起

第一章解直角三角形課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度即傾斜角的大小。

2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。

重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。

難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。

二、教學和活動過程：（一）教學準備：制做相應的課件（二）教學過程：第一環節：引入新課：課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解課件展示梯子實物，提問下列問題：實例1：（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：2.5m2m5m 5mFEDCBA（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？你是怎樣判斷的？學生四人小組討論設計意圖：1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三角形。

2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。

3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。

實例3：想一想：如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上，我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。

假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA C 2B 2C 1B 1A(2)111AC C B 和222AC CB 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。

《从梯子的倾斜程度谈起》学案.doc

《从梯子的倾斜程度谈起》学案九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》1.《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时学案一、学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.二、学习重难点：重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程（一）知识要点1.如图，在RtAABC中，如果锐角A确定，那么ZA的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做ZA的正切（tangent）,记作tanA,即tanA= A的对边.A的邻边注意：1.tanA是一个完整的符号，它表示ZA的正切，记号里习惯省去角的符号2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中ZA的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A” .4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，ZA是锐角的正切.梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡.（二）例题评析练习一:1.在 RtAABC 中，ZC=90° , AC=6. BC=8，则 tanA=2.在ZkABC 中，ZC=90° , BC = 16 cm, AC = 20 cm,贝I] tan A=, tan B=3._________________________________________________________ 在ZABC 中，ZC = 90° , BC= 12 cm, AB = 20 cm,则 tan A= _____________________________ , tanB=4如图，AABC是等腰直角三角形，你能根据图中必额箱，求出tanC吗cm,求底角的正切D C练习二 1.在 RtAABC 中，ZC=90° , BC： AB=3： 5,则 tan A=, tanB= __________知三角形三边的比是25 ： 24 ： 7,则最小角的正切值为例 3.在 RtAABC 中，ZC=90° , BC=3, tan A=练习三：1.已知 tan A=2 3 .如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD = 4 cm, DE = 6 cm, AB = 8 cm,求 tan A 的值.5,求AC。

教案(1.1 从梯子的倾斜程度谈起第1课时)

第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起第一课时刘小鹏教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法探索法.教具准备PPT演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用PPT课件动画演示本章的章头图，提出问题[问题]随着改革开放的深入，建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.你能应用数学知识和适当的途径得到大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).2．自主探究，合作交流用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB 比梯子EF 更陡. [师追问]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡.[生可能回答]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC 、FD 的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡.[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? [生]先自主探究，再小组交流意见[师提示]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢? [生可能回答]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡. [生计算][师]多媒体演示：想一想如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)和111AC C B 222AC C B 和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.[生]独思，独做[生]小组评议 [生]全班交流（在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2. 相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC C B C A C B C A AC C B C B ==即.如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)，222111AC C B AC C B =总成立.）（∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.）3．得出结论。

从梯子的倾斜程度谈起

《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时——教案设计武进区寨桥初级中学王小松一、教学目标1、经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的意义。

2、能运用tanA表示直角三角形的两边比，并进行简单的计算及运用。

3、经历将实际问题转化成数学问题过程，培养学生自主探究的能力及数形结合的思想。

二、重点难点1、理解tanA的意义。

2、能运用tanA进行简单计算及解决一些实际问题。

三、教具准备例题投影片、实物展示台、数码投影仪四、教学过程Ⅰ课堂导入师：大家听到这样一个消息没有，常州红梅公园对外免费开放了。

红梅公园中现在有两座高塔，其中一座叫做文笔塔。

同学们，有谁能利用所学的知识来求得文笔塔的实际高度吗生：（可能会用相似的方法）我明白这位同学的意思，也就是用相似的方法来求塔高。

师：但利用影子的方法来求塔高的要求很高，比如高塔旁不能有建筑物和树，而实际上文笔塔旁既有建筑，也有树。

师：70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗生：。

师：这大厦名叫金茂大厦，它的高度要比文笔塔高得多。

大家能应用所学得的知识求出金茂大厦的实际高度吗生：。

师：通过本章的学习，相信大家一定能够解决以上这些问题。

今天这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起，继续来研究直角三角形的相关知识。

(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起)。

Ⅱ讲授新课师：梯子是我们日常生活中常见的物体。

我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，他们是如何判断的呢“陡”或“平缓”是用来描述梯子的倾斜程度的。

现在我们也一起来研究一下梯子的倾斜程度。

请同学们拿出课前发给大家的材料。

师:在图中，梯子AB和EF哪个更陡你是怎样判断的你有几种判断方法（请同学们在讨论时，结合图中所反映的信息来寻找判断梯子陡的方法）（1）（2）（3）（4）(学生讨论5分钟)师：经过刚才的讨论，大家一定得出了判断哪个梯子陡的方法了。

