2019届高三数学 第35练 高考大题突破练—三角函数与平面向量
高考数学《三角函数与平面向量》专项训练及答案解析
高考数学《三角函数与平面向量》专项训练一、单选题1．已知()1,2a =r ，()1,0b =r ，则2a b +=r r （ ） A ．5 B ．7 C ．5 D ．25 2．若3sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C ．32D ．3- 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r ，则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45- 4．若4sin 3cos 0αα-=，则2sin 22cos αα+=（ ）A ．4825B ．5625C ．85D ．43 5．将函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 6．已知042a ππβ<<<<，且5sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ） A ．31010- B ．155- C ．155 D ．310 7．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =uu u r uuu r ，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．56-B ．16-C ．16D ．568．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 9．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（ ）A ．32B ．4C 15D ．2310．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=uu v uu u v uuu v ，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（ ）A 55B ．35C ．52D 55二、填空题11．sin 613cos1063tan 30︒︒︒++的值为________.12．函数()21sin f x x =+的最小正周期是__________． 13．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r 的取值范围________.14．将函数()3)13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号） 33x π=-对称； ②图象关于y 轴对称；③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π对称； ⑤在(0,)3π上单调递减 三、解答题15．若向量(3,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r ，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()f x 的单调递增区间．16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin 32B m ⎛= ⎝u r ，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且m n ⊥u r r .（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积.17．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积.参考答案1．C【解析】【分析】求出向量2a b +r r 的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出2a b +r r 的值.【详解】()()()221,21,03,4a b +=+=r r Q，因此，25a b +==r r .故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】 根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2cos 21262πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 12=.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.3．B【解析】【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r，得a b ==r r .设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B【解析】【分析】由4sin 3cos 0αα-=，求得3tan 4α=，再由222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+，即可求出． 【详解】由4sin 3cos 0αα-=，求得sin 3tan cos 4ααα==， 而222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++， 所以22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于5．C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值． 所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+， 由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=． 故选：C ．【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．6．D【解析】【分析】首先根据sin cos 5αα-=，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用题的条件，求得3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为42a ππ<<，所以cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D.【点睛】 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.7．C【解析】【分析】利用向量的线性运算将DE u u u r 用,AB AC u u u r u u u r表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.【详解】 因为1123DE DA AE BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C.【点睛】 本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.8．D【解析】【分析】 由cos cos a B b A=，利用正弦定理化简可得sin2A ＝sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，∴A ＝B 或A +B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.9．C【解析】【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()4213sin θϕ⎡⎤=+-⎣⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴=V故选：C ．【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10．D【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即c =.又c =，所以4b =． 因为0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，所以点O 为ABC △的重心，所以3AB AC AO +=u u u v u u u v u u u v ，所以3AB AO AC =-u u u v u u u v u u u v， 两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠u u u v u u u v u u u v u u u v 2||AC +u u u v ． 因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 于是29||AO -u u u v 940AO -=u u u v ，所以43AO =u u u v ，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯u u u v u u u v =.因为ABC △的面积是AOC △面积的3倍.故ABC △【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.11【解析】【分析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】sin 613cos1063tan 30︒︒︒++()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+=cos17cos17tan 30︒︒︒-++=故答案为：3【点睛】 本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.12．π【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．【详解】因为()21cos 2311sin 1cos 2222x f x x x -=+=+=-， 所以函数的最小正周期为22T ππ==． 故答案为：π．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．13．⎡-+⎣【解析】【分析】由题意可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r 最小，当P 与4A 重合时，131A A A P⋅u u u u r u u u r 最大，求出即可. 【详解】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角均为135o ，且边长12182A A A A ==u u u u r u u u u r ，1317A A A A ==u u u u r u u u u r ， 由正弦函数的单调性及值域可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r最小，且最小值为2cos112.5⎛⨯==-⎝⎭o当P与4A重合时，1318A A A P⋅==+u u u u r u u u r因此，131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是⎡-+⎣.故答案为：⎡-+⎣.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能力，属于中等题.14．②③④【解析】将函数()213f x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到2133y xππ⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()211x xπ=+-=-的图象向上平移1个单位长度，得到函数()g x x=的图象，对于函数()g x，由于当3xπ=-时，()g x=故()g x图象不关于直线3xπ=-对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；它的最小周期为22ππ=，故③正确；当4xπ=时，()0g x=，故函数的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故正④确；在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上，()220,,3x g xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④.【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．15．3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分 【解析】解：（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r 2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 222223)432x x x tx x t x t ωωωωωπω=⋅+=-++=-++L L L L 分 ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=………………6分3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时 2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +)max (1,31,21()).832x f t t f x x π=∴+=∴=-∴=--n Q L L L L L L 分 （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈………………10分55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分16．（Ⅰ）23π；. 【解析】【分析】 （Ⅰ）由m n ⊥u r r 得出0m n ⋅=u r r ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得tan B =，结合B 的范围可得出角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.【详解】（Ⅰ）m n ⊥u r r Q ，2sin cos sin 022B B m n B B B ∴⋅==+=u r r .化简得：tan B =，又0B Q π<<，23B π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，整理得220c c +-=，解之得：1c =，11sin 1122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.17．(1)b =7；【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-， 又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =，在ABC V 中，由正弦定理sin sin c b C B =， 所以sin sin c BC b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD C CD CBD =∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=， 而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以2BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯4=. 【点睛】 本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.。
2019年高考数学(文)三轮专题质量检测：三角函数、平面向量(含详解)
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2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
高考真题 三角函数与平面向量
【解析】解：设极点为 ，则在
中，由余弦定理，得 ，
．
【知识点】极坐标系、余弦定理 【来源】2019 年江苏省高考数学试卷 24.【答案】
【解析】解：设
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
．
故答案为： ． 【知识点】【题型】向量的综合问题、【题型】求向量的分解系数 【来源】2019 年江苏省高考数学试卷； 2019-2020 学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高一（上） 期中数学试卷； 2019 江苏省
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【知识点】【题型】向量的综合问题 【来源】2019 年浙江省高考数学试卷
11.【答案】
【解析】解：在直角三角形
中，
，
，
，
，
，
在
中， 由正弦定理，得
，
，即
，可得
；
，
即有
，
故答案为：
，
．
【知识点】【题型】正余弦定理在平面几何中的应用
【来源】2019 年浙江省高考数学试卷； 2019-2020 学年北京四中高三（上）期中数学试卷 12.【答案】-1
，
，
，
，
函数
的值域为：
【知识点】正弦型函数的值域与最值 【来源】2019 年浙江省高考数学试卷 10.【答案】
【解析】解：正方形
的边长为 ，可得
，
． ，
，
由于 ( ， ， ， ， ， )取遍 ，
可得
，可取
，
，
，
，
可得所求最小值为 ；
由
的最大值为 ，可取
，
，
，
，
，
可得所求最大值为 ．
2018届高三数学 第35练 高考大题突破练—三角函数与平面向量
第35练 高考大题突破练——三角函数与平面向量1.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2≤φ<2)的图象关于直线x ＝3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．3．(2016·贵阳第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a ＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD＝3，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．4.(2016·天津一中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，f (A )＝12－34，求△ABC 的面积S .5．“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B ，C ，D )．当返回舱距地面1万米的P 点的时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．(1)求B ，C 两救援中心间的距离；(2)D 救援中心与着陆点A 间的距离．答案精析1．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－π6＋k π，k ∈Z .由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝－π6.(2)由(1)，得f (x )＝3sin(2x －π6)，所以f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，即sin(α－π6)＝14. 由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.2．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.(2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，可得2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )，即2sin B cos A ＝3sin B .因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝π6，则C ＝π－A －B ＝2π3.设AC ＝m (m >0)，则BC ＝m ，所以CM ＝12m .在△AMC 中，由余弦定理，得AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM ·AC ·cos 2π3， 即(7)2＝14m 2＋m 2－2·12m ·m ·(－12)，整理得m 2＝4，解得m ＝2.所以S △ABC ＝12CA ·CB sin 2π3＝12×2×2×32＝ 3.3．解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0.由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3，可知θ∈(0，2π3)．由正弦定理及AD ＝3，得BDsin θ＝错误!＝错误!＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin(2π3－θ)＝3cos θ＋sin θ.所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin(θ＋π6)．由θ∈(0，2π3)，可知θ＋π6∈(π6，5π6)， 所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3. 此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332. 4．解 (1)∵函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π， 值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32. (2)∵2AC →·CB →＝2ab ，∴2ab ·cos(π－C )＝2ab ，cos C ＝－22，∴C ＝3π4. 又f (A )＝12－34， ∴12－32sin 2A ＝12－34，sin 2A ＝12， ∴A ＝π12，∴B ＝π6. 由正弦定理，得a sin π12＝b sin π6＝c sin 3π4， 即a6－24＝b 12＝2222，解得a ＝6－2，b ＝2. ∴S ＝12ab ·sin C ＝3－1. 5．解 (1)由题意知PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，则△PAC ，△PAB 均为直角三角形，在Rt △PAC 中，PA ＝1，∠PCA ＝60°，解得AC ＝33， 在Rt △PAB 中，PA ＝1，∠PBA ＝30°，解得AB ＝3，又∠CAB ＝90°，BC ＝AC 2＋AB 2＝303万米． (2)sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝310，cos ∠ACD ＝－110，又∠CAD ＝30°，所以sin ∠ADC ＝sin(30°＋∠ACD )＝33－1210，在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠ACD ，AD ＝AC ·sin∠ACD sin ∠ADC ＝9＋313万米．。
