第一章 1.2.2 第一课时 No.2 课下检测
第一章 1.2 1.2.2 第一课时 函数的表示法
答案：A
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2．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出．
x f(x)
1 2
2 1
3 1
x g(x)
1 3
2 2
3 1
(1)f[g(1)]＝________；
(2)若g[f(x)]＝2，则x＝________.
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解析：(1)由表知 g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； (2)由表知 g(2)＝2，又 g[f(x)]＝2，得 f(x)＝2， 再由表知 x＝1.
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而 乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
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2.函数 y＝f(x)的图象如图， f(x)的定义域 则 是 A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0) ( )
解析：由图象知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
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例：求下列函数的解析式： 1＋x 1＋x2 1 ①已知 f( x )＝ 2 ＋x，求 f(x)； x ②已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1＋x 1 1 解：①法一：(换元法) 令 t＝ x ＝x＋1，得 x＝ ， t－1
1＋x 1＋x2 1 1 则 t≠1.把 x＝ 代入 f( )＝ 2 ＋ ，得 x x x t－1 1 2 1＋ t－1 1 f(t)＝ ＋ ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 1 2 1 t－1 t－1 ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
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法二：(配凑法) 1＋x 1＋x2＋2x－2x 1 ∵f( x )＝ ＋x x2 1＋x 2 1＋x－x ＝( x ) － x 1＋x 2 1＋x ＝( x ) － x ＋1， ∴f(x)＝x2－x＋1. 1＋x 1 又∵ x ＝x＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
第一章+第二节+第一课时+原子结构与元素周期表人教版(2019)选择性必修2
6s1
6s2 镧系 5d26s2 5d36s2 5d46s2 5d56s2 5d66s2 5d76s2 5d96s1 5d106s1 5d106s2 6s26p1 6s26p2 6s26p3 6s26p4 6s26p5 6s26p6
7s1 7s2 锕系 6d27s2 6d37s2
镧系 5d16s2 4f15d16s2 4f36s2 4f46s2 4f56s2 4f66s2 4f76s2 4f75d16s2 4f96s2 4f106s2 4f116s2 4f126s2 4f136s2 4f146s2 4f145d16s2 锕系 6d17s2 6d27s2 4f25d16s2 4f35d16s2 4f45d16s2 6d67s2 6d77s2 4f75d16s2 6d97s2 6d107s2 6d117s2 6d127s2 6d137s2 6d147s2 4f145d16s2
三张有重要历史意义的元素周期表
短式周期表
门捷列夫
编排的依据： 按相对原子质量从小到大的顺序将元素排列起来
三张有重要历史意义的元素周期表
特长式周期表
…
……
H
… He
Li
Be B C N O F Ne
Na
Mg Al Si P S Cl Ar
K Ca
Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
IB
IIB 3s23p1 3s23p2 3s23p3 3s23p4 3s23p5 3s23p6
4s1 4s2
S区
5s1 5s2
6s1 6s2
3d14s2 4d15s2 镧系
3d24s2 3d34s2 3d54s1 3d54s2
高中物理 第一章 第二节 第一课时 时刻和时间间隔习题1高一1物理试题
点囤市安抚阳光实验学校第一章第二节第一课时时刻和时间间隔1. 以下关于时刻和时间间隔的说法中，正确的是（）A．“第2s末”表示一个时刻B．“第2s末”与“第3s初”表示同一时刻C．“第2s内”表示一段时间间隔D．“第2s内”和“2s内”表示同一时间间隔解：A“第2s末”是一个瞬时，表示时刻，故A正确．B、由于时间是连续的，“第2s末”与“第3s初”是指同一时刻．故B正确．C、第2s内是一段时间间隔，这段时间为1s．故C正确．D、第2s内是一段时间间隔，这段时间为1s．“2s内”这段时间为2s，不是同一时间间隔．故D错误．故选ABC2. 关于时间间隔和时刻下列说法正确的是（）A．时间间隔是较长的一段时间，时刻是较短的一段时间B．第2s内和前2s内指的是不相的两段时间间隔C．“时间12点整”指的是时间间隔D．时光不能倒流，因此时间有方向是矢量解：A、在时间轴上，时刻对的是一点，时间是两个时刻之间，所以A错误；B、第2s内是指1s的时间，前2s内指2s的时间，所以B正确；C、“时间12点整”指的是时刻，所以C错误；D、时间是标量，没有方向，所以D错误；故选：B．3. 以下关于时间间隔和时刻的说法，正确的是（）A．第3s末指的是时刻B．某人跑完100m用了15s，指的是时刻C．物理考试时间是2h指的是时间间隔D．时间8点整指时间间隔解：A“第3s末”是一个瞬时，表示时刻，故A正确．B、某人跑完100m用了15s，指的是时间间隔．故B错误．C、物理考试时间是2h指的是时间间隔，这段时间为2h．故C正确．D、时间8点整指时时刻，不是时间间隔．故D错误．故选AC4. 以下关于时间间隔和时刻的说法，不正确的是（）A．第3s，指时刻B．第3s末和4s初是指同一时刻C．中学一节课的时间是45min，指时间间隔D．时间19点整，指时刻解：A、第3s，这段时间为1s，指时间间隔，故A错误．B、由于时间是连续的，第3s末和4s初是指同一时刻，故B正确．