微积分A(1)第3次习题课-闫浩手稿
微积分B(2)第二次习题课题目(第六周)
微积分B（2）第二次习题课题目（第六周）一、隐函数求导、方向导数与梯度1.（1）设函数),(y x f z=是由方程2222=+++z y x xyz 确定的,则函数),(y x f z =在点)1,0,1(-的微分dz =（2）设方程⎪⎩⎪⎨⎧==--0),(0),(y z xy G z y x y F 可以确定隐函数)(),(y z z y x x ==，求dy dz dy dx ,.（3）．),(y x f z =，xy v x y u ==,2，求vzu z ∂∂∂∂,。
（4）),,(z y x f u =，若)cos ,cos ,(cos γβα=l ，其中1cos cos cos 222=++γβα，求u l22 ∂∂2.设(,,)f x y z 可微，123,,l l l 为3中互相垂直的三个单位向量，求证：222222123(()()(()(f f f f f f x y z∂∂∂∂∂∂++=++∂∂∂∂∂∂l l l .二、微分学的几何应用3．给出zx yz xy e z++=确定的隐函数),(y x f z =存在的一个充分条件是，曲面),(y x f z =在点)0,1,1(处的切平面方程，),(y x f z =在点)1,1(处的梯度。
4.设直线L ：⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，且平面π又与曲面S:22y x z +=相切于点(1,-2,5)。
求a,b 的值。
5.求过直线:L ⎩⎨⎧=++-=--101523z y x z y x ,且与曲面S :2022222=+-z y x 相切的平面的方程.6．过曲面:S 632),,(222=++=z y x z y x F 上点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量为n ,求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数.7.（1）求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθk z a y a x sin cos 在2πθ=处的切线方程是( )和法平面方程是()（2）求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++021244222z y x z y x 在)1,1,1(M 处的切线方程和法平面方程。
(理工)清华大学出版社2016年教材书目
（/图
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高等院校土建类创新规划教材 基础课系列
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微三习题课3 答案
)
x= y
3．（1） I = ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z )dxdydz ，其中积分区域 Ω 是由 0 ≤ x ≤ a ， 0 ≤ y ≤ b ， a b c abc 所确定。 答案 I = ( + 2 ⋅ + 3 ⋅ )abc = (a + 2b + 3c) 。 2 2 2 2 【解】求解积分可得：
Ω1 Ω2
【解】应用对称性。 观察发现积分区域 Ω1 关于 x 轴，y 轴对称，x 关于 y 轴是奇函数，y 关于
x 轴是奇函数，xyz 关于 y 轴和 x 轴均为奇函数。因此 A，B，D 选项的左边均为 0，而右边显然大于 0，所以 A，B，D 均不正确。又因为 z 关于 x，y 均为偶函 数，所以可得选项 C 正确。 9. 由柱面 y = x ， y = 2 x ， x + z = 4 与坐标平面 z = 0 所围成立体图形之体积 为（ C ）。 32 64 128 256 。 (C) 。 (D) 。 (A) 。 (B) 15 15 15 15 4 4− z 2 x 128 【解】 V = ∫ dz ∫ dx ∫ dy = 0 0 x 15
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx
（C） ∫ dy ∫π
2
（D） ∫ dy ∫π
0
1
π − arcsin y
2
【解】答案：B。二次积分交换积分次序的过程： 二次积分 ⇒ 确定区域、二重积分 ⇒ 二次积分。
4
∫
π
π
2
dx ∫
1
sin x
f ( x, y )dy = ∫ dy ∫
0
1
π
π −arcsin y
微积分A(2)第3次习题课答案
)
]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 a - 2 x 0 G ¢( x0 + y0 + z0 ) b - 2 y 0 G ¢( x0 + y0 + z0 ) c - 2 z 0 G ¢( x 0 + y0 + z0 )
a x1 - x 0
b y1 - y 0
g z1 - z 0
=0
3 / 14
作者：闫浩, 章纪民
2 2 2 3. S 由方程 ax + by + cz = G x + y + z 确定, 试证明：曲面 S 上任一点的法线与某定直
æ x-a y-bö , ÷ = 0 上任意一点 è z -c z -c ø
(
)
线相交。 证明: 曲面上任意一点 P ( x0 , y 0 , z 0 ) 的法线为
x - x0 y - y0 z - z0 = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a - 2 x 0 G ¢( x 0 + y 0 + z 0 ) b - 2 y 0 G ¢( x 0 + y 0 + z 0 ) c - 2 z 0 G ¢( x0 + y0 + z0 )
ö ÷( z - z 0 ) = 0 ÷ ø
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以得到：
f 1' ( P0 )(a - x 0 )( z - z 0 ) + f 2' ( P0 )(b - y 0 )( z - z 0 ) = 0.
易见当 x = a, z = c, y = b 时上式恒等于零。于是知道曲面 f ç 处的切平面通过一定点，此定点为 ( a, c, b) ．
清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)
得 x
a
, 2
y
b
2
，因此 x
y
a b , 即 inf( A
B)
ab
inf
A inf
B.
