2020届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学(文)试题(B卷)
2020年宁夏六盘山高中高考数学三模试卷(文科)
2020年宁夏六盘山高中高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x||x|≤1,x∈R}，B={y|y=x2,x∈R}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥0}C. {x|0≤x≤1}D. ⌀2.若复数z满足z(1+i)=|1−i|2(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为()A. (π3,0) B. (π6,0) C. (π12,0) D. (π2,0)4.若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的渐近线为y=±14x，则其实轴长为()A. 4B. 12C. 8 D. 145.已知圆C：x2+y2=r2(r>0)，直线l：x=1，则“12<r≤1”是“C上恰有不同的两点到l的距离为12”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若求O的半径为4，且球心O到平面α的距离为√3，则平面α截球O所得截面圆的面积为()A. πB. 10πC. 13πD. 52π7.已知a=20.5，b=sin2π5，c=log2sin2π5，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. c>b>aD. c>a>b8.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 169.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A. 22019−1B. 22019−2C. 22020−2D. 22020−110. 奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x +1)为偶函数，且f(−1)=−1，则f(2018)+f(2019)=( )A. −2B. −1C. 0D. 111. 若tan(α+80°)=4sin420°，则tan(α+20°)的值为( )A. −√35B. 3√35C. √319D. √3712. 已知实数a >0，a ≠1，函数f(x)={a x ,x <1x 2+4x +alnx,x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. 2≤a ≤5B. a <5C. 3<a <5D. 1<a ≤2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >11，则m 的取值范围为______． 14. 已知实数x ，y 满足{x ≥−1y ≤3x −y +1≤0，则z =x 2+y 2的最大值为______．15. 四边形ABCD 中，AB =1，BC =5，CD =5，DA =7，且∠DAB =∠BCD =90°，则对角线AC 长为______．16. 甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是______ ①三个题都有人做对； ②至少有一个题三个人都做对； ③至少有两个题有两个人都做对． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，已知a 3+a 4=84−a 5，a 8=36．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)记S n为数列{a n}的前n项和，求S n+20n的最小值．18.已知某企业的近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x1234利润y(单位：百万元)4466相关公式：b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2=ini=1i−nxy∑x2n−n(x)2，â=ŷ−b̂x.19.如图，三棱锥B−ACD的三条侧棱两两垂直，BC=BD=2，E，F，G分别是棱CD，AD，AB的中点．(1)证明：平面ABE⊥平面ACD；(2)若四面体BEFG的体积为1，且F在平面ABE内的正投影为M，求线段CM的长．220.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦，已知以AB为直径的圆经过点(−1,0)．(1)求p的值及该圆的方程；(2)设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF．21.已知函数f(x)=e x−a(x−1)．(1)证明：当a=1时，f(x)≥2恒成立；(2)若函数f(x)在R上只有一个零点，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosβy =sinβ(β为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ(1)将C 1的方程化为普通方程，将C 2的方程化为直角坐标方程；(2)已知直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(π2<α<π,t 为参数，且t ≠0)，l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，且|AB|=√3，求α的值．23. 设函数f(x)=|x +1a |+|x −a|，(a >0)．(1)若f(2)<a +1，求a 的取值范围；(2)若对∀a ∈(0,+∞)，f(x)≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题得：A={x|−1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选：C．考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．在应试中可采用特值检验完成．2.【答案】D【解析】解：∵复数z满足z(1+i)=|1−i|2=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为：(1.−1)，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin2x图象向左平移π6个单位得到：g(x)=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)，令：2x+π3=kπ，(k∈Z)，解得：x=12kπ−π6，(k∈Z)，当k=1时，x=π3，可得平移后图象的一个对称中心可以为(π3,0)．故选：A．由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得解对称中心．本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由双曲线x2a2−y2=1(a>0)，得其渐近线方程为y=±1ax，又双曲线的渐近线为y=±14x，得1a=14，则a=4．∴双曲线的实轴长为2a =8． 故选：C ．由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知求得a ，则实轴长可求． 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，是基础题．5.【答案】D【解析】解：圆C ：x 2+y 2=r 2(r >0)，直线l ：x =1，由C 上恰有不同的两点到l 的距离为12， 则12<r <32，且r ≠1．∴则“12<r ≤1”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．圆C ：x 2+y 2=r 2(r >0)，直线l ：x =1，由C 上恰有不同的两点到l 的距离为12，可得12<r <32，且r ≠1.即可判断出结论．本题考查了直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：作出对应的截面图∵球的半径R =4，由球心距d =√3 故截面圆半径r =√42−3=√13=1 故截面圆面积S =πr 2=13π 故选：C ．根据球的半径R 、球心距，求出截面圆半径，可得截面面积． 本题考查球性质，点到平面的距离，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于b =sin 2π5∈(0,1)，可得c =log 2sin2π5<0又a =20.5>1∴a >b >c故选：B ．由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项本题考点是比较法，考查了三角函数式的取值范围的判断，对数式的取值范围的判断及指数式的取值范围的判断，解题的关键是理解中间量法，本题中三个代数式涉及三个函数，不能用单调性比较大小，此类题一般选择用中间量法比较，其特点是先判断每个数的取值范围，再比较每个范围的端点从而得出三数的大小关系，其理论依据是不等式的传递性，本题考查了判断推理的能力8.【答案】A【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有n=C42=6种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，∴乙获得“最佳手气”的概率p=mn =36=12．故选：A．利用隔板法得到共计有n=C42=6种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+⋯+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+⋯+22019的值，由于S=2+22+23+⋯+22019=2(1−22019)1−2=22020−2．故选：C．10.【答案】B【解析】【解答】解：奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)为偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)=−f(x−1)，即f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=−f(0)=0，f(2019)=f(504×5−1)=f(−1)=−1，则f(2018)+f(2019)=0−1=−1，故选：B．【分析】根据函数奇偶性的定义得到f(x)是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键．属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由tan(α+80°)=4sin420°=4sin60°=2√3，那么：tan(α+20°)=tan[(α+80°)−60°]=tan(α+80°)−tan60°1+tan(α+80)tan60=√3−√31+2√3×√3=√37．故选D．由tan(α+80°)=4sin420°=4sin60°=2√3，利用构造的思想，tan(α+20°)=tan[(α+80°)−60°]利用正切的和与差的公式打开可得答案．本题主要考查正切的和与差公式和诱导公式的化简，利用了构造的思想．12.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上单调递增，∴当x<1时，有a>1；当x≥1时，f′(x)=2x−4x2+ax=2x3−4+axx2≥0恒成立，令g(x)=2x3+ax−4，x∈[1,+∞)，则g′(x)=6x2+a，∵a>0，∴g′(x)>0，即g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=2+a−4=a−2，要使当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，则a−2≥0，解得a≥2．∵函数f(x)在R上单调递增，∴还需要满足a1≤1+41+aln1，即a≤5，综上，a的取值范围是2≤a≤5．故选：A．因为函数f(x)在R上单调递增，所以当x<1时，有a>1；当x≥1时，f′(x)=2x−4x2+ax=2x3−4+axx2≥0恒成立．令g(x)=2x3+ax−4，接下来需要求当x∈[1,+∞)时，函数g(x)≥0的a的取值范围，于是求导得g′(x)=6x2+a，因为a >0，所以g′(x)>0，即g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=2+a −4=a −2≥0.除此以外，还需要满足在x =1处，有a 1≤1+41+aln1.综上即可得a 的取值范围．本题考查分段函数的单调性，还利用了导数研究函数的单调性，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】(7,+∞)【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)(1,4)=m +4>11， 解得m >7；∴m 的取值范围是(7,+∞)． 故答案为：(7,+∞)．根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列出不等式求出m 的取值范围． 本题考查了平面向量是坐标表示与数量积运算问题，是基础题．14.【答案】13【解析】解：根据实数x ，y 满足{x ≥−1y ≤3x −y +1≤0，画出可行域如图：z =x 2+y 2表示O(0,0)到可行域的距离的平方，由{y =3x −y +1=0解得A(2,3)，当点A 与点原点连线时，OA 距离最大， 则z =x 2+y 2的最大值是A(2,3)到(0,0) 的距离的平方为：√22+32=13， 故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，再利用z =x 2+y 2的几何意义表示点(0,0)到可行域的点的距离的平方，求最值，即可． 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.【答案】4√2【解析】解：设|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=x,∠B =θ， 由∠DAB =∠BCD =90°，则∠D =180°−θ， △ABC 中，|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ， 则cosθ=12+52−x 22×1×5=26−x 210；△ACD 中，|CD|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5,|DA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ，则； ∵cos(180°−θ)=−cosθ，∴74−x 270=−26−x 210⇒x =√32=4√2．故答案为：4√2设所求向量的模为x ，角B =θ，由∠DAB =∠BCD =90°，根据四边形的内角和表示出角D =π−θ，在三角形ABC 中，利用余弦定理表示出cosθ，同理在三角形ACD 中，利用余弦定理表示出cos(π−θ)，根据诱导公式得到cosθ=−cos(π−θ)，列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到x 的值，进而所求向量的模．此题考查了余弦定理，以及四边形的内角和，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16.【答案】③【解析】解：若甲做对A ，B ，乙做对A ，B ，丙做对A ，B ，则C 无人做对，所以①错误；若甲做对A ，B ，乙做对A ，C ，丙做对B ，C ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误；做对的情况可分为三种情况：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法．故答案为：③．运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论．本题考查学生合情推理的能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由已知a 3+a 4=84−a 5，a 8=36．所以：a 4=28，由{a 1+3d =28a 1+7d =36，得{a 1=22d =2， 即数列数列{a n }的通项公式a n =22+2(n −1)=2n +20．(Ⅱ)由(1)得，S n =22n +n(n−1)2×2=n 2+21n ， 所以：S n +20n =n +20n +21， 令f(n)=n +20n +21，则f(n)在(0,2√5)上单调递减，在(2√5,+∞)上单调递增，所以当n =4或5时，f(n)取到最小值30，即S n +20n 的最小值为30．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用函数的单调性求出最小值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高．…(2分)(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元)，…(3分)第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元)，…(4分)第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元)，…(5分)所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．…(7分)(3)∵x=2.5，y=5,12+22+32+42=30，1×4+2×4+3×6+4×6=54，∴b̂=54−4×2.5×530−4×2.52=0.8，…(9分)∴â=5−2.5×8=3，…(10分)∴ŷ=0.8x+3，…(11分)当x=8时，ŷ=0.8×8+3=9.4(百万元)，∴估计8月份的利润为940万元．…(12分)【解析】(1)结合图象读出结论即可；(2)根据图象累加判断结论即可；(3)分别求出对应的系数â，b̂的值，代入回归方程即可．本题考查了回归方程问题，考查折线图以及计算能力，是一道中档题．19.【答案】(1)证明：∵BC=BD，E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵三棱锥B−ACD的三条侧棱两两垂直，BC∩BD=B，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又AB∩BE=B，∴CD⊥平面ABE，又CD⊂平面ACD，∴平面ABE⊥平面ACD．(2)解：由(1)知CD⊥平面ABE，又FM⊥平面ABE，∴FM//CD，又F是AD的中点，∴M是AE的中点，∵BE=√2，MF=12DE=√22，∴V F−BEG=13×12×√2×BG×√22=12，∴BG =3，∴AB =2BG =6，AE =√AB 2+BE 2=√38，∴ME =12AE =√382， ∴CM =√CE 2+ME 2=√462．【解析】(1)根据CD ⊥BE ，CD ⊥AB 可得CD ⊥平面ABE ，故而平面ABE ⊥平面ACD ；(2)M 为AE 的中点，根据四面体BEFG 的体积计算BG ，利用勾股定理计算CM ．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)易知A 点的坐标为(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，解得p =2，又圆的圆心为F(1,0)，所以圆的方程为(x −1)2+y =4；(2)证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，代入C 的方程得ky 2−4y +4(y 0+k)=0，令△=16−16k(y 0+k)=0.得y 0+k =1k ，所以ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程，得x =1k ，即N 点的坐标为(1k ,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)⋅2k=0 故MF ⊥NF ．【解析】(1)易知A(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，即可解得p 的值，得到圆心坐标为(1,0)，半径为2，从而求出改圆的方程；(2)设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得y 0+k =1k ，所以y =2k ，与抛物线方程联立可求出N 点的坐标，从而得到FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故MF ⊥NF ． 本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题． 21.【答案】(1)证明：f′(x)=e x −1．令f′(x)=e x −1=0.可得x =0，当x <0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)在x =0处取得最小值f(0)=2．∴f(x)≥f(0)=2………………………………………………………………(4分)(2)解：当a =0时，f′(x)=e x >0恒成立，无零点，与题意不符．当a <0时，f′(x)=e x −a >0，f(x)在R 上单调递增．x =1a 时f(1a )=e 1a −a(1a −1)=e 1a −1+a <1−1+a <0． x =1时f(1)=e >0．根据零点存在性定理，f(x)在R 上有唯一零点．当a >0时，f′(x)=e x −a ，令f′(x)=0，x =lna ．x ∈(−∞,lna)，f′(x)<0，f(x)单减，x ∈(lna,+∞)f′(x)>0，f(x)单增，f(x)在x =lna 处取得最小值，f(lna)=a −a(lna −1)=a(2−lna)=0，lna =2，a =e 2，∴当a <0或a =e 2时，f(x)在R 上有唯一的零点…………………………………………(12分)【解析】(1)求得a =1时f(x)的导数，可得f(x)在x =0处取得最小值f(0)=2即可；(2)由题意可得f(x)=0有且只有一个正实数根，当a =0时，f′(x)=e x >0恒成立，无零点，当a >0时，f′(x)=e x −a ，可得f(x)在x =lna 处取得最小值，只需f(lna)=a −a(lna −1)=a(2−lna)=0即可．本题考查导数的运用：求单调性、极值和最值，考查分类讨论思想，化简整理的运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+cosβy =sinβ(β为参数)，可得普通方程为：(x −1)2+y 2=1， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，可得：x 2+y 2=4x ．(2)曲线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(π2<α<π,t 为参数，且t ≠0)，化为y =xtanα． 由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=√3，∴|OA|−|OB|=−2cosα=√3，即cosα=−√32． 又π2<α<π，∴α=5π6．【解析】(1)利用参数方程与极坐标方程化简为普通方程即可．(2)曲线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(π2<α<π,t 为参数，且t ≠0)，化为y =xtanα.由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=√3，即可得出．本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)f(2)=|2+1a |+|2−a|<a +1，∴2+1a +|2−a|<a +1，等价于{a ≥22+1a −2+a <a +1或{0<a <22+1a +2−a <a +1，解得a ≥2或3+√174<a <2，故a 的取值范围为(3+√174,+∞) (2)a >0，f(x)=|x +1a |+|x −a|≥||≥|(x +1a )−(x −a)|=|1a +a|=1a +a∵a >0时，a +1a ≥2√a ⋅1a=2，当且仅当a =1时取等号， ∴∀a ∈(0,+∞)，f(x)≥m 恒成立，∴m ≤2．【解析】(1)原不等式等价于等价于{a ≥22+1a −2+a <a +1或{0<a <22+1a +2−a <a +1，解得即可．(2)由条件利用绝对值三角不等式求得f(x)≥|a|+|1a |，再利用基本不等式证得a +1a ≥2，从而证得结论．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届宁夏六盘山高级中学高三第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏六盘山高级中学高三第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅【答案】C【解析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则AB ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．若复数z 满足()211z i i +=-(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】由复数模的概念可得()12z i +=，进而可得21iz =+，运算后即可得解. 【详解】由题意()22112z i i +=-==，所以()()()2121111i z i i i i -===-++-， 所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，在第四象限.本题考查了复数模的概念、复数的运算与复数的几何意义，考查了运算求解能力，属于基础题.3．若将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)6πC ．(,0)12πD ．(,0)2π【答案】A【解析】先根据平移规则，得到平移后的解析式，根据正弦函数的图像和性质即可得出对称中心. 【详解】将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位长度后，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()62k x k Z ππ=-+∈，当1k =时3x π=，所以平移后图像的一个对称中心可以为(,0)3π.故选：A 【点睛】本题主要考查正弦型函数的平移变换，求正弦函数对称中心，属于基础题.4．若双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线为14y x =±，则其实轴长为（ ）A ．4B ．12C ．8D ．14【答案】C【解析】由已知可得双曲线的渐近线为1y x a=±，建立关于a 的方程，求解即可. 【详解】因为2221(0)x y a a-=>的渐近线方程为14y x =±，所以114a =，4a =， 所以双曲线的实轴长为8.本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5．已知圆C ：222x y r +=（0r >），直线l ：1x =，则“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据圆心到直线距离d ，比较d 与r 的关系即可判断． 