恒成立能成立题总结(详细)
高考专题二 恒成立、能成立问题
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所以当 g(m)＝0 时，m＝3a－ 2 1， 同理可得 h(n)＝f (n)－f (a)＝16(n－a)2(2n＋a－3)， 所以当 h(n)＝0 时，n＝3－2 a， 所以此时 n－m＝3－2 a－3a－ 2 1＝2－2a，即 n－m 的最大值为 2－2A．
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规律总结
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价 变换，常见的等价转换有
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若 a≤0，则 h′(x)＝eax－ex＋axeax<1－1＋0＝0，所以 h(x)在(0，＋∞)上为减函数，所 以 h(x)<h(0)＝0，即 f (x)<－1.
综上，a≤12.
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规律总结
利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出 最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最 值问题．有些不易分参的也可采用“同构”技巧．
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(2)(2022·新疆乌鲁木齐二模)已知函数 f (x)＝13x3－1＋2 ax2＋ax＋1(a∈R)． ①讨论函数 y＝f (x)的单调性； ②设 a<1，若∀x1∈[m，n]，∃x2∈[m，n]，且 x1≠x2，使得 f (x1)＝f (x2)，求 n－m 的最大值．
解：①因为 f (x)＝13x3－1＋2 ax2＋ax＋1(a∈R)，所以 f ′(x)＝x2－(1＋a)x＋a＝(x－1)(x －a)，
第三章 一元函数的导数及其应用
专题二 恒成立、能成立问题
内容索引
第一部分 课时作业
命题角度 1 恒成立问题 【典例 1】 (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数 f (x)＝xeax－ex. (1)当 a＝1 时，讨论 f (x)的单调性； (2)当 x>0 时，f (x)<－1，求 a 的取值范围．
函数的恒成立、存在性问题的方法总结大全(干货)
关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：（1）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，则：0()00a f x >⎧>⇔⎨∆<⎩恒成立；0()00a f x <⎧<⇔⎨∆<⎩恒成立． （2）若表述为：“已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠”，并未限制为二次函数，则应有：00()000a a b f x c >==⎧⎧>⇔⎨⎨∆<>⎩⎩恒成立或；00()000a a b f x c <==⎧⎧<⇔⎨⎨∆<<⎩⎩恒成立或．注：在考试中容易犯错，要特别注意！！！恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：已知定义在[,]a b 上的函数()f x ，()g x ．（1）[,]x a b ∀∈，都有()f x k >（k 是常数）成立等价于min [()]f x k >（[,]x a b ∈）． （2）[,]x a b ∀∈，都有()f x k <（k 是常数）成立等价于max [()]f x k <（[,]x a b ∈）． （3）[,]x a b ∀∈，都有()()f x g x >成立等价于min [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）． （4）[,]x a b ∃∈，都有()()f x g x >成立等价于max [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）． （5）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12()()f x g x >成立等价于min max [()][()]f x g x >． （6）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于min min [()][()]f x g x >． （7）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∀∈使得12()()f x g x >成立等价于max max [()][()]f x g x >． （8）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于max min [()][()]f x g x >．（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min minmax max [()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩．（10）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于()f x 的值域与()g x 的值域交集不为∅．（11）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x k +≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]f x g x k +≥．（12）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k-≤且．max min [()][()]f x g x k -≤． 特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≤．（13）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k-≥或．min max [()][()]f x g x k -≥． 特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≥．（14）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k-≤且．min max [()][()]f x g x k -≤． 特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≤．（15）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k-≥或．max min [()][()]f x g x k -≥． 特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≥．（16）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min min [()][()]g x f x k-≤且．max max [()][()]f x g x k -≤． （17）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max max [()][()]g x f x k-≥或．min min [()][()]f x g x k -≥． 【评注】（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min minmax max[()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩．()y g x =所在区域能包含()y f x =所在区域时，满足条件．∀⊆∃．题目中有时会这样表述：对任意的1[,]x a b ∈，都有2[,]x a b ∈，使得12()()f x g x =成立，（9）的表达的意思完全相同．所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的内涵：即当1[,]x a b ∈时，()f x 的值域不过是()g x 的子集．【例1】（1）（2010•山东•理14）若对任意0x >，231xa x x ++恒成立，则a 的取值范围是 ． （2）现已知函数2()41f x x x =-+，且设12314n x x x x <<<⋯<，若有12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋯+-，则M 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（3）已知21()lg(31)()()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是 ．（4）已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1[,1]9B ．(,1]-∞C ．(,1][4,)-∞+∞D ．(,1][3,)-∞+∞（5）已知函数2()1f x x x =-+，[1,2]x ∈，函数()1g x ax =-，[1,1]x ∈-，对于任意1[1,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,4]-∞- B ．[4,)+∞C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-+∞（6）（2008•天津•文10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为( ) A ．{|12}a a <B ．{|2}a aC ．{|23}a aD ．{2,3}（7）（2008•天津•理15）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．）0x >，12x∴（当且仅当112353=+15，故答案为：1[,)5+∞．2()x x =-的图象是开口向上，过的抛物线，由图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增，12314n x x x x <<<⋯<，(1)2f ∴=-，(2)f =-对应的函数值（2()41f x x x =-+图象上的点的纵坐标）之差的绝对值，结合231)||()()||()()|n n f x f x f x f x -+-+⋯+-表示函数max M ，||(1)(2)f f -5M ，故上单调递增，）法一：()2(2f x x ==-+2,2]时，x 2()3f x ，(f x ∴12)(22)2x x +=--<+，令f 单调递增，当(1,2]x ∈-，也是最大值；又(2)f 22[52m m --∈--，对于任意的的值域的子集，22m ，1m 或4m ，故选：）因为2()f x x x =-0时，()g x 在[1-[1,1]B a a =---，由题意可得，1113-，解得4a ；0时，()g x 在[1-的值域为[1,1]a a ---， 1113-，解得4a -，4][4,)+∞．故选：C ．)3xy =，得，在[,2a a 上单调递减，所以2a ，即2a 故选：B ．）log log a x c +，log a xy c ∴=，cxy a ∴=c a1122a a -⇒223a c log c +⎧⎨⎩的取值的集合为{2}．故答案为：【评注】深入理解（6）题题干中的“任意的”、“都有”的内涵：即当[,2]x a a ∈时，()f x 的值域M 不过是2[,]a a 的子集．值得关注的是：“[,2]x a a ∈”是指每一个这样的x ，2[,]y a a ∈是指存在这样的y ，理解到由函数的定义域导出值域M 是2[,]a a 的子集，由此才有：222[,][,]2a a a a ⊆．（6）与（7）唯一的差别就是：（7）中要求时唯一的，如何转化“唯一”这个条件是本题的关键，与函数的单调性联系起来来进行解答，需要有较强的转化问题的能力． 【例2】已知函数2()[2sin()sin ]cos ,3f x x x x x x R π=++∈．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在05[0,]12x π∈，使不等式0()f x m <成立，求m 的取值范围． ））x ．存在【例3】已知实数0a >，且满足以下条件：①x R ∃∈，|sin |x a >有解；②3[,]44x ππ∀∈，2sin sin 10x a x +-； 求实数a 的取值范围．【解析】实数10得：1sin sin a x-2[,1]2t ∈时，2()2f t f =1sin sin ax -22a ；综上，a 的取值范围是2{1}a a <．【例4】（1）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈，函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x <成立．求k 的取值范围．（min min ()()g x f x <）（2）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()f x 的值域是()g x 的值域的子集即可．） （3）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．存在1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()g x 的值域与()f x 的值域的交集非空．）5k ，解得5k ，则求5k ．，当[0,1]x ∈时，函数单调递增，2[,2k k k +2)[5,2210]k k ∈++，[0,1]，存在210]k +，即225222k k k k k ⎧⎨++⎩，解得5k ，则求5k ． 时，函数单调递增，2,2]k k +，1)k x +++10]+，由对存，存在2x 1()f x =成2][5,2k +，即252k k +且22210k k k +，解得4114k-或1414k --．【例5】已知(2)23x f x x =-+． （1）求()f x 的解析式；（2）函数2(2)5()1x a x ag x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 取值范围．，即2()(log )2log f t t =-)(log 2log x x =-+【例6】（1）已知函数1()f x e =-，3(4)g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）A ．]2222[+-，B ．)2222(+-，C ．]31[，D ．)31(，（2）已知函数()1x f x e =-，2()44g x x x =-+-．若有()()f a g b =，则b 的取值范围为( ) A．[2-+ B．(2-+ C ．[1,3]D ．(1,3)）()f x e =【例7】（1）（2014•江苏•10）已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 ．（2）已知函数2()(f x x bx c b =++、)c R ∈且当1x时，()0f x ，当13x 时，()0f x 恒成立． （ⅰ）求b ，c 之间的关系式；（ⅱ）当3c 时，是否存在实数m 使得2()()g x f x m x =-在区间(0,)+∞上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）（2017•天津•理8）已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[-D ．39[]16- （4）已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+． （①）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a ；（①）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式．【解析】（1）二次函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上，对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，∴(1)0与(1)0f 同时成立，则必有m ，使满足题设的(g 22()()g x f x b m x c =+-+开口向上，且在0b ．20b m ∴．3c ，1)4b ∴=-．这与上式矛盾，从而能满足题设的实数【评注】本题主要考查一元二次函数的图象与性质．一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容，要引起重视．）法一：当1x 时，关于x 的不等式)||2x x a +在R 2332x a x x +-+，2133322x a x x +--+，由132y x =+-的对称轴为14处取得最大值-3的对称轴为334x =处取得最小值47391616a① 时，关于x 的不等式)||2x x a +在R 上恒成立，即为22)2x a x x++， 22)2x a x +，由3232()22322x x x x =-+-=-（当且仅当21)3x =>取得最大值212222x x x =（当且仅当21)x =>取得最小值2．则32a ①由①①可得，47216a ． ()x 的图象和折线||2xa =+，1x 时，y =11145x解得4716a =-；1x >时，y 解得2a =．由图象平移可得，47216a ．故选：法三：根据题意，作出的大致图象，如图所示．【例8】（2012•陕西•理21第2问•文21第3问）设函数2()f x x bx c =++，若对任意1x ，2[1,1]x ∈-，有12|()()|4f x f x -，求b 的取值范围．|4， 4M ，即min 4M ． 2b <-时，min )|(1)f =-102b -<时，即2b 时，24M 恒成立，所以2b ；012b- 时，即20b 时，21)4M 恒成立，所以20b ；综上可得，22b -，即b 的取值范围是。
不等式恒成立、能成立问题
不等式恒成立、能成立问题是一种常见题型，会以各种形式出现， 其解法多变，具有一定的技巧性，解答这类题的关键是等价转化(如判 别式法、分离参数法、数形结合法、主参换位法等)，通过转化使恒成 立、能成立问题得到简化，而转化过程往往渗透着多种数学思想和方 法的应用，能提升学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
∴x2－x＋1<63⇔x2－x－1<0⇔1－2
5 1＋ <x< 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
方法二 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数，
∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段，
要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值 范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
原不等式解集为 R 的条件是aΔ2＝－1a<－0，12＋4a2－1<0， 解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式的解集为 R.