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明：
（1） inf AB inf Ainf B ； （2） sup AB sup Asup B
（3） 0 0 ，使得{an}中除有限项外，都满足| an A | 0 ；
（4） 0 0 ，使得{an}中有无穷多项满足| an A | 0 ；
解：（4）等价。
7．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．
证明：不妨设an 为一单调增加数列， ank
为
an
的一个子列，且
lim
作者：闫浩 2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的
基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中
数学较为简单，本次习题课也准备了一些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔
，对于
ab
x A, y B 使 得
x
a
a
b
,
y
b
”的技巧。 ab
二、数列极限的定义
4．用极限定义证明
(1) lim ( n 1 n ) 0
n
证明： 0 ，由于
| n 1 n |
1
1，
n1 n n
欲使 |
n 1
n | ，只需
1 ，即 n
n
1 2
清华大学微积分A习题课_11高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组
( y*) ( Ax 2 e 2 x ) ( Ax 2 )e 2 x Ax 2 (e 2 x ) 2 A( x x 2 )e 2 x ( y*) [2 A( x x 2 )e 2 x ] [2 A( x x 2 )]e 2 x 2 A( x x 2 )(e 2 x ) 2 A(1 2 x)e 2 x 4 A( x x 2 )e 2 x 2 A(1 4 x 2 x 2 )e 2 x
特征根为： 1 1， 2， 3 1 i . 所以其实基本解组为：
e t , e t cos t , e t sin t ，
t t
原方程的通解为： y C1e C 2 e （4）求 y' '
cos t C 3 e t sin t .
x 1 y' y 0 的通解。 1 x 1 x
'' ' t 2t
（3）求解方程 x 4 x 4 x e e
2
1
解：特征方程 4 4 0 ， 1, 2 2 ， 故有基本解组 e ， te ， 对于方程 x 4 x 4 x e ，因为 1 不是特征根，故有形如 x1 (t ) Ae 的特解，
作者：闫浩, 章纪民
2013 年 9 月
微积分 A(1)第十一次习题课参考答案（第十六周）
教学目的:本次习题课练习的是高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组。希望大家掌握 的是齐次线性微分方程的特征根法；对特殊的非齐次项需要掌握待定系数法，特殊方程应 掌握欧拉方程。对于二阶微分方程，当知道一个特解时，应会变动常数法求通解；线性微 分方程组应会基解矩阵的求法。除此之外，应掌握解的结构问题。本次习题课也是本学期 最后一次习题课。 一、高阶线形微分方程 1.求解下列方程. （1） x 5 x 8 x 4 x 0 解：其特征方程为：
微积分3第四次习题课答案(2011春)_195108059
⎧y 2 = 2 z 13.设 Ω是由曲线⎨ 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z = 4 所围成的立体。则 ⎩x = 0
∫∫∫ ( x
Ω
2
。 + y 2 + z )dv =（ D ）
(A)
256π . 4
(B)
256π . 8
2
(C)
2
256π . 2
2π
(D)
256π . 3
2
【解】旋转成曲面方程为 x + y = 2 z ，用柱坐标表示为 r = 2 z
∫∫∫ z
Ω
1 0
x 2 + y 2 + z 2 dxdydz 在 球 坐 标 系 下 的 表 达 式 为
∫
2π 0
dθ ∫ 6 sin φ cos φdφ ∫ ρ 4 dρ ；其值 I 等于
0
π
π
20
。
r
【解】球面 x + y + z
2
2
2
= 1 与锥面 z = 3( x 2 + y 2 ) 在
2 2
作者:闫浩 (2011 年 3 月)
7.求三重积分:
I = ∫∫∫ ( x + y + z )dv , 其中
Ω
2 2 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪0 ≤ z ≤ 1 − y − x Ω = ⎨( x, y, z ) ⎨ 2 2 ⎪ ⎪ ⎩z ≥ x + y ⎩
⎫ ⎪ ⎬. ⎪ ⎭
解：由函数与域的对称性；
I = ∫∫∫ ( x + y + z )dv = ∫∫∫ z dv
2 2
上半空间交成旋转扇形面 球冠部分底面圆为 x + y + z 交线是半径为 r =
8,多元函数的微分学-习题课
y x
y x
cos
y x
,
微
zy
y
x sin
y x
cos
y x
,
积
分
曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为
n { sin y0 y0 cos y0 , cos y0 , 1 }
x0 x0 x0
x0
－理学院工科数学教学中心－
n
{ sin
y0 x0
x4
f1 x
( x2 )
f2
x2
f2 x
滨 工 程
4 x3
f1
x4
[
f1 u
u x
f1 v
v x
]
大
学
u
xy,
v
y x
;
2 xf2
x2
[ f2 u
u x
f 2 v
v x
微
u x
f s
s x
f t
t x
,
v
x
g
x
g
x
.
u x
f1 (u
x
u x
)
f
2
v x
,
v
x
g1
(
u x
1)
g2
2 yv
清华大学微积分A习题课_10一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 物理应用
2 2
∫ x dx
1
1
(x y )′ = sin x ,
∫
1 (− cos x + C ) . x
解（4）方程为可分离变量微分方程
从而 ∀x ∈ (0, δ ), y ( x ) − f ( x ) > y (0) − f (0) = 0. 此时 ∀x ≥ 0, y ( x ) ≤ Ax 2 不成立。因此 A 的最小 1 值是 − . 2 4．设 y ( x) = c1e
− x2
2
+ c 2 是某个方程的解,求该方程.