2019届高考数学总复习分类试卷 三角函数、解三角形、平面向量
2019届高考数学总复习分类试卷三角函数、解三角形、平面向量(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知sin(88°+θ)=23,则cos(178°+θ)=()A.23B.-23C.√53D.-√532.设P是△ABC所在平面内的一点,且CP⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗ ,则△PAB与△PBC的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.343.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=23,则b=( ) A.14 B.6 C.√14 D.√64.函数f(x)=cos(x+π4)-cos(x-π4)是( )A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数5.函数y=2sin(π6-2x)(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )A.[-π,-5π6] B.[-π3,0] C.[-2π3,-π6] D.[-π3,-π6]6.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,π2]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为( )A.{13,23,1} B.{16,13} C.{13,23} D.{16,23}7.若把函数y=sin(ωx-π6)的图象向左平移π3个单位,所得到的图象与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.128.在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,CM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( )A.-113B.-43C.43D.1139.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是( )A.3B.9√32C.3√32D.3√310.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C 等于( )A.34B.43C.-43D.-3411.已知△ABC是边长为1的等边三角形,则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC⃗⃗⃗⃗ )·(3BC⃗⃗⃗⃗ +4CA⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-132B.-112C.-6-√32D.-6+√3212.将函数f(x)=2sin(ωx-π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,π4]上为增函数,则ω的最大值为( )A.1B.2C.3D.41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.若单位向量e1,e2的夹角为π3,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=√32,则λ=.14.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4√3S=(a+b)2-c2,则角C的大小为.15.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)= .16.在平面四边形ABCD中,若AB=1,BC=2,∠B=60°,∠C=45°,∠D=120°,则AD= .三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=√3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)·cos(x+π4)+sin 2x+a的最大值为1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,若方程g(x)=m在x∈[0,π2]上有解,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+1a=4cos C,b=1.(1)若A=90°,求△ABC的面积;(2)若△ABC的面积为√32,求a,c.20.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2asin A=(2sin B-√3sinC)b+(2sin C-√3sin B)c.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2√3,求△ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos(2x+2π3)+√3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)设△ABC的三个内角分别是A,B,C,若f(C2)=-12,且AC=1,BC=3,求sin A的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2. (1)当x ∈[0,π2]时,求f(x)的值域;(2)若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足ba =√3,sin(2A+C)sinA=2+2cos(A+C),求f(B)的值.三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1.B ∵sin(88°+θ)=23,∴cos(178°+θ)=cos(90°+88°+θ)=-sin(88°+θ)=-23.2.B ∵CP ⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,又△PAB 边PA 上的高与△PBC 边PC 上的高相等,∴S △PAB S△PBC=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12. 3.D 在△ABC 中,由asinA =bsinB,可得bsin A=asin B,又bsin A=3csin B,所以a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accos B,cos B=23,可得b=√6.故选D.4.D f(x)=cos (x +π4)-cos (x -π4)=-√2sin x,所以函数f(x)是周期为2π的奇函数. 5.C 因为y=2sin (π6-2x)=-2sin (2x -π6),所以函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间就是函数y=sin (2x -π6)的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z ),解得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k∈Z ),即函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z ),又x ∈[-π,0],所以k=-1,故函数y=2sin (π6-2x)(x ∈[-π,0])的单调递增区间为[-2π3,-π6].6.A 由题意知{π2ω≥π2,3ωπ=kπ,k ∈Z,即{0<ω≤1,ω=k 3,k ∈Z,则ω=13或ω=23或ω=1.7.A 把函数y=sin (ωx -π6)的图象向左平移π3个单位得函数y=sin [ω(x +π3)-π6]=sin [ωx +(π3ω-π6)]的图象,由题意,得π3ω-π6=2kπ+π2(k ∈Z ),所以ω=6k+2(k∈Z ),所以ω的一个可能取值是2,故选A.8.C 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×32-23×22+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13+13×3×2cos π3=43,故选C. 9.C c 2=(a-b)2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab+6①.∵C=π3,∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab②,由①和②得ab=6,∴S △ABC =12absin C=12×6×√32=3√32,故选C.10.C 由2S=(a+b)2-c 2得2×12absin C=a 2+b 2-c 2+2ab,得absin C=2abcos C+2ab,sin C-2cos C=2,∴sin 2C+4cos 2C-4sin Ccos C=4, ∴tan 2C -4tanC+4tan 2C+1=4,∴tan C=-43或0(舍去),故选C.11.B (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-8|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°=3×1×1×(-12)-6×12+4×1×1×(-12)-8×1×1×(-12)=-32-6-2+4=-112,故选B. 12.B 将函数f(x)=2sin (ωx -π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得g(x)=2sin ω(x +π3ω)-π3=2sin (ωx +π3-π3)=2sin ωx 的图象,当x ∈[0,π4]时,ωx∈[0,ωπ4],要使y=g(x)在[0,π4]上为增函数,需满足ωπ4≤π2,即ω≤2,故ω的最大值为2.二、填空题 13.答案 -12解析 由题意可得e 1·e 2=12,|a |2=(e 1+λe 2)2=1+2λ×12+λ2=34,化简得λ2+λ+14=0,解得λ=-12. 14.答案π3解析 由4√3S=a 2+b 2-c 2+2ab 可得,2√3absin C=2abcos C+2ab,即√3sin C-cos C =2sin (C -π6)=1,sin (C -π6)=12,由题意知0<C<π,∴-π6<C-π6<56π,∴C -π6=π6,解得C=π3. 15.答案 √3解析 由题图可知:T=2(3π8-π8)=π2, ∴ω=2,∴2×π8+φ=kπ+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2, ∴φ=π4.又f(0)=1,∴Atan π4=1, 得A=1,∴f(x)=tan (2x +π4),∴f (π24)=tan (π12+π4)=tan π3=√3. 16.答案√6-√22解析 连接AC.在△ABC 中,AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos 60°=3,所以AC=√3,又AC 2+BA 2=4=BC 2,所以△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.在四边形ABCD 中,∠BAD=360°-(60°+45°+120°)=135°,因此∠CAD=∠BAD-∠BAC=45°,所以∠ACD=180°-∠CAD-∠D=15°.在△ACD 中,由ADsin ∠ACD =ACsin ∠D,即ADsin15°=√3sin120°,得AD=√3sin15°sin120°=√3×(√6-√2)4×√3=√6-√22. 三、解答题17.解析 (1)f(x)=√3sin 2ωx+(cos 2ωx -sin 2ωx)(cos 2ωx+sin 2ωx)+1=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin (2ωx +π6)+1.∵点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,∴-ωπ3+π6=kπ,k∈Z ,∴ω=-3k+12,k ∈Z . ∵0<ω<1,∴ω=12,∴f(x)=2sin (x +π6)+1.由x+π6=kπ+π2,k ∈Z ,得x=kπ+π3,k ∈Z ,令k=0,得距y 轴最近的一条对称轴方程为x=π3.(2)由(1)知, f(x)=2sin (x +π6)+1,当x ∈[-π,π]时,列表如下:x+π6-5π6-π2π2π 7π6 x-π -2π3 -π6π3 5π6 π f(x) 0 -1 13 1则函数f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示.18.解析 (1)f(x)=√3sin (2x +π2)+sin 2x+a=√3cos 2x+sin 2x+a=2sin (2x +π3)+a,由题意知2+a=1,解得a=-1. 由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z , 解得-5π12+kπ≤x ≤π12+kπ,k∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间是[-5π12+kπ,π12+kπ],k ∈Z .(2)∵将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f (x +π6)=2sin [2(x +π6)+π3]-1=2sin (2x +2π3)-1,当x ∈[0,π2]时,2x+2π3∈[2π3,5π3],当2x+2π3=2π3时,sin (2x +2π3)=√32,g(x)取最大值√3-1; 当2x+2π3=3π2时,sin (2x +2π3)=-1,g(x)取最小值-3.∴-3≤m ≤√3-1. 19.解析 (1)∵b=1, ∴a+1a =4cos C=4×a 2+b 2-c 22ab=2(a 2+1−c 2)a,∴2c 2=a 2+1.又A=90°,∴a 2=b 2+c 2=c 2+1, ∴2c 2=a 2+1=c 2+2,解得c=√2, ∴S △ABC =12bcsin A=12bc=12×1×√2=√22.(2)∵S △ABC =12absin C=12asin C=√32, ∴sin C=√3a ,∵a+1a=4cos C,∴[14(a +1a)]2+(√3a)2=1, 化简得(a 2-7)2=0,∴a=√7, ∴cos C=2√77. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C =7+1-2×√7×1×2√77=4,从而c=2.20.解析 (1)由已知及正弦定理可得2a 2=(2b-√3c)b+(2c-√3b)c,整理得b 2+c 2-a 2=√3bc,所以cos A =√32. 又A ∈(0,π),故A=π6. (2)由a sinA=b sinB ,a=2,b=2√3,A=π6, 得sin B=√32. 又B ∈(0,5π6),故B=π3或2π3. 若B=π3,则C=π2,于是S △ABC =12ab=2√3; 若B=2π3,则C=π6,于是S △ABC =12absin C=√3. 21.解析 (1)f(x)=2cos (2x +2π3)+√3sin 2x=-cos 2x,∴函数f(x)的最小正周期T=π,函数f(x)的最大值为1. (2)由(1)知f(x)=-cos 2x, ∴f (C2)=-cos C=-12,可得cos C=12. ∵C∈(0,π),∴sin C=√32. 由余弦定理可得,AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=1+9-2×1×3×12=7, ∴AB=√7.第 11 页 共 11 页 ∴由正弦定理可得,sin A=BC ·sinC AB =3×√32√7=3√2114. 22.解析 (1)f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2 =√3sin 2x-2sin 2x+1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6).∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6], ∴sin (2x +π6)∈[-12,1],∴f(x)在x ∈[0,π2]上的值域是[-1,2]. (2)由题意可知sin[A+(A+C)]=2sin A+2sin Acos(A+C),即sin Acos(A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C), 化简可得sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a,∵b=√3a,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-3a 22a ·2a =12, ∵0<B<π,∴B=π3.∴f(B)=2sin (2×π3+π6)=1.。
2019年《·高考总复习》数学：专题二 三角函数与平面向量
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
2
例 1：(2015 年北京)已知函数 f(x)＝sin x－2 3sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，23π上的最小值.
2019年7月10日
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3
解：(1)f(x)＝sin x－2
b，c，已知 b＝3，A→B·A→C＝－6，S△ABC＝3，求 A 和 a.
解：∵A→B·A→C＝bccos A＝－6, S△ABC＝12bcsin A＝3，
∴tan A＝－1，A＝34π，c＝2 2.
由余弦定理，得 a2＝32＋2
22－2×3×2
2×－
22＝
29. ∴a＝ 29.