【详解】圆C ：222x y r +=（0r >） 圆心坐标为()0,0 则圆心到直线距离为1d =所以当112r <≤时恰有两个不同的点到l 的距离为12当C 上恰有不同的两点到l 的距离为12时，满足1322r <<所以“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的充分不必要条件所以选A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题．6．若球O 的半径为4，且球心O 到平面α，则平面α截球O 所得截面圆的面积为( ) A ．π B ．10πC ．13πD ．52π【答案】C 【解析】 【详解】作出对应的截面图，∵球的半径R =4,由球心距d 3故截面圆半径24313r =-= 故截面圆面积S =πr 2=13π 故选C.7．已知0.52a =，2sin 5πb =，22log sin 5=c π，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B【解析】由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项. 【详解】解：由于()2sin 0,15πb =∈， 可得：22log sin 05c π=<， 又0.512a =>，a b c ∴>>，故选：B. 【点睛】本题考查指对数以及三角函数值比较大小，三角函数式的取值范围的判断，对数式的取值范围的判断及指数式的取值范围的判断，解题的关键是利用中间量法.8．甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】A3m =，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有246n C ==种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种， 乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种， 乙获得“最佳手气”的情况总数3m =，∴乙获得“最佳手气”的概率3162m p n ===． 故选A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．奇函数f x （）的定义域为R ，若1f x +（）为偶函数，且(1)1f ﹣＝﹣，则20182019f f +（）（）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【答案】B【解析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数()f x 是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得()2018,(2019)f f 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，奇函数f x （）的定义域为R ，若1f x +（）为偶函数， 则111f x f x f x （）＝（）＝（）-++--，即2f x f x +-（）＝（），则42f x f x f x +-+（）＝（）＝（）， 即f x （）是周期为4的周期函数，201850442200f f f f ⨯+-（）＝（）＝（）＝（）＝， 20195045111f f f ⨯--（）＝（﹣）＝（）＝，则()()20182019011f f +=-=-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．若()tan 804sin 420α+︒=︒，则()tan 20α+︒的值为( )A．5-B．5CD【答案】D【解析】由()tan 804sin4204sin60α+︒=︒=︒= 得()()()()tan 8060tan 20tan 80601tan 8060tan tan αααα+︒-︒⎡⎤+︒=+︒-︒===⎣⎦++︒︒. 故选D.12．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x ≥-在[1,)+∞上恒成立，则有②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.二、填空题13．已知向量(),1AB m =，()1,4BC =，若11AB BC ⋅>，则m 的取值范围为____. 【答案】()7,+∞【解析】直接进行向量数量积的坐标运算列出不等式求解即可. 【详解】411AB BC m ⋅=+>，解得7m >.故答案为：()7,+∞ 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足1,3,10,x y x y ≥-⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩则22z x y =+的最大值为__________.【答案】13【解析】作出可行域，目标函数22z x y =+可表示为点(,)x y 到原点的距离的平方，数形结合可知OA 为此距离的最大值，求出点A 坐标即可得解. 【详解】作出可行域如图所示：目标函数22z x y =+可表示为点(,)x y 到原点的距离的平方，由图可知OA 为此距离的最大值，10(23)3x y A y -+=⎧⇒⎨=⎩，，则22max 2313z =+=. 故答案为：13 【点睛】本题考查线性规划中求平方和型目标函数的最值，理解目标函数的几何意义是解题的关键，属于基础题.15．如图，在四边形ABCD 中，1557AB BC CD DA ＝，＝，＝，＝，且90DAB BCD ∠∠︒＝＝，则对角线AC 的长为_____.【答案】2【解析】设,AC x B θ=∠＝，在ABC 中和ACD 中，分别应用余弦定理，列出关于x 的方程，即可求解． 【详解】由题意，设,AC x B θ=∠＝，由90DAB BCD ∠∠︒＝＝，则180D θ∠=︒-， 在ABC 中，1,5,AB BC AC x ===，由余弦定理得22221526cos 21510x x θ+--==⨯⨯； 在ACD 中，5,7,CD DA AC x ===，由余弦定理得()22227574cos 18027570x x θ+--︒-==⨯⨯；∵()180cos cos θθ︒-=-，∴2274267010x x x --=-⇒==故答案为【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及四边形的内角和的应用，其中解得中熟练掌握余弦定理，列出方程求解是解本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对． 【答案】③【解析】运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论. 【详解】若甲做对A 、B ，乙做对A 、B ，丙做对A 、B ，则C 题无人做对，所以①错误； 若甲做对A 、B ， 乙做对A 、C ，丙做对B 、C ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法. 故答案是：③. 【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.三、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知345884,36a a a a +=-=. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求20n S n+的最小值. 【答案】(Ⅰ)220n a n =+；(Ⅱ)30（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前n 项和n S ，表示出20n S n+，然后找到其最小值，注意*n N ∈.【详解】(Ⅰ)由34584a a a +=-得428a =， ∴由11328736a d a d +=⎧⎨+=⎩，得1222a d =⎧⎨=⎩， 即数列{}n a 的通项公式为()2212220n a n n =+-⨯=+.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，()21222212n n n S n n n -=+⨯=+，∴ 202021n S n n n+=++， 令()*2021,f x x n N x=++∈， ()2201f x x =-',当((),0x f x ∈'<；当()(),0x f x ∈+∞>' 则()f x在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增，又*n N ∈，()()4530f f ==∴当4n =或5时，，()f n 取到最小值30，即20n S n+的最小值为30. 【点睛】 本题考查等差数列的基本量计算，数列的函数性质，属于基础题.18．已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （1）试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．相关公式：()()()21122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x nx x x ====∑--∑-⋅==∑-∑-，ˆˆa y bx =-．【答案】(1)5月和6月平均利润最高；(2)总利润呈上升趋势；(3)940万元.【解析】试题分析：(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得；(2)分别计算出第1、2、3年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可．试题解析：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．（2）第1年前7个月的总利润为123567428++++++=（百万元），第2年前7个月的总利润为255455531++++++=（百万元），第3年前7个月的总利润为446676841++++++=（百万元），所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．（3）∵ 2.5x =，5y =，2222123430+++=，1424364654⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴2544 2.550.8304 2.5ˆb -⨯⨯==-⨯， ∴5 2.50.8ˆ3a=-⨯=， ∴0.83ˆyx =+， 当8x =时，0.88394ˆ.y =⨯+=（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．19．如图，三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，BC ＝BD ＝2，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE⊥平面ACD ；（2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长． 【答案】(1)见解析.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)先证明CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，可得平面ABE ⊥平面ACD .（2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，所以//MF CD ，结合F 为AD 的中点，得M 为AE 的中点，由四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯== 12，解得3BG =，进而可求得CM =试题解析：(1)证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥， 又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B ⋂=，所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD .（2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，所以//MF CD又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点，因为BE =，122MF DE ==， 所以四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯== 12， 则3BG =在Rt ABE ∆中，26AB BG ==，AE =在Rt CEM ∆中，122ME AE ==，2CM ==. 20．设抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-.（1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.【答案】（1）2p =，圆的方程为：22(1)4x y -+=.（2）答案见解析【解析】（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01y k k +=，化简解得2y k =，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出FM ，FN ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥.【详解】解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以(1)2p p =--，解得2p =. 又圆的圆心为()1,0F ，所以圆的方程为22(1)4x y -+=.（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y h -++=. 令()016160k y k =-+=△，得01y k k +=， 所以()222044440k y ky ky y y A k -+-++==，解得2y k=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以()02,FM y =-，2121,FN kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 022********FM FN y k k k k k k⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭. 故MF FN ⊥.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.21．已知函数1x f x e a x （）＝﹣（﹣）．（1）证明：当1a ＝时，2f x （）≥恒成立； （2）若函数f x （）在R 上只有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析（2）0a <或2a e =【解析】（1）对函数()f x 求导，得到函数()f x 的最小值为2，即可证明.（2对a 分类讨论，易得a=0时无零点，a<0和a>0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论．【详解】（1）f ′（x ）=1x e -，令f ′（x ）=0，得到x=0,当x<0时，f ′（x ）<0，()f x 单调递减，当x>0时，f ′（x ）>0，()f x 单调递增, ∴()f x 在x=0处取得最小值.()0012f e =+=,∴()()02f x f ≥=.（2）当a=0时，()xf x e =>0恒成立，无零点，与题意不符； 当a<0时，f ′（x ）=0x e a ->,()f x 在R 上单调递增, 又x=1a 时,111 1a f e a a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1a e -1+a<1-1+a<0,x=1时，()1f =e>0， 根据零点存在性定理，()f x 在R 上有唯一零点，当a>0时，f ′（x ）=x e a -令f ′（x ）=0，x=lna, ()x ,lna 0f x，∞'∈-<，f(x)单减， ()x lna 0f x ∞∈'+>，，，f(x)单增，()f x 在x=lna 处取得最小值，f （lna ）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，Lna=2，所以a=2e∴当a<0或a=2e 时，()f x 在R 上有唯一的零点.【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值，考查了函数的零点的判断，注意运用分类讨论思想，考查逻辑思维能力，具有一定的难度．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x cos y sin ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）将1C 的方程化为普通方程，将2C 的方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩（2παπ<<，t 为参数，且0t ≠），l 与1C交于点A ，l 与2C 交于点B ，且AB ，求α的值.【答案】（1）22(2)4x y -+=； （2）56π. 【解析】（1）利用参数方程消参，化为普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系将极坐标方程化为平面直角坐标方程即可；（2）曲线l 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩（2παπ<<，t 为参数，且0t ≠），将其分别代入两个曲线方程中，分别求得2cos A t α=和4cos B t α=，结合直线的参数方程中参数的几何意义，得到2cos A B AB t t α=-==，结合题意，求得结果.【详解】（1）曲线1C 消去参数β得()2211x y -+=，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，即24cos ρρθ=化为直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程()2211x y -+=得22cos 0t t α-=， ∵0t ≠，∴2cos A t α=.同理，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得24cos 0t t α-=，4cos B t α∴=.2cos A B AB t t α∴=-== ∵2παπ<<，∴cos 2α=-，∴56πα=. 综上所述：56πα=. 【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，利用直线的参数方程中参数的几何意义来解决有关线段长度的问题，属于中档题目.23．已知函数1()||||f x x x a a=++-，其中0a >． （1）若(2)1f a <+，求正实数a 的取值范围；（2）若对任意的(0,)a ∈+∞，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）)+∞（2）(,2]-∞． 【解析】（1）把(2)f 代入，利用零点分段讨论去掉绝对值可求；（2）()f x m ≥恒成立，转化为()f x 的最小值min ()f x m ≥，求出最小值可得.【详解】（1）由题可得1(2)|2||2|f a a =++-，所以1221||a a a++<-+， 即21221a a a a ≥⎧⎪⎨+-+<+⎪⎩或21221a a a a<⎧⎪⎨++-<+⎪⎩， 解得2a ≥或324a +<<，故正实数a的取值范围为3()4++∞． （2）由题可得111()||||||f x x x a x x a a a a a =++-≥+-+=+， 因为0a >，所以12a a +≥=，当且仅当1a =时取等号， 因为对任意的(0,)a ∈+∞，()f x m ≥恒成立，所以2m ≤，故实数m 的取值范围为(,2]-∞．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和恒成立问题，零点分段讨论法是解不等式的常用方法，恒成立问题一般是利用绝对值的三角不等式来求解.。
2023届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2023届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{4A xx =<-∣或1}x >，{}2,1,1,2B =--，则()A B =R （ ） A ．{}1,1- B ．{}2,1-- C ．{}2,1,1-- D ．{}2,1,1,2--【答案】C 【分析】计算{}41A x x =-≤≤R∣，再计算交集得到答案.【详解】{4A xx =<-∣或1}x >，{}41A x x =-≤≤R∣，(){}R 2,1,1A B ⋂=--．故选：C2．设()()2i i 3i ,a b a b +=+∈R ，则（ ） A ．3a =，2b = B ．3a =-，2b = C ．3a =，2b =- D ．3a =-，2b =-【答案】C【分析】结合复数乘法以及复数相等的知识求得正确答案. 【详解】依题意()()2i i 3i ,a b a b +=+∈R ， 即2i 3i a b -+=+，所以23ba -=⎧⎨=⎩，即3,2ab ==-.故选：C3．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】D【分析】根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.【详解】在平行四边形ABCD 中，依题意，OC OA a =-=-，而OB b =， 所以BC OC OB a b =-=--. 故选：D4．已知函数()2234f x x x +=-+，则()1f =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【详解】由21x +=得=1x -，依题意，()2234f x x x +=-+，令=1x -得()()()2113141348f =--⨯-+=++=. 故选：D5．在ABC 中，若π3A =，cos B =2b =，则=a （ ） ABC ．3 D【答案】D【分析】运用同角平方关系可求sin B ，然后利用正弦定理，计算即可得到a ． 【详解】解：3A π=，cos B =2b =，sin B ∴==由正弦定理可得，sin sin a bA B=，∴2sin sin b Aa B===．故选：D ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：222440x y x y +-+-=，圆2C ：222220x y x y ++--=，则两圆的公切线的条数是 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,分析两个圆的位置关系,即可得答案.【详解】圆221:2440C x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-,半径为3,圆222:2220C x y x y ++--=的圆心坐标为(1,1)-,半径为2,则圆心距为:22(11)(12)13(32,32)--++=∈-+, 故两圆相交,两圆的公切线的条数是2条, 故选B.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题. 两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7．“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若sin cos 1αα+=，则2(sin cos )12sin cos 1sin 21ααααα+=+=+=，即sin 20α=. 若sin 20α=，则222sin cos sin 2(sin cos )1ααααα++=+=，则sin cos 1αα=±+. 故“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的充分不必要条件. 故选：A8．函数()()cos (0,)2f x x ϕπωϕω=+><的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．37,44k ππk ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈B ．5,44k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈C ．52,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】D【解析】根据周期求得ω，根据,04π⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，利用整体代入法求得单调区间.【详解】依题意52,2,1244T T Tπππππω=-====， 所以()()cos f x x ϕ=+，由于()f x 图象过,04π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于2πϕ<，所以,424πππϕϕ+==，所以()cos 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2224k x k πππππ+<+<+得372244k x k ππππ+<<+， 所以()f x 的单调递增区间为372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据图象求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法.9．若抛物线22(0)y px p =>上的点0(A x 到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的2倍，则p 等于（ ）A ．B ．3C ．4D ．6【答案】A【分析】利用抛物线的定义进行求解.【详解】由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离是02p x +， 由题意可得0022p x x +=，解得02px =，代入抛物线的方程可得282pp ⋅=，即p =故选：A.10．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，1AA AB =，D ，E ，F 分别是棱1AA ，1BB ，BC 的中点，则异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是（ ）A 5B 5C 5D 15【答案】C【分析】在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ，即可得到1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角，求出HF ，DH ，DF ，再利用余弦定理计算可得.