9-6-2直线与双曲线的位置关系(一轮复习)
直线与双曲线的位置关系
第3课时 直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系1、一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离 2．弦长公式斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|1x －2x |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 题型一、直线与双曲线的位置关系例1、已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，在下列条件下，求实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．[解析] ⎩⎨⎧x 2－y 2＝4y ＝k (x －1)，消去y 得，(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0(*)(1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧4－3k 2>01－k 2≠0，即－233<k <233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧4－3k 2＝01－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点． ③⎩⎨⎧4－3k 2<01－k 2≠0，即k <－233，或k >233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－233<k <－1，或－1<k <1，或1<k <233时，直线与双曲线有两个公共点；当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k <－233，或k >233时，直线与双曲线没有公共点． 例2、过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线l 与双曲线的交点为A 、B ，则|AB |＝__________________. [答案] 3题型二、中点弦问题例3、已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1.试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．解法二：设存在被点B 平分的弦MN ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1， ①x 22－y 222＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线MN ：y －1＝2(x －1)．由⎩⎨⎧y －1＝2(x －1)x 2－y 22＝1，消去y 得，2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝－8<0.这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在．例4、过点P (4,1)的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，求l 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减得： 14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. ∴y 2－y 1x 2－x 1＝1，即所求直线l 的斜率为1，∴l 方程为y －1＝x －4，即x －y －3＝0. 题型三、综合应用问题例5、直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后整理得，(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0－2k k 2－2>02k 2－2>0，解得k 的取值范围为－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2－k2x 1·x 2＝2k 2－2，假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (62，0)，则F A ⊥FB ， ∴(x 1－62)(x 2－62)＋y 1y 2＝0，即(x 1－62)(x 2－62)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. (1＋k 2)x 1x 2＋(k －62)(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋(k －62)·2k 2－k 2＋52＝0，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65，或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， 即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2.由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B >2.x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1.于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1，∴13<k 2<1，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． 例7、已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k 的值．[正解] 可分两种情况：(1)直线l 斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意；(2)直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0，当4－k 2＝0时，k ＝±2，即l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，所以k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．课后作业一、选择题1．已知实数4、m 、9构成一个等比数列，m 为等比中项，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( ) A.306 B.7 C.306或7 D.56或7 [答案] C[解析] ∵4、m 、9成等比数列，∴m 2＝36，∴m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7，故选C.2．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1[答案] D[解析] 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.3．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )[答案] C[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致．应选C.4．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等[答案] D[解析] ∵0<θ<π4，∴双曲线C 1的离心率e 1＝c a ＝cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1cos θ，而双曲线C 2的离心率e 2＝c a ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1＋sin 2θcos 2θ＝1cos 2θ＝1cos θ， ∴e 1＝e 2，故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，其离心率e 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(1，3]D ．(1，5][答案] D[解析] 依题意(a,0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ， ∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤5，又e >1，∴1<e ≤5，故选D.6．F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右．．两支．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.3 C. 5 D.7 [答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e >1，∴e ＝ca ＝7，故选D.二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________________．[答案]3[解析] 由余弦定理(4a )2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2，等式两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0， ∴e ＝ 3.8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 、B 为椭圆的顶点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于__________________．[答案]5＋12[解析] 设中心在坐标原点的双曲线左焦点F ，实轴右端点A ，虚轴端点B ，FB ⊥AB ，则|AF |2＝|AB |2＋|BF |2，∵|AF |2＝(a ＋c )2，|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |2＝b 2＋c 2， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∵e ＝ca ，∴e 2－e －1＝0，∵e >1，∴e ＝5＋12.三、解答题9．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2③x 1x 2＝－23－a 2④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 由③④知，∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0. 解得a ＝±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上．即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．10．过双曲线x 29－y 216＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦AB .求：(1)弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离；(2)弦AB 的长．[解析] (1)因为双曲线的右焦点为F 2(5,0)，直线AB 的方程为y ＝x －5.由⎩⎪⎨⎪⎧16x 2－9y 2－144＝0y ＝x －5， 消去y ，并整理得7x 2＋90x －369＝0.如图，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－907，x 1·x 2＝－3697.设AB 的中点C 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22＝－457，∴y ＝－807.∴|CF 2|＝(5＋457)2＋(807)2＝8027.(2)|AB |＝2·|x 1－x 2|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(810049＋14767)＝1927. 11．已知曲线C ：x 2－y 2＝1和直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠04k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2，且k ≠±1，∴k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)结合(1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB＝12|AB |d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0.∴k ＝0或k ＝±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、－62.。
高考数学专题直线与双曲线的位置关系
直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如20XX 年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=， 或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y kk y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y 的通径长是(A)49 (B) 29(C) 9 (D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程．三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1．过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条解：过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.2、若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1解：直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近 线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k<－1.3、过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
高考数学一轮复习双曲线的综合问题
3
＜y0＜ .
