北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习能力达标测试卷A卷(附答案详解)
2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《二次根式的应用》专题达标测试(附答案)
2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《二次根式的应用》专题达标测试（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（）A．3B．C．2D．42．一个长方体纸盒的体积为4dm3，若这个纸盒的长为2dm，宽为dm，则它的高为（）A．1dm B．2dm C．2dm D．48dm3．如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和32cm2的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（）A．98cm2B．60cm2C．48cm2D．38cm24．如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（）A．8﹣3B．9﹣3C．3﹣3D．3﹣25．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为192cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为（）A．18cm2B．20cm2C．36cm2D．48cm26．如图，在正方形ABCD中，正方形AEPF和正方形PHCG的面积分别为12和3，则正方形ABCD的边长为（）A．9B．15C．2D．37．如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则BB′的长为（）A．m B．2m C．m D．2m8．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为2，18，则图中阴影部分的面积等于．10．若矩形的长为（3+）cm，宽为（3﹣）cm，则长方形的面积为cm2．11．已知△ABC中，AC＝，BC＝2，AB＝5，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，且D、C两点分别在边AB的两侧，则线段CD的长为．12．如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为6和3，那么大正方形的面积是．13．如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为．14．一个直角三角形的两直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的面积是cm2．15．已知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于．16．如图，四边形ABCD和CEFG是两个相邻的正方形，其中B，C，E在同一条直线上，点D在CG上，它们的面积分别为27平方米和48平方米，则BE的长为米．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图，在△ABC中，CD、CE分别是AB上的高和中线，S△ABC＝12cm2，AE＝2cm，求CD的长．18．三角形的周长为（5+2）cm，面积为（20+4）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．19．阅读下列材料，并解决有关问题：观察发现：∵，∴，∵＝6+8+2＝14+2＝14+8，∴＝＝＝＝，∵，∴．…建立模型：形如的化简（其中m，n为正整数），只要我们找到两个正整数a、b（a＞b），使a+b＝m，ab＝n，那么＝．问题解决：（1）根据观察说明“建立模型”是正确的．（2）化简：①＝；②＝．（3）已知正方形的边长为a，它的面积与长为、宽为的长方形面积相等，求正方形的边长．20．我国宋代的数学家秦九韶发现：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为s＝，其中p＝（a+b+c）．如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）求△ABC的面积；（2）如图2，AD，BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为点I，求I到边BC的距离．21．若矩形的长a＝，宽b＝．（1）求矩形的面积和周长；（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．22．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵一个长方形面积是，宽是，∴它的长是：÷＝＝2．故选：C．2．解：设它的高为xdm，根据题意得：2××x＝4，解得：x＝1．故选：A．3．解：如图．由题意知：，．∴BC＝（cm），HG＝（cm）．∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，∴BC＝BM＝MD＝cm，HM＝HG＝MF＝cm．∴S阴影部分＝S矩形ABMH+S矩形MDEF＝BM•HM+MD•MF＝＝48（cm2）．故选：C．4．解：∵两个相邻的正方形，面积分别为3和9，∴两个正方形的边长分别为，3，∴阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣3．故选：C．5．解：∵一个面积为192cm2的正方形纸片，边长为：8cm，∴原矩形的长为：8﹣2＝6（cm），宽为：8﹣7＝（cm），∴原长方形纸片的面积为：（cm2）．故选：A．6．解：∵正方形AEPF和正方形PHCG的面积分别为12和3，∴正方形AEPF和正方形PHCG的边长分别为2和，∴AB＝2+＝3．故选：D．7．解：∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故选：B．8．解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0∴+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+a+b﹣c＝2b．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵两个小正方形的面积分别为2，18，∴小正方形的边长为，大正方形边长为3，∴阴影部分的长为3﹣＝2，宽为，∴阴影部分的面积＝2×＝4，故答案为：4．10．解：长方形的面积为（3+）×（3﹣）＝9﹣7＝2（cm2），故答案为：2．11．解：∵AC＝，BC＝2，AB＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，①如图1，当∠DAB＝90°时，过点D作DG⊥AC交于CA延长线于点G，∵AB＝AD，∴∠GAD+∠GDA＝90°，∠GAD+∠CAB＝90°，∴∠GDA＝∠CAB，∴△AGD≌△BCA（AAS），∴GD＝AC，AG＝BC，∴GD＝，AG＝2，∴CG＝3，在Rt△CDG中，CD＝＝＝5；②如图2，当∠ABD＝90°时，过点D作DF⊥BC交CB延长线于点F，∵∠ABC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠DBF＝90°，∴∠CAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△ABC≌△BDF（AAS），∴BF＝AC＝，DF＝BC＝2，∴CF＝3，在Rt△CDF中，CD＝＝＝；③如图3，当∠ACB＝90°时，过点D作DM⊥AC交CA延长线于点M，过点D作DN⊥BC交于点N，∵∠CAD+∠DBC＝180°，∠CAD+∠MAD＝180°，∴∠MAD＝∠DBN，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDN（AAS），∴AM＝BN，MD＝DN，∴四边形MCND是正方形，∴AC+AM＝BC﹣BN＝BC﹣AM，∴2AM＝BC﹣AC＝，∴AM＝，∴CM＝，∴CD＝×＝；综上所述：CD的长为或5或，故答案为：或5或．12．解：∵正方形Ⅰ的面积为6，∴正方形Ⅰ的边长为，∵正方形Ⅱ的面积为3，∴正方形Ⅱ的边长为，∴大正方形的边长为+，∴大正方形的面积为（）2＝9+6，故答案为：9+6．13．解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，∴大正方形边长为：+＝2+3＝5（cm），∴大正方形面积为（5）2＝50（cm2），∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm2）．故答案为：24cm2．14．解：这个直角三角形的面积＝cm2，故答案为：215．解：∵2+2＝（2）2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是2，设斜边上的高为h，则S△ABC＝××＝×h，解得：h＝，故答案为．16．∵正方形ABCD的面积为27，∴BC＝．∵正方形CEFG的面积为48，∴CE＝．∴BE＝BC+CE＝．故答案为：．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：在△ABC中，CE是AB上的中线，S△ABC＝12cm2，∴S△AEC＝S△ABC＝6cm2，∵AE＝2cm，∴AE•CD＝6，即×2•CD＝6，∴CD＝6．18．解：（1）∵三角形周长为cm，两边长分别为cm和cm，∴第三边的长是：cm；（2）∵面积为（20+4）cm2，∴第三边上的高为＝＝（）cm．19．解：（1）将上述式子代入模型进行验证，发现都是正确的即可．（2）①由题意得，解得或，∴＝1+．故答案为：1+．②∵＝，∴，∴或．∴＝﹣＝4﹣．故答案为：4﹣．（3）由题意得a2＝（+4）×2＝18+8，∴a＝＝＝+＝+2．答：正方形的边长是+2．20．解：（1）由题意得：p＝＝＝12，∴S△ABC＝＝＝12；（2）连接IC，过点I分别作AB、BC、AC边的垂线交AB、BC、AC于点M、Q、N，由角平分线的性质定理可知：IM＝IQ＝IN，观察图形易知：S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝＝＝12，∴＝12，解得：IQ＝，故I到边BC的距离为：．21．解：（1）∵矩形的长a＝，宽b＝．∴矩形的面积为：（+）（﹣）＝6﹣5＝1；矩形的周长为：2（++﹣）＝4；（2）a2+b2﹣20+2ab＝（a+b）2﹣20＝（++﹣）2﹣20＝（2）2﹣20＝24﹣20＝4．22．解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；。
2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2-3确定二次函数的表达式》同步达标测试题(附答案)
2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数的表达式》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（）A．y＝（x﹣2）2+4B．y＝（x+4）2+4C．y＝（x﹣4）2+8D．y＝（x﹣2）2﹣4 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．3．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（）A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x4．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+4B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x+1D．y＝x2﹣2x+1 5．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）A．y＝x²﹣4x+3B．y＝x²+4x+3C．y＝x²+4x﹣1D．y＝x²﹣4x﹣1 6．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2xC．y＝﹣x2﹣2x+1D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x7．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（）A．若h＝2，则a＜0B．若h＝4，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝8，则a＞08．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2021B．y＝5（x﹣1）2+2021C．y＝﹣5（x+1）2+2021D．y＝5（x+1）2+2021二．填空题（共8小题，满分32分）9．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：x…012345…y…50﹣3﹣4﹣30…该二次函数的解析式是．10．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是．11．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），则其函数解析式为．12．已知某二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），则此二次函数的关系式是，若在此抛物线上存在一点P，使△ABP面积为8，则点P的坐标是．13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（﹣1，﹣2），则抛物线的表达式为．14．二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的解析式为．15．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式是．16．已知：二次函数y＝ax2+bx+c中的x、y满足下表：x﹣2﹣11347y﹣5040m﹣36（1）m的值为；（2）此函数的解析式为；（3）若0＜x＜4时，则y的取值范围为．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．（1）求抛物线解析式；（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；（2）抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标．20．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），抛物线又经过点（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在图中画出这条抛物线；（3）根据图象回答，当y＞3时，自变量x的取值范围．21．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若函数y＝ax2+2ax+c在m≤x≤m+2时有最大值为4，求m的值；（3）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标．22．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2．（1）求此抛物线的表达式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限．①当△OAB的面积为10时，求B的坐标；②点P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：y＝x2﹣4x+8＝x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4，故选：A．2．解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，∴a＝，∵顶点为（﹣2，1），∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．故选：C．3．解：设这个二次函数的解析式是y＝ax（x﹣3）（a≠0），把（1，﹣4）代入得﹣4＝﹣2a，解得a＝2；所以该函数的解析式为：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．故选：C．4．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，即y＝x2﹣2x+4．故选：A．5．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把（0，3）代入得：4a﹣1＝3，解得，a＝1．所以，这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．故选：A．6．解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，∴a＝±1，∵抛物线开口向下，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，故选：A．7．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，整理得：a（6﹣2h）＝1，若h＝2，则a＝，故A错误；若h＝4，则a＝﹣，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝8，则a＝﹣，故D错误；故选：C．8．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝﹣5，∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2021．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），将（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．10．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为（﹣6，0），∴h＝﹣6，k＝0，又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，∴a＝﹣，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，11．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，故答案为：y＝x2﹣4x+3．12．解：将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c中，可得，解得，∴y＝x2+2x﹣3，设P（m，m2+2m﹣3），∵AB＝4，∴S△ABP＝×AB×y P＝×4×|m2+2m﹣3|＝8，∴|m2+2m﹣3|＝4，∴m2+2m﹣3＝4或m2+2m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1±2或m＝﹣1，∴P（﹣1+2，4）或P（﹣1﹣2，4）或P（﹣1，﹣4），故答案为：y＝x2+2x﹣3；（﹣1+2，4）或（﹣1﹣2，4）或（﹣1，﹣4）．13．解：根据题意设抛物线解析式为y＝ax2，将x＝﹣1，y＝﹣2代入得：﹣2＝a，则抛物线解析式为y＝﹣2x2．故答案为：y＝﹣2x2．14．解：∵二次函数的图象顶点坐标为（﹣1，2），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x+1）2+2（a≠0），∵二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是8，∴交点坐标为（0，8）或（0，﹣8），把（0，8）代入y＝a（x+1）2+2，得8＝a+2，解得a＝6，则这个二次函数的解析式y＝6（x+1）2+2；把（0，﹣8）代入y＝a（x+1）2+2，得﹣8＝a+2，解得a＝﹣10，则这个二次函数的解析式y＝﹣10（x+1）2+2；故答案为：y＝6（x+1）2+2或y＝﹣10（x+1）2+2．15．解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3，∵与y轴的交点的坐标为（0，1），∴1＝a﹣3，解得a＝4，∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1，故答案为：y＝4x2﹣8x+1．16．解：（1）由图中表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，且（4，m）与（﹣2，﹣5）关于直线x＝1对称，∴m＝﹣5；故答案为：﹣5；（2）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（1，4）代入得：4＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，y取最大值4，∵1﹣0＜4﹣1，∴x＝4时，y取最小值﹣（4﹣1）2+4＝﹣5，∴0＜x＜4时，y的取值范围为是﹣5＜y≤4；故答案为：﹣5＜y≤4．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）当x＝2时，y＝x2﹣6x+5＝4﹣12+5＝﹣3≠3，∴该二次函数的图象不经过点（2，3）．18．解：（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝﹣＝﹣1，∴由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，∴﹣4＜m＜2．19．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝4，解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4，联立，解得或，故点P的坐标为（6，﹣8）．20．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将点（1，0）代入，得a﹣1＝0．解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），其关于对称轴的对称点为（4，3），令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），画出函数图象如下：（3）由函数图象知，当y＞3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）∵y＝﹣x2﹣x+4，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝﹣1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值4，∴当y＝4时，有﹣x2﹣x+4＝4，∴x＝0或x＝﹣2，①在x＝﹣1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣2时，y有最大值4，②在对称轴x＝﹣1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝0时，y有最大值4；综上所述：m＝﹣4或m＝0；（3）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），∴MG＝﹣m2+2，∴S△ABM＝×4×（﹣m2+2）＝﹣m2+4，∴当m＝0时，△ABM的面积最大，此时M（0，4）．22．解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，﹣5）代入，得5a＝﹣5，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+4x，故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x；（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，∴设B（2，m）（m＜0），设直线OA的解析式为y＝kx，解得：k＝﹣1，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，﹣2），∴BH＝﹣2﹣m，∵S△OAB＝10，∴×（﹣2﹣m）×5＝10，解得：m＝﹣6，∴点B的坐标为（2，﹣6）；②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，﹣5），B（2，﹣6）代入得：，，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣，如图2，当P A﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：或，∴P（﹣，﹣）．∵AB＝＝，∴P A﹣PB的最大值为．。
北师大版2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题(附答案)
2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题（附答案）一、选择题（1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分）1．下列属于反比例函数的是（）A．xy＝2B．y＝C．y＝D．y＝2．若两个相似三角形的对应高的比是1：4，则它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：163．用一个2倍放大镜照△ABC，则△ABC放大后，不发生改变的是（）A．各内角的度数B．各边长C．周长D．面积4．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）5．如图是一张竖格书法纸，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的A，B，C三点都在竖格线上．若线段AB＝3cm，则线段BC的长为（）A．6cm B．6.5cm C．7.5cm D．10.5cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象在同一平面直角坐标系中，则该坐标系的原点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A （3，0），B（2，﹣1），C（6，0），则点B的对应点D的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（6，﹣3）C．（4，2）D．（6，3）9．一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，小明通过组合电路做实验时，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，其数据如下表所示．若在该电路中，电流表的最大量程是3A，为确保不超过电流表的最大量程，则该电路中电阻不小于（）R（Ω）…234…I（A）…24 1.6 1.2…A．2ΩB．1.8ΩC．1.6ΩD．1.5Ω10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．11．“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A．40米B．60米C．80米D．100米12．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•AC D．AD•BC＝AB•DB13．已知反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是4，则当x≥6时，y 有（）A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值﹣114．将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个15．在如图所示的平面直角坐标系的第一象限中标出了9个整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是（）A．16≤k＜21B．16＜k≤21C．21≤k＜24D．9≤k＜1616．如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，两人的说法如下．下列判断正确的是（）甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法；乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法．A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲和乙都错D．甲和乙都对二、填空题（共9分）17．若点（3，6）和点（a，﹣9）都在反比例函数y＝的图象上，则a的值为．18．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点E在AD上，连接CE，交BD于点F，且△DEF ∽△DBA．（1）BD与CE是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）若AB＝1，∠CBD＝30°，则的值为．19．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4已知P1的纵坐标为10．（1）k的值为；（2）阴影部分的面积S1的值为；（3）阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为．三、解答题（共69分）20．已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝2．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）在图中画出该函数的图象，并根据图象直接写出当﹣1≤x≤﹣2时，y的取值范围．21．如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC 的位似图形△A1B1C1．（1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；（2）若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2（只画出一个三角形即可）．22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？23．河北秦皇岛市的山海关有“天下第一关”之称，小明和小亮想测量“天下第一关”某处城墙的高度．如图，在测量时，小明站在城墙的城台MN（MH是护栏）上，小亮的眼睛A、凉亭顶端C、小明头顶E这三点在一条直线上，已知小亮的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为3.95米，小亮到凉亭的距离BD为5米，凉亭离城楼底部的距离DF为25米，小明身高EM为1.7米，点E，H，M，F在同一直线上，图中所有点在同一平面内，求FM的高度．24．【问题背景】如图1，已知△ABC∽△ADE．（1）若AB＝AC，试判断AD与AE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABD∽△ACE；【尝试应用】（3）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE，求∠BCE 的度数．25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（k≠0）与y2＝2x﹣4的图象交于点A （3，a），B．（1）求k的值；（2）若y1≤y2，请直接写出x的取值范围；（3）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点P（0，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数y1＝的图象交于点C，与y2＝2x﹣4的图象交于点D．记反比例函数y1＝的图象在点A，C之间的部分与线段AD，CD围成的区域（不含边界）为W．①当n＝4时，直接写出区域W内的整点个数，并写出这个整点的坐标；②若区域W内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．26．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在AB的延长线上，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝2．（1）图1中阴影部分的面积与△ADE的面积比为；（2）若将△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转a（0°＜a＜90°），此时线段AD，射线AE分别与射线BC交于点M，N．①当△ADE旋转到如图2所示的位置时，求证：△ABN∽△MAN；②如图2，若BM＝1，求BN的长；③在旋转过程中，若BM＝d，请直接写出CN的长（用含d的式子表示）．参考答案一、选择题（1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分）1．解：A、由原式得到y＝，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；B、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项不符合题意；C、该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；D、该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：∵两个相似三角形的对应高的比是1：4，∴它们的周长比为1：4．故选：B．3．解：用一个2倍放大镜照一个△ABC，△ABC放大后，各内角大小不变，各边长发生改变，面积发生变化，周长发生变化，故B，C，D不符合题意．