x2－x＋1·1－6<0， 只需x2－x＋1·3－6<0，
解得1－2
5 1＋ <x< 2
5，
∴x 的取值范围为x1－2
第10讲 恒成立能成立3种常见题型(解析版)
第10讲恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一：恒成立问题若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>；不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥；不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<；不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；考点二：存在性问题若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<；不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤；不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；考点三：双变量问题①对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；②对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；③若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；④若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑤对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；⑥对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑦若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤⑧若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．【题型目录】题型一：利用导数研究恒成立问题题型二：利用导数研究存在性问题题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一：利用导数研究恒成立问题【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数x ，不等式ln 1x x a -+>恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >【答案】B【详解】令()ln 1f x x x =-+，其中0x >，则()min a f x <，()111x f x x x-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，所以，()()min 12f x f ==，2a ∴<.故选：B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数()a x x xe xf x-+-=ln ．(1)若≥0，求a 的取值范围；【答案】(1)(−∞,+1]【解析】(1)op 的定义域为(0,+∞)，'(p =(1−12)e −1+1=1(1−1)e +(1−1)=K1(e+1)令op =0,得=1当∈(0,1),'(p <0,op 单调递减，当∈(1,+∞),'(p >0,op 单调递增o )≥o1)=e +1−，若op ≥0,则e +1−≥0,即≤e +1，所以的取值范围为(−∞,+1]【例3】已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【解析】【分析】（1）求()'f x ，分别讨论a 不同范围下()'f x 的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合()10f =，分别求出a 的范围再求并集即可.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.【例4】已知函数()ln f x x ax =-（a 是正常数）.（1）当2a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）若0x ∀>，()0f x <，求a 的取值范围；【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 的极大值是ln 21--，无极小值；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；（2）依题意可得maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()ln x g x x =，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）当2a =时，()ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x '>，解得102x <<，令()0f x '<，解得12x >，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极大值是1ln 212f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极小值.（2）因为0x ∀>，()0f x <，即ln 0x ax -<恒成立，即maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.设()ln x g x x =，可得()21ln xg x x -'=，当0x e <<时()0g x '>，当x e >时()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 1e e g x g ==，所以1a e >，即1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.【例5】已知函数()xf x xe=（1）求()f x 的极值点；（2）若()2f x ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点；（2）a e ≤.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的极值点.（2）由题设知：xe a x≤在0x >上恒成立，构造()x e g x x =并应用导数研究单调性求最小值，即可求a 的范围．【详解】（1）由题设，()(1)xf x e x '=+，∴1x <-时，()0<'x f ，()f x 单调递减；1x >-时，()0>'x f ，()f x 单调递增减；∴1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点.（2）由题设，()2xx f x xe a =≥对0x ∀>恒成立，即x ea x≤在0x >上恒成立，令()xe g x x =，则2(1)()xe x g x x'-=，∴01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增；∴()(1)e g x g ≥=，故a e ≤.【题型专练】1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式ln 0x kx -≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．[)0,eB ．(],e -∞C ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】由题可得ln xk x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，然后求函数()()ln 0x f x x x=>的最大值即得.【详解】由题可得ln xk x≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()()ln 0x f x x x =>，则()()21ln 0xf x x x-'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；所以()()max 1e ef x f ==，所以1ek ≥.故选：D.2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)极小值是11+2e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由题设可得()ln 1f x x '=+，根据()f x '的符号研究()f x 的单调性，进而确定极值.（2）()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，转化为：2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，通过求导求()g x 的单调性进而求得()g x 的最大值，即可求出实数a 的取值范围.(1)当0a =时，()ln 2f x x x =+，()f x 的定义域为()0+∞，，()ln 1=0f x x '=+，则1ex =.令()0f x '>，则1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0f x '<，则10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1e x =时，()f x 取得极小值且为1111ln 2+2e e ee f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，则2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，()222120x g x x x x -+'=-+==，所以2x =，则()g x 在[)1,2上单调递减，在(22,e ⎤⎦上单调递增，所以()12g =，()222e 2e g =+，所以()()22max 2e 2e g x g ==+，则222e a -≥+，则222ea ≤--.实数a 的取值范围为：222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭.3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(2)(],4-∞【解析】【分析】（1）求函数()f x 的单调递增区间，即解不等式()0f x '>；（2）参变分离得32ln a x x x≤++，即求()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞的最小值.(1)()ln f x x x =定义域为(0,)+∞，()ln +1f x x '=()0f x '>即ln +10x >解得1e x >，所以()f x 在1,)e∞+（单调递增(2)对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，即()21ln 32x x x ax ≥-+-恒成立，分离参数得32ln a x x x≤++.令()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞，则()()()231x x h x x +-'=．。
函数恒成立、能成立问题及课后练习(含问题详解)
恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数） 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．例3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为 答案：41≥m 题型二、更换主元和换元法例1、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
恒成立与能成立的七类问题【解析版】--高中数学
恒成立与能成立的七类问题热点题型速览热点一分离参数法解答恒(能)成立问题1(2023·全国·统考高考真题)已知函数f x =ae x -ln x 在区间1,2 上单调递增，则a 的最小值为( )．A.e 2B.eC.e -1D.e -2【答案】C【分析】根据f x =ae x -1x≥0在1,2 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，f x =ae x -1x ≥0在1,2 上恒成立，显然a >0，所以xe x ≥1a，设g x =xe x ,x ∈1,2 ，所以g x =x +1 e x>0，所以g x 在1,2 上单调递增，g x >g 1 =e ，故e ≥1a ，即a ≥1e=e -1，即a 的最小值为e -1．故选：C ．2(2023春·江苏无锡·高二统考期末)已知函数f (x )=a ln x +x 2，在区间(0,2)上任取两个不相等的实数x 1，x 2，若不等式f x 1 -f x 2x 1-x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.[-8,+∞)B.(-∞,-8]C.[0,+∞)D.(-∞,0]【答案】C【分析】根据f x 1 -f x 2x 1-x 2>0可知f x 在(0,2)上单调递增，进而由导数即可求解.【详解】由f x 1 -f x 2 x 1-x 2>0可知f x 在(0,2)上单调递增，所以f (x )=ax +2x ≥0在(0,2)上恒成立，即a ≥-2x 2在(0,2)上恒成立，故a ≥-2x 2 max ，所以a ≥0，故选：C3(2023春·河南南阳·高二统考期末)若f x =log 0.5x 3-3x 2+ax +6 在区间1,2 上单调递增，则实数a 的取值范围为()热点一：分离参数法解答恒(能)成立问题热点二：构造函数法解答恒(能)成立问题热点三：最值比较法解答恒(能)成立问题热点四：“先分离后构造”解答恒(能)成立问题热点五：两次构造函数，解答恒(能)成立问题热点六：先分离参数、再两次构造函数，解答恒(能)成立问题热点七：构造函数法证明恒成立问题恒成立问题能成立问题“隐性”恒成立A.-∞,0B.-1,+∞C.-1,0D.-1,0【答案】C【分析】令f (t )=log 0.5t ,t =x 3-3x 2+ax +6，根据复合函数的单调性可得需满足t >0，且t =x 3-3x 2+ax +6在1,2 上单调递减，结合导数。
重难点04不等式恒成立能成立问题(六大题型)(原卷版)
重难点04 不等式恒成立、能成立问题【题型归纳目录】题型一：“Δ”法解决恒成立问题题型二：数形结合法解决恒成立问题题型三：分离参数法解决恒成立问题题型四：主参换位法解决恒成立问题题型五：利用图象解决能成立问题题型六：转化为函数的最值解决能成立问题【方法技巧与总结】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．【典型例题】题型一：“Δ”法解决恒成立问题例1．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意R x ∈恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．(0,1]C ．∞∞(-,0)(1,+)D ．(][),01,∞∞-+例2．已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．{}10m m -<<B ．{}10m m -≤≤C ．{|1m m ≤-或}0m >D ．{}10m m -<≤例3．已知不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A．k >B ．k <C．k >k <D ．k <变式1．已知不等式2620ax x a -++<的解集为{}|12x x <<，且不等式()()225610m m x m x a --+++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．1m ≤-或7m >B ．1m <-或7m ≥C ．1m <-或7m >D ． 1m ≤-或7m ≥变式2．已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围为（ ）A ．{}119k k <<B ．{}119k k ≤<C ．{}119k k <≤D ．{}119k k ≤≤变式3．已知关于x 的不等式2230kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．[]0,3B ．(]0,3C ．[)0,3D ．()0,3题型二：数形结合法解决恒成立问题例4．若关于x 的不等式270x ax -+>在()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．8a <B ．8a ≤C ．a <D ．112a < 例5．当26x ≤≤时，关于x 的不等式2250mx mx --<恒成立，则m 的取值集合是 ． 例6．当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．题型三：分离参数法解决恒成立问题例7．若“()02,∃∈+∞x ，210x x λ-+<”是假命题，则实数λ的取值范围是 ．