宁波市八校联考高一数学试题_4
浙江省宁波市八校联考09-10学年高一下学期期末试题 数学
宁波市 二00九学年第二学期 八校联考高一数学试题一、选择题(本大题共10个小题. 每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线10x -+=的倾斜角的大小为 （ ）A.30B. 60C. 120D. 1502．不等式260ax x -+>的解集是{32}x x -<<，则不等式260x x a -+>的解集是 （ ）A 11{}23x x -<<B 11{}32x x -<< C 11{}23x x x ><-或 D 11{}32x x x ><-或3．在ABC ∆中， sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC ∆ ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．各项都是正数的等比数列}{n a 中，2a ，321a ，1a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为（ ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215-或215+5．设m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．,//αγβγαβ⊥⊥⇒ B ．//,m l m l ββ⊥⇒⊥C ．//,////m n m n αα⇒D ． ,//m n m n αα⊥⊥⇒6．已知数列{}n a 中，12112009,2010,(2,)n n n a a a a a n n N -+===+≥∈，则这个数列的前2010项和2010S 等于 （ ）A ．0B ．1C ．2010D ．20117．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ， F ，且2EF =，则下列结论中错误的是 （ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值8．三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，1,2,3PA PB PC ===，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为 （ ）A ．27π B ．56π C ．14π D ．64π9．如果点P 在平面区域2202010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩内,点Q 在曲线221(2)4x y ++=上，那么||PQ 的最小值为（ ）A ．12BCD110．不等式22348()28()90x x a a a a ⋅+-⋅+-+>对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．13,(,)22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B ． 1(2,)4-C ．13(,)22- D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卡的相应位置) 11．在空间直角坐标系中，A (2,3,4)，(3,1,2)B 两点之间的距离为 ． 12．与直线4350x y ++=平行，且在y 轴上的截距为13的直线方程为 13．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 14．若a 是b 21+与b 21-的等比中项，则2211ba +的最小值是 ．15．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________________. 16．已知()()f x g x =+=-则min max ()()f x g x -= 17．定义：在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若{}n a 是“等方差数列”，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}(2)n-是“等方差数列”； ③若{}n a 是“等方差数列”，则数列{}kn a （k ∈N *，k 为常数）也是“等方差数列”； ④若{}n a 既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列． 其中正确的命题为 ．（写出所有正确命题的序号）宁波市二00九学年第二学期八校联考高一数学答题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11． 12. 13.14. 15. 16.17.三．解答题 (本大题共5个小题，共72分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18． (本小题14分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且32,cos 5a B ==． (1)若4b =，求sin A ；(2)若ABC ∆的面积4ABC S ∆=，求b 的值19．（本小题14分）已知圆C 圆心在直线1y x =-上，且过点(1,3)A ，(4,2)B .（1）求圆C 的方程；（2）若直线20x y m ++=与圆C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，且60MON ︒∠=，求m 的值．20．（本小题14分）如图，在等腰梯形PDCB 中，3,1,PB DC ==PD BC ==AD PB ⊥将PAD ∆ 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角P DC B --的大小；（3）若M 是侧棱PB 中点，求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值.21．（本小题15分）若关于x 的不等式2(3)280()m x mx m R --->∈的解集是一个开区间D ，定义开区间(,)a b 的长度l b a =-。
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。
浙江省宁波市八校高一数学下学期期末联考
宁波市 八校联考高一期末数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过点)3,1(-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ).A ．072=+-y xB ．012+-+y xC ．052=--y xD ．052=-+y x2．若正实数b a ,满足1=+b a ，则( ).A.ba 11+有最大值4 B ．ab 有最小值41C.b a +有最大值2 D ．22b a +有最小值22 3. 直线017tan=-+y x π的倾斜角是（ ）.A.7π-B.7πC.75π D .76π 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，)(3825a a S +=,则35a a 的值为 （ ）. A ．65 B ．31 C ．53 D ．61 5. 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值 ( ).A. 4B. 5C. 7D. 66. 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ， 记向量),(n m a =，)1,1(-=b 的夹角为θ，则⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ的概率（ ）.A.125 B.21 C. 127 D. 65 7. 在平面直角坐标系xoy 中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意*∈N n ，连接原点O 与点)4,(-n n P n ，用)(n g 表示线段n OP 上除端点外的整点个数，则)2012(g =( ).A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知点P 在直线012=-+y x 上，点Q 在直线032=++y x 上，PQ 中点为),(00y x M ，且200+≥x y ，则x y 的取值范围为（ ）. A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--51,21 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛--51,21 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-51,9. 在ABC ∆中，若角C B A ,,成公差大于零的等差数列，则C A 22cos cos +的最大值为( ). A.21 B. 23C.2D.不存在 10. 已知O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足)cos cos (2CAC ACB AB AB OC OB OP +++=λ，),0(+∞∈λ,则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）.A.内心B.外心C.垂心D.重心第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷的相应位置） 11. 已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 ▲ ． 12. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若32cos =A ，CB cos 5sin =， 则=C tan ▲13. 过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是 ▲ . 14. 已知数列}{n a 是非零等差数列，又931,,a a a 组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++的值是▲ .15. 设1,1,,>>∈b a R y x ，若2==yx b a ，4=+b a ，则yx 12+的最大值为 ▲ ． 16. 在平面直角坐标系中，点C B A ,,的坐标分别为)1,0(、)2,4(、)6,2(，如果),(y x P是ABC ∆围成的区域(含边界)上的点，那么当xy =ω取到最大值时，点P 的坐标 是 ▲ .17. 把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：第5题图ABCOM2011学年第二学期（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有 ▲ 个. 三、解答题（本大题共5小题，共72分。
浙江省宁波市八校2013-2014学年高一上学期期末联考数学试卷(带解析)
浙江省宁波市八校2013-2014学年高一上学期期末联考数学试卷1） A【答案】A 【解析】{=1U C NA 正确.考点：集合之间的关系与运算.2是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】C 【解析】试题分析：根据各个象限的三角函数符号:. 考点：三角函数符号的判定.3） A【答案】B 【解析】122=bx+考点：向量的坐标表示、数量积.4）A【答案】B 【解析】A考点：函数的值域、图象及性质.5 ）【答案】A 【解析】A 正确. 考点：函数的图象和性质.6） A【答案】D 【解析】试题分析：A为偶函数，B 为奇函数，单调递增；C上不单调；D .考点：函数的奇偶性、单调性.（ ）AC【答案】C 【解析】试题分析：由表格中的数据可以看出，函数值的增长非常快，呈指数形式增长，故C 正确. 考点：函数的图象及性质.8．若圆中一段弧长正好等于该圆外切．．）A A ．C ．【答案】A 【解析】D 、E 、F则23AB r l ==，l r θ=考点：三角函数的定义、三角函数值域的求法.9若）A【答案】C【解析】试题分析：如图所示：∵OC OE OF xOA =+=A 、B ； ∵OC OB OA==∴2OC∴，当时，即考点：向量的加减运算、数量积.10， 则）A【答案】C 【解析】试题分析：由指数函数和对数函数的图象及性质可知，对称点的组数为2. 考点：新定义问题、函数零点问题.11【解析】试题分析：第一象限角，解所以考点：诱导公式、三角函数之间的关系.12的值为 .【解析】考点：分段函数的运算.132倍（纵坐标不变），再把所得个单位长度，所得图象的函数解析式为 .【解析】2倍（纵坐标不变），得到考点：三角函数图象的变换.14．的取值范围是 .【解析】.考点：三角恒等变换、三角函数的值域.15．如图，在边长为1【解析】试题分析：由图可知32,3,cos AE EB c EB ==-,所以3c s ,131E B c E B c E B ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪. 考点：向量的数量积.16．【解析】试题分析：根据1，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x考点：函数的图象和性质.17a b ≥【解析】试题分析：cos 2ab b b ==⋅cos 2b a==两式相乘,可得),0(πθ∈k,即考点：向量的数量积、新定义问题.18（125c=，且（25b=【答案】（1（2【解析】试题分析：（125c可以求出（2）a b，可以直接求出试题解析：（124cλ=+7分（214分考点：向量的坐标表示、数量积.19．. （1（2.【答案】（13(,3]2B=（23(,)2+∞【解析】试题分析：（13(,)2+∞求出交集即可；（2）B B=⇒，可求出取值范围.试题解析：（1）由3 (,) 2+∞3(,3]2B=7分（2B B=⇒1<3>a14分考点：集合之间的关系、集合之间的运算.20．已知函图象上，直线（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1（2）.试题解析：（1分分7分（214分考点：三角函数解析式的求法、三角函数的图象和性质.21.（1；（2）若存在，.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）构造新函（2）假设存在，则由已知得试题解析：（1）令(g分分分8分 （2）解法一：假设存在，则由已知得11分15分解法2：假设存在，则由已知得11分15分考点：函数的最值、分类讨论思想、数形结合思想.22(1)(2)【答案】(1)证明过程详见试题解析； (2)【解析】试题分析：(1)(2)分别求出各段的最大值即可.试题解析：(1). 1分. 5分(注：用导数法证明或其它方法说明也同样给5分)(2)分9分11分13分分考点：函数的性质、函数最值的求法、分类讨论思想.。
浙江省北仑中学八校联考11-12学年高一数学上学期联考试题.doc
浙江省北仑中学八校联考11-12学年高一数学上学期联考试题一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分） 1．已知集合A={1,0,1-}，B={1,1-}，则 （ ） A ．A U B=A B ．A I B=A C ．A=B D ．A ⊆B 2．已知sin 0,cos 0,αα><，则12α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 3. 右面程序框图可以计算的表达式是（ ）A ．123......P N =++++B ．123......P N =⨯⨯⨯⨯C ．1123......P N=⨯⨯⨯⨯ D ．1123......(1)P N =⨯⨯⨯⨯-4. 下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．()2sin()26x f x π=-B ．()2sin(2)3f x x π=+ C ．()2sin()23x f x π=+ D ． ()2sin(2)6f x x π=-5．下图是甲、乙两位同学历次考试成绩折线图，分别记:甲同学的平均分为x 甲,乙同学的平均分x 乙,甲同学成绩的标准差为σ甲,乙同学成绩的标准差σ乙,则关于这两位同学学习水平描述比较正确的是（ ）A ．x 甲> x 乙，σ甲>σ乙B ．x 甲> x 乙，σ甲<σ乙C ．x 甲< x 乙，σ甲>σ乙D ．x 甲< x 乙，σ甲<σ乙 6．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位 的频率分布直方图．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米 7．已知函数sin 0()(1)1xx f x f x x π<⎧=⎨-->⎩,则1111()()66f f -+=( )A. 3-B. 52-C. 2-D.32- 8．已知函数1()f x x x=+，()ln 2g x x =+，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为增函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）A.()()67f f <B. ()()69f f <C. ()()97f f >D. ()()710f f < 10． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是( ) ． A . (0,1) B. (0,2) C. (1, 2) D.(1,3) 二、填空题（共7小题，满分28分）11.某单位共有青年职工160人，中年职工180人，老年职工90人。
宁波市八校联考高一数学试题
宁波市2011学年第一学期八校联考高一数学试题命题 象山中学 李左杰 审题 北仑中学 吴文尧一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分） 1．已知集合A={1,0,1-}，B={1,1-}，则 （ ） A ．A U B=A B ．A I B=A C ．A=B D ．A ⊆B 2．已知sin 0,cos 0,αα><，则12α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 3. 右面程序框图可以计算的表达式是（ ）A ．123......P N =++++B ．123......P N =⨯⨯⨯⨯C ．1123......P N=⨯⨯⨯⨯ D ．1123......(1)P N =⨯⨯⨯⨯-4. 下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．()2sin()26x f x π=-B ．()2sin(2)3f x x π=+ C ．()2sin()23x f x π=+ D ． ()2sin(2)6f x x π=-5．下图是甲、乙两位同学历次考试成绩折线图，分别记:甲同学的平均分为x 甲,乙同学的平均分x 乙,甲同学成绩的标准差为σ甲,乙同学成绩的标准差σ乙,则关于这两位同学学习水平描述比较正确的是（ ）A ．x 甲> x 乙，σ甲>σ乙B ．x 甲> x 乙，σ甲<σ乙C ．x 甲< x 乙，σ甲>σ乙D ．x 甲< x 乙，σ甲<σ乙6．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位 的频率分布直方图．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米7．已知函数sin 0()(1)1xx f x f x x π<⎧=⎨-->⎩,则1111()()66f f -+=( ) A. 3- B. 52-C. 2-D.32- 8．已知函数1()f x x x=+，()ln 2g x x =+，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为增函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）A.()()67f f <B. ()()69f f <C. ()()97f f >D. ()()710f f < 10． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是( ) ．A . (0,1) B. (0,2) C. (1, 2) D.(1,3) 二、填空题（共7小题，满分28分） 11.某单位共有青年职工160人，中年职工180人，老年职工90人。
浙江省杭州八校联盟2024_2025学年高一数学上学期期中联考试题含解析
浙江省杭州八校联盟2024-2025学年高一数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={2，0，1，9}，B={7，0}，则A∩B=（）A. B. C. D. 1,2,7,2.函数f（x）=log4（9-x）的定义域是（）A. B. C. D.3.下列哪组中的两个函数是同一函数（）A. 与B. 与C. 与D. 与4.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.5.已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.6.已知函数y=a x+2+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）A. B. C. D.7.已知函数y=f（x）的定义域是R，值域为[-2，3]，则值域也为[-2，3]的函数是（）A. B. C. D.8.定义运算a⊙b=，则函数的图象是（）A. B.C. D.9.已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对随意实数x，都有f[f（x）-x]=4，则f（3）的值为（）A. 3B. 5C. 7D. 910.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满意：对于定义域上的随意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“志向函数”．给出下列四个函数：①f（x）=1；②f（x）=x2；③；④f（x）=x2+x能被称为“志向函数”的有（）个．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知集合A={m，7}，集合B={7，m2}，若A∪B={-1，1，7}，则实数m=______．12.已知函数则f（-1）=______，f（f（-1））=______．13.若函数f（x）=2x2-mx+3，当x∈（-∞，-2]时是减函数，当x∈[-2，+∞）时是增函数，则m=______，14.定义在R上的偶函数f（x）满意：当x≥0，f（x）=x2-2x，则f（-2）=______，当x＜0时，f（x）=______．15.函数的增区间是______，值域是______．16.已知函数，存在实数a＜b＜c满意f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）17.计算下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）．18.已知集合A={-2，2}，B={x|（x-2）（ax-1）=0}．（Ⅰ）若a=1，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B=A，求实数a的值．19.已知幂函数y=f（x）=xα的图象过点（5，m）和（4，2）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）=log a f（x）（a＞0，a≠1）在区间[3，9]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．20.设二次函数f（x）=x2+ax+b满意f（0）=1．（Ⅰ）已知对于随意的实数x，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若对于随意的a∈[-8，-7]，不等式f（x）+11≤0恒成立，求实数x的取值范围．21.已知函数，（Ⅰ）推断函数y=g（x）=f（x）-1的奇偶性，并求函数y=g（x）的值域；（Ⅱ）若实数m满意g（m）+g（m-2）＞0，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={2，0，1，9}，B={7，0}，∴A∩B={0}．