故选：A．4．解：因为反比例函数y＝（k≠0）的图象在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，A．﹣1×1＝﹣1＜0，故本选项符合题意；B．﹣1×（﹣1）＝1＞0，故本选项不符合题意；C．0×（﹣1）＝0，故本选项不符合题意；D．﹣1×0＝0，故本选项不符合题意；故选：A．5．解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝7.5．故选：C．6．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故选：C．7．解：在函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）中，∵4＞0，﹣4＜0，∴函数y＝（x＞0）的图象在第一象限，函数y＝﹣（x＞0）的图象在第四象限，∴该坐标系的原点是点N，故选：B．8．解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∴点B的坐标为（2×2，﹣1×2），即（4，﹣2），故选：A．9．解：∵一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，∴设I＝，把R＝2时，I＝2.4代入得2.4＝，∴U＝4.8，∴电流I（A）和电阻R（Ω）之间的反比例函数解析式为I＝，当≤3时，即R≥1.6，∴该电路中电阻不小于1.6Ω，故选：C．10．解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第一、三象限，B选项符合；k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选：B．11．解：由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍．观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米，所以汽车到观测点的距离约为80米，故选C．12．解：A．∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意；B．∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意；C．根据AB2＝AD•AC可得，AB：AC＝AD：AB，结合∠A＝∠A能判断△ADB与△ABC 相似，故本选项不符合题意；D．∵AD•BC＝AB•DB，∴AD：AB＝BD：BC，结合∠A＝∠A，不能判定△ADB与△ABC相似，故本选项符合题意；故选：D．13．解：∵反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是4，∴k＜0，∴在每一个象限内，y随着x增大而增大，当x＝﹣1时，y取得最大值4，此时k＝﹣1×4＝﹣4，∴当x＝6时，y＝，∴当x≥6时，y≥，∴y有最小值，故选：C．14．解：如图1，∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′；如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值不变，对应角相等，故新图形与原图形相似；如图3，∵AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，则A′B′＝C′D′＝4+2＝6，A′D′＝B′C′＝6+2＝8，则可得≠，∴新矩形与原矩形不相似．故选：C．15．解：当反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点（2，8）和（8，2）时，k＝2×8＝16，此时，反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方有5个整点，当反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点（3，7）和（7，3）时，k＝3×7＝21，此时，反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方有3个整点，由图象可知，若反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是16≤k＜21，故选：A．16．解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA 或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，此时0≤PC＜8；如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，当点G与点A重合时，CA2＝CP•CB，即42＝CP×8，∴CP＝2，∴此时，0＜CP≤2；当0＜CP≤2时，有4种不同的剪法；当2＜CP＜8时，有3种不同的剪法．∴甲和乙对．故选：D．二、填空题（共9分）17．解：把点（3，6）代入y＝得6＝，解得k＝18，所以反比例函数解析式为y＝，把点（a，﹣9）代入y＝得﹣9＝，解得a＝﹣2，故答案为：﹣2．18．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∵△DEF∽△DBA，∴∠DFE＝∠DAB＝90°，∴BD⊥CE；故答案为：是；（2）AB＝1，∠CBD＝30°，四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝1，BD＝2，∴AD＝，∵△DEF∽△DBA，∴，即，∴DF＝，∵∠DFC＝∠BCD，∠BDC＝∠BDC，∴△DFC∽△DCB，∴，即，∴，∴．故答案为：．19．解：（1）点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴10＝，∴k＝20，故答案为：20；（2）如图，∵点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P2，的横坐标为4，∴y＝＝5，∴P2的纵坐标为5，∴P2H＝5．∵四边形P2CGH为矩形，∴CG＝P2H＝5，∵点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，∴P1G＝10，OG＝2，∴P1C＝10﹣5＝5，∵四边形P1AOG和四边形BOGC为矩形，∴BC＝OG＝2，∴S1＝P1C•BC＝5×2＝10，故答案为：10；（3）∵点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x 轴、y轴的垂线，∴S2＝S矩形BDMC，S3＝S矩形DENM，S4＝S矩形EFKN，∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为．∵点P5在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P25的横坐标为10，∴y＝＝2，∴P5的纵坐标为2，∴P5P＝2，∵四边形FOPP5为矩形，∴KG＝P5P＝2，∴P1K＝P1G﹣KG＝10﹣2＝8，∴＝P1K•FK＝8×2＝16．∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为16，故答案为：16．三、解答题（共69分.）20．解：（1）设y＝（k≠0），把x＝4，y＝2代入得2＝，∴k＝8，∴该函数解析式为：y＝；（2）函数y＝的图象如图所示：当﹣1≤x≤﹣2时，y的取值范围是﹣8≤y≤﹣4．21．解：（1）如图，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作．22．解：（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得，解得：，∴y＝﹣2x+10；②当x＞3时，设y＝，把（3，4）代入得：m＝3×4＝12，∴y＝；综上所述：当0≤x≤3时，y＝﹣2x+10；当x＞3时，y＝；（2）能；理由如下：令y＝＝1，则x＝12，3＜12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．23．解：过点A作AK⊥CD于点K，AG⊥EF于点G，∵CK∥EF，∴△ACK∽△AEG，∴＝，∴＝，解得：EG＝14.1，∴EF＝EG+FG＝14.1+1.6＝15.7（m），∴MF＝15.7﹣EM＝15.7﹣1.7＝14（m），答：FM的高度为14m．24．（1）解：AD＝AE，理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵AB＝AC，∴AD＝AE；（2）证明：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（3）解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ACE＝∠B，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°．25．解：（1）点A（3，a）代入y2＝2x﹣4得，a＝2×3﹣4＝2，∴点A（3，2），又∵点A（3，2）在反比例函数y1＝（k≠0）的图象上，∴k＝6（2）方程组的解为，，而点A（3，2），∴点B（﹣1，﹣6），由两个函数的图象及交点坐标可知，当y1≤y2时，x的取值范围为0＜x＜3或x＜﹣1；（3）①如图1，当n＝4时，即点P（0，4），直线y＝4与两个函数图象的交点为C、D，当y＝4时，即4＝，解得x＝，∴点C（，4），当y＝4时，即2x﹣4＝4，解得x＝4，∴点D（4，4），而直线y＝2x﹣4与x轴的交点E（2，0），∴反比例函数y1＝的图象在点A，C之间的部分与线段AD，CD围成的区域（不含边界）为W区域中整数点的个数为1，其坐标为（3，3），答：当n＝4时，区域W内的整点有1个，这个整点的坐标为（3，3）；②如图2，当n＝5时，即点P（0，5），直线y＝5与两个函数图象的交点C′，D′，可求出C′（，5），D′（，5），而点A（3，2），若区域W内的整点恰好为3个，即（2，4），（3，3），（3，4），因此此时4＜n≤5，当n＝1，即点P（0，，1），直线y＝1与两个函数图象的交点C″，D″，可求出C″（6，1），D″（，1），而点A（3，2），若区域W内的整点恰好为3个，即（3，1），（4，1），（5，1），因此此时0＜n＜1，综上所述，若区域W内的整点恰好为3个，n的取值范围为0＜n＜1或4＜n≤5．26．（1）解：∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠D＝∠DAE＝45°，AD＝AE＝4，∴△ABF∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝，∴阴影部分的面积与△ADE的面积比为，故答案为：；（2）①证明：∵∠ABN＝∠MAN＝45°，∠ANB＝∠MNA，∴△ABN∽△MAN；②解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则BC＝＝4，∴CM＝BC＝BM＝3，∵∠AMC＝∠B+∠BAM＝45°+∠BAM，∠BAN＝∠MAN+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠AMC＝∠BAN，∵∠B＝∠C，∴△ABN∽△MCA，∴＝，即＝，解得：BN＝；③解：如图2，当点N在线段BC上时，由②可知：△ABN∽△MCA，∴＝，即＝，解得：BN＝，∴CN＝BC﹣BN＝4﹣＝，如图3，当点N在线段BC的延长线上时，CN＝BN﹣BC＝﹣4＝，综上所述：CN的长为或．。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）＝0B．x2﹣4y＝0C．x2﹣＝5D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（）A．2016B．2020C．2025D．20263．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（）A．1B．±1C．﹣1D．04．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c ＝0，则（）A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0 5．用配方法解方程x2+8x+9＝0，配方后可得（）A．（x+8）2＝73B．（x+4）2＝25C．（x+8）2＝55D．（x+4）2＝7 6．如图，某学校计划在一块长12米，宽9米的矩形空地修建两块形状大小相同的矩形种植园，它们的面积之和为60平方米，两块种植园之间及周边留有宽度相等的人行通道，若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（）A．x2﹣17x﹣16＝0B．2x2+17x﹣16＝0C．2x2﹣17x﹣16＝0D．2x2﹣17x+16＝07．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，58．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题（共8小题，满分40分）9．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为．10．一元二次方程x2﹣x＝0的解是．11．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是．12．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2022﹣3a2﹣3a的值是．13．某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为．14．已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是．15．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程．16．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解方程：（1）3x2﹣1＝4x；（2）（x+4）2＝5（x+4）．18．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．19．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b 之间的数量关系式．20．疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？21．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；故选：A．2．解：把x＝1代入方程ax2+bx+5＝0得a+b+5＝0，所以a+b＝﹣5，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+5＝2026．故选：D．3．解：把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，解得m1＝﹣1，m2＝1，而m+1≠0，即m≠﹣1．所以m＝1．故选：A．4．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，∴x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，又∵有两个相等的实数根，∴a（x+2）2＝0（a≠0）．故选：C．5．解：x2+8x+9＝0，x2+8x＝﹣9，x2+8x+16＝﹣9+16，（x+4）2＝7，故选：D．6．解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（12﹣3x）（9﹣2x）＝60，化简整理得，2x2﹣17x+16＝0．故选：D．7．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：由题意得：m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．10．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案为：x1＝0，x2＝1．11．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，∴△≥0且k﹣2≠0，即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0解得k≤4且k≠2．故答案为：k≤4且k≠2．12．解：把x＝a代入x2+x﹣1＝0，得a2+a﹣1＝0，解得a2+a＝1，所以2022﹣3a2﹣3a＝2022﹣3（a2+a）＝2022﹣3＝2019．故答案是：2019．13．解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案是：10%．14．解：当a＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8，而4+4＝8，不符合题意；当b＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，而4+4＝8，不符合题意；当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝a+b，解得a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34，故m的值为34，故答案为34．15．解：设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，依题意得：（50﹣x）（300+10x）＝16000，故答案为：（50﹣x）（300+10x）＝16000．16．解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．∵△PQB的面积等于△ABC面积的，则根据三角形的面积公式，得PB•BQ＝××6×8，2t（6﹣t）＝18，（t﹣3）2＝0，解得t＝3．故经过3秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．故答案是：3．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0．∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，∴x+4＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1．18．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得，m＝2，则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为＝；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；综上，该直角三角形的面积为或．19．解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|＝＝＝6，∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝1，∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，∴b2＝a2+4a．20．解：（1）设每天增长的百分率是x，依题意得：300（1+x）2＝432，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率是20%．（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，依题意得：（900﹣30y）（1+y）＝3900，整理得：y2﹣29y+100＝0，解得：y1＝4，y2＝25．又∵要节省投入，∴y＝4．答：应该增加4条生产线．21．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，依题意，得：100（1+y）2＝256，解得：y1＝0.6＝60%，y2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣x）（200+45x）＝2125，整理，得：9x2﹣50x+25＝0，解得：x1＝5，x2＝．∵要尽量减少库存，∴x＝5．答：售价应降低5元．。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》寒假自主达标测试(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》寒假自主达标测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分50分）1．函数y＝x2﹣6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．3D．﹣1或32．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．1＜x＜6B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣3或x＞1D．x＜1或x＞6 3．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t ﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（5，0），点B的坐标为B（m，m）．若m＞0，△OAB的面积为，过A、B、O三点的抛物线上有异于A、B、O的一点M，点M的坐标为M（a，3），则a的值为（）A．2B．3C．4D．55．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n 关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6D．m＝1，n＝﹣26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（）A．8B．6C．4D．28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a 的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．410．若点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝ax2+4ax+3（a＜0）的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m＜﹣D．m＞﹣二．填空题（共6小题，满分,30分）11．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．13．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．则抛物线的解析式为．14．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是m．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：①对称轴为直线x＝﹣2；②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；④0＜a＜1；其中结论正确结论是（填写序号）．三．解答题（共4小题，满分40分）17．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．18．已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．（1）求A，B两点间的距离及抛物线的顶点坐标．（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．19．近期多次出现进口冷冻牛肉外包装新冠病毒核酸呈阳性，国内的新鲜牛肉价格出现了大幅度涨价．某牛肉摊位购进一批国产新鲜牛肉，进价为每千克40元，物价部门规定其销售价不低于成本价且不高于成本价的2倍．经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合如图所示的一次函数关系：（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用300元，当销售单价为多少时，该批国产新鲜牛肉的日获利最大？最大获利是多少元？20．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y 轴交于点C，连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有个．参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴向左平移m个单位后的函数解析式为y＝（x﹣3+m）2，∵函数图象经过坐标原点，∴（0﹣3+m）2＝0，解得m＝3．故选：C．2．解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，故选：D．3．解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．4．解：∵点A的坐标为（5，0），∴OA＝5，∵点B的坐标为B（m，m），且m＞0，△OAB的面积为，∴＝．∴m＝3，∴B（3，3），∵抛物线经过原点和点A（5，0），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵点M（a，3），∴＝，∴a＝2，故选：A．5．解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，∴﹣y＝x2+（3m+n）x﹣n，∴x2+（3m+2n）x﹣n＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4，∴，解得，故选：B．6．解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意；②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误，不符合题意；③x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故正确，符合题意；④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b正确，符合题意；故选：B．7．解：作PM⊥AD与M，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，∴PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4﹣x，∴AF＝2（4﹣x），∵S△APF＝AF•PM，∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，S△APF有最大值4，故选：C．8．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），故选：B．9．解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝3，∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∴m＝＝2．故选：C．10．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵m﹣1＜m，y1＞y2，∴当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的右侧，则m﹣1≥﹣2，解得m≥﹣1；当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的两侧，则﹣2﹣（m﹣1）＜m﹣（﹣2），解得m＞﹣；综上所述，m的范围为m＞﹣．故选：D．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，∴△ABC的面积为：＝3，故答案为：3．12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．13．解：∵水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．∴B（6，6），A（12，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，∴y＝a（12﹣6）2+6，∴0＝a•62+6，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6；故答案为：y＝﹣（x﹣6）2+6．14．解：由题意，得当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，化简，得：（x﹣2）2＝25，解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去），故答案为：7．15．解：设P（x，x2﹣2x﹣3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．16．解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；④，解得＜a＜1，故④错误，不合题意．故答案是：①③．三．解答题（共4小题，满分40分）17．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即1+4m＞0，∴m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．18．解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或＝3，∴AB＝|﹣1﹣3|＝4，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣3，把（3，0）代入得：m＝3±，∴新抛物线表达式：y＝（x﹣3+）2﹣3或y＝（x﹣3﹣）2﹣3．19．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象可得，当x＝50时，y＝180；x＝70时，y＝140，∴，解得：，销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，40≤x≤80，∴y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+280（40≤x≤80）；（2）设该公司日获利为W元，由题意得W＝（x﹣40）（﹣2x+280）﹣300＝﹣2（x﹣90）2+4700，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴直线x＝90，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，∵40≤x≤80，∴x＝80时，W有最大值，W max＝﹣2×（80﹣90）2+4700＝4500，故当销售单价为每千克80元时，日获利最大，最大获利为4500元．20．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，∴A（﹣2，1），B（4，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为4．。
