江西省九江一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

江西省九江一中2018-2019学年上学期期中考试高二数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．平行线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是（）A．B．C．D．4．下列命题中正确的是（）A．若α＞β，则sinα＞sinβB．命题：“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x≤1，x2≤1”C．直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a=±1D．“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”5．已知等差数列{an }中，a2+a4=16，a1=1，则a5的值是（）A．15 B．30 C．31 D．646．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ7．下列函数的最小值是2的为（）A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，）C．y=D．y=x+（x＞1）8．设等比数列{an }中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．9．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．10．已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．16 C．9 D．311．不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0或x＞3} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2或x＞1}12．若Sn=cos+cos+…+cos（n∈N+），则在S1，S2，…，S2015中，正数的个数是（）A．882 B．756 C．750 D．378二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（+）2= ．14．不等式＞1的解集为．15．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则an= ．16．若数列{an}满足a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…＞an+1﹣an＞…，则称数列{an}为“差递减”数列，若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn（n∈N*）满足2Sn=3an+2λ﹣1（n∈N*），则实数λ的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB=AA 1=2，AC=，BC=3，M ，N 分别为B 1C 1、AA 1的中点．（1）求证：平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ；（2）求证：MN ∥平面ABC 1，并求M 到平面ABC 1的距离．20．已知x ，y 满足不等式组，求（1）z=x+2y 的最大值；（2）z=x 2+y 2﹣10y+25的最小值．21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2asinA=（2b ﹣c ）sinB+（2c ﹣b ）sinC ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=，试判断△ABC 的形状．22．在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n+2=（k ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n +a n+2的正整数n 的值；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n =mS 2n ﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m ，n ）；若不存在，请说明理由．2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假 【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真， 若“非p”为真，则p 为假， ∴p 假q 真， 故选：B ．2．已知a ∈R ，则“a＞2”是“a 2＞2a”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式．【分析】我们分别判断“a＞2”⇒“a2＞2a”与“a2＞2a”⇒“a＞2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：∵当“a＞2”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0∴“a2＞2a”成立即“a＞2”⇒“a2＞2a”为真命题；而当“a2＞2a”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0即a＞2或a＜0∴a＞2不一定成立即“a2＞2a”⇒“a＞2”为假命题；故“a＞2”是“a2＞2a”的充分非必要条件故选A3．平行线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是（）A．B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】先将方程化简，再运用公式计算即可【解答】解∵方程6x﹣8y+5=0可化为3x﹣4y+2.5=0，∴两条平行线间的距离d==．故选A．4．下列命题中正确的是（）A．若α＞β，则sinα＞sinβB．命题：“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x≤1，x2≤1”C．直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a=±1D．“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例a=120°，β=60°，可判断A；写出原命题的否定，可判断B；求出直线垂直的充要条件，可判断C；写出原命题的逆否命题，可判断D．