例8．若0x ≥时，关于x 的一元二次不等式230x tx t --+≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 例9．当40x -≤≤时，关于x 的不等式2150x ax a ++-≥恒成立，则a 的取值范围是 ． 变式4．已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),8∞-B ．(],8∞-C ．[)8,+∞D ．()6,+∞变式5．已知不等式220x a a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A a ≤≤B ．12a -≤≤C ．a ≤或a ≥D ．1a ≤-或2a ≥ 变式6．不等式2220x axy y -+≥，对于任意12x ≤≤及13y ≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|a a ≤B ．{|a a ≥C ．1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭D ．9|2⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤a a 变式7．若存在(]0,2x ∈，使不等式2230ax x a -+<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．aB ．407a ≤≤C ．a >D ．47a > 题型四：主参换位法解决恒成立问题例10．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围．例11．当12m ≤≤时，210mx mx --<恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A x <<B x <<C x <<D x <<例12．若[]1,1m ∀∈-，()24420x m x m +-+->为真命题，则x 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．()1,3C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．[]1,3题型五：利用图象解决能成立问题 例13．当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________． 例14．若关于x 的不等式22860x x a -+-≥在14x ≤≤时有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．6a ≤B ．2a ≥-C ．6a ≥D ．2a ≤-题型六：转化为函数的最值解决能成立问题例15．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞例16．若命题“[]22,1,231x ax ax a ∃∈-++>”为假命题，则a 的最大值为（ ）A ．16B ．13C ．12 D ．14例17．已知对一切[2,3]x ∈，[3,6]y ∈，不等式220mx xy y -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．6m ≤B ．60m -≤≤C ．0m ≥D ．06m ≤≤变式8．若存在04x ≤≤，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围为 ． 变式9．若关于x 的不等式22840x x a ---≤在14x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围为 ． 变式10．若 [0,1]x ∃∈ 使得不等式 24x m x ≥+ 成立，则实数m 的取值范围是变式11．已知不等式240ax ax -+>的解集为M ．（1）若0a >，且R M =，求实数a 的取值范围．（2）若24ax ax a -+>-对于13x <<有解，求实数a 的取值范围．变式12．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．(,∞-C ．[)13,+∞D ．。
恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，作者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题是很好的方法。
一、“恒成立”问题)(4)1()(4)(2m f x f x f m mx f +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 。
【解析】(分离变量法) 依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立，即12341222+--≤-x x m m 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。
当23=x 时函数1232+--=x x y 取得最小值35-，所以354122-≤-m m ， 即0)34)(13(22≥-+m m ，解得23-≤m 或23≥m 。
另解（函数法）： 依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立， 即≤-++--22214123m m x x 0在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。
令x t 1=,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈32,0t ∴014123222≥-++--m m t t 在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈32,0t 上恒成立，令=)(t g 22214123m m t t -++-- ∴0)0(≥g 且0)32(≥g ∴得23-≤m 或23≥m 【温馨提示1】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过度离变量的方法分离出变量式使其成为)()(x g m f ≤，然后解)(x g 这个函数的最小值得k x g ≥)(（或k x g >)(），所以k m f ≤)(，若对原有不等式通过度离变量的方法他离出变量式使其成为)()(x g m f <，然后解)(x g 这个函数的最小值得k x g ≥)(或k x g >)(，所以k m f <)(（或k m f ≤)(），其基本步骤：分离变量，构造函数，求最值。
易错点6混淆“恒成立”与“能成立”
易错点6 混淆“恒成立”与“能成立”1.“恒成立问题”:若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()min f x A >；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max f x B <．2.“能成立问题”：若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立，则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立，则等价于在区间D 上()min f x B <．3.易错点：解题是分不清楚题目条件中的阐述，将两个不同的说法混淆，造成错误.典例1 （2024河北沧州10月联考）已知函数()2ln f x x ax x =--，定义域为1,e e éùêúëû，在其定义域中任取12,x x （其中)12x x >都满足()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1-¥B ．[)1,+¥C ．(],e -¥D ．[)e,+¥审题：根据题中函数()2ln f x x ax x =--，满足()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，对此化简整理得()()212121f x f x x x x x +<+，从而构造新函数是关键，对其利用导数求解即可.解析： 由()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，且120x x >>，可得()()212121f x f x x x x x +<+．【补盲点】将已知等式中的变量“归类”，结合转化的形式构造函数令()()f x h x x x=+，则()()12h x h x>恒成立，所以函数()h x 在1,e e éùêúëû上单调递增，则()21ln 10x h x a x -=-+³¢在1,e e x éùÎêúëû时恒成立，即21ln 1x a x -+³在1,e e x éùÎêúëû时恒成立．【破障碍】此处为恒成立问题，从而2min1ln 1x a x -æö+³ç÷èø设函数()21ln 11e e x g x x x -æö=+££ç÷èø，则()332ln 0xg x x ¢-+=<，所以()min ()e 1g x g ==，故1a £，即实数a 的取值范围为(],1-¥．故选A ．【补盲点】利用导数求解函数或不等式恒成立问题的策略：①构造函数法，令()()()F x f x g x =-，利用导数确定函数()F x 的单调性与最值，则要使()()f x g x ³或()()f x g x £恒成立，只需min ()0F x ³或max ()0F x £即可；②分离参数法，转化为()a x j ³或()a x j £恒成立，即max ()a x j ³或min ()a x j £，只需利用导数确定函数()x j 的单调性与最值即可典例2 已知函数()()2ln ()f x x x b b =+-ÎR 在[]1,2上存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ）A ．3,2éö+¥÷êëø B ．9,4éö+¥÷êëøC ．3,2æö+¥ç÷èøD ．9,4æö+¥ç÷èø审题：根据条件：函数()()2ln ()f x x x b b =+-ÎR 在[]1,2上存在单调递减区间，可转化为导数小于0有解，对新函数()[]1,1,22g x x x x=+Î再次求导数，求出最小值即可.解析：因为函数()f x 在[]1,2上存在单调递减区间，所以()0f x ¢<在[]1,2上有解，()()11222f x x b x b x x¢=+-=+-，【避陷阱】“有解”问题即“能成立”问题，即在[]1,2上min ()0f x ¢<，注意与“恒成立”区分，此处若为恒成立，则在[]1,2上max ()0f x ¢<所以[]min1,1,22b x x x æö>+Îç÷èø．令()[]1,1,22g x x x x=+Î，则()2112g x x ¢=-+，显然()0g x ¢>，则函数()g x 单调递增，所以()min 3()12g x g ==，即32b >．故选C ．典例3 （2024湖北武汉9月模拟）已知函数()1112e 1x f x -=++，若不等式()()1ln 120f ax f x +++-³对任意的()0,x Î+¥恒成立，则实数a 的取值范围是______．审题：根据条件函数()1112e 1x f x -=++，将其整理为：()()11ln 11f ax f x +-³-+-éùëû，以便构造新函数，联想到函数()()()11112e 1xg x f x x =+-=-+Î+R 是个奇函数，整体转化即可求解.解析：令()()()11112e 1xg x f x x =+-=-+Î+R ，则()112e 1x g x --=-++，()()1111e 1102e 12e 1e 1x x x x g x g x -+-+=-+-+=-+=+++，()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，【补盲点】若未熟练掌握与指数型函数的奇偶性相关的结论，也可从题干条件()()1ln 120f ax f x +++-³入手，将其转化为()()11ln 11f ax f x +-³-+-éùëû，进而联想函数图象的对称性，构造函数又()()2e 0e1xxg x -=<+¢，所以()g x 在R 上单调递减．由()()1ln 120f ax f x +++-³，得()()ln 0g ax g x +³，即()()ln g ax g x ³-，所以ln £-ax x ，所以ln xa x£-在()0,x Î+¥时恒成立．【破障碍】“恒成立”问题，故需minln x a x æö£-ç÷èø，而非max ln x a x æö£-ç÷èø令()ln x h x x=-，则()2ln 1x h x x =¢-，令()0h x ¢<，得0e x <<，令()0h x ¢>，得e x >，所以函数()h x 在()0,e 上单调递减，在()e,+¥上单调递增，所以()()e 1e ³=-h x h ，所以1a e£-，即实数a 的取值范围是1,e æù-¥-çúèû．（2023·福建厦门·二模）1．“()0,4b Δ是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2023·辽宁鞍山·二模）2．已知当0x >时，不等式：2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()8,8-B ．(],8¥-C ．(),8¥-D ．()8,+¥（23-24高三上·山东淄博·阶段练习）3．若命题“13a $-££，()22130ax a x a --+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．{}14x x -££B ．503x x ìü££íýîþC ．51043x x x ìü-££££íýîþ或D ．51043x x x ìü-£<<£íýîþ或（22-23高三上·河南·期末）4．已知0a >，b ÎR ，若0x >时，关于x 的不等式()()2250ax x bx -+-³恒成立，则4b a+的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）5．若存在实数x ，使得()220mx m x m --+<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),2-¥B ．(]13,0,32¥æö-Èç÷èøC ．2,3æö-¥ç÷èøD ．(),1-¥（2023·福建宁德·模拟预测）6．命题“2[1,2],x x a $Σ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．1a ³B ．4a ³C ．2a ³-D ．4a £（2023·河南·模拟预测）7．已知命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-¥-B ．(),4-¥C ．()2,-+¥D ．()4,+¥（2023·宁夏中卫·二模）8．已知点(1,4)A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，若关于t 的不等式253a b t t +³++恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[]6,1-B ．[]1,6-C ．(][),16,-¥-È+¥D ．(][),61,-¥-È+¥（2024·新疆乌鲁木齐·一模）9．已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()5f x £的解集；（2）若不等式()21f x x ax ³-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）10．已知函数()22221f x a x ax a =+-+.(1)当2a =时，求()0f x £的解集；(2)是否存在实数x ，使得不等式222210a x ax a +-+³对满足[]2,2a Î-的所有a 恒成立？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1．A【分析】由R x "Î，210bx bx -+>成立求出b 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由R x "Î，210bx bx -+>成立，则当0b =时，10>恒成立，即0b =，当0b ¹时，2040b b b >ìí-<î，解得04b <<，因此R x "Î，210bx bx -+>成立时，04b £<，因为(0,4) [0,4)，所以“()0,4b Δ是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的充分不必要条件.故选：A 2．C【分析】先由2160x mx -+>得16m x x<+，由基本不等式得168x x +³，故8m <.【详解】当0x >时，由2160x mx -+>得16m x x<+，因0x >，故168x x +³=，当且仅当16x x =即4x =时等号成立，因当0x >时，16m x x<+恒成立，得8m <，故选：C 3．C【分析】由题意可得：命题“()213,2130a ax a x a "-££--+-³”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【详解】由题意可得：命题“()213,2130a ax a x a "-££--+-³”为真命题，即()()222132130ax a x a x x a x --+-=--++³对[]1,3a Î-恒成立，则()()22213032130x x x x x x ì---++³ïí--++³ïî，解得10x -≤≤或543x ££，即实数x 的取值范围为51043x x x ìü-££££íýîþ或.