北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习优生提升测试卷A(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习优生提升测试卷A （附答案详解）1．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于( )A ．2 B ．1 C ．0 D ．无法确定 2．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围在数轴上可以表示为（）A ．B ．C ．D ． 323412360a b b +-+=，则ab 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣8D ．84．将一元二次方程(4)812x x x +=+化为一般形式，正确的是（ ）A ．24120x x ++=B ．24120x x +-=C ．24120x x --=D ．24120x x -+=5．若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．2320x x -+=B ．2320x x +-=C ．2320x x ++=D ．2320x x --= 6．某市的商品房原价为12000元/m 2，经过连续两次降价后，现价为9200元/m 2，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ）A ．12000（1﹣2x ）＝9200B ．12000（1﹣x ）2＝9200C ．9200（1+2x ）＝12000D ．9200（1+x ）2＝120007．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 （ ）A ．x 2－6x+2B ．2x 2＋y ＋1＝0C ．5x 2＝0D ．21x＋x ＝2 8．关于x 的方程ax 2+2x ﹣1=0有实数根，则a 的取值范围正确的是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a≥﹣1C ．a≤﹣1D ．a≥﹣1且a≠0 9．关于x 的一元二次方程﹣x 2+4mx +4=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定10．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A ．22500(1)9100x +＝B ．22500(1%)9100x +＝C ．22500(1)2500(1)9100x x +++＝D ．225002500(1)2500(1)9100x x ++++＝11．若()()22222340a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值为____________.12．方程x 2﹣2x +1＝0的根为x 1＝1，x 2＝1，x 2﹣3x +2＝0的根为x 1＝1，x 2＝2；x 2﹣4x +3＝0的根为x 1＝1，x 2＝3；…；根据以上方程特征，请猜想：方程x 2﹣22x +21＝0的根为_____；关于x 的方程_____的根为x 1＝1，x 2＝n ．13．关于x 的方程()()211320m x m x m -++++=，当m ______时，为一元一次方程；当m ______时，为一元二次方程.14．为绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14m ，面积为23200m ，则操场长________m ，宽________m .15．若()()222393200x x x x +-++=，则23x x +=______.16．一元二次方程22y y =的解为________．17．方程3x 2+6x ＝0的解是_____．18．若实数,a b 满足225-4690a b ab b +++=，则+a b 的值为________．19．如果关于x 的一元二次方程250x x m -+=的一个根为1，则另一为______． 20．10月8号到校前,帅童收到学校的一条短信通知发给若干同学,每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信,此时收到这条短信的同学共有157人,帅童给____个同学发了短信21．A 、B 两码头相距48千米，一轮船从A 码头顺水航行到B 码头后，立即逆水航行返回到A 码头，共用了5小时；已知水流速度为4千米/时，求轮船在静水中的速度． 22．用适当的方法解下列方程(1)2257x x +=.(2)()()23231x x -=--．23．解方程：（1）x 2﹣4x ﹣7=0（2）2(3)2(3)0x x -+-=24．某市某企业为节约用水，自建污水净化站.7月份净化污水3000t ，9月份增加到3630t ，求这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率.25．解方程：21x -3x-502= 26．解方程：（1）2890x x +-= ；（2）解方程：3(2)42x x x -=-27．解方程：()212132x +=. 28．某商店购进一批小玩具，每个成本价为20元，经调查发现售价为32元时，每天可售出20个，若售价每增加5元，每天销售量减少2个；售价每减少5元，每天销售量增加2个，商店同一天内售价保持不变.（1）若售价增加元，则销售量是（______________）个（用含的代数式表示）； （2）某日商店销售该玩具的利润为384元，求当天的售价是多少元？（利润=售价-进价）参考答案1．A【解析】【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2−c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．【详解】根据题意得：△＝4−4a（2−c）＝0，整理得：4ac−8a＝−4，4a（c−2）＝−4，∵方程ax2＋2x＋2−c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：c−2＝−1a，则1a＋c＝2，故选A.【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据已知得出22-4×1×k＞0，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．【详解】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴22-4×1×k＞0，解得：k＜1，在数轴上表示为：，故选B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．C【解析】【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，然后代入ab 计算即可.【详解】212360b b -+=，（b ﹣6）2＝0，∴3a +4＝0，b ﹣6＝0，∴a ＝﹣43，b ＝6， ∴ab ＝﹣43×6＝﹣8， 故选C ．【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.4．C【解析】【分析】去括号、移项，可得出答案．【详解】解：∵(4)812x x x +=+，∴24812x x x +=+，∴24120x x --=，故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确变形是解题关键．5．A【解析】【分析】先对22125x x +=变形，再由123x x +=得到122x x =，最后结合选项即可得到答案.【详解】∵22125x x +=，∴()2121225x x x x +-=，而123x x +=，∴12925x x -=，∴122x x =，∴以1x ，2x 为根的一元二次方程为2320x x -+=．故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的求解.6．B【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据该市商品房的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】设平均每次降价的百分率为x ，依题意，得：12000（1﹣x ）2＝9200．故选：B ．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．C【解析】【分析】根据一个未知数，未知数的最高次是2次的方程就可以判断出.【详解】一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次是二次的方程叫做一元二次方程。
2023年春学期北师大版九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷附答案解析
2023年春学期九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是()A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …-2013…y …6-4-6-4…下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（）A ．21(2)42y x =--B ．21(1)32y x =--C ．21(2)52y x =--D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：①<0abc ；②240b ac ->；③0a b c ++=；④21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⑤若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是_____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．23．如图，抛物线y ＝x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB +PC 的值最小时的点P 的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2 ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案：1．A2．D3．A4．C5．C6．D7．D8．D9．C10．C11．D12．B13．126414．（2，0）15．316．132y y y <<17．1018．﹣3＜x ＜119．420．1.12521．(1)2114y x =-+(2)23(3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）26，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练（附答案）1．如图1所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与y轴的交点为点A（0，2），且过点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）连接AB．若抛物线的对称轴上存在两点C，D（点D位于点C下方），使△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，求点C和点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2所示，点P是线段AB上一点，连接DP．一动点Q从D 点出发沿D→P→B运动，至点B时停止．如果点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，要使点Q在整个运动过程中用时最少，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+x与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，当△F′F″K为等腰三角形，直接写出OK的值．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0）、C，交y轴于点B（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E在该抛物线的对称轴上，若以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似（相似比不为1），求点E的坐标．4．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．5．已知抛物线L：y＝x2﹣4x+2，其顶点为C．（1）求点C的坐标；（2）若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与直线y＝kx+b交于点A（3，0）和B（0，3），点D是抛物线上的动点，过点D作DE⊥AB于点E，交x轴于点F，连接BF．（1）求抛物线的解析式：（2）当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标；（3）连接AD，在抛物线上是否存在点D，使tan∠DAE＝，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．9．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c 经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．（1）求b，c的值．（2）点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝t，△PBD的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．10．如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．（1）求证：点P在直线l上；（2）已知直线l与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值；（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．11．如图，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2过点B（﹣2，2），点C是直线OB与抛物线的另一个交点，且点B与点C关于原点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣2＜t＜2），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，说明理由．12．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣2）、B（8，﹣2）两点，点C为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接AC、AB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E在AB下方的抛物线上，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，是否存在点E，使得△AEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B，与y轴正半轴交于C，OB＝OC＝3OA．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图1，在抛物线对称轴上求一点P，使CP⊥BP．（3）如图2，若点E在抛物线对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．（1）求点D的纵坐标．（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝，且与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设点D是线段BC上的一动点，过D作x轴的垂线，交抛物线于E，当线段DE的长度最大时，判断此时四边形OCDE的形状并说明理由；（3）如图2，设P是抛物线上且位于直线BC上方的点，求△BCP面积的最大值．16．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点D（m，0）是x轴上一动点，且m＜3，过点D作直线l⊥x轴交直线BC于点E，交抛物线于点P，过点P作PH⊥BC于点H．当△BDE与△PHE全等时，求点P的坐标．17．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝2，且OA＝1，OC＝3，连接AC，BC．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）的图象经过点，，与y轴交于点C，点P（m，n）．（Ⅰ）求抛物线解析式和点C的坐标；（Ⅱ）过点作直线l⊥y轴，将抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，若P 为抛物线一点，平移后对应点为P'，当DP＝DP'时，求P点坐标；（Ⅲ）若点P（m，n）为抛物线对称轴上一动点，连接P A，PC，若∠APC不小于60°，求n的取值范围．19．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣a（a＜0）交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点D，直线l：y＝kx+b与抛物线交于点C．（1）若C（﹣，﹣），直线l过点B．①连接DC，BC，求△DCB的面积；②抛物线上两点M，N，点M在点N的左侧，且都在直线l上方，MG⊥直线l于点G，NH⊥直线l于点H，当四边形MGHN是正方形时，求点N的横坐标；（2）已知点Q（0，﹣2a），连接QA，QB，直线l交QA，QB分别于点E，F，且直线l 与抛物线只有一个公共点C，若此时QE+QF＝3，求a的值．20．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝﹣（其中m为常数，且m＜0）关于原点对称得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别为M，N．（1）请直接写出抛物线C2的表达式；（用含有m的式子表示）（2）若抛物线C1与x轴的交点从左到右依次为A，B，抛物线C2与x轴的交点从左到右依次为C，D．①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD＝3BC，求m的值；②是否存在这样的m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）在抛物线C1对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与y轴相交于P，Q两点，且GM＝pGP，GN＝qGQ，求p﹣q的值．参考答案1．解：（1）∵函数y轴的交点为点A（0，2），∴c＝2，∵抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+2，将点代入y＝ax2﹣2ax+2，∴＝a﹣5a+2，解得a＝2，∴y＝2x2﹣4x+2；（2）∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设C（1，m），D（1，n），∵A（0，2），点，∴AB＝，AB的中点H（，），∵△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，∴CH＝DH＝AB，∴＝，解得m＝5或m＝，∵点D位于点C下方，∴D（1，），C（1，5）；（3）过点P作PQ⊥BC于Q，∵A（0，2），，C（1，5），∴AC＝，AB＝，BC＝，∵AC⊥BC，∴PQ∥AC，∴＝，即＝，∴PQ＝2BQ，∴tan∠PBQ＝2，BP＝BQ，sin∠PBQ＝，∵点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，∴设Q点在DP上的运动时间为t，在PB上的运动时间为k，∴DP＝2t，PB＝k，∴PQ＝BP•sin∠PBQ＝k•＝2k，∴从P点到B所用的时间与从P点到Q点所用的时间相同，∴当D、P、Q三点共线时，PD+PQ的路程最短，用时间也最短，∴PD+PQ＝2t+2k＝2（t+k），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝3x+2，∵AC∥DQ，∴设DQ的解析式为y＝3x+b'，∴3+b'＝，解得b'＝﹣，∴y＝3x﹣，设直线AB的解析式为y＝k'x+b''，∴，解得，∴y＝x+2，联立方程组，解得，∴P（，）．2．解：（1）令x＝0，则y＝，∴C（0，），∴CO＝，∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴D（2，），∵DH⊥x轴，∴H（2，0），令y＝0，则﹣x2+x＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，∵AE⊥AC，∴∠CAO+∠OAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠OAE＝∠ACO，∴＝，即＝，∴HE＝，∴DE＝2；（2）如图1，作C点关于直线DE的对称点H，作C点关于直线AE的对称点G，连接GH交AE于点F，交DE于点P，连接CP，CF，∴CP＝PH，CF＝GF，∴CF+PF+CP＝GF+PF+PH＝GH，∴当G、F、P、H四点共线时，△CPF的周长最小，∵C（0，），D（2，），∴H（4，），∵A（﹣1，0），∴G（﹣2，﹣），设直线GH的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，设直线AE的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x﹣，联立方程组，解得，∴F（0，﹣），∴P（2，），过点M作y轴的平行线交GN于点Q，设M（m，﹣m2+m），则Q（m，m﹣），∴MQ＝﹣m2+m+，∴S△MPF＝×2×（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣）2+，∵0＜t＜2，∴t＝时，△PMF的面积有最大值；（3）由（2）可得CF＝，CP＝，∵OC＝，OA＝1，∴∠OCA＝30°，∴∠CFP＝60°，∴△CFP是等边三角形，边长为，∴翻折后形成边长为的菱形C'F'P'F''，且F'F''＝4，①当KF'＝KF''时，如图2，点K在F'F''的垂直平分线上，∴K与B重合，∴K（3，0），∴OK＝3；②当F'F''＝F'K时，如图3，如图4，∴F'F''＝F'K＝4，∵PF的解析式为y＝x﹣，∴在平移的过程中，F'K与x轴的夹角为30°，∵∠OAF＝30°，∴F'K＝F'A，∴AK＝4，∴OK＝4﹣1或OK＝4+1；③当F'F''＝F''K时，如图5，∵在平移的过程中，F'F''始终与x轴的夹角为60°，∵∠OAF＝30°，∴∠AF'F''＝90°，∵F'F''＝F''K＝4，∴AF''＝8，∴AK＝12，∴OK＝11；综上所述：OK的值为3或11或4﹣1或4+1．3．解：（1）将点A（1，0）、B（0，3）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设E（2，t），∴DE＝|t|，AD＝1，∵A（1，0）、B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴tan∠OBA＝，当∠OBA＝∠AED时，＝＝，解得t＝3或t＝﹣3，当t＝±3时，DE＝OB＝3，AD＝OA＝1，∴△AOB≌△ADE，∴此时E不存在；当∠OBA＝∠EAD时，＝＝，解得t＝或t＝﹣，∴E（2，）或（2，﹣）；综上所述：E点的坐标为（2，）或（2，﹣）．4．解：（1）设y＝ax2+bx+c，将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴D（2，1），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣1；（3）设P（t，t﹣1），①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4，∴P（4，3）；②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t，∴t＝﹣2，∴P（﹣2，﹣3）；③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3，∴t＝2，∴P（2，1），此时﹣3+0≠1+0，∴P（2，1）不符合题意；综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）．5．解：（1）∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点C（2，﹣2）；（2）存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形，理由如下：∵M点在直线x＝m上，∴M（m，m2﹣4m+2），∵C（2，﹣2），∴C'（2m﹣2，﹣2），∵C点与C'点关于x＝m对称，∴CM＝C'M，过点M作EF∥x轴，过点C作CE⊥EF交于点E，过点C'作C'F⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMC'＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMC'＝∠ECM，∴△ECM≌△FMC'（AAS），∴EM＝C'F，EC＝MF，∵△CMC′为等腰直角三角形，∴EM＝MF＝CE＝C'F，∵EM＝|m﹣2|，CE＝m2﹣4m+2+2，∴|m﹣2|＝m2﹣4m+2+2，解得m＝2（舍）或m＝3或m＝1，∴M（3，﹣1）或（1，﹣1）．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．7．解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝ax2+2x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，联立方程组，解得x＝或x＝，∵点D在第一象限，∴x＝，∴D（，）；（3）存在点D，使tan∠DAE＝，理由如下：设D（m，﹣m2+2m+3），∴DF的解析式为y＝x﹣m2+m+3，联立方程组，解得x＝，∴E（，），∴DE＝||，AE＝||，∵tan∠DAE＝，∴＝，解得m＝1或m＝3（舍）或m＝﹣，∴D（1，4）或D（﹣，）．8．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，∴顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）；（2）∵抛物线开口向上，∴m≤1时，y随x的增大而增大，故答案为：m≤1；（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，∴y0＝2+4m，∵y0＝﹣1，∴2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，∴y0＝5﹣2m，∵y0＝﹣1，∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，∴y0＝﹣m2+2m+1，∵y0＝﹣1，∴﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；综上所述：m的值为3或﹣+1；（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，∴3≠4，∴此时不符合题意；综上所述：m的值为或2﹣．9．解：（1）令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝3，∴A（3，0），令x＝0，则y＝，∴B（0，），将点A（3，0），B（0，），代入+bx+c，∴，解得；（2）由（1）可得+x+，令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∵A（3，0），B（0，），∴AC＝5，OB＝，∴S△ABC＝××5＝，S△PBC＝××t＝t，∵PD∥AB，∴△PDC∽△ABC，∴＝（）2，即＝（）2，∴S△PCD＝t2，∴S＝S△PBC﹣S△PCD＝t﹣t2，（0＜t＜5）；∵S＝t﹣t2＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S的最大值为；（3）∵+x+＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，设M（，m），N（n，0），B（0，），①如图1，当∠BMN＝90°，N点在x轴负半轴时，BM＝MN，过点M作KL∥y轴交x轴于点L，过点B作BK⊥KL交于K，∴∠BMK+∠NML＝90°，∵∠BMK+∠MBK＝90°，∴∠NML＝∠MBK，∴△BMK≌△MNL（AAS），∴BK＝ML，NL＝KM，∵BK＝，KM＝﹣m，ML＝m，NL＝﹣n，∴＝m，﹣m＝﹣n，∴n＝1﹣，∴N（1﹣，0）；②如图2，当∠BMN＝90°，N点在x轴正半轴时，BM＝MN，过点M作EF⊥y轴交于点E，过点N作NF⊥EF交于点F，∵∠BME+∠NMF＝90°，∠BME+∠EBM＝90°，∴∠NMF＝∠EBM，∴△BEM≌△MFN（AAS），∴EM＝NF，BE＝NF，∵BE＝﹣m，EM＝，MF＝n﹣，NF＝﹣m，∴﹣m＝n﹣，＝﹣m，∴n＝+1，∴N（+1，0）；③如图3，当∠BNM＝90°，N点在x轴的负半轴上是，BN＝MN，过点N作ST⊥x轴，过点B作BS⊥ST交于S，过点M作MT⊥ST交ST于T，∴∠SNB+∠TNM＝90°，∵∠SNB+∠SBN＝90°，∴∠TNM＝∠SBN，∴△SBN≌△TNM（AAS），∴SB＝NT，SN＝TM，∵SB＝﹣n，SN＝，NT＝﹣m，MT＝﹣n+，∴﹣n＝﹣m，＝﹣n+，∴n＝﹣，∴N（﹣，0）；④如图4，当∠BNM＝90°，N点在x轴的正半轴上是，BN＝MN，过点N作UV⊥x轴，过点B作BU⊥UV交于点U，过点M作MV⊥UV交于点V，∴∠BNU+∠MNV＝90°，∵∠BNU+∠NBU＝90°，∴∠MNV＝∠NBU，∴△BNU≌△NMV（AAS），∴BU＝VN，UN＝MV，∵BU＝n，UN＝，NV＝﹣m，MV＝n﹣，∴n＝﹣m，＝n﹣，∴n＝+，∴N（+，0）；综上所述；N点坐标为（1﹣，0）或（+1，0）或（﹣，0）或（+，0）．10．证明：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝（x﹣2m）2+2m﹣4，∴顶点P（2m，2m﹣4），当x＝2m时，y＝2m﹣4，∴点P在直线l上；解：（2）联立方程组，整理得x2﹣4mx﹣x+4m2+2m＝0，∵P点在直线y＝x﹣4上，∴x＝2m是方程的一个解，∴方程的另一个解为2m+1，∴Q（2m+1，2m﹣3），∴OQ＝，QP＝，OP＝，当OP＝OQ时，＝，解得m＝；当OP＝PQ时，＝，∴m无解；当OQ＝PQ时，＝，∴m无解；综上所述：m＝；（3）∵m＝0，∴y＝x2﹣4，令y＝0，则x＝±2，∴A（2，0），B（﹣2，0），设直线MN的解析式为y＝kx+b，M（x1，﹣4），N（x2，﹣4），联立方程组，∴x2﹣kx﹣b﹣4＝0，∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣b﹣4，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，∵MA⊥NA，∴∠MAN＝90°，∵∠MAE+∠NAF＝90°，∠MAE+∠AME＝90°，∴∠NAF＝∠AME，∴△AME∽△NAF，∴＝，∵ME＝﹣4，NF＝﹣4，AE＝2﹣x1，AF＝x2﹣2，∴＝，∴2k﹣b+1＝0，∴y＝（1+x）b﹣x，∴当x＝﹣2时，y＝1，∴直线MN经过定点（﹣2，1）．11．解：（1）∵B（﹣2，2），点B与点C关于原点对称，∴C（2，﹣2），将点B（﹣2，2），C（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2；（2）①设P（t，t2﹣t﹣2），∵P、Q关于原点的对称，∴Q（﹣t，﹣t2+t+2），∵点B与点C关于原点对称，∴O是对角线PQ、BC的交点，∴PQ⊥BC，∵B（﹣2，2），∴OB2＝8，OP2＝t2+（t2﹣t﹣2）2，PB2＝（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2，∴（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2＝8+t2+（t2﹣t﹣2）2，∴（t+2）2﹣8﹣t2＝（t2﹣t﹣2）2﹣（t2﹣t﹣4）2，∴2t﹣2＝t2﹣2t﹣6，解得t＝﹣2+2或t＝2+2，∴P（﹣2+2，2﹣2）或（2+2，2+2）；②∵点B与点C关于原点对称，P、Q关于原点的对称，∴BC与PQ互相平分，∴四边形PBQC是平行四边形，过点P作PG∥y轴交直线BC于点G，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x，∵P（t，t2﹣t﹣2），∴G（t，﹣t），∴PG＝﹣t﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2，∴S△BCP＝×4×（﹣t2+2）＝﹣t2+4，∴S四边形BPCQ＝2S△BCP＝﹣2t2+8，当t＝0时，四边形PBQC面积最大为8．12．解：（1）将A（0，﹣2）、B（8，﹣2）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣3x﹣2；（2）存在点E，使得△AEF与△AOC相似，理由如下：∵AE⊥EF，OC⊥OA，∴∠COA＝∠AEF，∵y＝x2﹣3x﹣2＝（x﹣4）2﹣8，∴抛物线的对称轴为直线x＝4，∴C（4，0），∴OC＝4，∵A（0，﹣2），∴OA＝2，∴tan∠OCA＝，设E（t，t2﹣3t﹣2），则F（t，﹣2），∴EF＝﹣t2+3t，AF＝t，当∠OCA＝∠AEF时，△OAC∽△F AE，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；当∠F AE＝∠OCA时，△OAC∽△FEA，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；综上所述：E点的坐标为（，﹣）或（，﹣）．13．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵OB＝OC＝3OA，∴BO＝3，OC＝3，∴B（3，0），C（0，3），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），∵B（3，0），C（0，3），∴BP2＝4+t2，CP2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，∵CP⊥BP，∴18＝4+t2+1+（t﹣3）2，解得t＝，∴P（1，）或（1，）；（3）存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设E（1，m），F（n，﹣n2+2n+3），①当BC为平行四边形的对角线时，3＝1+n，∴n＝2，∴F（2，3）；②当BE为平行四边形的对角线时，3+1＝n，∴n＝4，∴F（4，﹣5）；③当BF为平行四边形的对角线时，3+n＝1，∴n＝﹣2，∴F（﹣2，﹣5）；综上所述：F点的坐标为（2，3）或（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）．14．解：（1）当x＝2时，y＝﹣3，∴D（2，﹣3）；（2）令x＝0，则y＝﹣1，∴A（0，﹣1），∵y＝x﹣1＝（x﹣）2﹣，∴顶点B（，﹣），∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴C（a+2，﹣1），∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB⊥BC，∴||＝|﹣1+|，解得a＝±2或a＝﹣，当a＝2时，B（0，1），C（0，﹣1），此时C点与A点重合，∴a＝2（舍）；∴a＝﹣2或a＝﹣；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝，①当＜0时，a＜﹣2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；②当＞2时，a＞2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0，此时当x＝，函数有最大值﹣，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣+3＝2，∴＝1，解得a＝﹣2；④当1＜≤2时，0＜a≤2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝时，函数有最小值﹣，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣1+＝2，∴＝3，解得a＝2；综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2；（4）∵D（2，﹣3），DE⊥y轴，∴DE所在直线为y＝﹣3，∵A（0，﹣1），R（a﹣3，﹣1），∴N（0，﹣5），R（a﹣3，﹣5），当a＞0且≥a﹣3时，∴0＜a≤8，∵a﹣3＞0，∴3＜a≤8；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＞0且＜a﹣3时，解得a＞8，∵a﹣3＞0，∴a＞3，∵（a﹣3）2﹣•（a﹣3）﹣1≤﹣5，解得a≥15；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＜0时，﹣≥﹣1，解得a＜0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；综上所述：a≥15或a＜0或3＜a≤8时，符合题意．