C、中学一节课的时间是45min，指时间间隔，故C正确．D、时间19点整，指时刻，不是同一时间间隔．故D正确．本题选择错误的，故选：A．5. 关于时间间隔和时刻，下列说法正确的是（）A．一节课上40分钟，指的是时刻B．现在是9点15分，指的是时间间隔C．第五秒末指的是时刻D．第五秒末指的是时间间隔解：A、一节课上40分钟，这是一节课的时长；故是时间；故A错误；B、现在是9点15分，指的是现在这一时刻；故B错误；C、第5s末指时间点；故为时刻；故C正确；D、第5s末指的是时间点，为时刻；故D错误；故选：C．6. 关于时间间隔和时刻，下列说法正确的是（）A．时间间隔时较长的一段时间，时刻是较短的一段时间B．第2s内指时刻C．“时间12点整”指时刻D．刘翔创造12.88s的110米栏好成绩是指时刻解：A、时间是指时间的长度，时刻是指时间点，所以A错误．B、第2s内是指时间的长度，不是时刻，所以B 错误．C、时间12点整指的是一个时间点，是时刻，所以C正确．D、12.88s是指时间的长度，不是时刻，所以D错误．故选：C．7. 关于时刻和时间，下列说法正确的是（）A．时刻表示时间短，时间间隔表示时间长B．时刻对位置，时间对位移C．作息时间表上的数字表示时刻D．1min只能分成60个时刻解：A、时刻是指时间点，时间是指时间的长度，即时间的间隔，所以A错误；B、时刻与质点运动的某位置相对，时间与运动的某段位移相对，故B正确；C、作息时间表上的数字是指的一个个的时刻，故C正确D、1分钟可以分成无数个时刻，所以D错误；故选BC．8. 关于时间和时刻，下列说法正确的是（）A．时间和时刻的区别在于长短不同，长的是时间，短的是时刻B．两个不同时刻之间的间隔是一段时间C．第3秒末和第4秒初的间隔是1秒D．第3秒内和第4秒内经历的时间不一样解：A、时间间隔是两个时刻的间隔，时刻是某一瞬间，不是较短的一段时间．故A错误．B、两个时刻的间隔表示时间，两个不同时刻之间的间隔是一段时间．故B正确．C、第3秒末和第4秒初是同一个时刻，不是间隔1秒．故C错误．D、第3秒内和第4秒内都表示1s的时间，所以第3秒内和第4秒内经历的时间一样．故D错误．故选B．9. 关于时间和时刻，下列说法正确的是（）A．时间很长，时刻很短B．第4s内和4s都是一段时间间隔C．时光不能倒流，因此时间是矢量D．“时间10点整”指的是时刻解：A、时间是指时间的长度，在时间轴上对一段距离，时刻是指时间点，在时间轴上对的是一个点，所以A错误．B、第4s内和4s都是指时间的长度，是指的时间间隔，故B正确．C、时间是标量，没有方向，所以C错误．D、时间10点整是指时间点，是时刻，故D正确．故选BD．10. 关于时间和时刻，下列说法中正确的是（）①时刻表示时间轴上的一点②作息时间表上的数字，如“睡觉12：30”指的是时刻③1min时间内有60个时刻④7：40上第一节课中的7：40指的是时间间隔．A．①②B．③④C．①③D．②④解：①时刻是指时间点，在时间轴上对的是一个点，故①正确；②作息时间表上的数字，在时间轴上对的是一个点，表示时刻，故②正确；③1min时间内有无数个时刻，故③错误；④7：40在时间轴上对的是一个点，所以是时刻，故④错误．故选：A．。
人教版高中数学必修三课件 第一章 1.1 1.1.2 第一课时 程序框图、顺序结构
对顺序结构程序框图的识读，首先弄明白程序框图中各 程序框的功能，然后按流程线指引的方向从上到下(或从左 到右)依次判断即可．
20
[活学活用] 1．根据如图所示的程序框图，若输入 m 的值是 3，则输出
的 y 的值是________．
解析：若输入 m 的值是 3，则 p＝8，y＝8＋5＝13，故输 出 y 的值为 13. 答案：13
3
图形符号
名称
功能
判断某一条件是否成立，成立时 _判__断__框__ 在出口处标明“__是__”__或__“_Y__”_；不
成立时标明“__否__”__或__“_N__”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
4
2．顺序结构
概念
顺序结构是由若干个依次执行的 _步__骤__ 组 成 的 ， 这 是 任 何 一 个 算 法 都 离不开的基本结构
16
[活学活用] 已知一个圆柱的底面半径为 R，高为 h，求圆柱的体积．设 计一个解决该问题的算法，并画出相应的程序框图． 解：算法如下： 第一步，输入 R，h. 第二步，计算 V＝πR2h. 第三步，输出 V. 程序框图如图所示：
17
顺序结构的读图问题 [典例] 阅读如图所示的程序框图，回答下面的问题：
(2)顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构．故 选 A的理解 框图符合标准化，框内语言简练化，框间流程方向 化．从上到下，从左到右，勿颠倒．起止框不可少，判断 框一口进，两口出．顺序结构处处有．
11
[活学活用] 在程序框图中，表示判断框的图形符号的是
1．1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
第一课时 程序框图、顺序结构
预习课本 P6～9，思考并完成以下问题
人教B高中数学必修一课时跟踪检测：第一章 集合 2 第1课时 含解析
第一章 集 合 1.2 集合之间的关系与运算1.2.2 集合的运算 第一课时 交集与并集课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．已知集合M ＝{x |－1≤x ＜3，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( ) A ．{－1,0,2,3} B ．{－1,0,1,2} C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}解析：M ∩N ＝{－1,0,1,2}，故选B ． 答案：B 2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜0或x ＞12，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∪N ＝R解析：∵M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜0或x ＞12，∴M ⊆N ，故选C ．答案：C3．设集合A ＝{4,5,6}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B 中有________个元素( ) A ．1 B ．4 C ．5D ．6解析：A ∪B ＝{2,3,4,5,6}，有5个元素，故选C ． 答案：C4．(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．答案：C5．如图，表示图形中的阴影部分是()A．