二次根式学案5
二次根式教案(优秀8篇)
本环节通过１个引题，２个例题的活动达到让学生学会从实际问题中抽象出中心对称的基本性质，并会用二次根式的加减法则解决有关实际问题。既培养了学生的观察能力，又培养了学生的有理有据的作图能力。
（三）、巩固练习：
在此环节中，利用课后的练习和选取的课外习题来巩固二次根式的加减，来达到突出重点的目的。
（三）教学手段
采用多媒体教学，通过直观演示图象，更好地教会学生“二次根式的加减的研究方法，同时通过多媒体辅助手段展示教学内容，扩大课堂容量，提高教学效率。
六、说教学过程的设计：
本课共分为五个环节：
（一）、复习引入新课:
利用＂同类二次根式的＂引入，激发学生好奇心和求知欲，创设情景，旨在引出新课题。既达到了复习的目的，又引出了新课。
（注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行）
三、课后作业（课后作业见附件2）
教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。
四、板书设计
课题：二次根式(1)
二次根式概念例题例题
二次根式性质
反思：
次根式教案篇六
第十六章二次根式
代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=，≠，≥，≤，”；②单个的数字或单个的字母也是代数式
2、会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点
最简二次根式的定义。
教学难点
一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程
一、复习引入
1、把下列各根式化简，并说出化简的根据：
2、引导学生观察考虑：
化简前后的根式，被开方数有什么不同？
化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
二次根式教案五篇
二次根式教案五篇二次根式教案篇1一、内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.例2 计算（1）（2）师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用.2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.例3 计算（1）（2）师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用.3．归纳代数式的概念问题7 回顾我们学过的式子，如 ___________ （≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.4．综合运用（1）算一算：【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.（3）谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.二次根式教案篇2一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的'形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4） .【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）A. B. C. D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2. 当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．二次根式教案篇3一、教学目标1.了解二次根式的意义;2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;3. 掌握二次根式的性质和，并能灵活应用;4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;5. 通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.二、教学重点和难点重点：(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.难点：确定二次根式中字母的取值范围.三、教学方法启发式、讲练结合.四、教学过程(一)复习提问1.什么叫平方根、算术平方根?2.说出下列各式的意义，并计算：通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，表示的是算术平方根.(二)引入新课我们已遇到的这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二次根式定义：式子叫做二次根式.对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：(1)式子只有在条件a0时才叫二次根式，是二次根式吗? 呢?若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.(2) 是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗?显然不是，因此二次根式指的是某种式子的外在形态.请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答.例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?分析：，，，、、、四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a-10时，a+10又如当0例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义?解：略.说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义.例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：(1) (2) (3) (4)分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b20，当a、b为任意实数时，是二次根式.(2)-3x0，x0，即x0时，是二次根式.(3) ，且x0，x0，当x0时，是二次根式.(4) ，即，故x-20且x-20, x2.当x2时，是二次根式.例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：(1) ; (2) ; (3) ; (4)分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零.解：(1)由2a+30，得 .(2)由，得3a-10，解得 .(3)由于x取任何实数时都有|x|0，因此，|x|+0.10，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.(4)由-b20得b20，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1.式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.(四)练习和作业练习：1.判断下列各式是否是二次根式分析：(2) 中，，是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数(如x0时，又如当x-1时=，因此(1)(3)(4)不是二次根式，(6)无意义.2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?五、作业教材P.172习题11.1;A组1;B组1.六、板书设计二次根式教案篇4第十六章二次根式代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a ≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2= n(n+)2(n-)2.)7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是 =-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.习题16.1(教材第5页)1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=± .因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为 . (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.5.解:由题意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义.(2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.8.解:设h=t2, 则由题意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为 s和 s.9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时, r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.〔解析〕根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .〔解析〕根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.化简:.〔解析〕题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.5OM二次根式教案篇5教学目的1.使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式;2.会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