3
3
答案 （1）A
2 2
（2）设P是双曲线 － ＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x
9
16
＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为
A.6
B.9
C.12
D.14
（
）
解析
2 2
（2）如图所示，设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1
2 2
曲线 2－ 2 ＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝
2
2
5×3402，故双曲线方程为 2 －
＝1，将y＝－x 代入上式，得x＝
680
5×3402
±680 5，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－680 5，y＝680 5，即P（－680 5，
+
＝2k＋
1 −2 2 −2
1 −2
2 −2
1 −2
2 −2
(2−2)(1 +2 −4)
(2−2)×2(2−3)(+2)
＝2k＋
＝3.
1 2 −2(1 +2 )+4
−4(−1)(+2)
｜解题技法｜
直线与双曲线位置关系的判断方法
将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2
故选B.
答案 （2）B
｜解题技法｜
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定
义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；
直线与双曲线的位置关系(分层练习)
直线与双曲线的位置关系（分层练习）[基础训练]1．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34x B ．y ＝±43x C ．y ＝±35xD ．y ＝±53x答案：B 解析： 设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，由题意得|OM |＝12|PF 2|， 因为△OTM 的周长为4a ，所以|TM |＋|OM |＋a ＝4a ，即|TM |＋12|PF 2|＝3a ， 所以|TM |＋12(|PF 1|－2a )＝3a ， 即|TM |＋12|PF 1|＝4a .因为M 为线段PF 1的中点，所以|PT |＝4a ， 又|TF 1|＝c 2－a 2＝b ，所以|PF 1|＝4a ＋b ，则|PF 2|＝2a ＋b ， 所以|OM |＝a ＋12b ，|TM |＝2a －12b .在Rt △OTM 中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12b 2＋a 2，化简可得b a ＝43，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2．[2020山东青岛一模]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1C.3x 225－3y 2100＝1 D ．3x 2100－3y 225＝1答案：A 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，l 与x 轴交于(－5,0)，∴⎩⎨⎧－b a＝－12，c ＝5，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝25，b ＝5， ∴双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 故选A.3．[2019全国卷Ⅲ]已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32 B ．52 C.72 D ．92答案：B 解析：如图，记双曲线的右焦点为F ，设左焦点为F ′，连接PF ′，PF ，由题意得F (3,0)，F ′(－3,0)，∵|OP |＝|OF |＝12|FF ′|＝3，∴∠F ′PF ＝90°， 设|PF ′|＝m ，|PF |＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m 2＋n 2＝36，故mn ＝m 2＋n 2－(m －n )22＝10. ∴S △OPF ＝12S △PF ′F ＝14mn ＝52，故选B.4．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A.2 B ．3 C ．2D ．5答案：A 解析：因为OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |， 所以|OP |＝|OF |，∠OFP ＝45°，|OM |＝|OF |·sin 45°， 即a ＝c ·22，所以e ＝ca ＝2， 故选A.5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝θ，且θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，3＋1]B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋12，2 D ．[2，＋∞)答案：A 解析：设其左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，易得∠F 1AF ＝π2，∠ABF ＝∠AF 1F ＝θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，∴|AF 1|＝2c cos θ，|AF |＝2c sin θ， ∴2a ＝2c |cos θ－sin θ|， ∴e ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈(1，3＋1]．6．[2020湖北武汉调研]过点P (4,2)作一直线，该直线与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．43答案：D 解析：解法一：由题意可知，点P 的位置如图所示，且直线AB的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2.由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)＋2，x 22－y 2＝1消去y ，得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 2＋8k 1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2.