向量及向量的基本运算
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是线性代数的重要概念，它具有方向和大小，并且可以进行各种基本运算，包括加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等等。
在本文中，我将详细介绍向量的基本运算公式，并给出详细的解释和推导。
1.向量的加法向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的加法运算可以表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数量乘法来表示。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的减法运算可以表示为：A-B=A+(-B)= (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3.向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘，得到一个新的向量。
设有一个向量A，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)，以及一个标量k。
则向量A的数量乘法可以表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)4.向量的点乘向量的点乘是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。
向量的点乘得到的是一个标量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的点乘运算可以表示为：A ·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5.向量的叉乘向量的叉乘是指将两个三维向量进行运算，得到一个新的向量。
向量的叉乘只适用于三维向量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则向量A和B的叉乘运算可以表示为：A×B=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)6.向量的单位化向量的单位化是指将一个向量除以其模长，得到一个长度为1的向量。
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。
例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。
向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。
二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。
例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。
2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。
例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。
三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。
标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。
2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。
向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。
五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。
2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。
向量的概念与运算
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
高考数学中的向量与向量运算
高考数学中的向量与向量运算高考数学中涉及的向量是一个很重要的概念。
向量是由大小和方向两个属性所构成的一个有序数对，其中大小用标量表示，方向用与其相应的单位正交基表示。
在向量运算中，向量可以进行加、减、数乘和内积等操作。
一、向量的基本概念及表示方法1.向量的概念向量是一个由大小和方向两个属性所构成的有序数对。
可以用一个有向线段代表。
在空间直角坐标系中，向量a可以用有序的三个实数 (x,y,z) 表示。
向量的长度也叫做模，可以表示为 ||a||。
2.向量的加法向量 a + b 的结果是一个新的向量 c ，c 的起点是 a 的终点，c 的终点是 b 的终点。
3.向量的数乘数乘操作是把一个数乘上一个向量，得到一个新的向量。
数乘的结果是一个方向和原向量相同（或相反），长度等于原向量长度乘以该数的绝对值。
4.向量的内积向量的内积是相对于该向量长度的一个标量。
向量 a 和向量 b 的内积可以用以下公式表示：a·b = ||a|| ||b|| cosθ其中，θ 是向量 a 和向量 b 之间的角度。
二、向量的应用1.解平面几何问题向量可以应用于求平面上的距离，角度和面积等问题。
2.解空间几何问题在空间几何中，向量也被广泛应用于求距离，面积和体积等问题。
3.解力学问题物理学中使用向量来描述力和速度。
三、向量运算的性质1.交换律向量加法和内积运算满足交换律，即 a+b = b+a，a·b=b·a。
2.结合律向量加法和内积运算满足结合律，即 a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3.分配律向量加法和数乘运算满足分配律，即 a(b+c) = ab+ac。
四、向量运动向量可以用来描述物体的运动状态。
运动状态的变化可以用向量实现，例如速度，加速度等等。
总之，在数学领域，向量是一个非常重要的概念。
向量的运算可以解决很多复杂的问题。
同时，向量广泛应用于物理学，工程学，计算机科学等多个领域。
向量的基本运算与性质
向量的基本运算与性质在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
向量可以进行各种基本运算，并且具有一些特殊的性质。
本文将介绍向量的基本运算和性质。
一、向量的表示和定义向量可以用多种方式进行表示，最常见的是使用箭头符号→在字母上方表示一个向量。
例如，向量a可以表示为→a。
向量还可以用坐标形式表示，如(a1,a2,a3)。
在三维空间中，向量通常表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
向量有大小（模长）和方向，可以通过两点之间的差值来表示。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照相应的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的和为→a+→b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量按照相应的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的差为→a-→b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量得到一个新的向量。
设有一个向量→a=(a1,a2,a3)和一个标量k，那么它们的数量乘积为k→a=(ka1,ka2,ka3)。
三、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
这意味着向量的加法顺序可以交换，不会改变结果。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
这意味着向量的加法可以按照不同的顺序进行，结果不会改变。
3. 零向量零向量是指所有分量都为0的向量，通常表示为→0=(0,0,0)。
对于任意向量→a，有→a+→0=→0+→a=→a。
4. 相反向量对于任意向量→a，存在一个相反向量-→a，使得→a+(-→a)=(-→a)+→a=→0。
其中-→a的每个分量都是→a对应分量的相反数。
5. 数量乘法的性质数量乘法满足结合律和分配律。
向量的定义与基本运算
向量的定义与基本运算向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。
本文将介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相关知识。
一、向量的定义在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。
通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。
向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。
大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
二、向量的表示形式向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。
2. 分量表示向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。
在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。
三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。
2. 向量的减法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。
向量基本概念和基本运算
(b)
向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2：向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）零 元： a + 0 = a.