专题05 二次根式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案05 二次根式考点课标要求考查角度1乘方与开方了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．了解乘方与开方互为逆运算．会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．常以选择、填空题为主．2二次根式的概念和性质了解二次根式、最简二次根式的概念．考查二次根式的概念和基本性质．能掌握形如：123+，2323+-的化简与运算（分母有理化）．常以选择、填空题、解答题的形式命题．3二次根式的运算了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．考查二次根式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1. 数的乘方：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．2. 数的开方：（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．（2）若3b a ，则b 叫做a 的立方根．【例1】（2022•宜宾）4的平方根是（ ） A ．2 B ．－2C ．16D ．±2【考点】平方根【分析】根据平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：∵(±2)2＝4，知识点1：数的乘方与开方知识点梳理典型例题∴4的平方根是±2，故选：D．【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．【例2】（2022•凉山州=（）A．±2B．－2C．4D．2【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．＝2，故选：D．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．【例3】（3分）（2021•上海9/253=，则x= ．【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a=，3∴x+4=9∴x=5．故答案为：5．【例4】（2022•淮安）实数27的立方根是．【考点】立方根【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3．故答案为3．【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例5】（3分）（2021•包头15/26）一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+ b的立方根为 ． 【考点】平方根；立方根【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b 的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a 的值；将a 、b 的值代入计算得出a + b 的值，再求其立方根即可．【解答】解：∵一个正数a 的两个平方根是2b -1和b +4， ∴2b -1+b +4=0， ∴b =-1． ∴b +4=-1+4=3， ∴a =9．∴a +b =9+(-1)=8， ∵8的立方根为2， ∴a +b 的立方根为2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．【例6】若a 满足3a a =，则a 的值为（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【分析】∵3a a =，∴a 为0或1．故选C ．【答案】C ．1. 二次根式：形如(a ≥0)的式子叫做二次根式．2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．3. 最简二次根式：必须同时满足以下两个条件： （1）被开方数不含分母；知识点2：二次根式的概念和性质知识点梳理（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 如：5，21x +是最简二次根式，而8，12，22a 都不是最简二次根式． 4. 同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 5. 二次根式的性质：（1）(a )2= a (a ≥0) ． （2）2a =|a|=(0)(0).aa aa ⎧⎨-<⎩≥，（3）ab ab =(a ≥ 0，b ≥ 0) ．（4）a ab b=(a ≥ 0，b > 0) ．【例7】（2022•贵阳）代数式3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3B ．x ＞3C ．x ≤3D ．x ＜3【考点】二次根式有意义的条件【分析】直接利用二次根式的定义得出x －3≥0，进而求出答案． 【解答】解：∵代数式3x -在实数范围内有意义， ∴x －3≥0， 解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x －3的取值范围是解题关键． 【例8】（2022•雅安）使2x -有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．典型例题C．D．【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．∴x－2≥0，∴x≥2，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．有意义时，x应满足的条件为（）【例9】（2022•广州【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．有意义时，x＋1＞0，解得：x＞－1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．【例10】（3分）（2020•上海1/25（）A B C D【考点】同类二次根式．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：AB3=C=D故选：C ．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【例11】（3分）（2021•上海1/25）下列实数中，有理数是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【考点】实数；二次根式的性质与化简【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A 、1222=，不是有理数，不合题意； B 、1333=，不是有理数，不合题意； C 、1142=，是有理数，符合题意； D 、1555=，不是有理数，不合题意； 故选：C ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．1. 概念：正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a 2，a (a ≥0)．2. 性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零． 如：若a 2+|b|+c =0，则a 2=0，|b|=0，c =0，可得a =b =c =0．【例12】（2022•贺州）若实数m ，n 满足|5|240m n m n --++-=，则3m ＋n ＝ ． 【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组 【分析】根据非负数的性质求出m 和n 的值，再代入3m ＋n 计算可得． 【解答】解：∵|5|240m n m n --++-=， ∴m －n －5＝0，2m ＋n －4＝0，知识点3：非负性 知识点梳理典型例题∴m ＝3，n ＝－2， ∴3m ＋n ＝9－2＝7． 故答案为：7．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．【例13】（2022•黔东南州）若2(25)0x y +-=，则x －y 的值是 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根【分析】根据非负数的性质可得250240x y x y +-=⎧⎨++=⎩，应用整体思想①－②即可得出答案．【解答】解：根据题意可得， 250240x y x y +-=⎧⎨++=⎩①②， 由①－②得， x －y ＝9． 故答案为：9．【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．【例14】（3分）（2021•青海3/25）已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b +（2a +3b ﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．8B ．6或8C ．7D ．7或8【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（2a +3b ﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．（2a +3b ﹣13）2＝0，∴235023130a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得：23a b =⎧⎨=⎩， 当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7； 当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8， ∴等腰三角形的周长为7或8． 故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．1. 加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 乘除运算：=ab ab (a ≥0，b ≥0)；=a ab b(a ≥0，b > 0) ． 3. 混合运算：与实数的运算顺序相同．运算结果必须为最简二次根式． 4. 把分母中的根号化去（分母有理化）的方法： （1）1=a aa a a a=； （2）1=()()a b a ba b a b a b a b ++=---+．【例15】（2022•六盘水）计算：1223-= ． 【考点】二次根式的加减法【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．知识点4：二次根式的化简与运算知识点梳理典型例题=．故答案为0．【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．【例16】（2022•哈尔滨的结果是．【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．【解答】解：原式3===故答案为：【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．【例17】（2022•山西的结果为．【考点】二次根式的乘除法【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式3==．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=【例18】（2022•青岛）计算的结果是（）A B．1C D．3【考点】二次根式的混合运算【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：11=⨯-⨯271233=-94＝3－2＝1，故选：B．【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．【例19】（2022•天津）计算(191)(191)+-的结果等于．【考点】平方差公式；二次根式的混合运算【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式22=-＝19－1＝18，(19)1故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．【例20】（2022•济宁）已知25b=-，求代数式a2b＋ab2的值．a=+，25【考点】二次根式的混合运算；代数式求值【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．【解答】解：∵25b=-，a=+，25∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)=+-++-(25)(25)(2525)＝(4－5)×4＝－1×4＝－4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．