【详解】解：如图，在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ， 由于,G E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C G BE C G =，故四边形1BGC E 为平行四边形，进而1//C E BG ,又因为,F H 是,BC CM 的中点，所以//HF BG ，所以1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角.设4AB =，则2,1,2CF CH AD ===，从而225HF CF CH +()2217DH AC AD CH =+-=2223AF AB BF -224DF AF AD =+=故5cos 245DFH ∠⨯⨯故异面直线DF 与1C E 5故选：C11．甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（ ） A ．红、黄、蓝 B ．黄、红、蓝 C ．蓝、红、黄 D ．蓝、黄、红【答案】B【分析】通过分析，利用排除法思考即可.【详解】丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的个头高或乙比丙的个头大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的个头大，即戴蓝帽的是丙； 综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝 故选：B【点睛】方法点睛：本题考查推理论证能力、应用意识及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，逻辑推理题通常借助表格或图进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断即可.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e xf x x =，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()2e ln3ef f f -<< B ．()()()2ln3e e f f f <<- C ．()()()2e e ln3f f f <-<D ．()()()2ln3e e f f f <-<【答案】B【分析】由()f x 的周期性及奇偶性得22(e )(e 6)f f =-，(e)(e)f f -=，根据()f x 在[]0,3上的单调性比较大小.【详解】[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则()(1)0x f x x e '=+>，所以()f x 在[]0,3上单调递增，因为(6)()f x f x +=，所以22(e )(e 6)f f =-， 因为()f x 是偶函数，所以(e)(e)f f -=，又因为21ln 3e 6e 3<<-<<，所以2(ln 3)(e 6)(e)f f f <-<， 即2(ln 3)(e )(e)f f f <<-. 故选：B.二、填空题13．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.6．现采用随机模拟的方法计算该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 5727 0623 7140 9857 6347 4379 8636 6013 1417 4698 0371 6843 2676 8012 6011 3661 9597 7424 6710 4203 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______． 【答案】0.5##12【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727， 9857， 6347， 4379， 8636， 4698， 6843， 2676， 9597， 7424 共10组随机数， 所以所求概率为100.520=． 故答案为：0.514．若,x y 满足约束条件2120x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】5【分析】画出可行域与目标函数，利用几何意义求出最大值. 【详解】画出可行域（阴影部分）与目标函数，如下：当目标函数经过点A 时，取得最大值，联立220x x y =⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，则max 2215z =⨯+=. 故答案为：515．若双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的一条渐近线与直线420x y -+=垂直，则C 的离心率为_______．17【分析】易得双曲线渐近线为by x a=±，再利用两直线垂直斜率之积为-1求出b ，结合离心率公式即可求解.【详解】双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的渐近线方程为4b y x =±，直线420x y -+=斜率为14，由一条渐近线与直线垂直得1144b -⋅=-，解得16b =，所以离心率为222161617a b e ++==1716．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4,22PB AD ==当AB PD ⋅最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________. 【答案】24π【分析】由题意可得2224AB PD +=，结合均值不等式可得23AB PD ==，从而可得外接球的直径，即可求得四棱锥外接球的表面积.【详解】设外接球的半径为R ，由题可知222168PA AB PD =-=-，所以2224AB PD +=.因为222AB PD AB PD +⋅，所以12AB PD ⋅，当且仅当23AB PD ==时，等号成立，此时()222222(2)24R AB AP AD AB PD =++=+=，所以2424S R ππ==.故答案为：24π三、解答题17．已知{}n a 是以1为首项的等差数列，{}n b 是以2为首项的正项等比数列，且满足621032a b a b -=-=.(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1),2n n na b n ==(2)1n n S n =+【分析】（1）根据已知条件求得{}n a 的公差，{}n b 的公比，从而求得求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）利用裂项求和法求得n S .【详解】（1）依题意，{}n a 是以1为首项的等差数列，{}n b 是以2为首项的正项等比数列， 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q （0q >），6210322a b a b -=⎧⎨-=⎩，215221922d q d q +-=⎧⎨+-=⎩， 解得2q（负根舍去），1d =.所以,2n n n a b n ==（2）()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 18．网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A 地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h ）按[1,6),[6,11),[11,16),[16,21),[21,26]分组，得到频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性． 支持上网课 不支持上网课 家长 30 70 学生 5050附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)0.03，13.5h ；(2)有【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为1求解，再利用平均数的定义求解； （2）根据列联表求得2K 的值，再与临界值表对照下结论.【详解】（1）解：因为()0.0220.050.0751a +++⨯=，所以0.03a =， 平均数为()7172737470.0250.0550.0750.0350.03513.5h 22222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （2）因为22200(30505070)87.87980120100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.【答案】(1)证明见解析25【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质进行推理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.【详解】（1）证明：FA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD FA BD ∴⊥，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又FA AC A =，FA ⊂平面,FAC AC ⊂平面FAC ，BD ∴⊥平面FACBD FC ∴⊥（2）1112322sin1202332ABD F ABD V S FA -⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭三棱锥 FA ⊥平面ABCD ，,FA AB FA AD ∴⊥⊥22FB FD ∴==由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=， 可得23BD =15FBD S ∴设点A 到平面FBD 的距离为h ， 则111533FBD A FBD V S h h -==三棱锥， 由A FBD F ABD V V --=三棱维三棱倠123153h ， 解得25h =∴点A 到平面FBD 25.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1D 3(1)求椭圆的方程：(2)过椭圆右焦点且斜率为()0k k ≠的直线m 与椭圆相交于两点,A B ，y 轴交于点E ，线段AB 的中点为P ，直线l 过点E 且垂直于OP （其中O 为原点），证明直线l 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）由题可得1b =，然后利用离心率即可求解；（2）设直线m 方程为(3y k x =，联立椭圆方程利用韦达定理，可得(24333P P P k k x y k x ===l 的方程为43y kx k =，即可得证.【详解】（1）依题意，c a = 2234a c ∴= 又222221,,3,4b a b c c a ==+∴=∴=∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）由（1）知右焦点坐标为)，设直线m方程为(()11,,y k x A x y =，()22,B x y由(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得，()2222141240k x x k +-+-=，12x x ∴+=(P P P x y k x ∴===∴直线OP 的斜率14pOP p y k x k==-， ∴直线l 的斜率4l k k =，令0x =得点E坐标为()0,，∴直线l的方程为4y kx =，即(4y k x =， ∴直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 21．已知函数()2ln ln x f x ae x a -=-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为312y x =-，求a 的值； (2)若a e ≥，证明：()2f x ≥.【答案】(1)2a =(2)证明见解析【分析】（1）由()32,2f '=可得a 的值，再验证切点坐标也满足条件； （2）由a e ≥，20x e ->知要证()2ln ln 2x f x ae x a -=-+≥也即证1ln 10x e x ---≥，设()1ln 1x g x e x -=--，求出导数分析其单调性，得出其最值可证明.【详解】（1）()21x f x ae x -'=- ，则()221132,222f ae a -'=-=-=解得2a =又()322122f =⨯-=，()222ln 2ln 2f ae a -=-+=，可得2a = 综上2a = （2）由a e ≥，20x e ->知要证()2ln ln 2x f x ae x a -=-+≥即证21ln ln ln 12x x e e x e e x --⋅-+=-+≥也即证1ln 10x e x ---≥设()1ln 1x g x e x -=--，则()11x g x e x-'=-， 再令()11x h x e x -=-，()1210x h x e x-'=+>， 所以()11x g x e x -'=-在()0,∞+上单调递增，又()10g '= 则当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以()()10g x g ≥=所以1ln 10x e x ---≥成立，即()2f x ≥成立.22．已知曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为6πθ=. (1)求曲线1C 的普通方程；(2)若曲线1C 和曲线2C 与直线l 分别交于非坐标原点的A ，B 两点，求||AB 的值.【答案】(1)22(1)1y x +-=(2)3【分析】（1）利用同角三角关系22sin cos 1θθ+=即可转化，（2）根据极径的几何意义求解.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 普通方程为22(1)1y x +-=.（2）由（1）的曲线1C 的一般方程为：2220x y y +-=，化为极坐标方程：2sin ρθ= 将6πθ=代入1C 的极坐标方程得11ρ=， 将6πθ=代入2C 的极坐标方程得：24ρ=， ∴21||3AB ρρ=-=.23．已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≤的解集；(2)当x ∈R 时，若()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)⎣⎦【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数解析式写为分段函数，分类讨论即可；（2）先求出()f x 的最小值，然后建立不等式求解即可.【详解】（1）由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，214x -+≤，解得32x ≥-，此时312x -≤<-； 当12x -≤<时，34≤恒成立，此时12x -≤<；当2x ≥时，214x -≤，解得52x ≤，此时522x <≤.综上：()4f x ≤的解集为35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （2）∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤，即230m m --≤m ≤∴m的取值范围是⎣⎦。
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(文科)(一)(附答案详解)
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（文科）（一） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z 满足(1+2i)z =3−4i ，则z 的实部为( )A. 1B. −1C. 2D. −22. 已知集合A ={x|x +1>0}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {1}B. {−1}C. {0,1}D. {−1,0}3. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A. 15B. 25C. 825D. 9254. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=k|b ⃗ |，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，若a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为2π3，则实数k 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 125. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. (1,√52) B. (√52,+∞) C. (1,54)D. (54,+∞)7. 在四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1，CD =3，cos∠B =√33，则边AC 的长( )A. √3B. 4C. 2√2D. 2√38. 如图，给出的是计算1+14+17+⋯+1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A. i >100，n =n +1B. i <34，n =n +3C. i >34，n =n +3D. i ≥34，n =n +39. 四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA =AB =2，则直线PB 与平面PAC 所成角为( )A. π6B. π4C. π3D. π210. 定义行列式运算∣∣∣a 1a 2b 1b 2∣∣∣=a 1b 2−a 2b 1，已知函数f(x)=∣∣∣sinωx −1cosω√3∣∣∣(ω>0)，满足：f(x 1)=0，f(x 2)=−2，且|x 1−x 2|的最小值为π2，则ω的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，若C 是x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)椭圆上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC =OF ，AB//OC 则该椭圆的离心率为( )A. √63B. √66C. 13D. √3312. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−1f(x)，且在(0,1)上f(x)=3x ，则f(log 354)=( )A. 32B. 23C. −32D. −23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(2x +1)lnx 在点(1,0)处的切线方程为______．14. 设实数x ，y 满足约束条件{3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0y ≥0，则z =3x +4y 的最大值为______．)=7，则tan2α=______．15.已知tan(α+π416.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a8=82，S41=S9．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最大值．18.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：(1)请填写表(先写出计算过程再填表)：(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2]参考公式：s2=1n19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A1为正方形．(Ⅰ)求证：A1C//平面AB1D；(Ⅱ)若∠BAC=60°，BC=4，求点A1到平面AB1D的距离．20.已知抛物线C1：x2=2py(p>0)和圆C2：(x+1)2+y2=2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2相切．(1)求p的值；(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．21. 已知函数f(x)=lnx +1ax (a ∈R)在x =1处的切线与直线x −2y +1=0平行．(Ⅰ)求实数a 的值，并判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)=m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1+x 2>1．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =1+tsinα(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(2cos 2θ+cos2θ)=3． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为(2,1)，求直线l 的方程．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≤x+1；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a+b=c，求证：a2+a+1b2≥1．b+1答案和解析1.【答案】B【解析】解：由(1+2i)z=3−4i，得z=3−4i1+2i =(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5−10i5=−1−2i，∴z的实部为−1．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集的运算．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x>−1}；∴A∩B={0,1}．故选：C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，由此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，设另外三位学生分别为A ，B ，C ，基本事件有(甲、乙)，(甲、A)、(甲、B)、(甲、C)、(乙、A)、(乙、B)、(乙、C)、(A,B)，(A,C)、(B,C)共10种，甲被选中包含的基本事件的个数有4个， ∴甲被选中的概率P =410=25． 故选B ．4.【答案】A【解析】解：∵|a ⃗ |=k|b ⃗ |，<a⃗ ,b ⃗ >=2π3，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，∴b ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=|a ⃗ ||b ⃗ |cos 2π3+2b ⃗ 2=−k2b ⃗ 2+2b ⃗ 2=0，且b ⃗ 2≠0， ∴−k2+2=0，解得k =4．故选：A ．根据b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )即可得出b ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=0，然后根据|a ⃗ |=k|b ⃗ |,<a ⃗ ,b ⃗ >=2π3进行数量积的运算即可得出−k2b ⃗ 2+2b ⃗ 2=0，再由b ⃗ 2≠0即可求出k ． 本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出． 【解答】解：∵函数f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)， f(−x)=−x(e x −e −x )4x 2−1=x(e −x −e x )4x 2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称，故排除A ；在区间(0,12)上，e x−e−x<0,x>0,4x2−1<0,故f(x)>0，故排除C；当x趋向于正无穷大，e−x−e x趋向于负无穷大，故f(x)趋向于负无穷大，故排除D；综上所述，只有B符合．故选B．6.【答案】B【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为：y=bax，∵点(2,1)在“右”区域内，∴ba ×2>1，即ba>12，∴e=ca =√1+(ba)2>√52，又e>1，则双曲线离心率e的取值范围是(√52,+∞)．故选：B．由于双曲线的一条渐近线方程为：y=ba x，及点(2,1)在“右”区域内，得出ba>12，从而得出双曲线离心率e的取值范围．本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式(组)与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．7.【答案】D【解析】解：如图所示：，∵∠D=2∠B，cos∠B=√33，∴cosD=cos2B=2cos2B−1=2×13−1=−13，在△ACD中，AD=1，CD=3，由余弦定理得：cosD=AD2+CD2−AC22AD×CD，∴1+9−AC22×1×3=−13，解得：AC=2√3，故选：D．先利用二倍角公式求出cosD=−13，再在△ACD中，利用余弦定理即可求出AC的长．本题主要考查了二倍角公式，以及余弦定理，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵算法的功能是计算S=1+14+17+⋯+1100的值，由题意及等差数列的性质，可得，100=1+(i−1)×3，解得i=34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框的条件为i>34，根据n值的规律得：执行框②应为n=n+3，故选：C．根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值及n值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，因此BD⊥平面PAC；故B O⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2√2，BO=√2．所以sin∠BPO=BOPB =12，所以∠BPO=π6．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB与平面PAC 所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：函数f(x)=∣∣∣sinωx−1cosω√3∣∣∣=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)(ω>0)， 满足f(x 1)=0，f(x 2)=−2，且|x 1−x 2|的最小值为π2， ∴T4=π2，解得T =2π， ∴ω=2πT=1．故选：A ．化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求得T 和ω的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题可知，点A(−a,0)，B(0,b)，∴k AB =ba ， ∵AB//OC ，∴直线OC 的方程为y =ba x ， 联立{y =bax x 2a 2+y 2b 2=1，解得x 2=a 22,y 2=b 22，∴|OC|=√x 2+y 2=√a 2+b 22，∵OC =OF =c ，∴√a2+b 22=c ，由于b 2=a 2−c 2，∴离心率e =c a=√2√3=√63． 