2 − x2
(x + C)2 (x + C)2 ; y < 0, y = − ; 另有一解 4 4 （2） xy ′ = y (ln y − ln x ) . y y y=x u(x) 解（2）法 1: 原式 ⇒ y ′ = ln u ln u → u + xu′ = x x du dx ⇒ ln ln u − 1 = ln Cx ⇒ y = xe1+C x ⇒ = u (ln u − 1) x dx dy 法 2: 原式 ⇒ = (ln y − ln x ) y x du = ln y , v = ln x → = u −t ⇒ d (ln y ) = (ln y − ln x )d ln x u dt
y ′′ = 2 x + 2 yy ′ = 2 x + 2 y ( x 2 + y 2 ) , x > 0, y ′′ > 0 , y = y ( x) 下凸; x < 0, y ′′ < 0 , y = y ( x) 上凸.
《微积分》各章习题及详细答案之欧阳治创编
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
清华大学微积分第1次习题课答案
（5） lim
x y
x y . x xy y 2
2
解： （1） （2）
( x , y ) (1,0)
lim ( x y )
x y 1 x y 1
( x , y ) (1,0)
lim (1 ( x y 1))
1 ( x y 1) x y 1
2
因此 lim
x y =0. x x xy y 2 y
2
y 0 x 0 x 0 y 0 x 0 y 0
4.讨论下列函数的累次极限 lim lim f x, y , lim lim f x, y 与二重极限 lim f x, y
1 1 x sin y sin , x y 0 y x （1） f x, y = 0, x y 0 x2 y 2 （3） f ( x, y ) 2 2 . x y ( x y)2
即 U ( a, 0 ) f
1
(G ) ，即 f 1 (G ) 是 R n 中的开集，证毕。
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作者：闫浩, 章纪民
2014 年 3 月
二、多元函数的极限与连续 3. 下列极限是否存在？若存在，求出极限值；若不存在，说明理由。
（1）
( x , y ) (1, 0 )
lim ( x y )
n m m
f 1 (G ) {x R n | f ( x) G} 是 R n 中的开集。
证明: 由于 f : R R 是一个连续映射，由定义，有 a R ， 0, 0 ，当
n m
n
d n ( x, a ) 时，有 d m ( f ( x), f (a )) 。
清华大学微积分考试真题3
bn m bn an1q
n 1
an 2 q
n 2
an m q
nm
M q
n 1
1 qm 1 q
M n 1 q ． 1 q
由此易证数列 bn 是一 Cauchy 列，所以收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n 1 a n q a n a n 1 ( n 1,2, ) ， 其中 0 q 1 ， 试证数列 {a n } 收敛． 证明： 0 ，因为
k →∞ k →∞
存在。 9. 证 明 ： 有 界 数 列 {an } 若 不 收 敛 ， 则 必 存 在 两 个 子 列 ank
{ } 、 {a } ， 使 得
mk
lim ank = a, lim amk = b 且 a ≠ b 。
k →∞ k →∞
10.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛。 （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛
n →∞
a1 + a2 + L + an = A ，证明： lim an = A 。 n →∞ n
二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖） 4． 设 an = 收敛． 5．设 bn = a 0 + a1 q + a 2 q 2 + L + a n q n ，其中 q < 1 且数列 {a k } 有界，试证数列 {bn } 收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n +1 − a n ≤ q a n − a n −1 ( n = 1, 2, L) ， 其中 0 < q < 1 ， 试证数列{a n } 收敛． 7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。 （1）对于任意的 p ∈ ¥* ，均有 lim( an + p − an ) = 0 。
(1)多元函数微分学复习课
x y O
x2 y2 4 x
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例2
f (x, y) x2 ( y 1) arctan
y x
,
求
fx (2,1).
解1
fx
(x,
y)
2x
(y
1)
1 1
y
(
y x
)x
x
2x ( y 1) x 1 xy 2
x y
(
y x
)x
2x ( y 1) x 1 xy 2
i jk
i jk
T Fx Fy Fz
4 2 2 (0, 6, 6)
Gx Gy Gz (2,1,1) 1 1 1
所求切线方程为
x 2 y 1 z 1 0 6 6
法平面方程为 6(y1)6(z1)0, 即 yz0.
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知识点
例7 求椭球面 x22y2z21 上平行于平面 xy2z 0 的 切平面方程.