知识点5：二次根式的估值一般步骤：1. 一般先对根式进行平方，如2(5)5=；2. 找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；3. 对以上两个整数开方，如42=，93=；4. 这个根式的值在这两个相邻整数之间，如253＜＜．【例21】（3分）（2021•天津6/25）估计17的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间 【考点】估算无理数的大小．【分析】本题需先根据17的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵17 4.12≈， ∴17的值在4和5之间． 故选：C ．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题． 【例22】（2022•安顺）估计1(2552)5+⨯的值应在（ ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案． 【解答】解：原式210=+， ∵3104<<， ∴52106<+<， 故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题知识点梳理典型例题关键．【例23】（2022•荆州）若32+⋅的-的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(22)a b值是．【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算【分析】根据2的范围，求出32-的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵122<<，∴1322<-<，∵若32-的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，32122b=--=-，∴(22)(22)(22)2a b+⋅=+-=，故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．【例24】（2分）（2021•北京7/28）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜2021＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】估算无理数的大小．【分析】先写出2021所在的范围，再写2021的范围，即可得到n的值．【解答】解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜2021＜45，∴n＝44，故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．巩固训练1．（2022•攀枝花）2的平方根是()A ．2B ．2±CD ．2．（2022(= )A ．2±B ．2C ．D3．（2022•烟台）如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，⋯，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为()A ．5B ．6C ．5D ．64．（2022•泸州）(= ) A ．2-B ．12-C ．12D ．25.（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x6．（2022•常州）若二次根式x 的取值范围是( ) A ．1xB ．1x >C ．0xD ．0x >7.（20222x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠8．（2022a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a9．（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2xC ．2x <D ．2x10．（2022•内蒙古）实数a 1|1|a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -11．（2022( )A ．B ．3C ．D ．212．（2022•永州）下列各式正确的是( )A B ．020=C ．321a a -=D ．2(2)4--=13．（2022•河南）下列运算正确的是( )A ．2B ．22(1)1a a +=+C ．235()a a =D ．2322a a a ⋅=14．（2022•河北）下列正确的是( )A 23=+B 23⨯C 23=D 0.715．（2022•苏州）下列运算正确的是( )A 7=-B ．2693÷= C ．222a b ab += D ．235a b ab ⋅=16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( )A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-17．（2022•宁夏）下列运算正确的是( )A ．220--=BC ．3362x x x +=D ．326()x x -=18．（2022•鞍山）下列运算正确的是( )A =B ．3412a a a ⋅=C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D =20．（2022•广州）下列运算正确的是( )A 2=B ．11(0)a a a a a+-=≠C D ．235a a a ⋅=21．（2022•广安）下列运算中，正确的是( ) A ．224325a a a += B ．933a a a ÷=C =D ．236(3)27x x -=-22．（2022•梧州）下列计算错误的是( )A ．358a a a ⋅=B ．2363()a b a b =C ．D ．222()a b a b +=+ 23．（2022•雅安）下列计算正确的是( )A ．236=B ．328()55-=-C ．224(2)2a a -=D =24．（2022•云南）下列运算正确的是( )A =B ．030=C ．33(2)8a a -=-D ．632a a a ÷=25．（2022 ．26．（2022= ． 27．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．28．（2022= ． 29．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．30．（2022x 的取值范围为 ． 31．（2022有意义，则实数x 的取值范围是 ．32．（2022a 的取值范围是 ．33．（2022x 的取值范围是 ．34．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．35．（20221x+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．36．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为 ．37．（2022x 的取值范围为 ．38．（2022= ．39．（2022的结果是 ．40．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|1|a + ．41．（2022= ；2(2)-= ．42．（2022•随州）已知m 为正整数，若是整数，则根据可知m 有最小值3721⨯=．设n 于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 ．43．（2022 ．44．（2022 ．45．（2022•衢州）计算2= ．46．（2022= ． 47．（2022•大连）下列计算正确的是( )A 2=B 3=-C ．D ．21)3+=48．（2022•湖北）下列各式计算正确的是( )A =B ．1=C 2÷D =49．（2022|4|-= ．50．（2022 ．51．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足18y =，则xy 的值是 ．52．（2022•襄阳）先化简，再求值：2(2)(2)(2)2()a b a b a b a b a +++-+-，其中a =b =53．（2022•河池）计算：10|22|342(5)π----⨯+-． 54．（2022•泰州）（1）计算：21833-⨯； （2）按要求填空： 小王计算22142x x x --+的过程如下： 解：22142x x x --+ 21(2)(2)2x x x x =-⋯⋯+-+第一步 22(2)(2)(2)(2)x x x x x x -=-⋯⋯+-+-第二步22(2)(2)x x x x --=⋯⋯+-第三步2(2)(2)x x x -=⋯⋯+-第四步12x =+．⋯⋯第五步 小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解” )，计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ． 55．（2022•甘肃）计算：2324⨯-．1．（2022•攀枝花）2的平方根是( ) A ．2 B ．2±C ．2D ．2±【考点】平方根【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：因为2(2)2±=， 所以2的平方根是2±， 故选：D ．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 2．（2022•兰州）计算：4(= ) A ．2±B ．2C ．2±D ．2巩固训练解析【考点】算术平方根【分析】利用算术平方根的性质求解．==．【解答】解：2故选：B．【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．3．（2022•烟台）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，⋯，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( )A．5B．6C．5D．6【考点】算术平方根；规律型：图形的变化类【分析】1个正方形的边长为1，其对2，其对角线长为2；第3个正方形的边长为n-所以，第6个正方形的边2，其对角线长为3；⋅⋅⋅；第n个正方形的边长为1.长5．【解答】解：由题知，第1个正方形的边长1AB=，根据勾股定理得，第2个正方形的边长ACCF=，根据勾股定理得，第3个正方形的边长2GF=，根据勾股定理得，第4个正方形的边长3GN=，根据勾股定理得，第5个正方形的边长4=．根据勾股定理得，第6个正方形的边长5故选C．【点评】本题利用勾股定理找到相邻两个正方形的边长之间的根号2倍关系，由此依次推出第2个、第3个、⋅⋅⋅、第6个正方形的边长．4．（2022•泸州）(= ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的定义判断即可．【解答】解：2=-． 故选：A ．【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．5.（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：360x -，2x ∴，故选：D ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022•常州）若二次根式x 的取值范围是( ) A ．