故选：C.4．B【分析】根据题意设2y ax =-，25y x bx =+-，由一次函数以及不等式()2(2)50ax x bx -+-³分析得2x a=时，250y x bx =+-=，变形后代入4b a +，然后利用基本不等式求解.【详解】设2y ax =-（0x >），25y x bx =+-（0x >），因为0a >，所以当20x a<<时，20y ax =-<；当2x a=时，20y ax =-=；当2x a>时，20y ax =->；由不等式()2(2)50ax x bx -+-³恒成立，得：22050ax x bx -£ìí+-£î或22050ax x bx -³ìí+-³î，即当20x a<£时，250x bx +-£恒成立，当2x a³时，250x bx +-³恒成立，所以当2x a =时，250y x bx =+-=，则20425b a a+-=，即225a b a =-，则当0a >时，45245222a a b a a a a +=-+=+³=当且仅当522a a =，即a =所以4b a+的最小值为故选：B.5．C【分析】分别在0m =、0m >和0m <的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【详解】①当0m =时，不等式化为20x <，解得：0x <，符合题意；②当0m >时，()22y mx m x m =--+为开口方向向上的二次函数，只需()222243440m m m m D =--=--+>，即203m <<；③当0m <时，()22y mx m x m =--+为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x ，使得()220mx m x m --+<成立；综上所述：实数m 的取值范围为2,3æö-¥ç÷èø.故选：C.6．B【分析】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【详解】∵2[1,2],x x a $Σ，则()2minx a £，即1a ³，∴a 的取值范围[)1,+¥由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为[)1,+¥的真子集，结合选项可知B 对应的集合为[)4,+¥为[)1,+¥的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B.7．C【分析】由题知[]01,1x Î-时，()min2003a x x ->，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题，所以，命题“[]01,1x $Î-，2003a x x >-”为真命题，所以，[]01,1x Î-时，()min2003a x x ->，因为，2239324y x x x æö=-=--ç÷èø，所以，当[]1,1x Î-时，min 2y =-，当且仅当1x =时取得等号.所以，[]01,1x Î-时，()200min32a x x ->=-，即实数a 的取值范围是()2,-+¥故选：C 8．A【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得a b +的最小值，从而将问题转化2953t t ³++，解之即可.【详解】因为点(1,4)A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，所以141a b+=，故()144559b aa b a b æö+++=++³+=ç÷èøa b =a b ，当且仅当4b a a b =且141a b+=，即3,6a b ==时等号成立，因为关于t 的不等式253a b t t +³++恒成立，所以2953t t ³++，解得61t -££，所以[]61t ,Î-.故选：A9．(1)[]3,2-；(2)[]1,1-.【解析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当2x £-时，()5f x £等价于215x --£，解得[]3,2x Î--；当21x -<<时，()5f x £等价于35£，恒成立，解得()2,1x Î-；当1x ³时，()5f x £等价于215x +£，解得[]1,2x Î；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ³-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ³-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --£在区间[]1,1-恒成立.则只需()22g x x ax =--满足：()10g -£且()10g £即可.即120,120a a +-£--£，解得[]1,1a Î-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.10．(1)31,22éù-êúëû(2)不存在，理由见解析【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）关于a 的不等式恒成立问题转化为关于a 的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.【详解】（1）2a =时，函数()2443f x x x =+-，不等式()0f x £即为24430x x +-£，即()()23210x x +-£，解得3122x -££，∴不等式()0f x £的解集为31,22éù-êúëû.（2）设()()2222221121g a a x ax a x a xa =+-+=-++，[]2,2a Î-，根据题意知，()0g a ³在[]22-,上恒成立，①当210x -=时，解得1x =±，若1x =，则()21g a a =+在[]22-,上单调递增，则()min ()230g a g =-=-<，不符合题意；若=1x -，则()21g a a =-+在[]22-,上单调递减，则()min ()230g a g ==-<，不符合题意；②当210x -<，即11x -<<时，()g a 的图像为开口向下的抛物线，要使()0g a ³在[]22-,上恒成立，需()()2020g g ì-³ïí³ïî，即2244304430x x x x ì--³í+-³î，解得32x £-或32x ³，又∵11x -<<，∴此时无解；③当210x ->，即1x <-或1x >时，()g a 的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为21x a x =-，（i ）当221x x £--，即1x <£时，()g a 在[]22-,上单调递增，∴()2min ()24430g a g x x =-=--³，解得12x £-或32x ³，∵32>112-<，∴此时无解；（ii ）当2221x x -<<-，即x x >()g a 在22,1x x éù-êú-ëû上单调递减，在2,21x x éùêú-ëû上单调递增，∴min 221()011x g a g x xæö==³ç÷--èø，此时无解；（iii ）当221x x ³-1x £<-时，()g a 在[]22-,上单调递减，∴()2min ()24430g a g x x ==+-³，解得32x £-或12x ³，∵32-<，112>-，∴此时无解；综上，不存在符合题意的实数x .。
高三复习：恒成立问题
恒成立问题解题技巧:1. 分离变量和参量;2. 求最值或求函数的值域;3. 借助函数的图象求解. 一些重要结论: (1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立⇔f(x)min >A,x ∈D 或f(x)的下界大于或等于A ； 若不等式f(x)<A 在区间D 上恒成立⇔f(x)max <A,x ∈D 或f(x)的上界小于或等于A ； 等式恒成立一般可得对应项的系数相等. (2)能成立问题(部分成立)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立,即f(x)>A 在区间D 上能成立⇔f(x)max >A,x ∈D 或f(x)的上界大于A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<A 成立,即f(x)<A 在区间D 上能成立⇔f(x)min <A,x ∈D 或f(x)的下界小于A ；若在区间D 上存在实数x 使等式f(x)=A 成立,即f(x)=A 在区间D 上能成立⇔A ∈{y|y=f(x),x ∈D}. (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立⇔不等式f(x)>A 的解集为D 若不等式f(x)<A 在区间D 上恰成立⇔不等式f(x)<A 的解集为D 例1.(06四川文)已知函数()()()3'31,5f x x ax g x fx ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数,对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围. 解析：由题意()2335g x x ax a =-+-令()()2335a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x < 例2.(10四川)设11x xa f (x )a+=-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数. (理)设关于x 的方程求217a tlog g(x )(x )(x )=--在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值范围.(文)当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)atg x x x >--成立，求t 的取值范围. 解析：由题意得：a x＝11y y -+＞0故g (x )＝1log 1a x x -+，x ∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)(理)由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+得t ＝(x -1)2(7-x )，x ∈[2,6]则'=-32+18-15=-3(-1)(-5)列表如下：最小值最大值(文)由21log log 1(1)(7)aa x tx x x ->+--得 ①当a ＞1时，211(1)(7)x t x x x ->+--＞0又因为x ∈[2,6],所以0＜t ＜(x －1)2(7－x ) 而h (x )最小值＝5，所以0＜t ＜5②当0＜a ＜1时，0＜211(1)(7)x t x x x -<+--又因为x ∈[2,6],所以t ＞(x －1)2(7－x )＞0 而h (x )最大值＝32,x ∈[2,6],所以t ＞32综上，当a ＞1时，0＜t ＜5；当0＜a ＜1时，t ＞32.例3.已知210,1,(),(1,1),()2xa a f x x a x f x >≠=-∈-<当时有恒成立，求实数a 的取值范围。
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
区分条件：“能成立”与“恒成立”
区分条件：“能成立”与“恒成立”“能成立”与“恒成立”问题，不仅考查函数、不等式等传统知识和方法，而且考查导数等新增内容的掌握和灵活运用，其将新增知识和传统知识有机融合，渗透化归转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，体现了能力立意的原则，但这类问题同学们极易混淆，是学习中的一大难点.一、()a f x ≥(或()a f x ≤)对x ∈D 能（恒）成立问题例1、已知函数2()2f x x x =+-.⑴若()a f x <在[13]，上能成立，求实数a 的取值范围； ⑵若()a f x <在[13]，上恒成立，求实数a 的取值范围. 分析：⑴()a f x <在[13]，上能成立，只要a 小于)(x f 在[13]，上的最大值即可； ⑵()a f x <在[13]，上恒成立，必须a 小于)(x f 在[13]，上的最小值. 解：⑴∵2()2f x x x =+-的对称轴为21-=x ，∴)(x f 在[13]，上单调递增， ∴)(x f 在[13]，上的最大值为10)3(=f ，故a 10<. ⑵)(x f 在[13]，上的最小值为0)1(=f ，故a 0<. 点评：一般地，()y f x =在闭区间上有以下结论（a 为常数）： ⑵ ()a f x <能成立⇔max [()]a f x <；()a f x >能成立⇔min [()]a f x >； ⑵()a f x <恒成立⇔min [()]a f x <；()a f x >恒成立⇔max [()]a f x >.二、()()f x g x ≥(或()()f x g x ≤)对x ∈D 能（恒）成立问题例2、已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数. ⑴对任意[33]x ∈-，，都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； ⑵对任意12[33]x x ∈-，，，都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； ⑶存在[33]x ∈-，，都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围. 分析：构造辅助函数)()()(x f x g x F -=，运用导数的知识和方法.解：设k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23. ⑴对任意[33]x ∈-，，都有()()f x g x ≤成立，等价于：[33]x ∈-，时，0)(≥x F 恒成立，故0)]([min ≥x F .令01266)(2=--='x x x F ，得1-=x 或2=x ，可得：)(x F 在]13[--，和]32[，上是增函数，在]21[，-是减函数，∴)(x F 在]33[，-上的最小值为min )}2()3({F F ，-，由于45)3(-=-k F ，20)2(-=k F ，∴)2()3(F F <-，∴045≥-k ，得45≥k .⑵对任意12[33]x x ∈-，，，都有12()()f x g x ≤成立，等价于：[33]x ∈-，时，max )]([x f min )]([x g ≤.由04106)(2=++='x x x g 得32-=x 或1-=x ，易知min )]([x g )3(-=g 21-=.又k x x f --+=8)1(8)(2，[33]x ∈-，，故k f x f -==120)3()]([max ， 由21120-≤-k ，得141≥k .⑶存在[33]x ∈-，，都有()()f x g x ≤成立，即0)(≥x F 在[33]x ∈-，内能成立，故0)]([max ≥x F .由⑴知7)1()]([max +=-=k F x F ，于是07≥+k ，得7-≥k .点评：本例的三个小题，表面形式非常相似，但其本质确大相径庭，注意以下两点：⑴“任意”与“存在”的不同；⑵“任意[33]x ∈-，”与“任意12[33]x x ∈-，，”的区别. ⑴⑵属恒成立问题，⑶属能成立问题，且⑴⑵之间又有所不同，举个例子：假设现在需要对高三⑴班与高三⑵班在一次考试中前10名学生的成绩进行对比，则问题⑴相当于两个班的第1名与第1名的成绩进行对比，第2名与第2名的成绩进行对比，…，第10名与第10名的成绩进行对比，且高三⑴班学生的相应名次的成绩均不低于高三⑵班的相应名次的成绩；问题⑵则是高三⑴班前10名学生的所有成绩均不低于高三⑵班学生的前10名学生的所有成绩，可见⑴⑵不同，不可混为一谈！。
高中数学素能培优(二) 恒成立与能成立问题
例2(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=log3 9 ·log3(3x),函数g(x)=4x-2x+1+5.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若存在实数m∈[-1,2],使不等式f(x)-g(m)≥0成立,求实数x的取值范围.
1
2 3
2
令 =t,则 t∈(0, ],- 2 − +1=-3t2-2t+1,
3
2
2
5
1
5
2
2
令 g(t)=-3t -2t+1,t∈(0, ],则 g(t)的最小值为 g =- ,所以 2-4m ≤- ,
3
3
3
3
33Biblioteka 3222
整理可得(3m +1)(4m -3)≥0,解得 m ≥ 4,即 m≥ 2 或 m≤- 2 .
2
因为
2
y= -x
7
在(1,4)内单调递减,所以值域为(- ,1),所以
2
2
-x
在(1,4)内能成立,
a 的取值范围是(-∞,1).
命题点3
更换主元法
解决含参数不等式恒成立(能成立)的某些问题时,若能适时的把主元变量
和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化,方便问题的求解.
例5已知当a∈[2,3]时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求x的取值范围.