作拉格朗日函数 F(x, y, z)xyz(2xy2yz2xza2),
Fx(x, y, z) yz 2(y z) 0
解方程组
FFzy((xx,,
y, z) y, z)
xz xy
2(x 2( y
z) x)
0 0
,
2xy2yz 2xz a2
得 x y z 6 a , 这是唯一可能的极值点. 6
解 设所求切点为(a, b, c), 法向量
n (2x, 4 y, 2z) (a,b,c) (2a, 4b, 2c)
已知平面法向量 n1 (1, 1, 2). 由题设 n // n1, 得
2011闫浩微积分习题及答案2
n →∞
二、数列极限的运算（四则运算）与数列极限存在的充分条件（单调有界定理，夹逼准则） 4．求极限 lim ( a1 n + 1 + a 2 n + 2 + L + a m n + m ) ，其中 a1 + a2 + L + am = 0 ．
n→∞
解：因为 a1 + a2 + L + am = 0 ，所以 ( a1 + a2 + L + am ) n + 1 = 0 ． 从而 lim ∑ a k n + k = lim ∑ a k n + k − a k
(3) lim
n →∞
k = n2
∑
1 k
(4) lim
n →∞
∑ [(nk + 1)
k =1
n
−Байду номын сангаас
1 k
+ (n k − 1) k ]
−
1
解： （1）解法 1：因为
2=
1+ 3 3+5 (2n − 1) + (2n + 1) > 1 ⋅ 3 ，4 = > 3 ⋅ 5 ，…，2n = > (2n − 1)(2n + 1) ， 2 2 2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) < = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2n ) 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ L ⋅ (2n − 1)(2n + 1) ) 1 2n + 1 = 0 ，所以 lim 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ (2n − 1) =0． n → ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2 n)
则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
第12页
例2 已知 w f ( x y, y z,t z)
求
w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w
w
z f2 f3 t f3
w x
w y
w z
w t
即
x y z 3
第31页
切平面在三个坐标轴上截距分别为
3 3 , 3 3 , 3 3
故切平面与三个坐标面所围成四周体体积为
V 1 底面积 高 1[1 | 3 | | 3 | | 3 |]
3
32
9 | | 9 是一个常量
2
2
第32页
例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 拟定
0
例3 已知 z sin(ax by c) 求
mnz x m y n
第13页
解 z a cos(ax by c)
x a sin(ax by c )
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2 )
2
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
2
)
m 1 z
xmy
a m b sin(ax
by
c
边所正确圆心角，则
x yz
三角形面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
第21页
问题就是求A在条件
x y z (0 x, y,z )
微积分吴迪光版答案chap 03 04 习题课 (秋冬)
2
2
4
4
4
4
4
由于
(sin ax)'= a sin(ax + π ) 2
(sin ax)''= a 2 sin(ax + 2 ⋅ π ) 2
(sin ax)(n) = a n sin(ax + n ⋅ π ) 2
故 y(n) = 1 (sin 2x)(n) + 1 (sin 4x)(n) − 1 (sin 6x)(n) = 1 2n sin(2x + n π ) + 1 4n sin(4x + n π ) − 1 6n sin(6x + n π ) #
∆x →0
∆x
∆x →0
∆x
∆x→0
− ∆x
（3）若 f(x)为偶函数，f’(0)存在，我们证明 f’(0)=0
f ’(0) ＝ lim f (∆x) − f (0) ＝ − lim f (−∆x) − f (0) ＝－f ’(0). 所以 f’(0)=0
∆x→0 ∆x
∆x→0 − ∆x
（4）若 f(x)为可导的周期函数，我们证明 f’(x)仍为周期函数
π
1 gl 0
l 0 0.000011∆W ＝ 0.000011π
24.83 16 ＝0.8797× 10−4 (秒)每天约慢 0.8797× 10−4 ×24×3600＝7.6(秒) 980
又冬季室温到－10 0 C 时 ∆W ＝－30，周期每秒约快
∆ T≈
π
1 gl 0
l 0 0.000011∆W ＝－ 0.000011π
+ ... +
n!(x
−1)n }
故 Pn (1) =1, Pn (−1) = (−1)n (2)
多元函数微分学习题课
多元函数微分学习题课第七章多元函数的微分学本章知识结构导图§7.1 数学家的故事：笛卡尔勒奈·笛卡尔（Rene Descartes）,1596年3⽉31⽇⽣于法国都兰城．笛卡尔是伟⼤的哲学家、物理学家、数学家、⽣理学家，解析⼏何的创始⼈，是欧洲近代资产阶级哲学的奠基⼈之⼀，⿊格尔称他为“现代哲学之⽗”．笛卡⼉堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之⼀，被誉为“近代科学的始祖”．笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创⽴了解析⼏何学．在笛卡⼉时代，代数还是⼀个⽐较新的学科，⼏何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡⼉致⼒于代数和⼏何联系起来的研究，于1637年，在创⽴了坐标系后，成功地创⽴了解析⼏何学．他的这⼀成就为微积分的创⽴奠定了基础．解析⼏何直到现在仍是重要的数学⽅法之⼀．笛卡尔不仅提出了解析⼏何学的主要思想⽅法，还指明了其发展⽅向．