3
sin2
x 2
＝
sin
x＋
3 cos
x－
3＝
2sinx＋π3－ 3，所以 f(x)的最小正周期为 2π.
(2)∵0≤x≤23π，∴π3≤x＋π3≤π.
当 x＋π3＝π，即 x＝23π时，f(x)取得最小值.
∴f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
2019年7月10日
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例3：(2017年江苏) 已知向量a＝(cos x，sin x), b＝(3，
－ 3), x∈[0，π].
(1)若 a∥b，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
解：(1)因为向量 a＝(cos x, sin x), b＝(3，－ 3)，a∥b，所
以－ 3cos x＝3sin x.
高三数学三角函数与平面向量提升练习(含答案)
2019-2019高三数学三角函数与平面向量提升练习（含答案）三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数，下面是三角函数与平面向量提升练习，请考生及时练习。
一、填空题1.(2019江苏高考)函数y=3sin的最小正周期为________.2.(2019江苏高考)已知tan =-2，tan(+)=，则tan 的值为________.3.(2019江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若ma+nb=(9，-8)(m，nR)，则m-n的值为________.4.(2019江苏高考)函数f(x)=Asin(x+)，(A，，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)=________.5.(2019江苏高考)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cos C，则+=________.6.(2019江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC.若=1+2(1，2为实数)，则1+2的值为________.7.(2019江苏高考)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若ab=0，则k的值为________.8.(2019江苏高考)已知函数y=cos x与y=sin(2x+)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是________.9.(2019江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是________.10.(2019江苏高考)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是________.二、解答题11.(2019江苏高考)在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值.12.(2019江苏高考)已知，sin =.(1)求sin的值；(2)求cos的值.13.(2019江苏高考)已知向量a=(cos ，sin )，b=(cos ，sin )，0.(1)若|a-b|=，求证：a(2)设c=(0，1)，若a+b=c，求，的值.专题二三角函数与平面向量经典模拟演练卷一、填空题1.(2019吉林实验中学三模)已知向量a=(sin ，-2)，b=(1，cos )，且ab，则sin 2+cos2的值为________.2.(2019苏、锡、常、镇调研)函数f(x)=Asin (x+)(A，，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f的值为________.3.(2019苏州调研)设为锐角，若cos=，则sin的值为________.4.(2019德州模拟)已知向量与的夹角为60，且==2，若=+，且，则实数的值为________.5.(2019南昌调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2=(a-b)2+6，C=，则△ABC的面积是________.6.(2019潍坊三模)已知函数f(x)=2sin+1(xR)图象的一条对称轴为x=，其中为常数，且(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________.7.(2019郑州模拟)将函数f(x)=2sin(0)的图象向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在上为增函数，则的最大值为________.8.(2019邢台模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac=b2-a2，A=，则B=________.9.(2019南京、盐城模拟)设函数f(x)=cos(2x+)，则f(x)是奇函数是=的______条件.10.(2019苏北四市调研)已知函数f(x)=2sin(0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[-1，1]上的单调递增区间为______.参考答案1. [利用函数y=Asin(x+)的周期公式求解.函数y=3sin的最小正周期为T==.]2.3 [∵tan =-2，tan(+)===，解得tan =3.]3.-3 [∵a=(2，1)，b=(1，-2)，ma+nb=(2m+n，m-2n)=(9，-8)，即解得故m-n=2-5=-3.]4. [因为由图象可知振幅A=，=-=，所以周期T==，解得=2，将代入f(x)=sin(2x+)，解得一个符合的=，从而y=sin，f(0)=.]5.4 [+=6cos C6abcos C=a2+b2，6ab=a2+b2，a2+b2=.由正弦定理得：上式==4.]6. [如图，=+=+=+(-)则1=-，2=，1+2=.]7. [因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1e2=cos〈e1，e2〉=cos=-，又ab=0，所以(e1-2e2)(ke1+e2)=0，即k--2+(-2k)=0，解得k=.]8. [根据题意，将x=代入可得cos=sin，即sin=，++或=2k(kZ).又∵[0，)，=.]9.22 [由题图可得，=+=+，=2--2=2，故有2=25--64，解得=22.]10. [∵sin A+sin B=2sin C.由正弦定理可得a+b=2c，即c=，cos C==当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
2019年高考数学三角函数与平面向量部分考查知识点分析
第 1 页 共 3 页2019年全国高考数学真题三角函数与平面向量部分考查知识点分析一、三角函数的图像与性质1．（2019年全国Ⅱ理）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，)2π单调递增的是( ) A ．()|cos2|f x x = B ．()|sin 2|f x x = C ．()cos ||f x x = D ．()sin ||f x x =2．（2019年北京理）函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ．3.（2019年全国Ⅰ文）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ． 4．（2019年全国Ⅲ文）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．（2019年全国Ⅱ文）若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= )A ．2B ．32C ．1D ．126．（2019年北京文）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A ．44cos ββ+B ．44sin ββ+C ．22cos ββ+D ．22sin ββ+7．（2019年天津文理）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()24g π，则3()(8f π= ) A ．2- B ．2C 2 D ．2二、三角变换1．（2019年全国Ⅱ文理）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= ) A ．15B 5C 3D 25第 2 页 共 3 页 2．（2019年江苏）已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ． 三、平面向量1．（2019年北京理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2019年北京文）已知向量(4,3)a =-，(6,)b m =，且a b ⊥，则m = ．3．（2019年全国Ⅰ文理）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 4．（2019年全国Ⅱ理）已知(2,3)AB =，(3,)AC t =，||1BC =，则(AB BC = )A ．3-B ．2-C ． 2D ．35．（2019年全国Ⅲ理）已知a ，b 为单位向量，且0a b =，若25c a b =-，则cos a <，c >= ．6．（2019年全国Ⅲ文）已知向量(2,2)a =，(8,6)b =-，则cos a <，b >= ．7．（2019年天津文）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE = ． 8．（2019年江苏）如图，在ABC ∆中，D是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则AB AC的值是 ．9.（2019年上海秋）过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.四、正、余弦定理的应用1．（2019年全国Ⅰ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(b c= ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．32.（2019年全国Ⅱ理）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，3B π=，则ABC ∆的面积为 ．3.（2019年全国Ⅱ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B = ．4．（2019年上海春）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 5．（2019年浙江）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ，cos ABD ∠= ．第 3 页 共 3 页五、三角函数综合1．（2019年浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 六、解三角形1．（2019年全国Ⅰ理）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．2.（2019年全国Ⅲ文）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2019年北京理）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C -的值．4．（2019年北京文）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C +的值．5．（2019年天津理）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值． 6．（2019年天津文）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值． 7．（2019年江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b=，求sin()2B π+的值．。
2019年高考数学大题——三角函数分类汇编答案
高考数学理科三角函数大题专项训练1．（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值答案 解：（I ）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II ）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为2.（12分）已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C sin C -b -c =0. (1)求A ;(2)若a =2,△ABC 求b ,c .答案 解:(1)由a cos C sin C -b -c =0及正弦定理得sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0.因为B =π-A -C ,A sin C -cos A sin C -sin C =0.由于sin C ≠0,所以sin π6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12. 又0<A <π,故A =π3.(2)△ABC 的面积S =12bc sin A 故bc =4.而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8.解得b =c =2.3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，并且2sin 12A BC +=++。
（1）求角C 的大小； （2）若2a c ==，求A 。
答案．解：(1) ∵23sin 2A ＋B2－(sin C ＋3＋1)＝0，∴23cos 2C2－(sin C ＋3＋1)＝0，(2分)即23·1＋cos C2－(sin C ＋3＋1)＝0，(3分)即3cos C －sin C ＝1，亦即cos(C ＋π6)＝12.(5分) ∵C 为△ABC 的内角，∴0＜C ＜π，∴π6＜C ＋π6＜7π6.(7分)从而C ＋π6＝π3，∴C ＝π6.(8分)(2)∵a ＝23，c ＝2，∴由余弦定理得b 2＋(23)2－2×b ×23cos π6＝4.(10分) 即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4.(12分) 所以A=60或1204.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π (1)求()f x 的解析式; (2)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.【答案】：（Ⅰ）6πϕ=（Ⅱ）775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈，且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]4425．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n ∥，3c a =，求角A ； （2）若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值． 答案．解：（1）∵m n ∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C ∈，∴22A C =或22A C +=， 从而A C =（舍）或2A C +=．∴2B =． ………………………………4分在Rt △ABC 中，3tan a A c ==，6A =． …………………………………6分 （2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin aC c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A ∈，∴(0,)2A ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=4223138255315--+⨯． …………………………………14分6．（本小题满分10分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值答案．解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 4C C =∴===sin 4sin 28a C A c ∴===,a c A C <∴<，故A 为锐角，7cos .8A ∴===7111cos()cos cos sin sin .8416A C A C A C ∴-=+=⨯+=7．(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．答案．（1）由⊥a b 可知，2cos sin 0θθ⋅=-=a b ，所以sin 2cos θθ=，……………………………2分所以sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθθθ--==++． ……………………………………………………6分（2）由(cos 2,sin 1)θθ-=-+a b 可得，-=ab 2=，即12cos sin 0θθ-+=，① ……………………………………………………………10分又22cos sin 1θθ+=，且(0,)2θπ∈ ②，由①②可解得，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，…………………12分所以34sin()cos )()455θθθπ++=+． ……………………………14分8．（本小题满分12分）已知1cos()cos(),(,),63432ππππααα+⋅-=-∈求： （Ⅰ）α2sin ； （Ⅱ）1tan tan αα-．答案（Ⅰ）cos()cos()63ππαα+⋅-=11cos()sin()sin(2),66234πππααα+⋅+=+=- ……2分即1sin(2)32πα+=-，注意到(,)32ππα∈，故23πα+4(,)3ππ∈，从而23)32cos(-=+πα， ……5分213sin )32cos(3cos )32sin(2sin =+-+=∴ππαππαα ……7分（Ⅱ）221sin cos sin cos 2cos 22tan 21tan cos sin sin cos sin 22αααααααααααα---=-===-⋅=． ……12分（或者6732ππα=+∴ ∴ 125πα= ∴α2sin =2165sin =π,2365cos2cos -==πα∴1tan tan αα-=αααααααααα2sin 212cos cos sin cos sin sin cos cos sin 22-=-=-=32）9．（本题满分13分）已知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若5()16f α=，求cos 2α的值． 答案．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分10.(8分)．在△ABC 中角，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，向量m=（cos 2C，1），n=（一l,sin （A+B ）），且m ⊥n ． （ I ）求角C 的大小； （Ⅱ）若CA ·32CB =，且a+b =4，求c ． 答案．（ I ）3C π=（Ⅱ）c ∴=11．（本小题满分12分）设函数2()sin sin(2f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）△ABC 的内角A.B 、C 的对边分别为a 、b 、c, c=3，1(),24Cf =-若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a ，b 的值．来源学|科|网12．（本小题满分1 2分）在△ABC 321cos 2.B B =-（I ）求角B 的值；（Ⅱ）若BC=2,A=4π，求△ABC 的面积． 答案 解：（Ⅰ321cos 2B B =-，所以 223cos 2sin B B B =．因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan 3B =，所以π3B =．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =，所以sin 6sin BC BAC A⋅==． 因为512C A B π=π--=，所以 562sin sin sin()1246C πππ+==+=． 所以△ABC 的面积133sin 22S AC BC C +=⋅=．……… ………………（12分）13．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ．（Ⅰ）若a ＝32，b ＝10，求c ；（Ⅱ）求a cos C －c cos Ab的取值范围． 答案 解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝π4．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4， 即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知B ＝π4，∴A ＋C ＝3π4，即C ＝3π4－A ．∴a cos C －c cos Ab ＝sin A cos C －cos A sin C sin B ＝sin(A －C )22＝2sin(2A －3π4)． ∵△ABC 是锐角三角形，∴π4＜A ＜π2，∴－π4＜2A －3π4＜π4，∴－22＜sin(2A －3π4)＜22，∴－1＜a cos C －c cos A b ＜1． 故a cos C －c cos Ab的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分14．