15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4的对称轴是直线x＝，∴＝﹣，∴b＝﹣5a，∴y＝ax2﹣5ax﹣4，将点B（4，0）代入y＝ax2﹣5ax﹣4，∴16a﹣20a﹣4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+5x﹣4；（2）四边形OCDE是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），令y＝0，则﹣x2+5x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣4，设D（t，t﹣4），则E（t，﹣t2+5t﹣4），∴DE＝﹣t2+5t﹣4﹣t+4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，DE的长度最大为4，∴D（2，﹣2），E（2，2），∵OC＝DE＝4，DE∥OC，∴四边形OCDE是平行四边形；（3）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（m，﹣m2+5m﹣4），则G（m，m﹣4），∴PG＝﹣m2+5m﹣4﹣m+4＝﹣m2+4m，∴S△BCP＝×4×（﹣m2+4m）＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8，∴当m＝2时，S△BCP的值最大为8．16．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣）．（2）由（1）可知，OC＝，OB＝3，∴BC＝2，即BC＝2OC，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°，∵DE⊥x轴，∴DE∥OC，∴∠E＝60°，∵PH⊥BC于点H，∴∠PHC＝∠BOC＝90°，∴若△BDE与△PHE全等，只需要BE＝PE即可．∵D（m，0）（m＜3），∴BD＝3﹣m，∴BE＝（3﹣m），∵PE⊥x轴，∴P（m，m2﹣m﹣），∵B（3，0），C（0，﹣），∴y＝x﹣．∴E（m，m﹣），∴PE＝|m2﹣m﹣﹣（m﹣）|＝|m2﹣m|，∴|m2﹣m|＝（3﹣m），∴m＝3（舍去）或m＝﹣2或m＝2．∴P（﹣2，）或P（2，﹣）．17．解：（1）∵抛物线的对称轴x＝2，∴设此抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+h，∵OA＝1，OC＝3，∴A（1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（2）∵点A（1，0），抛物线的对称轴x＝2，∴B（3，0），∴OC＝OB＝3，AB＝2，∴BC＝，∠ABC＝45°，∴∠CAB＜135°，又∠CAB是△AOC的外角，∴90°＜∠CAB＜135°，由y＝（x﹣2）2﹣1可知点P的坐标是（2，﹣1），∴∠PBO＝45°，PB＝，∴∠PBO≠∠BAC，∴点D不可能在B点右侧的x轴上，∴要使以点P、B、D为顶点的三角形与△ACB相似，则∠PBD＝∠ABC＝45°，且或，故分以下两种情况考虑：①当时，∠PBD＝∠ABC＝45°时，△PBD∽△ABC，∴，解得BD＝3，又OB＝3，∴点D与点O重合，即D1（0，0）；②当时，∠DBP＝∠ABC＝45°时，△DBP∽△ABC，∴，解得DB＝，又OB＝3，∴OD＝OB﹣DB＝3﹣＝，∴D2的坐标是（，0），综上所述，满足要求的点D的坐标是（0，0）或（，0）．18．解：（Ⅰ）将点，代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（Ⅱ）∵过点作直线l⊥y轴，∴直线l的解析式为y＝，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∵抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2+＝x2﹣x+1，∴抛物线向上平移+＝4个单位，∵点P（m，n）平移后的点为P'（m，n+4），∵DP＝DP'，∴m2+（﹣n）2＝m2+（﹣n﹣4）2，解得n＝﹣，∴m＝2+或m＝﹣2+，∴P（2+，﹣）或（﹣2+，﹣）；（Ⅲ）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴P（，n），∵点，C（0，﹣3），∴AC＝2，∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，作∠CAO的角平分线交y轴于点M，以M为圆心，AM为半径做圆交抛物线的对称轴于点P，连接MP，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMC＝120°，∴∠APC＝60°，在Rt△AOM中，∠OAM＝30°，∴OM＝1，∴M（0，﹣1），∵MP＝CM＝2，∴+（n+1）2＝4，∴n＝﹣1或n＝﹣﹣1，∴P点坐标为（，﹣1）或（，﹣﹣1），∵∠APC不小于60°，∴﹣﹣1≤n≤﹣1．19．解：（1）①令y＝0，则ax2﹣a＝0，∴x＝﹣1或x＝1，∴A（﹣1，0），B（1，0），令x＝0，则y＝﹣a，∴D（0，﹣a），∵C（﹣，﹣），B（1，0）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴y＝x﹣1，∵C（﹣，﹣）在y＝ax2﹣a上，∴a﹣a＝﹣，∴a＝﹣2，∴D（0，2），∵直线y＝x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），∴S△BCD＝×3×（1+）＝；②∵MN∥直线l，设直线MN的解析式为y＝x+m，∵M、N在直线l的上方，∴m＞﹣1，设M（x1，﹣2x12+2），N（x2，﹣2x22+2），联立方程组，整理得2x2+x+m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴|x1﹣x2|＝，∴MN＝＝|x1﹣x2|＝•，设直线MN与y轴的交点为T，直线l与y轴的交点为L，过点T作TK⊥直线l交于K 点，∵L（0，﹣1），B（1，0），∴∠TLK＝45°，∵TL＝m+1，∴TK＝，∵四边形MGHN是正方形，∴TK＝MN，∴•＝，解得m＝﹣5+或m＝﹣5﹣，∵m＞﹣1，∴m＝﹣5+，∴直线MN的解析式为y＝x﹣5+，∴2x2+x+﹣7＝0，解得x＝或x＝，∴N（，）；（2）联立方程组，整理得ax2﹣kx﹣a﹣b＝0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴Δ＝k2+4a（a+b）＝0，∴k2＝﹣4a（a+b），∵A（﹣1，0），Q（0，﹣2a），设直线AQ的解析式为y＝k2x+b2，∴，解得，∴y＝﹣2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴E点的横坐标为，∵B（1，0），Q（0，﹣2a），设直线BQ的解析式为y＝k3x+b3，∴，解得，∴y＝2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴F点的横坐标为，过点E作EP⊥y轴交于P点，过点F作FJ⊥y轴交于J点，∵A、B关于y轴对称，∴∠AQO＝∠BQO，∵OA＝1，OQ＝﹣2a，∴AQ＝，∴sin∠AQO＝，∴EQ＝＝＝•，FQ＝＝•，∵QE+QF＝3，∴•+•＝•（2a+b）•（+）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝＝3，∴a＝±，∵a＜0，∴a＝﹣．20．解：（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），将点（﹣x，﹣y）代入抛物线，∴抛物线c2的解析式为y＝（x+m）2﹣；（2）①对函数，令y＝0，解得x＝﹣1+m或x＝1+m，∵m＜0，∴A（﹣1+m，0），B（1+m，0），对函数c2y＝（x+m）2﹣，令y＝0，解得x＝1﹣m或x＝﹣1﹣m，∵m＜0，∴C（﹣1﹣m，0），D（1﹣m，0），∴AD＝2﹣2m，BC＝﹣2﹣2m，∵AD＝3BC，∴2﹣2m＝3（﹣2﹣2m），∴m＝﹣2；②存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：∵抛物线c1的对称轴为x＝m，∴M（m，），∵抛物线c2的对称轴为x＝﹣m，∴N（﹣m，﹣），∵M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，∴MN为矩形的对角线，∴AM2+AN2＝MN2，∴1+3+（2m﹣1）2+3＝12+4m2，解得m＝﹣1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线交GI于点K，∴GI∥MH，∴＝，∵GM＝pGP，∴＝＝，∴|t|＝，∵NK∥y轴，∴＝，∵GN＝qGQ，∴＝＝，∴|t|＝，∴＝，∴p﹣q＝2．。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．若二次函数图象的顶点坐标为2,1，且过点()0,3，则该二次函数的解析式为（ ） A ．()21122x y --= B ．()221y x =+- C ．()221y x =-- D ．()221y x =---2．平面直角坐标系中，抛物线y ＝12（x ＋2）（x ﹣5）经变换后得抛物线y ＝12（x ＋5）（x ﹣2），则这个变换可以是（ ）A ．向左平移7个单位B ．向右平移7个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位 3．已知二次函数()2213y x =--，则下列说法正确的是( ) A ．y 有最小值0，有最大值－3 B ．y 有最小值－3，无最大值 C ．y 有最小值－1，有最大值－3 D ．y 有最小值－3，有最大值0 4．二次函数()2y x k h =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1和3，则()22y x k h =+++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（ ）A ．-3和1B ．1和5C ．-3和5D ．3和5 5．若二次函数2y a x bx c =++的图象经过不同的六点()1,A n -、()5,1B n -和()6,1C n +、()14,D y 和()22,E y 、()32,F y 则1y 、2y 和3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y << 6．已知二次函数()24119y x =--上的两点()()1122,,,P x y Q x y 满足123x x =+，则下列结论中正确的是（ ） A ．若112x <-，则121y y >>- B ．若1112x -<<，则210y y >> C ．若112x <-，则120y y >> D ．若1112x -<<，则210y y >> 7．已知抛物线()2<0y ax bx c a =++的对称轴为=1x -，与x 轴的一个交点为()2,0．若关于x 的一元二次方程()20ax bx c p p ++=>有整数根，则P 的值有多少个？（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，直线y=x 与抛物线y=x 2﹣x ﹣3交于A 、B 两点，点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，则线段PQ 的长度随m 的增大而减小时m 的取值范围是（ ）﹣1或1＜m ＜3 9．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为20m ，水池中心O 处立着一个圆柱形实心石柱OM ，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心4m 处到达最大高度为6m ，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M 处101110．如图，在ABC 中90,3cm,6cm B AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．二、填空题11．抛物线22(1)3y x =---与y 轴交点的纵坐标为12．已知实数x 、y 满足x 2﹣2x +4y =5，则x +2y 的最大值为 ．13．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝等进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是 元时，王大伯获得利润最大．14．已知抛物线224y mx mx c =-+ 与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B x 两点，则B 点的横坐标2x ＝ ．15．已知抛物线的函数关系式：()22212y x a x a a =+-+-（其中x 是自变量）．（1）若点()1,3P 在此抛物线上，则a 的值为 ．（2）设此抛物线与x 轴交于点()1,0A x 和()2,0B x ，若122x x <<，且抛物线的顶点在直线34x =的右侧，则a 的取值范围为 ．16．设二次函数2y ax bx c =++（,a b c ,是常数，0a ≠），如表列出了x ，y 的部分对应值． x … 5- 3- 1 2 3 …y … 2.79- m 2.79- 0n … 则不等式20ax bx c ++<的解集是 ．17．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为1x =，图象过点A ，且930a b c ++=，以下结论：⊥420a b c -+<；⊥关于x 的不等式220ax ax c -+->的解集为：13x -<<；⊥3c a >-；⊥()21(1)0m a m b -+-≥（m 为任意实数）；⊥若点()1,B m y ，()22,C m y -在此函数图象上，则12y y =．其中错误的结论是 ．三、解答题设该超市在第x 天销售这种商品获得的利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？21．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0和()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2++=有两个实数根，m的取值范围为__________．ax bx c m(3)不等式23++>-的解集为__________；ax bx c x22．一次足球训练中，小明从球门正前方12m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为8m时，球达到最高点，此时球离地面4m．已知球门高OB为2.58m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.56m处？参考答案：1．C2．C3．B4．A5．D6．B。
初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题2(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题2（附答案详解）1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象交x 轴于点A （﹣2，0）和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC ，下列结论： ①﹣2b a ＜0；②a b c+＞0；③ac ＝b ﹣1；④4a+c ＝2b 其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知函数y ＝2x 与y ＝x 2﹣c(c 为常数，﹣1≤x≤2)的图象有且仅有一个公共点，则常数c 的值为( )A ．0＜c≤3或c ＝﹣1B ．﹣l≤c ＜0或c ＝3C ．﹣1≤c≤3D ．﹣1＜c≤3且c≠03．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知1(1)A y -，，2(2)B y ，是抛物线2(2)3y a x =++(0)a <上的两点，则1y ，2y 的大小关系为 A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．不能确定5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，则下列说法错误的是（ ）A ．4AB = B ．45OCB ∠=C ．当3x >时，0y >D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小7．函数y ＝－2x 2，当x ＞0时图象位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．二次函数2y ax bx =-的图象如图，若方程20ax bx m -+=有实数根，则m 的最大值为（ ）A ．-3B ．3C ．-6D ．09．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴相交于A .B 两点，点A 在点B 左侧，顶点在折线M ﹣P ﹣N 上移动，它们的坐标分别为M （﹣1，4）.P （3，4）.N （3，1）．若在抛物线移动过程中，点A 横坐标的最小值为﹣3．则a ﹣b +c 的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣12C ．﹣4D ．﹣2 10．对于题目“当21x -≤≤时，二次函数()221y x m m =--++有最大值4，求实数m的值.”甲的结果是23374-，则（ ） A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确 11．已知二次函数()()2131y a x x a a =-++-的图象过原点，则a 的值为_______.12．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x ……0 1 2 3 4 …… y…… 4 1 0 1 4 …… 点()11,A x y 、()22,B x y 在函数的图象上，当112x <<，234x <<时，1y 与2y 的大小关系是_______.13．把二次函数y ＝2x 2﹣8x +9，化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式是：___．14．已知y ＝﹣x 2﹣3x+4，则x+y 的最大值为_____．15．将抛物线24y x x =-的图象向左平移3个单位后得到的抛物线是_________． 16．反比例函数1y x =-与二次函数2y x =的共同性质有______.(写出一条符合题意的即可)17．写出一个开口向上，且顶点为()1,2-的抛物线解析式为__________________。
北师大版2020七年级数学上册第二章有理数及其运算自主学习单元综合能力达标测试卷B卷(附答案详解)
北师大版2020七年级数学上册第二章有理数及其运算自主学习单元综合能力达标测试卷B 卷（附答案详解）1．某州开始启用BRT 公交系统，所用车辆是每辆价格约为1800000元的新能源纯电动公交车，数据1800000用科学计数法表示为（ ）A ．18×105B ．1.8×105C ．1.8×106D ．0.18×107 2．下列各运算中正确的是( )A ．()431---=B ．()550--=C ．()1073+-=-D ．()5445----=-3．据统计，截止到2018年9月底，宣城市2018年累计向6500多名建档立卡贫困家庭学生发放资助资金约1179万元，这个数据用科学记数法表示为（）A ．61.17910⨯B ．71.17910⨯C ．81.17910⨯D ．91.17910⨯ 4．已知一个数等于它的绝对值，这样的数共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个5．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（ ） A ．x≥3 B ．x≤﹣2 C ．﹣2≤x≤3 D ．﹣2＜x ＜3 6．已知4a =，7b =，且0a b ->，则+a b 的值为（ ）A ．11B ．3或11C ．3-或11-D ．3 或11- 7．武汉市江岸区某天的最高气温为5℃，最低气温为－3℃，这天的最高气温与最低气温的温差为（ ）A ．2℃B ．－3℃C ．5℃D ．8℃8．若|a ﹣1|+（b +3）2＝0，则b ﹣2a ﹣12的值是（ ） A ．﹣512B ．﹣12C ．﹣112D ．412 9．在有理数()()2311222⎛⎫------ ⎪⎝⎭、、、中，负数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个10．下列说法中正确的是（ ）．A ．倒数等于其本身的数是1B ．有理数分为整数、零和分数C ．如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等D ．互为相反数的两个数的绝对值相等11．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则化简|c－a|＋|a＋b|－|b－c|的值为___________12．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的平方等于25，则()2225a b cd m m+++-+的值是__________.13．32-的底数是______，指数是______．14．对于大于或等于2的整数的平方进行如下“分裂”，如下表分别将22、32、42分裂成从1开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是_____．15．张老师在黑板上写出以下四个结论：①−3的绝对值为13；②一个负数的绝对值一定是正数；③若a=−a，则a一定是负数；④一个五棱柱的截面最多是七边形. 认为张老师写的结论正确的有_______.(填序号)16．定义一种关于⊙的新运算，观察下列各式：2⊙（-1）=2×3-1-3⊙4=-3×3+45⊙2=5×3+2-1⊙（-3）=-1×3-3（1）请你猜一猜（-5）⊙（-7）=_______．（2）请你想一想a⊙b=_______．17．某小店赢利20元记作为+20元，则亏本10元记作为_____元.18．某班开展安全知识竞赛，评分标准是答对一道题得5分，记作+5分，答错或不答一道题扣2分，记作﹣2分．竞赛共有20道题，小明答对了15道题，则小明得分_____．19．如图，将四个数2，5，18和π表示在数轴上，被图中表示的解集包含的数有__．20．在数轴上距离原点2.5个单位长度的点表示的数是________.21．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣4，8．（1）如图1，如果点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位．①A ，B 两点之间的距离为 ． ②当P ，Q 两点相遇时，点P 在数轴上对应的数是 ．③求点P 出发多少秒后，与点Q 之间相距4个单位长度？（3）如图2，如果点P 从点A 出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 从点B 出发沿数轴的负方向以每秒6个单位的速度运动，点M 从数轴原点O 出发沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度运动，若三个点同时出发，经过多少秒后有MP ＝MQ ？22．计算：5- (-4)+7-8.23．利用数轴解决问题：我们知道，若数轴上点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，则A 、B 两点间的距离记作AB ，AB a b =-．（1）若1a =-，2b =，则AB = ；（2）若数轴上一点P 表示的数是x ，31x x -=+，则x = ；（3）若点C 表示的数是c ，已知2a =-，点B 在A 的左边，4AB =，点C 在点A 的右边，2c a =，点B 以每秒1cm 的速度向右移动，同时点A 、点C 分别以每秒1cm 、3cm 的速度向左移动．设移动时间为t 秒，那么CA AB +是否有最小值？若有，求出最小值并写出此时t 的取值范围；若没有，请说明理由．24．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x .（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，则点P 对应的数为 ；（2）利用数轴探究：找出满足316x x -++=的x 的所有值是 ；（3）当点P 以每秒6个单位长的速度从0点向右运动时，点A 以每秒6个单位长的速度向右运动，点B以每秒钟5个单位长的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后P点到点A、点B的距离相等？25．21001999-999⨯26．在三个有理数a，b，c中，a，b都是负数，c是正数，且|b|＞|a|＞|c|．（1）在数轴上表示出a，b，c三个数的大致位置；（2）比较a，b，c，0，-a，-b，-c的大小，并用“＜”连接．27．军运会火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的军运圣火火种，离开海拔5200米的“珠峰大本营”，向山顶攀登．他们在海拔每上升100米，气温就下降0.6°C的低温和缺氧的情况下，于5月8日9时17分，成功登上海拔8844.43米的地球最高点．若此时“珠峰大本营”的温度为-5°C．⑴求峰顶的温度（结果保留整数）；⑵若在登攀过程中测得A处气温是-17°C，试求A处的海拔高度.28．如果x 是－4 的相反数，y 是-13的倒数的绝对值，求y－x 的值．参考答案1．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10na⨯的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n 是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数【详解】1800000用科学记数法表示为1.8×106故选:C【点睛】此题考查科学记数法，难度不大2．D【解析】【分析】根据有理数的减法运算法则对各小题进行计算即可得解．【详解】A．﹣4﹣（﹣3）=﹣4+3=﹣1，故本选项错误；B．5﹣（﹣5）=5+5=10，故本选项错误；C．10+（﹣7）=3，故本选项错误；D．﹣5﹣4﹣（﹣4）=﹣5﹣4+4=﹣5，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握有理数减法法则是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】a⨯的形式（其中科学计数法即把一个绝对值小于1（或者大于等于10）的实数记为10n≤<）.a1101179万711790000 1.17910==⨯故选B【点睛】用科学计数法表示一个数10n a ⨯时，先确定a ，再确定b .4．D【解析】【分析】根据绝对值的意义可以知道全部正数和0的绝对值都等于其本身，据此即可选出答案.【详解】因为正数的绝对值等于其本身，0的绝对值等于其本身，而正数的个数是无限的， 所以个数等于它的绝对值，这样的数有无数个；故答案选D.【点睛】本题考查的绝对值的意义，熟知非负数的绝对值等于其本身是解题的关键.5．C【解析】【分析】将绝对值理解为两点之间的距离，再根据两点之间线段最短分析即可．【详解】|x-3|+|x+2|可以看作：表示x 的点到表示3的点和到表示-2的点的距离的和，根据两点之间线段最短，可知表示x 的点在表示3的点和到表示-2的点的线段上，所以-2≤x≤3． 故选C ．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 6．C【解析】【分析】先依据绝对值的性质求得a 、b 的值, 然后再由0a b ->, 确定出a 、b 的具体值, 最后代入计【详解】解:4a =，7b =, ∴a=4±,b=7±. 又 0a b ->,∴a=4, b=-7.或a=-4，b=-7，∴当a=4, b=-7,则a+b=4-7=-3;当a=-4, b=-7则a+b=-4-7=-11.故选:C.【点睛】本题主要考查有理数的加、减法及绝对值的定义域性质.7．D【解析】【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】5-（-3）=5+3=8℃．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 8．A【解析】【分析】先利用绝对值以及平方的非负数性质得出a 、b 的值，再代入计算即可得答案．【详解】∵|a ﹣1|+（b+3）2＝0，∴a-1=0，b+3=0，解得：a ＝1，b ＝﹣3，∴b﹣2a﹣12＝﹣3﹣2﹣12＝﹣512.故选A．【点睛】本题考查绝对值及平方的非负数性质，根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0列式是解题关键.9．C【解析】【分析】根据指数幂、去括号和绝对值对选项进行计算，再根据负数的定义进行分析即可得到答案. 【详解】()211-=，不符合负数的定义；1122⎛⎫--=⎪⎝⎭，不符合负数的定义；22--=-，符合负数的定义；()328-=-，符合负数的定义；故一共有2个是负数，故选择C.【点睛】本题考查负数的定义、指数幂、去括号和绝对值，解题的关键是掌握负数的定义、指数幂的计算、去括号和绝对值的计算.10．D【解析】【分析】根据倒数、有理数、绝对值的定义和性质判断即可．【详解】解：A、倒数等于其本身的数是1和-1；B、有理数分为整数和分数；C、如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数；D、正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了实数的有关性质，正确把握倒数、有理数、绝对值的定义是解题关键．11．2a【解析】【分析】由数轴的表示可得b ＜c ＜0＜a ，再分别判断绝对值中表示的数的符号，然后根据绝对值的定义去掉绝对值再合并.【详解】根据数轴上点的位置可得：b ＜c ＜0＜a ，且|a|＜|b|，所以c-a ＜0，a+b ＜0，b-c ＜0，所以|c-a|-|a+b|+|b-c|=a-c+a+b+c-b=2a ．【点睛】本题考查绝对值的数轴表示以及绝对值的性质，解题的关键是根据数轴的表示判断绝对值中各项的符号.12．5或105【解析】【分析】根据a 、b 互为相反数，可知a+b=0，由c 、d 互为倒数，可得cd=1，m 的平方等于25，可知m=±5，根据m 的取值分情况可将原式化简，解答即可.【详解】因为a 、b 互为相反数，所以a+b=0，因为c 、d 互为倒数，所以cd=1因为m 的平方等于25，所以m=±5，当m=5时，()()2225=0+1+2255255a b cd m m +++-+-⨯+=当m=-5时，()()()2225=0+1+225525105a b cd m m+++-+-⨯-+=故答案为5或105.【点睛】 本题考查的是相反数、倒数和乘方的意义，根据题干可将原式化简是本题的关键. 13．2， 3．【解析】【分析】在n a中，a是底数，n是指数，n a是幂.【详解】根据乘方的概念，则32的底数是2，指数是3.故答案为：2；3.【点睛】此题考查了有理数的乘方的概念.注意32-和()32-的区别，前者底数是2，后者底数是2-. 14．4035【解析】【分析】由题意可知：每个数中所分解的最大的奇数是前边底数的2倍减去1．由此得出答案即可．【详解】解：自然数n2的分裂数中最大的奇数是2n﹣1．20182分裂的数中最大的奇数是2×2018﹣1＝4035，故答案为：4035．【点睛】此题考查数字的变化规律，注意根据具体的数值进行分析分解的最大的奇数和底数的规律，从而推广到一般．15．②④【解析】【分析】利用绝对值的定义可判断①②③；利用用平面截立体图形可判断④.【详解】①−3的绝对值为3，故①错误；②一个负数的绝对值一定是正数，正确；③若a=−a，则a是负数或0，故③错误；④一个五棱柱的截面最多是七边形，正确；故正确的有②④故答案为：②④【点睛】本题考点涉及绝对值的定义以及用平面截立体图形，熟练掌握相关知识点是解题关键. 16．-22 3a+b【解析】【分析】（1）根据题意列出计算式，根据有理数的混合运算法则计算即可.（2）根据题意列出代数式.【详解】（1）（-5）⊙（-7）=-5×3-7=-22.（2）a⊙b= 3a+b.故答案为-22，3a+b.【点睛】本题考查的是新定义下的有理数的加减运算、乘法运算，掌握它们的运算法则是解题的关键. 17．-10【解析】【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，盈利记为正，可得答案．【详解】解：某小店赢利20元记作为+20元，则亏本10元记作为-10元，故答案为-10．【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．18．+65分【解析】【分析】根据正数和负数的意义解答即可．【详解】由题意得15×5+（20-15）×（-2）=75+（-10）=+65（分）.