故选：A．进行交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算实力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意可得，9-x＞0，解可得，x＜9，∴函数的定义域为（-∞，9）．故选：C．依据函数的解析式，列出访函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．∴本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出访函数解析式有意义的不等式组，是基础题．3.【答案】D【解析】A中y=（）2定义域为[0，+∞），而y =x定义域为R，所以定义域不同．B中y=ln x2定义域（-∞，0）∪（0，+∞），而y=2ln x定义域为（0，+∞），所以定义域不同；C中y= 定义域为{x|x≠1} 而y=x+1定义域为R，所以定义域不同；故只有D正确故选：D．断函数的定义域与对应法则是否相同，即可推断两个函数是否相同函数．本题考查函数的基本性质，推断两个函数是否相同，须要推断定义域与对应法则是否相同．4.【答案】B【解析】解：由一次函数的性质可知，y=3x为奇函数，故A错误；由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数，故D错误；由二次函数的性质可知，y=2-x2是偶函数，在（0，+∞）上单调递减；故C错误．故选：B．由一次函数的性质可知，y=3x为奇函数，可推断A；由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数，可推断D；由二次函数的性质可知，y=2-x2是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，可推断C．本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的推断，属于基础试题．5.【答案】A【解析】解：∵a∈（0，1），b＜0，c＞1．∴b＜a＜c．故选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：对于函数y=a x+2+1（a＞0，且a≠1），令x+2=0，求得x=-2，f（x）=2，可得它的的图象恒过定点P（-2，2），故选：A．令幂指数等于零，求得x、f（x）的值，可得它的图象经过定点的坐标．本题主要考查指数函数的单调性和特别点，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：令t=x+1，∵x∈R，∴t∈R，∴y=f（x+1）=f（t），∵y=f（x）的值域为[-2，3]，∴y=f（t）的值域也为[-2，3]．故选：B．令t=x+1，依据y=f（x）的定义域是R，值域为[-2，3]，可得y=f（t）的值域．本题考查了函数的值域的求法，属基础题．8.【答案】D【解析】解：当x≥0时，（）x≤1，当x＜0时，（）x＞1，∴f（x）=，故选：D．得出f（x）的函数解析式，从而得出f（x）的图象．本题考查了分段函数的图象，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由f[f（x）-x]=4，且f（x）是单调函数可知f（x）-x必是常数，设f（x）-x=k（k为常数），得f（x）=x+k，且f（k）=k+k=4，解得k=2，∴f（x）=x+2，f（3）=5．故选：B．依据题意可知，f（x）-x为常数，可设f（x）-x=k，得出f（x）=x+k，从而得出f（k）=2k=4，从而求出k=2，进而得出f（x）的解析式，从而可求出f（3）的值．本题考查了单调函数的定义，单调函数中的x和y的对应关系，考查了推理和计算实力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由，（0，+∞）内，设x1＞x2，可得x2f（x1）-x1f（x2）＞0，∴x2f（x1）＞x1f（x2），∴，函数上单调递增．①中y==，而这个函数在（0，+∞）为减函数，与函数上单调递增冲突，所以①不正确；②中y==x，所以函数上单调递增，符合“志向函数”的定义，所以②正确；③中y==，在（0，+∞）为减函数，与题意冲突，所以③不正确；④中y==x+1，在（0，+∞）为增函数，符合题意，所以④正确；易知②④符合条件，故选：C．对所给函数化简到便于视察的函数，得它的单调性，然后化简所给的函数，看是否符合题中给出的信息，推断是否正确本题考查函数的单调性，但是要通过原不等式变形整理得新的函数y=，有点难度，依据新的函数的单调性推断所给的函数单调性是否相同，进而推断它的真假．11.【答案】-1【解析】解：集合A={m，7}，集合B={7，m2}，若A∪B={-1，1，7}，则m=1时，m2=1，不合题意；m=-1时，m2=1，满意题意；综上知，m=-1．故答案为：-1．由A∪B={-1，1，7}，探讨m的取值，得出满意题意的m值．本题考查了并集的定义与计算问题，也考查了分类探讨思想，是基础题．12.【答案】3 9【解析】解：∵函数∴f（-1）=1-2×（-1）=3，f（f（-1））=f（3）=32=9．故答案为：3，9．推导出f（-1）=1-2×（-1）=3，从而f（f（-1））=f（3），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数值等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．13.【答案】-8【解析】解：二次函数f（x）=2x2-mx+3的图象是抛物线，当x∈[-2，+∞）时增函数，当x∈（-∞，-2]时是减函数，∴抛物线的对称轴是x==-2，解得m=-8，故答案为：-8．依据二次函数f（x）的图象是抛物线，在对称轴两侧单调性相反，求出m的值，本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】0 x2+2x【解析】解：依据题意，当x≥0，f（x）=x2-2x，f（2）=22-2×2=0，又由f（x）为偶函数，则f（-2）=f（2）=0；设x＜0，则-x＞0，则f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，又由f（x）为偶函数，则f（x）=x2+2x，故答案为：0，x2+2x．依据题意，由函数的解析式求出f（2）的值，结合函数的奇偶性分析可得f（-2）的值，设x＜0，则-x＞0，由函数的奇偶性以及解析式分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．15.【答案】（0，2] （-∞，2]【解析】解：函数的增区间，即函数t=-x2+4x在满意t＞0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得在满意t＞0的条件下，函数t的增区间为（0，2]．由于0＜t≤4，故y=log2t∈（-∞，2]，故答案为：（0，2]；（-∞，2]．由题意利用复合函数的单调性，可得本题即求函数t=-x2+4x在满意t＞0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得结论；求出t的范围，可得y的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由函数，作出函数的图象；结合函数图象可得a∈，＜b＜1＜c＜10，由f（a）=f（b）=f（c）可得-lg b=lg c，从而bc=1．所以abc=a∈．故答案为：；作出函数f（x）的图象，分析出a∈，bc=1，从而abc=a∈．本题考查分段函数的性质，对数的运算，数形结合的方法的运用，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）原式=；（Ⅱ）原式=．【解析】（1）结合指数的运算性质即可求解；（2）结合对数的运算性质即可求解．本题主要考查了指数与对数的运算性质的简洁应用，属于基础试题．18.【答案】解（Ⅰ）∵A={-2，2}，a=1时，B={1，2}，∴A∩B={2}．（Ⅱ）由A∪B=A得B⊆A．当a=0时，B={2}符合题意，当a≠0时，由（x-2）（ax-1）=0得，而B⊆A∴，解得．∴a的取值集合为．【解析】（Ⅰ）当a=1时，求出集合B的等价条件，结合交集定义进行计算即可（Ⅱ）依据A∪B=A转化为B⊆A，结合集合关系进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合关系进行转化是解决本题的关键．比较基础．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知f（4）=4α=2，∴．∴∴．所以m=（Ⅱ）有（Ⅰ）知，①当a＞1时，函数在区间[3，9]上单调递增．由题意知，解得．②当0＜a＜1时，函数在区间[3，9]上单调递减．∴，解得．综上所述，．【解析】依据函数过某点，将点的坐标带入就求出m值，再有对数函数底的取值不同，单调性不同，两种状况得出a的值本题考查了求幂函数的解析式的应用问题，也考查了分类探讨思想的应用问题与函数单调性的应用问题，是综合性题目．20.【答案】解：f（0）=b=1，∴f（x）=x2+ax+1，（Ⅰ）∵f（x）=x2+ax+1≥0恒成立，∴△=a2-4≤0，解得-2≤a≤2．∴实数a的取值范围是[-2，2]．（Ⅱ）∵f（x）+11=x2+ax+12≤0对于随意的a∈[-8，-7]恒成立，∴，化简得3≤x≤4．∴实数x的取值范围是[3，4]．【解析】（Ⅰ）由f（0）=1可求得b的值，转化为f（x）=x2+ax+1≥0恒成立，用判别式小于等于0即可；（Ⅱ）f（x）+11≤0恒成立，由于已知a∈[-8，-7]，可以看成关于a的函数，图象为线段，端点处满意小于等于0即可．本题主要考查二次函数的图象及恒成立问题，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ），∴，所以函数g（x）是奇函数，∵，∵1+3-2x＞1，∴，∴，所以函数y=g（x）的值域是（-1，1）．（Ⅱ）在R上是单调递增函数，所以y=g（x）在R上是单调递增函数，且是奇函数，由g（m）+g（m-2）＞0得，g（m）＞-g（m-2）=g（2-m），∵y=g（x）在R上是单调递增函数，∴m＞2-m，∴m＞1，∴实数m的取值范围是（1，+∞）．【解析】（Ⅰ）依据f（-x）与f（x）的关系推断奇偶性进而求解；（Ⅱ）依据g（x）的单调性以及奇偶性，进而求解；考查函数的奇偶性的定义及应用，以及函数单调性、值域，不等式问题的转化；。
宁波市2019学年第一学期八校联考高一
宁波市2018学年第一学期八校联考高一数学试卷一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合{}1|3,x A y y x R -==∈，{}|14B x x =≤≤，则( ) A ．A B φ= B ．[]1,3A B = C ．()0,A B =+∞ D ．(]0,4A B =2．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图所示．则下面结论中错误的一个是( ) A ．甲的中位数是21 B ．乙的众数是21C ．甲罚球命中率比乙高D ．甲的极差是293．函数1tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是中心对称图形，它的一个对称中心是( )A ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知3log 2a =，ln 2b =，125c -=，则下列正确结论的是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a << 5．已知βαsin sin >，那么下列A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α、β是第四象限角，则βαtan tan >6．为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点( )A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)C ．横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移6π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移2π个单位长度7．已知实数对(),αβ，任取{},1,3,5αβÎ，则使得sin cos 0αβ?的概率是( )A ．13B ．49C ．59D ．238．给出30个数：1,2,4,7,……其规律是第1个数是1；第2个数比第1个数大1； 第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…… 以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A ．29≤i ；1++=i p pB ．30≤i ；1-+=i p pC ．30≤i ；i p p +=D ．31≤i ；i p p +=9．函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则a 的取值范围是( )A ．(,2](1,2]-∞-B ．[2,1)[2,)--+∞C ．(1,2]D ．[2,)+∞10．已知函数()2log ,0839,84x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是( )A ．()1,8B ．()4,6C ．()8,12D ．()16,24 二、填空题(每小题4分，共28分) 11．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数共有_____________． 12．求值：243 log 03423(21)(8)lg 20lg 2log 3log 22--++--⋅+=_____________． 13．已知3sin cos 23cos sin αααα+=-，则()()2323sin 3sin cos 2παπαα⎛⎫----- ⎪⎝⎭的值为___．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x ax =+，且()()2342f f =+()1f -，则a =_____________． 15．函数12log cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为_________________．16．已知x a xx f a a -=≠>1)(,1,0且，当),21(+∞∈x 时，均有21)(<x f，则实数a 的取值范围为_____________．17．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，且()62f -=-，当12,[0,3]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则给出下列 ①()20102f =-；②函数()y f x =图象的一条对称轴为直线6x =-；③函数()y f x =在[9,6]--上为减函数；④函数()f x 在[9,9]-上有4个零点，上述三、解答题(5小题，共72分)18．已知函数()()()sin 0,0,,f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><∈的部分图象如下图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()y f x =-的单调区间及在[]2,2x ∈-上最值，并求出相应的x 的值．19．已知()23x x f e x =+，x R ∈．(1)求()f x 的表达式； (2)若方程()()14ln 1f x x =+有两个不相等的实数根,αβ，求αβ的值；(3)若函数()()g x f x a =-在[]1,x e ∈上有零点，求实数a 的取值范围．20．某厂生产篮球、足球、排球，三类球均有A 、B 两种型号，该厂某天的产量如下表(单位：个)：篮球 足球 排球 A 型 120 100 x B 型 180 200 300在这天生产的6种不同类型的球中，按分层抽样的方法抽取20个作为样本，其中篮球有6个． (1)求x 的值；(2)在所抽取6个篮球样本中，经检测它们的得分如下： 9.4 9.2 8.7 9.3 9.0 8.4 把这6个篮球的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率；(3)在所抽取的足球样本中，从中任取2个，求至少有1个为A 型足球的概率．21．已知函数()()21f x x ,g x x ==-．(1)若存在x R ∈使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[]01,上单调递增，求实数m 的取值范围．22．设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是定义域在R 上的奇函数．(1)若2(1)0,(2)(4)0f f x x f x >++->试求不等式的解集； (2)若223(1),()2()[1,)2x x f g x a a mf x -==+-+∞且在上的最小值为—2，求m 的值．宁波市2018学年第一学期八校联考高一数学参考答案一、选择题 CABBD DBCAC 二、填空题40，2，0，2，()15216,644k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦，9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，①②③④三、解答题 18．解：(1)由图像知 2.A = 8T =,28T πω== ,4πω∴=,又图象经过点(1，2)2sin 24πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈ 4πϕπϕ<∴=()2sin()44f x x ππ∴=+．………………………7分(2)()2sin 2sin 4444y f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由222442k x k ππππππ-≤-≤+，得8183,k x k k Z -≤≤+∈，故()y f x =-在[]81,83,k k k Z -+∈上是减函数；同理函数在[]83,87,k k k Z ++∈上是增函数．[]2,2x ∈-，由上可知当1x =-时，()y f x =-取最大值2；当2x =时，()y f x =-取最小值2-．……………………………………14分 19．解：(1)令x t e =时，则ln ,0x t t =>，由已知()2ln ,0ln 3t f t t t =>+，即()2ln ,0ln 3xf x x x =>+．……………………………………………………4分(2)由()()14ln 1f x x =+可得，23ln 4ln 30x x +-=．由已知，4ln ln 3αβ+=-，故43eαβ-=．…………………………………8分(3)函数()()g x f x a =-在[]1,e 上有零点，等价于()f x a =在(]1,e 上有解．①当1x =时，()0f x =； ②当(]1,x e ∈时，(]ln 0,1x ∈，则()13ln ln f x x x=+，(]ln 0,1x ∈，3ln 4ln x x∴+≥，当且仅当ln 1x =，即x e =时取等号，因而()10,4f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．……………………14分20．解：(1)设该厂这天生产篮球、足球、排球的总数为n ，由题意得：20n＝6120180+所以n ＝1000∴x ＝n －120－180－100－200－300＝100．……………………………4分(2)样本的平等数为x ＝16(9.4＋9.2＋8.7＋9.3＋9.0＋8.4)＝9.0那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的数为9.2，8.7，9.3，9.0共4个数，总个数为6．所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率为46＝23．…………8分(3)设A 、B 型足球抽取的个数分别为n 1，n 2； 由分层抽样的方法知：201000＝1100n ＝2200n ，所以n 1＝2, n 2＝4．即A 、B 型足球的个数分别为2，4又2个A 型足球记作A 1、A 2，4个B 型足球记作B 1，B 2，B 3，B 4．则从中任取2个的所有基本事件为： |A 1，A 2|，|A 1，B 1|，|A 1，B 2|，|A 1，B 3|，|A 1，B 4|，|A 2，B 1|，|A 2，B 2|，|A 2，B 3|，|A 2，B 4|，|B 1，B 2|，|B 1，B 3|，|B 1，B 4|，|B 2，B 3|，|B 2，B 4|，|B 3，B 4|，共15个其中至少一个A 型足球的基本事件有9个：|A 1，A 2|，|A 1，B 1|，|A 1，B 2|，|A 1，B 3|，|A 1，B 4|，|A 2，B 1|，|A 2，B 2|，|A 2，B 3|，|A 2，B 4|， 所以从中任取2个，至少有1个为A 型足球的概率为915＝35．………14分21．解：(1)存在x R ∈,()()f x bg x <⇒存在x R ∈,20x bx b -+<()24004b b b b ⇒-->⇒<>或．……………………………………………6分(2)()221F x x mx m =-+-，()2224154m m m ∆=--=-①当∆≤即252555m -≤≤时,则需满足025205252555mm m ⎧≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩②当0∆>即252555m m <->或时.设方程()0F x =的根为()1212x ,x x x <若12m ≥,则10x ≤，2122(0)10mm F m ⎧≥⎪⇒≥⎨⎪=-≤⎩若02m ≤则20x ≤，2025125(0)10mm F m ⎧≤⎪⇒-≤<-⎨⎪=-≥⎩综上所述：102m m -≤≤≥或 …………………………… 15分 22．解：(1)()f x 是定义域为R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴=1(1)0,0f a a >∴->，又0a >且1, 1.a a ≠∴> 易知()f x 在R上单调递增，原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>-224x x x ∴+>-，即2340x x +->14x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或．………………………………7分(2)313(1),22f a a =∴-=，即212320,22a a a a --=∴==-或(舍去)222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+，令()22x x t f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m <时，当32t =时，min 17()324g t m =-=-，解得253122m =>，舍去 综上可知2m =．……………………………………………………………15分。
浙江嘉兴八校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题+答案