(A∪C)∩(B∪C)B．(A∪B)∩(A∪C)C．(A∪B)∩(B∪C)D．(A∪B)∩C解析：图中的阴影部分为集合A，B的交集并上集合C，可表示为(A∩B)∪C.分析可知(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)，故选A．答案：A6．设集合A＝{x|x＋2＞0}，B＝{x|x－1＞0}，C＝{x|x＋2＜0}，D＝{x|x－1＜0}，E＝{x|－2＜x＜1}，则下列结论正确的是()A．E＝A∩B B．E＝A∩DC．E＝B∩C D．E＝B∪C解析：A∩D＝{x|－2＜x＜1}＝E.故选B．答案：B7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：由A∪B＝R，∴a≤1.答案：a≤18．设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．(1)当x∈N＋时，求A的子集的个数；(2)当x∈R且A∩B＝∅时，求m的取值范围．解：(1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 的子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1⇒m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎨⎧ 2m ＋1<－2，m －1≤2m ＋1或⎩⎨⎧m －1>5，m －1≤2m ＋1.解得－2≤m <－32或m >6. 综上，m <－32或m >6.[B 组 技能提升]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：由x －1≥0得x ≥1，故A ＝{x |x ≥1}， 所以A ∩B ＝{1,2}． 答案：C2．(2018·北京卷)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：∵|x |<2，∴－2<x <2，因此A ∩B ＝{－2,0,1,2}∩(－2,2)＝{0,1}，故选A ． 答案：A3．(2018·北京卷，改编)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，若(2,1)∈A ，则a 的取值范围为________．解析：若(2,1)∈A ，则2a ＋1＞4且2－a ≤2，解得a >32且a ≥0.∴a >32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa >32 4．对于集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )．设M ＝{1,2,3,4,5,6}，N ＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M ⊕N 中元素个数为________．解析：M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M ) ＝{1,2,3}∪{7,8,9,10} ＝{1,2,3,7,8,9,10}． ∴M ⊕N 中有7个元素． 答案：7个5．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，其中x ∈R ，如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{0，－4}，∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . 由x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0， 得Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)． (1)当a <－1时，Δ<0，B ＝∅⊆A ； (2)当a ＝－1时，Δ＝0，B ＝{0}⊆A ； (3)当a >－1时，Δ>0，要使B ⊆A ，则A ＝B . ∴0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根， ∴⎩⎨⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0， 解之得a ＝1，综上可得a ≤－1或a ＝1.6．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，求A －B ；(2)差集A －B 和B －A 是否一定相等？说明你的理由；(3)已知A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x |－6＜x ＜6}，求A －(A －B )及B －(B －A )，由此你可以得到什么结论？(不必证明)解：(1)A －B ＝{1}．(2)不一定相等，由(1)知B －A ＝{4}，∴B －A ≠A －B ，再如A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,3}， A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A ，∴A－B与B－A不一定相等．(3)∵A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6＜x≤4}，∴A－(A－B)＝{x|4＜x＜6}，B－(B－A)＝{x|4＜x＜6}．由此猜测一般对于两个集合有A－(A－B)＝B－(B－A)．。
人教版第一章第二节第一课时离子反应——酸碱盐在水溶液中的电离
弱酸： CH3COOH 、 H3PO4 、H2SO3 H2CO3、HClO、HF、有机羧酸等
弱碱：NH3•H2O、难溶性碱等
注意：电解质的强弱和其溶解度无必然联系，只与电离程度有关。
电解质在水溶液中或熔融状态下产生了自由移动的离子可以导 电而这一过程叫做电离，我们用电离方程式表示这一过程。 电离方程式：用分子式和离子符号表示电解质电离的方程式。
1.下列状态的物质，既能导电又属于电解质的是( D ) A.氯化镁晶体 B.氯化钠溶液 C.液态氯化氢 D.熔融氢氧化钾
2.下列电离方程式不正确的是 A.H2SO4＝2H+＋SO42－ C.Na2CO3 ＝Na2＋＋CO32－
( C)
B.NH4NO3 ＝NH4+＋NO3－ D. Ba(OH)2＝Ba2+＋2OH－
NaOH
Na + + OH-
Ba(OH)2
Ba + + 2OH-
KOH
K + + OH-
碱—电离时生成的阴离子全部是氢氧根
离子（OH-）的化合物。
下面是Cu2(OH)2CO3是碱吗？
NaCl
Na + + Cl-
K2CO3
2K + + CO32-