他在《⼏何学》中，将逻辑，⼏何，代数⽅法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析⼏何的新⽅法，从此，数和形就⾛到了⼀起，数轴是数和形的第⼀次接触．解析⼏何的创⽴是数学史上⼀次划时代的转折．⽽平⾯直⾓坐标系的建⽴正是解析⼏何得以创⽴的基础．直⾓坐标系的创建，在代数和⼏何上架起了⼀座桥梁，它使⼏何概念可以⽤代数形式来表⽰，⼏何图形也可以⽤代数形式来表⽰，于是代数和⼏何就这样合为⼀家⼈了．轶事:蜘蛛织⽹和平⾯直⾓坐标系的创⽴据说有⼀天，笛卡尔⽣病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考⼀个问题：⼏何图形是直观的，⽽代数⽅程是⽐较抽象的，能不能把⼏何图形和代数⽅程结合起来，也就是说能不能⽤⼏何图形来表⽰⽅程呢？要想达到此⽬的，关键是如何把组成⼏何图形的点和满⾜⽅程的每⼀组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的⽅法，才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶⾓上的⼀只蜘蛛，拉着丝垂了下来．⼀会功夫，蜘蛛⼜顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看作⼀个点．他在屋⼦⾥可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每⼀个位置⽤⼀组数确定下来呢？他⼜想，屋⼦⾥相邻的两⾯墙与地⾯交出了三条线，如果把地⾯上的墙⾓作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意⼀点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数．反过来，任意给⼀组三个有顺序的数也可以在空间中找到⼀点P 与之对应，同样道理，⽤⼀组数(,)x y 可以表⽰平⾯上的⼀个点，平⾯上的⼀个点也可以⽤⼀组两个有顺序的数来表⽰，这就是坐标系的雏形．§7.2 空间直⾓坐标系与向量的概念⼀、空间直⾓坐标系 1.坐标系和坐标坐标系：以O 为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴)，Oy 轴（纵轴），Oz 轴（竖轴），其中三条数轴符合右⼿规则．我们把点O 叫做坐标原点，数轴Ox ，Oy ，Oz 统称为坐标轴. xOy ，yOz ，zOx 三个坐标⾯．三个坐标⾯将空间分成⼋个部分，每⼀部分称为⼀个卦限（如图7-2-1）),,0(2z y ),0,(3z x y点的坐标：设M 为空间中⼀点，过M 点作三个平⾯分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为P ，Q ，R （图7-2-2），设P ，Q ，R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z . 空间⼀点M 就唯⼀地确定了⼀个有序数组(,,)x y z ，称为M 的直⾓坐标，x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为(,,)M x y z . 2. 两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点，可以证明:这两点间的距离为12M M =.特别地,点),,(z y x M 与原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++=.不难看出,上述两个公式是平⾯直⾓坐标系中两点间距离公式的推⼴.⼆、向量的基本概念及坐标表⽰ 1．向量的概念在⽇常⽣活中，我们经常会遇到两类不同的量，⼀类像距离、温度、体积、质量等，这⼀类量的共性是给出⼤⼩便可确定，我们称这种量为数量；⽽另⼀类如⼒、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出⼤⼩，还要给出它们的⽅向，才能确定下来，这种具有⼤⼩和⽅向的量称为向量．图7.2向量的定义：既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫做向量（或称⽮量）.向量的表⽰：我们⽤有向线段来表⽰⼀个向量，其中，线段的⽅向表⽰向量的⽅向；线段的长度表⽰向量的⼤⼩．若向量起点为A ，终点为B ，则记为AB .也可以⽤⿊体字母表⽰向量，如a 、b 等．向量的⼤⼩⼜叫做向量的模，向量AB 的模⽤AB 来表⽰，⽽向量a 的模为a ．模为1的向量称为单位向量．模为0的向量称为零向量,记作0．0的⽅向是任意的．与向量a 的模相等、⽅向相反的向量叫做a 的反向量(负向量),记作-a ．如果两个向量长度相等且⽅向也相同，就说这两个向量相等．于是⼀向量平⾏移动后仍与原向量相等．注意，两个向量不能⽐较⼤⼩．在坐标系中，以坐标原点O 为起点，向已知点M 引向量OM ，称之为点M 对于点O 的向径．2．向量的坐标表⽰取坐标轴,,Ox Oy Oz 上以O 为起点的三个单位向量，分别记为,,i j k ，叫做基本单位向量．设向量OM 的起点是坐标原点，⽽终点M 的坐标为(,,)x y z ，则OM x y z =++i j k , ,,x y z 是OM 在坐标轴上的投影.⼀般地，如果向量a 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为,,x y z ，则其在x 轴，y 轴，z 轴上的分向量为,,x y z i j k ，故有x y z =++a i j k ，,,x y z 叫做a 的坐标，记为{},,x y z =a ．此时要注意向量与点的坐标区别．习题7.21.在空间直⾓坐标系中，指出下列各点所在的卦限(1,1,2)-(1,1,2)--(1,1,2)-(1,1,2)-(1,1,2)--2.求两点1(2,1,3)M-和2(3,2,1)M-之间的距离.§7.3 多元函数的概念函数()y f x=，是因变量与⼀个⾃变量之间的关系，即因变量的值只依赖于⼀个⾃变量，称为⼀元函数．但在许多实际问题中往往需要研究因变量与⼏个⾃变量之间的关系，即因变量的值依赖于⼏个⾃变量．例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，⽽且与消费者的收⼊以及这种商品的其它代⽤品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不⽌⼀个⽽是多个．要全⾯研究这类问题，就需要引⼊多元函数的概念．