（本小题共13分）函数cos2()2sin sin cos xf x x x x=++.（Ⅰ）在ABC ∆中，3cos 5A =-，求()f A 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.答案 解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z . 因为,cos2()2sin sin cos xf x x x x=++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分 cos sin x x =+π2sin()4x =+， -------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分所以24sin 1cos 5A A =-=,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=. -----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()2sin()4f x x =+,所以()f x 的最小正周期2πT =. -----------------------------------10分因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z , -----------------------------------11分 又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z ,所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16．（本题满分14分）（1）设21tan -=α，求αααα22cos 2cos sin sin 1--的值； （2）已知cos(75°+α)=31，且-180°＜α＜-90°，求cos(15°-α)的值．答案．（1）原式αααααα2222cos 2cos sin sin cos sin --+=--------------------------3分 2tan tan 1tan 22--+=ααα122141141-=-++=--------------------------------7分（2）由-180°＜α＜-90°，得-105°＜α+75°＜-15°，故sin(75°+α)=322)75(cos 12-=+--α ，-------------10分 而cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]= sin(75°+α)所以cos(15°-α)=322----------------------------------------------14分17. (本小题满分14分)已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中角ϕ的终边经过点(1,3)P ，且0ϕπ<<. （1）求ϕ的值；（2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．18. (本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m =，(cos ,sin )n A A =-， 记()f A m n =⋅.（2）若m 与n 的夹角为3π，3C π=，6c =，求b 的值．19．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n ∥，3c a =，求角A ； （2）若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值． 答案．解：（1）∵m n ∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C ∈，∴22A C =或22A C +=， 从而A C =（舍）或2A C +=．∴2B =． ………………………………4分在Rt △ABC 中，3tan a A c ==，6A =． …………………………………6分 （2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin aC c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A ∈，∴(0,)2A ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=4223138255315--+⨯． …………………………………14分 20．设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角。
三角函数与平面向量结合问题-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题04三角函数与平面向量结合问题类型对应典例三角函数的定义与平面向量的运算相结合典例1三角恒等变换与平面向量运算相结合典例2三角函数的图象与平面向量相结合典例3三角函数的性质与平面向量、不等式相结合典例4三角函数图象的性质与平面向量运算相结合典例5平面向量的数量积运算与三角函数相结合典例6三角函数的性质与平面向量的数量积相结合典例7【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 和单位圆上的两点()10B ,，34,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 是劣弧 BC上一点，BOC α∠=，BOP β∠=．（1）若OC OP ⊥，求()()sin sin παβ-+-的值；（2）设()f t OA tOP =+ ，当()f t 的最小值为1时，求OP OC ⋅的值．【思路引导】（1）根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，利用2πβα=-可求得sin cos βα=-，结合诱导公式可化简求出结果；（2）利用向量坐标表示可得到()2cos ,sin OA tOP t t ββ+=+ ，可求得224cos 4OA tOP t t β+=++ ，根据二次函数性质可求得22min44cos OA tOP β+=- ，从而利用()f t 的最小值构造方程可求得2cos β，根据角的范围可求得sin β和cos β，进而根据数量积的坐标运算可求得结果.【典例2】在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =-．（1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//a b c + ，求β的值．【思路引导】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．【典例3】已知向量a m x (,cos 2)= ，b x n (sin 2,)= ，设函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【思路引导】（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点(12π和点2(,2)3π-代入就可得到关于,m n 的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到()y g x =的解析式，利用最高点到点(0,3)的距离的最小值为1求得ϕ角，得()2cos 2g x x =，求减区间需令[]22,2x k k πππ∈+解x 的范围【典例4】已知函数()()f x a b c=+，其中向量()sin ,cos a x x =-，()sin ,3cos b x x =-，()cos ,sin c x x =-，x ∈R .（Ⅰ）若()52f α=，588ππα-<<-，求cos 2α的值；（Ⅱ）不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)利用向量数量积公式得到()f x 后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,根据已知条件及同角公式解得3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再将所求变成33cos 2cos 244ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦后,利用两角差的余弦公式求得;(Ⅱ)将不等式恒成立转化为最大最小值可解得.【典例5】已知向量()a cos x cos x ωω=-，，()b sin x xωω=（ω＞0），且函数()f x a b=⋅的两个相邻对称中心之间的距离是4π．（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）若函数()()1g x m x =+-在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）首先利用平面向量的数量积的应用求出函数的关系式，进一步把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的零点和方程之间的转换的应用，利用函数的定义域和值域之间的关系求出m 的范围．【典例6】已知实数0θπ≤≤，()cos ,sin a θθ= ，()0,1j = ，若向量b满足()0a b j +⋅= ，且0a b ⋅= .（1）若2a b -= ，求b；（2）若()()f x b x a b =+- 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数θ的取值范围.【思路引导】（1）设出b 的坐标，结合0a b ⋅= 、2a b -= 、()0a b j +⋅= ，解方程，先求得θ的值，再求得b的坐标.（2）利用向量模的运算、数量积的运算化简()f x 表达式，结合二次函数的性质列不等式，解不等式求得b的取值范围.设出b的坐标，结合()0a b j +⋅= 、0a b ⋅= ，解方程，用θ表示出2b ，根据b 的取值范围列不等式，解不等式求得cos θ的取值范围，进而求得θ的取值范围.【典例7】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，向量ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．（1）若π6βα=-，求向量OA 与OB 的夹角；（2）若2AB OB ≥对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围．【思路引导】(1)由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得1cos sin 62πθ==.则向量OA 与OB的夹角为3π.(2)原问题等价于2230OA OB λ-⋅-≥任意实数,αβ都成立.分离参数可得()23sin 2λαβλ-≥-任意实数,αβ都成立.结合三角函数的性质求解关于实数λ的不等式可得3λ≥.1.已知向量)1,2sin a x xωω=+，)()0b x x ωωω=->r .（1）当2x k πωπ≠+，k Z ∈时，若向量()1,0c =r ，)d =u r ，且()()//a c b d -+r r r u r，求224sin cos x x ωω-的值；（2）若函数()f x a b =⋅ 的图象的相邻两对称轴之间的距离为4π，当,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．2.已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2Am x n x x A ==>，函数()f x m n =⋅ 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.3.已知点()2,0A ，()0,2B -，()2,0F -，设AOC α∠=，[)0,2απ∈，其中O 为坐标原点.（1）设点C 在x 轴上方，到线段AF 3AFC π∠=，求α和线段AC 的大小；（2）设点D 为线段OA 的中点，若2OC =uuu r，且点C 在第二象限内,求)cos y OB BC OA α=⋅+⋅ 的取值范围.4.已知向量())2=+ a x ωϕ，22,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ b ，其中0>ω，02πϕ<<，函数()f x a b =⋅ 的图像过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）计算()()()122019f f f ++⋅⋅⋅+的值．5.已知向量)()2,1,cos ,cos 1m x n x x ωωω==+，设函数()f x m n b =⋅+ .（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，[]0,3ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.6.已知(sin ,cos ),(sin ,sin )a x x b x x ==，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的对称轴方程；（2）若对任意实数[,]63x ππ∈，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．7.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC = ，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC = ，(1cos ,sin 2cos )n x x x =-- ，求m n ⋅ 的最小值及对应的x 值．8.已知向量(p = ，()cos ,sin q x x =.（1）若//p q u r r，求2sin 2cos x x -的值；（2）设函数()f x p q =⋅ ，将函数()f x 的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再把所得的图象向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.9.已知向量(3sin ,cos )x x =m ，(cos )x x =-n ，3()2f x =⋅-m n .（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值；（2）若方程()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.10.已知O 为坐标原点，()22cos ,1OA x =，()OB x a=+()R,R x a a ∈∈且为常数，若()•f x OA OB =.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值.参考答案【典例1】解：（1）由34,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭可知：4sin 5α=，3cos 5α=-OC OP⊥ 2πβα∴=-3sin sin cos 25πβαα⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭()()431sin sin sin sin 555παβαβ∴-+-=-=-=（2）由题意得：()cos ,sin P ββ()2,0OA ∴= ，()cos ,sin OP ββ=()2cos ,sin OA tOP t t ββ∴+=+()()22222cos sin 4cos 4OA tOP t t t t βββ∴+=++=++ 当2cos t β=-时，22min44cos OA tOP β+=- ()min 1f t ∴==，解得：23cos 4β=1sin 2β∴==0βα<< 6πβ∴=3cos 2β∴=31,22P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭3414525210OP OC -⎛⎫∴⋅=-⨯+⨯=⎪⎝⎭【典例2】解：（1）因为()cos sin a αα= ，，()sin cos b ββ=- ，，()12c =-，所以1a b c ===，且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=-+=-.因为a b c += ，所以22a b c +=，即2221a a b b +⋅+= ，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．（2）因为5π6α=，所以3122a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，．依题意，1sin cos 22b c ββ⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，．因为()//a b c +，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ-=，所以()π1sin 32β-=．因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．【典例3】试题解析：（1）由题意知．()y f x =的过图象过点(12π和2(,2)3π-，所以sincos ,66442sin cos ,33m n m n ππππ=+-=+即13,2212,22m n m n =+-=--解得{1.m n ==（2）由（1）知．由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++．设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，1=，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．将其代入()y g x =得sin(216πϕ+=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin(22cos 22g x x x π=+=．由222,k x k k πππ-+≤≤∈Z 得,2k x k k πππ-+≤≤∈Z ，所以函数()y f x =的单调递增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈【典例4】解：()()f x a b c=+()()sin ,cos sin cos ,sin 3cos x x x x x x =--- 222sin 2sin cos 3cos 1sin 22cos x x x x x x=-+=-+32cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭（Ⅰ）若()52f α=，则352242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3sin(244πα+=，由588ππα-<<-∴544ππα-<2<-，即3242πππα-<2+<，则3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则333333cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦142424⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴()22f x m -<-<，即()()22f x m f x -<<+在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，372,44x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当324x ππ+=，即8x π=时,()f x 取得最大值，最大值为()max 2f x =，当33242x ππ+=，即38x π=时,()f x 取得最小值，最小值为()min 322f x π=+2=,则2222m m >-⎧⎪⎨<-+⎪⎩,得04m <<，即实数m的取值范围是(0,4-.【典例5】解：（1）向量()a cos x cos x ωω=-，，()b sin x x ωω= ，所以()f x a b =⋅= sinωx •cosωx cos 2ωx ()121222232sin x cos x sin x πωωω⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭．函数的两个相邻对称中心之间的距离是4π．所以函数的最小正周期为2π，由于ω＞0，所以242πωπ==，所以f （x ）＝sin （4x 3π-）．则f （6π）4632sin ππ⎛⎫=⋅--= ⎪⎝⎭sin 332π-=0．（2）由于f （x ）＝sin （4x 3π-）．则()()1g x m x =+-在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点，即31432m x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭0，即m 1432x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以24333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，在24333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数的图象与y ＝m 有两个交点，最高点除外．当433x ππ-=时，m 31222=+=，当432x ππ-=时，m 12=，所以当m 122⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，函数的图象在在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点．