§3映射与函数解读
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
映射与函数PPT课件
3.请同学们考虑以下两个问题：
(1) y 1是函数吗？ （2）y x与y x 2 是同一个函数吗？
x
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。 因此，需要从新的高度认识函数。
实例三
“八五”计划以来我国城镇居民 恩格尔系数变化情况
时间
(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔
系数(%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
t/年
2019/11/3
15
时间t的变化范围是数集A t 1979 t 2001 面积S的变化范围是数集B S 0 S 26
S/106km 2
30 2256 20 15 10 5 01979 81 83 85 87 89 91 93 95 97 9
9
2001
t/年
A中的任意一个时间t,按照图中曲线,在 数集B中都有唯一确定的面积S和它对应
A={1991,1仿992照,199实3,19例94,(1919)5(,1299)6，,199试7,1恩描998格,述19尔9上9,2系0表00数,2中001} B={53.8, 恩52.9格, 50尔.1, 4系9.9,数48.6和, 46时.4, 4间4.5,(4年1.食 9,)的3物9.2关,支37系出.9} 金. 额
总支出金额
2019/11/3
17
A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001} B={53.8, 52.9, 50.1, 49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
映射与函数
则当 合映射 , 记作
时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 或
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三、函数
1. 函数的概念 定义5. 设数集 D 上的函数 , 记为 因变量 f ( D ) 称为值域 自变量 则称映射 定义域 为定义在
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函数概念是数学中最基本的概念之一，但它不 像算术产生于远古时代，函数概念的产生非常 晚，至今只有三百余年历史。函数概念的演变 大体上可分为萌芽阶段、形成阶段、成熟阶段、 近代阶段和现代阶段等五个阶段。 在公元十六世纪之前，数学上占统治地位的是 常量数学，其特点是用孤立、静止的观点去研 究事物。具体的函数在数学中比比皆是，但没 有一般的函数概念。
某教室座位 的集合
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引例2.
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引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 称为 f 的 值域 .
第三节
第一章
映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、 集合
1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 (或 ).
映射与函数
1 ≤2}， x (3)A={x|0≤y ≤2}，对应法则f :x→y= 3
(4)A={1,2,3}，B={2,4,8}， (4)A={1,2,3}，B={2,4,8}，对应法则 f :x→y=2x (5)A={平面 内的圆} B={平面 (5)A={平面α内的圆}，B={平面α内的 矩形} 对应法则“作圆的内接矩形” 矩形}，对应法则“作圆的内接矩形”
四种有界区间： 四种有界区间： 表示{x|a≤x≤b} 叫闭区间； {x|a≤x≤b}， 1)[a,b] 表示{x|a≤x≤b}，叫闭区间； 表示{x|a {x|a＜ b}，叫开区间； 2)(a,b) 表示{x|a＜x＜b}，叫开区间； 表示{x|a x≤b}，叫左开右闭区间； {x|a＜ 3)(a,b] 表示{x|a＜x≤b}，叫左开右闭区间； 表示{x|a≤x b}，叫左闭右开区间。 {x|a≤x＜ 4)[a,b) 表示{x|a≤x＜b}，叫左闭右开区间。 五种无界区间： 五种无界区间： 表示{x|x≥a} {x|x≥a}； 1)[a,+∞) 表示{x|x≥a}； 表示{x|x a}； {x|x＞ 2)(a,+∞) 表示{x|x＞a}； )(表示{x|x≤a} {x|x≤a}； 3)(-∞,a] 表示{x|x≤a}； )(表示{x|x a}； {x|x＜ 4)(-∞,a) 表示{x|x＜a}； )(表示实数集R 5)(-∞,+∞) 表示实数集R；
• 如果函数中含有分式，那么函数的分母必须不 如果函数中含有分式， 分式 为零。 为零。 • 如果函数中含有偶次根式，那么根号内的式 如果函数中含有偶次根式， 偶次根式 子必须不小于零。 子必须不小于零。 • 零的零次幂没有意义。 零的零次幂没有意义。 零次幂没有意义
练习 1、函数 f ( x ) =
映射与函数
x
闭区间
{x a x b} 记作[a,b]
oa
b
x
玉不琢，不成器；人不学，不知道
2020/1/30
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4
左闭右开区间 左开右闭区间
{x a x b} 记作 [a,b) {x a x b} 记作 (a,b]
无穷区间 [a,) {x a x} (,b) {x x b}
（x,0) Y与之对应。
f是一个映射，D f X , R f Y
例3
设f
: [
,
]
[1,1],
22
对 每 个x [ , ], f ( x) sin x.