NH4NO3 NH4 + + NO3-
盐—电离时能生成金属阳离子（或NH4+）
用可逆号“
”表示
多元弱酸的电离分步写，一般只写第一步电离，多元弱碱一 步写。
3、强酸的酸式根(HSO4-)要拆开写，而弱酸的酸式根(HCO3HSO3-)不能拆。
4、阴、阳离子的个数由化学式决定，带电荷数由化合价决定。
人教版必修2数学目录
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第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 第一课时 平行直线、直线与平面平行 第二课时 平面与平面平行 1.2.3 空间中的垂直关系 第一课时 直线与平面垂直 第二课时 平面与平面垂直 本章整合
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
人教版高中化学必修一第一章第二节化学计量在实验中的应用
第一章从实验学化学§1.2 化学计量在实验中的应用（第一课时）主备人：张爱丽时间：2009年9月4日课程标准:认识摩尔是物质的量的基本单位，能用于进行简单的化学计算，体会定量研究的方法对研究和学习化学的重要作用省教学要求：掌握物质的量的定义、符号及摩尔的定义、符号，了解阿伏加德罗常数的涵义掌握摩尔质量的概念，理解物质的量、摩尔质量、物质的质量之间的关系教学目标：知识与技能:1、使学生认识摩尔是物质的量的基本单位，了解物质的量与微观粒子之间的关系；了解摩尔质量的概念。
2、了解提出摩尔这一概念的重要性和必要性，懂得阿伏加德罗常数的涵义。
3、使学生了解物质的量、摩尔质量、物质的质量之间的关系。
能用于进行简单的化学计算。
4、初步培养学生演绎推理、归纳推理、逻辑推理和运用化学知识进行计算的能力。
过程与方法:1、培养学生计算能力，并通过计算帮助学生更好地理解概念和运用、巩固概念。
2、培养学生的逻辑推理、抽象概括能力。
情感态度与价值观:通过对概念的透彻理解，培养学生严谨、认真的学习态度，体会定量研究的方法对研究和学习化学的重要作用。
教学重点：物质的量及其单位教学难点：物质的量及其单位教学方法：启发、诱导、讨论、分析、对比、讲授、归纳等方法教学过程：Ⅰ、课前检测（1）1 mol氧。
（）（2）0.25 mol CO2。
（）（3）摩尔是7个基本物理量之一。
（）（4）1 mol小麦含有6.02×10 23个麦粒。
（）2、已知1mol水分子数为6.02×10 23个，则0.5mol水分子数为_________个2 mol水分子数为___________个。
【小组讨论2】你能得出物质的量（n）与微粒个数（N）和阿佛加德罗常数（N A）的关系吗？【师生共同探讨2】 4、物质的量（n）与微粒个数（N）和阿伏加德罗常数（N A）的关系n=N/N A【练习】例1：6.02×1022个N aCl分子，其物质的量为多少？2.5mol O2含有多少个O原子？【小组讨论3】请大家回顾表1、表2，思考：1molH20与1mol铝质量相等吗？【师生共同探讨3】 1mol任何粒子集体中都含有6.02×10 23 个粒子；而1mol任何粒子或物质的量以克为单位时，在数值上都与该粒子的相对原子质量或相对分子质量相等。
最新人教版八年级 物理上册 第1章 第1节 第1课时 一课一练
体影长的几倍，那么旗杆的高度就是物体高度的几倍．
第一章
机械运动
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解析：物体的长度是180.0 mm，说明采用的刻度尺的分度值为1 mm，以 cm做
单位，数字可以改变，但刻度尺的分度值不能改变，所以180.0 mm＝18.00 cm.
第一章
机械运动
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物理 ·八年级（上） ·配人教
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2 ．甲、乙两人用两个刻度尺，分别测同一物体的长度，甲测得的结果是 6.50 dm，乙测得的结果是0.648 m，下列说法中正确的是 A．两人所用的刻度尺的分度值相同 ( A )
解析：读数时，视线要与尺面垂直，故B的读数方法正确．由题图知刻度尺的 分度值是1 mm，起始位置对应的刻度值是5.00 cm，末端对应的刻度值是7.48 cm， 物体的长度L＝7.48 cm－5.00 cm＝2.48 cm.
第一章
机械运动
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7
2.50 6． 【 2017·广西贵港中考】 如图甲所示，所测物体的长度是 ___________ cm. 110 如图乙所示，停表显示的时间是___________s.
甲
乙
第一章
机械运动
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7．小明用一把刻度均匀的米尺量得衣柜高为 1.998 m，后来将此尺与标准米尺 2.002 m 对照，发现此米尺实际长度有1.002 m，则衣柜实际高度为__________________.
8 ． 某 同 学 测 得 物 理 书 内 150 页 的 厚 度 是 5.4 mm ， 则 每 张 纸 的 厚 度 应 是
1.2.2 充要条件(第一课时)
∴m≥3，即 m 的取值范围是[3，＋∞).
归纳
总结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示 p 等价于 q，要证 p⇒q，只需 证它的逆否命题¬q⇒¬p 即可；同理要证 p⇐q， 只需证¬q ⇐¬p 即可．所以 p⇔q，只需¬q⇔¬p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
归纳
总结
1.p是q的充分条件包括两种可能,即p是 q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样， p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要 不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性 和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就 是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题 的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.
解 : 记A x | x m, B x | ( x 1)( x 2) 0,
即B x | x 1, 或x 2 由题意知A m 1.