故选：A ．根据AB//OC ，可知直线OC 的斜率以及方程，联立该方程与椭圆的方程，可解得点C 的坐标，利用两点间距离公式可得到线段|OC|的长，并与|OF|=c 建立等量关系，再结合b 2=a 2−c 2和e =ca 即可得解．本题考查椭圆的离心率、顶点等几何性质，还涉及曲线方程与直线方程联立后求交点坐标，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，指数函数、对数函数的运算与性质，函数的周期性及奇函数性质的综合应用，利用条件求出函数的周期以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键．由已知条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出f(log354)的值．【解答】=f(x)，解：由f(x+2)=−1f(x)得，f(x+4)=−1f(x+2)所以函数f(x)的周期是4，因为f(x)是定义在R上的奇函数，且3<log354<4，则0<4−log354<1，且在(0,1)上，f(x)=3x，所以f(log354)=f(log354−4)=−f(4−log354)．故选C．13.【答案】3x−y−3=0【解析】解：由y=(2x+1)lnx，得：+2，y′=2lnx+1x∴f′(1)=3，即曲线y=(2x+1)lnx在点(1,0)处的切线的斜率为3，则曲线y=(2x+1)lnx在点(1,0)处的切线方程为y−0=3×(x−1)，整理得：3x−y−3=0．故答案为：3x−y−3=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14.【答案】18【解析】解：作出约束条件{3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0y ≥0，所示的平面区域，如图：作直线3x +4y =0，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由{3x +2y =12x +2y =8， 可得A(2,3)，此时z =18． 故答案为：18．先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z =3x +4y 的最大值． 本题主要考查了线性规划中的最值问题，属于基础题．15.【答案】247【解析】解：∵tan(α+π4)=7，可得tanα+11−tanα=7， ∴解得tanα=34， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−(34)2=247．故答案为：247．由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】36π【解析】解：设圆柱的底面半径为r.因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ． 因为该圆柱的体积为54π，πr 2ℎ=2πr 3=54π，解得r =3， 所以，该圆柱的侧面积为2πr ×2r =36π． 故答案为：36π．通过圆柱的体积与求出圆柱的底面半径，转化求解圆柱的侧面积即可． 本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17.【答案】解：(1)a 2+a 8=82=2a 5，∴a 5=41由S 41=S 9得41a 21=9a 5⇒a 2=9，得：d =a 21−a 521−5，解得d =−2(4分)故a n =a 5+(n −5)d =41+2(n −5)=51−2n ， 由(1)，得S n =−n 2+50n =−(n −25)2+625.(10分) 由二次函数的性质，当n =25时S n 有最大值625.(12分)【解析】(1)根据公式S 2n−1=(2n −1)a n ，列方程求解即可． (2)由S n 的表达式，根据二次函数的性质处理．本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，属基础题．18.【答案】7 5.4 3【解析】解：(I)由列联表中数据，计算由题图，知：甲射击10次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7． 将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9． 乙射击10次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10． 将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10． (1)x −乙=110×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=7(环)，s 乙2=110×[(2−7)2+(4−7)2+(6−7)2+(7−7)2×2+(8−7)2×2+(9−7)2×2+(10−7)2]=110×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4． 填表如下：平均数 方差 命中9环及9环以上的次数甲 7 1.2 1 乙75.43(2)①∵平均数相同，s 甲<s 乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些． ③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．(I)由拆线图，求出x −乙和S 乙2，完成列联表．(2)①平均数相同，s 甲<s 乙，从而甲成绩比乙稳定．②平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，乙成绩比甲好些．③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．本题考查列联表的求法，考查平均数、方差的求法，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：如图，连接BA 1，交AB 1于点E ，再连接DE ，由已知得，四边形ABB 1A 1为正方形，E 为AB 1的中点， ∵D 是BC 的中点，∴DE//A 1C ，又DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， ∴A 1C//平面AB 1D .(Ⅱ)解：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，且BC 为它们的交线， 又AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面CBB 1C 1，又∵B 1D ⊂平面CBB 1C 1， ∴AD ⊥B 1D ，且AD =2√3,B 1D =2√5．同理可得，过D 作DG ⊥AB ，则DG ⊥面ABB 1A 1，且DG =√3． 设A 1到平面AB 1D 的距离为ℎ，由等体积法可得：V A 1−AB 1D =V D−AA 1B 1， 即13×12AD ⋅DB 1⋅ℎ=13×12AA 1⋅A 1B 1⋅DG ， 2√3×2√5⋅ℎ=4×4×√3，ℎ=4√55． 即点A 1到平面AB 1D 的距离为4√55．【解析】(Ⅰ)连接BA 1，交AB 1于点E ，再连接DE ，由证明DE//A 1C ，然后证明A 1C//平面AB 1D .(Ⅱ)设A 1到平面AB 1D 的距离为ℎ，由等体积法可得：V A 1−AB 1D =V D−AA 1B 1，转化求解点A 1到平面AB 1D 的距离．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：(1)依题意设直线l 1的方程为y =x +p2，由已知得：圆C 2：(x +1)2+y 2=2的圆心C 2(−1,0)，半径r =√2， 因为直线l 1与圆C 2相切，所以圆心到直线l 1：y =x +p 2的距离d =|−1+p 2|√12+(−1)2=√2，即|−1+p2|√2=√2，解得p =6或p =−2(舍去)．所以p =6；(2)解法一：依题意设M(m,−3)，由(1)知抛物线C 1方程为x 2=12y ，所以y =x212，所以y′=x6，设A(x 1,y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1．令x =0，y =−16x 12+y 1=−16×12y 1+y 1=−y 1，即l 2交y 轴于B 点坐标为(0,−y 1)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1+3)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,−y 1+3)， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2m,6)， ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,3)． 设N 点坐标为(x,y)，则y =3， 所以点N 在定直线y =3上．解法二：设M(m,−3)，由(1)知抛物线C 1方程为x 2=12y ，① 设A(x 1,y 1)，以A 为切点的切线l 2的方程为y =k(x −x 1)+y 1②，联立①②得：x 2=12[k(x −x 1)+112x 12]， 因为△=144k 2−48kx 1+4x 12=0，所以k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1． 令x =0，得切线l 2交y 轴的B 点坐标为(0,−y 1)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1+3)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,−y 1+3)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2m,6)， ∴ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,3)， 设N 点坐标为(x,y)，则y =3， 所以点N 在定直线y =3上．【解析】本题主要考查了抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于中等题． (1)设出直线l 1的方程为y =x +p2，由直线和圆相切的条件：d =r ，解得p ； (2)方法一、设出M(m,−3)，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；方法二、设出l 2的方程，联立抛物线方程，运用判别式为0，可得切线斜率和方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域：(0,+∞)，因为f ′(x)=1x −1ax 2所以f′(1)=1−1a =12,解得a =2， ∴f(x)=lnx +12x ，∴f′(x)=1x −12x 2=2x−12x 2令f ′(x)<0，解得0<x <12，故上单调递减， 令f ′(x)>0，解得x >12，故上单调递增．(Ⅱ)由x 1，x 2为函数f(x)=m 的两个零点， 得lnx 1+12x 1=m,lnx 2+12x 2=m ，两式相减，可得lnx 1−lnx 2+12x 1−12x 2=0，即ln x1x 2=x 1−x 22x 1x 2，x 1x 2=x 1−x 22lnx 1x 2，因此x 1=x 1x 2−12ln x 1x 2，x 2=1−x 2x 12ln x 1x 2，令，则x 1+x 2=t−12lnt+1−1t2lnt =t−1t2lnt ， 构造函数ℎ(t)=t −1t −2lnt(0<t <1)，则ℎ′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2>0，所以函数ℎ(t)在(0,1)上单调递增，故ℎ(t)<ℎ(1)=0，即t−1t −2lnt<0，又0<t<1,所以lnt<0，所以t−1t2lnt>1，故x1+x2>1.命题得证．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．(Ⅰ)求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出x1=x1x2−12ln x1x2，x2=1−x2x12ln x1x2，令t=x1x2，则x1+x2=t−12lnt+1−1t2lnt=t−1t2lnt，构造函数ℎ(t)=t−1t−2lnt(0<t<1)，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：(Ⅰ)∵曲线C的极坐标方程为ρ2(2cos2θ+cos2θ)=3，即ρ2(4cos2θ−1)=3，即4ρ2cos2θ−ρ2=3，∴曲线C的直角坐标方程为4x2−x2−y2=3，即x2−y23=1．(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵直线l与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点M的直角坐标为(2,1)，∴x1+x2=4，y1+y2=2，把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入曲线C，得：{3x12−y12=33x22−y22=3，整理，得：3(x1+x2)(x1−x2)−y1+y2)(y1−y2)=0，∴直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=6，∴直线l的方程为y−1=6(x−2)，即6x−y−11=0．【解析】(Ⅰ)曲线C的极坐标方程转化为4ρ2cos2θ−ρ2=3，由此能求出曲线C的直角坐标方程．(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线l与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点M的直角坐标为(2,1)，得到x1+x2=4，y1+y2=2，由此利用点差法能求出直线l的方程．本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1．①当x<1时，不等式可化为4−2x≤x+1，解得x≥1，又∵x<1，∴x∈⌀；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，解得x≥1，又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3．③当x>3时，不等式可化为2x−4≤x+1，解得x≤5，又∵x>3，∴3<x≤5．综上所得，1≤x≤5，∴原不等式的解集为[1,5]．(Ⅱ)证明：由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，∴c=2，即a+b=2．令a+1=m，b+1=n，则m>1，n>1，a=m−1，b=n−1，m+n=4，a2 a+1+b2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m+n+1m+1n−4=4mn ≥4(m+n2)2=1，当且仅当m=n即a=b时取等号，原不等式得证．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的运用，考查转化思想，是中档题．(Ⅰ)f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1.通过①当x<1时，②当1≤x≤3时，③当x>3时，去掉绝对值符号，求解即可．(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，推出a+b=2.令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．。
宁夏银川市金凤区六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试卷Word版含解析
宁夏银川市金凤区六盘山高级中学2020届上学期期末考试高三数学（文）试卷一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在中，角的对边分别为，且，，，则（）A. B. C. 或 D. 或4.已知向量，，，若，则（）A. 2B.C.D.5.己知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.6.设等比数列前项和为，若,，则（）A. 8B. 16C. 32D. 797.函数f(x)=的大致图像为（）A. B. C. D.遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的时，则一开始输入的值为（）A. B. C. D.9.在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.10.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，则函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.11.已知是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：共4小题，每小题5分.13.若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．14.求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积______.15.为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为__.16.三棱锥中，面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列为等差数列，其中，．（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得成立．18.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且（1）求角A的值；（2）若三角形面积为，且，求三角形ABC的周长.19.如图，在直三棱锥中，，，，分别是，的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.21.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.在平面直角坐标系，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线分别交，于，两点，求的最大值.23.已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.宁夏银川市金凤区六盘山高级中学2020届上学期期末考试高三数学（文）试卷参考答案一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念，两个集合的交集表示的是两者公共的元素，即表示内大于的整数，由此求得两个集合的交集，并得出正确选项.【详解】表示两个集合的交集，即表示内大于的整数，故，故选C.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念以及交集的求解，考查区间的定义以及整数集符号的识别，属于基础题.2.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.在中，角的对边分别为，且，，，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，求得的值，由此求得的大小，从而得出正确选项.【详解】由正弦定理得，即，解得，故或，所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4.已知向量，，，若，则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由，，得，若，则，所以.故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.己知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求得渐近线的斜率，在利用离心率公式求得双曲线的离心率.【详解】由于渐近线和直线平行，故渐近线的斜率，所以双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查两条直线平行的条件，考查化归与转化的数学思想方法以及运算求解能力，属于基础题.两条直线平行，那么它们的斜率相等，截距不相等.双曲线的离心率公式除了以外，还可以转化为来求解出来.6.设等比数列前项和为，若,，则（）A. 8B. 16C. 32D. 79【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，通过这个数列的前项求得公比，进而求得即的值.【详解】由于数列是等比数列，故有成等比数列，而，故这个数列的公比为，首项为，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.若一个数列是等比数列，则也成等比数列.同样，如果一个数列是等差数列，则也成等差数列.要熟练记忆一些有关等差数列和等比数列的性质，对于解题有很大的帮助.7.函数f(x)=的大致图像为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要利用排除法，当时，可得，故可排除C，D，当时，可排除选项B，故可得答案.【详解】当时，，，∴，故可排除C，D选项；当时，，，∴，故可排除B选项，故选A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着C开游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的时，则一开始输入的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将输入的代入程序，运算程序，直到退出循环结构，利用最后的值等于列方程，由此求得输出的的值.【详解】输入，.，，判断否，，，判断否，，，判断否，，判断是，输出，即.故选C.【点睛】本小题主要考查程序框图的知识，考查已知输出的结果，求输入的值，属于基础题.9.在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP；因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．考点：异面直线及其所成的角．10.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，则函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用降次公式化简，平移后得到的表达式，再由此求的单调减区间.【详解】依题意，向左平移各单位长度后得到.由，解得，故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调区间的求解方法.三角函数的降次公式有两个，一个是.另一个是，只有一个正负号的差别，所以很容易记错，要注意区分和记忆.还要注意到和的单调性是相反的.11.已知是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F1，确定PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a﹣b，即可求得椭圆的离心率．【详解】设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵∴圆心坐标为，半径为r=∴|F1F|=3|FC|∵∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a﹣b）2=4c2∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）∴∴∴故选：A．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).12.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点2，故.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由，得，所以，记，则，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以.而，，所以，所以的取值范围为.故选B.点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：共4小题，每小题5分.13.若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】-11【解析】【分析】画出可行域如图,平移动直线根据纵截距的变化情况得到最小值.【详解】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最小值，．故答案为：-11【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积______.【答案】【解析】【分析】先求得函数的导数，然后求得切线的斜率，由点斜式求得切线方程，然后求得横截距以及纵截距，由此计算出三角形的面积.【详解】依题意，故，由点斜式得，与两个坐标轴交点的坐标为，故三角形的面积为.【点睛】本小题主要考查切线方程的求解，考查两个函数相乘的导数，考查直线的点斜式方程以及三角形的面积公式，属于基础题.15.为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为__.【答案】【解析】【分析】利用焦半径公式可以计算的横坐标，再由抛物线方程得到的纵坐标后可求面积.【详解】设，则，故，所以.又，所以，填【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点到焦点的距离为.16.三棱锥中，面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是______. 【答案】【解析】【分析】作的外接圆，过点作圆的直径，连结则为三棱锥的外接球的直径，由此能求出三棱锥的外接球表面积．【详解】作的外接圆，过点作圆的直径，连结，则为三棱锥的外接球的直径，∵三棱锥平面，且，∵平面，∴三棱锥的外接球表面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列为等差数列，其中，．（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得成立．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可列方程组，即可求解（2）根据，可裂项相消求和，解不等式即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意可得，解得，，从而数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以，所以．令，解得，故使得成立的最小的正整数的值为．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，裂项相消法，属于中档题.18.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且（1）求角A的值；（2）若三角形面积为，且，求三角形ABC的周长.【答案】（1）（2）【解析】解:（1）因为，由正弦定理得，即=sin(A+C) ．因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，所以．因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以，因为，所以．（2）△ABC的面积为，且由，．所以周长19.如图，在直三棱锥中，，，，分别是，的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）连接，由几何关系可证得平面，而，故∴平面，，由勾股定理可得，则平面，.（2）设点到平面的距离为，转化顶点有，据此得到关于d的方程，解方程可得点到平面的距离为.试题解析：（1）连接，由直三棱柱知，∵又有，∴平面，∵分别为的中点，则，∴平面，∴∵，所以，，平面，∴.（2）设点到平面的距离为，∵，∴平面，由知，，很明显是边长为的等边三角形，其面积为，即，解得.点到平面的距离为.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,；（2）存在点，且.【解析】【分析】（1）由已知条件得，，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点，分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，，则，又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，则.若直线的斜率存在，设的方程为，设点，，联立，得，根据韦达定理可得：，，由于，，则因为为定值，所以，解得，故存在点，且.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握21.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，无单调递减区间；（2）.【解析】【分析】（1）化简，求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，对求导，分类讨论，分别判断的单调性，根据单调性求导的最值，验证是否合题意即可【详解】（1）因为（且），所以.设，则.当时，，是增函数，，所以.故在上为增函数；当时，，是减函数，，所以，所以在上为增函数.故的单调递增区间为和，无单调递减区间.（2）设，则.已知条件即为当时.因为为增函数，所以当时，.①当时，，当且仅当，且时等号成立.所以在上为增函数.因此，当时，.所以满足题意.②当时，由，得，解得.因为，所，所以.当时，，因此在上为减函数.所以当时，，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.在平面直角坐标系，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线分别交，于，两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．【详解】（1）因为，，，所以的极坐标方程为，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为．（2）因为射线，则，则，所以＝又，，所以当，即时，取得最大值【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．23.已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1) 利用零点区分区间，在每个区间内解不等式，等不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求函数的最小值，因为存在，使得，所以的最小值小于，解得的取值范围【详解】（1）当时，，所以或或，解得或，因此不等式的解集的或（2），易知，由题意，知，，解得，所以实数的取值范围是【点睛】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有：1.利用绝对值的几何意义；2.利用绝对值三角不等式，即；3.利用零点区分区间，求每个区间内最值再求函数最值。