（4）反向量：
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广：自任意点O开始， 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即：
9
性质： 对于任意两向量 a 、b ，有下列不等式 a b a b a b .
7
四、向量的数乘
定义1.3.1：实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a，它的模是a a ； a 的方向，当 0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。
8
四、向量的数乘
向量公式汇总
向量公式汇总一、向量的基本运算1.向量的加法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的和可以表示为a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)。
2.向量的减法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的差可以表示为a-b=(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃)。
3.向量的数量积（点积）：若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则向量a和b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
4.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(k·a)·b=k·(a·b)，其中k为常数-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c5.向量的向量积（叉积）：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的向量积可以表示为a×b=(a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁)。
6.向量的向量积的性质：-反交换律：a×b=-b×a-结合律：(k·a)×b=k·(a×b)，其中k为常数-分配律：(a+b)×c=a×c+b×c二、向量的模和方向7.向量的模：向量a=(a₁,a₂,a₃)的模可以表示为，a，=√(a₁²+a₂²+a₃²)。
8.单位向量：向量的模为1的向量称为单位向量。
对于向量a，若其模为1，则该向量为单位向量。
9.方向余弦：若有向量a=(a₁, a₂, a₃)，则它的方向余弦可以表示为cosα=a₁/，a，, cosβ=a₂/，a，, cosγ=a₃/，a。
三、向量的坐标表示10.点P的坐标表示：若P(x,y)为平面直角坐标系中的一点，则点P的坐标向量可以表示为P=(x,y)。
向量的基本概念与运算
向量的基本概念与运算向量是数学中的一种重要概念，它可以用来表示大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的定义、基本运算以及向量的性质。
一、向量的定义在数学中，向量通常用有箭头的小写字母表示，比如a，b等。
向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对表示。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴方向的分量，a₂表示向量在y轴方向的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法可以用几何法或分量法进行计算。
几何法就是将向量的起点放在另一个向量的终点，然后连接起点与终点，得到一条新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法来实现，即将减去的向量取负，然后与被减向量进行相加。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量都乘以一个常数。
比如向量a 乘以常数k，可以表示为ka=(ka₁, ka₂)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为数量积，表示为a·b或a⋅b，在二维空间中可以计算为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
点乘的结果是一个标量，它表示的是两个向量之间的夹角的余弦值。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为向量积，表示为a×b，在二维空间中由于没有第三个方向，所以叉乘结果为0。
三、向量的性质1. 向量加法的交换律和结合律向量加法满足交换律，即a+b=b+a；同时也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量数量乘法的分配律向量数量乘法满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。
3. 向量的点乘的性质向量的点乘满足交换律，即a·b=b·a；同时也满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
4. 向量的点乘与夹角夹角为θ的两个非零向量a和b的点乘满足a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
5. 垂直向量的点乘如果两个向量a和b垂直，则它们的点乘为0，即a·b=0。
向量的基本概念及运算
向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。
在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。
本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。
一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。
向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。
二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。