1
例 1(2024·江西南昌模拟)已知函数 f(x)=x -ax+a ,若在区间[ ,a]上,
恒成立：高中数学恒成立专题解法总结
直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是
A（-2，1）B（2，1）C（1，-2）D（1，2）
二、方程恒有解问题
三、不等式恒成立
1、一次函数
答：当月球运行到地球和太阳的中间，如果月球挡住了太阳射向地球的光，便发生日食。
在铁制品表面涂上油漆或菜油，用完铁制品后擦干放在干燥的地方等。
答：可以，馒头中也含有淀粉，淀粉在咀嚼的过程中发生了变化，变得有甜味了。四、举例
3、怎样做才是解决垃圾问题最有效的方法呢？（P73）
一、空：
4、数形结合
20、对生活垃圾进行分类、分装，这是我们每个公民的义务。只要我们人人参与，养成良好的习惯，我们周围的环境一定会变得更加清洁和美丽。
一、填空：5、转化为恒成立处理
（1）若函数 在区间 为增函数，求 的取值范围
在区间 恒成立，即 在在区间 恒成立，显然
1、说说你身边物质变化的例子。
2、二次函数型
3、变量分离法（构造为参数和X的函数，转化为最值处理）
15、为了便于辨认，人们把看起来不动的星星分成群，划分成不同的区域，根据其形态想象成人、动物或其他物体的形状，并且给它们命名。天空中这些被人们分成的许多区域就称为星座。 对一切 恒成立 ， 对一切 恒成立
20、在水中生活着许我微生物，常见的有草履虫、变形虫、喇叭虫、眼虫、团藻等。 对一切 恒成立 的图像在 的图像上方或
微专题23 恒成立、能成立问题(解析版)
微专题23恒成立、能成立问题【方法技巧与总结】1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈.（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，则()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()min max f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集.【题型归纳目录】题型一：分离参数题型二：判别式法题型三：数形结合题型四：多变量的恒成立问题题型五：主元法题型六：直接法【典型例题】题型一：分离参数例1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一阶段练习）若对任意12x ≤≤，有2x a ≤恒成立，则实数的取值范围是（）A ．{|2}a a ≤B ．{|4}a a ≥C ．{|5}a a ≤D ．{|5}a a ≥【答案】B【解析】因为对任意12x ≤≤，有2x a ≤恒成立，所以()2maxxa ≤，因为12x ≤≤，所以204x ≤≤，所以4a ≥，故选：B例2．（2022·天津·高一期末）对于满足等式1411a b +=+的任意正数,a b 及任意实数[1,)x ∈+∞，不等式26a b x x m +≥-+-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[3,)-+∞【答案】B【解析】因为任意正数,a b 满足等式1411a b +=+，所以()()1411111a b a b a b a b ⎛⎫+=++-=+++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭144481b a a b +=++≥+=+，当且仅当126b a +==，即3,5a b ==时等号成立，因为任意实数[1,)x ∈+∞，不等式26a b x x m +≥-+-恒成立，所以，268m x x ≥-+-对任意实数[1,)x ∈+∞恒成立，因为[1,)x ∈+∞时，()2268311x x x -+-=--+≤，当且仅当=3x 时等号成立，所以，1m ≥，即实数m 的取值范围为[1,)+∞.故选：B例3．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B．11,,22∞∞⎛⎛⎫+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．⎝⎭【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，2min612x x m ⎛⎫-+<= ⎪⎝⎭，所以212x x -+<，解得1122x <<，故实数x的取值范围是1122⎛-+ ⎝⎭．故选：D ．变式1．（2022·全国·高一单元测试）已知12x ≤≤，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a ≥B ．{}1a a >C ．{}1a a ≤D ．{}1a a <【答案】D【解析】由12x ≤≤，20x ax ->恒成立，可得a x <在[]1,2上恒成立，即即1a <.故选：D.变式2．（2022·广东·深圳外国语学校高一阶段练习）若关于x 的不等式26110x x a -+-<在区间()2,5内有解，则实数a 的取值范围是（）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞【答案】D【解析】由关于x 的不等式26110x x a -+-<在区间(2,5)内有解，得2611a x x >-+在区间(2,5)内有解，令2()611f x x x =-+，则min ()(3)918112a f x f >==-+=，即2a >，所以实数a 的取值范围是(2,)+∞．故选：D ．题型二：判别式法例4．（2022·山东·潍坊一中高三期中）若关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集不为空集，则实数a 的取值范围为（）A ．62,5⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．6(,2)[,)5-∞-⋃+∞D ．6(,2],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -≥，解可得：14x ≥，则不等式的解集为1|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，不是空集；若2a =-时，原不等式为10-≥，无解，不符合题意；②当240a -≠时，即2a ≠±，若22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则有22240Δ(2)4(4)0a a a ⎧-<⎨=++-<⎩，解得625a -<<，则当不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集不为空集时，有2a <-或65a ≥且2a ≠，综合可得：实数a 的取值范围为6(,2)[,)5-∞-⋃+∞；故选：C ．例5．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）关于x 的不等210ax ax a ++-<的解集为R ，则a ∈（）A ．(),0∞-B ．(0，+∞)C ．(0，1)D ．(]0-∞，【答案】D【解析】当0a =时，2110ax ax a ++-=-<对R x ∈恒成立，符合题意；当0a ≠时，构造21y ax ax a =++-，要使0y <对R x ∈恒成立，由二次函数的图像可知：a<0且224(1)340a a a a a ∆=--=-+<，解得：a<0，综上：0a ≤．故选：D ．例6．（2022·河北唐山·高一期中）已知关于x 的不等式2220mx mx ++≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．02m <<B ．02m ≤≤C ．0m ≤或2m ≥D ．0m <或m>2【答案】B【解析】当0m =时，则20≥恒成立，0m =成立；当0m ≠时，则20Δ480m m m >⎧⎨=-≤⎩，解得02m <≤；综上所述：实数m 的取值范围为02m ≤≤.故选：B.变式3．（2022·广东·石门高级中学高一阶段练习）若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（）A ．[]3,0-B ．()(),30,-∞-⋃+∞C ．(]3,0-D ．(][),30,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】当=0k 时，308-<对一切实数x 都成立，故=0k 符合题意；当0k ≠时，要使不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则2<03<<03Δ=4×2×<08k k k k ⎧⎪⇒-⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩，综上可得30k -<≤，即(]3,0k ∈-；故选：C.变式4．（2022·北京市第五十中学高一阶段练习）对于任意实数x ，不等式()()222240m x m x ---+>恒成立，则m 的取值范围是（）A ．{22}mm -<<∣B ．{22}mm -<≤∣C ．{2mm <-∣或2}m >D ．{2mm <-∣或2}m ≥【答案】B【解析】当20m -=，即=2m 时，40>恒成立，满足题意.当20m -≠时，则有()()22>0Δ=424×2×4<0m m m ----⎧⎪⎨⎪⎩，解得：22m -<<综上，实数m 的取值范围是22m -<≤故选：B变式5．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式()2110ax a x --+>对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（）A．{|3a a >-0}a <B．{|33a a -<<+C．{|3a a <-3a >+D．{33a a -<+【答案】D【解析】当0a =时，不等式为10x -+>，即1x <，不符合题意；当0a ≠时，不等式()2110ax a x --+>对任意实数x 都成立，由一元二次函数性质可知，0a >且判别式2[(1)]40a a ∆=---<，解得33a -<<+．故选:D ．题型三：数形结合例7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式(2)(1)f ax f +- 对于[1x ∈，2]恒成立，则a 的取值范围是()A ．(-∞，32-B ．(-∞，1]2-C ．[3-，12-D ．3[,1]2--【解析】解：由题可知，()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(,0)-∞上递减，由函数()f x 的图象特征可得121ax -+ 在[1，2]上恒成立，得31a x x-- 在[1，2]上恒成立，所以312a -- ．故选：D ．例8．当(1,2)x ∈时，不等式1log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：函数1y x =-在区间(1,2)上单调递增，∴当(1,2)x ∈时，1(0,1)y x =-∈，若不等式1log a x x -<恒成立，则1a >且1log 2a 即(1a ∈，2]，故选：C ．例9．当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(2，3]B ．[4，)+∞C ．(1，2]D ．[2，4)【解析】解：函数2(1)y x =-在区间(1,2)上单调递增，∴当(1,2)x ∈时，2(1)(0,1)y x =-∈，若不等式2(1)log a x x -<恒成立，则1a >且1log 2a 即(1a ∈，2]，故选：C ．变式6．存在[3x ∈，4]使得2()1x x a - 成立，则实数a 的取值范围是9[3,32-．【解析】解：由题意，存在[3x ∈，4]使得21()x a x- ，设21()(),[3,4],(),[3,4]f x x a x g x x x =-∈=∈，且1()3max g x =，1()4min g x =，如图①，当3a 时，函数()f x 在[3，4]上单调递增，此时只需21()(3)(3)3min f x f a ==- ，解得3333a -+ ，故333a - ；如图②，当34a <<时，函数()f x 的最小值为()min f x f =（a ）0=，显然恒成立，如图③，当4a 时，函数()f x 在[3，4]上单调递减，此时21()(4)(4)4min f x f a ==- ，解得7922a ，故942a ；综上，实数a 的取值范围是9[3,]32-．故答案为：9[3]2．题型四：多变量的恒成立问题例10．（2022·江苏省镇江第一中学高一阶段练习）已知函数2()2,R =++∈f x x ax a ．(1)若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式2()1f x x ≥-的解集；(2)若对于任意[1,1]x ∈-，不等式()2(1)4f x a x ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知()g x x m =-+，当3a =-时，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2(1,8)x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由题意，1,2为方程220x ax ++=的两个不等实数根，123a a ∴+=-⇒=-，所以不等式2()1f x x ≥-为2223212310x x x x x -+≥-⇒-+≥，解得12x ≤或1x ≥，所以不等式解集为[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.（2）2()2(1)4220f x a x x x a a -≤-+⇒+-≤对[1,1]x ∈-恒成立，令()222a h x x x a =+--，即()0h x ≤对[1,1]x ∈-恒成立，因为函数()h x 开口向上，故只需满足()()101220101220h a a h a a ⎧≤-+-≤⎧⎪⇒⎨⎨-≤++-≤⎪⎩⎩，解得13a ≤，所以a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（3）当3a =-时，2()32f x x x =-+，开口向上，对称轴为32x =当[1,4]x ∈时，min 1()4f x =-，max ()6f x =，1()64f x ∴-≤≤，(1,8)x ∈时，()()8,1g x m m ∈-+-+，由题意，对任意1[1,4]x ∈，总存在2(1,8)x ∈，使()()12f x g x =成立，即函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，即()1,648,1m m ⎡⎤⊆-+-+⎢⎥-⎣⎦，18416m m ⎧-+<-⎪∴⎨⎪-+>⎩，解得3174m <<，所以m 的取值范围为317,4⎛⎫⎪⎝⎭.例11．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知函数()4af x x x=+-，()g x x b =-，2()2h x x bx =+(1)当2a =时，求函数()()y f x g x =+的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；(2)当[]3,4a ∈时，函数()f x 在区间[]1,m 上的最大值为()f m ，试求实数m 的取值范围；(3)若不等式()()()()1212h x h x g x g x -<-对任意1x ，[]20,2x ∈（12x x <）恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，21()()42(4y f x g x x x b x b x x =+=+-+-=+--，所以函数()()y f x g x =+的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,0)-，(0,1)；（2）因为[3a ∈，4]，且函数()y f x =在[1上单调递减，在)∞+上单调递增，又因为()f x 在[1，]m 上的最大值为()f m ，所以()()1f m f ≥，即414am a m+-≥+-，整理可得2(1)0m a m a -++≥，所以(1)()0m m a --≥，所以max m a ≥，即4m ≥；（3）由不等式1212()()|()||()|h x h x g x g x -<-对任意1x ，2[0x ∈，122]()x x <恒成立，即1122()|()|()|()|h x g x h x g x -<-，可令()()|()|F x h x g x =-，等价为()F x 在[0，2]上单调递增，而222(21),()()()2(21),x b x b x bF x h x g x x bx x b x b x b x b⎧++-<=-=+--=⎨+-+≥⎩，分以下三种情况讨论：①当12b b ≤--即14b ≤-时，可得102b -+≤，解得12b ≥，矛盾，无解；②1122b b b --<<-+，即1144b -<<时，函数()F x 的图象的走向为减、增、减、增，但是中间增区间的长度不足1，要想()F x 在[0，2]递增，只能102b -+≤，即12b ≥，矛盾，无解；③12b b ≥-+即14b ≥时，此时()F x 在1[2b --，)∞+上单调递增，要想()F x 在[0，2]递增，只能102b --≤，即12b ≥-，所以14b ≥．综上可得满足条件的b 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例12．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，且()2()log 21x f x kx =+-，()()g x f x x =+．