22
f是 一 个 映 射 ，D f
[ 2 , 2 ], Rf
[1,1].
玉不琢，不成器；人不学，不知道
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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2）单调性(Monotonicity):
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
思考：是否存在无周期的周期函数？
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3、复合函数(Composite Functions)
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
函数与映射的关系
函数与映射的关系函数与映射是数学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
函数是映射的一种特殊形式，而映射则是函数的一种更普遍的表达方式。
首先，我们来了解函数的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。
在函数中，每个输入都有且只有一个对应的输出。
我们可以将函数想象成一台黑盒子，它接收输入并返回输出，而我们无需关心黑盒子内部的运作过程。
函数的定义通常由一个公式或者算法给出，从而确定每个输入所对应的输出。
而映射是函数的一般形式，它描述了一个集合中的元素如何对应到另一个集合中的元素。
映射可以是一对一的，即每个输入对应到唯一一个输出；也可以是多对一的，即多个输入对应到同一个输出；还可以是一对多或多对多的。
映射的表达方式有多种，例如集合表示法、图表、箭头图等。
映射中的每个元素对我们可以理解为函数中的一个输入-输出对。
函数和映射在数学建模中具有重要的作用。
它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
例如，在经济学中，我们可以将不同的产量和对应的成本通过函数来描述，进而研究成本最小化的问题；在计算机科学中，我们可以通过映射来实现数据的转换和处理，从而实现各种算法和程序。
函数和映射的概念也被广泛应用于物理学、工程学、生物学等学科中。
在数学教学中，函数和映射也是重要的基础概念。
它们可以帮助学生理解抽象的数学概念，并培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
通过学习函数和映射，学生可以了解到不同数学对象之间的联系，例如函数之间的复合和逆运算。
此外，函数和映射还可以帮助学生更好地理解数学的实际应用，从而提升他们的学习兴趣和动力。
总结起来，函数和映射是数学中不可或缺的两个概念。
函数是映射的一种特殊形式，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上，并满足每个输入有且只有一个输出的条件。
映射则是更广义的表达方式，它描述了集合中元素之间的对应关系。
函数和映射在数学建模和教学中都具有重要的作用，它们帮助我们解决实际问题，培养思维能力，理解数学对象之间的联系。
函数、映射到底是什么？
函数、映射到底是什么？在生活中笔者问过许多人, 函数是什么？大家都是笑一笑、摇摇头，不知道该怎么讲。
最近笔者尝试写《老唐讲微积分》一书，先把函数这一节的部分内容发上来，请大家指正。
>>>>一、函数的前世要学懂微积分，第一个要掌握数学概念就是函数，它是微积分的研究对象。
（1）函数概念要解决什么问题？它产生于16、17世纪，起因是生产和科学技术的发展要求数学研究运动和变化中的数量关系。
那么如何研究？数学家们首先创造一个变量的概念，然后紧接着又定义一个函数概念，函数就是研究变量一个工具和办法。
函数要描述一个什么内容？概括性地讲，函数要描述两个变量之间的相互依赖、转化的关系，这就是函数的本质。
（2）伟大的概念首先，它是从常量数学迈进变量数学的标志。
16世纪以前，数学研究的多为静止不动的常量，称为常量数学或者初等数学。
16世纪，变量和函数概念产生标志着数学从常量时代进入到变量时代。
其次，它是数学中最重要的概念之一，有着无比重要地位，在高等数学和近代数学中处于中心地位。
可以讲，没有函数就没有高等数学和近代数学。
克莱因在其名著《高观点下的初等数学》中曾说过：“在过去两个世纪的一切数学概念中，凡用到数学思想的地方，函数概念总起着主导的作用。
函数是数学思考和科学思考的心脏和灵魂。
”美国数学家柯朗与鲁滨逊在其名著《数学是什么》中说：“近代数学的主体，主要围绕着函数和极限的概念。
”再其次，几乎所有的科学领域都离不开函数概念。
它不仅在数学、物理、化学、生物、建筑、机械、电子等自然科学与工程技术学科中有着广泛应用，大到宇宙起源、天体的运行，小到原子、分子的运动，而且在世界人口的增长、金融市场的变化、国民经济的发展、工程技术的创新等社会科学与人文学科也是一种有效研究方法。
（3）函数一词的最初含义函数概念在其产生后的200多年间经历了五次大的演变，这里面既有质的改变，也有形式内容上的完善，其中前几次演变与微积分学有密切关系。
《映射和函数》课件
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数， 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念， 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的 每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内 的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集， 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应
映射与函数
例2、已知集合A {a，b，c}，
B {1，0，1}，从A到B的映射f：
满足f (a) f (b) f (c)，则这样
的映射f有 _____ 个。
分析：分为三类情况考虑：
1f(a) -1 2f(a) 0 3f(a) 1
答案：2 3 2 7个。
例3、已知集合A {1，2，3,4,5}，B {6，7，8}，
x
x [1,)，求f (x)的最小值.