2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。
A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。
A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。
数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。
kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。
计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。
零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。
3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。
高中数学公式大全向量的基本运算与坐标系转换公式
高中数学公式大全向量的基本运算与坐标系转换公式高中数学公式大全：向量的基本运算与坐标系转换公式向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍向量的基本运算以及坐标系的转换公式。
1. 向量的基本运算在向量的基本运算中，常用到以下几种运算：加法、减法、数量乘法和点积。
1.1 向量的加法设有两个向量a和b，它们的加法可以表示为a + b。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以简单地将它们的对应分量相加。
1.2 向量的减法向量的减法可以表示为a - b。
减法运算可以通过将被减向量b取反，即-b，然后进行加法运算来实现。
1.3 数量乘法数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘。
设有向量a和标量k，数量乘法可以表示为ka。
数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a。
点积，也称为数量积或内积，在向量的运算中起着重要的作用。
设有向量a和b，它们的点积可以表示为a · b。
点积具有以下性质：- a · b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为它们夹角的余弦。
- 点积满足交换律，即a · b = b · a。
- 如果a与b垂直，则它们的点积为0，即a · b = 0。
2. 坐标系转换公式在数学中，常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
在进行向量运算时，有时需要在不同的坐标系之间进行转换。
下面介绍一些常见的坐标系转换公式。
2.1 直角坐标系与极坐标系的转换在直角坐标系中，一个二维向量可以由其x和y的分量表示为a = (x, y)。
在极坐标系中，向量的长度用其模长r表示，与x轴的夹角用θ表示。
直角坐标系到极坐标系的转换公式为：- r = √(x^2 + y^2)- θ = arctan(y/x) (其中arctan为反正切函数)极坐标系到直角坐标系的转换公式为：- y = rsinθ2.2 直角坐标系与球坐标系的转换在直角坐标系中，一个三维向量可以由其x、y和z的分量表示为a = (x, y, z)。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
基本的向量运算包括向量加法、向量减法、标量乘法和向量点乘等。
1. 向量加法：对于向量A和向量B，其加法定义为A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)，即分别对应元素相加。
2. 向量减法：向量减法即为向量加法的逆运算。
对于向量A和向量B，其减法定义为A - B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)，即分别对应元素相减。
3. 标量乘法：标量乘法指的是将一个实数与向量的每个分量相乘。
对于向量A和标量k，其标量乘法定义为kA = (ka1, ka2, ..., kan)，即每个分量都乘以k。
4. 向量点乘（内积）：向量点乘是向量运算中的一种重要操作，也称为内积。
对于向量A和向量B，其点乘定义为A · B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn，即对应元素相乘并求和。
5. 向量长度（模）：向量的长度或模表示向量的大小，通常用两个竖线表示，例如 ||A||。
对于二维向量A(x, y)，其长度计算公式为 ||A|| =√(x^2 + y^2)。
对于n维向量A(x1, x2, ..., xn)，其长度计算公式为||A|| = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。
6. 向量的单位化：对一个非零向量A，单位化后得到一个与之方向相同，长度为1的向量，称为A的单位向量。
单位化向量的计算公式为A' = A / ||A||，即向量A除以其长度。
7. 向量的投影：向量的投影描述了一个向量在另一个向量上的分解。
对于向量A和向量B，向量B在A上的投影记为Proj_A(B)，计算公式为 Proj_A(B) = (B · A / ||A||^2) * A。
8. 向量的夹角：两个非零向量A和B之间的夹角θ可通过向量的点乘和向量的长度公式计算得到，计算公式为cosθ = (A · B) / (||A|| * ||B||)。
向量的概念和基本运算
<0 时, a与a 异向; =0 时, a 0 .
a b 是一个数
a b b a
向 量 的 数 量 积
a b = a b cos
( a) b a (b) (a b)
cos
a b ab
a b x1x2 y1 y2
(a b) c a c b c
为与 a 同向的单位向量
运算性质
ab ba
向量的 加法 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.平行四边形法则 2.三角形法则
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(a b) c a (b c)
AB BC AC
向量的 减法
a b a (b)
三角形法则
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
OB OA AB
1.