2023学年第一学期嘉兴市八校联盟期中联考高一年级数学学科试题选择题部分（共60分考生须知：1．本卷共满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.）一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}14A x x =-<<，{}0,2,4,6B =，则A B = (▲)A.{}0,2 B.{}2,6 C.{}4,6 D.{}2,42.设命题2:,21p n N n n ∃∈>-，则p 的否定为(▲)A.2,21n N n n ∀∈>- B.2,21n N n n ∀∈≤-C.2,21n N n n ∃∈≤- D.2,21n N n n ∃∈=-3.“1x >”是“0x >”的(▲)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图像上，则m n -=(▲)A.9B.8C.18D.195.设0.80.10.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为(▲)A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<6.函数()2xx f x e =+-的零点所在区间为(▲)A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,27.设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn f x x x =的图象大致是(▲)...A.B.C .D.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()1f x +的图像关于原点对称，若()01f =，则()()12f f -+的值为(▲)A.0B.1- C.1D.2二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下面各组函数中是同一函数的是(▲)A.()2f x x =与()()2g x x =B.()1f x =与()0g x x =C.(),0,0f x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()2g x x= D.()f x x =与()33g x x =10.下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上为增函数的是(▲)A ．2y x=-B ．22y x =+C ．1y x=-D ．1y x =+11.若集合{}2|6160M x x x =+-=，{}|30N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为(▲)A.38-B.0C.32D.1212.已知实数12x x ，为函数21()()log (2)3xf x x =--的两个零点，则下列结论正确的是(▲)A.12(3)(3)0x x --<B.120(2)(2)1x x <--<C.12(2)(2)1x x --= D.12(2)(2)1x x -->非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()2,01,0x x x f x +≥⎧=⎨<⎩，则()()1f f -的值是▲.14.计算：01lg 4lg 51)2π+-+=（▲.15.已知()y x f =为奇函数，且当0x >时()223x x x f =-+，则当0x <时，()f x =▲.17．(本题满分10分)设全集U R =，集合{}41A x x =-<<，{}12B x a x a =-≤≤+，a R ∈（1）当1a =时，求A B U ，()U A C B I ；（2）若x B ∈“”是x A ∈“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数()xf x a b =+01)a a >≠（且．（1）若()f x 图象过点(02)，，求b 的值；（2）若函数()f x 在区间[2,3]上的最大值比最小值大22a ，求a 的值．19．（本题满分12分）已知函数2(1)()()x x a f x x++=为偶函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在(,0)-∞的单调性，并用函数单调性的定义证明．20.（本题满分12分）已知函数1()log 1amxf x x -=+0,1,1)a a m >≠≠-（，是定义在()11-，上的奇函数．（1）求(0)f 和实数m 的值；（2）若()f x 在()11-，上是增函数且满足(2)(22)0f b f b -+->，求实数b 的取值范围．（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于4毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．已知函数2()2(0,0)g x ax ax b a b =-+>>，在[1,2]x ∈时最大值为1，最小值为0．设()()g x f x x=．（1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式(2)410xxg k -⋅+≥在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方程222(log )310log mf x m x+--=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围．2023学年第一学期嘉兴市八校联盟期中联考高一年级数学学科参考答案选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.12345678ABADDCCB二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9101112CDBDABCAB非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.314.015.322---x x 16.1四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17解：（1）因为集合A ＝{x |﹣4＜x ＜1}，B ＝{x |a ﹣1≤x ≤a +2，x ∈R }，当a ＝1时，则B ＝{x |0≤x ≤3}，则A ∪B ＝{x |﹣4＜x ≤3}，……………………………………………3分又∁U B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，则A ∩（∁U B ）＝{x |﹣4＜x ＜0}；……………………………………………6分（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，则B 是A 的真子集，即−1＞−4 +2＜1，则﹣3＜a ＜﹣1，则实数a 的取值范围为（﹣3，﹣1）．……………………………………………10分18．.解：（1）函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1），f （x ）图象过点（0，2），∴f （0）＝a 0+b ＝1+b ＝2，……………………………………………3分解得b ＝1；……………………………………………6分（2）当0＜a ＜1时，f （x ）在区间[2，3]上单调递减，此时f （x ）max ＝f （2）＝a 2+b ，f （x ）min ＝f （3）＝a 3+b ，∴a 2+b ﹣（a 3+b ）= 22，解得a =12或a ＝0（舍），……………………………………………9分当a ＞1时，f （x ）在区间[2，3]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （2）＝a 2+b ，f （x ）max ＝f （3）＝a 3+b ，∴a 3+b ﹣（a 2+b ）= 22，解得a =32或a ＝0（舍），……………………………………………12分综上，a 的值为12或32．19．解：（1） 函数222(1)()(1)()x x a x a x af x x x +++++==为偶函数，2222(1)(1)()x a x a x a x af x x x-+++++∴-==，……………………………………………3分即(1)1a a -+=+，1a ∴=-；……………………………………………6分（2）当1a =-时，22211()1x f x x x-==-，函数()f x 在(,0)-∞上为减函数……………………………………………8分证明：设120x x <<，则()()()()1212122222211211x x x x f x f x x x x x -+-=-=，120x x << 120x x ∴+<，120x x -<()()120f x f x ∴->即()()12f x f x >()f x 在(,0)-∞上为减函数……………………………………………12分20．解：（1）()01log 0==a f ……………………………………………3分因为f （x ）是奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ）⇒f （﹣x ）+f （x ）＝0∴011log 11log =+-++-+x mx x mx a a∴，1111101111log -+-⋅+-+⇒=+-⋅+-+x mxx mx x mx x mx a∴1﹣m 2x 2＝1﹣x 2对定义域内的x 都成立．∴m 2＝1．所以m ＝1或m ＝﹣1（舍）∴m ＝1．……………………………………………6分（2）由f （b ﹣2）+f （2b ﹣2）＞0得f （b ﹣2）＞﹣f （2b ﹣2），∵函数f （x ）是奇函数∴f （b ﹣2）＞f （2﹣2b ）……………………………………………9分又∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数∴ −2＞2−2−1＜ −2＜1−1＜2 −2＜1∴43＜ ＜32∴b 的取值范围是(43，32)……………………………………………12分即至少需要经过1h 后，学生才能回到教室.……………………………………………12分22..解：（1）∵函数g （x ）＝ax 2﹣2ax +b （b ＞0），在x ∈[1，2]时最大值为1和最小值为0．当a ＞0时，由题意得g （x ）对称轴为x ＝1，g （x ）在x ∈[1，2]单调增，∴，∴a ＝b ＝1；……………………………………………4分（2）当x ∈[﹣1，1]，令t ＝2x ∈[，2]，∴g （t ）﹣k •t 2+1≥0在t ∈[，2]上恒成立，∴t 2﹣2t +1﹣kt 2+1≥0在t ∈[，2]上恒成立，即k≤2（）2﹣2（）+1在t∈[，2]上恒成立，又当t＝2时，2（）2﹣2（）+1最小值为，∴k∈（﹣∞，]；……………………………………………8分（3）令s＝|log2x|＞0，∴当s＞0时，方程s＝|log2x|有两个根；当s＜0时，方程s＝|log2x|没有根．∵关于x的方程有四个不同的实数解，∴关于s的方程f（s）+﹣3m﹣1＝0在s∈（0，+∞）有两个不同的实数解，∴s2﹣3（m+1）s+2m+1＝0在s∈（0，+∞）有两个不同的实数解，∴，∴m．综上：关于x的方程有有四个不同的实数解时，m∈（﹣，+∞）．……………………………………………12分。
浙江省宁波中学2022-2023学年高一数学第一学期期末联考试题含解析
【详解】由 x2 5x 4 0 ，得1 x 4 ，
所以 B x 1 x 4，
因为 A 0,1, 2,3，
所以 A B 1, 2,3 ，
故选：D
4、D
【解析】由已知
，所以
考点：集合的运算 5、D
【解析】根据题意，集合 A 的所有子集个数 22 =4 ，选 D
6、D 【解析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
万元，且
R
901x2
9450x x
10000
,
x
40
经测算，当生
产 10 千台空调需另投入的资金 R＝4000 万元．现每台空调售价为 0.9 万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完
（1）求 2022 年企业年利润 W（万元）关于年产量 x（千台）的函数关系式；
（2）2022 年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
A.
y
2
sin
2x
2 3
B.
y
2
sin
2
x
3
C.
y
2
sin
x 2
3
D.
y
2
sin
x 2
3
3．已知集合 A 0,1, 2,3， B x x2 5x 4 0 ，则 A B （）
A. 1, 4
B. 1, 3
C. 2, 3
D.1, 2,3
4．已知集合 A x | 0 log4 x 1, B x | x 2，则A B
的 16．已知sin cos 1 ，则sin2 _______. 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
度宁波市高三数学第一学期八校联考试题理科
宁波市第一学期八学年二OO 八校联考高三数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4A =，集合{}3,4B =，则集合{}1,3等于()()()()()()()()()U U U UA AB B B AC AB D A B A B u u 痧痧2． 已知复数122,1z i z i =+=-，31z i =+，则123z z z z ⋅=在复平面上对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ） 第四象限 3．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是(A) 2n+1(B)2n+2 (C)2n(D)2n+12n+2第项第项第项第项和第项4．若框图所给的程序运行结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k 的条件是()9()8()8()8A k B k C k D k =≤<>5．已知函数y =sin A (wx φ+)+k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是 （A ）4sin(4)6y x π=+ （B ）2sin(2)23y x π=++（C ）2sin(4)23y x π=++ （D ）2sin(4)26y x π=++ 6．矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为ππππ3125)(6125)(9125)(12125)(D C B A7．已知双曲线22211x y a a a -=++的离心率的范围是数集M ，设:p ""k M ∈； :q “函数1lg1()221x x f x x x k x -⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ”．则p 是q 成立的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．下列函数中，对任意1(0,1),a ∈由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +>()n N *∈．则该函数是2()()()()()()sin ()()cos A f x x B f x C f x x D f x x ====9．已知：),0(+∞∈++=λλ，则点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（A ）内心（B ）外心（C ）垂心（D ）重心10．若圆1O 方程为：22(1)(1)40x y +++-=；圆2O 方程为：22(3)(2)10x y -+--=． 则方程2222(1)(1)4(3)(2)1x y x y +++-=-+--表示的轨迹是()A 线段12O O 的中垂线 ()B 过两圆内公切线交点且垂直线段12O O 的直线 ()C 两圆公共弦所在的直线 ()D 一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知()f x 图象是一条连续的曲线，且在区间(,)a b 内有唯一零点0x ，用“二分法”求得一系列含零点0x 的区间，这些区间满足：1122(,)(,)(,)(,).k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃若()0,()0f a f b <>，则()k f a 的符号为 ▲ ．（填:＂正＂,＂负＂,＂正、负、零均可能＂）12．sin155cos35cos 25cos 235-= ▲ ．13．已知()(4)3().f x g x f x ==两动点,P Q 分别在函数(),()f x g x 的图象上，则min ||||Max PQ PQ += ▲ ．14．已知点P (x ,y)满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = ▲ .15．在正整数集中，将仅含数码0，1，2，3，4的数从小到大排成数列{}n b ，则11b =，22b =，3456789103,4,10,11,12,13,14,20b b b b b b b b ========，…，505b = ▲ ．16．设22(),()sin 52(0)12x xf xg x a a a x π==+->+，若对于任意[]10,1x ∈，总存在0x ∈俯视侧视图正视图11俯视图[]0,1，使得01()()g x f x =成立，则a 的取值范围是 ▲ ．17．2009年的复旦大学自主招生测验卷为200道单选题，总分1000分．每题含有4个选择支，选对得5分，选错扣2分，不选得0分．某考生遇到5道完全不会解的题，经过思考，他放弃了这5题，没有猜答案．请你用数学知识来说明他放弃这5题的理由： ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题14分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（Ⅰ）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为 ， ， ， ； （Ⅱ）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图； （Ⅲ）根据题中信息估计总体：（ⅰ）120分及以上的学生数；（ⅱ）平均分；（ⅲ）成绩落在［126，150］中的概率. 19．（本题14分）已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点. (Ⅰ) 求四棱锥P ABCD -的体积；(Ⅱ) 是否不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥？证明你的结论； (Ⅲ) 若点E 为PC 的中点，求二面角D AE B --的大小.A B C DP E20. （本题15分）已知)(x f 是R 上的单调函数，R x x ∈∀21,， R x ∈∃0，总有+=+)()(02010x f x x x x f )()(21x f x f +恒成立．（Ⅰ）求0x 的值；(Ⅱ)若1)(0=x f ，且*∈∀N n ，有1)21(,)(1+==n n n f b n f a ，记∑=+=ni i i n a a S 11，=n T ∑=+ni i i b b 11，比较n S 34与n T 的大小并给出证明； （Ⅲ）若不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+>+++++1)28(log )12(log 35622121221x x a a a n n n 对2≥∀n 都成立，求x 的取值范围．21. （本题14分） 已知ABC ∆的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 在y 轴的正半轴上.(Ⅰ)若ABC ∆的重心是椭圆的右焦点2F ，试求直线BC 的方程; （Ⅱ）若90A ∠=，试证直线BC 恒过定点.22．（本题15分）已知函数2()ln ,().f x x g x x bx c ==++（Ⅰ）若函数()()()h x f x g x =+是单调递增函数，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当0b =时，两曲线(),()y f x y g x ==有公共点P ，设曲线(),()f x g x 在P 处的切线分别为12,l l ，若切线12,l l 与x 轴围成一个等腰三角形，求P 点坐标和c 的值； （Ⅲ）当22e b -=时，讨论关于x 的方程)()(2x g xx f =的根的个数。
浙江省宁波市六校联考2024届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析
浙江省宁波市六校联考2024届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知角α是第三象限的角,则角2α是( ) A ．第一或第二象限的角 B ．第二或第三象限的角 C ．第一或第三象限的角D ．第二或第四象限的角2．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．622- B ．21- C ．21+D ．622+ 3．已知点(sin ,tan )P αα在第二象限，角α顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，则角α的 终边落在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（ ）A ．“连续整边三角形”只能是锐角三角形B ．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形C ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个D ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个 5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =3cos a B ．则B =A ．B ．4π C ． D ．6．数列2122,1,,,325---的一个通项公式为（ ）A ．12(1)n n a n+=- B ．(1)2nn n a n =-+ C ．2(1)nn a n=- D ．1(1)2n n n a n +=-+ 7．如图，位于A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A 处南偏西30且相距20海里的C 处有一救援船，其速度为507海里小时，则该船到求助处B 的时间为（）分钟．A ．24B ．36C ．48D ．608．圆221:1O x y +=与圆222:222230O x y x +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切9．4sin()3π-的值等于( ) A ．12 B ．－12C 3D ．－3 10．圆22(2)(1)1x y -+-=上的一点到直线:10l x y -+=的最大距离为（ ） A 21B ．22C 2D 21二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
宁波市2010学年第一学期八校联考高一