因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ>0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10， 于是|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋12·82－4×10＝4 3. 故选D.解法二：由题意可知，点P 的位置如解法一中图所示，且直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－2y 21－2＝0，x 22－2y 22－2＝0，整理可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)． 因为P (4,2)为AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x －2.由⎩⎨⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1消去y ，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1x 2＝10，于是|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋12·82－4×10＝4 3.7．[2020福建六校联考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°.则双曲线C 的离心率为________．答案：43 解析：由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，所以△APQ 为正三角形，则∠PFx ＝60°， 所以x P ＝c ＋(a ＋c )cos 60°＝3c ＋a2，y p ＝(a ＋c )sin 60°＝3(c ＋a )2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c ＋a 2，3(c ＋a )2， 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，整理得3e 2－e －4＝0， 解得e ＝43.8．[2020山西太原联考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，再反向延长交另一条渐近线于N ，若2MF→＝FN →，则双曲线C 的离心率e ＝________. 答案：233 解析：解法一：如图所示．渐近线OM 的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此，|FM |＝|bc |a 2＋b2＝b .过点F 作FP ⊥ON ，垂足为P ， 则|FP |＝|FM |＝b .又因为2MF→＝FN →，所以|FN →|＝2b ， 在Rt △FPN 中，sin ∠FNP ＝|PF ||FN |＝b 2b ＝12， 所以∠FNP ＝π6，故在Rt △OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，即a ＝3b ， 所以c ＝a 2＋b 2＝2b ， 所以双曲线C 的离心率e ＝233. 解法二：由2MF →＝FN →知，|MF ||FN |＝12. 由渐近线的对称性知，∠NOF ＝∠MOF ， 即OF 为∠NOM 的角平分线， 则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12， 所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6. 因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ， 所以b a ＝tan π6＝33， 所以e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233.9．[2020山东泰安模拟]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →，则双曲线的渐近线方程为________．答案：3x ±y ＝0 解析：设F 1(－c,0)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．由⎩⎨⎧ y ＝x ＋c ，y ＝－ba x ，解得x ＝－ac a ＋b ，则x A ＝－aca ＋b.由⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，y ＝b a x ，解得x ＝ac b －a ，则x B ＝ac b －a. 由F 1A →＝AB →可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b ， 整理得b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.10．[2020云南昆明一中月考]已知双曲线C 的中心为坐标原点，点F (2,0)是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E .若|FM |＝3|ME |，则双曲线C 的方程为________．答案：x 2－y 23＝1 解析：由题意设双曲线C 的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)．由点到直线的距离公式得|FM |＝b ， 由|FM |＝3|ME |及勾股定理可得 |OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 32－4. 又∵FE 与渐近线垂直，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 32－42＝a b .结合a 2＝4－b 2，得b 2＝3，a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.[强化训练]1．[2020山东济南模拟]已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±32x D ．y ＝±233x答案：B 解析：由题意，知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，①|MF 1|＋|MF 2|＝p2.②联立①②，解得|MF 1|＝a ＋p 4，|MF 2|＝p4－a . 因为F 1F 2为直径，所以四边形F 1NF 2M 为矩形，则S ＝|MF 1|·|MF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 42－a 2，又32S ＝p 2，所以p 232＝p216－a 2，解得p 2＝32a 2.