⼀、⼆元函数的概念【定义1】设D是平⾯上的⼀个⾮空点集，如果对于每个点Dyx∈),(，变量z按照⼀定的法则f总有唯⼀确定的值与之对应，则称z是变量yx,的⼆元函数，记为(,)z f x y=,其中变量yx,称为⾃变量，z称为因变量,集合D称为函数),(yxf的定义域，对应函数值的集合}),(),,(|{Dyxyxfzz∈=称为该函数的值域.类似地，可以定义三元函数(,,)u f x y z=以及三元以上的函数. ⼆元以及⼆元以上的函数统称为多元函数.与⼀元函数⼀样，定义域和对应法则是⼆元函数的两个要素.⼀元函数的⾃变量只有⼀个，因⽽函数的定义域⽐较简单，是⼀个或⼏个区间.⼆元函数有两个⾃变量，定义域通常是由平⾯上⼀条或⼏条光滑曲线所围成的具有连通性的部分平⾯.即⼆元函数的定义域在⼏何上通常为⼀个或⼏个平⾯区域.【例1】求下列⼆元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z =ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-【解】 (1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤. 故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图7.3.(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图7.4.(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图7.5.(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图7.6.图7.3 图7.4图7.5 图7.6 设函数),(yxfz=的定义域为D，对于任意取定的DyxP∈),(，对应的函数值为),(yxfz=，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定⼀点) ,,(zyxM，当),(yxP取遍D上⼀切点时，得⼀个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx∈=，这个点集称为⼆元函数),(yxfz=的图形. 如图7.7，⼆元函数的图形通常为空间中的⼀张曲⾯．图7.7具体地，如函数sinz xy=的图形为图7.8；函数2222x y z a++=的图形为⼀个球⾯，如图7.9.图7.8 图7.9⼆、⼆元函数的极限与连续在⼀元函数中，我们研究了当⾃变量趋于某⼀数值时函数的极限，⽽这时动点趋于定点的各种⽅式总是沿着坐标轴进⾏的.对于⼆元函数),(y x f z =，同样可以讨论当⾃变量x 与y 趋向于0x 和0y 时，函数z 的变化状态.也就是说，研究当点),(y x 趋向),(00y x 时，函数),(y x f z =的变化趋势.但是，⼆元函数的情况要⽐⼀元函数复杂得多.因为在坐标平⾯xOy 上，),(y x 趋向),(00y x 的⽅式是多种多样的.⾸先介绍领域的概念，邻域：设),(000y x P 是xOy 平⾯上的⼀个点，δ是某⼀正数，与点),(000y x P 距离⼩于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，),(0δP U {}δ<=||0PP P {}.)()(|),(2020δ<-+-=y y x x y x【定义2】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去⼼邻域内有定义（0P ),(00y x 点可除外），如果当点),(y x P 沿任何路径⽆限趋于),(000y x P 时，对应的函数值),(y x f z =都⽆限趋近于⼀个常数A ，则称当点),(y x P 趋向于),(000y x P 时，函数),(y x f z =以A 为极限.记为()()()00,,,lim x yx y f x y A →=yzo⼆元函数极限也叫⼆重极限，可记为00lim (,)x x y y f x y →→．在极限的计算中不是先0x x →，再0y y →，⽽是),(y x P 以任意⽅式趋于),(000y x P ，⽐⼀元函数的极限要复杂很多．【定义3】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某⼀邻域内有定义，并且),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续.否则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 间断，点),(000y x P 称为该函数的间断点．如果),(y x f 在平⾯区域D 内的每⼀点都连续，则称该函数在区域D 内连续. ⼆元函数的连续性的概念与⼀元函数是类似的，并且具有类似的性质：在区域D 内连续的⼆元函数的图形是空间中的⼀个连续曲⾯；⼆元连续函数经过有限次的四则运算后仍为⼆元连续函数；定义在有界闭区域D 上的连续函数()y x f ,⼀定可以在D 上取得最⼤值和最⼩值.习题7.31.求下列函数的表达式：（1）已知2(,)f x y x y =，求(,)f x y x y +-. （2）已知22(,)xy f x y x y =+，求(,)x yf y x . 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形：（1）1422-+=y x z （2）xy z ln = （3）yx yx z -++=11 （4）z =§7.4 多元函数的偏导数与全微分在研究⼀元函数的变化率时曾引⼊导数的概念，对于多元函数同样需要研究函数关于⾃变量的变化率问题．但多元函数的⾃变量不只⼀个，函数关系也⽐较复杂，通常的⽅法是只让⼀个变量变化，固定其他的变量（即视为常数），研究函数关于这个变量的变化率．我们把这种变化率称为偏导数．⼀、多元函数的偏导数 1.偏导数的定义【定义4】设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某⼀邻域内有定义，当y 固定在0y ，⽽x 在0x 处有增量x ?时，相应地函数),(y x f 有增量),(),(0000y x f y x x f -?+，如果y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为y y x x xz =='，),(00y x f x '，0y y x x xf ==??或0y y x x xz ==??.类似地，当x 固定在0x ，⽽y 在0y 有增量y ?，如果极限yy x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记为0y y x x yz =='，),(00y x f y '，0y y x x yf ==??