宁波市2010学年第一学期八校联考高一数学试卷一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合{}1|3,xA y y x R -==∈，{}|14B x x =≤≤，则( )A ．AB φ=B ．[]1,3A B =C ．()0,A B =+∞D ．(]0,4A B =2．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图所示．则下面结论中错误的一个是( ) A ．甲的中位数是21 B ．乙的众数是21C ．甲罚球命中率比乙高D ．甲的极差是29 3．函数1tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是中心对称图形，它的一个对称中心是( )A ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知3log 2a =，ln 2b =，125c -=，则下列正确结论的是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<5．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是( ) A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos > B ．若α、β是第二象限角，则βαtan tan > C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos > D ．若α、β是第四象限角，则βαtan tan > 6．为了得到函数2sin(),36xy x R π=+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点( ) A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)C ．横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移6π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移2π个单位长度 7．已知实数对(),αβ，任取{},1,3,5αβÎ，则使得sin cos 0αβ?的概率是( )A ．13B ．49C ．59D ．238．给出30个数：1,2,4,7,……其规律是 第1个数是1；第2个数比第1个数大1； 第3个数比第2个数大2； 第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( ) A ．29≤i ；1++=i p p B ．30≤i ；1-+=i p p C ．30≤i ；i p p += D ．31≤i ；i p p +=9．函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则a 的取值范围是( ) A ．(,2](1,2]-∞- B ．[2,1)[2,)--+∞ C ．(1,2]D ．[2,)+∞10．已知函数()2log ,0839,84x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是( )A ．()1,8B ．()4,6C ．()8,12D ．()16,24二、填空题(每小题4分，共28分) 11．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数共有_____________． 12．求值：243log 03423(21)(8)lg 20lg 2log 3log 22--++--⋅+=_____________． 13．已知3sin cos 23cos sin αααα+=-，则()()2323s i n3s i n c o s 2παπαα⎛⎫----- ⎪⎝⎭的值为___． 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x a x=+，且()()2342f f =+()1f -，则a =_____________．15．函数12log cos 34x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为_________________． 16．已知x a xx f a a -=≠>1)(,1,0且，当),21(+∞∈x 时，均有21)(<x f ，则实数a 的取值范围为_____________．17．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，且()62f -=-，当12,[0,3]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则给出下列命题：①()20102f =-；②函数()y f x =图象的一条对称轴为直线6x =-；③函数()y f x =在[9,6]--上为减函数；④函数()f x 在[9,9]-上有4个零点，上述命题中的所有正确命题的序号是_____________．(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题(5小题，共72分)18．已知函数()()()sin 0,0,,f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><∈的部分图象如下图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()y f x =-的单调区间及在[]2,2x ∈-上最值，并求出相应的x 的值．19．已知()23xx f ex =+，x R ∈．(1)求()f x 的表达式； (2)若方程()()14ln 1f x x =+有两个不相等的实数根,αβ，求αβ的值；(3)若函数()()g x f x a =-在[]1,x e ∈上有零点，求实数a 的取值范围．20．某厂生产篮球、足球、排球，三类球均有A 、B 两种型号，该厂某天的产量如下表(单位：个)：篮球 足球 排球 A 型 120 100 x B 型180200300在这天生产的6种不同类型的球中，按分层抽样的方法抽取20个作为样本，其中篮球有6个． (1)求x 的值；(2)在所抽取6个篮球样本中，经检测它们的得分如下： 9.4 9.2 8.7 9.3 9.0 8.4把这6个篮球的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率；(3)在所抽取的足球样本中，从中任取2个，求至少有1个为A 型足球的概率．21．已知函数()()21f x x ,g x x ==-．(1)若存在x R ∈使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[]01,上单调递增，求实数m 的取值范围．22．设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是定义域在R 上的奇函数．(1)若2(1)0,(2)(4)0f f x x f x >++->试求不等式的解集； (2)若223(1),()2()[1,)2x x f g x a a mf x -==+-+∞且在上的最小值为—2，求m 的值．宁波市2010学年第一学期八校联考高一数学参考答案一、选择题CABBD DBCAC 二、填空题40，2，0，2，()15216,644k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦，9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，①②③④ 三、解答题 18．解：(1)由图像知 2.A = 8T =,28T πω== ,4πω∴=,又图象经过点(1，2)2sin 24πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Zπϕπ=+∈4πϕπϕ<∴=()2sin()44f x x ππ∴=+．………………………7分(2)()2sin 2sin 4444y f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由222442k x k ππππππ-≤-≤+，得8183,k x k k Z -≤≤+∈，故()y fx =-在[]81,83,k k k Z -+∈上是减函数；同理函数在[]83,87,k k k Z ++∈上是增函数．[]2,2x ∈- ，由上可知当1x =-时，()y f x =-取最大值2；当2x =时，()y f x =-取最小值2-．……………………………………14分19．解：(1)令xt e =时，则ln ,0x t t =>，由已知()2ln ,0ln 3tf t t t =>+，即()2ln ,0ln 3xf x x x =>+．……………………………………………………4分(2)由()()14ln 1f x x =+可得，23ln 4ln 30x x +-=．由已知，4ln ln 3αβ+=-，故43e αβ-=．…………………………………8分(3)函数()()g x f x a =-在[]1,e 上有零点，等价于()f x a =在(]1,e 上有解． ①当1x =时，()0f x =； ②当(]1,x e ∈时，(]ln 0,1x ∈， 则()13ln ln f x x x=+，(]ln 0,1x ∈ ，3ln 4ln x x∴+≥，当且仅当ln 1x =，即x e =时取等号，因而()10,4f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．……………………14分20．解：(1)设该厂这天生产篮球、足球、排球的总数为n ，由题意得：20n ＝6120180+ 所以n ＝1000∴x ＝n －120－180－100－200－300＝100．……………………………4分 (2)样本的平等数为x ＝16(9.4＋9.2＋8.7＋9.3＋9.0＋8.4)＝9.0 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的数为9.2，8.7，9.3，9.0共4个数，总个数为6．所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率为46＝23．…………8分 (3)设A 、B 型足球抽取的个数分别为n 1，n 2； 由分层抽样的方法知：201000＝1100n ＝2200n ，所以n 1＝2, n 2＝4． 即A 、B 型足球的个数分别为2，4又2个A 型足球记作A 1、A 2，4个B 型足球记作B 1，B 2，B 3，B 4．则从中任取2个的所有基本事件为：|A 1，A 2|，|A 1，B 1|，|A 1，B 2|，|A 1，B 3|，|A 1，B 4|，|A 2，B 1|，|A 2，B 2|，|A 2，B 3|，|A 2，B 4|，|B 1，B 2|，|B 1，B 3|，|B 1，B 4|，|B 2，B 3|，|B 2，B 4|，|B 3，B 4|，共15个其中至少一个A 型足球的基本事件有9个：|A 1，A 2|，|A 1，B 1|，|A 1，B 2|，|A 1，B 3|，|A 1，B 4|，|A 2，B 1|，|A 2，B 2|，|A 2，B 3|，|A 2，B 4|， 所以从中任取2个，至少有1个为A 型足球的概率为915＝35．………14分 21．解：(1)存在x R ∈,()()f x bg x <⇒存在x R ∈,20x bx b -+<()24004b b b b ⇒-->⇒<>或．……………………………………………6分(2)()221F x x mx m =-+-，()2224154m m m ∆=--=-①当0∆≤即252555m -≤≤时,则需满足025********5mm m ⎧≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩②当0∆>即252555m m <->或时.设方程()0F x =的根为()1212x ,x x x <若12m ≥,则10x ≤，2122(0)10m m F m ⎧≥⎪⇒≥⎨⎪=-≤⎩若02m ≤则20x ≤，2025125(0)10mm F m ⎧≤⎪⇒-≤<-⎨⎪=-≥⎩综上所述：102m m -≤≤≥或 …………………………… 15分22．解：(1)()f x 是定义域为R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴=1(1)0,0f a a>∴-> ，又0a >且1, 1.a a ≠∴> 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>-224x x x ∴+>-，即2340x x +->14x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或．………………………………7分(2)313(1),22f a a =∴-= ，即212320,22a a a a --=∴==-或(舍去) 222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+，令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m<时，当32t=时，min17()324g t m=-=-，解得253122m=>，舍去综上可知2m=．……………………………………………………………15分。
2023-2024学年浙江省宁波市高一下册期中联考数学试题(含解析)
2023-2024学年浙江省宁波市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足43i z =+，则z =（）A B ．1C ．5D【正确答案】C【分析】根据复数的模长运算直接求解即可.【详解】由于43i z =+，所以5z =.故选：C.2．设{}12,e e是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能．．作为基底的是（）A ．12e e + 和12e e -B ．1e 和12e e + C ．123e e + 和213e e +D ．1232e e - 和2146e e - 【正确答案】D【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于{}12,e e 是平面内的一个基底，故21,e e不共线，根据向量的加减法法则可知12e e + 和12e e - 不共线，1e 和12e e +不共线，2112133()3e e e e +=+ 和123e e +不共线，故A ，B ，C 中向量能．作为平面的基底，211224)6(32e e e e --=-，故1232e e - 和2146e e - 共线，不能．．作为平面的基底，D 错误，故选：D3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是．．（）A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥【正确答案】D【分析】对于选项A ，考虑正四面体.对于B ，C ，D 选项，画出满足部分条件的几何体，通过证明来说明是否存在满足题意的图形.【详解】对于选项A ，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A ；对于选项B ，考虑如图所示的正四棱锥.满足AB BC CD DA EA EB =====，O 为底面正方形中心，EO ⊥平面ABCD .因底面为正方形，故OA OB OC OD ===，则EOA △，EOB ，EOC △，EOD △两两全等，得EA EB EC ED ===.故存在满足条件的正四棱锥，排除B ；对于选项C ，考虑如图所示的五棱锥.满足AB BC CD DE EA FA FB ======，O 为底面正五边形中心，FO ⊥平面ABCDE .因底面为正五边形，故OA OB OC OD OE ====，则FOA ，FOB △，FOC ，FOD ，FOE V 两两全等.得FA FB FC FD FE ====.故存在满足条件的正五棱锥，排除C ；对于选项D ，考虑如图所示的正六棱锥.满足AB BC CD DE EF FA GA GB =======，O 为底面正六边形中心.GO ⊥平面ABCDEF .但注意到OA =AB ，GO AO ⊥，则有GA AO AB >=.这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D 正确.故选：D4．已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A ．86,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．856555⎝⎭C ．254555⎝⎭D ．(85,65【正确答案】A【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】由题意可得：22142310,435a b b ⋅=⨯+⨯=+=r r r ，故向量a 在向量b方向上的投影向量为()210286cos ,,25555b a b b a b a a ba b b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎛⎫ ⎪=⨯==== ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭r r rr r r r r r r rr r r r rr r .故选：A.5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A ，B 两个观测点，并在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且2cos CAB ∠=）A ．45mB ．60mC ．452mD ．603m【正确答案】B【分析】由题意分析可得2AC CO =，2BC CO =，在ABC 中利用余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：60AB =，在Rt OAC 中，由45CAO ∠=︒可得AC =；在Rt OBC △中，由30CBO ∠=︒可得2BC CO =；在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠，即2224260260CO CO ⎛=+-⨯⨯ ⎝⎭，整理得23018000CO CO --=,解得60CO =或30CO =-（舍去），所以此建筑物的高度为60m.故选：B.6．已知ABC 斜二侧画法下的直观图是边长为2的正三角形A B C '''（如图所示），则AC =（）AB C ．D ．4【正确答案】A【分析】过C '作//C N x '''轴，与y '轴交于点N '，由正弦定理可求出A N ''和C N ''的值，再在平面直角坐标系中得出AN 与CN ，利用勾股定理可得AC .【详解】如图所示，过C '作//C N x '''轴，与y '轴交于点N '，则604515C A N '''∠=︒-︒=︒，120A C N '''∠=︒，45A N C '''∠=︒，由正弦定理得sin sin sin C N A N A C C A N C A N A N C ''''''=='''''''''∠∠∠，即2sin15sin120sin 45C N A N ''''==︒︒︒，则1C N ''=，A N ''=将三角形还原到直角坐标系中，如图所示，1CN C N ''==，2AN A N ''==，所以AC =，故选：A.7．已知平面向量a ，b，c 均为单位向量，且243a b c += ，则a c ⋅= （）A ．14-B ．14C ．12D ．12-【正确答案】A【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质求解即可.【详解】平面向量a ，b ，c均为单位向量，所以1a b c === ，又243a b c+= 所以234a c b -= ，平方得222491216a c a c b +-⋅=，则22249164916112124a cb ac +-+-⋅==-.故选：A.8．已知ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足1162BP BA BC =+ ，则BPDBPE S S △△的值为（）A ．43B ．52C ．53D ．109【正确答案】C【分析】令EP EA μ= ，BE BC λ= ，令DP tDC = ，BD k BA =，利用平面向量基本定理确定点,,P E D 的位置即可求解作答.【详解】如图，令EP EA μ= ，BE BC λ=，于是()(1)(1)BP BE EP BE EA BE BA BE BE BA BC BA μμμμλμμ=+=+=+-=-+=-+ ，而1162BP BA BC =+ ，并且,BA BC 不共线，因此11,(1)62μλμ=-=，解得35λ=，令DP tDC = ，BD k BA = ，则()(1)(1)BP BD DP BD tDC BD t BC BD t BD tBC k t BA tBC =+=+=+-=-+=-+ ，从而11,(1)26t k t =-=，解得11,32k t ==，因此点P 是线段CD 的中点，所以3355BPE BPC BPD S S S == ，所以53BPD BPE S S = .故选：C思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．二、多选题9．下列结论中正确．．的是（）A ．正四面体一定是正三棱锥B ．正四棱柱一定是长方体C ．棱柱的侧面一定是平行四边形D ．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面【正确答案】ABC【分析】根据各几何体的定义直接判断.【详解】A 选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A 选项正确；B 选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B 选项正确；C 选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C 选项正确；D 选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D 选项错误；故选：ABC.10．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为π2θθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，若12c xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量c的斜坐标，若()11,a x y = ，()22,b x y = ，则（）A ．()1212,a b x x y y -=--B．a = C ．()11,a x y λλλ=D ．1212a b x x y y ⋅=+【正确答案】AC【分析】根据向量线性运算、向量模的定义、数量积的定义判断．【详解】由已知1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+，因此121122()()a b x x e y y e -=-+- ，所以a b -的斜坐标为1122(,)x y x y --，A 正确；1112a x e y e λλλ=+ ，因此a λ的斜坐标是11(,)x y λλ，C正确；a = 1212122112()a b x x y y x y x y e e ⋅=+++⋅，在1e 与2e 不垂直时，BD 错；故选：AC ．三、单选题11．下列命题中正确．．的命题是（）A ．若复数z 满足z z +∈R ，则z ∈RB ．若复数z 满足22z z =，则z ∈RC ．若复数1z ，2z 满足1221z z z z =，则12=z z D ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z ⋅=⋅，则12=z z 【正确答案】C【分析】设复数i,,z a b a b =+∈R ，根据复数的运算，验证,a b 即可判断A,B ；设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，根据已知等式结合复数运算，即可判断C,D.【详解】对于A ，设复数i,,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，所以2z z a +=∈R 恒成立，则C z ∈，故A 不正确；对于B ，设复数i,,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，若22z z =，则()()22i i a b a b +=-，所以2i 2i ab ab =-，则0ab =，故0a =或0b =，则复数z 是纯虚数或实数，故B 不正确；对于C ，设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，若1221z z z z =，即1122z z z z ⋅=⋅，所以()()()()i i i i a b a b c d c d +-=+-，整理得2222+=+a b c d ，所以12=z z ，故C 正确；对于D ，设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，若1212z z z z ⋅=⋅，则()()()()i i i i a b c d c d a b +-=+-，整理得ad bc =，而12=z z 可得2222+=+a b c d ，所以D 不正确.故选：C.四、多选题12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确．．的是（）A ．若60B =︒，2b ac =，则ABC 一定是等边三角形B ．若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 一定是钝角三角形C ．若()cos cos a b c B A -=-，则ABC 一定是等腰三角形D ．