1.1从梯子的倾斜程度谈起 (1)

在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子的铅直高与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡。比值大的梯子陡。
4m
3m
课堂小结
直角三角形的边角关系
根据图形回答下列问题: 1、直角三角形三边的关系. 2、直角三角形两锐角的关系. 3、直角三角形边与角之间的关系. 4、特殊角300,450,600角的三角函数值.A 5、互余两角之间的三角函数关系. 6、同角之间的三角函数关系
450
450
B c
a
b
300
┌ C
┌
600
┌
课堂练习
习题1.3 1,2题
A D
1.计算;(1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300; 36 tan2 300 3 sin 600 2 cos450. 2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端 A,B,夹角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
根据上面的计算，完成下表
特殊角的三角函数值表
三角函数正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 锐角α
300 450
要能记住有多好
600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
这张表还可以看出许多知识之间的内在联系?
例题欣赏
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450.

《从梯子的倾斜程度谈起》北师大九年级数学下册教学设计(1)

第一章解直角三角形课题：1、1从梯子的倾斜程度谈起——第一课时一、教学目标：1、通过具体问题情境,抽象出锐角的正切的概念，并让学生进一步体会用直角三角形两直角边的比值来刻画梯子的倾斜程度即倾斜角的大小。

2、使学生理解从特殊到一般是认识事物的基本方法。

重点：通过丰富的实例，抽象出锐角的正切的概念。

难点：使学生理解：在直角三角形中，当锐角A 固定时，它的对边与邻边的比值也是一个固定值。

二、教学和活动过程：（一）教学准备：制做相应的课件（二）教学过程：第一环节：引入新课：课件播放1分钟的录象，说明梯子是我们日常生活中常见的物体第二环节：新课讲解课件展示梯子实物，提问下列问题：实例1：（1）在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？实例2：（2）在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？2.5m2m 5m5mFEDCBA1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA你是怎样判断的？学生四人小组讨论设计意图：1、课件展示梯子实物，教师应引导学生分析后，抓出关键的直角三角形。

2、实例1学生还可能有的思路： 1）测量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然后比较∠EMD 与∠F 的大小。

3、实例2学生也会有许多自己的想法，教师应给学生充分的发挥空间，让他们各抒己见，从而使课堂气氛达到第一次高潮。

实例3：想一想：如图(见课本)：如果现在有一个梯子搭在城墙上，我们手头只有皮尺与计算器，请同学们思考我们可以通过测量哪些数据来刻画梯子的倾斜程度呢？学生答：过B 1点沿着墙面向地面引垂线B 1C 1，连接AC 1，测量B 1C 1与AC 1的长度，计算B 1C 1与AC 1的比值，来刻画梯子的倾斜程度。

假设我们的皮尺比较短，或不想爬到城墙上，还可以测量哪些数据来刻画梯子的倾斜程度呢？为什么？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什么关系? (2)111AC C B 和222AC C B 有什么关系?C 2B 2C 1B 1A(3) 如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什么结论? 设计意图：原来教材上的问题是：小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B 2C 2及AC 2,算出他们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? 教师做了适当的改编，以实际测量的问题的形式给出，增强趣味性。

北师大版九年级数学下册1.1从梯子的倾斜程度谈起(第一课时)导学案

1、勾股定理： _____________________________________________________；应用勾股定理的前提是_________________________. 2、相似三角形的对应边________ _______.
3、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，________是斜边，∠A 的对边是________，AC 是∠A 的_________. 自主学习：
A B
C
自我评价：
小组长评价：
情境导入：
下图中，梯子 AB 和 EF 那个更陡？你是怎样判断的？
合作探究：
合作探究一：
如图 1，BC、DE、FG、HI 都与 AC 垂直，容易证明
ABC ______ADE ；从而可得：
BC AC .所以， _____ DE AE
BC DE BC DE .进而可得： ____ ______ _____ AC AE AC AE
(图 4)
.
即学即用：例 1 图 4 表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯
比较陡？解：甲梯中， tan __________. 乙梯中， tan __________ . 因为 tan _____tan ，所以梯更陡.
知识拓展：
正切也经常用来描述山坡的坡度（即坡面铅直高度与水平宽度的比） .那么，如果有一山坡在水平方向上每前进 100m 就升高 60m，则山坡的坡度，路基高是 4 米，则路基的下底宽为米.
5、 (40 分)如图，是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高， BD=2， CD 若 tan∠BCD=
1 ，求 AB 的长. 2
课后作业：
课本第 6 页，习题 1.1，知识技能，1、2.