法七、不等式法：用a b 2 ab， 求值域时，要注意“一正二定三相等”
例6、求函数y log 3 x log x 3 1的值域。
法八、数形结合法：利用函数所表示的 几何意义借助于几何方法来求函数的值域。 形如y | x a | | x b |, y | x a | | x b |的 函数求值域就可利用数轴。
则其值域是 ______________________ .
法四:二次函数法(图象法)
（1）求y cos2 x 4sin x 6的值域。 (2)求y 2x2 4x 10, x [5,2]的值域。 (3)求y 2x2 4x 10, x [3,6]的值域。
法五:换元法
例8、求函数y x 2 1 x 2的值域。
2
2 3 10 4
y sin x
答案：3
例5、设f (x)表示 x 6和 2x2 4x 6中 的较小者，则f (x)的最大值为______
画图： 6
6
答案：6
3、图象的变换问题：
例8、设f(x)定义域为R，则下列命题中： 1若y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)图象关于 y轴对称； 2y=f(x)为偶函数，则y=f(x)关于x=2对称； 3若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)关于x=2对称； 4y=f(x-2)与y=f(2-x)关于x=2对称；
函数与映射关系深度剖析
函数与映射关系深度剖析函数与映射关系是数学中两个密切相关的基础概念。
函数是一个将一个集合映射到另一个集合的规则，而映射是一个集合到另一个集合的二元关系。
函数和映射之间的主要区别在于函数必须是单射的，这意味着对于每个输入值，只有一个输出值。
映射不需要是单射的，可以有多个输入值映射到同一个输出值。
函数函数是一个将一个集合（称为定义域）中的元素映射到另一个集合（称为值域）中的元素的规则。
函数可以用多种方式表示，包括：•函数表达式：函数表达式是一个数学表达式，它定义了函数的规则。
例如，函数f(x)=x2将每个实数x映射到其平方。
•函数图表：函数图表是一个表格，它列出了函数的输入值和输出值。
例如，函数f(x)=x2的函数图表如下：输入值输出值-2 4-1 10 01 12 4•函数图：函数图是函数的几何表示。
函数图是函数表达式或函数图表中的点的集合。
例如，函数f(x)=x2的函数图是一个抛物线。
映射映射是一个集合到另一个集合的二元关系。
映射可以用多种方式表示，包括：•映射图：映射图是一个表格，它列出了映射的每个输入值和输出值。
例如，映射f:A→B的映射图如下：输入值输出值a bb cc d•映射图：映射图是映射的几何表示。
映射图是映射图中的点的集合。
例如，映射f:A→B的映射图是一个有向图。
函数与映射之间的关系函数与映射之间的主要区别在于函数必须是单射的，这意味着对于每个输入值，只有一个输出值。
映射不需要是单射的，可以有多个输入值映射到同一个输出值。
例如，函数f(x)=x2是单射的，因为对于每个输入值x，只有一个输出值x2。
映射f:A→B不是单射的，因为有多个输入值映射到同一个输出值。
例如，输入值a 和b都映射到输出值b。
函数和映射的应用函数和映射在数学和计算机科学中有广泛的应用。
一些常见的应用程序包括：•数学分析：函数和映射用于研究函数的性质、极限和导数。
•计算机科学：函数和映射用于定义数据结构和算法。
第 03 讲 映射与函数
第 3 讲 映射与函数（第课时）对应⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫图像法解析法（公式法）列表法表示法值域对应法则定义域三要素近代定义（映射）传统定义（对应）定义两个数集之间的映射函数一般映射映射一对一多对一一对多)( 对应、映射与一一映射这三者之间的关系：重点：1．映射的概念；2．函数的概念；3．函数的表示法。
难点：1．求有特殊要求的映射的个数；2．对函数概念的正确理解。
2．函数的概念可能以小题的形式出现，也可能以大题的形式出现。
参看上面的映射关系图。
⑴ 对应: 若有两个集合A 和B ，有一种关系f ，能使对A 中每一个元素都确定出B 中的一个或几个元素，那么就说f 是一种对应关系，或者说f 使对A 中每一个元素，B 中都有一个或几个元素与之对应。
⑵ 映射: 若有两个集合A 和B ，如果按照某种对应法则f ，使A 中每一个元素在B 中都有唯一的一个元素与之对应，那么这种关系叫做从A 到B 的映射。
记为 f :A →B 。
A 中元素a 所对应的B 中元素b 叫做a 的像，a 叫做b 的原像。
理解映射概念要注意四点:①映射含有对应法则f 以及两个集合 ②映射具有方向性即映射中的两个集合是有顺序的，即f :A →B 和 f :B →A 不是一回事。
③剩余元素不允许A 中有剩余元素，但允许B 中有剩余元素（即任何一个元素在B 中都可以找到唯一的像。
而B 中的元素可以没有原像，也可以有一个或多个原像。
）④一对多不是映射。
⑶ 一一映射: 对于映射f :A →B ，若A 中元素在B 中有不同的像，而且B 中每一个元素都有原像，那么这个映射就叫做A 到B 上的一一映射。
理解一一映射概念要注意三点: ①一一映射的对应关系是一对一。
②B 中任一元素都必须有原像。
③一一映射与一一对应不是一回事。
例如，A 是实数集，B 是数轴上的点集，我们说实数与数轴上的点一一对应有两方面的含义，一是任给一个实数，在数轴上可以找到一点与之对应，即 1f :A →B ；二是任给数轴上一点，可以找到一个实数与之对应，即 2f :B →A ；故一一对应是由两个互为逆映射的一一映射构成的。
函数与映射的概念及其表示方法
函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
函数与映射概念的理解