若tan tan a ba b A B+=+，则ABC 一定是直角三角形【正确答案】ABD【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换逐项计算、判断作答.【详解】对于A ，ABC 中，60B =︒，2b ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：222cos 60ac a c ac =+- ，即2()0a c -=，因此a c =，ABC 一定是等边三角形，A 正确；对于B ，由222cos cos cos 1A B C +->得：2221sin 1sin (1sin )1A B C -+--->，即222sin sin sin 0C A B -->，由正弦定理得2220c a b -->，由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，因此角C 是钝角，ABC 一定是钝角三角形，B 正确；对于C ，ABC 中，由(cos cos )a b c B A -=-及余弦定理得：22222222a c b b c a a b a b+-+--=-，整理得223322a b ab a b bc ac -=-+-，即222()()()()ab a b a b a ab b c a b -=-++--，因此a b =或222+=a b c ，ABC 是等腰三角形或直角三角形，C 错误；对于D ，ABC 中，由tan tan a ba b A B+=+及正弦定理得：sin sin sin sin sin sin cos cos A BA B A B A B+=+，因此sin sin cos cos A B A B +=+，即sin(sin()cos(cos()22222222A B A B A B A B A B A B A B A B+-+-+-+-++-=++-，整理得：2sin cos 2cos cos 2222A B A B A B A B+-+-=，显然ππA B -<-<，ππ222A B --<<，即cos02A B->，因此tan 12A B +=，而π022A B +<<，于是π24A B +=，所以π2A B +=，ABC 一定是直角三角形，D 正确.故选：ABD结论点睛：ABC 的三边分别为a ，b ，c （a≥b≥c ），若222b c a +>，则ABC 是锐角三角形；若222b c a +=，则ABC 是直角三角形；若222b c a +<，则ABC 是钝角三角形.五、填空题13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点1C 的最短距离是__________．【分析】做出正方体的侧面展开图，在平面图形内计算最短距离.【详解】如图所示，将正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 与11BB C C 展开，则最短距离为1AC =故答案为14．已知复数ω，且1ω=，则2i ω-（i 是虚数单位）的最大值是______．【正确答案】3【分析】利用复数的几何意义求解.【详解】因为1ω=，复数ω表示圆心在原点的单位圆，如图所示：2i ω-表示单位圆上的点到点()0,2的距离，由图知：当i ω=-时，2i ω-取得最大值3，故315．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，边长1AB =，则AC AD ⋅=__________．2【分析】连接AC ，AD，根据正八边形可知)2OB OA OC =+，()2OD OC OA =- ，以OA ，OC 为基底表示AC ，AD，在AOB中，由余弦定理可得222OA = ，求数量积即可.【详解】如图所示，连接AC ，AD ，由ABCDEFGH 为正八边形可知4AOB BOC π∠=∠=，且//OD AC ，则2AOC π∠=，所以OA OC +==，即)2OB OA OC =+，AC OC OA=-且)OD AC OC OA =- ，所以1AD OD OA OA ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则()122C A OC OA A O OA C D ⎤⎛⎫=-⋅-+⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⋅⎦2211222OA OC OA OC OA ⎛⎫⎫-⋅-+⋅++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)21OA =+ ，在AOB中，由余弦定理2222221cos 222OA OB AB OA AOB OA OB OA+--∠===，解得2222OA = ，所以)2122AC AD OA ⋅==+ ，故答案为216．已知ABC 中，3A π∠=，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD DC =，BAE CAE ∠=∠，2AD =，AE =BC =__________．【分析】根据角分线的向量性质及中线的向量性质化简得解.【详解】由已知AB ACAB AC+ BAE CAE ∠=∠，则AB AC AE AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，所以AB AC AE AB AC λ=+==uu u r uuu ruu u r uu ur uuu r 65λ=，所以666555AB AC AE AC c b AB AC ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪⎝⎭，即()()666615555AB AE AC AE AE c c c b ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭ ，即666615555EB EC AE c c c b ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，又点E 在BC 上，所以661055c b--=，所以()65b c bc +=，即()222363672250b c bc bc ++-=，又BD DC =，则1122AD AB AC =+，11222AD AB AC =+ ，即2219c b bc ++=，联立()2222236367225019b c bc bc b c bc ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩，得()225366840bc bc --=，解得6bc =，或11425bc =-（舍），所以BC AC AB =-，则222222222cos 1927BC AC AB AB AC b c bc A b c bc bc =+-⋅=+-=+-=-= ，所以BC =故答案为六、解答题17．已知复数()i 0,0z x y x y =+>>满足2z =，且1z -为纯虚数．(1)求i1z -；(2)若20z b z c +⋅+=，(),R b c ∈，求实数b ，c 的值．【正确答案】(2)2b =-，4c =【分析】（1）根据纯虚数的概念可得x ，再由模长可得y ，即可确定z 与i1z-；（2）法一：代入，根据复数相等解方程即可；法二：根据复数方程的解列方程即可.【详解】（1）11i z x y -=-+ 为纯虚数，1x ∴=，2z = 且0y >，y ∴=，1z =+，()()()()11i 1i 1i 1i z ⨯+∴=--⨯+；（2）法一：把1z =+代入：20z b z c +⋅+=，()()2110b c +⋅+=，化简得：2i 0b c +-++=，即200b c+-=⎧⎪+=，解得：2b =-，4c =.法二：20z b z c +⋅+=的一根为1z =，则另一根为：1z =，则24z z b z z c +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2b =-，4c =.18．已知平面直角坐标系内存在三点：()1,5A ，()7,8B ，()5,2C ．(1)求cos BAC ∠的值；(2)若平面上一点P 满足：AP CB ，CP AB ⊥，求点P 的坐标．【正确答案】(2)()2,8P 【分析】（1）根据题意结合向量的夹角公式运算求解；（2）根据题意结论向量平行、垂直关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：()6,3AB = ，()4,3AC =- ，则15AB AC ⋅=，AB ==uu u r5AC ==uuu r ，故cos AB AC BAC AB AC ⋅∠=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r （2）由题意可得：()2,6CB =，∵AP CB，设()()2,6AP tCB t t t ==∈R uu u r uu r ，∴()24,63CP AP AC t t =-=-+uu r uu u r uuu r，又∵CP AB ⊥，则()()6243630CP AB t t ⋅=-++= ，解得12t =，∴()3,6CP =-，设(),P x y ，则()5,2CP x y =--uu r，可得5326x y -=-⎧⎨-=⎩，解得28x y =⎧⎨=⎩，即()2,8P .19．如图所示，以线段AB 为直径的半圆上有一点C ，满足：1BC=，AC =阴影部分绕直线AB 旋转180°得到一个几何体．(1)求阴影部分形成的几何体的体积；(2)求阴影部分形成的几何体的表面积．【正确答案】(1)5π1215334+【分析】（1）过点C 作1CO AB ⊥，垂足为点1O ，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．分别求出两个半圆锥的体积12,V V ，即可得出答案；（2）分别求出两个半圆锥的表面积12,S S ，ACB 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为3S ，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分4S ，求出3S ，4S ，则阴影部分形成的几何体的表面积为1234S S S S +++，求解即可.【详解】（1）过点C 作1CO AB ⊥，垂足为点1O ，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．3AC 1BC =，2AB =，132CO =，1Rt AO C △以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为211111π23V CO AO =⨯⨯⨯，1Rt BO C 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为221111π23V CO BO =⨯⨯⨯，2221211111111πππ666V V CO AO CO BO CO BA +=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯13ππ2644=⨯⨯=，半圆面以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球体，体积为33142π1π233V =⨯⨯=，3122π5ππ3412V V V V =--=-=几何体.（2）1Rt AO C △以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为113ππ24S =⨯=，1Rt BO C 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为21π12S =⨯=，ACB 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为2314π12π2S =⨯⨯=，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分：241π121π2S =⨯-⨯⨯=12343π2ππ4S S S S S =+++=++=几何体.20．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且2cos 2a B c +=，2a =．(1)若c =，求ABC 的面积；(2)求ABC 周长的最大值．【正确答案】(2)2+【分析】（1）法一：由正弦定理得出A ，再由余弦定理得出b ，进而求出面积；法二：由余弦定理求出A ，b ，进而求出面积；（2）法一：由正弦定理的边化角公式结合三角函数的性质得出ABC 周长的最大值；法二：由余弦定理结合基本不等式得出ABC 周长的最大值.【详解】（1）法一：∵2cos 2a B c +=，由正弦定理得，2sin cos sin 2sin A B B C +=∴()2sin cos 2sin A B B A B +=+，∴2cos sin A B B =，∵()0,πB ∈，∴sin 0B ≠，∴cos A =()0,πA ∈，∴π6A =．由余弦定理得：241222b b=+-⨯，2680b b-+=，()()420b b--=，∴2b=或4，∴111sin4222ABCS bc A==⨯⨯=或111sin2222ABCS bc A==⨯⨯=△．综上，ABC法二：由余弦定理得，222222a c ba cac+-⋅+=，∴222b c a+-，∴cos2A=，∵()0,πA∈，π6A=．由余弦定理得：241222b b=+-⨯，2680b b-+=，()()420b b--=，∴2b=或4，∴111sin4222ABCS bc A==⨯⨯=或111sin2222ABCS bc A==⨯⨯=△．综上，ABC（2）法一：由正弦定理得：241sin sin sin2a b cA B C====，5π124sin sin241sin cos622a b c B B B B⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫++=+⨯+-=+⨯++⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()224222xϕ=++≤++其中tanϕ=，所以当()sin1xϕ+=时，()max2a b c++=++法二：由余弦定理得：∵(2242b c bc+=≥，∴(42bc≤，∵()(242b c bc+=+(244232≤+⨯+=+，∴b c+≤()max2a b c++=++b c==21．如图，在梯形ABCD中，2AD=，3DC CB==，2AB DC=，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G ，点H 是线段AB 上的两个三等分点，点P 是直线BC 上的一点．(1)求AB AD ⋅的值；(2)求FH的值；(3)直线AP 分别交线段EG 、FH 于M ，N 两点，若B 、N 、D 三点在同一直线上，求AM AN的值．【正确答案】(1)4(3)47AM AN =【分析】（1）以AB，AD 为基底表示CB ，3CB = ，可得AB AD ⋅；（2）以AB，AD 为基底表示FH ，进而计算模长；（3）根据向量共线定理分别可表示AM ，AN ，进而确定AMAN.【详解】（1）设AB a =，AD b =1122CB CD DA AB a b a a b =++=--+=- ，22211394CB a a b b a b ∴=-⋅+=-⋅=，即4AB AD a b ⋅=⋅= ；（2）22113323AF AD DC b a a b =+=+⨯=+ ，13FH AH AF a b =-=-，FH = （3）设AN xAF y AH =+，即()()()x AF AN y AH AN AN x y AN -+-=-+ ，()1xNF yNH x y AN +=--，因为N 在FH 上，所以10x y --=，即1y x =-，()()1221113333AN xAF x AH x a b x a x a xb ⎛⎫⎛⎫∴=+-=++-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2133AN x AB xAD ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()()2121221333333x AB AN x AD AN AN x AN xAN x AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即212213333x NB xND x AN ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于D ，N ，B 三点共线，所以221033x --=，12x ∴=，1122AN a b =+ ，设AM AE AG λμ=+，则()()()1AE AM AG AM AM λμλμ-+-=-- ，即()1ME MG AM λμλμ+=-- ，又M 在EG 上，则10λμ--=，即1μλ=-，()()111111132336AM AE AG AD AB AB AB AD λλλλλλλ⎛⎫=+-=+⋅⋅+-⋅=-+ ⎪⎝⎭，由于A ，M ，N 三点共线，所以111362112λλ-==，即27λ=，所以224777AM b a AN =+= ，47AM AN =.22．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O．(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABC S mS =△△求m 的最小值．【正确答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）连接1AO ，3AO ，在13O AO 中，由余弦定理可求出13O O ，同理可得12O O ，再结合正弦定理即可证明1213O O O O =，同理可得1322O O O O =；（2）由123O O O ABC S mS =△△化简可得()()23211sin b c m A c b ϕ+=-+⨯+，再由基本不等式求出b cc b+的最小值，即可求出m 的最小值.【详解】（1）如图，连接1AO ，3AO ，则133AO c =，333AO b =，13π3O AO A ∠=+在13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，即2222213π2cos π32cos 33333b c bc A b c bc O O A ⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+-⋅⋅+= ⎪⎝⎭2222132cos sin 22cos 3sin 33b c bc A A b c bc A bc A ⎛⎫+-⨯- ⎪+-+⎝⎭==222222223sin 32sin 36b c a b c bc Aa b c A+-+-+++==+同理可得2222123sin 63a b c O O B ++=+，∵sin sin a bA B=，∴sin sin a B b A =，∴1213O O O O =.同理：1322O O O O =，即123O O O 为等边三角形.（2）1232221333cos 3sin sin 4432O O O b c bc A bc A m S O O bc A +-=⨯==△则)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ+=-+=+∵2b c c b +≥=，)max 21sin cos m A A ⎤-+=⎦2≥，解得：m 1≥当且仅当π3A =，b c =时123O O O ABC S S △△取到最小值1．。
2024-2025学年宁波中学高一数学上学期期中考试卷及答案解析
宁波中学2024年度第一学期期中高一数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，则M N =I （ ）A. {}1,2,4,6,7B. {}1,2,6C. {}4,7D. {}2,4【答案】C 【解析】【分析】利用集合的交集运算即可得解.【详解】因{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，所以M N =I {}4,7.故选：C.2. 命题“N n "Î，22Z n n ++Δ的否定为（ ）A. N n "Î，22Z n n ++Ï B. N n "Ï，22Z n n ++ÏC. N n $Î，22Z n n ++Î D. N n $Î，22Zn n ++Ï【答案】D 【解析】【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论，所以命题“N n "Î，22Z n n ++Δ的否定为N n $Î，22Z n n ++Ï.故选：D.3. 已知0.23a =，0.33b =，0.22c =，则（ ）A. b a c >> B. a b c >>C. b c a >> D. a c b>>【答案】A 【解析】为【分析】利用指数函数的单调性与幂函数的单调性即可判断得解.【详解】因为3x y =为单调递增函数，所以0.30.233>，则b a >，因0.2y x =为增函数，所以0.20.232>，则a c >，综上，b a c >>.故选：A.4. 已知正实数a ，b 满足2a b +=，则312a b+的最小值为（ ）A.272B. 14C. 15D. 27【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因正实数a ，b 满足2a b +=，所以31213121312127()15152222b a a b a b a b a b ææöæö+=++=++³+=çç÷ç÷çèøèøè，当且仅当312b a a b=，即24,33a b ==时取等号，所以312a b+的最小值为272.故选：A 5. 函数3(e)x f xx =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D为【解析】【分析】先利用奇偶函数的定义判断得()f x 的奇偶性排除AB ，再利用指数函数的性质分析得()f x 的正负情况，从而排除C ，由此得解.【详解】对于3()ex xf x =，其定义域为R ，又33()()e ex xx xf x f x ---==-=-，则()f x 是奇函数，排除AB ，当0x >时，30x >，e e 0x x =>，所以()0f x >，排除C ，又选项D 的图象满足上述性质，故D 正确.故选：D.6. 设m ÎR ，“12m <-”是“方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+¥上有两个不等实根”的（ ）条件.A. 充分必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解.【详解】当12m <-时，取3m =-，则方程22(3)40m x m x -++=为2940x +=，显然无解，即充分性不成立；当方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+¥上有两个不等实根时，则()22222Δ344032242(3)40m m m m x m m m ì>ï=+-´>ïïí+=>ïïï-++>î，即0315********m m m m m m ¹ìïï-<<ïïí-<<<<ïïï-ïî或或，则3152m -<<-，此时12m <-成立，即必要性成立；所以前者是后者的必要不充分，故C 正确.故选：C.7. 中国5G 技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：2log 1S C W N æö=+ç÷èø，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，将信噪比S N从2000提升至10000，则C 大约增加了(lg 20.3010)»（ ）A 18%B. 21%C. 23%D. 25%【答案】B 【解析】【分析】由已知公式，将信噪比SN看作整体，分别取2000,10000求出相应的C 值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解.【详解】由题意，将信噪比SN从2000提升至10000，则最大信息传递速率C 从()12log 12000C W =+增加至()22log 110000C W =+，所以2212212210001log log 10001log 20012001log 2001log 2001C C W W C W --==3100011000010lglg lg10.3012001200020.2121%lg 2001lg 2000lg 2lg100.3013-=»==»=++.