【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解答本题的关键．19π.【解析】【分析】π的大小，再在数轴上找即可解答【详解】∵12，23，45，3＜π＜4，数轴表示为2≤x≤4π在数轴上π【点睛】此题考查实数与数轴的关系，解题关键在于确定实数的取值范围.20．2.5或 2.5-【解析】【分析】分在原点左边与右边两种情况讨论求解．【详解】解：①该点在原点左边时，表示的数是−2.5；②该点在原点右边时，表示的数是2.5．故答案为：2.5或 2.5-.【点睛】本题考查了数轴，难点在于要分点在原点的左边与右边两种情况讨论求解．21．（1）①12；②﹣10；③点P出发2或4秒后，与点Q之间相距4个单位长度；（2）三个点同时出发，经过23或32秒后有MP＝MQ．【解析】【分析】（1）①根据两点间的距离公式即可求解；②根据相遇时间＝路程差÷速度差先求出时间，再根据路程＝速度×时间求解即可；③分两种情况：P，Q两点相遇前；P，Q两点相遇后；进行讨论即可求解；（2）分两种情况：M在P，Q两点之间；P，Q两点相遇；进行讨论即可求解．【详解】（1）①A，B两点之间的距离为8﹣（﹣4）＝12，故答案为：12；②12÷（6﹣2）＝3（秒），﹣4﹣2×3＝﹣10，故当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是﹣10，故答案为：-10；③P，Q两点相遇前，（12﹣4）÷（6﹣2）＝2（秒），P，Q两点相遇后，（12+4）÷（6﹣2）＝4（秒），故点P出发2或4秒后，与点Q之间相距4个单位长度；（2）设三个点同时出发，经过t秒后有MP＝MQ，M在P，Q两点之间，8﹣6t﹣t＝t﹣（﹣4+2t），解得t＝23；P，Q两点相遇，2t+6t＝12，解得t＝32，故若三个点同时出发，经过23或32秒后有MP＝MQ．【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．22．8【解析】【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可.【详解】解：原式=5+4+7-8=16-8=8.【点睛】本题考查了有理数的加法和减法法则，熟练掌握相关法则是解题的关键.23．（1）3；（2）1；（3）CA AB +的最小值为2，此时t 的取值范围2<t<3【解析】【分析】（1）根据两点之间的距离公式即可求出AB ；（2）根据两点之间的距离公式得出，x 表示数轴上到点3的距离与到点1-距离相等的点，即可求出x 的值.（3）根据点B 在A 的左边，4AB =，点C 在点A 的右边，2c a =，求出,b c 的值，根据移动规律求出6,2,43b t a t c t =-+=--=-,根据两点之间的距离公式得到()()432,26CA t t AB t t =----=----+，求出6242CA AB t t +=-+-.根据两点之间的距离公式即可求出CA AB +的最小值.【详解】（1）123 3.AB =--=-=（2）31x x -=+，x 表示数轴上到点3的距离与到点1-距离相等的点，则 1.x =（3）2,2,a c a =-= 点C 在点A 的右边， 4c ∴=，4AB =,6b ∴=-,6,2,43b t a t c t ∴=-+=--=-, ()()432,26CA t t AB t t ∴=----=----+,6242CA AB t t ∴+=-+-.CA AB +的最小值为2，此时t 的取值范围2<t<3【点睛】考查两点之间的距离公式，熟练掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键. 24．（1）1（2）-2或4（3）2秒或4秒【解析】【分析】（1）由点P 到点A 、点B 的距离相等得点P 是线段AB 的中点，可确定点P 对应的数； （2）3x -和1x +分别表示P 点到数轴上表示3和-1的点的距离,所以316x x -++=表示P 点到数轴表示3和-1的点的距离之和为6，即表示P 点到A 、B 两点的距离之和为6，分P 点在A 点左侧和P 点在B 点右侧讨论计算.【详解】解：（1）∵点P 到点A 、点B 的距离相等，∴P 点只能在A 、B 之间，∴PA=PB=12AB=12×4=2 ∴P 点对应的数为1.（2）316x x -++=表示P 点到数轴表示3和-1的点的距离之和为6，即表示P 点到A 、B 两点的距离之和为6①当P 在A 点左侧时，PA+PB=6，即PA+PA+4=6，∴PA=1，∴x==-2；②当P 在B 点右侧时，PA+PB=6，即PB+4+PB=6，∴PB=1，∴x=4③当P 点A 、B 之间时，x 不存在.∴x 的值为-2或4.（3）设t 秒后P 点到点A 、点B 的距离相等，当P 点在B 左侧时 5t+3-6t=1, ∴t=2当P 点在B 右侧时6t-(5t+3)=1，∴t=4所以它们出发2秒或4秒后P 到A 、B 点的距离相等.【点睛】此题主要考查数轴上表示数的点与点之间的距离的表示方法，即绝对值的几何意义，根据位置进行分类讨论是解答此题的关键.25．1998.【解析】【分析】利用乘法分配律计算即可.【详解】原式=()2229992999-9992999999-9991998+⨯=⨯+= 故答案为：1998.【点睛】本题考查了运算定律以及简便运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算.26．（1）见解析；（2）b ＜a ＜-c ＜0＜c ＜-a ＜-b ．【解析】【分析】（1）根据已知条件在数轴上表示出来即可；（2）根据数在数轴上的位置比较即可．【详解】（1）数轴如下图：；（2）∵三个有理数a ，b ，c 中，a ，b 都是负数，c 是正数，且|b|＞|a|＞|c|，∴b ＜a ＜-c ＜0＜c ＜-a ＜-b ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较、绝对值、数轴和相反数等知识点，能正确在数轴上表示出a 、b 、c 的位置是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 27．（1）-27℃；（2）7200米【解析】【分析】（1）抓住关键词“海拔每上升100米，气温就下降0.6℃”，可列式计算．（2）根据海拔每上升100米，气温就下降0.6℃，可列式计算．【详解】解：⑴(8844.43-5200)÷100×(-0.6)≈-22℃-22+(-5)=-27℃；⑵[-5-(-17)]÷0.6×100=2000(米)，5200+2000=7200(米).【点睛】此题考查有理数的混合运算．解题关键在于注意认真审题，抓住关键词列出算式．28．-1【解析】【分析】根据有理数相关定义求出字母的值，再代入求值.【详解】解：∵ x 是－4 的相反数，y 是 13的倒数的绝对值∴x=4,y=3∴y－x=3-4=-1∴y－x 的值为：-1【点睛】本题考查了有理数的倒数、绝对值、相反数等概念，正确找出x,y的值是解题关键.。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章二次函数》优生辅导测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章二次函数》优生辅导测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09 A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.262．河北省赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABOC 的三个顶点A、B、C，则m的值为（）A．B．2C．1D．24．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN 上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．37．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或8．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣二．填空题（共8小题，满分32分）9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为．10．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是．11．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y＝﹣x2+6x上．设OA＝m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为．12．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为m2．13．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是．14．如图，P是抛物线y＝2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行y轴，分别与y ＝x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝．15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（只填写序号）．三．解答题（共7小题，满分56分）17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB＝8，并求出此时P点的坐标．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx ﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．21．已知抛物线L：y＝x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C （0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.02与y＝0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．故选：C．2．解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y＝﹣x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．故选：C．3．解：∵四边形ABOC是正方形，∴△ABO是等腰直角三角形；在等腰Rt△ABO中，AB＝OB＝，则OA＝AB＝2，即：A（0，2）；∴m＝2；故选：D．4．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．6．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，此时的A点坐标为（﹣1，0），当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），此时A点的坐标最小为（﹣3，0），故点A的横坐标的最小值为﹣3，7．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．8．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），∴一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．10．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．11．解：把x＝m代入抛物线y＝﹣x2+6x中，得AD＝﹣m2+6m把y＝﹣m2+6m代入抛物线y＝﹣x2+6x中，得﹣m2+6m＝﹣x2+6x解得x1＝m，x2＝6﹣m∴C的横坐标是6﹣m，故AB＝6﹣m﹣m＝6﹣2m∴矩形的周长是l＝2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）即l＝﹣2m2+8m+12．12．解：设：AB＝xm，则BC＝（24﹣x）m，S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝12，∵a＝﹣1，故函数有最大值，当x＝12时，函数取得最大值，则：S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144，故：答案是144．13．解：对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，y＝（x﹣1）2﹣1，x＝﹣1时，y＝1+2＝3，x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．故答案为：﹣1≤t＜8．14．解：∵y＝2（x﹣2）2，∴y＝2x2﹣8x+8，∵直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB＝|t﹣（2t2﹣8t+8）|＝|2t2﹣9t+8|，①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠P AB＝90°，此时P A＝AB＝|t﹣2|，即|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，∴2t2﹣9t+8＝t﹣2，或2t2﹣9t+8＝2﹣t，解得t＝或1或3；②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|t﹣2|，结果同上．故答案为：或1或3．15．解：由抛物线的性质，当x A＜x＜x B时，y＞0，所以①错误；因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以②正确；当m＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），C（0，3），∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，∴E（2，3），∴DE＝，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于x轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），∴FD＝FD′，GE＝GE′，∴FD+FG+GE＝FD′+FG+GE′＝D′E′，∴此时四边形EDFG周长的最小，而D′E′＝，∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以③错误．故答案为②．16．解：由图象可知：a＜0，c＞0，又∵对称轴是直线x＝﹣1，∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵k是实数，∴k2+2＞k2+1＞﹣1，∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），故②正确；∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，∴am2+bm+c≤﹣a+c，即m（am+b）≤﹣a，故③正确；由图象知，x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，∴c＜﹣3a，故④正确；根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确，故答案为：①②③④⑤．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，解得x1＝0，x2＝4，∴A（0，0），B（4，0）．答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，当x＝4时，y＝3a+3，所以点Q的纵坐标为3a+3．②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，3a+3≥0，∴a≥﹣1∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，∴﹣1≤a＜0当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，所以抛物线与点P不相交．综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜018．解：（1）设y＝kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：，则y＝﹣2x+80；（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意得：（x﹣20）y＝150，则（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，整理得：x2﹣60x+875＝0，（x﹣25）（x﹣35）＝0，解得：x1＝25，x2＝35，∵20≤x≤28，∴x＝35（不合题意舍去），答：每本纪念册的销售单价是25元；（3）由题意可得：w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，此时当x＝30时，w最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x＜30时，w随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝﹣2（28﹣30）2+200＝192（元），答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣1或x＝3，∴﹣1+3＝﹣b，﹣1×3＝c，∴b＝﹣2，c＝﹣3，∴二次函数解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P的纵坐标为y P，∵S△P AB＝8，∴AB•|y P|＝8，∵AB＝3+1＝4，∴|y P|＝4，∴y P＝±4，把y P＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3，解得，x＝1±2，把y P＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，解得，x＝1，∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△P AB＝8．20．解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，解得a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，解得a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．21．解：（1）当y＝0时，x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，∴A（﹣3，0），B（2，0），当x＝0时，y＝x2+x﹣6＝﹣6，∴C（0，﹣6），∴△ABC的面积＝•AB•OC＝×（2+3）×6＝15；（2）∵抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，∴A′B′＝AB＝5，∵△A'B′C′和△ABC的面积相等，∴OC′＝OC＝6，即C′（0，﹣6）或（0，6），设抛物线L′的解析式为y＝x2+bx﹣6或y＝x2+bx+6设A'（m，0）、B′（n，0），当m、n为方程x2+bx﹣6＝0的两根，∴m+n＝﹣b，mn＝﹣6，∵|n﹣m|＝5，∴（n﹣m）2＝25，∴（m+n）2﹣4mn＝25，∴b2﹣4×（﹣6）＝25，解得b＝1或﹣1，∴抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6．当m、n为方程x2+bx+6＝0的两根，∴m+n＝﹣b，mn＝6，∵|n﹣m|＝5，∴（n﹣m）2＝25，∴（m+n）2﹣4mn＝25，∴b2﹣4×6＝25，解得b＝7或﹣7，∴抛物线L′的解析式为y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．综上所述，抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6或y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6．22．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上，∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大，∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2，∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．23．解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵点C的坐标为（0，2），∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，∵点A（﹣3，0）在抛物线上，∴9a﹣6a+2＝0，∴a＝﹣，∴b＝2a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，记BD与AC的交点为点E，∵∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵直线x＝﹣1垂直平分AB，∴点E在直线x＝﹣1上，∵点A（﹣3，0），C（0，2），∴直线AC的解析式为y＝x+2，当x＝﹣1时，y＝，∴点E（﹣1，），∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，∴B（1，0），∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，即直线l的解析式为y＝﹣x+；Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，∵∠ABD＝∠BAC，∴BD∥AC，由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝x+2，∴直线BD的解析式为y＝x﹣，即直线l的解析式为y＝x﹣；综上，直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣；（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝x﹣①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2②，∴或，∴D（﹣4，﹣），∴S△ABD＝AB•|y D|＝×4×＝，∵S△BDP＝S△ABD，∴S△BDP＝×＝10，∵点P在y轴左侧的抛物线上，∴设P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），过P作y轴的平行线交直线BD于F，∴F（m，m﹣），∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）|＝|m2+2m﹣|，∴S△BDP＝PF•（x B﹣x D）＝×|m2+2m﹣|×5＝10，∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣1或m＝﹣2，∴P（﹣5，﹣8）或（﹣1，）或（﹣2，2）．。
北师大版九年级数学下册第二章学情评估 附答案 (2)
北师大版九年级数学下册第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.【教材P30随堂练习T1改编】下列函数是二次函数的是()A．y＝1x B．y＝－x C．y＝x2＋2 D．y＝12x－22．【教材P39习题T3改编】【2021·徐州】在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为()A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 、C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－13．【教材P35想一想变式】下列抛物线中，开口向下且开口最大．．的是()A．y＝－x2B．y＝－23x2C．y＝13x2D．y＝－3x24．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是()A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 5．【2021·广州】抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，(3，0)，且与y轴交于点(0，－5)，则当x＝2时，y的值为()A．－5 B．－3 C．－1 D．56．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－2 7．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF. 四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x 之间的函数关系式为()A．y＝5－x B．y＝5－x2C．y＝25－x D．y＝25－x28．【2022·广西】已知反比例函数y＝bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx－a(c≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()9．【中考·河池】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误．．的是()A．ac＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0 10．【2022·嘉兴】已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为()A．1 B.32C．2 D.52二、填空题(每题3分，共24分)11．若抛物线y＝x2＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是.12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．(第12题)(第16题)(第18题)13．已知二次函数y＝3(x＋1)2－m的图象上有三点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为____________．14．某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式为____________________________．15．抛物线y＝x2－2kx＋4k通过一个定点，这个定点的坐标是__________．16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏警示灯的水平距离EF 约是______________m(结果精确到1 m，5≈2.236)．17．【教材P50习题T2改编】某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大．18．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE 的最大长度为__________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)．(1)求m的值；(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？20．【教材P39例1改编】已知抛物线y＝3x2－2x＋4.(1)通过配方将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．21．【教材P44例2变式】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－1 0 2 4 …y…－5 1 1 m…求：(1)这个二次函数的表达式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．22．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数y＝－x＋b的图象交于A，C两点．(1)求b的值；(2)求△ABC的面积；(3)根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．23．“双减”政策落地后，对校外培训机构的影响巨大，不管是机构还是机构老师都面临着转型，培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目．他新开了甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出某品牌科技产品20件，每件盈利26元；乙店一天可售出同一品牌科技产品32件，每件盈利20元．经调查发现，每件此种科技产品每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件降价b元时，一天可盈利y2元．(1)当a＝5时，求y1的值；(2)求y2关于b的函数表达式；(3)若李老师规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件此种科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？24．【2022·大庆】某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75 kg.在确保每棵果树平均产量不低于40 kg的前提下，设增种果树x(x＞0且x为整数)棵，该果园每棵果树平均产量为y kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．(1)图中点P所表示的实际意义是______________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少________kg.(2)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大？最大总产量是多少？答案一、1.C 2.B3.B 点要点:抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |决定，|a |越大，开口越小；|a |越小，开口越大．4．B 5.A 6.A 7.D 8.D 9.C10.C 点思路:由题意得ak ＋3＝b ，4k ＋3＝c .从而将ab 看成二次函数的因变量，化成顶点式：ab ＝k (a ＋32k )2－94k ，则ab 的最大值为－94k ＝9， 解得k ＝－14.从而c ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋3＝2. 二、11.2 12.－1＜x ＜3 13.y 3＜y 1＜y 2 14．y ＝50(x ＋1)2 15.(2，4) 16.18 17.70 18.52 cm 提示:如图，设AP ＝x cm ，BE ＝y cm.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝90°. ∴∠1＋∠2＝90°. ∵PE ⊥DP ， ∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠1＝∠3. ∴△ADP ∽△BPE .∴AD BP ＝AP BE ，即1010－x ＝x y .整理，得y ＝－110(x －5)2＋52(0＜x ＜10)．∴当x ＝5时，y 有最大值52.三、19.解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象过点A (3，0)，∴9＋6＋m ＝0，解得m ＝－15.(2)∵y ＝x 2＋2x －15＝(x ＋1)2－16， ∴二次函数的图象的对称轴为直线x ＝－1. ∵a ＝1＞0，∴当x ＞－1时，函数值y 随x 的增大而增大．20．解：(1)y ＝3x 2－2x ＋4＝3[x 2－23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－⎝ ⎛⎭⎪⎫132]＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13＋4＝3(x －13)2＋113.(2)开口向上，对称轴是直线x ＝13.21．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－5，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1和⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1， 解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋1. (2)∵y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3， ∴图象的顶点坐标为(1，3)．当x ＝4时，y ＝－2×16＋16＋1＝－15， 即m ＝－15.22．解：(1)令y ＝0，则y ＝x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1. ∴A (－1，0)，B (3，0)．将点A (－1，0)的坐标代入y ＝－x ＋b ，得1＋b ＝0，解得b ＝－1. (2)解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2－2x －3，y ＝－x －1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴点C 的坐标为(2，－3)． ∴△ABC 的面积为12×4×3＝6.(3)当－1＜x ＜2时，一次函数的值大于二次函数的值． 23．解：(1)由题意可得y 1＝(26－a )(20＋2a )，当a ＝5时，y 1＝(26－5)×(20＋2×5)＝630.(2)由题意可得，y 2＝(20－b )(32＋2b )＝－2b 2＋8b ＋640.(3)设两家下降的价格都为x 元，两家的盈利和为w 元，则w ＝(26－x )(20＋2x )＋(－2x 2＋8x ＋640)＝－4x 2＋40x ＋1 160＝－4(x －5)2＋1 260. ∴当x ＝5时，w 取得最大值，此时w ＝1 260.答：每件此种科技产品下降5元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是1 260元．24．解：(1)增种果树28棵时，每棵果树平均产量为66 kg ；12(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b . 把⎩⎨⎧x ＝10，y ＝75，⎩⎨⎧x ＝28，y ＝66分别代入上式，得⎩⎨⎧10k ＋b ＝75，28k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝80.∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－12x ＋80， 自变量x 的取值范围是0≤x ≤80.(3)w ＝(60＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋80＝－12x 2＋50x ＋4 800.∵－12＜0，∴x ＝－502×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝50时，w 最大＝6 050.答：当增种果树50棵时，果园的总产量w (kg)最大，最大总产量是6 050 kg.。
