高二数学空间角的复习PPT教学课件
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高考数学复习第十二讲立体几何之空间角
第十二讲立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1.范围：0，1）异面直线所成角2）直线与平面所成角20，2.求法：平移相交（找平行线替换）2向量法1.范围0 ，20,定义22.求法向量法m narcsin若 m n 则 a //或a若m // n则a m n1.范围：0.定义法（即垂面法）3）二面角 2.作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3. 求二面角大小的方法射影面积法向量法S S cos( S为原斜面面积, S为射影面积 ,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)m n当为锐角时，arccosm nm n当为锐角时，arccosm n二、例题讲解1.在正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中，若 AB 2 BB 1 , 求 AB 1 与 C 1 B 所成的角的大小。
解：法一：如图一所示，设 O 为 B 1 C 、 C 1 B 的交点， D 为 AC 的中点，则所求角是 DOB 。
设 BB 1a , 则 AB 2 a ，于是在DOB 中，O B1 3a , BD 3 2 a6BC 12a,2 22O D1 3 2222AB 1 a , BD OBOD,2即DOB90 ,DOB90法二： 取 A 1 B 1 的中点 O 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系1O xyz , AB 的长度单位，2则由AB2BB1有A 0,1,2,B0,1, 2 , B10,1, 0, C 13,0,0AB 10, 2, 2 ,C1B 3 ,1, 2 ,AB1 C1B 2 2 0, AB1 C 1 B2.如图二所示，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，BAD90 ,AD // BC,AB BC a , AD 2 a , 且 PA底面 ABCD ，P D 与底面成 30角。
⑴若 AE PD , E 为垂足，求证：BE PD ；⑵求异面直线AE , CD 所成角的大小。
第7章 第7节 空间角(共16张PPT)
利用向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐 (钝)二面角． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以 垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
师生 共研
(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的 中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] 如图，长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点 E， F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E＝D1F＝4.过点 E，F 的平面 α 与此长方体的底面相交， 交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值．
解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图： (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10.以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz， 则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， F→E＝(10,0,0)，H→E＝(0，－6,8)．
高考数学总复习 9.4空间的角课件 人教版
【题后总结】求直线与平面所成角的常用方法：
(1)定义法：关键是找斜线在平面内的射影，找射影的关 键是找出过斜足外的点与此平面垂直的直线(或平面)． (2)最小角定理：cos θ＝cos θ1·cos θ2(如图)． (3)向量法：注意向量夹角与线面角的关系．
【活学活用】1.(2012湖北七市联考)如图，在五棱锥 PABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥DE，AE ∥BC，∠ABC＝45° ，AB＝ 腰三角形． 2 ，BC＝2AE＝2，△PAB是等
(2)建立空间直角坐标系 O－xyz，如图， 则 O(0,0,0)，A(0,0,2 3)，C(2,0,0)， D(0,1， 3)， → ＝(0,0,2 3)，CD → ＝(－2,1， 3)， ∴OA → → OA· CD → → ∴cos〈OA，CD〉＝ → → |OA||CD| 6 6 15 → → ＝ ＝ 4 ，tan〈OA，CD〉＝ 3 2 3· 2 2
1.了解二面角的概念， 二面角的概念；二 二面角的平面角 二面角 面角的平面角及范 2.掌握求二面角的平面 围，求解与计算 角的方法
以棱柱、棱锥、 长方体、正方体 等为载体求二面 角的平面角
一、异面直线所成的角 设a、b是异面直线，过空间任一点O分别作两异面直线 的平行线a′、b′，则a′、b′所成的不大于直角的角叫 π 做两条异面直线a、b所成的角．其取值范围为 (0，2] ．
长； (2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较 长； (3)垂线段比任何一条斜线段都短．
2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所
成的角．
直线与平面所成的角分三种情况： (1) 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐 角，叫做这条直线与这个平面所成的角； (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角； (3)一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的 角是0°的角．
高考数学一轮复习第六讲空间角课件人教
③如图(3)，在棱a上任取一点O，过O点作平面γ⊥a，
设平面γ分别与α、β相交于OA、OB，则∠AOB为所求
能正确地作出二面角的平面角的是
()
A．①②③ B．只有② C．①和③ D．②和③
解析：①正确，这是用定义法作二面角的平面角；
②错误，这是用三垂线定理或逆定理作二面角的平面
角的重要方法，但要注意，上述作法，只对二面角小于
●回归教材
1．(2009·湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小
范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面
直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为
()
A．R＝P⊆Q
B．R⊆P⊆Q
C．P⊆R⊆Q
D．R⊆P＝Q
解析：因为P＝[0， ]，Q＝[0，π]，R＝(0， ]，所以
R⊆P⊆Q.故选B.