由|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，得2a 2＋p 28＝4c 2，所以3a 2＝2c 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝±22， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 故选B.2．[2019天津卷]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A.2 B ．3 C ．2D ．5答案：D 解析：由题意可知抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵|AB |＝4|OF |＝4，不妨设A 在B 上方， ∴A (－1,2)，又点A 在直线y ＝－ba x 上， ∴2＝－b a ·(－1)，∴ba ＝2， ∴双曲线的离心率e ＝1＋b 2a 2＝1＋4＝ 5.故选D.3．[2020河北五个一联盟联考]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为 ( )A ．5B ． 5 C.53D ．54答案：A 解析：∵直线4x －3y ＋20＝0过双曲线C 的左焦点， 令y ＝0，得x ＝－5，即F (－5,0)，∴c ＝5. 又知点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝205＝4. 设PF 的中点为M ，右焦点为F 0，连接OM ，则OM ⊥PF ，且|OM |＝4，∴|PF |＝6， 连接PF 0，∵M 为PF 的中点，O 为FF 0的中点， ∴OM ∥PF 0且|OM |＝12|PF 0|， 则|PF 0|＝2|OM |＝8，由双曲线的定义可知|PF 0|－|PF |＝2a ， 即2a ＝8－6＝2，∴a ＝1.∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝51＝5. 故选A.4．[2020湖南长沙模拟]已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则△PF 1F 2的面积为( )A.22 B ．1 C.2D ．2答案：C 解析：设P (x 0，y 0)，不妨设点P 在双曲线C 的渐近线x －y ＝0上，因此可得x 0－y 0＝0.由题意知，F 1(0，2)，F 2(0，－2)，所以|F 1F 2|＝22，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，又以F 1F 2为直径的圆经过点P ，所以x 20＋y 20＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，x 20＋y 20＝2，得|x 0|＝1，于是S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x 0|＝12×22×1＝ 2.故选C.5．[2019山西太原二模]已知点F 1，F 2分别是椭圆C 1和双曲线C 2的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率，点P 为C 1和C 2的一个公共点，且∠F 1PF 2＝2π3，若e 2∈(2，7)，则e 1的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，23 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，73D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，255 答案：D 解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，它们的半焦距为c .不妨设点P 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，F 1，F 2分别为左、右焦点，则由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，整理得4c 2＝3a 21＋a 22，即a 22＝4c 2－3a 21.所以1a 22＝14c 2－3a 21，c 2a 22＝c 24c 2－3a 21＝c 2a 214×c 2a 21－3，即e 22＝e 214e 21－3. 又e 2∈(2，7)，所以4<e 214e 21－3<7，结合0<e 1<1， 解得73<e 1<255.故选D.6．[2020陕西质量检测]已知等腰三角形ABC 的底边端点A ，B 在双曲线x 26－y 23＝1的右支上，顶点C 在x 轴上，且AB 不垂直于x 轴，则顶点C 的横坐标t 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞ 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0> 6.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 216－y 213＝1，x 226－y 223＝1，两式相减并整理，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝x 02y 0. 又k MC ＝y 0x 0－t，由题意易知AB ⊥MC ， 所以k MC ·k AB ＝y 0x 0－t ×x 02y 0＝－1， 即x 0＋2(x 0－t )＝0，解得t ＝3x 02，又x 0>6，所以t >362.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若7FM→＝3FN →，则双曲线的渐近线方程为________．答案：y ＝±102x 解析：不妨设点M 在第一象限，则直线OM 的方程为y ＝ba x ，直线ON 的方程为y ＝－ba x ，又7FM →＝3FN →，所以|FM →||FN →|＝37.如图，过点M ，N 分别向x 轴作垂线交x 轴于点S ，T ，则|MS ||NT |＝|FM →||FN →|＝37.由题易知点F (c,0)到直线OM 的距离为|MF |＝bca 2＋b 2＝b ，则|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a ，因为|OM |·|MF |＝|OF |·|MS |，所以|MS |＝abc .直线NF 的方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－a b x ＋acb ，与直线ON 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－ba x ，y ＝－a b x ＋acb ，解得⎩⎨⎧ x N ＝a 2c a 2－b 2，y N ＝abcb 2－a 2，|NT |＝y N ＝abc b 2－a 2， 所以|MS ||NT |＝ab c abc b 2－a 2＝37，则b 2－a 2c 2＝37，7b 2－7a 2＝3(a 2＋b 2)，化简得4b 2＝10a 2，即b 2a 2＝104，所以b a ＝102，故双曲线的渐近线方程为y ＝±102x .8．