13-3 衍射光栅

( a + b ) sin ϕ = ± kλ
( k = 0,1, 2, L)
I
sin ϕ
−
λ
a+ b
0
一级光谱
三级光谱 二级光谱
13 – 3 衍射光栅
第13章 光的衍射 章
I
sin ϕ
−
λ
a +b
0
一级光谱
三级光谱 二级光谱
例如 二级光谱重叠部分光谱范围
( a + b ) sin ϕ = 3λ紫
(a + b) sin ϕ = 2λ
= 0.51× 10−6 m = 510 nm
显然，在可见光范围内， 都只能取1. 1.所以 显然，在可见光范围内，k1和k2都只能取1.所以 可通过细缝的可见光波波长范围为
500 nm ≤ λ ≤ 510 nm
N
5000
由光栅公式
(a + b) sin ϕ = kλ
x=k
x 很小， 因ϕ 很小，sin ϕ ≈ tan ϕ = ，所以 f
λf
a+b
13 – 3 衍射光栅
第13章 光的衍射 章
故第1级与第3 故第1级与第3级明条纹之间的距离为
2λ f 2 × 0.2 × 5.9 ×10 ∆x = x3 − x1 = = −6 a+b 2 ×10
13 – 3 衍射光栅 按题意， 按题意，光栅常数为
−3
第13章 光的衍射 章
1× 10 −6 a+b = = 5.0 × 10 m 200
都很小， 由图可以看出 θ1 和 θ 2都很小，所以 sin θ ≈ tan θ ， 根据光栅方程， 根据光栅方程，有
x k1λ1 sin θ1 = ≈ a+b f
k2 λ2 x + ∆x sin θ 2 = ≈ a+b f
13 – 3 衍射光栅 因此
第13章 光的衍射 章
x 5.0 × 5.0 ×10−6 k1λ1 = (a + b) = f 50
= 0.5 × 10−6 m = 500 nm
x + ∆x (5.0 + 0.1) × 5.0 ×106 k2 λ2 = ( a + b) = f 50
(c)3条缝 条缝
(f)20条缝 条缝
13 – 3 衍射光栅
第13章 光的衍射 章
( a + b ) sin ϕ = ± k λ
( k = 0 ,1, 2 , L )
∆k = 1, sin ϕ k +1 − sin ϕ k =
λ
a+b
光栅常数越小，明纹越窄， 光栅常数越小，明纹越窄，明纹间相隔越远
3 λ = λ紫 = 600nm 2
二级光谱重叠部分: 二级光谱重叠部分
λ = 400 ~ 760nm
600 ~ 760nm
13 – 3 衍射光栅 衍射光谱分类 连续光谱： 连续光谱：炽热物体光谱 线状光谱：钠盐（分立明线） 线状光谱：钠盐（分立明线）
第13章 光的衍射 章
带状光谱：由分子发光产生的（分子光谱） 带状光谱：由分子发光产生的（分子光谱） 光谱分析 由于不同元素（或化合物）各有自己特定的光谱， 由于不同元素（或化合物）各有自己特定的光谱， 所以由谱线的成分， 所以由谱线的成分，可分析出发光物质所含的元素或化 合物；还可从谱线的强度定量分析出元素的含量． 合物；还可从谱线的强度定量分析出元素的含量．
λ = 400 ~ 760nm
a + b = 1cm / 6500
ϕ1 = 51.26
o
kλ2 3 × 7.6 ×10 −5 cm = = 1.48 > 1 不可见 红光 sin ϕ 2 = a+b 1cm 6500
第三级光谱的张角 级光谱的张角
∆ϕ = 90.00 − 51.26 = 38.74
o o
(a + b) sin ϕ1 = λ1 = 430nm
解
(a + b) sin(ϕ1 + 20.0 ) = λ2 = 680nm
o
(a + b) = 913nm
每厘米大约有
10 条刻痕
4
13 – 3 衍射光栅
第13章 光的衍射 章
例13.3 用波长为 5900Å 的钠光垂直照射到每厘米刻 5000条缝的光栅上 条缝的光栅上， 有5000条缝的光栅上，在光栅后放置一焦距为 20cm 的会 聚透镜，试求（ 级与第3级明条纹的距离；（ ；（2 聚透镜，试求（1）第1级与第3级明条纹的距离；（2）最 30º 多能看到第几级明条纹；（ ；（3 多能看到第几级明条纹；（3）若光线以入射角 30º 斜入 射时，最多能看到第几级明条纹？ 射时，最多能看到第几级明条纹？并确定零级主极大条纹 中心的位置。 中心的位置。 −2 L 1×10 −6 = = 2 ×10 m 解：（1）光栅常数 a + b =
a+b k=k a
'
k ' = 1, 2,3,L