●基础知识 一、空间角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角 来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓 广，三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的 角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通 过解三角形求其大小．由于引入了空间向量，三种角的计 算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理．
答案：B
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线
BC1和B1D1所成的角为
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：连接AD1、AB1， ∵AB綊A1B1綊C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形， ∴AD1∥BC1，∴∠AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或 其补角．
③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分 别与两个面的交线，构成二面角的平面角．
空间角学习教材PPT课件
1、定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角
若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l在平面α内，则l与α所成角为0°
2、范围 ［0°，90°］ 3、求法 4、（最小角定理） 斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.
A D B
M
C
A1M = 22 12 = 5 ,
1 1 3 O1M = BD1 = 22 12 22 = , 2 2 2
由余弦定理得cos A1O1M =
1 2 2 5 A1O1 = 2 1 = , 2 2
5 5 , A1C1与BD1所成的角为 arccos . 5 5
二、直线与平面所成角
(A)(0°,40°)
(C)(40°,90°)
(B) (40°,50°)
(D) (50°,90°)
3.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.
A
O
C
B
A’ 例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰 直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60º B’ C’ 角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。 x 解： ACAB，ACBC’， AC平面 O ABC’，于是平面ABC’平面ABC，作C’O A x 3 平面ABC，则点O在BA延长线上, B C C’BO就是BC’ 与底面所成的角，连 OC， ， 在 OBC’中 BC’=2 6(已知） C’CO是侧棱与底面所成的角为60º
若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l在平面α内，则l与α所成角为0°
2、范围 ［0°，90°］ 3、求法 4、（最小角定理） 斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.
A D B
M
C
A1M = 22 12 = 5 ,
1 1 3 O1M = BD1 = 22 12 22 = , 2 2 2
由余弦定理得cos A1O1M =
1 2 2 5 A1O1 = 2 1 = , 2 2
5 5 , A1C1与BD1所成的角为 arccos . 5 5
二、直线与平面所成角
(A)(0°,40°)
(C)(40°,90°)
(B) (40°,50°)
(D) (50°,90°)
3.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.
A
O
C
B
A’ 例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰 直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60º B’ C’ 角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。 x 解： ACAB，ACBC’， AC平面 O ABC’，于是平面ABC’平面ABC，作C’O A x 3 平面ABC，则点O在BA延长线上, B C C’BO就是BC’ 与底面所成的角，连 OC， ， 在 OBC’中 BC’=2 6(已知） C’CO是侧棱与底面所成的角为60º
空间角学习教育课件PPT
(斜线与平面所成的角及平面内一 直线与斜线的射影所成角的余弦之 积等于斜线和平面内该直线所成角 的余弦值) ③向量法：设直线a与平面 所成角 为，直线a的方向向量与平面的法 向量分别是m，n, 则〈m，n〉的余角 或其补角的余角，即为a与 所成的角 mn ，sin | cos〈m，n〉 | . | m || n |
法二：设n1，n2是二面角 l 的两个半平 面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个 指向外侧，则二面角 l 的平面角 n1 n2 arccos . | n1 || n2 |
考点1 求异面直线所成的角
例1.如图，在四棱锥P ABCD中， 侧面PAD 底面ABCD，侧棱 PA PD 2，底面ABCD为直角 梯形，其中BC //AD，AB AD， AD 2AB 2BC 2，则异面直线 PB与CD所成角的余弦值为 __ ．
专题四
立
体
几
何
1．两条异面直线所成的角
1 定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O，
分别作a//a，b//b，相交直线a，b所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a，b所成的角．
2 范围： (0， ]． 3 方法：
2 ①平移法：在图中选一个恰当的点(通常是线段端 点或中点)作a，b的平行线，构造一个三角形，并点，所以PO AD. 因为平面PAD 底面ABCD， 所以PO 平面ABCD，所以PO BO. 因为AD 2 AB 2 BC 2， 在Rt AOB中，AB 1，AO 1，所以OB 2， 在Rt POA中，AP 2，AO 1，所以OP 1. 在Rt PBO中，PB PO 2 BO 2 3 PO 2 6 cos PBO . PB 3 3 6 所以异面直线PB与CD所成角的正切值是 . 3
空间角的复习PPT教学课件
C
H
B
解：如图,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，则DH平面
ABC，作DFAB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知DFH
为所求二面角的平面角。
又知BAD=45º, ABC=30 º，可解得
DF a, HF 3 a, DH 6 a,
3
3
于是在DFH中，由余弦定理，得 cos DFH 3
3 能灵活运用上述知识解决相关问题，提高空间想象能力 和逻辑推理能力
二 知识运用与解题研究： 例 1 已知 ABCD是梯形，∠ABC=∠BAD=900 ，
SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1／
2 解：∵求SSAC⊥与平平面面AABBCCDD所成角 S
∴SA⊥AC ∵AB=BC=1 ∠ABC=900
C