1xB ．1x >C ．0xD ．0x >【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：10x -，据此求出实数x 的取值范围即可．【解答】解：10x ∴-，解得：1x ． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．7.（20222x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠【考点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，1(0)p pa a a -=≠即可得出答案． 【解答】解：10x +，0x ≠，1x ∴-且0x ≠，故选：C ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，1(0)p p a a a-=≠是解题的关键．8．（2022a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围． 【解答】解：由题意得：10a -，1a ∴，故选：B ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．9．（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2xC ．2x <D ．2x【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意，得20x -，解得2x ． 故选：B ．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．10．（2022•内蒙古）实数a 1|1|a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴【分析】根据数轴得：01a <<，得到0a >，10a -<||a =和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：01a <<， 0a ∴>，10a -<，∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．【点评】||a =是解题的关键．11．（2022( )A ．B ．3C ．D ．2【考点】二次根式的性质与化简【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为【解答】=， 故选：A ．【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．12．（2022•永州）下列各式正确的是( )A B ．020=C ．321a a -=D ．2(2)4--=【考点】有理数的减法；合并同类项；零指数幂；二次根式的性质与化简【分析】根据二次根式的性质与化简判断A 选项；根据零指数幂判断B 选项；根据合并同类项判断C 选项；根据有理数的减法判断D 选项． 【解答】解：A 选项，原式2=，故该选项不符合题意；B 选项，原式1=，故该选项不符合题意；C 选项，原式a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式224=+=，故该选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，零指数幂，合并同类项，有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 13．（2022•河南）下列运算正确的是( )A ．2B ．22(1)1a a +=+C ．235()a a =D ．2322a a a ⋅=【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简 【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 、=A 不符合题意；B 、22(1)21a a a +=++，故B 不符合题意；C 、236()a a =，故C 不符合题意；D 、2322a a a ⋅=，故D 符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14．（2022•河北）下列正确的是( )A 23=+B 23⨯C 23=D 0.7【考点】二次根式的性质与化简【分析】根据=A 选项；根据0,0)a b =判断B 选项；根据||a 判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D 选项．【解答】解：A 、原式=B 、原式23=⨯，故该选项符合题意；C 、原式29=，故该选项不符合题意；D 、20.70.49=，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】0,0)a b =是解题的关键． 15．（2022•苏州）下列运算正确的是( )A 7=-B ．2693÷= C ．222a b ab += D ．235a b ab ⋅=【考点】有理数的除法；合并同类项；单项式乘单项式；二次根式的性质与化简【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．【解答】解：7=，故此选项不合题意； 2.693B ÷=，故此选项，符合题意； .22C a b +，无法合并，故此选项不合题意； .236D a b ab ⋅=，故此选项不合题意；故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( )A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-【考点】二次根式的性质与化简；分式的混合运算；二次根式的乘除法；完全平方公式 【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 2，故A 不符合题意； B 、222()2m n m mn n +=++，故B 不符合题意；C 、21221xx x x x--=--，故C 不符合题意； D 、2229332y x xy x y-÷=-，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（2022•宁夏）下列运算正确的是( )A ．220--=BC ．3362x x x +=D ．326()x x -=【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A ．224--=-，故此选项不合题意；BC ．3332x x x +=，故此选项不合题意；D ．326()x x -=，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（2022•鞍山）下列运算正确的是( )A =B ．3412a a a ⋅=C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方 【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A =A 不符合题意；B 、347a a a ⋅=，故B 不符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，故C 不符合题意；D 、2336(2)8ab a b -=-，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D =【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法；负整数指数幂 【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：32232a b a b +不能合并，因为不是同类项，A 选项错误；2363(2)8a b a b -=-，B 选项也错误； 2124-=，C 选项也错误；=D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了整式的运算和实数的运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次根式的化简混合运算．20．（2022•广州）下列运算正确的是( )A 2=B ．11(0)a a a a a+-=≠C D ．235a a a ⋅=【考点】分式的加减法；二次根式的加减法；同底数幂的乘法；立方根【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A 2=-，故此选项不合题意；B ．111a a a+-=，故此选项不合题意；C =D ．235a a a ⋅=，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（2022•广安）下列运算中，正确的是( ) A ．224325a a a += B ．933a a a ÷=C =D ．236(3)27x x -=-【考点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方 【分析】A ．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；B ．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；C ．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；D ．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A ．因为222325a a a +=，所以A 选项运算不正确，故A 选项不符合题意；B ．因为93936a a a a -÷==，所以B 选项运算不正确，故B 选项不符合题意；C C 选项运算不正确，故C选项不符合题意；D ．因为236(3)27x x -=-，所以D 选项运算正确，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．22．（2022•梧州）下列计算错误的是( )A ．358a a a ⋅=B ．2363()a b a b =C ．D ．222()a b a b +=+【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的加减法 【分析】A ．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；B ．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；C ．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；D ．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：A ．因为35358a a a a +⋅==，所以A 选项计算正确，故A 选项不符合题意；B ．因为2363()a b a b =，所以B 选项计算正确，故B 选项不符合题意；C ．因为，所以C 选项计算正确，故C 选项不符合题意；D ．因为222()2a b a ab b +=++，所以D 选项计算不正确，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关键． 23．（2022•雅安）下列计算正确的是( )A ．236=B ．328()55-=-C ．224(2)2a a -=D =【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方【分析】根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可． 【解答】解：239=，故A 选项错误； 328()5125-=-，故B 选项错误； 224(2)4a a -=，故C 选项错误；，故D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本运算法则是解答本题的关键．24．（2022•云南）下列运算正确的是( )A =B ．030=C ．33(2)8a a -=-D ．632a a a ÷=【考点】二次根式的加减法；零指数幂；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方【分析】根据二次根式的加减法判断A 选项；根据零指数幂判断B 选项；根据积的乘方判断C 选项；根据同底数幂的除法判断D 选项．【解答】解：AB 选项，原式1=，故该选项不符合题意；C 选项，原式38a =-，故该选项符合题意；D 选项，原式3a =，故该选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握01(0)a a =≠是解题的关键．。