2020届宁夏六盘山高中高三(上)期末数学试卷(理科)(B卷)(PDF版)
2019-2020学年宁夏六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A. A∩BB. A∪BC. ∁U（A∩B）D. ∁U（A∪B）2.若z=sinθ-+（cosθ-）i是纯虚数，则tan（θ-）的值为（）A. -7B.C. 7D. -7或3.已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交C. “a=1是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D. 若命题p：”∃x∈R，x2-x-1＞0”，则命题p的否定为：”∀x∈R，x2-x-1≤0”5.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 156.已知函数g（x）=f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称，则g（-1）+g（-2）=（）A. -7B. -9C. -11D. -137.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x=对称，则φ的最小正值为（）A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A. πB. 2C. （2）πD. （2）π9.若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A. 6+2B. 7+2C. 6+4D. 7+410.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F-ECD的外接球体积为（）A.B.C.D.11.椭圆C：与抛物线E：相交于点M，N，过点的直线与抛物线E相切于M，N点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为A. B. C. D.12.已知函数f（x）=ln，g（x）=e x-2，若g（m）=f（n）成立，则n-m的最小值为（）．A. 1-ln2B. ln2C. 2-3D. e2-3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.当直线被圆截得的弦最短时，m的值为____________．14.若=，tan（β-2α）=1，则tan（α-β）=______．15.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C上一点P满足，且，则双曲线C的渐近线方程为______．16.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，构成四棱锥A1-BCDE，若M为线段A1C的中点，在翻转过程中有如下四个命题：①MB∥平面A1DE；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③存在某个位置，使A1D⊥CE；④点A1在半径为的圆周上运动，其中正确的命题是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos C+．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，求△ABC周长的取值范围．18.已知在等比数列{a n}中，a2=2，a4a5=128，数列{b n}满足b1=1，b2=2，且{}为等差数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，AD=2，∠ADC=60°，E，F分别为AD，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)点G是线段PD上一动点，若CG与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角G-EC-F的余弦值．20.在直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点满足，设动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且，求|OT|的取值范围．21.设函数f（x）=x2-m ln x，h（x）=x2-x+a（Ⅰ）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m=2时，若函数g（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】B13.【答案】14.【答案】215.【答案】y=±2x16.【答案】①③④17.【答案】解：（Ⅰ）△ABC中，cos C+，由正弦定理得，cos C+sin C=．所以sin A cos C+sin A sin C=sin B+sin C，所以sin A cos C+sin A sin C=sin（A+C）+sin C=sin A cos C+sin C cos A+sin C，所以sin A sin C=sin C cos A+sin C；又C∈（0，π），所以sin C≠0，所以sin A-cos A=1，所以sin（A-）=，所以A-=，所以A=；（Ⅱ）由余弦定理得，a2=b2+c2-2bc cos A，则3=b2+c2-bc，∴（b+c）2-3bc=3，即3bc=（b+c）2-3≤3[（b+c）]2，化简得，（b+c）2≤12（当且仅当b=c时取等号），则b+c≤2，又b+c＞a=，所以△ABC的周长a+b+c的取值范围是（2，3]．【解析】（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin A cos C+sin A sin C=sin B+sin C，利用sin B=sin（A+C）代入整理可求得A的值；（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的取值范围，再利用三角形三边关系求出周长的取值范围．本题考查了正弦、余弦定理和基本不等式的应用问题，也考查了诱导公式与辅助角公式应用问题，是中档题．18.【答案】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q．由等比数列的性质得a4a5=a2a7=128，又a2=2，所以a7=64．所以公比．所以数列{a n}的通项公式为a n=a2q n-2=2×2n-2=2n-1．设等差数列{}的公差为d．由题意得，公差，所以等差数列{}的通项公式为．所以数列{b n}的通项公式为（n=1，2，…）．（2）设数列{b n}的前n项和为T n．由（1）知，（n=1，2，…）．记数列{}的前n项和为A，数列{2n-2}的前n项和为B，则，．所以数列{b n}的前n项和为．【解析】（1）根据等比数列的性质得到a7=64，a2=2，进而求出公比，得到数列{a n}的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可．这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等．19.【答案】证明：（1）取PB的中点H，连结FH，AH，∵E，F分别为AD，PC的中点，∴FH∥BC，FH=BC，由题知AE∥BC，AE=BC，∴AE∥FH，AE=FH，∴四边形AEFH为平行四边形，∴EF∥AH，∵EF⊄平面PAB，且AH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．解：（2）连结CE，EG，CG，∵四边形ABCD为菱形，AD=2，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，E为AD中点，∴CE⊥AD，且CE=，∵PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴CE⊥PA，AD⊥PA，∴CE⊥平面PAD，∵EG⊂平面PAD，∴CE⊥EG，∴∠CGE为CG与平面PAD所成角的平面角，在Rt△CEG中，∵tan=，∴当EG最短时，∠CGE最大，EG⊥PD，∵tan，∴EG===，在Rt△DEG中，ED=1，EG=，∠GDE=45°，∴PA=2，以A为原点，如图建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），D（0，2，0），E（0，1，0），C（，1，0），F（，），则=（0，2，-2），=（，0，0），=（，1），∵EG⊥PD，CE⊥PD，∴PD⊥平面CGE，∴平面CGE的一个法向量为=（0，1，-1），平面ECF的法向量=（x，y，z），则，∴，取z=1，得=（0，2，1），设二面角G-EC-F的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角G-EC-F的余弦值为．【解析】（1）取PB的中点H，连结FH，AH，推导出四边形AEFH为平行四边形，从而EF∥AH，由此能证明EF∥平面PAB．（2）连结CE，EG，CG，推导出∠CGE为CG与平面PAD所成角的平面角，当EG最短时，∠CGE最大，EG⊥PD，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角G-EC-F的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N，∴N（x0，0），又圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：相切，∴r==2，则圆C1：x2+y2=4．由题意，，得（x，y）+（x-x0，y-y0）=（x0，0），∴，即，又点A为圆C1上的动点，∴x2+4y2=4，即；（Ⅱ）当PQ的斜率不存在时，设直线OP：y=，不妨取点P（），则Q（），T（），∴|OT|=．当PQ的斜率存在时，设直线PQ：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．∴，．∵，∴4y1y2+x1x2=0．∴4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2==．化简得：2m2=1+4k2，∴．△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（4k2+1-m2）=16m2＞0．设T（x3，y3），则，．∴=∈[，2），∴|OT|∈[）．综上，|OT|的取值范围是[]．【解析】（Ⅰ）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N，得N（x0，0），由圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：相切求得r值，得到圆的方程，再由向量等式得到M，A的坐标关系把点A 的坐标代入圆C1，即可求得曲线C的方程；（Ⅱ）当PQ的斜率不存在时，设直线OP：y=，求得|OT|=；当PQ的斜率存在时，设直线PQ：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程利用根与系数的关系结合得：2m2=1+4k2，则，进一步求得|OT|∈[），则|OT|的取值范围可求．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21.【答案】解：（I）由a=0，f（x）≥h（x）可得-m ln x≥-x，即记，则f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）min．求得当x∈（1，e）时；φ′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＞0故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，即φ（x）min=φ（e）=e，故m≤e．（II）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2ln x=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．令g（x）=x-2ln x，则当x∈[1，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，3]时，g′（x）＞0g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在（2，3]上是单调递增函数．故g（x）min=g（2）=2-2ln2又g（1）=1，g（3）=3-2ln3∵g（1）＞g（3），∴只需g（2）＜a≤g（3），故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]【解析】（I）由a=0，我们可以由f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，得到-m ln x≥-x，即在（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；（Ⅱ）当m=2时，我们易求出函数g（x）=f（x）-h（x）的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为x-2ln x=a，在[1，3]上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中（I）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（II）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a的不等式组．22.【答案】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（-2，0）．∵F（-2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2-2t-2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．【解析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．23.【答案】解：（1）∵函数f（x）=|2x-a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a -3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x-1|+1，∴f（n）=|2n-1|+1，存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n-1|+|2n+1|≥|（2n-1）-（2n+1）|=2，∴|2n-1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．【解析】（1）通过讨论x的范围，求得a-3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n-1|+1，即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n-1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。
2020届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学(文)(B卷)试题(解析版)
2020届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学（文）（B 卷）试题一、单选题1．已知集合{}32A x x =-<<，{}32,B x x n n Z ==-∈，则A B =I （ ） A ．{}2,0,1- B ．{}2,1-C ．{}2-D ．{}1【答案】B【解析】直接求交集得到答案. 【详解】集合{}32A x x =-<<，{}32,B x x n n Z ==-∈，则{}2,1A B ⋂=-. 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i + D ．55- 【答案】A【解析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z ii i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 3．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ） A ．4 B ．2C ．116D ．18【答案】C【解析】化简得到218x y =，故116=p ，得到答案. 【详解】28y x =，即218x y =，故116=p ，焦点到准线的距离是116=p . 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的准线，焦点，意在考查学生对于抛物线基础知识的理解. 4．已知数列{}n a 是等差数列，且31120a a +=，则11152a a -=（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】A【解析】根据等差数列性质得到710a =，111572a a a -=，计算得到答案. 【详解】3117220a a a +==，故710a =，1115715157210a a a a a a -=+-==.故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生对于等差数列性质的灵活运用.5．已知()()2,1,,2a b x =-=v v ,且//a b v v ，则a b +=vv （ ）A ．4B ．3C D【答案】C【解析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +r r的坐标后可求a b +r r .【详解】因为//a b r r，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-，故()2,1a b +=-r r，故a b +=r r .故选C. 【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==r r ，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r，则12120x x y y +=.6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解. 【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总形图得到：56%39.6%22.176%20%人数的20%，所以是正确的；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条⨯=，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，形图得到：13.7%39.6%9.52%所以是正确的；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的. 故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．若函数()2f x x =，设514a og =，151log 3b =，152c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系( ) A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f c f b f a >> D ．()()()f c f a f b >>【答案】D【解析】根据题意，结合二次函数的性质可得()2f x x =在()0,+∞上为增函数，结合对数的运算性质可得1551log 133b og ==，进而可得1b ac <<<，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()2f x x =，是二次函数，其对称轴为y 轴，且在()0,+∞上为增函数，514a og =，1551log 133b og ==，152c =， 则有1b a c <<<， 则()()()f c f a f b >>； 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题． 8．朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走.遇务①添一倍，逢店饮斛九②.店务经四处，没了这壶酒.借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛.下图是解决该问题的算法程序框图，若输入的x 值为0，则输出的x 值为（ ）A ．5740B ．13380C ．5732D ．589320【答案】C【解析】本题首先可以根据题意以及程序框图明确输入的数据为“0x =，0i =”和运算的算式为“119210x x 骣琪=?琪桫、1i i =+”，然后进行运算并结合条件“4i ³”得出结果。
宁夏六盘山高级中学2021届高三数学上学期期末考试试题(B卷)文(含解析)