B,
A A B mm B
1
2
3．如果命题“若 A 则 B”的否命题是真命题，而它的逆否
必要不充分 条件． 命题是假命题，则 A 是 B 的______________
Байду номын сангаас
所以有 Δ＝4＋4a<0，解得 a<－1.
反之，若 a<－1，
则 Δ<0，方程 x2－2x－a＝0 无实根，即函数没有零点．
概念
辨析
p是 q
的充分不必要条件
即 : p q, 且q p
1.2.2组合第一课时组合的概念及组合数公式
有多少种取法?
栏目 导引
题型二 有关组合数的计算与证明
第一章 计数原理
例2 计算下列各式的值.
(1)3C38－2C25;
【解】(1) 3C83－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×25××14＝148.
((23))CC193708＋0＋CC47＋129090C; 58＋C((2369;))C原19式080＋＝CC124890＋90＝CC58＋2100C＋69＝C12C0095＝＋1C02069×＝×1C99610＋＝2C04100＝＝5211500. .
栏目 导引
第一章 计数原理
【名师点评】 区分排列与组合问题,关键是 利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、 并成一组,与顺序无关”.只要两个组合中的 元素完全相同,则不论元素的顺序如何,都是相 同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相 同时,才是不同的组合.
栏目 导下列问题是排列问题,还是组合问题.
(5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
栏目 导引
第一章 计数原理
解:(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的 顺(3)序2名,会学得生到完不成同的的是三同位一数件,此工问作题,没不有但顺与序取,出是 元组素合问有题关.,而且与元素的安排顺序有关,是排列 问(4)题甲.与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电 (2)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数 字话之,无间顺的序顺区序别,其,为和组均合不问变题,此. 问题只与取出元 素(5)有发关信,人而与收元信素人的是安有排区顺别序的无,关是,排是列组问合题问.题 .
栏目 导引
第一章 计数原理
答案:D 做一做
1.有下列实际问题:①三人互相握手的次数;②
三人抬水,每两人抬一次的不同抬法;③三点
高中数学第一章三角函数课时作业41.2.1任意角的三角函数(第1课时)新人教A版必修4
课时作业(四) 1.2.1 任意角的三角函数（第一课时）1．(高考真题·湖南卷)cos330°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 C2.cos 2600°等于( ) A ．±32 B.32C ．－32D.12答案 D 解析cos 2600°＝|cos120°|＝|－12|＝12，故选D.3．点A(sin2 018°，cos2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 注意到2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)，因此2 018°角的终边在第三象限，sin2 018°<0，cos2 018°<0，所以点A 位于第三象限，选C. 4．sin2 020°cos2 020°tan2 020°的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 由诱导公式一，得sin2 020°cos2 020°tan2 020°＝sin220°cos220°tan220°，因为220°是第三象限角，所以sin220°<0，cos220°<0，tan220°>0.所以sin2 020°·cos2 020°tan2 020°>0.5．设α为第三象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案 D解析 ∵α是第三象限的角，∴α2是二、四象限的角．又∵|sin α2|＝－sin α2，∴sin α2<0，∴α2是第四象限角．6．已知角α的终边与单位圆交于点(－32，－12)，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12答案 B解析 由任意角的三角函数定义易知：sin α＝y ＝－12，故选B.7．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，那么角x 是第几象限角( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四答案 A解析 ∵tanx>0，∴x 是第一或第三象限角． 又∵sinx ＋cosx>0，∴x 是第一象限角．8．若角α终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P(m ，n)为角α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4答案 A解析 因为角α 终边与y ＝3x 重合，且sin α<0，所以α为第三象限角，∴P(m ，n)中m<0且n<0，据题意得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 9．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三角限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角答案 C解析 若cos θ·tan θ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，tan θ>0.10．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝35，则tan α＝( )A ．－34B.34C.43 D ．－43答案 D11．已知角α终边上一点P 的坐标为(cos π5，sin π5)，则α＝________．答案 2k π＋π5，k ∈Z解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝cos π5，sin α＝sin π5，∴α是与π5终边相同的角．∴α＝2k π＋π5，k ∈Z .12．已知角α的终边经过(2a －3，4－a)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________． 答案 a≤3213．(高考真题·江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．答案 －814．函数y ＝|sinx|sinx ＋cosx |cosx|＋|tanx|tanx 的值域是________．答案 {3，－1}解析 当x 是第一象限角时， 原式＝sinx sinx ＋cosx cosx ＋tanxtanx ＝3；当x 是第二象限角时， sinx>0，cosx<0，tanx<0.原式＝sinx sinx ＋－cosx cosx ＋tanx －tanx ＝－1；当x 是第三象限角时， sinx<0，cosx<0，tanx>0，原式＝sinx －sinx ＋－cosx cosx ＋tanx tanx ＝－1；当x 是第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，原式＝sinx －sinx ＋cosx cosx ＋tanx－tanx＝－1；综上可知，sinx |sinx|＋|cosx|cosx ＋tanx|tanx|的值为3或－1.15．计算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°； (2)sin(－7π2)＋tan π－2cos0＋tan 9π4－sin 7π3.