玩转函数第一招第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】①映射.映射f: A→B的概念。
对于两个集合A，B如果按照某种对应法那么f，对于集合A中的任何一个．．．．元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应〔包括A、B及f〕叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：A→B.f(1) (2) (3) (4)在以上的四种对应关系中，〔1〕〔3〕不是映射，〔2〕〔4〕是映射.对于映射这个概念，应明确以下几点：①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合C⊆B.⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有一样的象，即映射只能是“多对一〞或“一对一〞，不能是“一对多〞.一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射.一一映射既是一对一又是B无余的映射.在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
总结：取元任意性，成象唯一性。
【精准训练】〔1〕设:f M N →是集合M 到N 的映射，以下说法正确的选项是A 、M 中每一个元素在N 中必有象B 、N 中每一个元素在M 中必有原象C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的D 、N 是M 中所在元素的象的集合〔答：A 〕；〔2〕、假设从集合A 到集合B 的映射f 满足B 中的任何一个元素在A 中都有原象，那么称映射f 为从集合A 到集合B 的满射，现集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，那么从集合A 到集合B 的满射f 的个数是： A 、5 B 、6 C 、8 D 、9〔答：B 〕〔3〕点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，那么在f 作用下点)1,3(的原象为点________〔答：〔2，－1〕〕；〔4〕a 、b 为实数，集合x x f a N ab M →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，那么b a += A 、1 B 、0 C 、－1 D 、±1〔5〕假设}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，那么A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个〔答：81,64,81〕；〔6〕设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数〞，这样的映射f 有____个〔答：12〕；〔7〕设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，假设B={1,2}，那么B A 一定是_____〔答：∅或{1}〕.〔8〕、集合{1,2,3}A =，{1,0,1}B =-，那么满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B→的个数是 ( )〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕7〔9〕、从集合{1,2,3}A =到{3,4}B =的映射:f A B →中满足条件(3)3f =个数是( )〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕4 〔D 〕6〔10〕、集合{1,2,3}A =，在A A →的映射中满足条件(3)3f =，(2)1f =个数是( )〔11〕、．A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A 到B 的映射中满足f 〔1〕≤f 〔2〕≤f 〔3〕≤f 〔4〕≤f 〔5〕的映射有〔〕A 、27B 、9C 、21D 、12解：〔1〕当一个不等号也没有时，〔即与B 中的一个元素对应〕，那么f 有C 13个〔2〕有一个不等号时的映射〔即与B 中的两个元素对应〕，f 有C 14·C 23=12个〔3〕有二个不等号的映射，f 有C 24·C 23=6个。
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§3映射与函数一、知识归纳：1．映射的概念：（略）2．映射,,,:B b A a B A f ∈∈→如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。
3．对映射的理解：（1）A 中的每一个元素都要有原象；（2）A 中的元素的象都是唯一的；（3）A 中不同的元素在B 中可以有同一个象；（4）B 中有的元素可以没有原象。
即取元的任意性，成象的唯一性。
4．一一映射：（1）是映射；（2）集合A 中的不同元素在集合B 中有不同的象（单射）；（3）集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象（满射）。
5．函数：当A 、B 是非空数集时，映射B A f →:就是A 到B 的函数。
A 是定义域，值域C 是B 的子集。
6．函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
两个函数相同当且仅当它们的三要素相同。