宁夏六盘山高级中学2021届高三数学上学期期末考试试题（B 卷）文（含解析）考试时间：120分钟；注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}32A x x =-<<，{}32,B x x n n Z ==-∈，则A B =（ ）A.2,0,1B. {}2,1-C. {}2-D. {}1【答案】B 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{}32A x x =-<<，{}32,B x x n n Z ==-∈，则{}2,1A B ⋂=-. 故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2.已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A. 1i --B. 1i +C.55+ D.55i - 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()1212i z i i -=++， 故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z ii i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 3.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ） A. 4 B. 2C.116D.18【答案】C 【解析】 【分析】化简得到218x y =，故116=p ，得到答案. 【详解】28y x =，即218x y =，故116=p ，焦点到准线的距离是116=p .故选：C .【点睛】本题考查了抛物线的准线，焦点，意在考查学生对于抛物线基础知识的理解. 4.已知数列{}n a 是等差数列，且31120a a +=，则11152a a -=（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到710a =，111572a a a -=，计算得到答案.【详解】3117220a a a +==，故710a =，1115715157210a a a a a a -=+-==. 故选：A .【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生对于等差数列性质的灵活运用. 5.已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ）A. 4B. 3【答案】C【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +的坐标后可求a b +. 【详解】因为//a b ，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-， 故()2,1a b +=-，故5a b +=. 故选C.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解.【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%⨯=，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的. 故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.若函数()2f x x =，设514a og =，151log 3b =，152c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系( )A. ()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f c f b f a >>D. ()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质可得()2f x x =在()0,+∞上为增函数，结合对数的运算性质可得1551log 133b og ==，进而可得1b ac <<<，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()2f x x =，是二次函数， 其对称轴为y 轴，且在()0,+∞上为增函数，514a og =，1551log 133b og ==，152c =， 则有1b a c <<<， 则()()()f c f a f b >>；故选D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题． 8.朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走.遇务①添一倍，逢店饮斛九②.店务经四处，没了这壶酒.借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛.下图是解决该问题的算法程序框图，若输入的x 值为0，则输出的x 值为（ ）A.5740B.13380C.5732D.589320【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意以及程序框图明确输入的数据为“0x =，0i =”和运算的算式为“119210xx、1i i =+”，然后进行运算并结合条件“4i ”得出结果．【详解】输入0x =，0i = 第一次运算：1191921020x，1i =； 第二次运算：11919572201040x，2i =； 第三次运算：157191332401080x，3i =；第四次运算：113319285572801016032x，4i =，输出结果， 由上述可知，输出结果为5732，故选C ． 【点睛】本题考查程序框图，主要考查通过程序框图运算得出结果，考查对程序框图的循环结构的理解，考查推理能力与运算能力，是中档题．9.如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{}1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A.23B.112C.16D.13【答案】D 【解析】 【分析】讨论十位上的数为4，十位上的数为3，共8个，再计算概率得到答案.【详解】当十位上的数为4时，共有236A =个；当十位上的数为3时，共有222A =个，共8个.故34881243p A ===. 故选：D .【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ）. A.43B.53C.54D.74【答案】C 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和圆的半径，运用直线和圆相切的条件：d r =，计算可得34a b =，结合离心率公式可得所求值.【详解】双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线为：a y x b =，即为0ax by -=，圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，1=，即222244a ab b a b -+=+，可得34a b =，则54c e a =====， 故选C.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有圆的标准方程，双曲线的渐近线，直线与圆相切的条件，点到直线的距离公式，属于简单题目.11.已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为又知SA 与圆锥底面所成的角为45°，则圆锥的表面积为A.B. 2)πC. 1)πD.2)π+【答案】C 【解析】 【分析】先求SAB ∆的边长，即圆锥的母线长，再根据SA 与圆锥底面所成的角求底面半径，最后根据圆锥侧面积以及底面积公式求结果. 【详解】设圆锥的母线长为l ，由题意得24,4l =∴=因为SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的底面半径为045lsin =因此圆锥的表面积为28rl r πππ+=+，选C.【点睛】本题考查圆锥的母线长以及圆锥侧面积，考查基本分析求解能力.属基本题.12.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1(,)e-∞D. 1(,)e+∞【答案】B 【解析】 【分析】 构造新函数()()x f x g x e=，利用导数求得函数()g x 在R 上单调递减，再根据()2019f x +为奇函数，求得()02019g =-，得出不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即可求解.【详解】由题意，构造新函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减， 又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=， 所以()02019f =-，则()02019g =-，所以不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即0x >，所以不等式()2019e 0xf x +<的解集为()0,∞+，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x 、y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是______.【答案】10 【解析】 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界()2,2A 处，由此求得目标函数的最大值为322210z =⨯+⨯=.故答案10【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 14.若曲线()xf x xe =在点()01,P y 处的切线垂直于直线10x ay ++=，则a =______.【答案】2e 【解析】【分析】求导得到()()'1xf x x e =+，()'12f e =，根据垂直关系得到答案.【详解】()xf x xe =，()()'1xf x x e =+，故()'12f e =.切线垂直于直线10x ay ++=，故121e a-⋅=-，故2a e =. 故答案为：2e .【点睛】本题考查了切线问题，直线垂直求参数，意在考查学生的综合应用能力. 15.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =.且47522a a +=，则5S =______. 【答案】31 【解析】 【分析】化简得到42a =，714a =，故12q =，116a =，在计算5S 得到答案. 【详解】21744a a a ==，故42a =，47522a a +=，故714a =，故37418a q a ==，故12q =，116a =.551121631112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：31.【点睛】本题考查了等比数列基本量计算，求和，意在考查学生对于等比数列公式的灵活运用.16.在四面体ABCD 中，4,3,5AB BC CD AC ====且AB CD ⊥，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为______ 【答案】34π 【解析】 【分析】利用勾股定理得出△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边，可知CD ⊥平面ABC 时四面体ABCD 的体积取最大值，再求出外接球的半径R ，利用球的表面积公式得答案． 【详解】∵435AB BC AC ===，，，由勾股定理可得222AB BC AC +=， ∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值， 此时，其外接球的直径为22225934R AD AC CD ==+=+=，∴外接球的半径为342， 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为23444344R πππ=⨯=． 故答案为34π．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的计算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共60分.17.如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4B ∠=.（1）求AC 的长；（2）若ABC ∆的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠⋅∠的值. 【答案】(1) 22AC =9sin sin 22CAB ACB ∠⋅∠=【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得AC 的长；（2）利用面积得出ac ，结合正弦定理可得. 【详解】解：（1）由题可知21cos cos212sin 8D B B ∠=∠=-∠=-. 在ACD ∆中，2222cos 22AC AD CD AC CD D =+-⋅∠=， 所以22AC =.（2）1sin 62ABC S AB BC B ∆=⋅=，则16AB BC ⋅= 又422sin sin sin 3BC AB AC CAB ACB B ===∠∠∠， 所以29sin sin 1622422CAB ACB ∠⋅∠=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.18.世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识､在共识中谋合作､在合作中创共赢.2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能 否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”?男性女性总计参考公式及数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.3.841【答案】（1）0.020m =，0.025n =，34（岁）（2）列联表见解析，不能 【解析】 【分析】（1）求出[40,45)的频率，由频率和为1，得到,m n 的一个关系式，再由中位数为34，又可得,m n 另一个关系式，即可求出,m n ，进而求出平均数；（2）根据数据关系补全列联表，求出2K 的观测值，结合提供数据，即可得出结论. 【详解】（1）因为志愿者年龄在[40,45)内的人数为15， 所以志愿者年龄在[40,45)内的频率为:150.15100=； 由频率分布直方图得:(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=， 即20.07m n +=，①由中位数为34,可得0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，即540.2m n +=，② 由①②解得0.020m =，0.025n =. 志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+47.50.010)5⨯⨯=34（岁）.（2）根据题意得到列联表: 男性 女性 总计现场报名 193150 网络报名 311950总计 50 50 100所以2K的观测值2100(19193131)50505050k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯()()2219311931505050⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦=⨯⨯ 5.7610.828=＜， 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系. 【点睛】本题考查补全频率直方图，以及中位数、平均数求法，考查独立性检验，意在考查计算求解能力，属于基础题.19.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ，3AE =.连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将ADE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图2.（1）证明：平面BFP ⊥平面BCP ；（2）若G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCH -的体积.【答案】（1）见解析； （2）316. 【解析】 【分析】（1）证明BE AD ⊥．PF AD ⊥，BF AD ⊥．推出PF BC ⊥，BF BC ⊥，得到BC ⊥平面BFP ，然后证明平面BFP ⊥平面BCP ．（2）解法一：证明PF ⊥平面ABCD ．取BF 的中点为O ，连结GO ，得到GO ⊥平面ABCD ．然后求解棱锥的高．解法二：证明PF ⊥平面ABCD ．三棱锥G BCH -的高等于12PF ．说明BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14，通过ABCD 13P ABCD V S PF -=⨯⋅平行四边形，求解三棱锥G BCH -的体积．【详解】（1）证明：如题图1，在Rt BAE 中，3AB =，3AE =，所以60AEB ∠=︒． 在Rt AED 中，2AD =，所以30DAE ∠=︒． 所以BE AD ⊥．如题图2，,PF AD BF AD ⊥⊥．又因AD BC ，所以PF BC ⊥，BF BC ⊥，PF BF F ⋂=，所以BC ⊥平面BFP ，又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BFP ⊥平面BCP ． （2）解法一：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，PF AD ⊥，所以PF ⊥平面ABCD ． 取BF 的中点为O ，连结GO ，则GO PF ，所以GO ⊥平面ABCD ． 即GO 为三棱锥G BCH -的高． 且113sin3022GO PF PA ==⨯︒=． 因为，三棱锥G BCH -的体积为111313333332616BCHBCD G BCH V SGO S-=⋅=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥．解法二：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ， 所以PF ⊥平面ABCD ． 因为G 为PB 的中点． 所以三棱锥G BCH -的高等于12PF ．因为H 为CD 的中点，所以BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14， 从而三棱锥G BCH -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的18．ABCD 平行四边形面ABCD 113332P ABCD V S PF -=⨯⋅=⨯=平行四边形， 所以三棱锥G BCH -的体积为316． 【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点．（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在直线8:3l y x =-满足题设条件,详见解析 【解析】 【分析】（1）由已知列出关于a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，c ，写出结果即可；（2）由已知可得，(0,2)B ，(2,0)F ．所以1BF k =-，因为BF l ⊥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）由已知可得，2222224421c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 解得28a =，24b =，2c =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）由已知可得，(02)(20)B F ，，，，∴1BF k =-.∵BF l ⊥， ∴可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=.设()()1122M x y N x y ，，，， 则2121242833m m xx x x -+=-=，，∵1212212y y BN MF x x -⊥∴⋅=--，. 即121212220y y x x y x +--=∵()()()1122121212,220y x m y x m x m x m x x x m x =+=+∴+++-+-=，即()212122(2)20x x m x x m m +-++-=，∵222842(2)2033m mm m m --⋅+-⋅+-=∴28321603m m m +-=∴=-，或2m =. 由()222(4)12289680m m m ∆=--=->，得212m < 又2m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴83m =-， 故存在直线8:3l y x =-满足题设条件.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用．意在考查学生的数学运算能力． 21.已知函数2()22.xf x x x xe =+- （1）求函数()f x 的极值.（2）当0x >时，证明23()22ln .f x x x x e x -++<-: 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】 【分析】（1）求得函数的导数'()2(1)(1)xf x x e =-+-x ∈R ，利用导数求得函数的单调区间，即可求得函数的极值 （2）把不等式转化为321ln 02x x x xe e x +-+<，令21()2x g x x x e =+-，利用导数转化为321ln ln 2x x x xe e x e x x +-+<-，令()ln F x e x x =-，利用导数求得函数()F x 的单调性，得到()()0F x F e ≤=，即可证明．【详解】（1）依题意，函数2()22xf x x x xe =+-，则'()22222[(1)(1)]xxxf x x e xe x e x =+--=+-+2(1)(1),xx e =-+-x ∈R ， 故当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 故当1x =-时，()f x 有极小值21e-，当0x =时，()f x 有极大值0. （2）要证23()22ln f x x x x e x -++<-，即证321ln 02x x x xe e x +-+<， 令21()2x g x x x e =+-，故'()1x g x x e =+-，可知'()0g x ≤ 故当0x >时，()(0)1g x g <=-，即2112xx x e +-<-，3212x x x xe x ∴+-<-，321ln ln .2x x x xe e x e x x ∴+-+<- ()ln F x e x x =-令，则'()1e e xF x x x-=-=，当0x e <<时，'()0F x >；当x e >时，'()0F x <， 所以()F x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以()()0F x F e ≤=，即ln 0e x x -≤，所以321ln 02x x x xe e x +-+<， 故当0x >时，23()22ln f x x x x e x -++<-．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．选做题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值．【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+；（2）2a =.【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线l 的普通方程，极坐标方程两边同乘以ρ利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+， 直线l 的普通方程为2y x =+.(2)将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=. 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠.由根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+.因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上.所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >.且1a ≠，故2a =.．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23.已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|. (1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12. 【答案】(1) {x |－3≤x ≤7} (2) 证明见解析 【解析】 【分析】（1）分段讨论x 的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解； （2）求出m 的值，根据基本不等式得出结论． 【详解】解：（1）()|1||5|10f x x x =++-，等价于1(1)(5)10x x x -⎧⎨-+--⎩或15(1)(5)10x x x -<<⎧⎨+--⎩或5(1)(5)10x x x ⎧⎨++-⎩，解得31x --或15x -<<或57x ， 所以不等式()10f x 的解集为{|37}x x -． （2）因为()|1||5||(1)(5)|6f x x x x x =++-+--=，当且仅当(1)(5)0x x +-即15x -时取等号． 所以6m =，即6a b c ++=．222a b ab +，222a c ac +，222c b bc +，2222()222a b c ab ac bc ∴++++，22222223()222()36a b c a b c ab ac bc a b c ∴+++++++=++=．- 21 - 22212a b c ∴++．当且仅当2a b c ===时等号成立．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．。
宁夏六盘山高中19-20学年高三上学期期末数学试卷(B卷) (有解析)