(1)若不等式()422(2)x xg a g -⋅+>-恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设4()ln 21h x x x x mx =+-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x h x ≥，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由题意知，()()22log 21log 210x x kx kx -+--+-=，即()()22222112log 21log 21log log 212x xxx x kx x --+=+-+===-+，所以12k =-，故()()21log 212xf x x =+-，∴()()()21log 212xg x f x x x =+=++，因为函数21x y =+为增函数，函数2log y x =在其定义域上单调递增，所以()2log 21xy =+单调递增，又12y x =为增函数，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以不等式()()4222x xg a g -⋅+>-恒成立等价于4222x x a -⋅+>-，即442x xa +<恒成立，设2xt =，则0t >，2444442x x t t t t++==+≥，当且仅当2t =，即1x =时取等号，所以4a <，故实数a 的取值范围是(),4-∞；（2）因为对任意的[]10,3x ∈，存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x h x ≥，所以()g x 在[]0,3上的最小值不小于()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最小值，因为()()21log 212xg x x =++在[]0,3上单调递增，所以当[]0,3x ∈时，()()min 01g x g ==，∴4()ln 211h x x x x mx =+-+≤，即存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使311ln 22m x x ≥+成立，令()311ln ,22t x x x x =+∈2,e e ⎡⎤⎣⎦，因为312y x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，1ln 2y x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，∴()t x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，∴()()3min 11e e 22t x t ==+，∴311e 22m ≥+，所以实数m 的取值范围是311e ,22⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.变式7．（2022·湖北武汉·高一期中）已知函数()()2=R f x x mx m -∈.(1)若存在实数x ，使得()()22x xf f -=-成立，试求m 的最小值；(2)若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()122f x f x -≤恒成立，试求m 的取值范围.【解析】（1）由题意，由()()22x x f f -=-得，222222x x x x m m ---⋅=-+⋅，即222222x xxx m --+=+，2(22)22222222x x x xx x x xm ----+-∴==+-++，令222x x t -=+≥=，则2(2)m t t t=-≥，由于函数y t =在[2,)+∞为增函数，2y t=在[2,)+∞为减函数，min 2212m ∴=-=，即m 的最小值为1.（2）二次函数()2f x x mx=-的开口向上，对称轴为2m x =，若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()122f x f x -≤恒成立，则当[1,1]x ∈-时，()()max min 2f x f x -≤，①当12m≥，即2m ≥时，()min max (1)1,()(1)1f x f m f x f m =-=+==-，故1(1)2m m +--≤，解得1m ≤，又2m ≥，故无解；②当112m -≤≤，即22m -≤≤时，2min ()()24m m f x f ==-，max ()max{(1),(1)}max{1,1}f x f f m m =-=+-，要使得()()max min 2f x f x -≤，只需()122m f f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭且()122m f f ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，故2212(1)22242m mm m ++≤⇔+≤⇔--≤≤-，2212(1)22242m mm m -+≤⇔-≤⇔-+≤≤+，故22m -≤≤-+③当12m≤-，即2m ≤-时，max min ()(1)1,()(1)1f x f m f x f m ==-=-=+，则()()max min 2f x f x -≤，即22m -≤，解得1m ≥-，与2m ≤-矛盾，无解.综上，实数m 的取值范围是22m -+≤≤.变式8．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=且()()2log 21x f x kx =++，()()g x f x x =+．(1)求()f x 的解析式；(2)若不等式()()4213x xg a g -⋅+>-恒成立，求实数a 取值范围；(3)设()221h x x mx =-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使得()()12g x h x ≥，求实数m 取值范围．【解析】（1）由题意知，()()22log 21log 210x x kx kx -+--+-=，即()()222212log 21log 21log 21x xxx kx x --+=+-+==-+，所以12k =-，故()()21log 212xf x x =+-.（2）由（1）知，()()()21log 212x g x f x x x=+=++，所以()g x 在R 上单调递增，所以不等式()()4213x xg a g -⋅+>-恒成立等价于4213x x a -⋅+>-，即442x xa +<恒成立.设2xt =，则0t >，2444442x x t t t t++==+≥，当且仅当2t =，即1x =时取等号，所以4a <，故实数a 的取值范围是(),4-∞.（3）因为对任意的[]10,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使得()()12g x h x ≥，所以()g x 在[]0,3上的最小值不小于()h x 在[]1,3上的最小值，因为()()21log 212xg x x =++在[]0,3上单调递增，所以当[]0,3x ∈时，()()min 01g x g ==，又()221h x x mx =-+的对称轴为x m =，[]1,3x ∈，当1m £时，()h x 在[]1,3上单调递增，()()min 1221h x h m ==-≤，解得12m ≥，所以112m ≤≤；当13m <<时，()h x 在[)1,m 上单调递减，在[],3m 上单调递增，()()2min 11h x h m m ==-≤，解得m R ∈，所以13m <<；当3m ≥时，()h x 在[]1,3上单调递减，()()min 31061h x h m ==-≤，解得32m ≥，所以3m ≥，综上可知，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.变式9．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知函数()4f x x x=+，(1)判断函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并利用定义证明；(2)若对任意的121,,42x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()122f x f x m m -≤+恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()4f x x x =+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，理由如下：取()12,0,2x x ∀∈，且12x x <，()()()()121212121212444x x f x f x x x x x x x x x --=+--=--()()1212121212441x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-⋅⎪⎝⎭，因为()12,0,2x x ∀∈，12x x <，故12120,40x x x x >-<，120x x -<，()()()1212121240x x f x f x x x x x --=-⋅>，所以()()12f x f x >，所以()4f x x x=+在()0,2上单调递减；取()34,2,x x ∀∈+∞，且34x x <，()()()()343434343434444x x f x f x x x x x x x x x --=+--=--()()3434343434441x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-⋅ ⎪⎝⎭，因为()34,2,x x ∀∈+∞，34x x <，故34340,40x x x x >->，340x x -<，()()()3434343440x x f x f x x x x x --=-⋅<，所以()()34f x f x <，所以()4f x x x=+在()2,+∞上单调递增；（2）若对任意的121,,42x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()122f x f x m m -≤+恒成立，0m =时，2m m+无意义，舍去，当0m <时，20m m+<，此时()()122f x f x m m -≤+无解，舍去，所以0m >，只需求出()()12f x f x -的最大值，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x x =+单调递减，当(]2,4x ∈时，()4f x x x =+单调递增，故()()min 2224f x f ==+=，又因为17182122f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，故()max 11722f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()()12max 179422f x f x -=-=，所以922m m≤+，因为0m >，故解得：4m ≥或102m <≤实数m 的取值范围是[)14,0,2⎛⎤+∞ ⎝⎦.变式10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()212132f x x a x a +=+--+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对任意的[]3,2a ∈--，都有()0f x <恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若[]12,2,1x x ∃∈-使得()()124f x f x >+，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()()2+1=+213+2f x x a x a --，令1x t +=，则1x t =-，故()()()()2212113221f t a t t a t a t a =-+---+=--+，所以()221f x a a x x =--+；（2）()221f x a a x x =--+可看作关于a 的一次函数()()2211x a h a x =--++，要想对任意的[]3,2a ∈--，都有()0h a <恒成立，只需要()()()()223=321++1<02=221++1<0h x x h x x --------⎧⎪⎨⎪⎩①②，解①得：33x -<<-解②得：31x -<<-，则33x -<<-31x -<<-求交集得33x -<<-实数x 的取值范围是(3,3--；（3）若[]12,2,1x x ∃∈-使得()()124f x f x >+，只需()()max min 4f f x x >+在[]2,1x ∈-上成立，()221f x a a x x =--+的对称轴为=x a ，当2a ≤-时，()f x 在[]2,1x ∈-上单调递增，所以()()max 112123x f a a a f ==--+=-，()()min 244135f x f a a a =-=+-+=+，由23354a a ->++，解得：76a <-，2a ≤-与76a <-取交集得：2a ≤-；当1a ≥时，()f x 在[]2,1x ∈-上单调递减，所以()()min 123x f a f ==-，()()min 235x f a f =-=+，由35234a a +>-+，解得：16a >，1a ≥与16a >取交集得：1a ≥；当122a -<<-时，()f x 在[)2,a -上单调递减，在[],1a 上单调递增，且()()12f f >-，所以()()max 123x f a f ==-，()()2min ==+1f x f a a a --，由22314a a a ->--++，解得：3a >或1a <-，3a >或1a <-与122a -<<-取交集得：21a -<<-，当112a -≤<时，()f x 在[)2,a -上单调递减，在[],1a 上单调递增，且()()21f f -≥，所以()()max 235x f a f =-=+，()()2min ==+1f x f a a a --，23514a a a +>--++，解得：0a >或4a <-，0a >或4a <-与112a -≤<取交集得：0<<1a ，综上：1a <-或0a >实数a 的取值范围是()(),10,+-∞-⋃∞变式11．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））设函数()f x 的定义域是()0,+∞，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知()164f =，且01x <<时()0f x <.(1)求()1f 与()2f 的值；(2)求证：对任意的正数1x 、2x ，()()121f x x f x +>；(3)解不等式()()111282f x f x +>-.【解析】（1）对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，所以，()()()16444f f f =+=，则()42f =，()()()4222f f f =+=，可得()21f =，()()()221f f f =+，可得()1=0f .（2）证明：对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，令1y x =，则()()110f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，可得()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意的正数1x 、2x ，则11201x x x <<+，所以，()()()11112121210x f f x f f x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+<⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故()()121f x x f x +>.（3）由()()111282f x f x +>-，可得()()()()()()21282244f x f x f x f x f f x -<+=++=，由（2）可知，函数()f x 在()0,+∞上为增函数.所以，24>128>0128>0x x x x --⎧⎪⎨⎪⎩，解得213x <<或>2x .故原不等式的解集为()2,12,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.题型五：主元法例13．（2022·广东实验中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()12f =-(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值；(3)若][()21,1,1,1,<22x a f x m am ∃∈-∀∈---⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）令==0x y ，则(0)2(0)f f =，可得(0)=0f ，令y x =-，则(0)()()0f f x f x =+-=，可得()()f x f x -=-，又()f x 定义域为R ，故()f x 为奇函数.（2）令12=+>=x x y x x ，则1212()=()+()f x f x f x x -，且120x x ->，因为0x >时，()0f x <，所以1212()()=()<0f x f x f x x --，故12()()f x f x <，即()f x 在定义域上单调递减，所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为(3)=(12)=(1)+(2)=3(1)=3(1)=6f f f f f f -------.（3）由（2），()f x 在[]1,1-上min ()=(1)=2f x f -，2[1,1],[1,1],()<22x a f x m am ∃∈-∀∈---恒成立，即2[1,1],22>2a m am ∀∈----恒成立，所以2[1,1],()=2>0a g a m ma ∀∈--恒成立，显然0m =时不成立，则2>0(1)=2>0m g m m -⎧⎨⎩，可得2m >；2<0(1)=+2>0m g m m -⎧⎨⎩，可得2m <-；综上，2m <-或2m >.例14．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立，令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠，当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.例15．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一阶段练习）若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C变式12．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x \的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．变式13．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,42⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或x12≤<xx =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型六：直接法例16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23f x x ax =--+满足对任意[2,]x a a ∈-，恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,1)-B．