向量及向量的基本运算

ABC的重心, c GC 0
试判断 ABC的形状
题例若型O 4u u 、三A u r 设 :平2 ar 面a r , 向brb r 量， O u 是u 基B u r 两本 个定3 a 不r 理 共与b r 线， 三O u u 的C u 点r 非 共零a r 线 向问3 量b r 题，，
求证：A、B、C三点共线；
④任意平一行组向平量行（向共量线都向可量以):方移向到相同同一或直相线反上的。a向/量/b。 ⑤向量相经等过向平量移：后长总度可相以等重且合方，向记相为a同的b向量。。相等
做2向）量向的量加加法法。：设求A两 B个a,B 向量C b和的,则运:算叫 向量加法有“三角形法则”（首尾相接） 与“平行四边形法则” （起点相同）
设 O A a ,O B b ,试 a ,b 用 表 O 示 ,O M ,M N N
例3: 已知G是△ABC的重心，求证： (1 )GA G B G C 0
xG
(2)
yG
x1 y1
x2
3 y2
3
x3 y3
(其中: A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3))
练习 若 a
2:已知 G 为 GA b GB
λ+μ=1，λ、μ∈R.反之亦然。
2020/3/23
题型四:判断动点轨迹
例6： O是平面上一定点，A、B、C是平面上不
共O u u P u r线 的O u u 三A u r 个 （ 点u u ，A u u B u u r动u r 点u u A Pu u C 满u u ru r足） ， [0 ， ） ，则
5向实)两量数个b，向与使量非得共零线向b 定量=理aa共。线 有且只有一个
证三点共 ABBC且有公共 B 点
线方法： AB//BCA,B,C三点共线
6)平面 向量的基本定理
如平：a 果面 内e1的,e1e 任21 是一 一向个2 量e 平2 a面,内有其的且中两只不个有共不一线共对的线实向向数量e量1,，1e,2那叫2么做对，表这示一使这
一平面内所有向量的一组基底。 推论：如果 e1,e2 是一个平面内的两个不共线向量，
1 e 12e 21 e12 e2 11且 22
题型一:基本概念问题
例1、判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向错 (2)若 a b,则 则ab 错
(3)单位向量都相等错 (4) 向量就是有向线段 错
(((567)))两 若 若a相a/等/bb向，，量bb若//共cc， ，起则 则点,a则a/终/cc点错也；对相同对
练习3：设 e1 , e 2 是不共线的向量,已知向量
A 2 B e 1 k e 2 ,C e 1 B 3 e 2 ,C 2 D e 1 e 2
若A,B,D三点共线,求k的值
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例 5：设 OA、 OB 不共线，如点 P、A、B
三点共线，求证： OP =λ OA +μ OB 且
|A B | |A C |
P的轨迹一定通过ABC的（ B ）
A 外心
B 内心
C重心
D垂心
uuur uuur uuur uuur
练习 4：OP OA （AB AC）， [0， ）如何？
课堂小结：
1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量
2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底
r b
菱形
；
rr ab
rr ab 且
r a
r b
正方形
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4①)实实数数与λ与向向量量的积a的 积是一个向量,记作λ
，a它
的（（时长ⅠⅡ度））0，与当a，0方时λa向的a规0方a 0，定向,λ；方如与的a向下方的是：向a方任与向意的相的方反。向；相当同时；当
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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
作业:<<走向高考>>P65: 例3 跟踪练习3 P38 :16
补 充 1 ： 经 过 OAB 重 心 G 的 直 线 与
OA,OB 分 别 交 于 点 P ， Q ， 设
uuur OP
uuur uuur mOA, OQ
uuur nOB
，m,
n
R
，求
1 n
1 m
的值。
补充2：
若在平面内存在点O, 使得:
O AO BOC ( ABAC )
2
siC n siB n
试判断△ABC的形状.
28.向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念
①a向,b,量c：…既…有来大表小示又，有或方用向有的向量线。段向的量起一点般与用终点
的大写字母表示，如：AB ，或用坐标表示。向量的
大小即向量的模（长度），记作| AB |。 ②零向 量：长度为0的向量，记为 0，其方向是任 意③的 单位，0向与量任：意模向为量1个平单行位。长<注度意的与向0量的。区a别a> e
说明：（1）a b A B C AC；
2）向量加0 法 满a 足a 交 换0 律 与a 结合律；
向3)量①向，量相叫的反做减向a法的量相：反与向a长量度。相记等作、a方,零向向相量反的的
相反向量仍是零向量。 a②与向b量的减差法，：记向作量：aa 加上b 的a b 相( 反b )向。量求叫两做个向
(8) 四边形ABCD是平行四边形,则ABCD,B错CDA
(9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB 平移后可能
得(10到）a的向b量的A充B要的条坐件标是为|a（||3b,－| 且3）a//b
；
错 错
练习1: 化(简 1)AB AC BD CD0
(2)OA OC BO COBA
题型二:向量的相互表示 例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB 相交于点C，线段BC上有一点M满足: BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,
量点a差指的向b运b的算的作，终图叫点法做的：向向a量量b的（可减a以法、表b。有示共为同从起a点的）终
向量减法有“三角形法则”
（必须起点相同 OAOBBA ）
结论：由同一点 A 为起点的两个已知向量
a, b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD ， 如 果
rr ab
rr ab
矩形
；
r a