双曲线C 的中心在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C 交于A ，B 两点，当k 为何值时，以线段AB 为直径的圆过原点？解：(1)设双曲线C 的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝233，b a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝33，b ＝1，故双曲线C 的方程是3x 2－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0， 由Δ>0且3－k 2≠0，得－6<k <6且k ≠± 3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以线段AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3， 所以y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，2所以k2－3＋1＝0，解得k＝±1.。
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系一、知识要点:1．直线:l y kx m =+与双曲线2222:1x y C a b-=的位置关系 ①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。
②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。
③相离：直线与双曲线无公共点。
2. 直线:l y kx m =+与双曲线2222:1x y C a b-=的位置关系判断方法。
联立方程组2222=+=1y kx m x y ab ⎧⎪⎨-⎪⎩ 消去y 得到 ()2222222222=0b a k x kma x a m a b ---- 当2220,0b a k -≠∆>时，直线l 与双曲线C 有两个不同交点； 当2220,0b a k -≠∆=或2220b a k -=时，直线l 与双曲线C 有一个交点； 当2220,0b a k -≠∆<时，直线l 与双曲线C 无公共点。
3. 直线被双曲线截得弦长公式()()[]21221241x x x x k PQ -++=Ak ∆+=21 4 .中点弦问题:点差法—设端点坐标—代入双曲线方程作差—得斜率—写方程。
二．典例分析例1. 判断下列直线与双曲线的位置关系（1）2221001205x y x y --=-=与 （2）22103x y x y -+=-=与例2．（1）过定点P(0,-1)的直线与双曲线224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（2）过定点P(1,1)的直线与双曲线 224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（3）过点()2,1P 的直线与双曲线1322=-y x 有且只有一个公共点，这样的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例3．经过双曲线2213y x -=的右焦点2F 作倾斜角为30°的直线交该双曲线于A ，B 两点，求1F AB ∆ 的周长。
（1F 为双曲线的左焦点）例4.（1）以P （1，8）为中点作双曲线为224=4y x -的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
直线与双曲线的位置关系
含 焦 点 区 域 内
含 焦 点 区 域双曲线相 切的直线最多 最多有 切的直线最多有2条
也就是说过点P 也就是说过点P作双 曲线的切线条数可 能是2 能是2条、1条、0条
当点P 当点P在含焦点区域 外的黄色和绿色区域 能作2条切线。 时，能作2条切线。
P
P
当点P在双曲线上时， 当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。 一个公共点。
P
当点P在渐近线上（ 当点P在渐近线上（中心 除外）、 ）、含焦点区域内 除外）、含焦点区域内 只能作2 时，只能作2条直线与双 曲线只有一个公共点。 曲线只有一个公共点。
当点P在其中一条渐近 当点 在其中一条渐近 线上（中心除外） 线上（中心除外）时， 一条是切线， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。 另一条渐近线平行。
当点P在黄色区域时，所作的 条 当点 在黄色区域时，所作的2条 在黄色区域时 切线只能分别与双曲线的两支相切。 切线只能分别与双曲线的两支相切。
P
当点P在绿色区域时，所 当点 在绿色区域时， 在绿色区域时 作的2条切线只能都与双 作的 条切线只能都与双 曲线的一支相切。 曲线的一支相切。
P
当点P在渐近线上（ 当点P在渐近线上（中 心除外）、 ）、双曲线上 心除外）、双曲线上 只能作1条切线。 时，只能作1条切线。 P
P
当点P 当点P在含焦点区域 中心时， 内、中心时，不可能 作出双曲线的切线。 作出双曲线的切线。
P P P
过点P 过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 最多有 线最多有4条
也就是说过点P 也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
直线与双曲线的位置关系教案
直线与双曲线的位置关系 xx 中学 教者xxx教学目标:1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。
2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。
3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。
教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。
教学难点: 学生解题综合能力的培养。
教学时数: 两课时教学方法: 启发式教学过程:一、课题导入回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。
二、讲授新课通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系：相离:没有公共点。
相切:有一个公共点。