宁夏六盘山高中19-20学年高三上学期期末数学试卷（B 卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|x ≤2}，B ={x|1x−1>0}，则(∁U A)∩B =( )A. [−2,1]B. (2,+∞)C. (1,2)D. (−∞,−2)2. 若复数z =(cosθ−513)+(sinθ−1213)i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan(θ−π4)的值为( )A. 717B. −717C. 177D. 717或−1773. 已知|a⃗ |=2，向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影为√3，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( ) A. π3B. π6C. 2π3D. π24. 下列命题中为真命题的是( )A. 若数列{a n }为等比数列的充要条件是a n2=a n−1⋅a n+1 B. “a =1是“直线x −ay =0与直线x +ay =0互相垂直”的充要条件C. 若命题p ：“∃x ∈R ，x 2−x −1>0”，则命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”D. 直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交5. 从抛物线y 2=4x 图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A. 10B. 8C. 6D. 46. 已知函数g(x)=f(x)+x 2是奇函数，当x >0时，函数f(x)的图象与函数y =log 2x 的图象关于y =x 对称，则g(−1)+g(−2)=( )A. −7B. −9C. −11D. −137. 将函数f(x)=4sin(2x +π4)的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小正值为( ) A. π8B. 3π8C. 3π4D. π28. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A. 2π+16+2√3B. 3π+16+2√3C. 3π+8+√3D. 3π+8+2√39. 已知lga +lgb =2，则a +b 的最小值为( )A. 2√2B. 4C. 10D. 2010. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四面体M −ABD 的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 已知抛物线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点F 为双曲线C 2：x 2−y 23=1的顶点，过点F 的直线与抛物线C 1相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足|MN|=8，若|AM|=|AN|，则△AMN 的面积为( )A. 3√6B. 6√3C. 6√2D. 8√212. 函数y =x 2+1x (x ≤−12)的值域是 ( )A. (−∞,−74]B. [−74,+∞)C. [3√232,+∞)D. (−∞,−32√23]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 当直线l:(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0 (m ∈R)被圆C:(x −1)2+(y −2)2=25截得的弦最短时，m 的值为____________．14. 若 sinα+cosαsinα−cosα=3，tan(α−β)=2，则tan(β−2α)=____________． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 上一点P 满足|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的渐近线方程为______．16. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 为边AB 的中点．将▵ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥A 1−DEBC.设线段A 1C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM//平面A 1DE ；②三棱锥C −A 1DE 体积的最大值为4√23；③存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90∘.其中正确的命题是____.(写出所． 有．正确命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca+b +sinAsinB+sinC=1；(1)求B；(2)若b=√2，求a2+c2的取值范围．18.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a3=5，S7=49．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n2n，T n为数列{b n}的前n顶和，求证：．19.四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为线段AB，BC的中点．(1)线段AP 上一点M ，满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：EM//平面PDF ； (2)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A −PD −F 的余弦值．20. 已知点A 的坐标为(−2√3,0)，点B 的坐标为(2√3,0)，且动点M 到点A 的距离是8，线段MB的垂直平分线交线段MA 于点P ． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知D(2,−1)，过原点且斜率为k(k >0)的直线l 与曲线C 交于E ，F 两点，求△DEF 面积的最大值．21. 已知函数f (x )=(2−a )(x −1)−2lnx ，a ∈R ．(Ⅰ)求f (x )的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在(0,13)上无零点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为{x=m+√22ty=√22t(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭园C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48，其左焦点F 在直线l上．(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|+|FB|的值；(2)求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−a|+a，且不等式f(x)≤6的解集为{x|−2≤x≤3}．(1)求实数a的值；(2)若存在实数n，使f(n)≤m+f(−n)成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：全集U =R ，集合A ={x|x ≤2}，∴∁U A ={x|x >2} B ={x|1x−1>0}={x|x >1}，则(∁U A)∩B ={x|x >2}． 故选：B ．求出两个集合以及补集，然后求解交集即可．本题考查集合的基本运算，分式不等式的解法，考查计算能力．2.答案：C解析：本题考查复数的基本概念，考查了两角差的正切公式，属于基础题．由已知可得cosθ=513,sinθ=−1213，进一步得到tanθ=−125，代入两角差的正切公式得答案． 解：∵复数z =(cosθ−513)+(sinθ−1213)i 是纯虚数， ∴cosθ−513=0，sinθ−1213≠0， ∴cosθ=513，sinθ=−1213， ∴tanθ=−125，则tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=−125−11−125=177．故选C ．3.答案：B解析：本题考查了平面向量的投影、夹角，属于基础题．利用平面向量投影的定义，列出方程求出 a ⃗ 与 b ⃗ 夹角的余弦值，即可得出夹角大小．解：记向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,π]，∴a⃗在b⃗ 上的投影为|a⃗|cosθ=2cosθ.∵a⃗在b⃗ 上的投影为√3，∴，∴cosθ=√3，2∵θ∈[0,π]，.∴θ=π6故选B.4.答案：C解析：解：A.数列{a n}为等比数列⇒a n2=a n−1⋅a n+1，反之不成立，例如{0}满足条件，却不是等比数列，因此不正确．B.“a=1”⇒“直线x−ay=0与直线x+ay=0互相垂直”，“直线x−ay=0与直线x+ay=0互相垂直”⇒a=±1．因此“a=1是“直线x−ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，因此不正确．C.命题p：“∃x∈R，x2−x−1>0”，则命题的否定为：“∀x∈R，x2−x−1≤0”，利用特称命题的否定是全称命题，即可判断出正确．D.直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交且不平行，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．A.数列{a n}为等比数列⇒a n2=a n−1⋅a n+1，反之不成立，例如{0}满足条件，却不是等比数列．B.“a=1”⇒“直线x−ay=0与直线x+ay=0互相垂直”，“直线x−ay=0与直线x+ay=0互相垂直”⇒a=±1.即可判断出．C.利用特称命题的否定是全称命题，即可判断出．D.直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交且不平行．本题综合考查了等比数列的定义、相互垂直的直线之间的关系、命题的否定、异面直线的定义，考查了推理能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对基础知识的灵活运用和数形结合的数学思想的运用．根据抛物线方程设出点P的坐标，根据|PM|=5求得|y0|，最后利用三角形面积公式求得答案．解析：解：设P(y024,y0)，则|PM|=y024+1=5，所以|y0|=4，所以△MPF的面积=12×4×5=10，故选C．6.答案：C解析：本题考查奇函数的定义，指数函数和对数函数的应用，属于中档题．由x>0时，函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称可得出，x>0时，f(x)=2x，从而得出x>0时，g(x)=2x+x2，再根据g(x)是奇函数即可求出g(−1)+g(−2)的值．解：∵x>0时，f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称；∴x>0时，f(x)=2x；∴x>0时，g(x)=2x+x2，又g(x)是奇函数；∴g(−1)+g(−2)=−[g(1)+g(2)]=−(2+1+4+4)=−11．故选C．7.答案：B解析：解：将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ个单位所得图象的解析式f(x)=2sin[2(x−ϕ)+π4]=2sin(2x−2ϕ+π4)，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍所得图象的解析式f(x)=2sin(4x−2ϕ+π4).因为所得图象关于直线x=π4对称，所以当x=π4时函数取得最值，所以4×π4−2ϕ+π4=kπ+π2，k∈Z，整理得出ϕ=−kπ2+3π8，k∈Z．当k=0时，ϕ取得最小正值为3π8，故选：B．根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式f(x)=2sin(4x−2ϕ+π4)，再根据三角函数的性质，当x=π4时函数取得最值，列出关于ϕ的不等式，讨论求解即可．本题考查三角函数图象的变换规律，三角函数的图象与性质．在三角函数图象的平移变换中注意是对单个的x或y来运作的，属于中档题．8.答案：D解析：解：由三视图可知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，故其表面积为π×1×2+π+22×2+2×12×2×√3=3π+8+2√3，故选：D．由三视图可知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体．本题考查了圆柱和三棱柱的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算性质可得：ab=100，再利用基本不等式的性质即可得出．解：因为lga+lgb=2，即，所以可得ab=100，且a>0，b>0，所以a+b≥2√ab=20，当且仅当a=b=10时，等号成立，所以(a+b)min=20．故答案为D．10.答案：C解析：本题考查正方体棱长，考查四面体M −ABD 的外接球表面积，属于中档题．设BD 的中点O ′，则球心O 在MO′上，利用四面体M −ABD 的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长． 解：设BD 的中点O ′，则球心O 在MO ′上，∵四面体M −ABD 的外接球表面积为36π，设外接球的半径为R ， ∴4πR 2=36π， ∴R =3，设正方体棱长为2a ，则O ′A =√2a ， 由勾股定理可得32=(√2a)2+(2a −3)2， ∴a =2，∴正方体棱长为2a =4． 故选C ．11.答案：D解析：解：由题意可知，抛物线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点F(1,0)， 则p2=1，p =2． ∴抛物线方程为y 2=4x ． 如图，设MN 所在直线方程为y =k(x −1)，联立{y =k(x −1)y 2=4x，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0．设M(x1,y1)，N(x2,y2).则x1+x2=2k2+4k2，由|MN|=x1+x2+2=8，得2k2+4k2=6，解得k=±1．∴x1+x2=6，则MN的中点坐标为(3,2)，不妨取k=1，可得MN的垂直平分线方程为y−2=−1×(x−3)，即y=−x+5．取y=0，得A(5,0)．此时A到直线x−y−1=0的距离d=√2=2√2．∴△AMN的面积S=12×8×2√2=8√2．故选：D．由题意求得抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，设出直线方程，利用抛物线焦点弦长公式求得k，再求出MN的垂直平分线方程，得到A的坐标，由点到直线的距离公式求出A到MN的距离，代入三角形面积公式求解．本题考查圆锥曲线的综合，考查直线与篇文章位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考察函数的定义域和值域，难度一般；解题的关键是函数在给定区间上单调性的确定．先求导y′=2x−1x2=2x3−1x2=2(x3−12)x2，确定函数在(−∞,−12]的单调性，进而得到值域．解：y′=2x−1x2=2x3−1x2=2(x3−12)x2，令y′=0，得x=√123．∴函数y=x2+1x 在(−∞,−12]为减函数，∴y=x2+1x 的值域[−74,+∞)．故选B．13.答案：−34解析：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题．由题意可得直线l 经过定点A(3,1).要使直线l 被圆C 截得的弦长最短，需直线CA 和直线l 垂直，故有k CA ·k l =−1，再利用斜率公式求得m 的值．解：直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0，即m(2x +y −7)+(x +y −4)=0， 圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25的圆心C(1,2)、半径为5， 由{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1，故直线l 经过定点A(3,1)．要使直线l 被圆C 截得的弦长最短，需CA 和直线l 垂直， 故有k CA ·k l =−1，即2−11−3·(−2m+1m+1)=−1，解得m =−34． 故答案为：−34．14.答案：43解析：本题考查同角三角函数关系及正切和角公式，属于基础题． 先求出sinα的值再利用三角函数两角和与差的关系即可． 解：∵sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=3， ∴tanα=2． 又tan(α−β)=2，∴tan(β−2α)=tan[(β−α)−α] =−tan[(α−β)+α]=−tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)⋅tanα=43． 故答案为：43．15.答案：y =±2x解析：本题主要考查了双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义．考查学生的计算能力，属于中档题． 点P 满足|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得，令|PF 2|=m ，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2m ，2m −m =2a ，m =2a 由勾股定理得：，b =2a ，可得双曲线C 的渐近线方程．解：∵点P 满足|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|PO|=c ，可得，令|PF 2|=m ，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2m ，2m −m =2a ，m =2a ， 由勾股定理得：，∴c 2=5a 2，b 2=4a 2，∴b =2a ，则双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x =±2x ． 故答案为：y =±2x ．16.答案：①②解析：利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误；本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 解析：解：取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得MF//A 1D ，FB//DE ，可得平面MBF//平面A 1DE ，所以BM//平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C−A1DE体积取得最大值，最大值为：13×12AD×AE×EC=13×12×2×2×2√2=4√22，所以②正确．存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°.因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；故答案为：①②．17.答案：解：(1)∵ca+b +sinAsinB+sinC=1，∴ca+b +ab+c=1，化简得：bc+c2+a2+ab=ab+ac+b2+bc，即a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =12，又∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)在△ABC中，由余弦定理：b2=a2+c2−2accosB，∴(√2)2=a2+c2−2accosB，即2=a2+c2−ac，可得：ac=(a2+c2)−2，∵ac≤a2+c22，∴(a2+c2)−2≤a2+c22，可得：a2+c2≤4，(当且仅当a=c时取等号)又∵B为锐角，∴a2+c2>b2=2，∴a2+c2的取值范围是(2,4]．解析：(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+c2−b2=ac，利用余弦定理可求cosB=12，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(2)由余弦定理可得：ac=(a2+c2)−2，由基本不等式可求a2+c2≤4，结合a2+c2>b2=2，即可得解a2+c2的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：(1)设等差数列的公差是d，∵a3=5，S7=49，∴{a 1+2d =57a 1+7×62d =49，解得{a 1=1d =2，∴a n =a 1+(n −1)d =1+2(n −1)=2n −1.(2)由(1)得b n =a n2n =(2n−1)2n，则数列{b n }的前n 项和为：T n =12+322+523+⋯+2n −12n① 12T n =122+323+⋯+2n −32n +2n −12n+1② ①−②得12T n =12+222+223+224+⋯+22n −2n−12n+1，化简得T n =3−12n−2−2n−12n，因为12n−2+2n−12n>0，所以T n <3．解析：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查学生的运算能力．(1)根据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n }的通项公式． (2)求出数列{b n }的通项公式，利用错位相减法求和即可得到结论．19.答案：证明：(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0,0，0)，设PA =a ，则M(0,0，a4)，P(0,0，a)，F(2,1，0)，D(0,2，0)，E(1,0，0)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，a4)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−a)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−a)，设平面PDF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −az =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −az =0，取z =2，得n⃗ =(a2,a ，2)，∵n ⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2+2×a4=0，EM ⊄平面PDF ， ∴EM//平面PDF ．解：(2)∵PB 与平面ABCD 所成的角为45°，∴PA =AB =2，P(0,0，2)，D(0,2，0)，F(2,1，0)， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，0)， 设平面PDF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y =0，取y =1，得m⃗⃗⃗ =(−12,1，1)， 平面PAD 的法向量p⃗ =(1,0，0)， 设二面角A −PD −F 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|p ⃗ |=121×√94=13，∴二面角A −PD −F 的余弦值为13．解析：(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EM//平面PDF ．(2)推导出平面PDF 的法向量，平面PAD 的法向量，由此能求出二面角A −PD −F 的余弦值． 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)∵|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=8；又|AB|=4√3，∴P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，∵2a =8,2c =4√3∴b 2=4因此椭圆的方程为：x 216+y 24=1;(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)将直线l 方程y =kx 与椭圆方程联立消y 得(1+4k 2)x 2−16=0， 所以x 2=161+4k 2，∴|EF|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2×2×√161+4k 2,又∵点D 到直线l 的距离d =√1+k 2， 故△DEF 的面积S =12|EF|⋅d =4×√1+4k 2=4×√4k 2+4k+11+4k 2=4√1+4k 1+4k 2=4√1+44k+1k,，当k >0时，4k +1k ≥4，当且仅当k =12时取等号． 故△DEF 的面积有最大值4√2．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)判断P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，求出a ，b ，即可求解椭圆的方程．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)将直线l 方程y =kx 与椭圆方程联立消y 得(1+4k 2)x 2−16=0，利用弦长公式，表示三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可．21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，①当a =2时，f(x)=−2lnx ，故函数f(x)在(0,+∞)为减函数，所以f(x)无极值； ②a ≠2时，则f′(x )=(2−a )(x−22−a)x，x >0若a >2，在(0,+∞)都有f′(x )<0故函数f(x)在(0,+∞)为减函数， 所以f(x)无极值；若a <2，由f′(x )>0，得x >22−a 得，由f′(x )<0得0<x <22−a ． ∴f(x)的单调减区间为(0,22−a ]，单调增区间为[22−a ,+∞)． 故函数f(x)在(0,+∞)有极小值f (22−a )=a −2ln 22−a ，无极大值． (Ⅱ)∵f(x)<0在区间(0,13)上不可能恒成立，故要使函数f(x)在(0,13)上无零点，只要对任意的x ∈(0,13)，f(x)>0恒成立， 即对x ∈(0,13) ,a >2−2lnx x−1恒成立． 令ℎ(x )=2−2lnx x−1,x ∈(0,13)，则ℎ′(x )=−2x(x−1)−2lnx (x−1)2=2lnx+2x−2(x−1)2再令m (x )=2lnx +2x −2,x ∈(0,13)，则m′(x )=2x −2x2=−2(1−x )x 2<0．∴m(x)在(0,13)上为减函数，∴m (x )>m (13)=4−2ln3>0． 从而ℎ′(x )>0，∴ℎ(x)在(0,13)上为增函数，∴ ℎ(x )<ℎ(13)=2−3ln3．∴a 的取值范围为[2−3ln3,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值和零点，是中档题． (I)由导函数研究函数的单调性，据此可得函数的极小值，无极大值；(II)本小题的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造函数ℎ(x)，通过二次求导求得ℎ(x)在(0,13)上为增函数，进而求得a 的取值范围．22.答案：解(1)将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=48，得x 2+3y 2=48，即x 248+y 216=1，因为c 2=48−16=32，所以F 的坐标为(−4√2,0)， 又因为F 在直线l 上，所以m =−4√2． 把直线l 的参数方程{x =−4√2+√22t y =√22t代入x 2+3y 2=48，化简得t 2−4t −8=0，所以t 1+t 2=4，t 1t 2=−8，所以|FA|+|FB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√16+4×8=4√3. (5分) (2)由椭圆C 的方程x 248+y 216=1，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为(4√3cosθ,4sinθ)(0<θ<π2)， 所以内接矩形的面积S =8√3cosθ⋅8sinθ=32√3sin2θ， 当θ=π4时，面积S 取得最大值32√3. (10分)解析：(1)先把椭圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再把直线l 的参数方程代入并利用参数t 的几何意义可求得；(2)利用椭圆C 的参数方程设出矩形的一个顶点，计算面积后用三角函数求最值． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −a|+a ={2x,x ⩾a2−2x +2a,x <a 2,又∵f(x)≤6，a −3≤x ≤3，∴a−3=−2，a=1;(2)由(1)知f(x)=|2x−1|+1，又∵f(n)≤m+f(−n)，∴|2n−1|+1≤m+|−2n−1|+1，∴|2n−1|−|2n+1|≤m，又∵|2n−1|−|2n+1|≤|(2n−1)−(2n+1)|=2，∴m≥2．解析：本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．(1)通过讨论x的范围，求得a−3≤x≤3.再根据不等式的解集为{x|−2≤x≤3}，可得a−3=−2，从而求得实数a的值;2)在(1)的条件下，f(n)=|2n−1|+1，即f(n)≤m+f(−n)，即|2n−1|−|2n+1|≤m.求得|2n−1|−|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．。
宁夏六盘山市高级中学2021届高三上学期期末考试数学(文)试题