51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C．⎫⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题设，()f x 开口向下且对称轴为4ax =-，∴要使任意[2,]x a a ∈-，恒有()0f x >，则()()()()2222Δ240{222230230a f a a a a f a a a =+>-=----+>=--+>，∴22310501a a a ⎧-+<⎪⎨<⎪⎩1a <<.故选：C.例17．（2022·全国·高一单元测试）若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a的最小值为（）A ．0B．-C．2-D ．5-【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D例18．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞C ．[0,1]D ．(0,1)【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥，关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【过关测试】一、单选题1．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数()()log 8a f x ax =-满足1a >，若()1f x >在区间[]1,2上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为()()log 8a f x ax =-且1a >，又8y ax =-单调递减，log a y x =在定义域上单调递增，所以()()log 8a f x ax =-在定义域上单调递减，因为()1f x >在区间[]1,2上恒成立，所以()()2log 821log a a f a a =->=恒成立，所以821a a a ->⎧⎨>⎩，解得813a <<，即81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；故选：C2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()221,1,,12,2,2xa x x f x a x x ax a x ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪+-≥⎩（0a >且1a ≠），若对任意两个不相等的实数1x ，2x ，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．(]1,4C ．()2,+∞D ．(]2,4【答案】D【解析】对任意两个不相等的实数1x ，2x ，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，所以函数()f x 在R 上为增函数，则有220,1,22,221,44,a a aa a a a a ->⎧⎪>⎪⎪-≤⎨⎪⎪-+≤⎪≤+-⎩解得：24a <≤.故选：D.3．（2022·湖南·高一阶段练习）已知())()ln 0f x ax a =>是奇函数，若()()210f ax bx f ax -++<恒成立，则实数b 的取值范围是（）A ．()8,8-B ．()0,8C ．()8,16-D ．()8,0-【答案】B【解析】∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-即()()0f x f x +-=恒成立，即)())lnln0ax a x +-=，则2160a -=，解得4a =±，又∵0a >，∴4a =，则())ln 4f x x =，所以())ln4ln ⎛⎫==f x x ，())()ln4ln ⎫-=+==-⎪⎭f x x f x ，()f x 是奇函数，因为=u 在[)0,∞+是单调递减函数，()ln =f x u 在[)0,∞+是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递减；由()()210-++<f ax bx f ax 恒成立得，()()2441-<-+f x bx f x 可得()()2441-<--f x bx f x 恒成立，则2441->--x bx x ，即()24410--+>x b x 恒成立，所以()244410b =--⨯⨯<△恒成立，解得08b <<.故选：B.4．（2022·江苏·高一专题练习）若4230x x m -+>在()01x ∈，上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．()+∞B ．()4∞+，C．(-∞D ．()4∞-，【答案】C【解析】令()212xt t =∈，，，则原问题转化为230t mt -+>在()12t ∈，恒成立，即3m t t<+在()12t ∈，恒成立，又3t t +≥=当且仅当t =)，故实数m的取值范围是(-∞，故选：C ．5．（2022·辽宁·东北育才双语学校高一期中）定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当1x ≥时，()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．-1B ．23-C ．23D ．13-【答案】D【解析】由题设，()f x 关于1x =对称，根据()f x 的解析式，在[1,)+∞上()f x 在4x =处连续且单调递减，所以()f x 在(,1)-∞上递增，要使对任意[],1x t t ∈+，()()()21f x f x f x t -≤++=恒成立，则|1|||x x t -≥+在[],1t t +上恒成立，所以222212x x x tx t -+≥++，即(1)(21)0t x t ++-≤在[],1t t +上恒成立，当10210t x t +≥⎧⎨+-≤⎩，即 min ，可得113t -≤≤-；当10210t x t +<⎧⎨+-≥⎩，即()max 1{1212t t x t <-≥-=-，无解；综上，t 的最大值为13-.故选：D.6．（2022·四川·石龙中学高一阶段练习）已知对于任意实数x ，220kx x k -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >B ．=1k C ．1k ≤D ．1k <【答案】A【解析】由题知，当=0k 时，20x ->不恒成立，舍去；当0k ≠时，220kx x k -+>即22y kx x k =-+图像恒在x 轴的上方，所以2>0Δ=44<0k k -⎧⎨⎩解得1k >；综上，1k >.故选：A7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()3f x ax x =+-，若对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且()()121212,3f x f x x x x x -≠<-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞【答案】D【解析】不妨设121x x ≤<，则120x x -<，根据题意，可得()()()12123f x f x x x ->-恒成立，即()()112233f x x f x x ->-恒成立.令2()()323g x f x x ax x =-=--，则()()12g x g x >恒成立，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减.当0a =时，()23g x x =--在[1,)+∞上单调递减，符合题意；当0a ≠时，要使2()23g x ax x =--在[1,)+∞上单调递减，则0,21,2a a<⎧⎪-⎨-≤⎪⎩解得a<0.综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞.故选：D.8．（2022·江苏省横林高级中学高一阶段练习）已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围是（）A ．4t ≤B ．12t ≤C ．13t ≤D ．23t ≤【答案】D【解析】由23x y +=得：()()2216x y +++=，(),0,x y ∈+∞，22x ∴+>，211y +>，()()111111212221222162216221y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++∴+=++++=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭12263⎛≥+= ⎝（当且仅当1x y ==时取等号），∴当11221t x y ≤+++恒成立时，23t ≤.故选：D.二、多选题9．（2022·重庆十八中高一阶段练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意R x ∈恒成立，则（）A ．2440b c -+≤B ．0b ≤C ．1c ≥D ．0b c +≥【答案】ACD【解析】对于A ，将22x bx c x b ++≥+整理为()220x b x c b +-+-≥，因为22x bx c x b ++≥+对任意R x ∈恒成立，所以0∆≤，即()()2240b c b ---≤，整理得2440b c -+≤，故A 正确；对于B ，令1,2b c ==，则()()2124211430∆=---=-=-<，满足题意，故B 错误；对于C ，由A 知244c b ≥+，即2114b c ≥+≥，故C 正确；对于D ，2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.10．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域为{}0x x >，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（）A ．()y f x =在()0,∞+上单调递减B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减C ．()()1236f f ->D ．()()1236f f -<【答案】ABC【解析】A 选项：由()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦，210x x >>，得()()2112120x xf x f x x x -->>，所以()y f x =在()0,∞+上单调递减，A 选项正确；B 选项：()()()()21212121121212121212121211022222x x x x x x x x y y f x f x f x f x x x x x x x x x x x -----=--+=-->-=＞，所以()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减，C 选项与D 选项：由A 选项得()()2112120x x f x f x x x -->>，令12x =，23x =，则()()32123236f f -->=⨯，所以C 选项正确，D 选项错误；故选：ABC.11．（2022·浙江省平阳中学高一阶段练习）设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A ．0B ．12C ．1D ．32【答案】CD【解析】因为函数()22f x x x a =++的开口向上，对称轴为=1x -，所以()()min 11f x f a =-=-，即()f x 的值域为[)1,a -+∝且关于x 的不等式()()0f f x ≥恒成立，则()1011f a a ⎧-≥⎨-≥-⎩，即2100a a a ⎧+-≥⎨≥⎩，解得a ≥或11Δ0a -<-⎧⎨≤⎩，此时无解.所以实数a的取值范围为⎫+∝⎪⎪⎣⎭故选:CD.12．（2022·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数()[]()212,2f x x x =-+∈-，()[]()220,3g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（）A ．[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-B ．[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-C ．[]0,3x ∃∈，()g x a =，则实数a 的取值范围是[]1,3-D ．[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =【答案】AC【解析】对于A 选项，[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，即()min f x a >，()f x 为减函数，所以()min ()23f x f a ==->，A 选项正确；对于B 选项，[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，即()max f x a >，所以()25f a -=>，B 选项不正确；对于C 选项，[]0,3x ∃∈，()g x a =，即()()max min g x a g x ≥≥，()g x 的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴1x =处取最小值，在离对称轴最远处3x =取最大值，所以()()3311g a g =≥≥=-，C 选项正确；对于D 选项，[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =，即要求()f x 的值域是()g x 值域的子集，而()f x 的值域为[3,5]-，()g x 值域为[1,3]-，不满足要求，D 选项不正确；故选：AC.三、填空题13．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式()()2log ln 40,1a x x a a -<>≠对于任意()31,e x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________【答案】()140,1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为不等式()()2log ln 40,1a x x a a -<>≠对于任意()31,e x ∈恒成立，即不等式()2ln ln 4ln x x a+<对于任意()31,e x ∈恒成立，因为()31,e x ∈，所以()ln 0,3x ∈，所以不等式14ln ln ln x a x +<对于任意()31,e x ∈恒成立，令()4g x x x=+，()0,3x ∈，因为()4g x x x=+在()0,2上单调递减，在()2,3上单调递增，所以()()min 24g x g ==，即min4ln 4ln x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以14ln a<，所以ln 0a <或1ln 4a >，解得01a <<或14e a >，即()140,1e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；故答案为：()140,1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭14．（2022·全国·高一单元测试）若关于x 的方程12log 1mx m =-在区间()01，上有解，则实数m 的取值范围是_____．【答案】()(),01,∞∞-⋃+【解析】当()01x ∈，时，()12log 0,x ∞∈+，所以要使方程12log 1m x m =-在区间()01，上有解，只需01mm >-即可，解得0m <或1m >，所以实数m 的取值范围是()(),01,∞∞⋃+－．故答案为：()(),01,∞∞⋃+－．15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程2222212x a x a x x a ++-=-+-+有解，则实数a 的取值范围是___________．【答案】1a ≥或1a ≤-【解析】由题知，2222212x a x a x x a ++-=-+-+有解①当2x a <-时，即2222212x a a x x x a --=-+-+-+化简得22421x x a -=-有解即()()2222214a a a ->--⨯-整理得：42210a a ++<无解②当22a x a -≤≤时，即2222212x a a x x a x +=-+--++化简得2210x x -+=解得1x =即221a a -≤≤解得：1a ≥或者1a ≤-③当2x a >时，即2222212x a a x x a x +=-+-++-化简得：2221a x =+有解即()22221a a >+化简得：()2210a -<无解综上，实数a 的取值范围为：1a ≥或1a ≤-故答案为：1a ≥或1a ≤-.16．（2022·全国·高一单元测试）记{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知2()3,()2g x x f x x =-=，设函数{}()max (),()F x f x g x =，若方程()0F x m -=有解，则实数m 的取值范围是__________________．【答案】[)2,-+∞【解析】由题意()0F x m -=有解，即(),y F x y m ==有交点令12()()1,3f x g x x x =∴=-=当(,1)(3,),()()x g x f x ∈-∞-⋃+∞>当(1,3),()()x g x f x ∈-<故{}223,1()max (),()2,133,3x x F x f x g x x x x x ⎧-≤-⎪==-<<⎨⎪-≥⎩画出函数{}()max (),()F x f x g x =的简图，如下图所示：数形结合可知，当=1x -时，min ()(1)2F x F =-=-故若(),y F x y m ==有交点，2m ≥-则实数m 的取值范围是[)2,-+∞故答案为：[)2,-+∞。
恒成立问题与能成立问题