相交:有两个公共点。
通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐 近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。
练习：判断直线x y 21=与双曲线322=-y x 的位置关系。
例：已知直线l :1+=kx y ,双曲线422=-y x 。
问k 取何值时，直线与双曲线相交、相切、相离？分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。
解：结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程联立，消去x （或y ）后得到一个方程。
若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。
此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。
若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。
此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。
得由⎩⎨⎧=-+=4122y x k x y 052122=---kx x k ）（。
是它们只有一个公共点直线与双曲线相交，但平行与双曲线的渐近线时，直线，即：当,101)1(2l k k ±==-时，即当101:)2(2±≠≠-k k 2016)1(20)2(222+-=-+=∆k k k ()个公共点。
直线与双曲线关系
知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
双曲线高三数学一轮复习考点课件
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
直线与双曲线的位置关系课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
例题探究
例1、直线y=kx+1和双曲线3x2-y2=1何时有两个交点？
解：由3yx2
kx y2
1
得, 1
3 k2 x2 2kx 2 0
要使直线与双曲线有两个交点，则
4k 2 8(3 k 2 ) 0
3
k2
0
解得 6 k 6且k 3
当 6 k 6且k 3时，直线y kx 1 与双曲线3x2 - y2 1有两个交点
a
a
相切：一个交点（ 0） 相离：无交点（ 0）
2.弦长公式
AB
1 k 2 x1 x2
1 1 k2
y1 y2
3.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1，以该双曲线内一点M x0 ,
yo 为中点的弦的斜率为k
b2 x0 a2 y0
思考：上面两种情况有什么不同？分别有什么特点？
新知讲解
判断直线与双曲线位置关系的基本步骤 把直线方程代入双曲线方程
二次项系数为0 二次项系数不为0
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
针对训练
练习1：直线l过点(3,0)且和双曲线4x2-y2=4只有1个交点，这样的直线
该弦所在直线斜率k 1
即 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0
3
6
方程为y x 3
针对练习
练习2：已知直线双曲线3x2 − y2 = 3，过点P(2,1)作一直线交双曲线于A，B两点， 且P为AB的中点. (1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长.
解：将y = 6x + 11代入3x2 − y2 = 3，得33x2 − 132x + 124 = 0. 由弦长公式|AB| = 1 + k2|x1 − x2| = 1 + k2 (x1 + x2)2−4x1x2，
直线与双曲线的位置关系
此时等价于（1）式方程有两个不等的正根，则
4 k 20 (20 (1 k 4 1 k)k )0 0 5 5k 5 5 k 4 k 20 ( 1 k ) 0 2 k 2 2 k 2 2 2 0 分析： 即 5 0 分析： 1 即 1 k k 0 k 1或 5k k 1 或 1 0 k k 0 1 1 5 0 0 1或 k 1 k k 1 或 k 1 1 k 1 k
2 2 2 2
当 1 k 0即k 1时，此方程只有一解
2
当 1 k 0 时, 应满足 4k 20(1 k ) 0
2 2 2
5 故k的值为 1或 2 直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：
①直线平行渐近线 ②直线与双曲线相切
5 解得k 2
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
1
2
1
2
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
例4(绿书P185例1) 过双曲线3x2-y2=3的左焦点，作 倾斜角为30°的弦AB，求 (1)|AB| ; (2)△F2AB的周长 （F2为双曲线的右焦点）
例5 已知双曲线的方程为2x2-y2=2，试问：是否存在被点 B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如 果不存在，说明理由。
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
5 故k的取值范围为1 k 2
实际上，△>0可省 略，为什么？
引申：（3）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公 注意： 共点，求k的值。
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2 .了 解 直 线 与 双 曲 线
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
第 5页
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基 础 分 层 导 学
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真 题 演 练 集 训
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x2 y2 3．若 P(x0，y0)是双曲线a2－b2＝1 ( a>0，b> 0 ) 右 支 上 一 点 ， 则 PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若 P(x0，y0)为 双 曲 线 左 支 上 一 点 ， 则 PF1＝ － ex0－a，PF2＝ － ex0＋a.