宁夏六盘山高级中学2020-2021学年第一学期高三期末测试卷数学(文科)测试时间：120分钟 满分：150分一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,1,2A =-，{}1,0,1B =-，则()UA B =（ ）A. {}0B. {}1-C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-A先利用补集的定义求出UA ，再利用交集的定义可得答案.因为全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,1,2A =-， 所以UA ={}0,3，又因为{}1,0,1B =-， 所以()UA B ={}0，故选：A.2. 在复平面内，复数52ii+对应的点的坐标为（ ） A. ()1,2- B. ()1,2 C. ()2,1 D. ()2,1-B由复数的乘除运算化简52ii+，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可. 由题意，()()()525510122225i i i i i i i i -+===+++-， 所以52ii+对应的点的坐标为()1,2.故选：B 3. 已知函数()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()0f f =（ ）A. 4B. 16C. 32D. 64D直接根据分段函数解析式代入计算可得；解：因为()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以()0022f =+=，()()()2226022264f f f +====故选：D4. 若1tan 2θ=，则cos2θ=（ ） A. 35 B. 45-C.35D.45C利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果．1tan 2θ=，2222222211cos sin 1tan 34cos2cos sin 1cos sin 1tan 514θθθθθθθθθ---∴=-====+++.故选：C ． 5. 若向量()3,1a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A. 7a b ⋅= B. a b =C. ()a b b -⊥D. ()b a b ⊥+C 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项的正误；利用平面向量模长的坐标表示可判断B 选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断CD 选项的正误. 对于A 选项，32128a b ⋅=⨯+⨯=，A 选项错误；对于B选项，由平面向量的模长公式可得91a =+=44b =+=B 选项错误； 对于C 选项，()1,1a b -=-，()220a b b -⋅=-=，所以()a b b -⊥，C 选项正确；对于D 选项， 因为()53a b +=，，所有()106160b a b ⋅+=+=≠， D 选项错误.故选：C. 6. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，5a 是4a 与8a 的等比中项，则6S =（ ）A. －9B. 0C. 9D. 无法确定B由2548a a a =得出152a d =-，代入616562S a d ⨯=+可得答案. 设{}n a 的公差为d ，因为5a 是4a 与8a 的等比中项，所以2548a a a =，即()()()2111437a d a d a d +=++，可得152a d =-，所以616556615022S a d d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭.故选：B. 7. 在区间[]22-,上随机地取一个数x ，则事件“220x x --≤”发生的概率为（ ） A. 13B.12C.14D.34D求解不等式的解集，利用几何概型的长度比公式代入求解. 不等式220x x --≤的解集为12x -≤≤，所以概率2(1)32(2)4P --==--.故选：D.8. 执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.05，则输出s 的值等于（ ）A. 4122- B. 5122-C. 6122-D. 7122-A由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 第一次执行循环体后，1s =，12x =，不满足退出循环的条件0.05x <； 再次执行循环体后，112s =+，212x =，不满足退出循环的条件0.05x <；再次执行循环体后，211122s =++，312x =，不满足退出循环的条件0.05x <； 再次执行循环体后，231111222s =+++，412x =，不满足退出循环的条件0.05x <；再次执行循环体后，234111112222s =++++，512x =，满足退出循环的条件0.05x <；输出2344111111222222s =++++=-．故选：A9. 若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1B. 20C. 28D. 32C画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10. 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（ ）A. (),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B. (),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C. ()44k ,k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦D. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D先由三角函数的平移原则，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求出结果.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2663g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()g x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选：D. 11. 已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0A -作C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则过点A 、B 、D 的圆截y 轴所得弦长为（ ）A. B. C. D. A设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B 、D 两点的坐标，进而得出过点A 、B 、D 的圆的方程，求出弦长即可． 设过点()1,0A -的直线方程为1x my =-，联立214x my y x =-⎧⎨=⎩，可得2440y my -+=，由216160m ∆=-=，解得1m =±即2440y y ±+=，2y =±，不妨设()()1,2,1,2B D -，则BD 的中垂线方程为0y =，即圆心在x 轴上又()1,0A -，且点()1,0到点A 、B 、D 距离都相等，则圆心坐标为()1,0，半径为2圆的方程为()2214x y -+=，令0x =，解得y =即圆被y 轴所截得的弦长为 A关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．12. 定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ∀∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则有（ ）A. ()()()192120211978f f f =<B. ()()()192119782021f f f <<C. ()()()192120211978f f f <<D. ()()()202119781921f f f <<B首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.()()22f x f x -=-+，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=， ()f x ∴的周期8T =，由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，()()()1921240811f f f =⨯+=，()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=， ()()()1978247822f f f =⨯+=，函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<， 即()()()192119782021f f f <<.故选：B结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或()()1f x a f x +=，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +. 二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 曲线1x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为______.21y x =+对函数求导，将0x =代入可得切线斜率，进而得到切线方程．1x x y e xe '=++，∴切线的斜率为00|12x k y e ='==+=则切线方程为12y x -=，即21y x =+ 故答案为：21y x =+14. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为()1F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则此双曲线的离心率是______.设出双曲线的方程，利用中点坐标公式求出P 的坐标，将其坐标代入双曲线的方程，通过a ，b ，c 的关系列出另一个等式，解两个方程得到a ，c 的值．即可求解双曲线的离心率． 据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在x 轴上，设双曲线的方程为22221x y a b -=一个焦点为()1F222c a b ∴+= ①线段1PF 的中点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，P ∴的坐标为)，将)代入双曲线的方程得22211a b-= ② 由①②得21a =，21b =， 所以1a =，双曲线的离心率为：ce a==．方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．15. 某一次学生考试结束后，老师随机询问甲、乙、丙3位同学的考试情况，甲说：“我的成绩比乙好”；乙说：“丙的成绩比我和甲的都好”；丙说“我的成绩比乙好”，丁同学告诉老师只有一个人说了真话，请问：甲、乙、丙3位同学成绩最好的是同学______. 甲逐个分析假设甲、乙、丙说的是真话，根据题意即可判断出结果． 假设甲说了真话，说明甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学， 假设乙说了真话，此时丙也说了真话，这与题意矛盾， 假设丙说了真话，此时乙也说了真话，这与题意矛盾，综上所述，只有甲说了真话，甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学 故答案为：甲16. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，13AA =，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 表面积的最小值为______.27π设AB a ，BC b =，球的半径为r ，连接1AC ，1A C 交于点O ，取AC 中点D ，连接BD ，即O 为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得a b ，间关系，表示出r ，根据基本不等式可求得r 的最小值，从而得到球的表面积的最小值.如图，因为三棱柱111ABC A B C -是 ，且90ABC ∠=︒，设AB a ，BC b =，球的半径为r ，连接1AC ，1A C 交于点O ，取AC 中点D ，连接BD ， 则O 到三棱柱六个定点的距离相等，即O 为三棱柱外接球球心，11322OD AA ==， 又因为三棱锥O ABC -的体积为3即1133322ab ⨯⨯=，即12ab =， 所以2222223133322242a b r AD OD ab ⎛⎫⎛⎫+=+=+≥+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当a b =时等号成立，所以球O 的表面积最小值为2427S r ππ==， 故答案为：27π.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三.解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共60分，每题12分） 17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若23b =ABC 的面积为3ABC 的周长. （1）3B π=；（2）6223+（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ； （2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到20ab =，即可求出62a b +=ABC 的周长.详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==， ∵在ABC 中，0B π<<， ∴sin 0B ≠， 即2cos 1B =，∴1cos 2B =， 即3B π=；（2）由余弦定理得：()22212322a c ac =+-⋅，∴()2312a b ab +-=， ∵13sin 5324S ac B ac ===， ∴20ab =， ∴()26012a b +-=， ∴62a b +=，∴ABC 的周长为6223+.18. 如图，四边形ABCD 为矩形，且4=AD ，22AB =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E 为BC 的中点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若M 为PC 的中点，求三棱锥M PAB -的体积. （1）证明见解析；（2）423. （1）利用线面垂直证明线线垂直；（2）利用等体积转化法求得几何体体积，或将M PAB V -转化为12C PAB V -求解.（1）如图，连接AC ，∵E 为BC 的中点，∴2EC =，22CD =， 由22AB EC BC CD ==，90ABC ECD ∠=∠=︒，得Rt ABC Rt ECD △∽△， ∴ACB EDC ∠=∠，又90DEC EDC ∠+∠=︒得90ACB DEC ∠+∠=︒ ∴DE AC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ， ∴PA DE ⊥， 又∵AC PA A ⋂=， ∴DE ⊥平面PAC ， 又∵PC ⊂平面PAE ， ∴PC DE ⊥.（2）如图，取AC 、AB 的中点N 、H ，连接MN 、NH .易得//MN PA ∵PA ⊂平面PAB∴//MN 平面PAB ，又NH AB ⊥且NH PA ⊥∵AB PA A ⋂=， ∴NH ⊥平面PAB∵1222222PAB S =⨯⨯=△，122NH AD ==， ∴1142222333M PAB N PAB PAB V V S NH --==⨯⨯=⨯⨯=△. 法二：因为M 为PC 的中点，所以11111424222222323M PAB C PAB P ABC V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=. 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．19. 为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）： 男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170 女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值； （2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h （单位：厘米），将男、女生身高不低于h 和低于h 的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？ 人数 男生 女生 身高h ≥ 身高h <参照公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本.若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率.（1）男：171.1，女：163.4；（2）答案见解析，有；（3）0.6.（1）根据题中数据完善茎叶图即可，结合平均数的计算公式即可求出结果；（2）根据题中数据完善列联表，再由()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++求出2k ，结合临界值表即可得出结论；（3）先由题意确定身高属于正常的男生概率，进而可求出结果. （1）茎叶图为：平均身高为：男：()173178185170169167164161170171.110++++++++=， 女：()1165166156170163162158153169172163.410+++++++++=. （2）20名学生身高的中位数168h =， 男、女身高的22⨯列联表：∵()()()()()22207733323.2 2.7067337733710K ⨯-⨯===>++++， ∴有90%把握认为男、女身高有差异. （3）由测量结果可知，身高属于正常男生56310⨯=，记这三名男生为a ，b ，c 身高属于不正常（偏矮或偏高）的男生54210⨯=，记这两名男生为1，2从以上5名学生中任取2人的结果有：ab ，ac ，1a ，bc ，1b ，2b ，1c ，2c ，12共10种其中恰好一名身高属于正常的男生的事件A 有：1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c ，共6种()60.610p A ==. ∴恰有1人属于正常的概率为0.6.本题主要考查茎叶图以及独立性检验的问题，熟记平均数的计算公式、独立性检验的思想等即可，属于常考题型.20. 已知函数()()22ln f x x t x t x =++-.（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值；（2）若()ln 1xg x e t x =+-，求实数t 的范围，使得()()f x g x ≤恒成立.（1）7-；（2）t e ≥-.（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t ，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，221x e x x t x -+--≤在0x >时恒成立，构造函数()221x e x x h x x-+-=，结合导数及函数的性质可求. 解：（1）()22t f x x t x '=--+，0x >，由题意可得，()23403f t '=-=，解可得6t =， ∴()()()213628x x f x x x x--'=-+=，所以，当3x >，01x <<时 ，()0f x '>，函数单调递增，当13x <<时，()0f x '<，函数单调递减，故当1x =时，函数取得极大值()17f =-；（2）由()()f x g x ≤得()22ln ln 1xx t x t x e t x -++≤+-在0x >时恒成立可得，221x e x x t x -+--≤在0x >时恒成立，2min 21x e x x t x ⎛⎫-+--≤ ⎪⎝⎭令()221x e x x h x x-+-=，则()()()()()()2222222211111xx xx e x x e x x x e x e x x h x x x x-+--+------+'===， 令()1x F x e x =--，所以()'1x F x e =-，令()'0F x =，提0x =，所以当0x >，()'0F x >，函数单调递增，当0x <时，()'0F x <，函数单调递减，故当0x =时，函数取得最小值()00F =，又0x >，所以10x e x -->， 所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 1h x h e ==，可得()min t h x e -≤=，所以t e ≥-. 方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 1F 作直线1l ，2l 分别与椭圆C 交于A ，B ，C ，D 四点，且12l l ⊥，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.（1）2214x y +=；（2）证明见解析，5⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）利用椭圆的定义求出a ，根据c =b =.（2）当1l 斜率存在时，设出直线AB 的斜率求出方程，与椭圆方程联立利用韦达定理求出AB 的中点坐标，同理可得到CD 的中点坐标，讨论中点的所在的直线是否过定点，再讨论线直线AB 的斜率不存在时过的定点可得答案.（1）因为椭圆的离心率c e a ==又因为三角形2ABF 的周长为8，则48a =，所以2a =，c = 所以2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）证明：设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB的方程为x ky =，与椭圆方程联立可得：()22410k y+--=，则12y y +=，12214y y k -=+， 故()121224x x k y y k-+=+-=+， 故AB 的中点M的坐标为22,44k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，由AB CD ⊥，它们的斜率乘积为-1，可得CD的中点坐标为N ⎝⎭，=21k =，==， 故直线MN过点5G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 当21k ≠时，()2254154MGk k k k ==-+，()22541514NGk k k k ==-+，所以MG NG k k =，即M ，N ，G 三点共线，所以直线MN过定点,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，若1l ，2l 有一个斜率不存在时，则必有一直线为y轴，也过定点5⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，综上，直线MN过定点⎫⎪⎪⎝⎭.本题考查了椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，关键点是利用韦达定理求出中点坐标讨论中点所在直线是否过定点，考查了分类讨论的思想，分析问题、解决问题及计算问题的能力，属于难题.（二）选考题：（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程14cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）为参数在变换:2x xy yϕ'=='⎧⎨⎩的作用下曲线C 变换为曲线C '.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C '的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C '的对称中心为P ，直线l 与曲线C '的交点为A ，B ，求PAB △的面积.（1）()()221216x y -+-=；2x y -=；（2）2. （1）先由变换:2x x y y ϕ'=='⎧⎨⎩得曲线14cos :24sin x C y αα='+⎧⎨=+⎩，（α为参数），再消参得普通方程.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）得C '得圆心()1,2P ，求得圆心()1,2P 到直线l 的距离，再由几何法求得弦长AB ，从而求得PAB △的面积.解：（1）曲线C 的参数方程14cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）经过变换:2x xy y ϕ'=='⎧⎨⎩得14cos :24sin x C y αα='+⎧⎨=+⎩，（α为参数）消参得普通方程为()()221216x y -+-=.cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即cos sin 2ρθρθ-=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到直线l 的直角坐标方程为2x y -=.（2）由C '得圆心()1,2P ，则圆心()1,2P 到直线l 的距离为d ==∴AB ==所以PAB △的面积为122S =⨯=. 方法点睛：在解决直线与圆的相关问题时，注意运用直线与圆的几何性质，可使运算简便. 23. 已知函数()1f x x a x a=-++. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若不等式()2f x m m ≥-对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.（1）34xx ⎧<-⎨⎩∣或94x ⎫>⎬⎭；（2）12m -≤≤. （1）依题意可得1|2|32x x -++>，再利用零点分段法解绝对值不等式； （2）根据绝对值三角不等式及基本不等式求出()f x 的最小值，再解一元二次不等式即可求出参数的取值范围；解：（1）当2a =时，不等式()3f x >为1|2|32x x -++>. 所以21232x x x ≥⎧⎪⎨-++>⎪⎩或1221232x x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-++>⎪⎩或()121232x x x ⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪---+> ⎪⎪⎝⎭⎩解得34x <-或94x >，综上所述，不等式的解集为3|4x x ⎧<-⎨⎩或94x ⎫>⎬⎭；（2）()()111||f x x a x x a x a a a a ⎛⎫=-++≥--+=+ ⎪⎝⎭，而112a a a a +=+≥=，当且仅当1=a 时等号成立. 即当x 和a 变化时，()f x 的最小值为2，因为不等式()2f x m m ≥-对任意实数x 及a 恒成立，∴22m m ≥-， ∴12m -≤≤.本题是含参数的不等式恒成立问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.。