1-1-1从梯子的倾斜程度谈起1

上街实验初级中学导学案
总第1 课时课题1.1从梯子的倾斜程度谈起（1）班级：姓名：编制教师：
1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（）
A 、扩大2倍
B 、缩小2倍
C 、扩大4倍
D 、没有变化
2．在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=5，则tanB=( ) A.54 B.53 C.34 D.4
3
3.在Rt △ABC 中，∠C=90º，tanA ·tanB 的值（）
A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定
4.如图所示:在坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相邻两树间的坡面距离是( )米.
5.已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且坡度为3：4，现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?
6．如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠DBC=45º，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交AB 、AC 于F 、E ，若AD=2，BC=8，求：（1）BE 的长
（2）∠CDE 的正切值
B。

九年级数学《1.1从梯子的倾斜程度谈起》学案北师大版

10图2C 图1第一章直角三角形的三边关系1.1从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比．问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？问题1：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)111AC C B 和222AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？结论：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作：，即ta n A ＝．注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．2．tan A 表示一个比值，没有单位。

3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”．4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切．练习：1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC 如图 (2), tanA ＝BC:AB如图 (2), tanB ＝10:7如图 (2), tan A ＝AC:BC2.填空:1.tan =AC:BCtan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB.tan ∠ACD= , tanB=3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值．思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？。

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)学案

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（一）学习目标1、理解锐角三角函数（正切）的意义，并能够举例说明2、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比，并会进行简单的计算学习重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义学习过程一、自主学习学习指导：按书中内容，完成添空。

1、梯子的倾斜程度梯子是我们是日常生活中常见的物体。

（1）在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？（2）在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？归纳小结：如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值，则梯子越陡；如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值，则梯子越陡；如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值，则梯子越陡； 2、想一想如图1-3,小明想通过测量11C B 及1AC ，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量22C B 及2AC ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？（1）直角三角形11C AB 和直角三角形22C AB 有什么关系？ (2)111AC C B 和222AC CB 有什么关系？（3）如果改变2B 在梯子上的位置呢？比值。

由此我们得出结论：当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也。

二、小组合作通过对前面的问题的讨论，我们知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。

当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。

这一比值只与倾斜角的有关，而与直角三角形的大小。

正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）A tan 表示的是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

（4）通常用倾斜角的正切值来表示一个物体的倾斜程度，也经常用坡角的正切来描ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边2述山坡的坡度（山坡坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，也称坡比）．tanA 的值越大，梯子越陡 ☆巩固练习一 1、如图1，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2）若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；3）若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；2、如图2，在△ACB 中，tanA = 。

初中数学九年级下册《从梯子的倾斜程度谈起》精品导学案

学校时间授课人课题§1.1-1从梯子的倾斜程度谈起课型新授课教学目标重点难点及策略1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.2.经历由特殊到一般地探究、归纳过程，形成知识的结构体系，发展合情推理能力.3.能用角的正切表示直角三角形中两边的比，理解生活中物体的倾斜程度、坡度等概念，能用正切进行简单的计算. 【教学重点】经历概念的形成过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.【教学难点】灵活应用正切的意义，并用它来解决实际问题. 【教学策略】互动、生成、内在建构教学法教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图课前回顾展示问题：直角三角形有哪些性质？试从不同角度进行归纳. 思考、回顾，并在小组内交流.回顾已知，为知识的整体建构做准备.第一环节：经历由特殊到一般的探究过程，对概念形成整体感知核心过程推进开放的延情境引入：哪个梯子的倾斜程度更大?梯子的倾斜程度由什么决定？问题探究：1.在直角三角形中，45°角的对边与邻边的比值是多少？改变三角形的大小，这个结论还成立吗？┓45°ABC ┓45°ABC ┓45°ABC图（1）图（2）图（3）2. 在直角三角形中，30°角的对边与邻边的比值是多少？（必要时可以使用计算器，结果保留两位小数）改变三角形的大小，这个结论还成立吗？┏30°ABC ┏30°ABC ┏30°ABC图（4）图（5）图（6）3.小组合作：画出一个锐角，分别作出包含思考，结合已有经验进行回答.预设资源：等腰直角三角形两条直角边相等，因此，45°角的对边与邻边的比值是1.预设资源（1）：展示测量和计算结果.预设资源（2）：利用边角关系和勾股定理.由生活中的问题入手，引出本节课的课题.明确本章的学习内容——直角三角形的边角关系.由特殊角45°和30°引入，让学生经历由特殊到一般地探究过程，在过程中体验：直角三角形中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定.伸这个锐角的不同．．的直角三角形，这个角的对边与邻边的比值是多少？由此你得到了怎样的结论？展示你们小组的结果. 预设资源（1）：利用数据，得到结论.预设资源（2）：利用相似三角形对应边成比例.第二环节——聚类分析，提炼正切的概念及性质1.正切的概念.如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即tan A=的邻边的对边AA∠∠.2.∠B的正切怎样表示？tan A与tan B有怎样的关系？3.梯子的倾斜程度与角的正切值有怎样的关系呢?图（1）图（2）AB CDE FAB CDE F图（3）图（4）AB CDE FAB CDE F通过合情推理，引导学生得到正切的性质.识记概念.根据概念，分组合作，完成练习，并运用合情推理，归纳出正切的性质.使学生在探究过程中明确研究问题的方向，发展实践能力和创新精神.让学生在练习中熟悉概念，并归纳出性质.第三环节——实践巩固1.如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？2.正切也经常用来描述山坡的坡度.如图，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，你会怎样描述这一山坡的倾斜程度？坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比.应用上述知识，解决实际问题.预设资源：学生对定义中的关键边不明确，误用斜边.在具体问题中明确坡度与坡角的关系.密切联系生活实际，使学生能灵活应用正切的意义，并用它来解决实际问题.。