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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§9.6 双曲线
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第2课时 直线与双曲线的位置关系
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必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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[考 纲 展 示 ] 1 .掌 握 双 曲 线 的 几 何 性 质 ． 的 位 置 关 系 .
课 时 跟 踪 检 测
(不 垂 直 于
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
x2 y 2 2． 若 P 为 双 曲 线 a2－b2＝1 ( a>0，b> 0 ) 上 任 意 一 点 ， 左 、 右 顶 点 ， 则 b2 k P A 1· k P A 2＝a2.
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
x2 y2 2－ 2＝1， 联 立 a b 得(b2－a2k2)x2－2a2m k x －a2m2－a2b2＝0 . y＝kx＋m， b 1 () 当 b2－a2k2＝0， 即 k＝± ， 直 线 与 双 曲 线 相 交 于 一 点 ． a时 2 () 当 b2－a2k2≠0 时 ， ①相 切 ： Δ＝0；②相交 ： Δ>0；③相 离 ： Δ< 0 .
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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2． 直 线 与 双 曲 线 的 位 置 关 系
(几 何 法 · 渐 近 线 法 )
真 题 演 练 集 训
可 以 根 据 渐 近 线 的 斜 率 判 断 直 线 与 双 曲 线 的 位 置 关 系 ． 设 此 双 曲 线 的 渐 近 线 斜 率 为 交 于 一 点 ， 如 图 直 线 ± k， 当 直 线 的 斜 率 等 于 ± k时 ， 直 线 与 双 曲 线 相 P
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题 型 重 点 研 讨
必考部分
真 题 演 练 集 训
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必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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题 型 重 点 研 讨
[第九章]
解析几何
真 题 演 练 集 训
课 时 跟 踪 检 测
可 能 与 曲 线 的 右 支 交 于 两 点 ， 如 直 线 如 直 线 ④， 还 可 能 与 曲 线 相 离 ， 如 直 线
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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[必 备 知 识 ] 考 点 直 线 与 双 曲 线 位 置 关 训
1． 直 线 与 双 曲 线 的 位 置 关 系
题 型 重 点 研 讨
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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[双 基 夯 实 ]
真 题 演 练 集 训
[教 材 习 题 改 编
]如 果 直 线
y＝kx－1 与 双 曲 线
5 1 ， 2 _ _ _ _ _ _
真 题 演 练 集 训
此 方 程 有 两 个 不 等 的 正 根 ， 则 有 0 1－k2>0， 4k2＋2 － 2k 2>0， 1－k －5 2>0， 1 － k 5 所 以 1 < k< 2 . － 5<k< 5， 2 2 即k>1或 －1 < k<0， k>1或k<－1，
x2－y2＝4 的 右 支
题 型 重 点 研 讨
有 两 个 公 共 点 ， 则
k的 取 值 范 围 是
_ _ _ _ _ _ _
_．
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必考部分 第九章 §9.6 第2课时
第12页
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解 析 ： 联 立 消 去
y， 得 (1－k2)x2＋2kx－5＝0，
① ③均 与 双 曲 线 右 支 交 于 一 点 ； 当 直 线 过 点
题 型 重 点 研 讨
且斜率在(－k，k)上 时 ， 直 线 与 曲 线 左 、 右 两 支 各 交 于 一 点 ， 如 图 直 线 ②； 当 直 线 过 点 P且 斜 率 在 (－∞，－k)∪(k，＋∞)上 时 ， 直 线 ⑥， 也 可 能 与 曲 线 右 支 相 切 ， ⑤.
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第九章 §9.6 第2课时
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[二 级 结 论 ] x2 y 2 1． 若 AB 是 双 曲 线 a2－b2＝1 ( a>0， b> 0 ) 的 任 意 一 条 弦 x 轴)，M 为 AB 的 中 点 ， 则 b2 kAB· kOM＝a2. A1，A2 为