初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题1(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题1（附答案详解）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a ＜b ＜﹣2a （3）abc ＞0；（4）5a ﹣b+2c ＜0； 其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知二次函数的图像y=ax²+bx+c(a≠0)如右图所示，下列结论⑴a+b+c=0 ⑵a -b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=-2a 其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知点A （﹣2，a ），B （12，b ），C （52，c ）都在二次函数y=﹣x 2+2x+3的图象上，那么a 、b 、c 的大小是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a4．若抛物线y ＝(x －m)2＋(1－m)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m>0B ．m>1C ．－1<m<0D ．0<m<1 5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A （－1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ，下列结论正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．3a+c=0C ．4a-2b+c ＜0D ．方程ax 2+bx+c=-2（a≠0）有两个不相等的实数根6．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b 2＞4ac ；②b ＜0；③y 随x 的增大而减小； ④若（﹣2，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2．上述4个判断中，正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①③④D ．②③④ 7．抛物线的图象一定经过（ ） A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限 8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列四个结论：①0ac <；②0a b c ++>；③420a b c -+<；④240ac b ->．其中正确的结论有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，抛物线的表达式是（ ）A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋2 10．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a （x+32）2+k 与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的正方形ABCD 的周长为_____．11．函数242y x x =++的最小值是________.12．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论： ①20a b +=；②b a c <+；③2124b a ac +=；④()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）； ⑤240b ac ->，其中正确的结论有________．13．若二次函数232y x x m =-+的最小值是2，则m =________．14．如果一条抛物线的形状与y=﹣2x 2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是________．15．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则此二次函数的对称轴为____．16．二次函数y =x （x ﹣6）的图象的对称轴是______．17．二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示：若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在此函数图象上，x 1＜x 2＜1，y 1与y 2的大小关系是y 1_____y 2（填“＞”、“＜”、“=”）18．把抛物线y=2x 2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是_____．19．已知抛物线y=ax 2经过点A （﹣2，﹣8）．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；（3）判断点B （﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．20．已知抛物线y=ax 2﹣4x+c 经过点A （0，﹣6）和B （3，﹣9）．（1）求出抛物线的解析式；（2）通过配方，写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标．21．二次函数2y ax =与直线21y x =-的图象交于点()1,P m()1求a ，m 的值；()2写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时该表达式y 随x 的增大而增大？()3写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．22．某商场经营一种海产品，进价是20元/kg ，根据市场调查发现，每日的销售量y （kg ）与售价x （元/kg ）是一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 的函数关系式.（不求自变量的取值范围）（2）某日该商场销售这种海产品获得了21000元的利润，问：该海产品的售价是多少？ （3）若某日该商场销售这种海产品的销量不少于650kg ，问：该商场销售这种海产品获得的最大利润是多少？23．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A ，B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y=x ﹣2经过A ，C 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点D 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点G ，使得GD +GB 的值最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在直线AC 的上方抛物线上是否存在点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，直接写出P 点坐标及△PAC 面积的最大值．24．如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A 、B ．（1）求抛物线的解析式； （2）画出抛物线的图象．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 和点B 的坐标分别为()2,0A -，()0,6B -，将Rt AOB ∆绕点O 按顺时针分别旋转90，180得到1Rt AOC ∆，Rt EOF ∆，抛物线1C 经过点C ，A ，B ；抛物线2C 经过点C ，E ，F .（1）点C 的坐标为________，点E 的坐标为________；抛物线1C 的解析式为________，抛物线2C 的解析式为________；（2）如果点(),P x y 是直线BC 上方抛物线1C 上的一个动点.①若PCA ABO ∠=∠，求P 点的坐标；②如图2，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点M ，交抛物线2C 于点N ，记2h PM NM BM =++，求h 与x 的函数关系式.当52x -≤≤-时，求h 的取值范围. 26．如图，已知抛物线y=ax 2+32x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），与轴交于C 点．（1）A 点的坐标是 ；B 点坐标是 ；（2）直线BC 的解析式是： ；（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由； （4）若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．参考答案1．A【解析】【分析】由抛物线开口向上得到a 大于0，再由对称轴在y 轴右侧得到a 与b 异号，即b 小于0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可得出abc 的符合，对于（3）作出判断；由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c 小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a 大于0，得到-2a 小于0，在不等式两边同时乘以-2a ，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x=-1时对应的函数值大于0，将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c 大于0，又4a 大于0，c 大于0，可得出a-b+c+4a+c 大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．【详解】解：由图形可知：抛物线开口向上，与y 轴交点在正半轴，∴a >0，b <0，c >0，即abc <0，故(3)错误；又x =1时，对应的函数值小于0，故将x =1代入得：a +b +c <0，故(1)错误；∵对称轴在1和2之间， ∴122b a<-<， 又a >0， ∴在不等式左右两边都乘以−2a 得：−2a >b >−4a ，故(2)正确；又x =−1时，对应的函数值大于0，故将x =1代入得：a −b +c >0，又a >0，即4a >0，c >0，∴5a −b +2c =(a −b +c )+4a +c >0，故(4)错误，综上，正确的有1个，为选项(2).故选:A.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数对图象的影响是解题的关键. 2．C【解析】【分析】解答本题，根据图象可知f(1)＜0和f(-1)＞0，结合函数解析式即可判断a+b+c 和a-b+c 是否大于0；由图可知，对称轴x=b2a-=-1，a＜0，故可知b=2a＜0；结合图像和函数解析式可知f(0)=c＞0，据此即可判断abc是否大于0. 【详解】求f(1)和f(-1)得a+b+c=0，a-b+c＞0；对称轴x=b2a-=-1，a＜0，得b=2a＜0，f(0)=c＞0得abc＞0.【点睛】本题考查对二次函数的理解，解题的关键是合理利用图像的坐标.3．C【解析】【分析】先计算对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，再根据A、B、C三点与对称轴的远近，比较纵坐标的大小．【详解】比较A、B、C三点横坐标与坐标轴的距离，可知距离差分别为A ：3 B：0.5 C：1.5 ∴b＞c＞a，选C.【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像的性质.4．D【解析】分析:根据二次函数的解析式可得顶点坐标是(m,1-m),因为二次函数顶点坐标在第一象限,根据点在第一象限的符号特征可得:10mm>⎧⎨->⎩,解不等式组即可求解.详解:因为抛物线y＝(x－m)2＋(1－m)的顶点在第一象限,所以10mm>⎧⎨->⎩,解得0<m<1,故选D.点睛:本题主要考查二次函数的顶点坐标和平面直角坐标系内点的符号特征,解决本题的关键是要熟练根据二次函数解析式求二次函数的顶点坐标.5．B【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故选项A错误，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，∴-13=22ba-+=1，得b=-2a，当x=-1时，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c=0，故选项B正确，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故选项C错误，由函数图象可知，如果函数y=ax2+bx+c（a≠0）顶点的纵坐标大于-2，则方程ax2+bx+c=-2（a≠0）没有实数根，故选项D错误，故选B．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．6．A【解析】【分析】根据图象与x轴有2个交点，确定b2-4ac>0，即可判断①；根据开口向上可判断a>0，-b2a=1，可得b=-2a<0，可判断②；根据二次函数的增减性可判断③；④．【详解】解：∵图象与x轴有2个交点，∴b2−4ac>0,b2>4ac，故①正确；∵−b2a=1，又a>0，∴b<0，故②正确；当x>1时，y随x的增大而增大，故③错误；由对称轴为x=1，当x=−2时和x=4时，函数值相等，根据函数性质，x=5的函数值大于x=4的函数值，∴y1<y2，故④正确.所以正确的是①②④，故选A.【点睛】本题考查了二次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系. 7．B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向以及顶点即可判断其图像所经过的象限.【详解】∵a＜0，∴抛物线y＝ax2的图像开口向下，由抛物线的解析式易知其顶点为（0,0），∴y＝ax2的图像一定经过第三、四象限.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识点是解答此类问题的关键.8．B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，交y轴于正半轴，∴a<0，c>0，∴ac<0，故①正确；∵x=1时，y<0，∴a+b+c<0，故②错误；由图象可知：当x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，故③正确；由抛物线交x轴于两点，∴b2−4ac>0，∴4ac−b2<0，故④错误；故选：B.【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a决定抛物线的开口方向，,a b共同决定了对称轴的位置，常数项c决定了抛物线与y轴的交点位置.9．D【解析】【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【详解】解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），所以2420 a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得a=-1，b=1，c=2，这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2．故选A．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．10．12【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得线段AB的长度，从而可以求得正方形ABCD的周长．【详解】∵在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x+32）2+k与y轴的交点，∴点A的横坐标是0，该抛物线的对称轴为直线x=﹣32，∵点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，∴点B 的横坐标是﹣3，∴AB=|0﹣（﹣3）|=3，∴正方形ABCD 的周长为：3×4=12， 故答案为：12．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是找出所求问题需要的条件．11．-2【解析】【分析】将函数解析式写成顶点式便可得出最小值.【详解】解：242y x x =++=2442x x ++-=()22x +-2∴顶点坐标为（-2,2），且开口向上；∴函数242y x x =++的最小值是-2.故答案为：-2.【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键将解析式写成顶点式.12．①③④⑤【解析】【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；代入x=-1，结合图像可判断②；根据顶点坐标公式及图像中的顶点坐标可判断③；利用抛物线的最大值可判断④；根据抛物线与x 轴交点的个数可判断⑤.【详解】 由图像知2b a-=1，则20a b +=，①正确；当x=-1时，y=a-b+c ，由图像可知此时y ＜0，即a-b+c ＜0，则b ＞a+c ，②错误；由图可知顶点坐标为（1,3），则2434b ac a-=，即2124b a ac +=，③正确； 当x=1时，y=a+b+c 为最大值，当x=m 时，y=am 2+bm+c ，由于m≠1，故a+b+c ＞am 2+bm+c ，即a+b ＞am 2+bm=m(am+b)，④正确；由图可知，抛物线与x 轴有两个交点，则b 2-4ac ＞0，⑤正确；故答案为：①③④⑤.【点睛】本题综合考察了二次函数的解析式和图像的性质特点，一定要深入理解二次函数解析式各项参数与图像的对应关系，同时对一些特殊值要有敏感度.13．178【解析】【分析】可以由函数解析式得出对称轴的表达式，运用该函数在对称轴处可以得到最小值即可得出答案.【详解】 对称轴33x==212⨯，所以带入可得m= 178，故填 178. 【点睛】本题考查了由二次函数图像得出最值，熟悉理解二次函数最值的取得是解决本题的关键. 14．y=﹣2（x ﹣4）2﹣2或y=2（x ﹣4）2﹣2【解析】试题解析：∵一条抛物线的形状与222y x =-+的形状相同，∴a =±2， 设抛物线的顶点式为22()y x h k =±-+，∵顶点坐标是(4,−2)，∴抛物线的顶点式为22(4)2y x =---或22(4) 2.y x =--故答案为：22(4)2y x =---或22(4) 2.y x =--15．1x =-【解析】观察、分析表格中的数据可得，当20x x =-=，时，二次函数2y ax bx c =++的函数值相等，都是3-，∴此二次函数的对称轴为直线：2012x -+==-，即1x =-. 故答案为：1x =-.16．x =3．【解析】解：令y =0，得：x （x ﹣6）=0，解得：x =0或x =6，∴对称轴为直线x =062+ =3．故答案为x =3．17．<【解析】【分析】利用二次函数的性质解决问题．【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x 1＜x 2＜1，∴y 1＜y 2．故答案为＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．18．y=2（x ﹣3）2﹣2．【解析】【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．【详解】∵y =2x 2的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线右平移3个单位，再向下平移2个单位，得新抛物线顶点坐标为（3，﹣2），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y=2（x﹣3）2﹣2．故答案为y=2（x﹣3）2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．19．（1）y=﹣2x2；（2）顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；（3）不在；（4）（3，﹣6）或（﹣3，﹣6）．【解析】分析：(1)根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式,把A点坐标代入解析式得到关于a的方程,然后解方程即可.(2)根据图象和性质直接写出顶点坐标、对称轴即可.(3)把点B(-1,-4)代入解析式,即可判断;(4)把y=-6代入解析式,即可求得;详解：（1）∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），∴a•（﹣2）2=﹣8，∴a=﹣2，∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2．（2）由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；（3）把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；（4）把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，解得x=±，∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．点睛：本题主要考查了待定系数法求解析式,二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征,函数解析式与图象上的点之间的关系,点在图象上,则满足解析式;反之,满足解析式则在函数图象上.20．（1）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x ﹣6；（2）对称轴方程为x=2；顶点坐标（2，﹣10）．【解析】【分析】把A （0，﹣6）和B （3，﹣9）代入y =ax 2﹣4x +c ，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据配方法把y =x 2﹣4x ﹣6化为y =（x ﹣2）2﹣10解答即可.【详解】（1）依题意有，即，∴； ∴抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x ﹣6．（2）把y=x 2﹣4x ﹣6配方得，y=（x ﹣2）2﹣10，∴对称轴方程为x=2；顶点坐标（2，﹣10）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及配方法的应用，熟练掌握待定系数法是解答（1）的关键；熟练掌握配方法是解答（2）的关键.21．（1）a=1；m=1;（2）2y x =, 当0x >时，y 随x 的增大而增大；（3）顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴．【解析】【分析】（1）把点P （1，m ）分别代入二次函数y=ax 2与直线y=2x-1即可求出未知数的值； （2）把a 代入二次函数y=ax 2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【详解】()1点()1,P m 在21y x =-的图象上∴2111m =⨯-=代入2y ax =（2）二次函数表达式：2y x =因为函数2y x =的开口向上，对称轴为y 轴，当0x >时，y 随x 的增大而增大； （3）2y x =的顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．22．（1）y=-10x+1200；（2）该海产品的售价是50元或90元．（3）22750.【解析】【分析】（1），设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，将图形上已知的两点代入解方程组，即可求出k 与b 的值，进而确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据题目信息可得(-10x+1200)(x-20)=21000，接下来解方程即可使问题得解；(3) 设所获利润为W ，根据题目信息可得W=(-10x+1200)(x-20)，然后对其进行配方，结合x 的取值范围与二次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b ，将（25，950），（40，800）代入得：2595040800k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：101200k b -⎧⎨⎩＝＝， 故y 与x 的函数关系式为：y=-10x+1200；（2）由（1）得：（-10x+1200）（x-20）=21000，解得：x 1=50，x 2=90，答：该海产品的售价是50元或90元．(3) 设所获利润为W ，则根据题目信息可得W=(-10x+1200)(x-20)=-10(x-70)2+25000.∵-10x+1200≥650，当x=55时，W有最大值.故W的最大值为：-10(55-70)2+25000=22750.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．23．（1）y=﹣x2+x﹣2；（2）顶点D（，）；（3）存在点G（0，）使得GD+GB的值最小．理由见解析；（4）在直线AC的上方抛物线上存在点P（2，1），使△PAC的面积最大，最大值为4．理由见解析.【解析】【分析】（1）利用一次函数是性质求得点A、C的坐标，然后把点A、B、C的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式即可；（2）将二次函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案；（3）利用轴对称﹣最短路径方法证得点G，结合一次函数图象上点的坐标特征求得点G的坐标；（4）利用分割法求得△PAC的面积为二次函数的形式，利用二次函数最值的求法进行解答．【详解】（1）把x=0代入y=x﹣2中得：y=﹣2，把y=0代入y=x﹣2中得：x=4，∴A（4，0），C（0，﹣2），把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）分别代入y=ax2+bx+c，得，解得，则该抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣2；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2，∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，）；（3）存在点G（0，）使得GD+GB的值最小．理由如下：如图1，作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交y轴于点G，则B′（﹣1，0）．设直线B′D的解析式为y=kx+b．则，解得：，∴直线B′D的解析式为y=x+，把x=0代入，得y=，∴存在点G（0，）使得GD+GB的值最小；（4）在直线AC的上方抛物线上存在点P（2，1），使△PAC的面积最大，最大值为4．理由如下：如图2，过点P作PQ∥y轴交AC于Q，连接PC，PA．设P（x，﹣x2+x﹣2），则Q（x，x﹣2）．∴PQ=﹣x2+x﹣2﹣（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2．又∵S△PAC=S△PQC+S△PQA=x•PQ+（4﹣x）•PQ=2PQ，∴S△PAC=﹣（x﹣2）2+4，∴当x=2时，S△PAC最大值为4，此时﹣x2+x﹣2=1，∴在直线AC的上方抛物线上存在点P（2，1），使△PAC的面积最大，最大值为4．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了轴对称的性质、一次函数的应用、待定系数法等知识，学会利用参数构建方程解决问题，学会用数形结合的思想思考问题是解题的关键. 24．(1) y=﹣x2+2x+3 ;(2)见解析.【解析】【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c 的值即可；（2）依据抛物线解析式为y=﹣x2+bx+c，列表，描点，连线即可．【详解】解：（1）将x=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：y=3，∴B（0，3）．将y=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：﹣x+3=0，解得x=3，即A（3，0）．将点A和点B的坐标代入y=﹣x2+bx+c，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）列表：抛物线的图象如下：【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.25．（1）(6,0)C -，(2,0)E ，1C ：21462y x x =---，2C ：21262y x x =--+.（2）①符合条件的点P 的坐标为810(,39P -）或414(,39P --）.②1721h ≤≤. 【解析】分析：（1）根据旋转的性质，可得C ，E ，F 的坐标，根据待定系数法求解析式；（2）①根据P 点关于直线CA 或关于x 轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；②根据图象上的点满足函数解析式，可得P 、N 、M 纵坐标，根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据x 取值范围讨论h 范围． 详解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，则点C 坐标为（-6，0），E 点坐标为（2，0），分别利用待定系数法求C 1解析式为：y=-12x 2−4x −6，C 2解析式为：y=-12x 2−2x +6 （2）①若点P 在x 轴上方，∠PCA=∠ABO 时，则CA 1与抛物线C 1的交点即为点P ，如图，设直线CA 1的解析式为：y=k 1x+b 1∴111062k b b -+⎧⎨⎩＝＝ 解得11132k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴直线CA 1的解析式为：y=13x+2 联立：21462123y x x y x ⎧---⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝，解得1183109x y ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝或2260x y =-⎧⎨=⎩（舍去）， ∴P(810,39-) 若点P 在x 轴下方，∠PCA=∠ABO 时，则CH 与抛物线C 1的交点即为点P ，如图，易知OH=OA，∴H（0，-2）设直线CH的解析式为：y=k2x+b2∴222062k bb-+⎧⎨-⎩＝＝解得11132kb⎧-⎪⎨⎪-⎩＝＝∴直线CH的解析式为：y=13-x-2联立：21462123y x xy x⎧---⎪⎪⎨⎪--⎪⎩＝＝，解得1143149xy⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝或226xy=-⎧⎨=⎩（舍去），∴414(,39P--）；∴符合条件的点P的坐标为810(,39P-）或414(,39P--）.②设直线BC的解析式为：y kx b=+，∴066k bb=-+⎧⎨-=⎩，解得16kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线BC的解析式为：6y x=--，过点B作BD MN⊥于点D，则2BM BD=，设P(x ，-12x 2−4x −6) ∴222BM BD x ==，2h PM NM BM =++()()2P M N M y y y y x =-+-+ 22P N M y y y x =+--()2211462626222x x x x x x =-----+---- 2612x x =--+，2612h x x =--+，()2321h x =-++，当3x =-时，h 的最大值为21.∵52x -≤≤-，当5x =-时，()2532117h =--++=；当2x =-时，()2232120h =--++=；当52x -≤≤-时，h 的取值范围是1721h ≤≤.点睛：本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C ，E 的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．26．（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ； （3）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16 ；（4）（8-，0），（4，0），（541+，0），（541-，0）.【解析】【分析】可得a 的值，求出解析式.由解析式可得出C 和B 的坐标，从而得出直线的解析式.运用假设法，连接辅助线可以设出P,D 的坐标，表达出相应△PBC 的面积解析式，分析可得出结果.由平行四边形的定义可求出答案.【详解】（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ； （3）假设存在点P ，连结PB 、PC ，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ，设点P （m ，213442m m -++） 则点D （m ，142m -+） 所以PD =213442m m -++- 142m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =2124m m -+ ∴211128224PBC S PD OB m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭()228416m m m =-+=--+∵点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合）∴08m <<∴当4m =时，△PBC 的面积最大，最大面积是16∴存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16（4）（8-，0），（4， 0），（5+0），（5，0） .【点睛】本题考查了一元二次方程的解析式的结构，和直线解析式的求解，以及品行四边形的定义，熟练掌握这些是解决本题的关键.。