解析 (1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180° ＝12＋12＋3×1－(－1)＝5. (2)原式＝sin(－4π＋π2)＋tan π－2cos0＋tan(2π＋π4)－sin(2π＋π3)＝sin π2＋tan π－2cos0＋tan π4－sin π3＝1＋0－2＋1－32＝－32. 16．已知角θ终边上一点P(x ，3)(x≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值． 解析 ∵r＝x 2＋9，cos θ＝x r ，∴1010x ＝x x 2＋9.又x≠0，则x ＝±1.又y ＝3>0，∴θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.1．下列说法正确的是( )A ．对任意角α，如果α终边上一点坐标为(x ，y)，都有tan α＝yxB ．设P(x ，y)是角α终边上一点，因为角α的正弦值是yr ，所以正弦值与y 成正比C ．正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零的三角函数值是零D ．对任意象限的角θ，均有|tan θ|＋|1tan θ|＝|tan θ＋1tan θ|答案 D解析 对选项A ，x ＝0时不成立；对于选项B ，sin α仅是一个比值，与P 点选取无关，不随y 的变化而变化；对于选项C ，一全二正弦，三切四余弦；对于选项D ，对于象限角θ而言，tan θ和1tan θ同号．故选D.2．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x ，y)是其终边上的一点，则cos α＝－x x 2＋y2.其中正确的命题是________． 答案 ①3．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝－cos α2，则 α2角属于________象限．答案 三解析 ∵α是第二象限角， ∴2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .∴α2在第一，三象限，又|cos α2|＝－cos α2， ∴cos α2≤0.∴α2角属于第三象限． 4．已知P(－3，y)为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，求y 的值． 分析 本题主要考查的是三角函数的定义，y 的值可用方程方法解出． 解析 ∵P(－3，y)， ∴r ＝3＋y 2，sin β＝y 3＋y2.由已知得y 3＋y2＝1313.解方程得y ＝±12.经检验y ＝－12不合题意，应舍去，故y 的值为12.。
必修四第一章 三角函数1.2.2
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第一章 三角函数
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求 出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝ sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也 可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为 cos2α的表达式求解．
数 学 必 修 ④ · 人 教 A 版
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第一章 三角函数
[解析] (1)tanα＝3＝csoinsαα>0， ∴α 是第一或第三象限角． 当 α 是第一象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
sinα＝3
10 10
．
cosα＝
10 10
当 α 是第三象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前
者是 α 的正弦的平方，后者是 α2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并
能正确书写．
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋
人
教
A
版
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第一章 三角函数
3．化简 1－sin2440°＝____c_o_s_8_0_°_____．
【免费下载】化学第一章第一节第一课时测试题
第一章 第一节 第一课时一、选择题(每小题有1个或2个选项符合题意)1．下列过程一定释放出能量的是 ( )A．化合反应 B．分解反应C．分子拆成原子 D．原子组成分子【解析】 形成化学键释放能量，原子结合成分子放出能量，化合、分解反应有可能是放热反应，也有可能是吸热反应。
【答案】 D2．(2010•盐城调研)近年来，有科学家提出硅是“21世纪的能源”“末来的石油”的观点。
假如硅作为一种普遍使用的新型能源被开发利用，关于其有利因素的下列说法中你认为不妥当的是 ( ) A．硅便于运输、贮存，从安全角度考虑，硅是最佳的燃料B．硅的来源丰富，易于开采，且可再生C．硅燃烧放出的热量大，且燃烧产物对环境污染较低，容易有效控制D．寻找高效催化剂，使二氧化硅分解产生硅的同时释放能量，是硅能源大规模开发利用的一项关键技术【解析】 二氧化硅分解产生硅的同时吸收能量，催化剂不能改变反应的热效应。
【答案】 D3．下列说法正确的是 ( )A．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应B．化学反应中的能量变化都表现为热量变化C．任何放热反应在常温下一定能发生反应D．反应物和生成物所具有的总能量决定了反应是放热还是吸热【解析】 化学反应的能量变化可以表现为很多方面，如转化为热能、转化为电能、转化为光能等。
反应是放热还是吸热主要取决于反应物和生成物所具有的总能量的相对大小。
放热反应和吸热反应都是在一定条件下发生，反应开始需要加热的反应可能是吸热反应也可能是放热反应。
【答案】 D4．(2009•广东调研)氢气在氯气中燃烧时产生苍白色火焰。
在反应过程中，破坏1 mol氢气中的化学键消耗的能量为Q1 kJ，破坏1 mol氯气中的化学键消耗的能量为Q2 kJ，形成1 mol氯化氢中的化学键释放的能量为Q3 kJ。
下列关系式中，正确的是 ( )A．Q1＋Q2＞Q3B．Q1＋Q2＞2Q3C．Q1＋Q2＜Q3D．Q1＋Q2＜2Q3【解析】 氢气在氯气中燃烧时放出能量，所以形成2 mol氯化氢中的化学键释放的能量大于破坏1 mol氢气中的化学键和破坏1 mol氯气中的化学键消耗的能量。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2
第三十四页，共四十八页。
2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量(biànliàng)求层，这是
求复合函数导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
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第三十五页，共四十八页。
跟踪练习 3
1.2.2 基本(jīběn)初等函数的导数公式及导数的
运算法则
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第一页，共四十八页。
情景导入
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工
具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程
s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 s
＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求 f(t)的导
数．根据导数的定义，就是求当 Δt→0 时，ΔΔyt所趋近的
写出下列函数的导数： (1)y＝lnsixnx，y′＝__x_c_o_xs_xsi－ _n_xs_i_n_x__；
(2)y＝ 1－x x，y′＝__2_1x_－_12_(_1_－__x_)_－_32 __；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝___－__12_c_o_s_x___.