【典例6】解：（1）设()00,b x y = ，则()00cos ,sin b x a y θθ=+++ ，∵0a b ⋅=，由2a b -= 得()24a b-= ，得2224a a b b -⋅+= ，得2104b -+= ，得b =，∵()0a b j +⋅=，∴0sin 0y θ+=，∴0sin y θ=-，∵0a b ⋅= ，∴00cos sin 0x y θθ+=，∴20sin cos x θθ=，∴()22222002sin 3sin cos x y b θθθ⎛⎫=+=⇒+- ⎪⎝⎭3tan θ=⇒=，∵[]0,θπ∈，∴3πθ=，或23πθ=，∴当3πθ=时，032x =，032y =-，当23πθ=时，032x =-，032y =-，所以3,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或3,22b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.（2）()()()1f x b x a b xa x b =+-=+-==∵()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以对称轴()2221221b b--≤+ ，即1b ≤ ，设()00,b x y = ，则()00cos ,sin b x a y θθ=+++，又∵()0a b j +⋅= ，且0a b ⋅= ，∴0sin y θ=-，20sin cos x θθ=.∴22222020sin sin 1cos x b y θθθ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭，即22sin cos θθ≤，21cos 2θ≥，∴,11,22cos θ⎤⎡∈--⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ，∴30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .【典例7】解析：（1）由题意，()cos ,sin (0)OA λαλαλ=> ，()sin ,cos OB ββ=-，所以OA λ= ，1OB =，设向量OA 与OB的夹角为θ,所以()()cos sin sin cos cos sin 1OA OB OA OBλαβλαβθαβλ-+⋅===-⋅⋅.因为6πβα=-，即6παβ-=，所以1cos sin 62πθ==.又因为[]0,θπ∈，所以3πθ=,即向量OA 与OB 的夹角为3π.（2）因为2AB OB ≥ 对任意实数,αβ都成立，而1OB =,所以24AB ≥，即()24OB OA-≥任意实数,αβ都成立..因为OA λ= ，所以2230OA OBλ-⋅-≥任意实数,αβ都成立.所以()22sin 30λλαβ---≥任意实数,αβ都成立.因为0λ>，所以()23sin 2λαβλ-≥-任意实数,αβ都成立.所以2312λλ-≥，即2230λλ--≥，又因为0λ>，所以3λ≥1.【思路引导】（1）先将a c -r r 和b d +r u r用坐标形式表示出来，然后根据向量平行对应的坐标表示得到tan x ω的值，然后利用22sin cos 1x x ωω+=将224sin cos x x ωω-进行变形即可求值；（2）计算并化简()f x ，根据相邻两对称轴之间的距离为4π求解出ω的值，然后根据x 范围即可求解出()f x 的最大值和最小值.解：（1）因为),2sin a c x x ωω-=r r，),cos b d x x ωω+=r u r，又因为()()//a c b d -+r r r u r，2cos x x x ωωω=，又因为()2x k k Z πωπ≠+∈，所以3tan 6x ω=，所以22222222114sin cos 4tan 1834sin cos 1sin cos tan 113112x x x x x x x x ωωωωωωωω----====-+++；（2）()))112sin cos f x a b ωx ωx ωx ωx=⋅=+-+)22cos 1sin 2sin 222sin 23x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴之间的距离为4π，所以242T ππ=⨯=，所以224Tπω==，所以2ω=，所以()2sin 43πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,36ππx π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()max 2sin 22f x π==，此时24x π=，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时8x π=-.2.【解析】（Ⅰ）()(sin ,1)cos ,cos 2)sin 2.26A f x m n x x x A x π⎛⎫=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭因为()f x m n =⋅的最大值为6，所以 6.A =（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，得到()6sin 26sin 2.1263t x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()6sin 4.3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为5[0,24x π∈所以74,336x πππ≤+≤()6sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为76sin 3,6π⨯=-最大值为6sin 6,2π⨯=所以()g x 在5[0,]24π上的值域为[]3,6.-3.【思路引导】（1）过点C 作AF 的垂线，垂足为点E ，可得出CE =2CF =，可得出OCF ∆为等边三角形，可求出α的值，然后在ACF ∆中利用余弦定理求出AC ；（2）由题中条件求出DC 、OB 、OA的坐标，化简)cos y OB BC OA α=⋅+⋅ 的解析式为4cos 223y πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据α的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可求出y 的取值范围.解：（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =在直角三角形FCE 中，2sin CEFC CFE==∠，又2OF =，3OFC π∠=，所以OFC ∆为正三角形.所以3FOC π∠=，从而23FOC παπ=-∠=.在AFC ∆中，AC ===；（2）()2,0A ，点D 为线段OA 的中点，()1,0D ∴，2OC = 且点C 在第二象限内，()2cos ,2sin C αα∴，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而()2cos 1,2sin DC αα=- ，()2cos ,2sin 2BC αα=+ ，()2,0OA = ，()0,2OB =-，则)2cos cos 4cos y OB BC OA αααα=⋅+⋅=-+()221cos 24cos 223πααα⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以472,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而1cos 2123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，04cos 2263πα⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，因此，)cos y OB BC OA α=⋅+⋅的取值范围为(]0,6.4.【思路引导】（1）先求出()1cos 2()f x x ωϕ=-+，则()1,2B 为函数()f x 的图象的一个最高点，又点B 与其相邻的最高点的距离为4，所以242πω=，可得4πω=，再将点()1,2B 代入求出4πϕ=即可求出()1sin 2f x x π=+，最后令322222k x k πππππ+≤≤+解之即可求出函数()f x 的单调递减区间；（2）根据函数()f x 的最小正周期4，则()()()()()()()()()()1220195041234123f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++⎡⎤⎣⎦求出()1f 、()2f 、()3f 、()4f 的值代入计算即可.解：（1）因为())2=+a x ωϕ，22,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭b ())1cos2()22∴=⋅=-+=-+ f x a b x x ωϕωϕ()max 2∴=f x ，则点()1,2B 为函数()f x 的图象的一个最高点．点B 与其相邻的最高点的距离为4，242∴=πω，得4πω=． 函数()f x 的图象过点()1,2B ，1cos 222⎛⎫∴-+=⎪⎝⎭πϕ即sin 21=ϕ.02πϕ<<，4πϕ∴=．()1cos 21sin 442⎛⎫∴=-+=+ ⎪⎝⎭f x x x πππ，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈．()f x ∴的单调递减区间是[]41,43++k k ，k Z ∈．（2）由（1）知，()1sin2=+f x x π，()f x ∴是周期为4的周期函数，且()12f =，()21f =，()30f =，()41f =()()()()12344∴+++=f f f f 而201945043=⨯+，()()()12201945042102019∴++⋅⋅⋅+=⨯+++=f f f 5.思路引导：（1）根据平面向量数量积运算求解出函数()•f x m n b =+，利用函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈可得1ω=，结合三角函数的性质可得其单调区间；（2）当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出函数()f x 的单调性，函数()f x 有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b 的取值范围.试题解析：解：向量),1m x ω=，()cos ,cos21n x x ωω=+，()2•cos cos 1f x m n b x x x bωωω=+=+++133sin2cos2sin 222262x x b x b πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭（1）∵函数()f x 图象关于直线6x π=对称，∴()2•662k k Z πππωπ+=+∈，解得：()31k k Z ω=+∈，∵[]0,3ω∈，∴1ω=，∴()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）知()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．又()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，∴当70312f f ππ⎛⎫⎛⎫>≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭时函数()f x 有且只有一个零点．即435sinsin326b ππ≤--<或3102b ++=，所以满足条件的3352,22b ⎛⎤-⎧⎫∈-⋃- ⎨⎬⎥ ⎩⎭⎝⎦．6.【详解】（I ）()21cos21sin sin cosx sin222x f x a b x x x -=⋅=+⋅=+ 21sin 2242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令242x k k Z πππ-=+∈，，解得328k x k Z ππ=+∈．∴f x （）的对称轴方程为328k x k Z ππ=+∈，．（II ）由1f x （）≥得1sin 21242x π⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即sin 242x π⎛⎫-≥⎪⎝⎭，∴3222444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，．故x 的取值集合为42xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，．（Ⅲ）∵63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴5212412x πππ≤-≤，又∵sin y x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，∴5sinsin 212412x sin πππ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，又5sinsin 12644πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值是()2621332424max f x ++=⨯+=，∵2f x m -（）＜恒成立，∴2max m f x -＞（），即354m ->，∴实数m 的取值范围是35,4⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．7.【思路引导】（1）设D （t ，0）（0≤t ≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）由题意得⋅=m n1sin （2x 4π+），再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．解：（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22,22C ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭所以22OC OD t ⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=-+21(01)22t t ⎛=-+≤≤ ⎪⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +uuu r uuu r最小值为2．（II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，124m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=8.解：（1）(p = ，()cos ,sin q x x = ，且//p q u r r，sin x x ∴=，则tan x =222222sin cos cos 2tan 1231sin 2cos sin cos tan 14x x x x x x x x x ---∴-===++；（2）()cos 2sin 6f x p q x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ，由题意可得()52sin 22sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()5222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得()236k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈.∴函数()y g x =的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦.9.【思路引导】（1）先通过数量积求出5()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数即可求出最大值．（2）方程()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根表示()f x a =与y 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，画出()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图像易得a 的取值范围．【详解】（1）2333()3sin cos sin 2222f x x x x x =⋅-=--=-+m n 35(1cos 2)sin 2cos 2222226x x x x π⎛⎫+-=-+=+ ⎪⎝⎭.当52262x k πππ+=+，即6x k ππ=-，k ∈Z 时，函数f （x ）取得最大值.（2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.而函数()g x x =在区间53,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间311,26ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增.又113,622g g ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，562g π⎛⎫= ⎪⎝⎭.结合图象（如图），所以方程()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根时，2a ⎛∈- ⎝⎦.故实数a 的取值范围为2⎛- ⎝⎦.10.【思路引导】（1）通过向量的数量积，把OA ，OB的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式，进而得到函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）通过x ∈[0，2π]，求出相位的范围，然后求出函数的最大值，利用最大值为2，直接求得a ．解：(1)由题意()()22cos ,1,(,,OA x OB x a x R a R a ==-∈∈ 是常数）所以()22cos cos212sin 216f x x x a x x a x a π⎛⎫=++=+++=+++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22ππ=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 有最小值a ,所以2a =.。
2019届高考数学二轮复习第三部分回顾教材以点带面3回顾3三角函数与平面向量必练习题
回顾3 三角函数与平面向量[必练习题]1．已知tan α＝3，则cos （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( )A ．－13B ．－3 C. 13D ．3解析：选A.cos （π－α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13.2．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A.由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32D ．2解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32，所以当t＝12时，函数取得最大值32. 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22D ．－24解析：选D.依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，所以φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. 5．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0＜φ＜x )图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选B.因为x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C.由题意知c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.7．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角可能是( ) A.π6 B.π3 C.π4D.3π4解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，故选D.8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________．解析：a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－69．已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为________．解析：依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1. 答案：－110．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________．解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，所以f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12. 答案：1211．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则csin C＝______．解析：依题意得，12bc sin A ＝34c ＝3，则c ＝4.由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，因此a sin A ＝13sin 60°＝2393.由正弦定理得c sin C ＝2393.答案：2393。