7．函数的表示法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法。
8．区间的概念：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
9．分段函数的概念：是把定义域分成几个不同的区间，在每个区间上具有不同的法则，合起来是一个函数，而不是几个函数。
二、典型例题：题型1 映射、函数的有关关概念例1 判断下列对应中哪些是映射，哪些不是映射，哪些是一一映射？（1）{}{}0|,|≥=∈=y y B R x x A ，对应法则2:x y x f =→，;,B y A x ∈∈（2）{}{},,数轴上的点有理数==B A 对应法则→有理数:f 数轴上的点； （3）{}{}10|,,0|<<=∈≤=y y B R x x x A ，对应法则4:x y x f =→，;,B y A x ∈∈（4）{}{}10|,900|<<=︒<∠<︒∠=y y B A αα，对应法则B y A y f ∈∈∠=→∠,,sin :ααα。
例2 设A 、B 是坐标平面上的点集{}R y R x y x ∈∈,|),(，映射B A f →:使集合A 中的元素（x ，y ）映射成集合B 中的元素（x+y ，x-y ），则在映射f 下，象（2，1）的原象是例3 下列四组中的函数),()(x g x f 和表示同一个函数的是（ ）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B ．33)()(,)(x x g x x f ==C ．xx x g x x f 2)(,)(== D ．Z x x x g x x f ∈+=-=,12)(,12)( 题型2函数定义域的求法例4 求下列函数的定义域：（1）;542)(2--=x x x f （2）42113)(+-+-=x x x f ； （3）.||)20()(0x x x x f -+= (4)a ax y (3-=为常数）例5 已知,1)(2+=x x f 求)].([),1(x f f x f +例6 （1）已知函数)(x f 定义域为（0，1），求)(2x f 的定义域；（2）已知函数)12(+x f 定义域为（0，1），求)(x f 的定义域；（3）已知函数)1(+x f 定义域为]3,2[-，求)22(2-x f 的定义域；注：（1）对于复合函数)]([x g f 而说，如果函数)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域是使得函数A x g ∈)(的x 的取值范围；（2）如果)]([x g f 的定义域为A ，则函数)(x f 的定义域就是函数)(x g 的值域。
例7已知32341++-=ax ax ax y 的定义域是R ，求实数a 的取值范围。
题型3函数值域的求法例5 作出下列函数的图象：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=);1(2),11(3),1(2x x x x x y （2）|1|3|1|-++=x x y例6 求下列函数的值域：（1）;2332-+=x x y （2）;62+--=x x y （3）|3||1|---=x x y ；（4）12++=x x y （5）;1223222++--=x x x x y （6）;21322+-=x x y （7）{}2,1,0,1,2,1||--∈-=x x y ； （8）]1,3[,232-∈--=x x x y三、针对训练：1．设{}0|≥=x x A ，从A 到B 的映射21:4+=→x y x f ，则象集B 为（ ） A ．R B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<210|y y C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|y y D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|y y 2．设集合A 和B 都是正整数集，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素,2n n +则在映射f 下，象20的原象为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．43．函数]0,5[,322-∈+--=x x x y 的值域是（ ）A ．]4,(-∞B ．[3，12]C ．[-12，4]D ．[4，12]4．函数2222+-=x x y 的值域是（ ） ]1,1.()1,1.(]1,1.[)1,1.[----D C B A5．已知,0<<-a b 且函数)(x f 的定义域为[a ，b]，则函数)()()(x f x f x f -+=的定义域是（ ）A ．[-b ，b]B ．[a ，-a]C ．[-a ，a]D ．[a ，b]6．已知)]1([,1)(2-+=f f x x f 则的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7．已知函数⎩⎨⎧>≤=.1|(|1),1|(|)(2x x x x f （1）作出)(x f y =的图象；（2）求函数的定义域和值域；（3）求)1(2-a f 的值。