故选：B.8. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ³时，2()2f x x x =-，若函数()g x 满足(),0()(),0f x xg x f x x ³ì=í-<î，且(())0g f x a -=有8个不同的解，则实数a 的取值范围为（ ）A. 1a <-B. 10a -<<C. 01a <<D. 1a >【答案】B 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到()f x 与()g x 的解析式，设()t f x =，作出函数()g t 的图.象，数形结合，分类讨论函数1a <-、10a -<<与0a >三种情况，得到对应情况下(())0g f x a -=的解的个数，从而得解.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ³时f (x )=x 2―2x ，令0x <，则0x ->，则()22f x x x -=+，又()()22f x f x x x=--=--所以()222,02,0x x x f x x x x ì-³=í--<î，则()222,02,0x x x g x x x x ì-³=í+<î，设()t f x =，作出函数()g t 的图象，对于A ，当1a <-时，函数()g t a =没有实数根，不满足题意；对于B ，当10a -<<时，函数()g t a =有四个根1234,,,t t t t ，其中1(2,1)t Î--，2(1,0)t Î-，3(0,1)t Î，4(1,2)t Î；作出()f x 与1y t =、2y t =、3y t =与4=y t 的图象，如图，显然几个函数恰有8个交点，则(())0g f x a -=有8个不同的解，故B 正确；对于CD ，当0a >时，函数()g t a =有两个根12,t t ，其中1(,2)t Î-¥-，2(2,)t Î+¥，与选项B 同理可知()f x 与1y t =、2y t =各有一个交点，则(())0g f x a -=只有2个不同的解，不满足题意，故CD 错误.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A.11a b< B.11a cb c<--C. ac bc > D.22a b c c >【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可.【详解】因为0a b >>，选项A ：110b aa b ab --=<，所以11a b<，故A 说法正确；选项B ：()()11b aa cbc a c b c --=----，当a b c >>或c a b >>时，()()0b aa cbc -<--，即11a c b c<--；当a c b >>时，()()0b a a c b c ->--，即11a c b c>--，故B 说法错误；选项C ：当0c =时，ac bc =，故C 说法错误；选项D ：因为210c >，所以22a b c c >，故D 说法正确；故选：AD10. 已知函数)()lg 1f x x =-+，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的值域为RB. (1)f x +关于原点对称C. ()f x 在(1,)+¥上单调递增D. ()f x 在[1,1]x m m Î-+上的最大值、最小值分别为M 、N ，则0M N +=【答案】ABD 【解析】【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A ，构造函数())lg k x x =，研究()k x 的性质判断B ，利用()k x 的单调性与奇偶性判断CD ，从而得解.【详解】对于A ，()2222110x x x -+--=>，所以()222210x x x -+>-³1x >-，10x -+>恒成立，所以()f x 的定义域为R ，且当x 趋于无穷大时，1y x =-+接近于0，当x 趋于无穷小时，1y x =-+=趋于无穷大，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于B ，因为))(1)lg (1)1lgf x x x +=++=-，令())lgk x x =，则()(1)f x k x +=，易知()k x 的定义域为R ，又()()))lglglg10k x k x x x -+=++==，所以()k x 为奇函数，关于原点对称，即(1)f x +关于原点对称，故B 正确；对于C ，因为())1gk x x =-=在()0,¥+上递减，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，所以()f x 在(1,)+¥上单调递减，故C 错误；对于D ，因为()k x 在()0,¥+上递减，且())1gk x x =-为奇函数，则()00k =，())k x x =-\在(),-¥+¥上为减函数，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，()f x \在(),-¥+¥上为减函数，即()f x 在[1,1]m m -+上单调递减，则()()()()110M N f m f m k m k m +=-++=-+=，故D 正确.故选：ABD.11. 已知函数()f x 满足：对于,x y ÎR ，都有()()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -=+++，且(0)(2)f f ¹，则以下选项正确的是（ ）A. (0)0f = B. (1)0f =C. (1)(1)0f x f x ++-= D. (4)()f x f x +=【答案】BCD 【解析】【分析】利用赋值法，结合条件分析得()()1,0f f 的值，从而判断AB ，利用赋值法，结合AB 中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD ，从而得解.【详解】对于B ：令0x y ==，则()()()22001,f f f éùéù=+ëûëû令1x y ==，则()()()22012,f f f éùéù=+ëûëû所以()()2202,f f éùéù=ëûëû因为()()02f f ¹，所以()()02f f =-，令1,0x y ==，则()()()()()110210f f f f f =+=，故B 正确；对于A ：由选项B 可得()()200f f éù=ëû，所以()00f =或()01f =，若()00f =，则()()()220120f f f éùéù=+=ëûëû，所以()20f =，这与()()02f f ¹矛盾，舍去；若()01f =，则()()()220120f f f éùéù=+=ëûëû，解得()21f =±，因为()()02f f ¹，所以()21f =-，()01f =，故A 错误；对于C ：令0x =，则()()()()()011f y f f y f f y -=++，因为f (1)=0，()01f =，所以()()f y f y -=，所以()f x 为偶函数，令1x =，则()()()()()()11211f y f f y f f y f y -=++=-+，即()()11f x f x -=-+，所以(1)(1)0f x f x ++-=，故C 正确；对于D ：由选项C 知()()11f x f x -=-+，所以()()2f x f x -=-+，又()f x 为偶函数，所以()()()2f x f x f x =-=-+，即f (x +2)=―f (x )，所以f (x +4)=―f (x +2)=f (x )，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数3()log (31)f x x =+的定义域为______.【答案】13x x ìü-íýîþ【解析】【分析】根据对数式的意义即可求解.【详解】要使函数有意义，则13103x x +>Þ>-，所以函数的定义域为13x x ìü-íýîþ.故答案为：13x x ìü-íýîþ.13. 定义()f x x =éùêú（其中éùêúx 表示不小于x 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 1.11-=-éùêú，2.13=éùêú，44=éùêú.以下描述正确的是______.（请填写序号）①若()2024f x =，则(2023,2024]x Î，②若27120x x -+£éùéùêúêú，则(2,4]x Î，③()f x x =éùêú是R 上的奇函数，④()f x 在R 上单调递增.【答案】①②【解析】【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①②，举反例，结合函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解.【详解】因为éùêúx 表示不小于x 最小整数，的则有x x ³éùêú且1x x -<éùêú，即1x x x -<éùéùêúê£ú，对于①，()2024f x x ==éùêú，则20232024x <£，即(2023,2024]x Î，故①正确；对于②，令t x =éùêú，则不等式可化为27120t t -+£，解得34t ££，又t x =éùêú为整数，则3t =或4t =，当3t =时，即3x =éùêú，则23x <£；当4t =时，即4x =éùêú，则34x <£，所以24x <£，则(2,4]x Î，故②正确；对于③，因为()f x x =éùêú，则(0.5)1f =，(0.5)0(0.5)f f -=¹-，则()f x x =éùêú不是R 上的奇函数，故③错误；对于④，因为()f x x =éùêú，则(0.5)1f =，(0.6)1f =，即(0.5)(0.6)f f =，所以()f x 在R 上不单调递增，故④错误.故答案为：①②.14. 已知a ，b 满足2221a ab b +-=，则232a ab -的最小值为______【答案】2【解析】【分析】变形给定等式，换元2a b m +=，用m 表示,a b ，再代入，利用基本不等式求出最小值.【详解】由2221a ab b +-=，得(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，则1a b m-=，解得233m a m =+，8322()33m a b a a b m-=+-=+，因此22228116132(32)()()(10(102333399m m a ab a a b m m m m -=-=++=++³+=，当且仅当2216m m=，即24m =时取等号，所以232a ab -的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：将2221a ab b +-=变形为(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，再表示出,a b 是求出最小值的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 求值（110232ln 2024+-（2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++【答案】（1）152 （2）14【解析】【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解.（2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.【小问1详解】原式()()111125253424211115221222222´´=´+-=-=-=.【小问2详解】原式225511log 5log 0.2log 2log 0.522æöæö=++ç÷ç÷èøèø225525log 5log log 2log log log æ=++=ççè11lg 5lg 2122lg 2lg 54==´=.16. 已知集合{}121A x m x m =+££-，11|288x B x -ìüíýîþ=££.（1）求B ；（2）若A B Í，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|24B x x =-££（2）5,2æù-¥çúèû【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合B ；（2）利用集合间的包含关系，分类讨论A =Æ与A ¹Æ两种情况，得到关于m 的不等式（组），解之即可得解.【小问1详解】由11288x -££，得313222x --££，所以313x -£-£，解得24x -££，所以{}|24B x x =-££.【小问2详解】因为A B Í，{}121A x m x m =+££-，当A =Æ时，121m m +>-，得2m <，满足条件；当A ¹Æ时，2m ≥且21214m m -£+ìí-£î，解得522m ££；综上所述，m 的取值范围是5,2æù-¥çúèû.17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与使用肥料x （单位：千克）满足如下关系：210(3),02()100100,251x x W x x x ì+££ï=í-<£ï+î，肥料成本投入为11x 元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）25x 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）220036600,02()2000200036,251x x x f x x x x ì-+££ï=í--<£ï+î； （2）当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.【解析】【分析】（1）根据单株产量W 与施用肥料x 满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.（2）结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.【小问1详解】依题意，2200(3)36,02()20()251120()3610020(10036,251x x x f x W x x x W x x x x x ì+-££ï=--=-=í--<£ï+î220036600,022*********,251x x x x x x ì-+££ï=í--<£ï+î.【小问2详解】当02x ££时，2()20036600f x x x =-+，则当2x =时，()f x 取得最大值(2)1328f =；当25x <£时，500()203636(1)20364[9(1)]112000f x x x x x=--+=-++++令1(3,6]x t +=Î，5005009(1)91x t x t ++=++，函数5009t ty +=在(3,6]上单调递减，当6t =时，min 4123y =，此时5x =，()f x 取得最大值4460(5)3f =，而446013283<，因此当5x =时，max 4460()3f x =，所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.18. 已知函数()42x x a f x -=为奇函数，（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）求关于x 的不等式()22(4)0f x x f x ++-<的解集.【答案】（1）1a =（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）{}41x x -<<【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质()00f =求得a ，再进行检验即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性与单调性，将问题转化为224x x x +<-，从而得解.【小问1详解】因为()42x x a f x -=为奇函数，且定义域为R ，所以()00f =，则00402a -=，解得1a =，此时()411222x x x x f x -==-，则()()112222x x x x f x f x --æö-=-=--=-ç÷èø，即()f x 为奇函数，所以1a =.【小问2详解】()f x 在R 上单调递增，证明如下：任取12,R x x Î，且12x x <，则12220x x -<，12220x x ×>则()()1222211112111122222222x x x x x x x x f x f x æö-=---=-+-ç÷èø()12121212122212222102222x x x x x x x x x x -æö=-+=-+<ç÷××èø，所以()()12f x f x <，故()f x 在R 上单调递增.【小问3详解】因为()22(4)0f x x f x ++-<，所以()()22(4)4f x x f x f x +<--=-，则224x x x +<-，即2340x x +-<，解得41x -<<，所以()22(4)0f x x f x ++-<的解集为{}41x x -<<.19. 已知函数3()f x x a a x=--+，(R)a Î，（1）若1a =，求关于x 方程()1f x =的解；（2）若关于x 的方程2()f x a=有三个不同的正实数根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，（i ）求a 的取值范围；的（ii ）证明：1333x x x >.【答案】（1）12x =（2）（i ）；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得由31x x-=，分类讨论1x ³与1x <两种情况去掉绝对值即可得解；（2）（i ）分段讨论()f x 的解析式，结合对勾函数的性质分析得()f x 的单调性，进而得到关于a 的不等式，解之即可得解；（ii ）利用（i ）中结论，分析得123x x =与3x 关于a 的表达式，进而得解.【小问1详解】当1a =时，3()11f x x x =--+，则由()1f x =，得31x x -=，当1x ³时，则31x x -=，即230x x --=，解得12x =+或12x =（舍去）；当1x <时，则31x x-=，即230x x -+=，无实数解，综上，12x =+.【小问2详解】（i ）因为3()f x x a a x=--+，当x a £时，33()2f x x a a a x x x æö=-+-+=-+ç÷èø，当x a >时，33()f x x a a x x x=--+=-，由对勾函数的性质可知，32y a x x æö=-+ç÷èø在(上单调递增，在)+¥上单调递减，易知3y x x =-在()0,¥+上单调递增，当)0a a £¹时，则32y a x x æö=-+ç÷èø在()0,a 上单调递增，3y x x =-在(),a +¥上单调递增，又当x a =时，332a x x x xæö-+=-ç÷èø，所以()f x 在()0,¥+上单调递增，故方程2()f x a=不可能存在3个不同正实根，所以a ³32y a x x æö=-+ç÷èø在(上单调递增，在)a 上单调递减，3y x x=-在(),a +¥上单调递增，故2322a a a a a <<-æö-+ç÷èøa <<即a 的取值范围为；（ii ）12x x ､是方程322a x x a æö-+=ç÷èø，即22230x a x a æö--+=ç÷èø的两个根，故123x x =，3x 是方程32x x a -=30x -=的较大根，则31x a =+且在区间上单调递减，所以1233333x x x x =>+=>.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
2022-2023学年浙江省宁波市高一上册期末联考数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年浙江省宁波市高一上册期末联考数学模拟试题（含解析）一、单选题1．已知集合302x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，(){}ln 1B x y x ==+，则A B = （）A ．{}13x x -<<B ．{}3x x <C ．{}1x x >-D ．{}13x x -≤<【答案】A【分析】化简集合,A B ，然后根据交集的定义运算即可．【详解】()(){}{}30320232x A x x x x x x x ⎧⎫-=<=-+<=-<<⎨⎬+⎩⎭，(){}{}ln 11B x y x x x ==+=-；∴{}|13A B x x ⋂=-<<．故选：A ．2．下列选项中满足最小正周期为π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数为（）A ．1cos 2y x=B ．1sin 2y x=C ．cos212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin 212⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 【答案】C【分析】利用周期排除A ，B ，再利用复合函数单调性在C ，D 中可得到正确答案.【详解】对选项A ，B 其周期为22412T πππω===，选项C ，D 其周期为222T πππω===，故排除选项A ，B ；对于C ：cos 2x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递减，则cos212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递增，故C 正确；对于D ：sin 2x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递增，则sin 212⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递减，故D 错误.故选：C3．“1a >”是“函数()()22f x ax x a =-∈R 在()1,+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案.【详解】()()220f x ax x a =-≠对称为轴1x a=，若1a >，又()f x 开口向上，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又()10,1a∈，故()f x 在()1,+∞上单调递增成立；若函数()()22f x ax x a =-∈R 在()1,+∞上单调递增，()0,2a f x x ==-单调递减，不成立，0,a ≠则0,11a a>⎧⎪⎨≤⎪⎩得1a ≥，1a ≥不能推出1a >，故“1a >”是“函数()()22f x ax x a =-∈R 在()1,+∞上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.4．已知幂函数()21by a a x =--（1a >且a ∈Z ）过点(),8a ，则函数()log 3a x by x =+的定义域为（）A ．[)()3,22,--⋃-+∞B ．()()3,22,--⋃-+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义求出a ，根据幂函数经过的点可求b，再根据函数()2log 3y x =+有意义列式可求出结果.【详解】根据幂函数的定义可知，211a a --=，解得2a =或1a =-（舍），因为幂函数b y x =过点()2,8，所以28b =，得3b =，由2y =()230log 30x x +>⎧⎨+≠⎩，得3x >-且2x ≠-，所以所求函数的定义域为(3,2)(2,)--⋃-+∞.故选：B5．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过44sin ,cos 33A ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则5cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．B．2C ．12D ．12-【答案】D【分析】首先根据三角函数的定义得到1sin 2θ=-，再根据诱导公式求解即可.