2019高考数学专题三角函数与向量word资料7页
专题：三角函数与平面向量【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.题型一 结合三角函数的性质，考查三角函数的最值与向量运算【例1】（高考陕西卷）()f x a b =⋅r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r ，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如sin()y A x k ωϕ=++，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值.【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan α2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例5】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】 平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12．（Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值．（Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.[点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有利用分别求出b 、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B 的范围.【专题训练】一、选择题1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝ （ ） A ．1 B ．32 C ．12 D ．222．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是（ ） A ．2cos2x B ．－2cos2x C ．2sin2x D ．－2sin2x3．已知△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，若a →·b →＜0，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．任意三角形4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒ 5．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ） A ．→a ∥→b B ．→a ⊥→b C ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52 B ．32 C ．－52 D ．－32 7．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 （ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是（ ） A ． 2 B ． 3 C ．3 2 D ．2 39．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足（ ） A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )10．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为（ ）A ． 2B ．1C ．22D ．12 11．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 12．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角α,β(0≤α≤π,0≤β≤π)来表示它的方向，称α,β为非零向量→a 的方向角，称cos α,cos β为向量→a 的方向余弦，则cos 2α＋cos 2β＝（ ）A ．1B ．32C ．12D ．0二、填空题13．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________． 14．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA·→OB ＝－5，则S △AOB 的值为_____________.15．将函数f (x )＝tan(2x ＋π3)＋1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a ＝____________.16．已知向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4，且→m ·→n ＝－1.则向量→n ＝__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若→AB·→AC ＝→BA·→BC ＝k(k ∈R). （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若c ＝2，求k 的值．18．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．19．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．20．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； （Ⅱ）若→AC ⊥→BC ，求2sin 2α＋sin2α1＋tanα的值． 21．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)取最大值时，求角B 的大小.22．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案一、选择题1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．D 【解析】y ＝2sin2x －π2→y ＝2sin2（x ＋π2）－π2＋π2，即y ＝－2sin2x.3．A 【解析】因为cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝a →·b →|a →|·|b →|＜0，∴∠BAC 为钝角.4．B 【解析】由平行的充要条件得32×13－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.5．B 【解析】→a ·→b ＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈(π，3π2)，∴|sin θ|＝－sin θ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ． 6．A 【解析】c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ ＝52.7．B 【解析】考虑把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象变换为y ＝cosx 的图象，而y ＝sin(x ＋5π6)＝cos(x ＋π3)，即把y ＝cos(x ＋π3)的图象变换为y ＝cosx 的图象，只须向右平行π3个单位，所以m ＝π3，故选B.8．C 【解析】|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cosθ≤3 2.9．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)，→a －→b ＝(cos α＋cos β,sin α－sin β)，∴(→a ＋→b )·(→a－→b )＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )．10．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t 2|→b |2＋2t →a ·→b ＝1＋t 2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋22)2＋12，|→u |2 min ＝12，∴|→u |min ＝22.11．C 【解析】设BC 的中点为D ，则→AB＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP ＝2λ→AD ，所以→AP与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 一定通过△ABC 的重心． 12．A 【解析】设→a ＝(x,y)，x 轴、y 轴、z 轴方向的单位向量分别为→i ＝(1,0)，→j ＝(0,1)，由向量知识得cos α＝→i ·→a |→i |·|→a |＝x x 2＋y 2，cos β＝→j ·→a |→j |·|→a |＝y x 2＋y 2，则cos 2α＋cos 2β＝1. 二、填空题13．－8349 【解析】由→m ∥→n ，得－12sin θ＝23cos θ,∴tan θ＝－43，∴sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝－8349． 14．532 【解析】→OA·→OB ＝－5⇒10cos αco βs ＋10sin αsin β＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－12，∴sin ∠AOB ＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S △AOB ＝12×2×5×32＝532． 15．（π6，－1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1的图象向下平移1个单位，再向右平移－kπ2＋π6(k ∈Z)个单位．即应按照向量→a ＝(－kπ2＋π6，－1)(k ∈Z)进行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x ，y)，由→m·→n ＝－1，有x ＋y ＝－1 ①，由→m 与→n 夹角为3π4，有→m·→n ＝|→m |·|→n |cos 3π4，∴|→n |＝1，则x 2＋y 2＝1 ②，由①②解得⎩⎨⎧ x=﹣1y=0或⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1∴即→n ＝(－1，0)或→n ＝(0，－1) ． 三、解答题17．【解】（Ⅰ）∵→AB·→AC ＝bccosA ，→BA·→BC ＝cacosB ， 又→AB·→AC ＝→BA·→BC ，∴bccosA ＝cacosB ， ∴由正弦定理，得sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0，∴sin(A －B)＝0 ∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知b a =，∴→AB·→AC ＝bccosA ＝bc·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22，∵c ＝2，∴k ＝1.18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12，由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π3.(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f (x )有最大值32．当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]．19．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin 2A －1－cosA ＝0，即2cos 2A ＋cosA －1＝0，∴cosA ＝12或cosA＝－1.∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A ＝π3.(Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝32，∵B ＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝32，∴32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π6)＝32．20．【解】（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sinα－4) 2，则sinα＝cosα，因为α∈(－π，0)，∴α＝－3π4.（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得sinα＋cosα＝34，平方，得sin2α＝－716.而2sin 2α＋sin2α1＋tanα＝2sin 2αcosα＋2sinαcos 2αsinα＋cosα＝2sinαcosα＝sin2α＝－716． 21．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0，∵A 、B ∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π3.(Ⅱ)y ＝2sin 2B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π6).由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值2.22．【解】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，∴2cos 2x ＋sinxcosx ＋sin 2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x 2＝0， 即sin2x ＋cos2x ＝－3，∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π4)|≤2矛盾，故向量→a 与向量→b 不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x＝2(22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4)，∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2； 当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f(x)有最小值－1．。
2019年高考数学(文)考点通关训练第三章 三角函数、解三角形与平面向量 27 及答案
考点测试27 平面向量的量积及应用一、基础小题1．已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(m,1)，m ∈R ，若a ⊥b ，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．2D ．－2答案 A解析 由a ⊥b ，得a ²b ＝0，即－2m －1＝0，则m ＝－12.故选A.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →²AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16答案 D解析 因为cos A ＝|AC →||AB →|，故AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AC →|2＝16，故选D.3．已知向量a ＝(2,7)，b ＝(x ，－3)，且a 与b 的夹角为钝角，则实x 的取值范围为( )A ．x <212B ．－67<x <212C ．x <67D ．x <212且x ≠－67答案 D解析 由a ²b ＝2x －21<0，得x <212.当a 与b 共线时，2x ＝7－3，则x ＝－67.故x 的取值范围为x <212且x ≠－67.选D.4．已知|a |＝3，|b |＝5且a ²b ＝12，则a 在b 方向上的投影为( )A ．125B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ²b |b |＝125，故选A.5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →²CP →＝－32，则λ等于 ( )A ．12B ．1±22C ．1±102D ．－3±222答案 A解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP →＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →²CP →＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 3 2解析 由题意得(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a ²b ＝4＋|b |2－4³1³|b |cos45°＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝3 2.7．已知|a|＝|b |＝2，(a ＋2b )²(a －b )＝－2，则向量a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )²(a －b )＝－2，得a ²b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a²b |a ||b |＝22³2＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.8．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →²AN →的取值范围是________．答案解析 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，设M (x 1，3(x 1－2))，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2，32，由条件可得2|BM →|＝|CN →|，代入坐标简得4x 1＋x 2＝212，得x 2＝212－4x 1，所以AM →²AN →＝(x 1，3(x 1－2))²⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2，32＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫212－4x 1＋32(x 1－2)＝－4x 21＋12x 1－3，x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.由二次函的图象可知y ＝－4x 21＋12x 1－3在x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52上是减函，所以AM →²AN →的取值范围是．二、高考小题9．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 A解析 cos ∠ABC ＝BA →²BC →|BA →|²|BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°，故选A.10．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n⊥(t m ＋n )，则实t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B解析 因为n ⊥(t m ＋n )，所以t m ²n ＋n 2＝0，所以m ²n ＝－n2t，又4|m |＝3|n |，所以cos 〈m ，n 〉＝m ²n |m |²|n |＝4m ²n 3|n |2＝－43t ＝13，所以t ＝－4.故选B.11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →²BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118答案 B解析 建立平面直角坐标系，如图．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，所以BC →＝(1,0)．易知DE ＝12AC ，则EF ＝14AC ＝14，因为∠FEC ＝60°，所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫18，－38， 所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18，－538， 所以AF →²BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18，－538²(1,0)＝18. 故选B.12．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 答案 －23解析 因为a ⊥b ，所以x ＋2(x ＋1)＝0，解得x ＝－23.13．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ²b ＝1.若e 为平面单位向量，则|a ²e |＋|b ²e |的最大值是________．答案7解析 解法一：由已知易得a ，b 所成角为60°，如图．设向量e 与a 所成角为α，e 与b 所成角为β，则α与β的关系为β＝60°－α(e 在区域Ⅰ)或β＝60°＋α(e 在区域Ⅱ)或β＝300°－α(e 在区域Ⅲ)或β＝α－60°(e 在区域Ⅳ)．