或0y y x x yz ==??.如果函数),(y x f z =在平⾯区域D 内任⼀点),(y x 处都存在对x (或y )的偏导数，则称函数),(y x f z =在D 内存在对x (或y )的偏导函数,简称函数),(y x f 在D 内有偏导数,记为x z '，),(y x f x '，x f ??或x z ??, y z '，),(y x f y '，y f ??或yz ??.从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把⼀个变量固定，⽽将⼆元函数),(y x f z =看成另⼀个变量的⼀元函数的导数.因此求⼆元函数的偏导数，不需要引进新的⽅法，只须⽤⼀元函数的微分法，把⼀个⾃变量暂时视为常量，⽽对另⼀个⾃变量进⾏求导即可. 即求xz时，把y 视为常数⽽对x 求导数；即求y z ??时，把x视为常数⽽对y 求导数．),(y x f 在点),(00y x 处的偏导数),(00y x f x '、),(00y x f y '，就是偏导函数),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 处的函数值.【例2】设32423z x x y y =-+，求z x ??，z y ??，()1,1zx ??和()1,1z y -?? 【解】对x 求偏导数，就是把y 看作常量对x 求导数，234zx xy x=-；对y 求偏导数，就是把x 看作常量对y 求导数，23212zx y y=-+； ()1,1zx ??＝211341x y x xy ==-=-；()23111,121214x y z x y y ==--?=-+=-?．【例3】设y x z =，求xz，y z ??. 【解】xz=1-y yx , y z =x x y ln .【例4】设⼆元函数xy z ln =，求xz，y z ??. 【解】x z ??=x y xy xy xyx 11)'(1=?=?, y z ??=y x xy xy xy y 11)'(1=?=?【例5】sin x z e xy =, 求,u ux y. 【解】sin cos (sin cos )x x x ze xy e xy y e xy y xy x=+=+, cos x ze xy x y=, 【例6】设)1ln()1(),(22y x xy y x f y +++=，求)0,1(/x f .【解】如果先求偏导数),(y x f x '，再求)0,1(x f '显然⽐较繁杂，可以先求⼀元函数)0,(x f ，再求导数)0,(x f x '.x f x +='. 故1)0,1(='x f .2. 偏导数的⼏何意义设)),(,,(00000y x f y x M 是曲⾯),(y x f z =上⼀点，过0M 作平⾯0y y =，与曲⾯相截得⼀条曲线（如图7.10），其⽅程为==),(00y x f z y y . 偏导数),(00y x f x '，就是导数),(0x x y x f dx d= 在⼏何上，它是该曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率.图7.10同样，偏导数),(00y x f y '表⽰曲⾯),(y x f z =被平⾯0x x =所截得的曲线==),(00y x f z x x 在点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率.⼆、⾼阶偏导数由上⾯的例⼦可以看出：函数),(y x f z =对于x 、y 的偏导数x z、yz ??仍是x 、y 的⼆元函数，⾃然地可以考虑xz ??和y z ??能不能再求偏导数．如果x z、y z ??对⾃变量x 、y 的偏导数也存在，则他们的偏导数称为()y x f ,的⼆阶偏导数按照对变量求导次序有下列四种⼆阶偏导数.xx xx z y x f xzx z x ''=''=??=??? ??????),(22； xy xy z y x f yx zx z y ''=''== ),(2； yx yxz y x f x y zy z x ''=''==? ),(2； yy yyz y x f y zy z y ''=''=??=''，),(y x f yx ''称为⼆阶混合偏导数.类似地，有三阶、四阶和更⾼阶的偏导数，⼆阶及⼆阶以上的偏导数统称为⾼阶偏导数.【例7】求函数13323+--=xy xy y x z 的⼆阶偏导数．【解】因为函数的⼀阶偏导数为xz,33322y y y x --=y z 3229x y xy x =--，所以所求⼆阶偏导数为222322(33)6z z x y y y xy x x x x==--= ?，222322(33)691z z x y y y x y y x y y x y==--=-- ， 23222(29)691z z x y xy x x y y y x x y x==--=-- ， 23232(29)218z z x y xy x x xy y y y y==--=- ?. 此例中的两个⼆阶混合偏导数相等，但这个结论并⾮对于任意可求⼆阶偏导数的⼆元函数都成⽴，我们不加证明地指出下列定理.【定理1】若函数),(y x f z =的两个⼆阶混合偏导数在点),(y x 处连续，则在该点处有=y x z 2xy z2. 对于三元以上的函数也可以类似地定义⾼阶偏导数，⽽且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序⽆关.三、全微分在⼀元函数微分学中,函数)(x f y =的微分dx x f dy )('=,并且当⾃变量x 的改变量0→?x 时,函数相应的改变量y ?与dy 的差是⽐x ?⾼阶的⽆穷⼩量.这⼀结论可以推⼴到⼆元函数的情形.【定义5】如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?可以表⽰为)(ρo y B x A z +?+?=?，其中B A ,不依赖于y x ??,⽽仅与y x ,有关，22)()(y x ?+?=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ?+?称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即dz =y B x A ?+?.⼏点说明：(1)当函数可微分时，zA x=、z B y ?=?，⼜x dx ?=、y dy ?=，从⽽⼆元函数的全dz dy y x f dx y x f y x ),(),('+'或=dz z z dx dy x y+ zdx x，z dy y ??