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∴f ′4π＝6cos34π＋π4＝－6.
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பைடு நூலகம்
第十四页，共四十八页。
命题方向1 ⇨导数公式(gōngshì)的应 例 1 求用下列函数的导数： (1)y＝x14；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝(13)x.
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第十五页，共四十八页。
解：(1)y′＝(x14)′＝14x13.(2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
人教版高中数学选修23教材用书第一章计数原理1.22组合第一课时组合与组合数公式
1．2.2 组合第一课时组合与组合数公式组合与组合数从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．1．组合一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．组合定义的理解(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的．(2)无序性是组合的特点，取出的m个元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求．(3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.组合数公式从1,3,5,7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A24＝4×3＝12个不同的商．问题2：如何用分步法求商的个数？提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C 24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A 22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 22.问题3：由问题1、问题2你能得出计算C 24的公式吗？ 提示：能．因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6.问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？提示：可以，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数可由以下两个步骤得到： 第1步，从这n 个不同元素中取出m 个元素，共有C mn 种不同的取法； 第2步，将取出的m 个元素全排列，共有A mm 种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，A m n＝C m n·A m m，故C m n＝A m nA m m.组合数公式组合数公式乘积形式C m n＝A mn A m m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！阶乘形式C mn ＝n ！m ！n －m ！性质 ①C m n ＝C n －mn ；②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n备注 ①n ，m ∈N *，m ≤n ； ②规定C 0n ＝1，C nn ＝1组合数公式C mn ＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！的分子是连续m 个正整数n ，n －1，n －2，…，(n －m ＋1)的乘积，即从n 开始减小的连续m 个自然数的积，而分母是1,2,3，…，m 的乘积．当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便．组合的有关概念 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．(3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.与组合数有关的计算(1)计算：C410－C37·A33；(2)若1C3n－1C4n<2C5n，求n的取值集合．(1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)由6n n－1n－2－24n n－1n－2n－3<240n n－1n－2n－3n－4，可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12.又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}．所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}．在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算C mn 时，若m 比较大，可利用性质①，不计算C m n 而改为计算C n －mn ，在计算组合数之和时，常利用性质②.1．计算：C 58＋C 98100·C 77. 解：原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.2．求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 的值． 解：原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即n －1n －2n －3n －4n －55！＝145·n －3n －4n －53！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．简单的组合问题5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加．(1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为C 210＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种选法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种选法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．3.关注组合数中字母的取值范围已知：1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m 的值．依题意，m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N *}． 因为m ！5－m ！5！－m ！6－m ！6！＝7×m ！7－m！10×7！，化简得m 2－23m ＋42＝0， 解得m ＝21或m ＝2. 因为0≤m ≤5，m ∈N *， 所以m ＝21舍去，所以m ＝2.1．运用组合数公式转化为关于m 的一元二次方程后，易忽略0≤m ≤5的取值范围，导致错误．解这类题目时，要将C mn 中m ，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解．2．应用组合数性质C m n＝C p n可以得到m＝p或m＋p＝n两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了m＋p＝n的情况，从而导致错误．已知C x－212＝C 2x－412，则x的值是( )A．2 B．6 C.12D．2或6解析：选D 根据组合数性质C m n＝C n－mn可得若C m n＝C p n，则{0≤m≤n，0≤p≤n，m＝p或m＋p＝n，根据题意得{0≤x－2≤12，0≤2x－4≤12，x－2＝2x－4或x－2＋2x－4＝12.解得x＝2或x＝6.1．方程C x28＝C3x－828的解为( )A．4或9 B．4C．9 D．其他解析：选A 当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．14 B．24C．28 D．48解析：选A 从6人中任选4人的选法种数为C46＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.3．计算：C4850＋C4950＝____________.解析：C4850＋C4950＝C4951＝C251＝51×502×1＝1 275.答案：1 2754．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：先给甲组选4人，有C410种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为C410＝210.答案：2105．7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选．解：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有不同的选法种数为C310＝120.(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有不同的选法种数为C510＝252.(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选的选法种数为C512－C310＝672.一、选择题1．某乡镇共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该乡镇内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A．4 B．8C．28 D．64解析：选C 由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建C28＝28条公路．2．已知C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于( )A．14 B．12C．13 D．15解析：选A ∵C7n＋1＝C8n＋1，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A．252种 B．112种C．20种 D．56种解析：选B 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C27＋C37＋C47＋C57＝112种分配方案．4．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )A．C310C35 B．C410C25C．C515 D．A410A25解析：选B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25种抽法．5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A．20 B．9C．C39 D．C24C15＋C25C14解析：选B 分两类：第1类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第2类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．二、填空题 6．从0,1，2，π2，3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y ＝x tan α＋b 的倾斜角和截距，可组成________条平行于x 轴的直线．解析：要使得直线与x 轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可，故有C 15＝5条满足条件．答案：57．不等式C 2n －n <5的解集为________． 解析：由C 2n －n <5，得n n －12－n <5，∴n 2－3n －10<0.解得－2<nn ≥2，且n ∈N *，∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}8．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 中含有3个元素的子集共有________个． 解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 35＝10个子集． 答案：10 三、解答题9．计算：(1)C 47＋C 4850·C 99； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n .解：(1)原式＝C 37＋C 250×1＝7×6×53×2×1＋50×492×1＝35＋1 225＝1 260.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)法一：原式＝C nn ＋1·C 1n ＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！·n ＝(n ＋1)·n ＝n 2＋n .法二：原式＝(C nn ＋C n －1n )·C n －1n ＝(1＋C 1n )·C 1n ＝(1＋n )·n ＝n 2＋n .10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类： 第1类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第2类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第3类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类加法计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法．11．判断下列问题是组合问题还是排列问题，然后再算出问题的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？如果连成有向线段，共有多少条？(3)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？解：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从集合{0,1,2,3,4}中取出3个数的组合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝5×4×33×2×1＝10，所以子集的个数是10.(2)由5个点中取两个点恰好连成一条线段，不用考虑这两个点的次序，所以是组合问题，组合数是C 25＝5×42×1＝10，连成的线段共有10条．再考虑有向线段问题，这时两个点的先后排列次序不同对应两个不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝5×4＝20，所以有向线段共有20条．(3)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题．排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法．选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题．组合数是C 29＝9×82×1＝36，所以不同的选法有36种．。
原创1：1.2.2 第一课时 空间中的平面与空间向量（一）
课
结
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(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的方程组ቊ
· = 0,
· = 0;
(4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.