当β＝60°－α(e 在区域Ⅰ)时，|a ²e |＋|b ²e |＝cos α＋2cos β＝2cos α＋3sin α＝7sin(α＋φ)，其中tan φ＝233，则φ>30°，∵φ≤α＋φ≤60°＋φ， ∴|a ²e |＋|b ²e |的最大值为7. 同可得另三种情况下所求最大值均为7. 故|a ²e |＋|b ²e |的最大值为7.解法二：∵|a ²e |＋|b ²e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ²e |e |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ²e |e |，即a 在e 方向上投影的绝对值与b 在e 方向上投影的绝对值的和，∴当e 与a ＋b 平行时，|a ²e |＋|b ²e |取得最大值，|a ²e |＋|b ²e |的最大值＝|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ²b ＝7.14. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →²CA →＝4，BF →²CF →＝－1，则BE →²CE →的值是________．答案 78解析 由已知可得BE →＝BD →＋DE →＝12BC →＋23DA →＝12BC →－23AD →＝12(AC →－AB →)－13(AB →＋AC →)＝16AC →－56AB →，CE →＝CD →＋DE →＝12CB →＋23DA →＝12CB →－23AD →＝12(AB →－AC →)－13(AB →＋AC →)＝16AB →－56AC →， BF →＝BD →＋DF →＝12BC →＋13DA →＝12(AC →－AB →)－16(AB →＋AC →)＝13AC →－23AB →，CF →＝CD →＋DF →＝12CB →＋13DA →＝12(AB →－AC →)－16(AB →＋AC →)＝13AB →－23AC →，因为BA →²CA →＝4，所以AB →²AC →＝4， 则BF →²CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－23AB →²⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－23AC →＝19AB →²AC →－29AB →2－29AC →2＋49AB →²AC → ＝59AB →²AC →－29(AB →2＋AC →2)＝59³4－29(AB →2＋AC →2)＝－1， 所以AB →2＋AC →2＝292，从而BE →²CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16AC →－56AB →²⎝ ⎛⎭⎪⎫16AB →－56AC →＝－536AB →2－536AC →2＋2636AB →²AC →＝－536(AB →2＋AC →2)＋2636AB →²AC →＝－536³292＋2636³4＝6372＝78. 三、模拟小题15．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →²AC →＝－4，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．5C ．2D ．3答案 C解析 ∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2.∵AB →²AC →＝|AB→|²|AC →|cos A ＝22³2cos A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|²|AC →|sin A ＝2.故选C. 16．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A ．12B ．32C ．－12D ．－32答案 A解析 由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos ∠ABC ＝1³cos60°＝12.故选A.17. 如图，在等腰直角△ABO 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝1，OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任一点，OP →＝p ，则p ²(b －a )＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 A解析 OP →²(OB →－OA →)＝OP →²AB →＝(OA →＋AC →＋CP →)²AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →＋14AB →＋CP →²AB →＝OA →²AB →＋14AB →2＋CP →²AB →＝1³2³cos 3π4＋14(2)2＋0＝－12.∴p ²(b －a )＝－12.18．向量a ＝(2,0)，b ＝(x ，y )，若b 与b －a 的夹角等于π6，则|b |的最大值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．433答案 C解析 由题意可知a ，b 不共线且|a |＝2，由a ＝b －(b －a )，则有|a |2＝|b －a |2＋|b |2－2|b －a |²|b |cos π6，即4＝|b －a |2＋|b |2－2|b |²|b －a |³32，即|b －a |2－3|b |²|b －a |＋|b |2－4＝0，则判别式Δ＝(3|b |)2－4(|b |2－4)≥0，即3|b |2－4|b |2＋16≥0，∴|b |2≤16，即|b |≤4，∴|b |的最大值为4.19．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．答案 233解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形．设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b . ∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos30°＝233.20．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ²b ＝3，若(c －2a )²(2b －3c )＝0，则|b －c |的最大值是________．答案2＋1解析 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝32³3＝22，∵θ∈，∴θ＝π4.设OA →＝a ，OB →＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )²(2b －3c )＝0，∴(x －2)²(6－3x )＋(y －2)²(－3y )＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝1，故点C 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上．又知b －c ＝(3－x ，－y )，∴|b －c |＝ x －3 2＋y 2≤ 3－2 2＋ 0－1 2＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1.一、高考大题1．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.二、模拟大题2． 如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实m ，n 的值． 解 (1)由已知条件易知 OA →²OB →＝|OA →|²|OB →|²cos∠AOB ＝－3，OA →²OC →＝|OA →|²|OC →|²cos∠AOC ＝－4，OB →²OC →＝0，∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →²OB →＋OA →²OC →＋OB →²OC →)＝9，∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3. (2)由OC →＝mOA →＋nOB →，可得 OA →²OC →＝mOA →2＋nOA →²OB →，且OB →²OC →＝mOB →²OA →＋nOB →2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4.3．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)． (1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．解 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)， ∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.① (2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)， 又AC →⊥BD →，∴AC →²BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 联立①②，简得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6， 此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|²|BD →|＝16；当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|²|BD →|＝16.4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a²b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a²b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．解 (1)a²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2，∴|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.。
2019高考数学考前刷题大卷练7三角函数、解三角形、平面向量(文)(含解析)
大卷练7 三角函数、解三角形、平面向量大卷练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西榆林第一次测试]已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，则cos α·tan α的值是( ) A ．－45 B.45C ．－35 D.35答案：A解析：因为角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，所以cos α＝35，tan α＝－43，所以cos α·tan α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－45. 2．[2019·四川遂宁]已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1相交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( ) A ．1 B.12C ．－32 D ．－12答案：B解析：∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 在单位圆上，∴y ＝±32，∴α＝π3＋2k π，k ∈Z 或－π3＋2k π，k ∈Z .∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π3＋2k π＝cos π3＝12.故选B. 3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f (1)的值为( )A ．－ 3B ．－1C ．1 D. 3答案：B解析：根据题中所给图象可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13＝2，A ＝2，ω＝2πT ＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π×23＋φ＝－2，又0<φ<π，所以φ＝5π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋56π，所以f (1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋5π6＝－1，故选B. 4．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是( )A ．②③ B．①②C ．③④ D．①④答案：A解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.5．[2019·宁夏育才中学月考]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调，则f (x )的最小正周期是( ) A.π6 B.π3C.π2D ．π 答案：D解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋π62＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0， 据此可得函数的最小正周期T ≥4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝2π3， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以函数在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得最值，则函数的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π.故选D. 6．[2018·全国卷Ⅱ]若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2C.3π4D ．π 答案：A解析：f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当。
2019年高考数学(文)考点通关训练第三章 三角函数、解三角形与平面向量 22 及答案
考点测试22 简单的三角恒等变换一、基础小题1．已知tan α＝2，则sin2αcos 2α的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 C解析 sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝4，故选C.2．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33 D ．－33 答案 B解析 ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1＋132＝－63. 3.＋2α1＋cos2α·cos 2α＋α等于( ) A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α 答案 D 解析 原式＝－sin2α2α＋cos2α－sin α＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.4．cos20°cos40°cos80°的值为( ) A.12 B.14 C.18 D.116 答案 C解析 cos20°·cos40°·cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.5．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12 D ．2答案 D解析 依题意得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，所以2sin αcos α＝1，从而tan α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝22sin αcos α＝2，因此选D.6．若tan20°＋m sin20°＝3，则m 的值为________． 答案 4解析 由于tan20°＋m sin20°＝3， 所以m ＝3－tan20°sin20°＝3cos20°－sin20°sin20°cos20°＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos20°－12sin20°12sin40°＝－sin40°＝4.7．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.答案 －12解析 解法一：由题意知，sin α＝－35，所以1＋tanα21－tanα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.解法二：tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝1＋45－35＝－3，所以1＋tanα21－tanα2＝－12.8．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1＋tan 213°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a <c <b解析 a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°， b ＝2sin13°cos13°1＋sin 213°cos 213°＝2sin13°cos13°＝sin26°，c ＝1－－2sin 22＝sin25°，由于sin α在(0°，90°)上单调递增，故a ，b ，c 的大小关系为a <c <b .二、高考小题9．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56 答案 A解析 tan β＝tan ＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17，故选A.10．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 ∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∴A ＝2，b ＝1.11．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.答案 －43解析 解法一：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35，∴sin θ＋cos θ＝325， ①∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，②由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210， ∴tan θ＝－17，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，又2k π－π2<θ<2k π，k ∈Z ，∴2k π－π4<θ＋π4<2k π＋π4，k ∈Z ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.12．函f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 由三角恒等变换公式得f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋2φ)－2sin φ(cos x cos φ－sin x sin φ) ＝sin(x ＋2φ)－cos x sin2φ－sin x cos2φ＋sin x ＝sin(x ＋2φ)－sin(x ＋2φ)＋sin x ＝sin x ，故函f (x )的最大值为1. 三、模拟小题13．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析 解法一：由sin θ＋cos θ＝a 可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得sin θ·cos θ<0且|sin θ|<|cos θ|，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.解法二：用单位圆中三角函线的知识可知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.14．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365 C.3365 D.6365答案 C解析 ∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝( )A ．－518 B.518 C ．－79 D.79答案 D解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝13，得32sin α＋12cos α－cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－29＝79.16．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 C解析 解法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos2αcos π3－sin 2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.17．已知sin α－sin β＝63，cos α－cos β＝33，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α－β2＝________.