二次根式学案(含解析版)
二次根式知识点【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4、二次根式的性质：1)0a ≥的最小值是0)0a ≥)0a ≥。
（2）()20a a =≥；（3()()()0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；=b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、 概念与性质例1、下列各式1）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a ≥bD. a ≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A. ； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。
二次根式教案
二次根式教案二次根式教案（精选5篇）二次根式教案篇1一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案篇2教学目的1.使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式;2.会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点最简二次根式的定义。
教学难点一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程一、复习引入1.把下列各根式化简，并说出化简的根据：2.引导学生观察考虑：化简前后的根式，被开方数有什么不同?化简前的被开方数有分数，分式;化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
湘教版八年级数学上册第五章《二次根式》教案
第5章二次根式5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.4.经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.5.经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.二、思考探究，获取新知1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u 2=gR ，其中重力加速度常数g ≈9.5m/s 2.如已知地球半径R ，则第一宇宙速度v 是多少？我们已经知道：每一个正实数a 有且只有两个平方根，一个记作a ，称为a 的算术平方根，另一个是-a . 【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0)3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = . 【归纳结论】2a =a(a ≥0) 4.议一议：当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对 3.()25x --x 有（B ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x++ 在实数范围内有意义？7.当x 1231x x ++在实数范围内有意义？ 【分析】1231x x +++在实数范围内有意义，23x + 中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 为实数，且521024a a b -+-=+ ，求a 、b 的值．答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.4.进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.5.通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.【教学重点】会把二次根式化简为最简二次根式.【教学难点】准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.一、情景导入，初步认知1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？2.当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？2.化简下列二次根式（118（220（372【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）3.化简下列二次根式4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.三、运用新知，深化理解1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.，不是最简二次根式.因为解：最简二次根式有1545=⨯=⨯=，45595935被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.2.化简216x(x>0)6.化简：7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，x2=1800，解得x=302（厘米）．答：正方形铁桶的底面边长是302厘米．【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法⨯=(a≥0,b≥0).1.使学生掌握二次根式乘法法则a b ab2.使学生掌握2a=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.3.通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.4.培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.【教学难点】二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.一、情景导入，初步认知一块正方形的木板面积为200cm22=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？【教学说明】通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.积的算术平方根的性质是什么？a b a b=a≥0,b≥0)··2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？⋅⋅（）与；（）与14949216251625【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.⨯=（a≥0,b≥0)，老师【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：a b ab应引导学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因a b在实数范围内却没有意义，乘为当a<0，b<0时，虽然ab有意义，而，法法则显然不能成立．3.计算.三、运用新知，深化理解1.教材P161例1、例2.2.下列各式正确的是（D）8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长L A,L B,L C解完本题后，你能得到什么启示？解：略.【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.第2课时二次根式的除法1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.2.经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.3.培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.【教学重点】二次根式除法运算.【教学难点】探索二次根式除法法则.一、情景导入，初步认知1.积的算术平方根的性质是什么？2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.三、运用新知，深化理解1.教材P163例4、P164例5、例6.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.4.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.3.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42m,下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.章末复习1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.4.经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.5.通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m 有意义，则m能取的最小整数值是（B）2.31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.31 / 31。
二次根式教案汇编五篇
二次根式教案汇编五篇二次根式教案篇1一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的'定义，应侧重让学生理解“ 的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4） .辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）A. B. C. D.考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2. 当时，二次根式无意义．考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥ ．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．二次根式教案篇2目标1．熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；2．会运用二次根式解决简单的实际问题；3．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。