B’ C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
A’ A’ A’
1Sh
3
A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
B’ B’
22
B’
2
B’
2
B’
2
2
B’
B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’B’BC的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’ B’
2
C’
3
B’
人教版高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法——空间角问题(共20张PPT)
夹角； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
钝角，得出问题的结果．
小结
注意： (1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定 二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同 进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一 进一出，二面角等于法向量的夹角”） (2) 用方向向量法求二面角时，应先在二面角的 二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两 直线，再利用直线方向向量计算； (3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨．
课堂训练与检测：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，
SO⊥面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：
z
⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，
S
⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 ，
⑶二面角B－B
课堂小结：
1.异面直线所成角：
uuur uuur
ur uur n1, n2
ur uur nu1r •unur2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么 时候互补？
法向量法
uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2
uur
n2
uur
n1
uur
n1
l
l
cos
面PEH所成角的正弦值．
[题后感悟] 求直线与平面所成的角的方法与步骤 (1)用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法 向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量A→B； ③求平面的法向量 n；④计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝||nn|··A|→A→BB||. (2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三 角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
钝角，得出问题的结果．
小结
注意： (1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定 二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同 进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一 进一出，二面角等于法向量的夹角”） (2) 用方向向量法求二面角时，应先在二面角的 二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两 直线，再利用直线方向向量计算； (3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨．
课堂训练与检测：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，
SO⊥面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：
z
⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，
S
⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 ，
⑶二面角B－B
课堂小结：
1.异面直线所成角：
uuur uuur
ur uur n1, n2
ur uur nu1r •unur2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么 时候互补？
法向量法
uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2
uur
n2
uur
n1
uur
n1
l
l
cos
面PEH所成角的正弦值．
[题后感悟] 求直线与平面所成的角的方法与步骤 (1)用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法 向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量A→B； ③求平面的法向量 n；④计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝||nn|··A|→A→BB||. (2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三 角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
《空间角的复习》课件
空间角在几何图形中有着广泛的应用，如多面体、球体、旋 转体等，通过空间角的分析可以深入理解图形的结构和性质 。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
空间角及其计算ppt课件
半平面(α 和 β)叫作二面角的 面 .
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
2025届高中数学一轮复习课件：第八章 第6讲 第1课时空间角与距离(共114张ppt)
| AB|
＝ 24＋＋21＋＋84＝4.设点 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ |A→C|2－42＝ 1＋4＋16－16＝ 5.
故选 B.
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第15页
4．(2023·全国乙卷，理)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三
角形．若二面角 C-AB-D 为 150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
高考一轮总复习•数学
第6页
2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角
|e·n| 为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |e||n| ，.
高考一轮总复习•数学
第10页
2．点面距离的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离 d
→
|AB·n| ＝ |n| .