北师大版九年级数学下册第二章学情评估 附答案 (3)
北师大版九年级数学下册第二章学情评估一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．15．(5分)已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，2)，且经过点(1，－3)，求这个二次函数的表达式．16．(5分)已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？17．(5分)已知二次函数y＝ax2＋bx的图象过点(2，0)，(－1，6)．(1)求二次函数的表达式；(2)写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．18．(5分)已知抛物线y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对任意实数m，抛物线与x轴总有交点；(2)若该抛物线与x轴交于A(1，0)，求m的值．19．(5分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表，根据下表回答问题．(1)该二次函数图象与y轴交点是______，对称轴是________；(2)求出该二次函数的表达式；(3)向下平移该二次函数图象，使其经过原点，求出平移后图象所对应的二次函数表达式．20．(5分)如图为二次函数y＝－x2－x＋2的图象，求：(1)方程－x2－x＋2＝0的解；(2)当y>0时，x的取值范围；(3)当－3<x<0时，y的取值范围．(第20题)21．(6分)如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80 m，高度为200 m．求离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)．(第21题)22．(7分)在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x的增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________；(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．23．(7分)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10 kg，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/kg，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/kg时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y(元/kg)与购进数量x(箱)之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？24．(8分)如图，抛物线y1＝－x2－x＋c与直线y2＝12x＋b交于A，B(1，0)两点．(1)分别求c，b的值；(2)求y1－y2的最大值；(3)求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，y1＞y2?(第24题)25．(8分)某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2018～2022年①号田和②号田年产量情况的点(记2018年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量)，如下图．小亮认为，可以从y＝kx＋b(k>0) ，y＝mx(m>0) ，y＝－0.1x2＋ax＋c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选y＝mx(m>0)．你认同吗？请说明理由；(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据(2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？(第25题)26．(10分)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F，连接DF.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．(第26题)答案一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D二、9.x ＝－3 10.－1 11.y ＝－x 2＋2x ＋312．y ＝2x 2－4x ＋4(0<x <2) 13.②③④三、14.解：(1)化为一般形式为y ＝－x 2＋1，二次项系数为－1，一次项系数为0，常数项为1.(2)化为一般形式为y ＝－8x 2－12x ，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.15．解：设这个二次函数的表达式是y ＝a (x ＋1)2＋2.将点(1，－3)的坐标代入y ＝a (x ＋1)2＋2，得－3＝4a ＋2，解得a ＝－54，所以二次函数的表达式为y ＝－54(x ＋1)2＋2，即y ＝－54x 2－52x ＋34.16．解：(1)根据一次函数的定义，得m 2－m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，又因为m －1≠0即m ≠1，所以当m ＝0时，这个函数是一次函数．(2)根据二次函数的定义，得m 2－m ≠0，解得m ≠0且m ≠1，所以当m ≠0且m ≠1时，这个函数是二次函数．17．解：(1)把点(2，0)，(－1，6)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝0，a －b ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4， 因此二次函数的表达式为y ＝2x 2－4x .(2)因为y ＝2x 2－4x ＝2x (x －2)，所以图象与x 轴的两个交点坐标分别是(0，0)，(2，0)．因为y ＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，所以二次函数y ＝2x 2－4x 的图象的顶点坐标为(1，－2)．18．(1)证明：因为Δ＝(－m )2－4×2×(－m 2)＝9m 2≥0，所以对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点．(2)解：把点A (1，0)的坐标代入y ＝2x 2－mx －m 2得2－m －m 2＝0，整理得m 2＋m －2＝0，解得m 1＝1，m 2＝－2，即m 的值为1或－2.19．(1)(0，4) 直线x ＝－52(2)解：把点(－2，－2)、(－1，0)，(0，4)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－2，a －b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝5，c ＝4，所以二次函数的表达式为y ＝x 2＋5x ＋4.(3)解：要使二次函数图象经过原点，则函数表达式形如y ＝ax 2＋bx ， 所以将函数y ＝x 2＋5x ＋4的图象向下平移4个单位长度即可．则平移后图象所对应的二次函数表达式为y ＝x 2＋5x .20．解：(1)－x 2－x ＋2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1.(2)由图象知，当y >0时，x 的取值范围是－2<x <1.(3)因为y ＝－x 2－x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋94， 所以图象的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，94， 当x ＝－3时，y ＝－9＋3＋2＝－4，故当－3<x <0时，y 的取值范围为－4<y ≤94.21．解：如图，以底部所在的直线为x 轴，以线段CD 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．(第21题)所以A (－40，0)，B (40，0)，E (0，200)．设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋40)(x －40)，将点E (0，200)的坐标代入，得200＝a (0＋40)(0－40)，解得a ＝－18，所以抛物线的表达式为y ＝－18x 2＋200.将y ＝150代入，得－18x 2＋200＝150，解得x ＝±20，所以C (－20，150)，D (20，150)，所以CD ＝40 m.22．解：(1)12(2)画出树状图如图．(第22题) 共有6种等可能的结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①③，①⑤和②④，共3种，所以抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为36＝12.23．解：(1)由题意得y ＝8.2－0.2(x －1)＝－0.2x ＋8.4，所以这种水果批发价y (元/kg)与购进数量x (箱)之间的函数关系式是y ＝－0.2x ＋8.4(1≤x ≤10，且x 为整数)．(2)设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w 元，则w ＝[12－0.5(x －1)－y ]·10x ＝[12－0.5(x －1)－(－0.2x ＋8.4)]·10x ＝－3x 2＋41x .因为a ＝－3<0，所以抛物线开口向下．因为对称轴是直线x ＝416，所以当1≤x ≤416时，w 的值随x 值的增大而增大， 因为x 为正整数，所以此时，当x ＝6时，w 最大＝138；当416≤x ≤10时，w 的值随x 值的增大而减小，因为x 为正整数，所以此时，当x ＝7时，w 最大＝140.因为140>138，所以李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润是140元．24．解：(1)因为抛物线y 1＝－x 2－x ＋c 与直线y 2＝12x ＋b 交于A ，B (1，0)两点， 所以0＝－1－1＋c ，0＝12×1＋b ，解得b ＝－12，c ＝2.(2)因为b ＝－12，c ＝2，所以y 1＝－x 2－x ＋2，y 2＝12x －12，所以y 1－y 2＝(－x 2－x ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝－x 2－32x ＋52＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋4916， 所以当x ＝－34时，y 1－y 2取得最大值4916，即y 1－y 2的最大值是4916.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－x ＋2，y ＝12x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝－74，或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0， 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－74， 由图象可得，当－52<x <1时，y 1>y 2.25．解：(1)认同，理由如下：观察①号田的年产量变化：每年增加0.5 t ，呈一次函数关系； 观察②号田的年产量变化：经过点(1，1.9)，(2，2.6)，因为1×1.9＝1.9，2×2.6＝5.2，1.9≠5.2，所以不是反比例函数关系，小莹认为不能选y ＝m x (m >0)是正确的．(2)由(1)知①号田符合y ＝kx ＋b (k >0)，由题意得⎩⎨⎧k ＋b ＝1.5，2k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝0.5，b ＝1，所以①号田的函数表达式为y ＝0.5x ＋1(k >0)；②号田符合y ＝－0.1x 2＋ax ＋c ，由题意得⎩⎨⎧－0.1＋a ＋c ＝1.9，－0.4＋2a ＋c ＝2.6，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝1， 所以②号田的函数表达式为y ＝－0.1x 2＋x ＋1.(3)设总年产量为w t ，依题意得w ＝－0.1x 2＋x ＋1＋0.5x ＋1＝－0.1x 2＋1.5x ＋2＝－0.1(x －7.5)2＋7.625.因为x 为整数，所以当x ＝7或8时，w 取最大值．所以在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6 t.26．(1)解：设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．将点A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)的坐标分别代入，得⎩⎨⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3，抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)证明：四边形OBDC 是正方形，所以BO ＝BD ，∠OBC ＝∠DBC .又因为BF ＝BF ，所以△OBF ≌△DBF (SAS)，所以∠BOF ＝∠BDF .(3)解：存在，理由如下：当点M 在线段BD 的延长线上时，此时∠FDM >90°， 所以DF ＝DM .设M (m ，3)，直线OM 的表达式为y ＝kx (k ≠0)，所以3＝km ，解得k ＝3m ， 所以直线OM 的表达式为y ＝3m x ，设直线BC 的表达式为y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)，把点B (0，3), C (3，0)的坐标分别代入，得⎩⎨⎧3＝b ，0＝3k 1＋b ，解得⎩⎨⎧b ＝3，k 1＝－1，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.令3m x ＝－x ＋3，解得x ＝3m m ＋3，则y ＝9m ＋3， 所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m m ＋3，9m ＋3.因为四边形OBDC 是正方形， 所以BO ＝BD ＝OC ＝CD ＝3，所以D (3，3)，所以DF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3m m ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9m ＋32＝9m 2＋81（m ＋3）2，DM 2＝(m －3)2， 所以9m 2＋81（m ＋3）2＝(m －3)2，所以9m 2＋81＝(m 2－9)2， 解得m ＝0或m ＝33或m ＝－3 3.因为M 为射线BD 上一动点，所以m >0，所以m ＝33，所以BM ＝3 3.因为当－x 2＋2x ＋3＝3时，解得x ＝0或x ＝2， 所以BE ＝2，所以ME ＝BM －BE ＝33－2.如图，当点M 在线段BD 上时，此时，∠DMF >90°，(第26题)所以MF＝DM，所以∠MFD＝∠MDF,所以∠BMO＝∠MFD＋∠MDF＝2∠MDF，由(2)得∠BOF＝∠BDF.因为四边形OBDC是正方形，所以∠OBD＝90°，所以∠BOM＋∠BMO＝90°，所以3∠BOM＝90°，所以∠BOM＝30°.因为BO＝3，所以BM＝tan∠BOM·OB＝33×3＝ 3.因为BE＝2，BD＝3，所以DE＝1，所以ME＝BD－BM－DE＝3－3－1＝2－ 3. 综上，ME的长为33－2或2－ 3.。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2-4二次函数的应用》寒假自主提升训练(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2-4二次函数的应用》寒假自主提升训练（附答案）1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）（1+2x）B．y＝a（1+x）2C．y＝2a（1+x）2D．y＝2x2+a2．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（）A．25m B．50m C．625m D．750m3．点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（）A．②④B．②③C．①③④D．①②④4．国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y＝66（1﹣x）B．y＝33（1﹣x）C．y＝33（1﹣x2）D．y＝33（1﹣x）2 5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）6．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）7．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．60B．65C．70D．758．为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（）A．38℃B．37℃C．36℃D．34℃9．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④10．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）A．πB．πC．πD．条件不足，无法求11．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．12．如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形ABCD）高AD＝2米，直杆DE＝5米，斜拉杆EG，EH起稳固作用，点H处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线FHG可近似看成抛物线的一部分，G为抛物线的最高点且位于主席台边缘BC的正上方，若点E，H，C在同一直线上，且DF＝1米，EG＝4米，∠AEG＝60°，则射灯H离地面的高度为米．13．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是．14．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用时间为t（单位：s），经过实验，发现h与t2成正比例关系．当h＝20时，t＝2，则当h＝10时，t的值是．15．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的图象与函数y＝﹣x2+6x的图象交于y 轴一点，则m＝．16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．17．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？（3）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？18．如图，某涵洞的截面是抛物线的一部分，现水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，求涵洞所在抛物线的解析式．19．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．20．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？21．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：由第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，则y＝a（1+x）（1+2x）．故选：A．2．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴当t＝25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来，故选：D．3．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≤3，（顶点在y轴上时取“＝”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，因此，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故②正确；若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x＝1，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为﹣2﹣4＝﹣6，故③错误；根据顶点坐标公式，＝3，令y＝0，则ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根据顶点坐标公式，＝3，∴＝﹣12，∴CD2＝×（﹣12）＝，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣2）＝3，∴＝32＝9，解得a＝﹣，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选：A．4．解：根据题意：平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y 元，可得y与x之间的函数关系为：y＝33（1﹣x）2．故选：D．5．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．6．解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．7．解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．8．解：∵y＝﹣t2+12t+2＝﹣（t2﹣12t+36）+38＝﹣（t﹣6）2+38，∴当t＝6时，温度y有最大值，最大值为38℃．∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．故选：A．9．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．10．解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s＝＝．故选：B．11．解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，得DG＝，∴y＝x＝+12x，故答案为：y＝+12x．12．解：如图所示，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点G作GQ⊥AD于点G，∵AD＝2米，DE＝5米，DF＝1米，∴D（0，2），E（0，7），F（0，3），又∵GQ⊥AD，EG＝4米，∠AEG＝60°，∴GQ＝sin60°×EG＝×4＝2（米），∴EQ＝＝＝2（米），∴AQ＝AE﹣EQ＝7﹣2＝5（米），∴G（2，5），B（2，0），C（2，2），∵点G为抛物线的顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a+5（a≠0），将点F（0，3）代入，得：3＝a+5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣+5，设直线EC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将E（0，7），C（2，2）代入，得：，解得，∴直线EC的解析式为y＝﹣x+7，联立，解得，或（舍去），∴H（，4.5），∴射灯H离地面的高度为4.5米．故答案为：4.5．13．解：新正方形的边长为x+2，原正方形的边长为2．∴新正方形的面积为（x+2）2，原正方形的面积为4，∴y＝（x+2）2﹣4＝x2+4x，故答案为y＝x2+4x．14．解：设h＝kt2，由h＝20时，t＝2，得20＝22k，解得k＝5．函数的解析式为h＝5t2，∴当h＝10时，5t2＝10，解得：t＝或t＝﹣（舍去），故答案为：．15．解：依题意，在y＝﹣x2+6x中，x＝0时，y＝0；在y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3中，x＝0时，y＝m2﹣2m﹣3＝0；即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或3．16．解：∵PB＝6﹣t，BE+EQ＝6+t，∴S＝PB•BQ＝PB•（BE+EQ）＝（6﹣t）（6+t）＝﹣t2+18，∴S＝﹣t2+18（0≤t＜6）．17．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元；（3）设商场每天的盈利为y元，由（2）可知：y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000，∵﹣20＜0，∴当x＝﹣＝7.5时，y取最大值，∴当x＝7.5时，y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元），答：应涨价7.5元，每天的盈利达到最大值，为6125元．18．解：根据题意得：A（﹣0.8，﹣2.4），设涵洞所在抛物线解析式为y＝ax2，把x＝﹣0.8，y＝﹣2.4代入得：a＝﹣，则涵洞所在抛物线解析式为y＝﹣x2．19．解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则；（2）由题意可得，W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．20．解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000．∵每件的利润不高于成本价的60%．∴20≤x≤20（1+60%），∴20≤x≤32，∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）．（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32），∴对称轴为直线x＝﹣＝35，又∵a＝﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，∴当x＝32时，w有最大值，最大值为﹣10×322+700×32﹣10000＝2160（元）．∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．21．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），∴S△ABF＝＝＝．（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝P A2，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，解得：m＝8，∴P（1，8）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：P A2+AB2＝PB2，∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，解得：m＝﹣2，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+P A2＝BA2，∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，解得：m＝6或﹣1，∴P（1，6）或（1，﹣1）；综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．。