【详解】已知角θ终边经过44sin ,cos 33A ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以4cos 413sin cos cos 332ππθπ==-=-，所以51cos cos sin 222ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D6．2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（）年（参考数据：lg 20.301=，lg30.477=，lg1.0140.00604=）A ．8.3B ．8.5C ．8.7D ．8.9【答案】B【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可.【详解】设世界人口达到90亿至少需要x 年，由题意，得239980(1 1.4%)90 1.014lg1.014lg lg1.014lg 9lg 8lg1.014lg 3lg 288x x x x x +≥⇒≥⇒≥⇒≥-⇒≥-2lg 33lg 220.47730.301lg1.0142lg 33lg 28.44lg1.0140.00604x x -⨯-⨯⇒≥-⇒≥=≈，因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，故选：B7．函数()2e e 44x xf x x x-+=-的图象最有可能的是（）A．B．C ．D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再通过取特殊点确定正确选项.【详解】()2e e 44x x f x x x-+=-有意义可得2440x x -≠，所以0x ≠且1x ≠，所以1x ≠-且0x ≠且1x ≠，所以()2e e 44x xf x x x-+=-的定义域为()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞，又()()()22e e e e 4444x x x xf x f x x x x x--++-===----，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，B ，D 错误，又1111222221e ee e 22114422f --⎛⎫+⎛⎫==-+<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭⨯-⨯ ⎪⎝⎭，C 错误，选项A 符合函数()f x 的解析式，故选：A.8．已知0x y >>，且221x y -=，则22234x y xy +-的最小值为（）A ．34B ．1C ．1716D ．98【答案】B【分析】利用换元法表示出,x y 代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.【详解】因为221x y -=，所以()()1x y x y -+=，令,m x y n x y =-=+，则1mn =且22n m x n m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入22234x y xy +-中得：22222342342222n m n m n m n m x y xy +-+-⎛⎫⎛⎫+-=+-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222229292914442m n mn m n m n +-+-+===-1313111222mn -⨯-===当229=m n 即m n ==“=”,所以最小值为1.故选：B二、多选题9．下列不等式错误的是（）A ．若0a b <<，则11a b a>-B ．若0a b <<，则b a a b>C ．若0a b >>，则1b a<D ．若0a b >>，则22ac bc >【答案】ABD【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定的四个不等式的正误，可得答案.【详解】对于A 中的不等式，因为0a b <<，所以()110b a b a a a b -=<--，故选项A 中的不等式不成立；对于B 中的不等式，因为0a b <<，所以220b a b a a b ab--=<，故选项B 中的不等式不成立；对于C 中的不等式，因为0a b >>，所以b a <，化简得出1ba<，正确；对于D 中的不等式，因为0a b >>，所以22ac bc >在0c =的情况下不成立.故选：ABD10．以下命题正确的是（）A ．函数lny =的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．函数2212cos cos 1y x x =++的最小值为2C ．A 为三角形内角，则“45A >︒”是“sin sin 45A >︒”的充要条件D ．设α是第一象限，则2α为第一或第三象限角【答案】AD【分析】对选项A ，根据复合函数的单调性即可判断A 正确，对选项B ，利用基本不等式的性质即可判断B 错误，对选项C ，利用特值法即可判断C 错误，对选项D ，根据题意得到24k k απππ<<+，Z k ∈，即可判断D 正确.【详解】对选项A ，lny =，因为20x x -+>，所以01x <<，令t =，所以ln y t =，因为10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，t 为增函数，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，t 为减函数，所以ln y =的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确.对选项B ，()2222112cos 2cos 122cos 1cos 1y x x x x =+=++-≥++，当且仅当()2212cos 1cos 1x x +=+，等号成立.因为()2212cos 1cos 1x x +=+，cos x 无解，故等号取不到，即函数2212cos cos 1y x x =++最小值不是2-，故B 错误.对选项C ，若135A =︒，则sin sin 45A =︒，所以若A 为三角形内角，则sin s 45i 4n 5A A >>︒⇒/︒，不满足充要条件，故C 错误.对选项D ，若α是第一象限，则222k k ππαπ<<+，Z k ∈，所以24k k απππ<<+，Z k ∈，即2α为第一或第三象限角，故D 正确.故选：AD11．如图所示，角π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点P ，()1,0A ，PM x ⊥轴，AQ x ⊥轴，M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin x ，tan x 的值分别等于线段MP ，AQ 的长，且OAP OAQ OAP S S S <<扇形△△，则下列结论正确的是（）A ．函数sin y x x =-有3个零点B ．函数tan y x x =-在πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C ．函数tan sin y x x x =++在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点D ．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在ππ,22⎛⎫- ⎝⎭内有1个零点；【答案】BCD【分析】利用当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，可得各个函数在π(0,2上零点的个数，再根据奇函数的图象的对称性得到函数在π(,0)2-上零点的个数，又各个函数都有零点0x =，由此可判断A CD ；再结合函数tan y x =和y x =的图象，可判断B.【详解】由已知可知，当π(0,)2x ∈时，11sin 22OAP S OA MP x =⋅⋅=!，21122OAP S OA x x =⋅⋅=扇形，11tan 22OAQ S OA AQ x =⋅⋅=!，所以当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，对于A ，当π2x ≥时，sin 1x ≤，1x >，所以sin 0y x x =-<，此时函数无零点；当π02x <<时，因为sin x x <，所以sin 0y x x =-<，此时函数无零点；当0x =时，sin 0y x x =-=，此时函数的零点为0x =；因为sin y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，所以当0x <时，函数无零点，综上所述：函数sin y x x =-有且只有1个零点，故A 不正确；对于B ，当π02x <<时，因为tan x x >，所以tan y x x =-0>，又tan y x x =-为奇函数，所以当π02x -<<时，tan y x x =-0<，当0x =时，tan y x x =-0=，所以函数tan y x x =-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点0x =；作出函数tan y x =和y x =的图象，如图：由图可知，当π3π22x <<时，函数tan y x =和y x =的图象只有一个交点，函数tan y x x =-在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，所以函数tan y x x =-在πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点，故B 正确；对于C ，当π(0,)2x ∈时，tan sin 0x x x >>>，tan sin y x x x =++0>，又函数tan sin y x x x =++为奇函数，所以当x ∈π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，tan sin y x x x =++0<，当0x =时，tan sin 0y x x x =++=，所以函数tan sin y x x x =++在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有1个零点0x =，故C 正确；对于D ，当π(0,)2x ∈时，tan sin 0x x ->，所以tan sin tan sin y x x x x =+--tan sin tan sin 2sin x x x x x =+-+=0>，又由于tan sin y x x =-为奇函数，所以当π(,0)2x ∈-时，tan sin 0x x -<，所以tan sin tan sin y x x x x =+--tan sin tan sin 2tan 0x x x x =++-=<，当0x =时，tan sin tan sin y x x x x =+--0=，所以函数tan sin tan sin y x x x x =+--在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点.故选：BCD12．已知正实数x ，y 满足2245ln 21x x x y y -+=+-+，则使方程224xy m x y +=+有解的实数m 可以为（）A ．52B ．2C ．32D ．1【答案】ABC【分析】根据题意，化简为22ln (2)1(2)ln(1)x x y y ⎡⎤-++-=++⎣⎦，设2()ln(1)f x x x =++，且0x >，根据单调性，得到()f x 在0x >时单调递增，故(2)()f x f y -=，得到2y x =-，代入224xy m x y +=+，得到22(1)52(1)2x m x --+=-+，设2(1)t x =-，20x >> ，10t ∴>≥，得到1321m t =-++，再根据单调性，可得到m 的范围.【详解】0x >，0y >，22ln (2)1ln(1)2x y x y ⎡⎤-+-+=+-⎣⎦ ，22ln (2)1(2)ln(1)x x y y ⎡⎤∴-+--=++⎣⎦，22ln (2)1(2)ln(1)x x y y⎡⎤∴-++-=++⎣⎦设2()ln(1)f x x x =++，0x >，明显地，()f x 单调递增(2)()f x f y ∴-=，2y x ∴=-，20x ->，∴20x >>，2222224(2)424(2)244xy x x x x m x y x x x x +-+-++===++--+22(21)52(21)2x x x x --++=-++22(1)52(1)2x x --+=-+，令2(1)t x =-，20x >> ，10t ∴>≥，522t m t -+∴=+1321t =-++，设13()21g t t =-++，则()g t m =有解，等价于()y g t =与y m =有交点，明显地，()g t 单调递减，且(0)()(1)g g t g ≥>，故5()12g t ≥>，512m ∴≥>故选：ABC 【点睛】思路点睛：通过化简得到22ln (2)1(2)ln(1)x x y y ⎡⎤-++-=++⎣⎦，设2()ln(1)f x x x =++，利用()f x 的单调性，得到y 与x 的关系，进而化简得到22(1)52(1)2x m x --+=-+，进而利用y m =与22(1)52(1)2x y x --+=-+有交点，得到m 的取值范围.三、填空题13．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是__________．【答案】x ∃∈R ，20x ≤【详解】全称命题的否可得，命题的否定为“x R ∃∈，20x ≤”．答案：x R ∃∈，20x ≤．143log =⎝⎭______.54【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.【详解】原式3144333151log1log31344-=+-+---，54.15．已知sin23α=，则tan6tan6παπα⎛⎫-⎪⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭的值为______.【答案】15-##0.2-【分析】切化弦展开后化简代入计算即可.【详解】∵sin23α=11tan()sin()cos()cos cos sin)66622tan()cos()sin()66611sin cos sin2124245πππαααααααπππαααααα--+--=+-+-==-故答案为：15-.16．设函数()2,021,0x mx xf xx m x x⎧+≤⎪=⎨+-+>⎪⎩，若函数的最小值为12m-，则实数m的取值范围为______.【答案】{()1,0--∞【分析】对m分大于0，小于0，等于0，同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可.【详解】①当0m=时，()()()22,0,021,021,0x xx xf x f xx x xx x x⎧⎧≤≤⎪⎪=⇒=⎨⎨-+>-+>⎪⎪⎩⎩，即()2,01,0x xf xx x⎧≤=⎨->⎩，如图所示：由图知此时函数()f x 无最值，所以0m ≠，②当0m >时，()()()()22,0,021,021,0x mx x x mx x f x f x x m x x x m x x ⎧⎧+≤+≤⎪⎪=⇒=⎨⎨+-+>+-+>⎪⎪⎩⎩，即()2,01,0x mx x f x x m x ⎧+≤=⎨+->⎩，当0x ≤时，()2f x x mx =+，对称轴为02mx =-<，所以()f x 在,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()22min 02224m m m m f x f m =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()1f x x m =+-在()0,∞+上单调递增，所以()()01f x f m >=-，由函数()f x 的最小值为12m-，此时()11022m mm ⎛⎫---=>⎪⎝⎭，所以函数最小值为24m -，所以2142m m -=-，即2240m m +-=，解得：15m =-+15m =-，③当0m <时，由0x ≤时，()2f x x mx =+，此时()f x 在(],0-∞上单调递减，所以最小值为()0012mf =>-，由0x >时，()31,02211,2m x m x f x x m x m x m x ⎧---<<-⎪⎪=+-+=⎨⎪+->-⎪⎩，此时函数在0,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()min 11222m m m f x f m ⎛⎫=-=-+-=- ⎪⎝⎭，所以当0m <时，函数最小值为12m-满足题意，综上所述，当函数()f x 最小值为12m-时，实数m的取值范围为：{()1,0--∞ ，故答案为：{()1,0--∞ .四、解答题17．已知p ：240x ax -+>在R 上恒成立；q ：存在θ使得2sin a θ+≤；r ：存在0x ∈R ，使得030x a +=.(1)若p 且q 是真命题，求实数a 的范围；(2)若p 或r 是真命题，p 且r 是假命题，求实数a 的范围.【答案】(1)(]4,1a ∈--(2)(][),40,4a ∞∈--⋃【分析】(1)p 且q 是真命题等价于p 、q 均是是真命题，将对应的a 的范围分别计算取交集即可；(2)p 或r 是真命题，p 且r 是假命题等价于p 、r 一真一假，故分若p 真r 假，或若p 假r 真两类考虑，最后取并集.【详解】（1）若p 为真，则240x ax -+>在R 上恒成立等价于2160a ∆=-<，得44a -<<；若q 为真，则存在θ使得2sin a θ+≤等价于()max 2sin 1a θ+≤=，得1a ≤-；p 且q 是真命题等价于p 、q 均是是真命题，故41a -<≤-，故(]4,1a ∈--；（2）若r 为真，等价于030x a +=有解，则a<0，若r 为真假，则0a ≥，若p 为真，则44a -<<，若p 为假，则4a ≤-或4a ≥；p 或r 是真命题，p 且r 是假命题等价于p 、r 一真一假，若p 真r 假，则04a ≤<若p 假r 真，则4a ≤-，综上：(][),40,4a ∞∈--⋃18．已知函数()()2122f x x a x a =+--.(1)求关于x 的不等式()0f x >的解集；(2)若()16f =，求函数()1f x y x =-在()1,x ∈+∞上的最小值.【答案】(1)当12a =-时，不等式的解集为}{1x x ≠-；当12a >-时，不等式的解集为{1x x <-或}2x a >；当12a <-时，不等式的解集为{1x x >-或}2x a <.(2)5.【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及对参数a 分类讨论即可求解；（2）根据已知条件及基本不等式即可求解.【详解】（1）由()0f x >，得()21220x a x a +-->，即()()210x a x -+>，当12a =-时，不等式()210x +>，解得1x ≠-，不等式的解集为}{1x x ≠-；当12a -<即12a >-时，不等式的解集为{1x x <-或}2x a >；当12a ->即12a <-时，不等式的解集为{1x x >-或}2x a <；综上所述，当12a =-时，不等式的解集为}{1x x ≠-；当12a >-时，不等式的解集为{1x x <-或}2x a >；当12a <-时，不等式的解集为{1x x >-或}2x a <.（2）由()16f =，得()()21112126f a a =+-⨯-=，解得1a =-，所以()232f x x x =++.因为1x >，所以610,01x x ->>-，()232615525111f x x x y x x x x ++===-++≥=---，当且仅当611x x -=-，即1x+时，等号成立.所以当1x =+时，函数()1f x y x =-在()1,+∞上的最小值为5.19．已知函数()()221sin cos 2f x x x =+-.(1)化简()f x ，并求解12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)已知锐角三角形内角A 满足()13f A =，求cos 2A 的值.【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以2cos x ，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简，化简后将12x π=-代入解析式即可求得结果.（2）将A 代入解析式，再由已知求出26A π-的取值范围，即可求出cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果.【详解】（1）()()()22222211cos sin cos sin cos sin 221cos x f x x x x x x x=-=+-+()2222222cos 1cos sin cos sin 2cos 1cos cos x xx x xx x x=+-⨯+⨯()221cos sin 2x x=-12cos 22x x =-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 12663f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()13f A =，所以()1sin 263f A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭又因为()11sin 2632f A A π⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭且02A π<<，所以266A ππ-<，则23A π<，因为1sin 263A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 263A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin666666A A A A ⎡ππ⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326-=⨯-⨯=所以1cos 26A =.20．已知函数()()3log 91xf x x =+-.(1)证明：函数()()3f xg x =在()0,∞+上为增函数；(2)求使()()22cos 32sin 0f f θθ--+<成立的θ的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)πππ7π2π,2π2π,2π,Z 6226k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据对数运算法则将函数()f x 化简之后得出()g x 的表达式，再利用单调性的定义即可得出证明；（2）结合（1）的结论和复合函数单调性得出函数()f x 在()0,∞+上为增函数，再利用函数奇偶性解带绝对值不等式即可得出θ的取值范围.【详解】（1）由函数()()3log 91xf x x =+-可得()()33391log 91log og 33l x xx x f x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭=所以()()9113333x x x xf xg x ==+=+取任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()2112121212121212113313333(33)13333x x x x x x x x x x x x x x g x g x ++-⎛⎫=+--=-+=--- ⎪⎝⎭易知120x x +>，所以121103x x +->，而12330x x -<；所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <所以函数()()3f xg x =在()0,∞+上为增函数.