8．函数)40(422≤≤--=x x x y 的值域是（ ）A ．]2,2[-B ．]2,0[C ．]2,1[D ．]2,(-∞9．函数xx y -=||1的定义域是（ ） A ．),0[+∞ B ．),0(+∞ C ．)0,(-∞ D ．]0,(-∞ 10．已知函数q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(-f 的值是（ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－611．函数k kx x x f +-=2)(2在区间[0，1]上的最小值为,41则k 是（ ）12．已知,)(2c bx ax x f ++=若1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f 且，求)(x f 的表达式。
13．已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，总有)()()(y x f y f x f +=+，且当0>x 时，32)1(,0)(-=<f x f ；（1）求证：)(x f 是R 上的减函数；（2）求)(x f 在[-3，3]上的最大值和最小值。
§4函数的单调性和奇偶性一、知识精讲：1．如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当21x x <时,都有),()(21x f x f <那么就说函数)(x f 在这个区间上是增函数。
2．如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当21x x <时,都有),()(21x f x f >那么就说函数)(x f 在这个区间上是减函数。
3．如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间。
4．如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)(x f -=)(x f ，那么函数)(x f 就叫做偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立。
5．如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)(x f -=)(x f -，那么函数)(x f 就叫做奇函数，奇函数的图象关于原点对称，反之也成立。
6．函数的定义域关于原点对称是这个函数是奇（偶）函数的必要不充分条件。
7．判断函数奇偶性和单调性的方法：二、典型例题：例1 确定函数94)(2+-=x x x f 的单调区间。
例2 判断下列函数的奇偶性：（1）;32)()2(;3)(24313--+=+=x x x f x x x f（3）;2)1(3)1()(23++-+=x x x f（4）;44)()5(;11)1()(22x x x f x x x x f -+-=-+-=例3 已知奇函数)(x f y =在0<x 时是减函数，求证：)(x f y =在0>x 时也是减函数。
例4 求函数11)(+-=x x x f 的单调递增区间和单调递减区间。
例5 已知函数)3,(5)3(422--∞+-+=在x a x y 上是减函数，求实数a 的取值范围。
例6 已知定义在R 上的奇函数0)(>=x x f y 在时的解析式是1)(2-=x x f ，求)(x f y =的完整表达式。
例7 设.2)(35+-+=cx bx ax x f 已知)3(,9)3(f f 求=-的值。
例8 设)(x f y =在R 上是偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且有),123()12(22+-<++a a f a a f 求a 的取值范围。
三、针对训练：1．下列函数中，在)0,(-∞上是减函数的是（ ）A ．22x y -=B ．x x y 42+=C ．2-=x yD ．1-=x x y 2．关于12-=x y 的单调性的正确说法是（ ） A ．单调递减函数 B ．在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上是增函数C ．在)1,(-∞上是减函数，在),1(+∞上是减函数D ．除x=1外，在),(+∞-∞上是单调递减函数3．函数322-+=x x y 的单调递减区间是（ ）),1.[]1,.(),3.[]3,.(+∞---∞+∞---∞D C B A4．函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则)1(f 等于（ ）A ．17B ．25C ．-7D ．15．在下列函数：（1）;4||3)2(;3)1(222+-=--=x x y x y （3）xx y x x y ||)4(|;1||1|=--+=中，不具有奇偶性的是（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（3）（4） C ．（1） D ．（1）（3）6．若)(x f 是定义在区间[-4，4]上的偶函数，且),1()3(f f >下列各式中一定成立的是（ ）)0()2(.)2()1(.)4()0(.)3()1(.f f D f f C f f B f f A >>-<<- 7．已知函数 8)(35-++=qx px x x f 满足==-)2(,10)2(f f 则（ ）A ．-18B ．-26C ．10D ．-108．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，)(x f =x ，则)5.7(f 等于（ ）A ．-1.5 B.1.5 C.-0.5 D.0.59．函数542-+=x x y 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；10．若)(5)1()(2R x mx x m x f ∈++-=是偶函数，则m=11．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数。