定积分在高中物理中的应用

量 的微 元 （本 题 为微 功 ）．
续 变化 的 ，这 就需 要借 助定 积分 求其 平均值 ．
一
７３ 一
２０１３年 第 ３期
物 理 通 报
物理 专题研修
【例 ２】如图 ２所 示 ，水平 弹簧振 子 的质量 为 ， 弹 簧 的劲度 系数 为 ，振 幅为 Ａ． １周期 内振 子从平
【例 ３１（第 ２２届 全 国 中学生 物 理 竞赛 预 赛 第 ９
图 ２
分 析 ：弹 力与位 移 的函数关 系 为 Ｆ一一船 ，则
ｒ＾
＝ ： 一一 一一 一号 专
√厂寺 —ｊ —Ｙ—ｍ— ｓ—ｉ ————ｆ— —４－— —一）ｄ ｒ 。
在 处理 实 际 问题 时 ，要 注 意 区分 交 变 电流 的有 效值 Ｉ与平 均值 Ｉ（电流 对 时间 的平均值 ）． ４ 定 积分在 高 中物理 中的 延伸应 用
＋Ｑ
０
表 达式 为 Ｅｐ一 ，电势 的表达式 为 一 ．这 两 个 表达 式在 处理 点 电荷 电场 中的 问题 时有 广泛 的应 用 ．
（３）根 据万 有 引力 Ｆ万一Ｇ Ｍ ｍ 与库仑 力 Ｆ—
ｋ Ｑ ｑ表 达式 的相 似性 不难 得 出 ： 引力 势 能 的表 达 式
分析 ：在 移动 过程 中 ，检验 电荷 所受 电场 力 为变 为 力．取 ｒ为 积分 变量 ，其 变化 区 间为 ［ｒ ，ｒ。］，将 积 分 路 径分 割 成无 数个 微元 ．
２０１３年 第 ３期
物理 通报
物理 专题研 修
定 积 分在 高 中物 理 中的应 用
王 朝 祥
（北 京 市 第 八 十 中学 北 京 １００１０２） （收稿 日期 ：２０１２—１２—１３）
摘 要 ：定 积 分是 研究 物 理 问 题 的 重 要 数 学 方 法 ，其 本 质 是 连 续 函数 的求 和 ．在 高 中 物理 教 学 中适 当 地 渗 透 定 积 分 “分 割 、建 立 微 元 、求 和 ”的思 想 方 法 ，有 助 于 学 生 对 物 理 概 念 的准 确 理 解 和 辨 析 ，有 助 于 提 升 学 生 运 用 数 学 知 识 处 理 物 理 问题 的 能 力 以 及 拓 展 思 维 空 间．本 文 以 变 力 做 功 、力 的两 种 平 均 值 、交 流 电 的 有 效 值 等 问 题 为 例 ，介 绍 定 积 分 在 高 中 物理 中 的 应 用 ．
（ ｚ
ｙ 一 ：
Ｚ ２ 一 Ｚ １
（１）解 题过 程体 现 了定 积 分 “分 割 、建 立 微 元 、
高 中物 理教 学 中 ，经 常用 到物理 量 的平均 值 ，如
求 和”的 思 想 方 法 ，其 中最 关 键 的环 节 是 写 出 待 求 平 均速 度 、平 均作 用力 、平 均 电流 等．若 物理 量 是连
关 键 词 ：定 积 分 微元 平 均 值
１ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 力做 功 问题
（２）结 合 “电 场 力 做 功 等 于 电 势 能 变 化 量 的 相 反 数”不难 得 出 ：点 电荷 Ｑ产 生 的 电场 中 ，电势 能 的
【例 １】如 图 １所示 ，电荷量 为 ＋Ｑ的场源 电荷 固 定 在 ｒ轴 的原 点 ０处 ，电荷 量为 ＋ｑ的检 验 电荷 置 于 ｒ轴 上 ，若将 检验 电荷 从 ｒ—ｒ 处 沿轴 正 方 向移 动 到 ｒ—ｒ 处 ，计 算 该过 程 中 电场 力所 做 的功．
（２）不 同 的物 理 过 程 内 ，物 理 量 的 平 均 值 一 般 不 同．因此 ，叙述 物 理 量 的平 均 值 时要 明确 所 对 应 的 物 理 过 程 ．
３ 交流 电的 有效值
想方 法上 ，不要 在数学 上提 出过 高要求 ． 对 于少部 分数学 基础好 、求 知欲 强 、学 有余力 的
学 生 ，可 以 引 导 他 们 运 用 积 分 和 微 元 的 思 想 自 主 探 索 一些 能力要 求较 高 的 问题 ，或 者对 一 些 高 中 阶段 只作定 性要求 的物 理 规 律进 行 定 量 推证 ，这 有 助 于 提升学 生探究 能 力 ，为进 入 高 校 后进 一 步 学 习 物 理 做一些 方法 上 的准备 ，下面举 例说 明．
Ｗ
ｉ ２（ｔ）ｄｔ
Ｉ：
衡 位 置运动 到右 端最 大 位 移处 ，求 此 过程 中弹 力 对 位 移 的平均 值Ｆ 和 弹力对 时间 的平均值Ｆ，．
由此 可见 ，交变 电流 的有 效 值 等 于其 瞬时 电 流 ｉ（ｆ）在一 个周期 内关 于 时 间 的方 均根 ．若 交 变 电 流 为正 弦交流 电 ，瞬时值 ｉ（ｆ）一ｊ ｓｉｎ（ｗｔ＋ ），有 效 值
－一 一 Ｇ
取 积 分路 径上 的任 意微 元 ［ｒ，ｒ＋ ｄｒ］，在检 验 电 荷 从 ｒ移 动 到 ｒ＋ｄｒ的过 程 中 ，电场力 的微 功近 似 为
ｄＷ ：＝＝ ｄｒ
于是 所 求 的功为
Ｗ＝ｆｄＷ：
总 结 与 反 思 ：
２ 力的 两种 平均值
连续 函数 ｙ＝＝＝－厂（ ）在 区间 ［ｚ ，ｚ：］上 的平 均值 Ｙ，等 于 函数 ｆ（ｘ）在 区 间［ｚ ， ］上 的定 积 分 除 以 区间长度 ，即
及 其在 实际 问题 中的应 用 ，多 数学 生在选 择微 元 、建
立积分 表达 式方 面存 在 困难 ，常 规 教学 应 该 定 位 于
带领 学生 体会 定 积 分 “分 割 、建 立微 元 、求 和 ”的 思
Ｆ（ｘ）ｄｘ — Ｆ。（ ２一 １）
ｒ ２
——
ｌ Ｆ（ｔ）ｄｔ＝Ｆｆ（ ２一￡１）
定积 分 的本 质 是连 续 函数 的求 和 ，在 高 中物 理
＝＝ ＝
教 学 中适 当地 渗透 定 积分 的思 想 方 法 ，有 助 于学 生
对 物理 概念 的准确 理 解 和辨 析 ，有 助 于提 升 学 生运
用 数学 知识处 理物 理 问题 的 能力 ，拓展思 维空 问．
另一方 面 ，鉴 于 高 中数 学 只是 初 步介 绍 定 积分