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北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习能力达标测试卷A 卷（附答案详解）1．在同一坐标系下，抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x 2+4x ＞2x 的解集是（ ）A ．x ＜0B ．0＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜0或 x ＞2 2．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论中：①0abc >；②2b a =；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++<．正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．5个3．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋3如图所示，那么函数y ＝x 2＋(b －1)x ＋3的图象可能是( )A ．AB ．BC ．CD ．D4．下列各点中，在二次函数y=-x 2的图象上的是（ ）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()2,4-D ．()2,45．已知二次函数y ＝﹣(x ﹣h)2+1(为常数)，在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，则h 的值为( )A ．36或6B ．36或6C ．6或16D ．16或66．已知抛物线2(0)y kx k =>与直线()0y ax b a =+≠有两个公共点，它们的横坐标分别为1x 、2x ，又有直线y ax b =+与x 轴的交点坐标为()3,0x ，则1x 、2x 、3x 满足的关系式是（ ）A ．123x x x += B．123111x x x += C ．12312x x x x x += D ．122313x x x x x x += 7．下列函数：①y=－3x 2；②y=－3(x+3)2；③y=－3x 2－1；④y=－2x 2+5；⑤y=－(x －1)2，其中函数图象形状、开口方向相同的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．③④D ．②⑤8．如图，抛物线y 1=12(x+1)2+1与y 2=a(x ﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点.则下列结论：①a=23；②AC=AE；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时y 1＞y 2. 其中正确的结论是( )A ．①③④B ．①③C ．①②④D ．②9．若()1A 4,y -、()2B 2,y -、()3C 3,y 为抛物线2y x 2x 3=+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y << 10．抛物线 y = -x 2 + x -1与 x 轴和 y 轴的公共点个数是（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个11．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且OC ＝OB ，则b ＋c ＝________．12．将二次函数y = x 2的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的函数图像的对称轴是_______________13．已知函数2124y mx x mx =-++与x 轴只有一个交点，则满足条件的m 值________． 14．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，它的顶点坐标是（，），对称轴是过__________且平行于y 轴的直线．15．已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝1，则实数b 的值为________． 16．已知抛物线2:p y ax bx c =++的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为'C ，我们称以A 为顶点且过点'C ，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线'AC 为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是221y x x =++和22y x =+，则这条抛物线的解析式为________． 17．某产品进价为90元，按100元一个售出时，每天售500个，如果这种产品涨价1元，其销售量每天就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为____元．18．用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m ，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m 2.19．如图，若抛物线y=ax 2+bx+c 上的P （4，0），Q 两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是___________．20．在平面直角坐标系中，抛物线()2423y a x =--经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ．将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，过点B （0，1）作直线l 平行于x 轴，当图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时，x 的取值范围是___．21．已知二次函数223y x x =--．（1）请你将函数解析式化成2()y x h k =-+的形式，并在直角坐标系中画出223y x x =--的图像．（2）利用（1）中的图像结合图像变换表示出方程2210x x --=的根，要求保留画图痕迹，指出方程根的图形意义．22．如图，经过点A （0，﹣4）的抛物线y=12x 2+bx+c 与x 轴相交于点B （﹣1，0）和C ，O 为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=12x 2+bx+c 向上平移7个单位长度，再向左平移m （m ＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；（3）将x 轴下方的抛物线图象关于x 轴对称，得到新的函数图象C ，若直线y=x+k 与图象C始终有3个交点，求满足条件的k的取值范围．23．已知抛物线的函数关系式为．（1）通过配方将其化为的形式，并写出抛物线的顶点坐标；（2）求此抛物线与x轴的交点坐标．24．抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．25．某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查≤≤且x为整数)发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天(1x30的销售量为y件．()1直接写出y与x的函数关系式；()2设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？26．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.张老师从学校站出发，先乘坐地铁到某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与学校距离为(x单位：千米)，乘坐地铁的时间为(y单位分钟)，经测量，得到如下数据：地铁站 AB C D ⋯ E (x 千米) 6 7.510 11.5 ⋯ 15 1(y 分钟)9 12 a 20 ⋯ b()1根据表中数据的规律，直接写出表格中a 、b 的值和1y 关于x 的函数表达式； ()2张老师骑单车的时间2(y 单位：分钟)也受x 的影响，其关系可以用22112782y x x =-+米描述， ①若张老师出地铁的站点与学校距离为14千米，请求出张老师从学校回到家所需的时间；②若张老师准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，请问：张老师应选择在哪一站出地铁，才能使他从学校回到家所需的时间最短？并求出最短时间．27．如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求b 、c 的值；（2）P 为抛物线上的点，且满足S △PAB =8，求P 点的坐标．28．已知：如图，二次函数y=ax 2+bx ﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），点B （4，0），与y 轴的交点为C（1）求二次函数的关系式；（2）已知点M 是线段OB 上一动点，过点M 作平行于y 轴的直线l ，直线l 与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ，连接CE ，若△CEF 与△OBC 相似，求点M 的坐标； （3）已知点M 是x 轴正半轴上一动点，过点M 作平行于y 轴的直线l ，直线l 与抛物线交于P ，与直线BC 交于点Q ，连接CP ，将△CPQ 沿CP 翻折后，是否存在这样的直线l ，使得翻折后的点Q 刚好落在y 轴上？若存在，请求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【解析】由图可知：抛物线y 1=﹣x 2+4x 的图象在直线y 2=2x 的图象上方部分所对应的x 的取值范围是0<x<2，∴不等式﹣x 2+4x ＞2x 的解集是0<x<2.故选B.2．D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线的开口方向向下可推出a ＜0，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上可推出c ＞0，对称轴为x=−2b a=-1＜0，a ＜0，得b ＜0，故abc ＞0，正确； ②由对称轴为x=−2b a =-1，整理得b=2a ，正确； ③由图象可知：当x=1时y ＜0，所以a+b+c ＜0；④当x=-1时y ＞0，即a-b+c ＞0，正确；⑤当x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c ＜0．因此①、②、③、④、⑤正确．故选D ．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．3．C【解析】∵函数y=x 2+（b-1）x+3的a=1＞0，过点（0，3），∴该函数的图象开口向上，一定过点（0，3），故选项A 、D 错误；又∵二次函数y=x 2+bx+3的图象已知，对称轴在y 轴右侧，故可知b ＜0，所以b-1＜0，抛物线y=x2+（b-1）x+3的对称轴为x=12b--＞0，即对称轴也在y轴的右侧，故选项B错误，选项C正确，故选C．4．A【解析】【分析】分别计算自变量为1和-2、2所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】当x=1时，y=-x2=-1，当x=-2时，y=-x2=-4，当x=2时，y=-x2=-4，所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．C【解析】【详解】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值-5，可得：-（1-h）2+1=-5，解得：h或h（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值-5，可得：-（3-h）2+1=-5，解得：h或h（舍）．综上，h的值为或，故选C．点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．6．B【解析】【分析】先将直线y=ax+b 与抛物线y=kx 2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x 的交点横坐标，即可得出答案.【详解】解：由题意得x 1和x 2为方程ax+b=kx 2的两个根，即kx 2-ax-b=0，∴x 1+x 2=a k ，x 1•x 2=-b k； ∴11x +21x =1212x +x x x =-a b， ∵直线与x 轴交点的横坐标为：x 3=-b a， ∴31x =-a b； ∴11x +21x =31x ． 故选B.【点睛】此题考查了函数与方程的关系，证明时利用一元二次方程根与系数的关系将原式转化，得到关于k 、b 的表达式是证明的关键．证明思路可简单表达为：抓两头，凑中间.7．A【解析】【分析】根据二次函数的图像和性质，由系数a 判断开口方向和形状，逐一判断即可.【详解】根据题意可知：①y=－3x 2、②y=－3(x+3)2、③y=－3x 2－1的a=-3，开口向下，开口大小一样的抛物线；④y=－2x 2+5；⑤y=－(x －1)2的a=-2和a=-1，可知开口向下，但是开口大小故选：A.【点睛】此题主要考查了二次函数的开口大小和开口方向，判断函数的系数a的值是解题关键. 8．B【解析】【分析】把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．【详解】抛物线y1=12（x+1）2+1与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3），∴3=a（1-4）2-3，解得：a=23，故①正确；过点E作EF⊥AC于点F，∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，E（4，-3），∴AF=3，EF=6，∴=，AC=2AF=6，∴AC≠AE，故②错误；当y=3时，3=12（x+1）2+1，解得：x1=1，x2=-3，故B（-3，3），D（-1，1），则AB=4，，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；∵12（x+1）2+1=23（x-4）2-3时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．【点睛】考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．9．B【解析】【分析】利用函数的对称性将A 、B 、C 三个点放在对称轴同侧，利用函数增减性进行比较.【详解】解：由题可知抛物线对称轴为x=-1，则C 点关于对称轴的对称点为（-5，3y ），由于抛物线开口向上，则当x ＜-1时，函数值y 随x 的增大而减小，故213y y y <<.故选择B.【点睛】本题考察了运用二次函数对称性比较函数值大小.10．B【解析】【分析】根据抛物线与x 轴的交点个数与系数的关系，求出△=b 2-4ac 的值，即可判断．再求出抛物线与y 轴的交点坐标即可.【详解】∵抛物线解析式为：21y x x =-+-，∴111a b c =-==-，，，∴()()22414111430b ac =-=-⨯-⨯-=-=-<， ∴抛物线与x 轴没有交点，当0x =时，1y =-.抛物线与y 轴有一个交点.故选：B.考查抛物线与x 轴，y 轴的交点个数，掌握判断的方法是解题的关键.11．-1【解析】【分析】先确定抛物线与y 轴交点C 的坐标为（0，c ），利用OB =OC 可确定B 点坐标为（c ，0），然后根据二次函数图象上点的坐标特征把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 后经过变形即可得到b +c 的值．【详解】解：当x =0时，y =c ，则C 点坐标为（0，c ），∵OC =OB ，∴B 点坐标为（c ，0），把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 得c 2+bc +c =0，∴b +c =-1．故答案为-1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点的坐标必满足函数的解析式，先求出C 点的坐标，然后根据OC =OB 得出B 点的坐标是解决此题的关键． 12．过点（1，2）且平行于y 轴的直线；（或直线x=1）【解析】∵抛物线y=x ²向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的解析式为：y=(x−1)²−2. ∴函数图像的对称轴是过点（1，2）且平行于y 轴的直线；（或直线x=1）,故答案为：过点（1，2）且平行于y 轴的直线；（或直线x=1）13．1、4、0【解析】【分析】本题对函数的类型不确定，所以要分0m =和0m ≠两种情况讨论，当0m =时，为一次函数；当0m ≠时，根据题意得出一元二次方程的判别式0=，得出含m 的方程，解方程即可求出m 的值.【详解】①当0m =时，2y x =-，为正比例函数，与x 轴只有一个交点，满足题意；②当0m ≠时，根据题意得：0y =时，21204mx x mx -++=，0=， ∴()212404m m --⨯=， 整理得：2540m m -+=，解得：1m =或4，综上可知满足条件的m 的值为1、4、0.故答案为：1、4、0.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点的性质、方程的解法；熟练掌握抛物线与x 轴只有一个交点时判别式0=是解决问题的关键.14．顶点【解析】【分析】根据二次函数的性质解题即可.【详解】二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，它的顶点坐标是（，），对称轴是过顶点且平行于y 轴的直线．故答案为：顶点.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.15．-2【解析】抛物线的对称轴公式为x=1,22b b -==- . 故答案：-2.16．223y x x =--【解析】【分析】先求出y=x 2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x 2+2x+1的顶点A 坐标（-1，0），接着利用点C 和点C′关于x 轴对称得到C （1，-4），则可设顶点式y=a （x-1）2-4，然后把A 点坐标代入求出a 的值即可得到原抛物线解析式．【详解】∵y=x 2+2x+1=(x+1)2，∴A 点坐标为(−1,0)，解方程组22122y x x y x ⎧=++⎨=+⎩得10x y =-⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点C′的坐标为(1,4)，∵点C 和点C′关于x 轴对称，∴C(1,−4)，设原抛物线解析式为y=a(x−1)2−4，把A(−1,0)代入得4a−4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=(x−1)2−4=x 2−2x−3.故答案为y=x 2−2x−3.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与运算.17．120【解析】【分析】设售价上涨x 元,根据产品涨价1元,销售量每天就减少10个,可得销售量是:（500-10x ）个,根据销售利润=(售价-进价) ×销售量,可得:1009050010y x x =+--（）（）,最后根据二次函数的性质求函数取最大值时x 的取值即可求解.【详解】设售价上涨x 元,销售利润为y,由题意可得:1009050010y x x =+--（）（）,=10-x 2+400x +5000,=10-(x-20)2+9000,当x=20时,y有最大值,最大值是9000,所以此时定价是100+20=120(元),故答案为:120.【点睛】本题主要考查二次函数解决最大利润问题,解决本题的关键是要熟练掌握销售问题中销售利润,价格,销售量之间的函数关系.18．112.5【解析】【分析】设矩形的长为xm，则宽为302x-m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成顶点式，由x的取值范围结合函数性质可得最值．【详解】设矩形的长为xm，则宽为302x-m，菜园的面积S=x•302x-=-12x2+15x=-12（x-15）2+2252，（0＜x≤20）.∵当x＜15时，S随x的增大而增大，∴当x=15时，S最大值=2252m2，故答案为2252．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x 的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．19．x1 =4x2=-2【解析】【分析】由对称的性质得出点Q的坐标，再根据一元二次方程与二次函数之间的关系得出方程的解. 【详解】点P关于x=1对称的点Q的坐标为（﹣2，0），∴方程ax2+bx+c=0的解是x1=4，x2=﹣2.故答案为x 1=4，x 2=﹣2.【点睛】本题主要考查二次函数与x 轴的交点与一元二次方程的解之间的关系.20．12x <≤或27x >+【解析】试题解析：∵抛物线()2423y a x =--经过原点,O ()24002,3a =--1.3a ∴= 图象G 对应的函数解析式为：214(2)(0,4)33y x x x =--≤≥， ()214 (2)04,33y x x =--+<< 如图③，由题意得：()21421,33x --= 当1y =时，()21421,33x --= 解得： 12 272?7x x ==，，()()27,27C F ∴-，，，当1y =时，214 (2)1,33x --+= 解得： 123,1x x ==， ()()11,31,D E ∴，，由图象得：图象G 在直线l 上方的部分，当12x <≤或27x >+函数y 随x 增大而增大；故答案为：12x <≤或27x >.21．（1）2(1)4y x =--；图见解析（2）方程两根的意义为：二次函数与水平线2y =-的两个交点的横坐标【解析】分析：（1）根据配方法整理即可，再求出x =﹣1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可； （2）求出y =﹣2时对应的x 的近似值即可．详解：（1）y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，函数图象如图所示；（2）y =﹣2时，x 2﹣2x ﹣3=﹣2，x 2﹣2x ﹣1=0，方程x 2﹣2x ﹣1=0的根如图所示．点睛：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．22．（1）y=12x 2﹣72x ﹣4（2）74＜m ＜11932（3）1或578 【解析】试题分析：（1）将A 、B 两点坐标代入12y x bx c =++即可解出b c 、的值，从而得到抛物线的解析式； （2）将（1）中所得解析式配方，结合已知条件可得平移所得新抛物线的解析式及其顶点坐标；由A 、B 、C 三点的坐标可求得直线AB 、AC 的解析式，由顶点分别落在AB 和AC 上可求得对应的“m ”的值，即可得到“m ”的取值范围；（3）如图1，当直线l y x k =+：和新的函数图象C 有三个公共点时，直线l 分别处于图中12l l 、的位置上；①由1l 过点B ，可求得此时“m ”的值；②当直线l y x k =+：处以2l 的位置时，由图可知，此时直线和新的函数图象C 在18x -≤≤的范围内有1个公共点，由“一元二次方程根的判别式”可求得此时“m ”的值；两者综合即可得到本题答案.试题解析：（1）∵经过点A （0，﹣4）的抛物线12y x bx c =++与x 轴相交于点B （﹣1，0）， ∴ 4102c b c =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ，解得：724b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴ 抛物线解析式为17422y x x =--； （2）由（1）知，抛物线解析式为21717814()22228y x x x =--=--， ∴此抛物线向上平移7个单位长度、再向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得新抛物线的解析式为：21725()2288y x m =+--， ∴新抛物线的顶点P 的坐标为725(?-)28m -+，， 对于抛物线17422y x x =--当0y =时，有174022x x --= ，由此解得x =﹣1或8， ∴C 的坐标为（8，0），又∵A （0，﹣4），B （﹣1，0），∴可解得直线AB 的解析式为y=﹣4x ﹣4，直线AC 的解析式为y=12x ﹣4， 由此可得： ①当顶点P 在AB 上时，可得：7254()428m --+-=-，解得m=11932， ②当顶点P 在AC 上时，可得：1725()4228m -+-=-，解得m=74， ∴综合①②可得，当点P 在△ABC 内时m 的取值范围是：7119432m <<； （3）翻折后所得新图象如图1所示．当直线l y x k =+：和新图象C （其中翻折所得部分为2174?(18)22y x x x =-++-≤≤）有三个公共点时，直线l 分别处在图中12l l 、的位置上：①当直线l 位于l 1时，此时直线l y x k =+：过点B （﹣1，0），∴0=﹣1+k ，解得：k=1；②∵当直线l 位于l 2时，此时直线l y x k =+：与函数2174?(18)22y x x x =-++-≤≤的图象有一个公共点， ∴方程217422x k x x +=-++，即25820x x k --+=有两个相等实根． ∴△=25﹣4（2k ﹣8）=0，即k=578． 综上所述，k 的值为1或578． 点睛：（1）解第2小题时，由题意求得点P 的坐标后，可知点P 在BC 的下方，在A 点的上方，这样只要求出点P 在直线AB 和直线AC 上时，m 的对应值，即可求出使点P 在△ABC 内的m 的取值范围；（2）解第3小题时，有2个要点：①抛物线2y ax bx c =++关于x 轴的对称抛物线的解析式为：2y ax bx c =---；②通过画图分析就可很方便的找到直线l y x k =+：与新的图象C 有三个公共点的两处位置，再结合已知条件即可分别求出对应的m 的值.23．（1）y==（x-1）2 -4；顶点坐标（1，-4）；（2）（3，0）或（-1，0）【解析】【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）令y=0，解方程即可解决问题．【详解】（1）y=x 2﹣2x ﹣3= x 2﹣2x+1—4=（x-1）2 -4，顶点坐标为（1，-4），（2）令y=0,则x2﹣2x﹣3=0 ，（x-3）（x+1）=0 ，∴x=3或x=-1 ，∴抛物线与x轴交点坐标为（3,0）或（-1,0）【点睛】题考查抛物线与x轴交点问题、配方法等知识，解题的关键是灵活应用配方法解决问题，学会求抛物线与x轴交点坐标的方法.24．（1）6．（2）（53，﹣329）．（3）t=13．【解析】【分析】（1）代入t=0可得出抛物线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；（2）由点B，C的坐标可得出∠ABC=45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°，结合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB，过B作BM∥y 轴，交CP延长线于M，由平行线的性质可得出∠ABC=∠MBC，结合BC=BC即可证出△ABC≌△MBC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB=MB=4，进而可得出点M的坐标，根据点C，M的坐标，利用待定系数法可求出直线CM的解析式，再联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征及因式分解法解一元二次方程，可求出点A，B，C 的坐标，设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2，则CD=（t2-2t-3）-b1，CE=b2-（t2-2t-3），将直线解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出x A•x Q=t2-2t-3-b1①，x B•x Q=t2-2t-3-b2②，利用②÷①结合CE=2CD，即可得出关于t的方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）将t=0代入抛物线解析式得：y=x2﹣2x﹣3．当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）；当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（﹣1，0）．∴S△ABC=12AB•OC=12×[3﹣（﹣1）]×3=6．（2）由（1）知：B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠ABC=45°，∴∠ACB+∠CAB=135°．又∵∠PCB+∠CAB=135°，∴∠ACB=∠PCB．在图2中，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M．∴∠ABC=∠MBC．在△ABC和△MBC中，，∴△ABC≌△MBC（ASA），∴AB=MB=4，∴点M的坐标为（3，﹣4），∴直线CM解析式为：y=﹣13x﹣3（利用待定系数法可求出该解析式）．联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点P的坐标为（53，﹣）．（3）当y=0时，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=0，即[x+（t﹣3）]•[x+（t+1）]=0，解得：x1=﹣t+3，x2=﹣t﹣1，∴点A的坐标为（﹣t﹣1，0），点B的坐标为（﹣t+3，0）．当x=0时，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3，∴点C的坐标为（0，t2﹣2t﹣3）．设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2．∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），∴CD=（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE=b2﹣（t2﹣2t﹣3）．∵y=k1x+b1，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0，∴x A•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b1①．同理：x B•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b2②．由②÷①，得：==﹣，∴=﹣=2，∴=﹣2，∴t=1．3【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、解方程组、因式分解法解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）通过构造全等三角形找出直线PC的解析式；（3）利用根与系数的关系结合CE=2CD，找出关于t的方程．=+；()2第20天的利润最大，最大利润是3200元．25．()1?y2x40【解析】【分析】(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y 与x 的函数关系式；(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W 与x 之间的函数关系式，即可得出结论．【详解】()1由题意可知y 2x 40=+；()2根据题意可得：()()w 145x 8052x 40=---+，22x 80x 2400=-++，22(x 20)3200=--+，a 20=-<，∴函数有最大值，∴当x 20=时，w 有最大值为3200元，∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找到关键描述语，找准等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键．26．（1）123y x =-；（2）张老师从学校回到家需要33分钟；故张老师应选择在C 站出地铁，才能使他从学校回到家所需的时间最短，最短时间为25分钟．【解析】【分析】()1由表中数据中距离每增加1.5千米，时间增加3分钟，即每千米需要2分钟，据此可得a 、b 的值，再利用待定系数法求解可得1y 关于x 的函数表达式；()2①设张老师从学校回到家所需时间为y 分钟，则2121y y y x 10x 752=+=-+，求出x 14=时y 的值即可；②由2211y x 10x 75(x 10)2522=-+=-+，利用二次函数的性质求解可得． 【详解】解：()1由表中数据中距离每增加1.5千米，时间增加3分钟，即每千米需要2分钟，则()a 9210617=+⨯-=、()b 9215627=+⨯-=，设1y kx b =+，根据题意得：{6k b 97.5k b 12+=+=， 解得：{k 2b 3==-，所以1y 2x 3=-； ()2①设张老师从学校回到家所需时间为y 分钟， 则221211y y y 2x 3x 12x 78x 10x 7522=+=-+-+=-+， 当x 14=时，1y 196101475332=⨯-⨯+=， 答：张老师从学校回到家需要33分钟．②由2211y x 10x 75(x 10)2522=-+=-+， ∴当x 10=时，y 由最小值，最小值为25，故张老师应选择在C 站出地铁，才能使他从学校回到家所需的时间最短，最短时间为25分钟．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及依据题意所蕴含的相等关系列出二次函数解析式、二次函数的性质．27．（1）y=x 2﹣2x ﹣3；（2）当P 点的坐标分别为(14)(14)、+- 、（1，﹣4）时，S △PAB =8．【解析】试题分析：（1）由题意抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B -，，，两点，设出函数的解析式，再根据待定系数法求出,b c 的值；（2）根据P 点在抛物线上设出P 点，然后再由8PAB S =，从而求出P 点坐标．试题解析： (1)∵抛物线2y x bx c =++与x 轴的两个交点分别为A (−1,0),B (3,0)∴()2210330,b c b c ⎧--+=⎪⎨++=⎪⎩解得:23,b c =-⎧⎨=-⎩ ∴所求抛物线的解析式为：223;y x x =--(2)设点P 的坐标为(x ,y )，由题意，得148,2PAB S y =⨯⨯= ∴|y |=4，∴y =±4 当y =4时,2234x x --=，1121x x ∴=+=-当y =−4时,2234x x --=-，∴x =1.∴当P点的坐标分别为()(1(11,4+--、、时,8.PAB S= 28．（1）y=34x 2﹣94x ﹣3；（2）点M 的坐标为（119，0）或（3，0）；（3）点M 的坐标为（83，0）或（519，0）． 【解析】试题分析：（1）理由待定系数法即可解决问题；（2）法两种情形①如图1中，当CE ⊥CF 时，△CEF ∽△OBC ．求出直线EC 的解析式，利用方程组即可解决问题；②如图2中，当CE ⊥EF 时，△EFC ∽△OBC ．此时E （3，－3），M （3，0）；（3）分两种情形．①如图3中，当点Q ′落在y 轴的负半轴上时，设P （m ，34m 2－94m －3），则Q （m ，34m －3）．②如图4中，如图3中，当点Q ′落在y 轴的负半轴上时，设P（m，34m2－94m－3），则Q（m，34m－3）．同法可得：PQ＝CQ．分别构建方程即可解决问题．试题解析：解：（1）把A（﹣1，0），点B（4，0）代入y＝ax2＋bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝34x2－94x－3．（2）①如图1中，当CE⊥CF时，△CEF∽△OBC．∵B（4，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝34x﹣3，∴直线CE的解析式为y＝﹣43x﹣3，由，解得或，∴点E坐标为（，﹣），M（，0）；②如图2中，当CE⊥EF时，△EFC∽△OBC．此时E（3，﹣3），M（3，0）综上所述，满足条件的点M的坐标为（，0）或（3，0）；（3）存在．①如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m，34m2－94m－3），则Q（m，34m﹣3）．∵PQ∥CQ′，∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，∴QC＝QP＝﹣34m2＋3m，∵QM∥OC，∴＝，∴＝，解得m＝或0（舍弃），∴M（，0）；②如图4中，如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m，34m2－94m－3），则Q（m，34m﹣3）．同法可得：PQ＝CQ．4∵PQ∥CQ′，∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，∴QC＝QP＝﹣34m2＋3m，∵QM∥OC，∴＝，∴＝，解得m＝或0（舍弃），∴M（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（，0）或（，0）．点睛：本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、翻折变换、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．。