高考一轮总复习•数学
第11页
常/用/结/论 最小角定理：如图，若 OA 为平面 α 的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面 α 内的 直线与平面所成的角是直线与平面内的直线所成一切角中最小的角． 射影，OC 为平面 α 内的一条直线，其中 θ 为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角， 即线面角，θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2. 三余弦公式，由于 cosθ2＜1，所以有 cosθ＜cosθ1，由单调性得 θ＞θ1.
显然 CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面 CDE，于是 AB⊥平面 CDE，又 AB⊂平面 ABC， 因此平面 CDE⊥平面 ABC，显然平面 CDE∩平面 ABC＝CE， 直线 CD⊂平面 CDE，则直线 CD 在平面 ABC 内的射影为直线 CE，
＝ 24＋＋21＋＋84＝4.设点 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ |A→C|2－42＝ 1＋4＋16－16＝ 5.
故选 B.
解析 答案
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4．(2023·全国乙卷，理)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三
角形．若二面角 C-AB-D 为 150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
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2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角
|e·n| 为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |e||n| ，.
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2．点面距离的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离 d
→
|AB·n| ＝ |n| .
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常/用/结/论 最小角定理：如图，若 OA 为平面 α 的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面 α 内的 直线与平面所成的角是直线与平面内的直线所成一切角中最小的角． 射影，OC 为平面 α 内的一条直线，其中 θ 为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角， 即线面角，θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2. 三余弦公式，由于 cosθ2＜1，所以有 cosθ＜cosθ1，由单调性得 θ＞θ1.
显然 CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面 CDE，于是 AB⊥平面 CDE，又 AB⊂平面 ABC， 因此平面 CDE⊥平面 ABC，显然平面 CDE∩平面 ABC＝CE， 直线 CD⊂平面 CDE，则直线 CD 在平面 ABC 内的射影为直线 CE，
空间角复习课ppt 人教课标版
小结
作业
例2.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和 AD的 中点.求：(1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角. A 解:(1)把正四面体放置正方体中如图1,不妨 F 设CJ=2,如图1建立直角坐标系C-xyz, B z H E C
D
则A(2,0,2)，C(0,0,0), E(1,1,0) ，F (1,1,2),
练习1
例2.1
例2.2
例2.3 练2.1ຫໍສະໝຸດ 练2.2练2.3回顾
小结
作业
例1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°, 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点BC=CA=CC1， 则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A)
30 10
(B)
1 2
(C)
解:不妨设BC=2,取BC的中点为F, 连结D1F1 、 FF1,则依题意得
例1.1
例1.2
练习1
例2.1
例2.2
例2.3 练2.1
练2.2
练2.3
回顾
小结
作业
1. 线线角:
重点研究异面直线所成的角.
(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点o引 a ′ ∥ a，b ′ ∥b,则a ′ 、 b ′所成的锐角 (或直角)，叫做异面直线a、b所成的角 （或夹角）.
(2)范围： 0 , 2
练习1
例2.1
例2.2
例2.3 练2.1
练2.2
练2.3
回顾
小结
作业
基础整合:
问题1：到目前为止我们在立体几何中已经学过了哪 几种空间角？ 空间角包括: 1.线线角 2.线面角
高考数学总复习 9.7空间的角精品课件 文 新人教B版
的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫
做二面角的面．若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为α－l － β.
(2Байду номын сангаас二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O分别在两个
半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则∠AOB叫做二面角α－l －β的平面角．
作法：①定义法；②垂面法；③利用三垂线定理或其逆
1.求空间角一般转化为平面角来实现，要注意三种角的范 围，求角的一般步骤是： (1)找或作出有关的平面角； (2)证明此角即为所求； (3)化归到一个三角形中求角．
2．求空间角的方法：
(1)几何法； (2)向量法：①求异面直线所成的角，转化为两异面直线 的方向向量的夹角(或其补角)； ②求直线与平面所成的角，转化为直线的方向向量与平 面的法向量的夹角(或其补角)的余角； ③求二面角，转化为两平面的法向量的夹角(或其补角)， 求角之前可以对二面角的范围作一下预判(锐角或钝角).