北师大版九年级下册数学1.1 从梯子的倾斜程度谈起学案1

1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?8、探究:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________. ⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________. ⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式. E D B A CBC BD A CE F。

解直角三角形《1从梯子的倾斜程度谈起(1)》导学案

第二章解直角三角形§1 从梯子的倾斜度谈起（一）◆ 导学目标：一、掌握正切、余切概念二、理解倾斜程度、坡度的数学意义。

◆ 课前预习：一、阅读教材P2—P6二、你是如何判断两个搭的梯子谁要陡一些？三、什么是正切、余切？怎样表示？四、什么是山坡的坡度？在预习中遇见了什么问题吗？请将它写下来。

____________________________________________________________.◆ 课堂导学：一、知识点：1注意：锐角的正切、余切是在直角三角形中定义的，因此运用正切、余切解题时必须注意直角的条件。

2、坡度的概念：坡度、坡角的概念。

注意结合图形理解。

坡度也叫坡比，用i 表示，即lh i =，h 是坡面的铅垂高度，l 是对应水平面宽度（如上图所示）；坡角指坡面与水平面的夹角；坡度与坡角（用α表示坡角）的关系：αtan =i注意：αtan 的值越大，梯子越陡。

二、典型例题：例1：根据图中条件求B A B A cot ,cot ,tan ,tan 的值。

注意：特殊角（︒︒︒60,45,30）的正切值、余切值要熟记。

例2：如图，在ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，已知3,7==BD BC ，则例3：如图，AC AB AABC Rt =︒=∠∆,90,，D 是AC 的中点，求DBCDBA ∠∠tan,tan◆ 当堂导练：1、在6,10,8,===∆BC AB AC ABC ，则=A tan ，2、在ABC Rt ∆中，,53,90=︒=∠AB BCC 则=A cot3、根据图中条件求B A B A cot ,cot ,tan ,tan 的值4、如图，ACB ABC ︒=∠∆,90,2,22tan ==BD A ，求CD◆ 课后练习：一、基础训练1、在ABC Rt∆中，2,5,90==︒=∠b a C ，则=B tan ，=B cot 。

2、如图，斜坡AB 的长为13则斜坡的倾斜度为。

九年级数学上册 1.1《从梯子的倾斜程谈起》学案鲁教版

一、学习目标：1、能利用解直角三角形的知识解决坡度问题2、解决生活中的方位角问题二、知识链接：1、如图，坡度i= =2、在图中标出北偏东30°、东南方向。

3、某人沿坡度i=1：3的山坡向上走了100米，则他上升的高度为三、探究新知：探究一：如图,水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶DC=6m,坝高22m,斜坡AD的坡比为1:3,斜坡BC的坡比为1:2.5.求坝底宽AB的斜坡AD的长，及坡面AB的坡角。