a+b 一般只要 为整数比时，则对应的k级明条 为整数比时，则对应的 级明条 a
纹位置一定出现缺级现象. 纹位置一定出现缺级现象
13 – 3 衍射光栅 光线斜入射时的光栅公式
第13章 光的衍射 章
( a + b )(sin ϕ ± sin θ ) = k λ
−7
= 0.12m
(2)
2×10 kmax = = = 3.4 −7 λ 5.9×10
取整
a +b
−6
k =3
k= (a + b)(sin ϕ + sin θ )
30º （3）光线以 30º角斜入射时 ）
λ
13 – 3 衍射光栅
−6
第13章 光的衍射 章
依题意 θ = 30° ，ϕ = 90° ，代入
13 – 3 衍射光栅
第13章 光的衍射 章
用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平 例1 用白光垂直照射在每厘米有 条刻痕的平 面光栅上，求第三级光谱的张角. 面光栅上，求第三级光谱的张角 解
kλ1 3 × 4 ×10 −5 cm = = 0.78 紫光 sin ϕ1 = a+b 1cm 6500
13 – 3 衍射光栅
第13章 光的衍射 章
13.3.1 光栅衍射现象 许多等宽度 等距离的狭缝排列起来形成的光学元件 等宽度、 的狭缝排列起来形成的光学元件. 许多等宽度、等距离的狭缝排列起来形成的光学元件. 衍射角
L
P
Q
ϕ
o
f
13 – 3 衍射光栅 13.3.2 光栅衍射规律 光栅的衍射条纹是衍 射和干涉的总效果 相邻两缝间的光程差： 相邻两缝间的光程差：
b
：不透光部分的宽度
13 – 3 衍射光栅 暗纹条件: 暗纹条件:
第13章 光的衍射 章
在光栅衍射中， 在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗 条纹. 条纹.这些暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相 消而形成的. 消而形成的. 当 ϕ 角满足下述条件
n ( a + b ) sin ϕ = ( k + )λ N
ϕ 一定， 减少， 增大． λ 一定， a + b 减少， k +1 − ϕ k 增大．
入射光波长越大， 入射光波长越大，明纹间相隔越远
a + b 一定， λ 一定，
增大， 增大． 增大，ϕ k +1 − ϕ k 增大．
13 – 3 衍射光栅 13.3.3 衍射光谱
第13章 光的衍射 章
ϕ 入射光为白光时 不同， 不同，按波长分开形成光谱 光谱. 入射光为白光时，λ不同， k不同，按波长分开形成光谱. 白光
2 ×10 k= (1 + sin 30°) = 5.1 −7 5.9 × 10 即斜入射时，最多能看到第5级明纹 取 k = 5 ，即斜入射时，最多能看到第 级明纹
零级主大，即 k = 0 零级主极大，
(a + b)(sin ϕ − sin θ ) = kλ = 0
可得
ϕ = θ = 30° 1 x = f tan 30° = 0.2 × = 0.115 m 3
o
o
第三级光谱所能出现的最大波长
(a + b) sin 90 λ' = k
a+b = = 513nm 3
绿光
13 – 3 衍射光栅 例2
第13章 光的衍射 章
试设计一个平面透射光栅的光栅常数， 试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20.0o 角 的范围． 的范围．设该光的波长范围为 430nm ~ 680nm ．
第13章 光的衍射 章 衍射角
ϕ
a
b a +b
(a + b) sin ϕ
∆ = (a + b) sin ϕ
光栅方程（明纹位置） 光栅方程（明纹位置）
光栅常数
( a + b ) sin ϕ = ± kλ ( k = 0,1, 2, L)
a ：透光部分的宽度
光栅常数： 光栅常数：10 −5 ~ 10 −6 m
则出现暗条纹. 则出现暗条纹.
k = 0， 1， 2， ± ± L
k为主极大级数，N为光栅缝总数，n为正整数. 为主极大级数， 为光栅缝总数， 为正整数.
13 – 3 衍射光栅 缺级现象: 缺级现象:
第13章 光的衍射 章
从光栅公式看来应出现某k级明条纹的位置， 从光栅公式看来应出现某 级明条纹的位置，实际 级明条纹的位置 上却是暗条纹， 级明条纹不出现， 上却是暗条纹，即k级明条纹不出现，这种现象称 级明条纹不出现 为光栅的缺级现象. 为光栅的缺级现象 缺级条件： 缺级条件：