【解答】解：若a=120°，β=60°，则α＞β，sinα=sinβ，故A错误；命题：“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x＞1，x2≤1”，故B错误；直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a2﹣1=0，即a=±1，故C正确；“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，故D错误；故选：C5．已知等差数列{an }中，a2+a4=16，a1=1，则a5的值是（）A．15 B．30 C．31 D．64 【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列{an }的性质可得：a2+a4=a1+a5，即可得出．【解答】解：由等差数列{an }的性质可得：a2+a4=16=a1+a5，a1=1，∴a5=15．故选：A．6．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由m⊂β，α⊥β，可得m与α的关系有三种说明A错误；由α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n得到α与β的位置关系有两种说明B错误；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定说明C正确；由α⊥γ，α⊥β，得到β与γ可能平行也可能相交说明D错误．【解答】解：对于A，m⊂β，α⊥β，则m与α的关系有三种，即m∥α、m⊂α或m与α相交，选项A错误；对于B，α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α与β相交，选项B错误；对于C，m⊥β，m∥α，则α内存在与m平行的直线与β垂直，则α⊥β，选项C正确；对于D，α⊥γ，α⊥β，则β与γ可能平行，也可能相交，选项D错误．故选：C．7．下列函数的最小值是2的为（）A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，）C．y=D．y=x+（x＞1）【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的使用条件，即可得出结论．【解答】解：x＞0时，y=x+的最小值是2，故A不正确；x∈（0，），0＜sinx＜1，函数取不到2，故B不正确；y==+≥2，x=0时取等号，即函数的最小值是2，故正确；x＞1，x﹣1＞0，则y=x+=x﹣1++1≥2+1，x=02取等号，即函数的最小值是3，故不正确；故选：C．8．设等比数列{an }中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．【解答】解：a 4+a 5+a 6=S 6﹣S 3=7﹣8=﹣1， a 4+a 5+a 6=a 1q 3+a 2q 3+a 3q 3=（a 1+a 2+a 3）q 3，所以q 3=，则a 7+a 8+a 9=a 4q 3+a 5q 3+a 6q 3=．故选B ．9．已知﹣9，a 1，a 2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b 1，b 2，b 3，﹣1五个实数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）=（ ）A ．8B ．﹣8C ．±8D ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．【解答】解：由题得，又因为b 2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b 2=﹣3 ∴b 2（a 2﹣a 1）=﹣8． 故选 B ．10．已知a ＞0，b ＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．4B ．16C ．9D ．3 【考点】基本不等式．【分析】不等式恒成立⇒的最小值，利用不等式的基本性质求出即可．【解答】解：不等式恒成立⇒的最小值，∵a ＞0，b ＞0，=10+≥10+=16，当且仅当，即a=b 时取等号．∴m ≤16，即m 的最大值为16． 故选B ．11．不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}，则不等式a （x 2+1）+b （x ﹣1）+c ＞2ax 的解集为（ ）A ．{x|0＜x ＜3}B ．{x|x ＜0或x ＞3}C ．{x|﹣2＜x ＜1}D ．{x|x ＜﹣2或x ＞1} 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a ＜0，且有，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集． 【解答】解：因为不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}，所以﹣1和2是方程ax 2+bx+c=0的两根且a ＜0，所以，由a （x 2+1）+b （x ﹣1）+c ＞2ax ，得：ax 2﹣（2a ﹣b ）x+a ﹣b+c ＞0，设ax 2﹣（2a ﹣b ）x+a ﹣b+c=0的两根为x 3，x 4，则①，②，联立①②得：x 3=0，x 4=3，因为a ＜0，所以ax 2﹣（2a ﹣b ）x+a ﹣b+c ＞0的解集为{x|0＜x ＜3}， 所以不等式a （x 2+1）+b （x ﹣1）+c ＞2ax 的解集为{x|0＜x ＜3}． 故选A ．12．若S n =cos+cos+…+cos（n ∈N +），则在S 1，S 2，…，S 2015中，正数的个数是（ ）A ．882B ．756C ．750D ．378【考点】数列的求和．【分析】由cos＞0，cos＞0，cos＞0，=0，…，cos=cos＞0，cos2π=1．可得S 1＞0，…，S 6＞0，S 7=0，S 8＜0，…，S 15＜0，S 16=0．可得在S 1，S 2，…，S 16中，正数的个数是6个．利用三角函数的周期性，即可得出．【解答】解：∵cos＞0，cos ＞0，cos ＞0，=0， =﹣cos＜0，=﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0，cos =﹣1＜0，=﹣cos＜0， =﹣cos ＜0，=﹣cos ＜0，=0，cos=cos＞0，cos=cos＞0，cos =cos＞0，cos2π=1．∴S 1＞0，…，S 6＞0，S 7=0，S 8＜0，…，S 15＜0，S 16=0． 在S 1，S 2，…，S 16中，正数的个数是6个．