.反思：①坡度问题转化为解直角三角形的问题②梯形问题转化为直角三角形和矩形的问题巩固新知一：如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD＝6m，斜坡CD＝12m，坡AB的坡比为i＝1：3，∠ADC=120°，求：（1）、坡角∠B的度数（2）、若坝长100m，则修建这个大坝共需多少石料？α北东A D探究二：如图:海中有一个小岛A,它的周围10海里内有暗礁,今有货船由西向东航行,开始在A 岛南偏西60°的B 处,往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C 处,之后,货船继续向东航行，你认为货船继续向东航行途中会有触礁的危险吗?反思：①解决此类问题的辅助线做法②判断是否触礁的方法巩固新知二：如图：去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生交往，学校准备在相距2千米的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量，在A 地北偏东60°方向，B 地的西偏北45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划建筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？五、运用新知： 1、一大坝需要加宽背水坡，：3变为1：2，求加宽部分的面积2、一船自西向东航行，在A 处测得小岛B 在北偏东60°方向，航行2小时后到达点C ，此时B 在C 的北偏东15°方向，已知航速为每小时40海里①求B 与C 之间的距离②若船继续向东航行，求船与小岛之间的最短距离A BC 北北六、回顾反思：1、这节课运用哪几方面知识解决实际问题？在解决问题中运用了哪些解题方法？2、学习过程中你在哪些方面遇到了困难？。

从梯子的倾斜程度谈起(1)学案

1.1 从梯子的倾斜程度谈起（1）学号______姓名_________【学习目标】1、经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2、能够用tan A 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算. 【预习导航】 1、问题探索：（1）AB 、EF 表示梯子，AC 、ED 表示支撑梯子的物体，BC 、FD 在地面上.①如图1，你能比较两个梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？②你能再判断下图中哪个梯子更陡吗？（2）合作交流：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子AB 1的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子AB 1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? ①111AC C B 和222AC C B 有什么关系? ②如果改变B 2在梯子上的位置呢? ①中关系是否还成立？ ③若∠A 的大小改变，111AC C B 怎样变化？①中关系是否还成立？由此你能得到什么结论？2、知识技能在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么锐角A ___________________的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A =___________.明辨是非：（1）如图6，tan ACB BC =（）（2）如图7，tan BCB AC= （）例1 （1）填空：如图8，①( )( )( )tan ( )( )( )A === 图1图2 图3 图4 C 2B 2C 1B 1A图5A BC图6A BC图7A C BD图8②tan______= tan_______=BD CD（2）如图9，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，求tan B, tan A, tan B与tan A有什么关系？3、数学理解思考：你能根据所学知识判断梯子的倾斜程度与倾斜角的正切值有什么关系吗？思维延伸已知：如图10，△ABC是等腰三角形，AC=24，tan C=5 12，求BC.4、联系拓广请阅读下列材料，并回答相关问题：在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图11，我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度（或坡比），用字母i表示，即h i=l.（1）如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度与坡角有什么关系？（2）若i=1:3，则tanα=_____.例2（1）如图12，AB、ED甲、乙两个斜坡，_______个斜坡比较陡.（2）若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.5、学习小结：(1)正切的定义AB C图9ABC图10图11i=3:4 图12从梯子的倾斜程度谈起（1）随堂测试1、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则tanA=______.2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求tan∠BCD．3、已知等腰三角形的一条腰长为20 cm，底边长为30 cm，求底角的正切值．4、如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程．从梯子的倾斜程度谈起（1）随堂测试1、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则tanA=_____.2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求tan∠BCD．3、已知等腰三角形的一条腰长为20 cm，底边长为30 cm，求底角的正切值．4、如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程．。

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课题：从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
序号：58 日期：2013-11-26
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.正确理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2掌握正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
正确理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习过程:
（一）、预习导航
生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
1.3m 1.5m 3.5m
4m
A
B C D
E
F A
B 1
C 2
C 1
B 2
⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
（2）如图2，底与高都不等的两个梯子，哪一个倾斜程度大？
（图2）
问题3：请你来给梯子的倾斜程度下个结论吧。

二、自主学习
（一）你理解理解正切的概念吗？想一想？
如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt △AB1C1和Rt △AB2C2有什么关系?
?).2(2
2
2111有什么关系和AC C B AC C B
A
B 1
C 2
C 1
B 2
β 6m
┐ 5m 13m
┌
α
8m
甲
乙
100m
60m
┌
α i （3）如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢? 由此你得出什么结论?
结论：在Rt △ABC 中,锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA,即
的邻边的对边
A A A ∠∠=tan
（二）分小组讨论：如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA 有关吗?
结论：
（三）：下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
（四）正切也经常用来描述山坡的坡度.（自学下面例题）
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m,那么山坡的坡度i (即tan α)就是:
结论：坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,度的比称为坡度i (
或坡比),即坡度等于坡角的正切.
B
C
∠A 的邻边
∠A 的对边
.
5
3
10060tan ===αi
三、课堂检测：
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
5、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.
6、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34
,现有一小球从坡底A
处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?
7、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)
课堂小结
B。