3.1.2用二分法求方程的近似解教案

用二分法求方程的近似解
教学目标
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统教学重点
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
教学难点
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学方法
动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践
教学过程
例：求函数()6
x
x
f的零点（即的根）
=x
2
ln-
+
对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．一般的五次以上代数方程的根式解不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法
我们已经知道，函数()6
x
f在区间（2，3）内有零点，进一
=x
x
2
ln-
+
步的问题是，如何找出这个零点？
师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．
做一做
第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.
第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512. 因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.
例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.
探索发现议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗？
1.二分法的意义
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．
2.给定精确度
ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[]b
a,，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度
ε；
(2)求区间(a,b)的中点c；
(3)计算：f(c)
1若f(c)=0，则c就是函数的零点；
2若f(a)·f(c)＜0，则令b=c（此时零点()c a
x,
∈）；
3若f(c)·f(b)·＜0，则令a=c（此时零点()b c
x,
∈）；
(4)判断是否达到精确度
ε；即若＜，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2-4．
结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.
例2：用二分法求方程7
3
2=
+x
x的近似解（精确度0.1）练习：1，求方程23x+3x-3=0的一个实数解，精确到0.01
2，探求2x-x2=0的近似解
1.方程
4
22
3=
-
+
-g
x
x
x在区间[]4,2-上的根必定属于区间（）
A.
)1,2
(- B.
)4,
2
5
(
C.
)
4
,1(
π
D.
)
2
5
,
4
7
(
2.若函数
)
(x
f的图象是连续不间断的，且0
)4(
)2(
)1(
,0
)0(<
⋅
⋅
>f
f
f
f，则下列命题正
确的是（）
A.函数
)
(x
f在区间[]1,0内有零点 B.函数)(x f在区间[]2,1内有零点
C.函数)(x f 在区间[]2,0内有零点
D.函数)(x f 在区间[]4,0内有零点
3.函数x y =与1+=
x y 图象交点横坐标的大致区间为（ ）
A.)0,1(-
B.)1,0(
C.)2,1(
D.)3,2( 4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是
5.写出两个至少含有方程0122
3=--+x x x 一个根的单位长度为1的区间
或。

6.求证：方程01752
=--x x 的根一个在区间)0,1(-上，另一个在区间)2,1(上。

7.求方程122
+=x x 的一个近似解（精确到0.1）
参考答案： 1.D
2.D
3.C
4.①②④
5.[]0,1-或[]2,1
6.证明：设
175)(2
--=x x x f 则0155)3()2()1(,011)1(11)0()1(<-=⨯-=⋅<-=-⨯=⋅-f f f f
而二次函数175)(2
--=x x x f 是连续的，∴)(x f 在)0,1(-和)2,1(上分别有零点。

即方程1752
--x x ＝0的根一个在)0,1(-上，另一个在)2,1(上。

7.解：设
12)(2
--=x x x f ∵01)2(<-=f ，02)3(>=f
∴在区间)3,2(上，方程0122
=--x x 有一
解，记为x 。

取2与3的平均数2.5
∵025.0)5.2(>=f ，∴
5.220<<x
再取2与2.5的平均数2.25
∵04375.0)25.2(<-=f ，∴
5.225.20<<x
如此继续下去，得
)3,2(0)3(,0)2(0∈⇒><x f f
)5.2,2(0)5.2(,0)2(0∈⇒><x f f ； )5.2,25.2(0)5.2(,0)25.2(0∈⇒><x f f ；
)5.2,375.2(0)5.2(,0)375.2(0∈⇒><x f f ； )4375.2,375.2(0)4375.2(,0)375.2(0∈⇒><x f f
1
.00625.04375.2375.2<=-，2.4375≈2.4
∴方程的一个精确到0.1的近似解为2.4。