第9练 恒成立问题与能成立问题[考情分析] 恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．一、恒成立问题例1 (2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x .(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋2x －1，令φ(x )＝e x ＋2x －1，由于φ′(x )＝e x ＋2>0，故f ′(x )单调递增，注意到f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)由f (x )≥12x 3＋1得， e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x >0时，分离参数a 得，a ≥－e x －12x 3－x －1x 2， 记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2(x >0)， 则g ′(x )＝－(x －2)⎝⎛⎭⎫e x －12x 2－x －1x 3， 令h (x )＝e x －12x 2－x －1(x >0)， 则h ′(x )＝e x －x －1，令t (x )＝e x －x －1(x >0)，则t ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )单调递增，h ′(x )>h ′(0)＝0，故h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0，由h (x )>0可得e x －12x 2－x －1>0恒成立， 故当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24， 综上可得，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a >f (x )max 或a <f (x )min 的形式，通过导数的应用求出f (x )的最值，即得参数的范围．(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．(3)判断含x ，ln x ，e x 的混合式的函数值的符号时，需利用x 0＝0ln e x 及e x ≥x ＋1，ln x ≤x －1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x 的一次式或二次式，再判断符号． 跟踪训练1 (2022·青海模拟)已知函数f (x )＝a (x －1)－e x (a ∈R )，k (x )＝ln x －e ，e 为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当x >1时，不等式f (x )≤k (x )恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a －e x ，x ∈R ，①当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减．②当a >0时，令f ′(x )<0，得x >ln a ，令f ′(x )>0，得x <ln a ，所以当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)当x >1时，f (x )≤k (x )恒成立，即a (x －1)－e x －ln x ＋e ≤0在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝a (x －1)－e x －ln x ＋e ，x >1，则g ′(x )＝a －e x －1x， 令h (x )＝g ′(x )＝a －e x －1x，x >1， 则h ′(x )＝－e x ＋1x 2， 易知h ′(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴h ′(x )<h ′(1)＝－e ＋1<0，∴g ′(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴g ′(x )<g ′(1)＝a －e －1.①当a －e －1≤0，即a ≤e ＋1时，g ′(x )<0，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递减，此时g (x )<g (1)＝0，符合题意；②当a －e －1>0，即a >e ＋1时，g ′(1)>0，当x →＋∞时，g ′(x )<0，∴∃x 0∈(1，＋∞)，使得g ′(x 0)＝0，则当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴g (x 0)>g (1)＝0，不符合题意．综上所述，a 的取值范围为(－∞，e ＋1]．二、能成立问题例2 (2022·北京第十二中学模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋a x，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－1x，若g (x )在[1，e 2]上存在极值，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，函数f (x )＝ln x ＋1x，其定义域为(0，＋∞)， 可得f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由g (x )＝f (x )－1x ＝ln x x ＋a x 2－1x，x ∈[1，e 2]， 可得g ′(x )＝1－ln x x 2＋1x 2－2a x 3＝2x －x ln x －2a x 3， 设h (x )＝2x －x ln x －2a ，则h ′(x )＝2－(1＋ln x )＝1－ln x ，令h ′(x )＝0，即1－ln x ＝0，解得x ＝e ，当x ∈[1，e)时，h ′(x )>0；当x ∈(e ，e 2]时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间[1，e)上单调递增，在区间(e ，e 2]上单调递减，且h (1)＝2－2a ，h (e)＝e －2a ，h (e 2)＝－2a ，显然h (1)>h (e 2)，若g (x )在[1，e 2]上存在极值，则满足⎩⎨⎧ h (e )>0，h (1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≥0，h (e 2)<0，解得0<a <e 2， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，e 2. 规律方法 (1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a ≥f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≥f (x )min ；若a ≤f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≤f (x )max .(2)不等式能成立问题的解题关键点跟踪训练2 (2022·淮南模拟)已知函数f (x )＝ln x x －1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)已知λ>0，若存在当x ∈(1，＋∞)时，不等式λx 2－λx ≥(e λx －1)ln x 成立，求λ的取值范围． 解 (1)y ＝f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x －ln x (x －1)2. 令g (x )＝1－1x－ln x ， 则g ′(x )＝1－x x 2， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．又因为g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以函数y ＝f (x )在区间(0,1)，(1，＋∞)上均单调递减．(2)因为λx 2－λx ≥(e λx －1)ln x ，所以(x －1)ln e λx ≥(e λx －1)ln x ，当λ>0，x >1时，x －1>0，所求不等式可化为ln e λx e λx －1≥ln x x －1， 即f (e λx )≥f (x )．由λ>0易知e λx ∈(1，＋∞)，由(1)知，y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故只需e λx ≤x 在(1，＋∞)上能成立．两边同取自然对数得λx ≤ln x ，即λ≤ln x x在(1，＋∞)上能成立． 令φ(x )＝ln x x(x >1)， 则φ′(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(1，e)时，φ′(x )>0，函数y ＝φ(x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )<0，函数y ＝φ(x )单调递减，所以φ(x )max ＝φ(e)＝1e， 所以λ≤1e， 又λ>0，故λ的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，1e .。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专题(17例题+15练习题+答案与解析)
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),22x ax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln)(44>-+=xcbxxaxxf在1=x处取得极值3c--，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0>x，不等式22)(cxf-≥恒成立，求c的取值范围。
2、主参换位法例5、若不等式a10x-<对[]1,2x∈恒成立，求实数a的取值范围例6、若对于任意1a≤，不等式2(4)420x a x a+-+->恒成立，求实数x的取值范围例7、已知函数323()(1)132af x x x a x=-+++，其中a为实数．若不等式2()1f x x x a'--+＞对任意(0)a∈+∞，都成立，求实数x的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f xλ≥（或()()g f xλ≤）恒成立的形式；（2）求()f x在x D∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f xλ≥(或()()ming f xλ≤)，得λ的取值范围。
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恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
对于二次函数)0(0)(2≠>++=a c bx ax x f 有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（3）当0>a 时，若],[0)(βα在>x f 上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 若],[0)(βα在<x f 上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（4）当0<a 时，若],[0)(βα在>x f 上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f若],[0)(βα在<x f 上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或例2若关于x 的二次不等式：01)1(2<-+-+a x a ax 的解集为R ，求a 的取值范围.解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，即对一切实数x 原不等式都成立。
只须⇔⎩⎨⎧<∆<00a ⎩⎨⎧<---<0)1(4)1(02a a a a ⇔⎩⎨⎧>--<012302a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<><3110a a a 或⇔31-<a . ∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, 说明：1、本题若无“二次．．不等式”的条件，还应考虑0=a 的情况，但对本题讲0=a 时式子不恒成立。
2、只有定义在R 上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。
练习：1、 已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。
（答案10≤≤m ）2、已知函数22)(2+-=kx x x f 在),1(+∞-时k x f ≥)(恒成立，求实数k 的取值范围。
（答案13≤≤-k ）提示：构造一个新函数k x f x F -=)()(是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
（三）、利用函数的最值-----分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
注意参数的端点值能否取到需检验。
类型一 ： “)(x f a ≥”型一、（恒成立）（1）m x f D x ≥∈∀)(,恒成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f D x ≤∈∀)(,恒成立max )(x f m ≥⇔； 二、（能成立、有解）：（1）m x f D x ≥∈∃)(,能成立内有解在D x f m )(≤⇔m x f ≥⇔max )(；（2）m x f D x ≤∈∃)(,能成立内有解在D x f m )(≥⇔min )(x f m ≥⇔； 三、（恰成立）（1）不等式()A x f >在区间D 上恰成立⇔不等式()A x f >的解集为D ； （2）不等式()B x f <在区间D 上恰成立⇔不等式()B x f <的解集为D . 四、（方程有解）方程()m f x =在某个区间上有解，只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。
例3：设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
解：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义0421>++⇔xxa 不等式对(,1)x ∈-∞恒成立212(22)4xx x xa --+⇔>-=-+，(.1)x ∈-∞恒成立。
令2xt -=，2()()g t t t =-+，又(.1)x ∈-∞，则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1(,)2t ∈+∞恒成立，又()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，34a ∴≥- 例4：若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围。
解： 设a ax x x f --=2)(.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集3)(-≤⇔x f 在R 上能成立3)(min -≤⇔x f ,即344)(2min-≤+-=a a x f ，解得26≥-≤a a 或例5不等式022<-+k kx 有解，求k 的取值范围。
解：不等式022<-+k kx 有解2)1(2<+⇔x k 能成立122+<⇔x k 能成立2)12(max 2=+<⇔x k ， 所以)2,(-∞∈k 。
例6（2008年上海）已知函数f (x )＝2x －12|x |若不等式2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围解：本题可通过变量分离来解决． 当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t ttt tm -+-≥ 即24(21)(21)ttm -≥--，2210t->∵，2(21)tm ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞例7（1990年全国）设f x n n anx x x x x ()lg ()=++++-+1231 ，其中a 为实数，n为任意给定的自然数，且n ≥2，如果f x ()当x ∈-∞(]，1时有意义，求a 的取值范围．解：本题即为对于x ∈-∞(]，1，有1210xxxxn n a ++-+> ()恒成立． 这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得a n nn nn xxx>-+++-≥[()()()]()1212 ，对于x ∈-∞(]，1恒成立． 构造函数g x n n n nx x x()[()()()]=-+++-121 ，则问题转化为求函数g x ()在x ∈-∞(]，1上的值域，由于函数u x knk n x ()()()=-=-121，，， 在x ∈-∞(]，1上是单调增函数，则g x ()在(]-∞，1上为单调增函数．于是有g x ()的最大值为g n ()()1121=--，从而可得a n >--121()． 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值． 类型二：“())(x g x f <”型恒成立。
恒成立的图象的上方的图象恒在恒成立）（0)()()()()()()()()()(,1max min >-=⇔∈>⇔⇔>∈∀x g x f x h D x x g x f x g x f x g x f D x例8 已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数t 的取值范围.解 f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零.令，.∵x∈[0,1]，∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值. ∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1.类型三：“())(21x g x f <”型 （恒成立和能成立交叉）：（1）)()(,,2121x g x f E x D x ≥∈∃∈∀成立)()(2min 1x g x f ≥⇔min min 12min 1)()()()(x g x f x g x f ≥⇔≥⇔ ；例9已知两个函数x x x x g k x x x f 452)(,168)(232++=-+=，其中k 为实数。
（1）对任意[]3,3-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （2）存在[]3,3-∈x ，使)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （3）对任意[]3,3,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围。
解析：（1）设k x x x x f x g x h +--=-=1232)()()(23问题转化为[]3,3-∈x 时，0)(≥x h 恒成立，故0)(min ≥x h 。