2．直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐 角叫做这条斜线和这个平面所成的角．
一直线垂直于平面，所成的角是直角．
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角．
(2)范围：
(3)定理：斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内的直
线所成的一切角中最小的角．
3．二面角
(1)定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中 的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成
解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设 BC ＝1 1 则 A(－1,0,0)，F1(－ ，0,1)， 2 1 1 B(0，－1,0)，D1(－ ，－ ，1) 2 2 1 1 1 → → 即AF1＝( ，0,1)，BD1 ＝(－ ， ，1) 2 2 2 1 － ＋1 4 30 → → ∴cos<AF1，BD1>＝ ＝ . 10 1 1 1 1＋ · 1＋ ＋ 4 4 4
高考数学复习 第九章 第六节空间角精品课件
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l
C
D
ABD在平面ABC上的射影设所求
H
B
的二面角为, 则有
cos = SABH /SABD，
由解法一，易求得 SABH233a2,
代入上式，得
cos
3 3
SABD12a2
三 练习反馈
1 PA、PB、PC是P从点引出的三条射线，每两条的夹角都是600，求 直线PC与平面PAB所成角
C
B
P
2 如图PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=√2 P
（2）求 CN与平A面BC所 D成角的正切值；
（3）求CN与BD所成角的余弦值；
（4）求平S面 BC与SDC 所成角大小的正弦值。 S
M
N
Q
A
E
D
F
B
C
DFH arcco3s
3
3
即面ABD与面ABC所成的二面角为
arccos
3 3
例2：已知直二面角 -l-,A,B,线段AB=2a，AB与
成45º的角，与成30º角，过A、B两点分别作棱l的垂线 AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。
解法二（射影法）：由于D在平面ABC A
内的射影H在BC边上 ABH为
C B
∴AC=√2
又SA=1 ∴SC=√3
A
D
∴sin∠ACS=
SA SC
=√3／3
∴SC与平面ABCD所成角为arcsin√3／3
例2 已知直二面角 -l-，A,B线
段AB=2a，AB与成45º的角，与成30º A
角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、
F
D
BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。
CH⊥AB垂足为H
(1) 求证 CH⊥平面PAB
(２) 求二面角A-PB-C的大小
D
C
A
3 P 50 7
H
4：如图所示 A， BC 是 四 D边 边6长 的 形为 正方形，
SA平A 面BC ， SDA8， M是 SA 的中点，
过 M和 BC 的平S 面 D 于 交 N。
（ 1）求二M面 -B角 C -D大小的正切值；
B
D
M
H C
Hale Waihona Puke 它在过其底边BC的平面M上的射影
DBC以及两者所成的二面角之间的
关系：
cos SDBC
SABC
用这个关系式可求锐二面角的平面角
异面直线公式法
d2+m2+n2-l2 cosθ=
2mn
(0＜θ≤π) (1) 平移 (2) 求EF
E
m
A
P
d
A1
l
n
F
学习目标
1 熟练掌握线面角定义、公式、求法及最小角原理 2熟练掌握二面角的平面角的定义、作法及其求法
3 能灵活运用上述知识解决相关问题，提高空间想象能力 和逻辑推理能力
二 知识运用与解题研究： 例 1 已知 ABCD是梯形，∠ABC=∠BAD=900 ，
SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1／
2 解：∵求SSAC⊥与平平面面AABBCCDD所成角 S
∴SA⊥AC ∵AB=BC=1 ∠ABC=900
作(求)二面角的平面角的常用方法 （1）、点P在二面角内 —定义法 （2）、点P在棱上 —垂线法 （3）、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法
l
P
A
P
B
A
B
l
B
P
O
l
A
（4）公式法
A
射影公式法：如图所示， AD平面M，
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面 角，由 cos =AD/AH可得，ABC与
一 复习回顾
1 平面的斜线和平面所成的角
O
2 直线和平面所成角的范围是[0，90]。
3 求法
(1)直接法—构作三角形
(2)公式法
A
B
(3)向量法
C
4 斜非角的余弦等于线面角的余弦与射非角 余弦的积：cos =cos cos
5 最小角原理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
C
H
B
解：如图,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，则DH平面
ABC，作DFAB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知DFH
为所求二面角的平面角。
又知BAD=45º, ABC=30 º，可解得
D F a ,H F3a ,D H 6a ,
3
3
于是在DFH中，由余弦定理，得 co sDFH 3
所以