典例精析
微练习
设直线l的一个方向向量d=(6 , 2 , 3) ,平面α的一个法向量n=(-1 , 3 , 0) ,则直
线l与平面α的位置关系是( D )
由条件 = (−3，5，0)， = (−3，0，1)，
z
则·=-3x+5y=0， ·=-3x+z=0，
C
解得y=
3
x，
5
z=3x，
令 x=5，则 = (5，3， 15）是平面ABC的一个法向量 .
B
y
A
x
O
跟踪练习
练习：已知正方体 −1111中，求证：面A1BD//面CB1D1.
C
1
1
1
1
则M( ，0， )，N( ，
2
2
2
2
y
，1)，∴ =
1
1
(0， ， )，
2
2
显然 = (1，0， 0）是平面ADD1A1的一个法向量 .
由·MN=0，可知与MN垂直 .
所以 MN//面ADD1A1.
典例精析
反思感悟
证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
面α垂直,记作n⊥α.
微思考
一个平面的法向量是否唯一?
提示:不唯一,一个平面的法向量有无数多个.
α
新知探索
平面的法向量的求法
在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:
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一、选择题
1．空间两条互相平行的直线指的是() A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β为() A．60°B．120°
C．30°D．60°或120°
解析：∵α与β两边对应平行，但方向不一定．
∴α与β相等或互补．
答案：D
3．若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则a，b的位置关系是() A．异面B．平行
C．相交D．三种关系都有可能
答案：D
4．异面直线a、b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a、b的关系是() A．c与a、b都相交
B．c与a、b都不相交
C．c至多与a、b中的一条相交
D．c至少与a、b中的一条相交
解析：若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
答案：D
二、填空题
5．已知E、F、G、H为空间中的四个点，且E、F、G、H不共面，则直线EF和GH 的位置关系是______．
解析：假设平行或相交，则E、F、G、H共面，不正确．
答案：异面
6．四条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线________时，才是一个平面图形．
解析：当两条对角线相交时，四个顶点在同一个平面内，是平面图形；当两条对角线不相交时，四个顶点不在同一个平面内，不是平面图形．
答案：相交
7．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB 、CD 交于点O ，已知AO ＝4，BO ＝2，C
＝9，则线段CO 、DO 的长分别为________、________.
解析：∵AB 、CD 相交于O 点，∴AC 、BD 共面．
又AC 与BD 不相交，∴AC ∥BD .
∴CO DO ＝AO BO ，又DC ＝9，AO ＝4，BO ＝2，
∴CO ＝6，DO ＝3.
答案：6 3
8．如图，E ，F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 与BC 的中点，G 、H 分别是CD 与AD 上靠近D 点的三等分点．则EF 与GH 的位置关系是________．
解析：连接AC ，在△ABC 中，EF 为△ABC 的中位线，
所以EF 綊12
AC ，在△DAC 中
∵H ，G 分别为DA ，DC 的三等分点，
∴HG 綊13
AC ，∴EF ∥HG . 答案：平行
三、解答题
9．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 与C ′D ′的位置重合，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，
求证：四边形EFGH 为平行四边形．
证明：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，
∴EF ∥AB ，EF ∥DC ，且EF ＝12
(AB ＋CD )， ∴C ′D ′∥EF ，∴C ′D ′∥AB ，
∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点，
∴GH ∥AB 且GH ＝12
(AB ＋C ′D ′) ＝12
(AB ＋CD )， ∴GH 綊EF ，
∴四边形EFGH 为平行四边形．
10．如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连
线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O ＝23
. (1)证明：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′；
(2)求S △ABC
S △A ′B ′C ′的值．
解：(1)证明：∵AA ′与BB ′相交于O 点，
且AO OA ′＝BO OB ′
.∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.
(2)∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′的方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.
同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，
因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，
又AB A ′B ′＝AO A ′O ＝23
. ∴S △ABC S △A ′B ′C ′＝(23
)2＝49.。