学案5：16.2二次根式的乘除（2）
16.2二次根式的乘除（2）学习目标1a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．3、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．重点：掌握和应用二次根式的除法法则。
难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定，会判断二次根式是否是最简二次根式．一、自主学习计算下列各题，观察计算结果，你能发现什么规律？（1；（2=________；（3；（4=________．二、合作交流自学课本，然后完成下面的题目（要进行小组交流）.1、根据规律，得到除法法则：__ ，反过来就有.2、计算：（1（2（3（43、化简：（1（2（3（44、观察上面各小题的运算结果，可以发现它们有共同特点：①，②，我们把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.5、把下列各式化成最简二次根式(1)5.2 （2 (3)三、归纳小结：我们这节课学了哪些知识？与小组的其他同学交流一下你的收获与感悟。
四、课堂检测： 1）．A ．27B ．27C D2=“把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
（1）．A ．2B ．6C ．13D（2） 分母有理化:3、把（a -1a -1）移入根号内得（）．A BC ．D ．4、_________．5、已知aa正确， a ·1a（a -1参考答案：一、（1）34，34；（2）23，23；（3）12，12；（4）23，23.二、2、（1）2 ，（2）2√3 ，（3）2 ，（4） 2√2 ；3、（1）√38 ，（2）8b 3a ，（3）3√x 8y ,(4) √5x13y ；5、（1）√102，（2）2xy √2y ,(3) xy√y 2+x 2 .四、1、A ，2、（1）C ，（2）√26 ，√36 ，√22 ；3、D ，4、-√−a −1 ；5、不对，−√−a +√−a .。
二次根式教案四篇
二次根式教案四篇二次根式教案篇11、知识与技能：了解二次根式的概念，能求根号内字母范围，理解二次根式的双重非负性，并能应用它解决相关问题。
2、过程与方法：进一步体会分类讨论的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过小组合作学习，体验在合作探索中学习数学的乐趣。
1、重点：准确理解二次根式的概念，并能进行简单的计算。
2、难点：准确理解二次根式的双重非负性。
课本第2— 3页一、课前准备(预习学案见附件1)学生在家中认真阅读理解课本中相关内容的知识，并根据自己的理解完成预习学案。
二、课堂教学(一)合作学习阶段。
教师出示课堂教学目标及引导材料，各学习小组结合本节课学习目标，根据课堂引导材料中得内容，以小组合作的形式，组内交流、总结，并记录合作学习中碰到的问题。
组内各成员根据课堂引导材料的要求在小组合作的前提下认真完成课堂引导材料。
教师在巡视中观察各小组合作学习的情况，并进行及时的引导、点拨，对普遍存在的问题做好记录。
(二)集体讲授阶段。
(15分钟左右)1. 各小组推选代表依次对课堂引导材料中的问题进行解答，不足的本组成员可以补充。
2. 教师对合作学习中存在的.普遍的不能解决的问题进行集体讲解。
3. 各小组提出本组学习中存在的困惑，并请其他小组帮助解答，解答不了的由教师进行解答。
(三)当堂检测阶段为了及时了解本节课学生的学习效果，及对本节课进行及时的巩固，对学生进行当堂检测，测试完试卷上交。
(注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行)三、课后作业(课后作业见附件2)教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。
四、板书设计课题：二次根式(1)二次根式概念例题例题二次根式性质反思：二次根式教案篇2一、内容和内容解析1.内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2.内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式.二、目标和目标解析1.教学目标(1)利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;(2)会进行简单的二次根式的除法运算;(3) 理解最简二次根式的概念.2.目标解析(1)学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则;(2)学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算.(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.三、教学问题诊断分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的'根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.四、教学过程设计1.复习提问，探究规律问题1 二次根式的乘法法则是什么内容?化简二次根式的一般步骤怎样?师生活动学生回答。
二次根式教案(优秀5篇)
二次根式教案（优秀5篇）次根式教案篇一目标1．熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；2．会运用二次根式解决简单的实际问题；3．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。
教学设想本节课的重点是：二次根式及其运算的实际应用；难点是：例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂。
教学程序与策略一、预习检测：1、解决节前问题：如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1 ：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。
你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？归纳：在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算。
二、合作交流：1、：如图，扶梯AB的坡比（BE与AE的长度之比）为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE= 米，BC= CD。
一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程（结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米）让学生有充分的时间阅读问题，并结合图形分析问题：（1）所求的路程实际上是哪些线段的和？哪些线段的长是已知的？哪些线段的长是未知的？它们之间有什么关系？（2）列出的算式中有哪些运算？能化简吗？注意解题格式教学程序与策略三、巩固练习：完成课本P17、1，组长检查反馈；四、拓展提高：1：如图是一张等腰三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。
（1）分别求出3张长方形纸条的长度。
（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm。
师生共同分析解题思路，请学生写出解题过程。
五、课堂小结：1、谈一谈：本节课你有什么收获？2、运用二次根式解决简单的实际问题时应注意的的问题六、堂堂清1: 作业本（2）2：课本P17页：第4、5题选做。
次根式教案篇二一、教学目标1、使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式。
二次根式教学设计五篇
二次根式教学设计五篇二次根式教学设计1一.教学目标：（一）知识与技能：1.了解二次根式的概念，会确定二次根式成立的条件。
2.会用二次根式性质进行有关计算。
3.了解逆用公式在实数范围内因式分解。
（二）过程与方法：体验性质的推导过程，感受由特殊到一般的方法。
（三）情感态度：激发对数学的兴趣。
二.教学重点：二次根式成立的条件，双重非负性；用性质进行计算。
三.教学难点性质的逆用。
四.教学准备：课件五.教学过程(一)复习提问1．什么叫二次根式？2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：(3)∵x取任何值都有2x2≥0，因此2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．(二)二次根式的简单性质上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。
引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。
将符号“”看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？请分析：引导学生答如时才成立。
时才成立，即a取任意实数时都成立。
我们知道如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．(三)小结1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．2．有关公式的应用。
(1)经常用于乘法的运算中．(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．二次根式教学设计2一.情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为xx，面积为S的正方形的边长为xx(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为xxm。
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝xx。
沪科版八年级下册学案16.2二次根式的运算(5)
课题：16.2二次根式的运算（5）编号8S07
教学思路（纠错栏）
教学思路（纠错栏）学习目标：
能熟练运用二次根式加减法的运算方法，进行二次根式的加减运算。
学习重点：
二次根式的加减运算
学习难点：
准确认识同类二次根式，进而进行合并。
☆自主学习☆
一、知识链接
1．．同类二次根式的概念：
2．合并同类二次根式的方法：
二、阅读与思考（请仔细阅读课本第11页内容，思考并回答下列问题。
）1．二次根式的加减法的实质是_____________________
2．二次根式加减法的一般步骤：（1）________________________________；
(2)________________________；（3）________________________________。
注：不是同类二次根式不能合并。
☆合作探究☆
1．计算：（1）212+348-475；（2）（24- 33
2
）-（8
1
-6）.
2．已知2≈1.141，3≈1.732，求12-271+232（结果保留两位小数）.