分别称为函数关于x ，y 的偏微分，全微分是偏微分之和．(2)⼆元函数),(y x f z =在点),(y x 处有全微分，⼜称为),(y x f 在点),(y x 处可微. 函数若在某区域D 内处处可微，则称这函数在D 内可微.(3)由定义可知),(y x f 在点),(y x 处可微，则),(y x f 在点),(y x 处有偏导数和连续.(4)多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，若偏导数xz、y z ??在点),(y x 连续，则该函数在点),(y x 可微．(5)如果),(y x f 在点),(y x 处可微，那么)(ρο+=?dz z （22)()(y x ?+?=ρ）.利⽤它可求⼆元函数的近似函数值和⼆元函数全增量的近似值()()dy yzdx x z y x f y y x x f z ??+??≈-?+?+=?,, ()()dy yzdx x z y x f y y x x f ??+??+≈?+?+,,【例8】求函数2sin()z x y =+的全微分. 【解】因为2cos()zx y x=+，22cos()z y x y y ?=+?,所以 22cos()2cos()z zdz dx dy x y dx y x y dy x y=+=+++??. 【例9】计算函数xy e z =在点)1,2(处的全微分. 【解】由于,xy ye x z =?? ,xy xe y z =?? ,2)1,2(e x z=??,22)1,2(e y z =?? 因此 .222dy e dx e dz +=【例10】求函数)2cos(y x y z -=，当4dx ，π=dy 时的全微分.【解】),2sin(y x y xz--=?? ),2sin(2)2cos(y x y y x y z -+-=??故 dy y zdx x z dz ),4(),4(),4(ππππππ??+??=).74(82ππ-=习题7.41.求下列函数的偏导数：（1）225sin 2y x xy z +-= （2）yx xyz +=（3）xz yz xy u ++= （4）2yz x u = 2.求下列各函数在指定点处的偏导数：（1）)2sin(),(y x y x f +=，)0,2(π（2）)1ln(),(22y x y x f ++=，（1，2）（3）y xy e y x f y x 3)cos(),(+=+，（0，1）（4）)tan(),(2xy y x f =，（0，1） 3.求下列函数的⼆阶偏导数：（1）y e x z 8= （2）)sin (cos y x y e z x += 4.求下列函数的全微分：（1）xy y x z 22+= （2）yx e z xy +=5.设xy z =，当2.0,1.0,1,2-=?=?==y x y x 时，求dz z ,?. 6.利⽤全微分计算99.2)01.1(的近似值.§7.5 多元函数的复合函数的偏导数在⼀元函数中，复合函数的求导法则是求导的灵魂，起到了⾮常重要的作⽤，对于多元函数也是如此.本节讨论多元复合函数求导法则.⼀、中间变量是⼀元函数的情况【定理2】如果函数)(t u ?=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψ?=在点t 可导，且有：dtdvt v →??.由于函数),(v u f z =在点),(v u 有连续偏导数,有,21v u v vzu u z z ?+?++=αα tvt u t v v z t u u z t z ??+??++=??21αα当0→?u ，0→?v 时，01→α，02→α,∴.lim 0dtdvv z dt du u z t z dt dz t +=??=→? 全导数的公式可⽤图7.11清楚地表⽰出来．(,)z f u v =，z 有两个直接变量u 和v ，画两个箭头，u 和v 都有变量t ，画两个箭头．箭头表⽰求偏导数，两个箭头连起来是相乘关系，z 关于t 图7.11 的导数就是的两条路径之和．【例11】设z uv =，⽽t e u =，t v cos =，求全导数dtdz. 【解】:sin t dz z du z dv ve u t dt u dt v dt=+=-cos sin t t e t e t =- 对两个以上中间变量的全导数类似可求，例如有三个中间变量，(,,)z f u v w =，,,u v w 都是t 的函数，则dz z du z dv z dwdt u dt v dt w dt=++图7.12⼆、中间变量是多元函数的情况【定理3】设),(y x u ?=、),(y x v ψ=都在点),(y x 有偏导数，⽽),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在对应点),(y x 的两个偏导数均存在，且有x v v z x u u z x z +=??， yv v z yu u z yx，z y ??这两个计算公式可由图7.13可以清楚的表⽰出来． zu v wtzu vxyzuvt【例12】设v e z u sin =，⽽xy u =，y x v +=，求 xz和y z ??. 【解】xvv z x u u z x z +=??1cos sin ?+?=v e y v e u u ),cos sin (v v y e u += yv v z y u u z y z +=??1cos sin ?+?=v e x v e u u ).cos sin (v v x e u += 【例13】设2ln z u v =，期中 x u y = ，2v x y =-，求zx和z y ??．【解】212ln 2z z u z v u u v x u x v x y v =+=?+?=22222ln (2)(2)x x x y y y x y -+-，z z u z v y u y v y=+=222ln ()(1)x u u v y v ?-+?-=22322ln (2)(2)x x x y y y x y ----.两个以上中间变量情况有类似的公式和图形表⽰，例如三个中间变量xw w z x v v z x u u z x z ++=??,yw w z y v v z y u u z y z ++=??. 图7.14【例14】设222),,(z y x ez y x f u ++==,y x z sin 2=,求x u ??和yu.【解】224222sin 222sin 2(12sin )x y x yu u u z xu zu x y x x y e x x z x++=+=+?=+, y x y x e y y x y y x zu yu yzz u y u y u 2422sin 42)cos sin (2cos 22+++=?+=+??=??. zu v wxy。