答案 32解析 由题意得sin α－sin β＝63 ①，cos α－cos β＝33②，①2＋②2得，2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，即cos(α－β)＝12，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1＋α－β2＝34， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α－β2＝32.18．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2α＝268.一、高考大题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.2．已知函f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒22A ＝322⇒A ＝3.(2)由f (θ)－f (－θ)＝3，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3， 简整得6sin θcos π3＝3，∴3sin θ＝3，∴sin θ＝33. ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 二、模拟大题3．已知函f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250.4．设sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin(α－β)，cos2α，tan β2的值． 解 ∵sin α＝－35，sin β＝1213， 且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45， cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213＝6365， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725， tan β2＝sin β1＋cos β＝12131－513＝32. 5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围． 解 (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围是．6．已知函f (x )＝cos x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋34. (1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋5π12＝310，0<θ<π2，求tan θ的值； (2)求f (x )的最小正周期及函g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2的单调增区间． 解 f (x )＝cos x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋34 ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos x ＋34 ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x －32cos x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34cos2x －34＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋5π12＝310，所以12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6－π3＝310， 即12cos θ＝310，所以cos θ＝35. 又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45， 从而tan θ＝sin θcos θ＝43. (2)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 又g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π3＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 令2k π＋π2≤x ＋π3≤2k π＋3π2， 得2k π＋π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z ， 故g (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z )．。
2019年高考数学(文)考点通关训练第三章 三角函数、解三角形与平面向量 21 及答案
考点测试21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、基础小题1.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22 C. 2 D.12答案 D解析 原式＝sin40°2cos50°＝sin40°2sin40°＝12.2．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－83 C ．－237 D ．－247答案 D解析 ∵α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，∴sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－34，于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选D.3．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3，故选A.4．简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45° ＝cos15°cos45°－sin15°sin45° ＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12，故选A.5．下列各式中，值为32的是( )A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°答案 B解析 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，2sin 215°－1＝－co s30°＝－32，sin 215°＋cos 215°＝1.故选B.6．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.7．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327答案 D解析 ∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝223，∴sin2α＝429，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.8.3－sin70°2－cos 210°＝________. 答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos20°＋12＝2 3－cos20°3－cos20°＝2.二、高考小题9．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析 解法一：sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D.解法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35⇒cos α＋sin α＝325⇒1＋sin2α＝1825， ∴sin2α＝－725.故选D.10．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.11．cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案 22解析 由二倍角公式易得cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 12．sin15°＋sin75°的值是________． 答案 62解析 sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62. 13．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan ＝tan α＋β －tan α1＋tan α＋β tan α＝17－ －2 1＋17× －2 ＝3.三、模拟小题14．sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝( ) A ．－12 B.32 C.22 D.12答案 D解析 sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12，故选D.15．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7 B.17 C ．－7 D ．－17答案 B解析 解法一：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即sin αcos βsin β－cos αsin 2β－cos αcos 2β－sin αsin βcos β＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.解法二：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.16．函f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3 答案 B解析 依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.17．已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23 B.13 C.35 D.23答案 B解析 由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tan α2＝sin α2cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13.18．(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)·(1＋tan18°)的值是( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 (1＋tan17°)(1＋tan28°)＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°，tan45°＝tan17°＋tan28°1－tan17°tan28°＝1，∴1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝2，∴(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)(1＋tan18°)＝4，故选B.一、高考大题 1．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3.(2)原式＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 2．已知函f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解 (1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函，又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.二、模拟大题3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值； (2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解 (1)解法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.解法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12×1＝－13.(2)解法一：sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α＝tan α－12＝－13－12＝－56.解法二：由(1)知tan α＝－13，得sin α＝－13cos α.∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.∴sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.4．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin2x －cos2x )＋cos2x ＝12(sin2x ＋cos2x )＋12.由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，所以，f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得，f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2＋12. 5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求：(1)sin2α；(2)tan α－1tan α. 解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12， 又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2·－3212＝2 3. (或者∴2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝2 3.) 6．已知向量a ＝⎝ ⎛ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， f (x )＝2a ·b －1.(1)求函f (x )的最小正周期；(2)求函f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6. 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32，所以函f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，1.。
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2019届高三数学 第35练 高考大题突破练—三角函数与平面向量
(1)求ω和φ的值；
(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2
)的值．
2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2
＝3ac .
(1)求角B 的大小；
(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．
3．(2016·贵阳第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设BC的中点为D，且AD＝3，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．
4.(2016·天津一中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，f (A )
＝12－34
，求△ABC 的面积S .
5．“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B ，C ，D )．当返回舱距地面1万米的P 点的时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．
(1)求B ，C 两救援中心间的距离；
(2)D 救援中心与着陆点A 间的距离．
答案精析
1．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，
从而ω＝2πT
＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2
，k ∈Z ， 即φ＝－π6
＋k π，k ∈Z . 由－π2≤φ<π2
，得k ＝0， 所以φ＝－π6
. (2)由(1)，得f (x )＝3sin(2x －π6
)， 所以f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，即sin(α－π6)＝14
. 由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2
， 所以cos(α－π6
)＝1－sin 2(α－π6
) ＝1－(14)2＝154. 因此cos(α＋3π2
)＝sin α ＝sin[(α－π6)＋π6
] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158
. 2．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32
. 因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6
. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，
可得2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )，
即2sin B cos A ＝3sin B .
因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，
所以cos A ＝32
， 所以A ＝π6，则C ＝π－A －B ＝2π3
. 设AC ＝m (m >0)，则BC ＝m ，
所以CM ＝12
m . 在△AMC 中，由余弦定理，得
AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM ·AC ·cos 2π3
， 即(7)2＝14m 2＋m 2－2·12m ·m ·(－12
)，整理得m 2＝4，解得m ＝2. 所以S △ABC ＝12CA ·CB sin 2π3＝12×2×2×32
＝ 3. 3．解 (1)因为m ∥n ，
所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0.
由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2
＝ac . 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12
. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3
. (2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，
由B ＝π3，可知θ∈(0，2π3
)． 由正弦定理及AD ＝3，得BD
sin θ＝AB sin ?2p 3－θ?＝AD sin π3＝2， 所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin(2π3
－θ)＝3cos θ＋sin θ. 所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.
从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin(θ＋π6
)．
由θ∈(0，2π3)，可知θ＋π6∈(π6，5π6
)， 所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3
时，a ＋2c 取得最大值4 3. 此时a ＝23，c ＝3，
所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332
. 4．解 (1)∵函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ， ∴最小正周期T ＝2π2
＝π， 值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32
，1＋32. (2)∵2AC →·CB →＝2ab ，
∴2ab ·cos(π－C )＝2ab ，cos C ＝－
22，∴C ＝3π4. 又f (A )＝12－34， ∴12－32sin 2A ＝12－34，sin 2A ＝12
， ∴A ＝π12，∴B ＝π6
. 由正弦定理，得a sin π12＝b sin π6＝c sin 3π4
， 即a
6－24＝b 12＝222
2，解得a ＝6－2，b ＝2. ∴S ＝12
ab ·sin C ＝3－1. 5．解 (1)由题意知PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，
则△PAC ，△PAB 均为直角三角形，
在Rt △PAC 中，PA ＝1，∠PCA ＝60°，
解得AC ＝33
， 在Rt △PAB 中，PA ＝1，∠PBA ＝30°，
解得AB ＝3，又∠CAB ＝90°，
BC ＝AC 2＋AB 2＝303
万米． (2)sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝
3
10，cos ∠ACD ＝－1
10， 又∠CAD ＝30°，
所以sin ∠ADC ＝sin(30°＋∠ACD )＝33－1210
， 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠ACD ，AD ＝AC ·sin∠ACD sin ∠ADC ＝9＋313万米．。