注：近似计算“过程”应比“结果”多取一位有效数字。
☆ 归纳反思 ☆ ☆ 达标检测 ☆ 1．计算： （1） 348-913+312 （2） （48+20）+（12-5） （3） )1253
4()2745(+-+。
2．已知2≈1.141，3≈1.732，求27+224-8的近似值。
（结果保留两位小数）。
八年级数学上册 第5单元 二次根式学案(新版)湘教版
二次根式学习目标：1.通过对本章知识的回顾与小结，形成系统的知识结构。
2.熟练掌握二次根式的化简及二次根式的概念和性质的应用。
重点：二次根式性质的应用及其混合运算。
教学过程：学一学：阅读教材P151小结与复习，补全知识结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=⎩⎨⎧<≥==≥=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥乘法公式仍适用，多项式的运算法则及混合运算：实数运算律相加减，再把被开方数相同的加减：先除法：乘法：运算（二次根式的性质的式子形如二次根式的概念二次根式_______)0,0_______()0,0_________(________)(_______,)0,0_________()0______()0______()0())0(0)0______(22b a b a b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a a 补充：1.最简二次根式必须满足的两个条件是：⑴________________________________________________;⑵______________________________________________.2.在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：移到根号外的数必须是__________).3.一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_______.3.二次根式的和相乘，类似于____的乘法运算，注意利用乘法公式。
课堂展示：一、填空：1.式子：21、42-x 、39、4、a 6、2x 中，是二次根式的有_ .2.要使二次根式42-x 有意义，那么x 的取值范围是_______.3.化简：48=_____； 321=_______， 38x =_____。
4.计算：① =⨯3823_______; ② =⨯3532455_____③ =÷575_______; ④ xy yx 262=_______⑤ =--)27483(12____; ⑥ =+2)534(______二.先化简再求值： 215),6()3)(3(+=--+-a a a a a 其中 合作探究互动探究一：是否存在实数a 与b 使最简二次根式222+-b a 与22b a -是同类二次根式？若存在，求出22b a +的值；若不存在，请说明理由。
人教版数学九上《二次根式》word学案3篇
九年级二次根式（1）学案学习目标：1．理解二次根式的概念．2．理解根号内字母的取值范围，会利用a （a ≥0）的意义解答具体题目． 学习重点：1.二次根式的概念。
2.二次根式中字母的取值范围。
学习难点：1.确定二次根式中字母的取值范围。
2.利用 (a ≥0)解决具体问题。
学习过程： 一. 复习引入请同学们独立完成下列四个问题：问题1：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是______问题2：面积为S 的正方形的边长为_________。
问题3：要修建一个面积为6.28平方米的圆形喷水池，它的半径为 米？问题：这些式子都有什么共同的特点？二、观察归纳上面3个问题的结果和我们以前平方根的什么知识有联系？（先独立思考，再相互交流.）师生共同归纳二次根式的概念三、感化深悟问题一：1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a 有意义吗？ 4.4是二次根式,而4=2,2是二次根式吗?问题二：二次根式应满足几个条件？四、巩固提高练一练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式。
B ACx>0）-x≥0，y•≥0）．2．当x在实数范围内有意义？用一用1、当x2、(1)已知，求x/y的值．(2)若，求a2010+b2010的值．五、本节课的收获：六、课后反思九年级二次根式（2）学案学习目标：a≥0）是一个非负数、2=a（a≥0）a≥0）学习重点a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）（a ≥0）及其运用．学习难点a≥0•=a（a≥0）（a≥0）．学习过程：一、复习口答12．当a≥0a<0二、观察归纳议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．做一做=_______；=_______；；；=________；．三、感化深悟1计算2 = （2 =（（2 = （）2=22 计算下列各式的值：= （2=（1= （4=（3四、知识提高计算1．2（x≥0）= 2．2=2．a≥0中正确的是（）．AC．五、本节课收获六课后反思九年级二次根式（3）学案学习目标：1、使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。
《二次根式》学案-2021-2022学年人教版八年级下册数学
《二次根式》学案【教学目标及重难点】1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
（教学重点）2.掌握二次根式有意义的条件。
3.掌握二次根式的基本性质： a ≥0（a ≥0）和2)(a =a （a ≥0）（教学难点）【学前指导】（按以下流程进行学习）认真自学课本第2页，具体要求:(1)研读．．课本第2页“回顾”与“概括”： ①了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式；②掌握二次根式的基本性质：a ≥0（a ．≥．0．）和2)(a =a （a ≥0） (2)认真看或试做课本2页例题，注意二次根式有意义的条件。
．．．．．．．．．．．【知识探究】1.⑴形如a （a 0）叫做 ，其中a 叫做_______。
⑵a 有意义的条件是 。
⑶a，a 0。
⑷2化简：2= ，其中a2. 判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？）（ ），（ ） ），)0(3≥a a （ ）（）防错提醒： 中的．．a ．可以是数或式，但．．．．．．．．a ．一定要大于或等于．．．．．．．．0．3. 当x 时，二次根式3+x 有意义。
4. 若52-x 有意义，则a 的取值范围是5. 若0112=-+-y x ，则x = ，y = 。
6. 2)7( = ， =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛253 ； 2(= ；2= 。
【合作探究】 1. 有意义的x 的取值范围是 。
2.已知y ＝x -3+23--x ,则x y = ______。
3. 下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--x B.x C.22+x D ．22-x【作业】课本：第4页题1、2、3【补充作业】1.定是二次根式的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.a 的值为 。
3. 当x时，中x 的取值范围是 。
4.若20a -=，则 2a b -= 。
6.20x y +-=，则x-y = 。
7. 若x ，y 是实数，且2111+-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值 【课后反思】。
二次根式(5)导学案
编号16-5 课题16.2最简二次根式与同类二次根式时间2014.03.03 姓名：学习目标：1．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2．了解并掌握同类二次根式的概念；学习重点：最简二次根式与同类二次根式的概念理解及其应用．学习难点：最简二次根式与同类二次根式的概念理解及其应用．学习过程：一、复习引入：1．计算（1（2（3二、新知初探：1．观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）．被开方数不含；（2）．被开方数中不含能的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做．2．观察：下列三组根式有什么共同的特征？①2，22，－52，122，－132…②5，－55，175，2135，－675…特征：．③x，－2x，23x，－14x，20x…思考：12，2，8，18，32，…这组根式满足之上的特征吗？说说你的理由．归纳：几个二次根式化成二次根式以后，如果相同，这几个二次根式叫做。