（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为x ∈R由()()3391log log 333x x xx f x -⎛⎫+=+ =⎪⎝⎭可得()()3log 33()x x f x f x --=+=，所以函数()f x 为偶函数；根据（1）可知，()13333xx x x g x -=+=+在()0,∞+上为增函数；根据复合函数单调性可知，()()3log 33x xf x -=+在()0,∞+上为单调递增；又函数()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上为单调递减，由()()22cos 32sin 0f f θθ--+<可得()()22cos 32sin f f θθ-<+只需满足22cos 32sin θθ-<+即可，易知22cos 30,2sin 0θθ-<+>，所以232cos 2sin θθ-<+即22sin sin 10θθ--<，解得1sin 12θ-<<；根据三角函数单调性可知πππ7π2π,2π2π,2π,Z6226k k k k k θ⎛⎫⎛⎫∈-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域ODBC （阴影部分），以及可利用部分为区域OAD ，其中2OCB COA π∠=∠=，OC =米，30BC =米，区域OBC 为三角形，区域OAB 为以OA 为半径的扇形，且6AOD π∠=.(1)为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域OABC 外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；(2)在可利用区域OAD 中，设置一块矩形HGIF 作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.【答案】(1)9020π++（米）；(2)3600-.【分析】（1）在直角三角形OBC 中由已知条件可求出BOC ∠和OB ，则可求得BOA ∠，从而可求出AB 的长，进而可求得结果；（2）连接OF ，设06FOA πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则结合已知条件表示出,GI GH ，然后表示出矩形HGIF 的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值.【详解】（1）因为OC =，30BC =，2OCB π∠=，所以tan 3BC BOC OC ∠=，60OA OB ====，因为BOC ∠为锐角，所以6BOC π∠=，因为2COA π∠=，所以3BOA π∠=，所以AB 的长为60203ππ⨯=，所以隔离带的总长度为306020903020ππ+++=+（米）；（2）连接OF ，设06FOA πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，因为60OF =，所以60sin FI GH θ==，60cos OI θ=，因为6AOD π∠=，所以tan 6GHOG θπ==，所以60cos sin GI θθ=-，所以()60cos 60sin S θθθ=-⋅23600sin cos sin θθθ=-1800[sin 2cos 2)]θθ=-18002sin 23πθ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为22,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1800(23600S ≤-=-12πθ=时取到最大值，所以补充门诊面积最大值为3600-（平方米）.22．已知函数()()22πsin 23sin 4f x x x a θθ⎡⎤⎛⎫=+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.(1)当π4θ=时，()f x 最小值为12，求实数a 的值；(2)对任意实数x 与任意0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，()12f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)3a =或5a =(2)2,222,2⎡⎡⎤--⎣⎣⎦【分析】（1）求出πsin 2,sin 4θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入，变为只含有参数a 的二次函数，化简为顶点式函数，顶点纵坐标即为最小值.(2)把函数可以看成点()πsin ,sin 234a θθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与(),x x --的距离，即直线y x =到抛物线2222y x a=+的最小距离的平方为12.【详解】（1）当π4θ=时，πππsin 2sin 1,sin sin 1242θθ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，所以()()()()()222222πsin 23sin4224164f x x x a x x a xa x a θθ⎡⎤⎛⎫=+++++=+++=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22222222444442162161624222a a a a a x a x a a ⎡⎤+++++⎛⎫⎛⎫=+-++=+-++≥+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()f x 最小值为12，即()()()224116350322a aa a a ++-=∴--=∴=或5a =（2）()()()()()2222ππsin 23sin sin 23sin 44f x x x a x a x θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++=+--++--⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦所以可以看成点()πsin ,sin 234a θθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与(),x x --的距离，令πsin 4sin 23x a y θθ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎩又因为()22222π1cos 2π2sin 1sin 2422sin 23a x a a y θθθθ⎧⎛⎫-+ ⎪⎪⎛⎫⎪⎝⎭=+=⋅=⋅+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=+⎩，所以点()πsin ,sin 234a θθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在二次函数2222y x a =+的图像上点(),x x --在直线y x =上，直线y x =到抛物线2222y x a=+的最小距离的平方为12画图为：所以221111111122AB A B AB A B OA ==∴==∴=所以直线1AA ：1y x =+，即直线1AA 与二次函数2222y x a =+只有一个交点，即方程2222222110x x x x a a +=+⇒-+=只有一个解，即22141022a a ∆=-⋅⋅=∴=±，所以二次函数为21y x 24=+；()2,3A ∴0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[][]2sin 233,4,4,8y x θ=+∈∴∈，即22222π1cos 2π1sin 22sin ,4222a x a x a a a θθθ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎝⎭=+∴=⋅=⋅∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以2242,22,224a a a ⎧≤⎪⎡⎡⎤∴∈⋃--⎨⎣⎣⎦⎪≥⎩【点睛】一般把()()22m n p t -+-看成点(),m p 到(),n t 的距离，再求(),m p 与(),n t 在那两个函数上，就可以转化为两个函数上点的距离的最值问题.。
浙江省北仑中学八校联考高一数学上学期联考试题.doc
浙江省北仑中学八校联考高一数学上学期联考试题一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分） 1．已知集合A={1,0,1-}，B={1,1-}，则 （ ）A ．AB=A B ．AB=A C ．A=B D ．A ⊆B2．已知sin 0,cos 0,αα><，则12α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 3. 右面程序框图可以计算的表达式是（ ）A ．123......P N =++++B ．123......P N =⨯⨯⨯⨯C ．1123......P N=⨯⨯⨯⨯ D ．1123......(1)P N =⨯⨯⨯⨯-4. 下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．()2sin()26x f x π=-B ．()2sin(2)3f x x π=+ C ．()2sin()23x f x π=+ D ． ()2sin(2)6f x x π=-5．下图是甲、乙两位同学历次考试成绩折线图，分别记:甲同学的平均分为x 甲,乙同学的平均分x 乙,甲同学成绩的标准差为σ甲,乙同学成绩的标准差σ乙,则关于这两位同学学习水平描述比较正确的是（ ）A ．x 甲> x 乙，σ甲>σ乙B ．x 甲> x 乙，σ甲<σ乙C ．x 甲< x 乙，σ甲>σ乙D ．x 甲< x 乙，σ甲<σ乙 6．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位 的频率分布直方图．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米 7．已知函数sin 0()(1)1xx f x f x x π<⎧=⎨-->⎩,则1111()()66f f -+=( )A. 3-B. 52-C. 2-D.32- 8．已知函数1()f x x x=+，()ln 2g x x =+，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为增函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）A.()()67f f <B. ()()69f f <C. ()()97f f >D. ()()710f f < 10． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是( ) ． A . (0,1) B. (0,2) C. (1, 2) D.(1,3) 二、填空题（共7小题，满分28分）11.某单位共有青年职工160人，中年职工180人，老年职工90人。
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宁波市2011学年第一学期八校联考高一数学试题命题 象山中学 李左杰 审题 北仑中学 吴文尧一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分） 1．已知集合A={1,0,1-}，B={1,1-}，则 （ ）A ．A B=AB ．A B=AC ．A=BD ．A ⊆B 2．已知sin 0,cos 0,αα><，则12α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 3. 右面程序框图可以计算的表达式是（ ）A ．123......P N =++++B ．123......P N =⨯⨯⨯⨯C ．1123......P N =⨯⨯⨯⨯ D ．1123 (1)P N =⨯⨯⨯⨯-4. 下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．()2sin()26x f x π=-B ．()2sin(2)3f x x π=+ C ．()2sin()23x f x π=+ D ． ()2sin(2)6f x x π=-5．下图是甲、乙两位同学历次考试成绩折线图，分别记:甲同学的平均分为x 甲,乙同学的平均分x 乙,甲同学成绩的标准差为σ甲,乙同学成绩的标准差σ乙,则关于这两位同学学习水平描述比较正确的是（ ）A ．x 甲> x 乙，σ甲>σ乙B ．x 甲> x 乙，σ甲<σ乙C ．x 甲< x 乙，σ甲>σ乙D ．x 甲< x 乙，σ甲<σ乙6．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位 的频率分布直方图．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米7．已知函数sin 0()(1)1xx f x f x x π<⎧=⎨-->⎩,则1111()()66f f -+=( )A. 3-B. 52-C. 2-D.32- 8．已知函数1()f x x x=+，()ln 2g x x =+，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为增函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ） A.()()67f f < B. ()()69f f < C. ()()97f f > D. ()()710f f <10． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是( ) ．A . (0,1) B. (0,2) C. (1, 2) D.(1,3) 二、填空题（共7小题，满分28分）11.某单位共有青年职工160人，中年职工180人，老年职工90人。
为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 12．已知集合{|},{|12}A x x a B x x =<=<<，且()R A C B R = ，则实数a 的取值范围是 13．某化肥厂甲、乙两个车间包装化肥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包，称其重量，中位数 与 乙车间样本分别记录抽查的重量数据，并画出其茎叶图如右所示, 则甲车间样本的的中位的差是14.计算：2lg 2lg3111lg0.36lg823+=++15．函数()2tan(2)3f x x π=-+的对称中心是16. 右图表示一个算法,当126,9x x ==时，计算得8.5p =， 则3x 等于 17．关于函数||()cos2x xf x e π-=+，有下面四个结论：①()f x 是偶函数；②当2011x >时，()0f x ≥恒成立； ③()f x 的最大值是2； ④()f x 最小值是1-．其中正确的结论是三、解答题（共5大题，满分72分）18．(本题满分14分)已知α的终边经过点(4,3)-，求下列各式的值：（1）sin()cos()2sin()sin()2παπαπαπα+-+--- （2）sin 2cos tan 2sin cos tan αααααα++-19.（本题满分14分）已知0a >，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为[5,1]-． （1）求,a b 的值；（2）设()()2g x f x π=+，x R ∈,求()g x 的单调区间．20.（本题满分14分）已知函数2()sin cos ,[0,]3f x x a x x π=+∈（1）当2a =时，求函数)(x f 的最大值、最小值以及相应的x 的值； （2）当a R ∈时，求()f x 的最小值．21．（本题满分14分）设12()lg ()2x af x a R +=∈． （1）试确定函数()f x 的定义域．（2）如果函数()2()(2)F x f x f x =-有两个不同的零点，求a 的取值范围．22．（本题满分15分）设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1, (1) 求(3)f 的值。
（2）若2()f x x bx c =++不存在零点，求b 的范围，并求22b c +的最大值。
（3）若2()f x x bx c =++存在零点，求b 的值。
宁波市2011学年第一学期八校联考高一数学评分标准一、选择题（共10小题，满分50分）二、填空题（共7小题，满分28分）11． 18 12.[2,)+∞ 13. 12- 14． 1 15.1(,0),46k k Z ππ+∈ 16． 1117. ① ③三、解答题（共5大题，满分72分）18．(14分)已知α的终边经过点(4,3)-，求下列各式的值：（1）sin()cos()2sin()sin()2παπαπαπα+-+---（2）sin 2cos tan 2sin cos tan αααααα++-解：4cos 5α=-，3sin 5α=，3tan 4α=- ................6分（1）sin()cos()2cos 82cos sin 7sin()sin()2παπααπαααπα+-+==----..............10分（2）sin 2cos tan sin 2cos tan 352sin cos tan sin 12αααααααααα++++==-- ...................14分19.（本题满分14分）已知0a >，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，()f x ∈[5,1]-． （1）求,a b 的值； （2）设()()2g x f x π=+，求()g x 的单调区间．解： [0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈，∴1sin(2)[,1]62x π+∈-． 0a >，∴2sin(2)[2,]6a x a a π-+∈-，∴2sin(2)2[,3]6a x a b b a b π-+++∈+．又5()1f x -≤≤，531b a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：2,5a b ==-．…………………………………………………………7分 （2）由2,5a b ==-得：()4sin(2)16f x x π∴=-+-，7()()4sin(2)14sin(2)1266g x f x x x πππ∴=+=-+-=+-，又函数()4sin(2)16g x x π=+-递增222,262k x k k Z πππππ∴-<+≤+∈由① ②得：,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()g x 的单调递增区间[,],36k k k Z ππππ-+∈，．．．．．．．．．．．.........11分又函数()4sin(2)16g x x π=+-递减：3222,262k x k k Z πππππ∴+≤+≤+∈．．．．．．．．．③．由① ③得：2,63k x k k Z ππππ+≤<+∈． 函数()g x 单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈...............13分 综上所述，函数()g x 的单调递增区间是[,],36k k k Z ππππ-+∈，单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈. ………………………………………………………………………………………..14分 20.（本题满分14分）已知函数2()sin cos ,[0,]3f x x a x x π=+∈（1）当2a =时，求函数)(x f 的最大值、最小值以及相应的x 的值； （2）当a R ∈时，求()f x 的最小值．解:(1) 2221()sin 2cos 1cos 2cos (cos 1)2,cos [,1]2f x x x x x x x =+=-+=--+∈当0x =时, max ()(0)2f x f == 当3x π=时, min 7()()34f x f π==………………………………………7分（2）22221()sin cos 1cos cos (cos )1,cos [,1]242a a f x x a x x a x x x =+=-+=--++∈ 当1324a ≤即32a ≤时，min ()(0)f x f a == 当1324a >即32a >时，min 31()()342f x f a π==+ 综上所述，min 3312()4232a a f x aa >⎧+⎪=⎨⎪≤⎩………………………………….14分21．（本题满分15分）设12()lg ()2x af x a R +=∈．（1）试确定函数()f x 的定义域．（2）如果函数()2()(2)F x f x f x =-有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解：（1）当0a ≥时，()f x 的定义域是(,)-∞+∞，当0a <时，()f x 的定义域满足1202x a+>，解得21log ()x a <-即定义域为2(,log ())a -∞-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．............7分（2）()2()(2)F x f x f x =-=221212lg lg 22x x a a++- 若()F x 有两个不同的零点，等价于()F x =0有两个不同的实根，因此，221212lg lg 22x x a a++=．．．．．．．．．．．．．．．．① 有两个不同的实根，且满足212021202x xaa ⎧+>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩由①得：22(2)22210xx a a a -⨯+⨯-=令20xt =>得：22(2)210a a t a t -⨯+⨯-=设12,t t 为其两个正根，则22122122244(2)020210220a a a a t t a at t a a a a ⎧∆=+->⎪⎪+=->⎪-⎨⎪=->⎪-⎪-≠⎩. 得：12a <<.....................................14分当12a <<满足212021202x xaa ⎧+>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩所以12a <<．…………………………………………………………….15分22．（本题满分15分）设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1, (1) 求(3)f 的值．（2）若2()f x x bx c =++不存在零点，求b 的范围，并求22b c +的最大值． （3）若2()f x x bx c =++存在零点，求b 的值．解：(1)由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1, 故有()f x 在3x =处取最大值1，即(3)1f =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）因为2()f x x bx c =++不存在零点，所以240b c ∆=-<,又由(3)1f =得,38c b =--,代入240b c ∆=-<解得84b -<<-．…………………………………………………………………………..5分又因为(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥．综上54b -<-≤．……………………………………………………7分… 又38c b =--所以22222(38)104864b c b b b b +=+--=++，在[5,4)--单调递减 故222max ()10(5)48(5)6474b c +=⨯-+⨯-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （3）若()0f x =存在零点，则240b c ∆=-≥，且在区间[]2,2-有2(2)0,(2)0,22,240f f b b c -⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪∆=-⎪⎩≥≥≤-≤≥即2420,420,44,40b c b c b b c -+⎧⎪++⎪⎨-⎪⎪∆=-⎩≥≥≤≤≥消去c ，解出4,54,44,b b b ⎧-⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤ 即4b =-，这时4c =，且0∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分。