由三角函数的周期性，可得：在S 1，S 2，…，S 2000，正数的个数有750项． S 2001，…，S 2015中，正数的个数也6项． 在S 1，S 2，…，S 2015中，正数的个数是756． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（+）2= 3 ． 【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意求得的值，可得（+）2=++2的值．【解答】解：由题意可得=1×1×cos60°=，∴（+）2=++2=1+1+1=3，故答案为：3．14．不等式＞1的解集为 {x|1＜x ＜2} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将原不等式转化为＞0，即（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，即可求得其解集．【解答】解：∵＞1，∴＞0，∴（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，解得：1＜x ＜2．∴不等式＞1的解集为{x|1＜x ＜2}．故答案为：{x|1＜x ＜2}．15．已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则a n =．【考点】数列的函数特性．【分析】这是数列中的知S n 求a n 型题目，解决的办法是对n 分n=1与n ≥2两类讨论解决． 【解答】解：∵S n =3+2n ， ∴当n=1时，S 1=a 1=3+2=5， 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1，当n=1时，不符合n ≥2时的表达式．∴a n =．故答案为：a n =．16．若数列{a n }满足a 2﹣a 1＞a 3﹣a 2＞a 4﹣a 3＞…＞a n+1﹣a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列，若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n （n ∈N *）满足2S n =3a n +2λ﹣1（n ∈N *），则实数λ的取值范围是．【考点】数列的函数特性．【分析】2S n =3a n +2λ﹣1（n ∈N *），n=1时，2a 1=3a 1+2λ﹣1，解得a 1=1﹣2λ．n ≥2时，可得：a n =3a n ﹣1．利用a 2﹣a 1＞a 3﹣a 2＞a 4﹣a 3＞…，即可得出． 【解答】解：∵2S n =3a n +2λ﹣1（n ∈N *）， ∴n=1时，2a 1=3a 1+2λ﹣1，解得a 1=1﹣2λ．n ≥2时，2a n =3a n ﹣3a n ﹣1，化为a n =3a n ﹣1． 同理可得：a 2=3（1﹣2λ），a 3=9（1﹣2λ），a 4=27（1﹣2λ）． ∴a 2﹣a 1=2（1﹣2λ），a 3﹣a 2=6（1﹣2λ），a 4﹣a 3=18（1﹣2λ）， ∵a 2﹣a 1＞a 3﹣a 2＞a 4﹣a 3＞…，∴2（1﹣2λ）＞6（1﹣2λ）＞18（1﹣2λ），解得：．则实数λ的取值范围是．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n }满足：a 4=7，a 10=19，其前n 项和为S n ． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及S n ；（2）若b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和． 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则，解得：a 1=1，d=2，∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1， S n ==n 2．（2）b n ===，∴数列{b n }的前n 项和为T n =+…+==．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin2C=cosC ，其中C 为锐角． （1）求角C 的大小；（2）a=1，b=4，求边c 的长． 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得：2sinCcosC=cosC ，结合C 为锐角，即cosC ≠0，可求sinC=，进而可得角C 的大小．（2）由（1）及余弦定理即可得解c 的值．【解答】解：（1）在△ABC 中，由sin2C=cosC ，可得：2sinCcosC=cosC ，因为C 为锐角，所以cosC ≠0，可得sinC=，可得角C 的大小为．（2）由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c 2=a 2+b 2﹣2abcos=13，可得边c 的长为．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB=AA 1=2，AC=，BC=3，M ，N 分别为B 1C 1、AA 1的中点．（1）求证：平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ；（2）求证：MN ∥平面ABC 1，并求M 到平面ABC 1的距离．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证直线AB ⊥平面AA 1C 1C ，再根据面面垂直的判定定理，证得平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ．（2）根据面面平行的判定定理，先证平面MND ∥平面ABC 1，再根据面面平行的性质定理，得出MN ∥平面ABC 1，求M 到平面ABC 1的距离，则根据性质，等价转化为求N 到平面ABC 1的距离．作出点N 作出平面ABC 1的垂线，并根据相似求出垂线段的长度． 【解答】证明：（1）∵AB 2+AC 2=BC 2，∴AB ⊥AC ， 又三棱柱中，有AA 1⊥平面ABC ， ∴AA 1⊥AB ， 又 AC∩AA 1=A ， ∴AB ⊥平面AA 1C 1C ， ∵AB ⊂平面ABC 1，∴平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ．（2）取BB 1中点D ，∵M 为B 1C 1中点， ∴MD ∥BC 1（中位线），又∵N 为AA 1中点，四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∴DN ∥AB （中位线）， 又MD∩DN=D，∴平面MND ∥平面ABC 1． ∵MN ⊂平面MND ， ∴MN ∥平面ABC 1．∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．过N作NH⊥AC1于H，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，∴NH⊥平面ABC1，又根据△ANH∽△AC1A 1∴．∴点M到平面ABC1的距离为．20．已知x，y满足不等式组，求（1）z=x+2y的最大值；（2）z=x2+y2﹣10y+25的最小值．【考点】简单线性规划．【分析】（1）作出不等式组对应的平面区域，利用直线平行进行求解即可．（2）z的几何意义是两点间的距离的平方，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：（1）由约束条件表示的可行域如下图所示，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大，由得，即A（7，9），此时z=7+2×9=25；（2）z=x2+y2﹣10y+25=x2+（y﹣5）2，z的几何意义为点P（x，y）到点（0，5）的距离的平方；由图知，最小值为（0，5）到直线x﹣y+2=0的距离的平方，即d2=（）2=．经检验，垂足在线段AC上．21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=，试判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；三角形的形状判断．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．【解答】解：（Ⅰ）由2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：2a2=（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，…整理得：bc=b2+c2﹣a2，∴cosA==，…又A为三角形的内角，则A=60°；…（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，∴B+C=180°﹣60°=120°，即C=120°﹣B，…代入sinB+sinC=得：sinB+sin=，…∴sinB+sin120°cosB﹣cos120°sinB=，…∴sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1，…∴0＜B＜120°，∴30°＜B+30°＜150°，∴B+30°=90°，即B=60°，…∴A=B=C=60°，则△ABC 为等边三角形．…．22．在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n+2=（k ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n +a n+2的正整数n 的值；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n =mS 2n ﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m ，n ）；若不存在，请说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由题意可得数列{a n }的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． （2）①当n 为奇数时，由2a n+1=a n +a n+2可得： =n+n+2，化为：=n+1，令f （x ）=2×﹣x ﹣1（x ≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n 为偶数时，由2a n+1=a n +a n+2可得：2（n+1）=2+2×，化为：n+1=+，即可判断出不成立．（3）S 2n =（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+…+a 2n ）=3n +n 2﹣1，n ∈N *．S 2n ﹣1=S 2n ﹣a 2n =3n ﹣1+n 2﹣1．假设存在正整数m ，n ，使得S 2n =mS 2n ﹣1，化为3n ﹣1（3﹣m ）=（m ﹣1）（n 2﹣1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由a 1=1，a 2=2，a n+2=（k ∈N *）．可得数列{a n }的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列． ∴对任意正整数k ，a 2k ﹣1=1+2（k ﹣1）=2k ﹣1；a 2k =2×3k ﹣1．∴数列{a n }的通项公式a n =，k ∈N *．（2）①当n 为奇数时，由2a n+1=a n +a n+2可得： =n+n+2，化为：=n+1，令f （x ）=2×﹣x ﹣1（x ≥1），由f′（x ）=××ln﹣1≥﹣1=ln3﹣1＞0，可知f （x ）在[1，+∞）上是增函数，∴f （x ）≥f （1）=0，∴当且仅当n=1时，满足=n+1，即2a 2=a 1+a 3．②当n 为偶数时，由2a n+1=a n +a n+2可得：2（n+1）=2+2×，化为：n+1=+，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立． 综上，满足2a n+1=a n +a n+2的正整数n 的值只有1．（3）S 2n =（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+…+a 2n ）=+=3n +n 2﹣1，n ∈N *．S 2n ﹣1=S 2n ﹣a 2n =3n ﹣1+n 2﹣1．假设存在正整数m ，n ，使得S 2n =mS 2n ﹣1， 则3n +n 2﹣1=m （3n ﹣1+n 2﹣1）， ∴3n ﹣1（3﹣m ）=（m ﹣1）（n 2﹣1），（*） 从而3﹣m ≥0，∴m ≤3， 又m ∈N *，∴m=1，2，3． ①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立． ②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n 2﹣1）=0，解得n=1，∴S 2=3S 1． ③当m=2时，（*）式可化为3n ﹣1=（n+1）（n ﹣1），则存在k 1，k 2∈N *，k 1＜k 2，使得n ﹣1=，n+1=，且k 1+k 2=n ﹣1，从而==2，∴﹣=2，=1，∴k 1=0，k 2﹣k 1=1，于是n=2，S 4=2S 3．综上可知，符合条件的正整数对（m ，n ）只有两对：（2，2），（3，1）．。