三、典例：例 1．化简：(1)2. 下列各式，哪些是同类二次根式？2,633．若最简根式3a a、b的值．四、题组训练：A组：1．把227化成最简二次根式，结果为：（）A．233B．29C．69D．392．下列各式：①31，②2，③8，④x1(x＞0)中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列根式中，最简二次根式为：( ) A．4x B．x24- C．x4D．()x+423．已知t<1，化简1212---+t t t得：（）A．22-t B．2t C．2 D．04．把aba123分母有理化后得（）A．4b B．b2 C．b21D．bb25．ybxa+的有理化因式是（）A．yx+ B．yx- C．ybxa- D．ybxa+6．下列二次根式：①3；②12；③9；④16；⑤18．其中，属于同类二次根式的是（填写正确答案的序号）．7．下列各组根式中，属于同类二次根式的是（）A．3和18 B．3和13C．a2b和ab2 D．a＋1 和a－18．下列二次根式中，与a属于同类二次根式的是（）A．2a B．3a2 C．a3 D．a49．若二次根式2a－4与2是同类二次根式，则a的值为．10．若二次根式4a－4与2是同类二次根式，则a的值为．11．化简后，根式b－a3b 和2b－a＋2 是同类根式，那么a=_____，b =______.12.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？B组： 1．（x≥0）2.）A.B.C.D.3．_________．4．若x、y为实数，且y x y-的值．5．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++aaa，其中51=a”有不同的解答，甲的解答是:549211)1(1211222=-=-+=-+=-++aaaaaaaaaaa,乙的解答是:5111)1(1211222==-+=-+=-++aaaaaaaaaa,谁的解答是错误的？为什么？6．同学们，我们观察下式：）2=2-2·112反之，）2∴）2求：（1（2（37、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=，=））的值．五、达标测评：1）A．B．C．D．2.）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④3．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．9B．7C．20D．314、是同类二次根式的有__ ______．5．把mm1-根号外的因式移到根号内，得（）A．m B．m- C．m-- D．m-6n m、n的值．712。
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二次根式（基础）
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
●理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；
●理解并掌握下列结论：0(0)
a a
≥≥，2
()(0)
a a a
=≥，2(0)
a a a
=≥并利用它们进行计算和化简．
学习策略：
●结合初一所学的绝对值和乘方的有关知识；
●熟记常见的完全平方数；
●理解乘方与开方是互逆运算.
二、学习与应用
1. 一个正数的绝对值是
，一个负数的绝对值是，0的绝对值是 .
2．常见完全平方数：112= ，122= ，132= ，142= ，152= ，162= ，172= ，182= .
要点一、二次根式及代数式的概念
1、二次根式：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根
号．
要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为；②被开方数为.
2、代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本
运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式
子为代数式。
要点二、二次根式的性质
1、；
2.；
“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对
性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．
要点梳理——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听
课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源
ID：#2153#388546
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
3.；
要点诠释：
1、二次根式(a≥0)的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即2
()(0
a a a
=≥）
2、2
a 与2
()a要注意区别与联系：
1）a 的取值范围不同，2
()a中a≥0，2a中a为。
2）a≥0时，2
()a =2a=a；a<0时，2
()a 无意义，2a= .
类型一、二次根式的概念
例1、当x为实数时，
下列各式()2
223
,1,,,,
x x x x x
--，，，属二次根式的有____ 个。
【总结升华】__________________________________________________________举一反三
【变式】下列式子中二次根式的个数有（）
（1）
1
3
；（2）3-；（3）21
x
-+；（4）38；
（5）2
1
()
3
-；（6）1x
-（1
x>）
A．2 B.3 C.4 D.5
例2. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？
（1）1
y x
=-；（2）y=2
+
x－x
2
3-；
典型例题——自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：#2157#388546
【总结升华】______________________________________________________________
举一反三
【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（）
A 2
3- B ()2
0.3
- C 2- D x
类型二、二次根式的性质
例3. 计算下列各式：
（1）2
3
2()
4
-⨯- (2)2
(3.14)π
-
【总结升华】_____________________________________________________________
举一反三：
【变式】（1）2)
2
5
2
(-=_____________
（2）2
)
2
(
2a
a-
-
-=_____________
例4. 已知0
a <，那么22
a a
-可化简为（）
A a
- B.a C.3a
- D.3a
【总结升华】_____________________________________________________________
_______________________________________________________________________
三、测评与总结
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
成果测评
现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的
测试．
知识点：二次根式（基础）
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID ：#2173#388546 进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID ：#2195#388550 进行能力提升．
我的收获
习题整理
题目或题目出处
所属类型或知识点
分析及注意问题
错题
注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．
○网○校○重○要○资○源
知识导学：二次根式（基础）（#388546） 高清课堂：二次根式及其乘除法（上）（# 381279）、二次根式及其乘除法（下）（# 381280）
对本知识的学案导学的使用率：
□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） □ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）
学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________
自我反馈
学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．。