a 是 一 个 向 量 , 满
数 乘 向 量
足: | a || || a | 2. >0 时,
( a) ()a
a ( x, y)
( )a a a
a与a 同向;
(a b) a b
a // b a b
a
x1 x 2a (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） y1 y 2
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b. 两个向量平行的充要条件：a∥b a＝λ b(b≠0) x1y2－x2y1＝O. （8）两个向量垂直的充要条件：a⊥b a·b＝O x1x2＋y1y2＝O. 2.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法
高三数学平面向量向量及向量的基本运算
4)实数与向量的积 a ①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ ，它 的长度与方向规定如下： a a ； （Ⅰ） a a （Ⅱ）当时 0 ,λ 的方向与 的方向相同； a a 当时 ， 的方向相反；当时 0 λ 的方向与 ， 0 ，方向是任意的。 a 0 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
、 OB 不共线， 变一：设 OA
求证： A、 B P 三点共线。 OP ＝OA ＋ 、 OB 且 1, 、 R
1 1 说明：当 时， OP＝ (OA＋OB) ，此 2 2 时P为AB的中点，这是向量的中点公式。
e1 , e2 是不共线的向量,已知向量, 练习、设
例2: 已知G是△ABC的重心，求证：
GA GB GC 0
练习、如图平行四边形ABCD的对角线 OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足 BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN, 设 OA a, OB b,试用a, b表示OM, ON, MN
例3（同课本）：设 OA 、 OB 不共线，点P在 OP ＝OA ＋OB 且 1, 、 R 。 AB上，求证：
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
有且只有一个
6)平面向量的基本定理 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量， a ，有且只有 那么对这一平面内的任一向量 , a e e 一对实数 使： 1 2 1 1 2 2 其中不共线 的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底。
t
何值时，a t b 念 : ①向量②零向量③ 单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等 向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底
1。向量及向量的基本运算
例4,设a , ,
b
是两个不共线的非零向量, 是两个不共线的非零向量,
⑴若 OA = 2a b, = 3a + b, = a 3b, OB OC 求证: , , 三点共线 三点共线; 求证:A,B,C三点共线; 变化: 是不共线的向量,已知向量 变化:设e1 , e2是不共线的向量 已知向量
AB = 2e1 + k e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 e2
AB// AC A, B,C三点共线
例1,判断下列各命题是否正确 , (1)零向量没有方向 错 (2)若 a = b , 则a = b 错 零向量没有方向 若 (3)单位向量都相等 错(4) 向量就是有向线段 错 单位向量都相等 (5)两相等向量若共起点 则终点也相同对 两相等向量若共起点,则终点也相同 两相等向量若共起点 (6)若a = b , = c,则 a = c ; 若 对 b (7)若a // b ,b // c ,则 a // c 错 若 错 (8) 四边形 四边形ABCD是平行四边形 则AB = CD, BC = DA 是平行四边形,则 是平行四边形 (9)已知 (3,7),B(5,2),将 AB 按向量 a = 已知A( , ) 已知 ( , ) 的坐标为( 错 ) (1,2)平移后得到的向量 A′B ′ 的坐标为(3,-3) ) - a (10) = b 的充要条件是| a |=| b | 且 a // b ; ) 错
2)向量加法:求两个向量和的运算叫 )向量加法: 做向量的加法.设 做向量的加法. 则 AB = a, BC = b . 向量加法有"三角形法则" 首尾相接) 向量加法有"三角形法则"(首尾相接) 平行四边形法则" +BC= AC 与"平行四边形法则" (起点相同) a+b = AB 起点相同) 说明:( :(1) 说明:( ) ; 2)向量加法满足交换律与结合律; )向量加法满足交换律与结合律;
向量的运算法则公式
向量的运算法则公式1. 向量的加法。
向量的加法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的加法表示为a + b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量等于a和b对应分量的和，即c = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
2. 向量的减法。
向量的减法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的减法表示为a b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量等于a和b对应分量的差，即c = (a1 b1, a2b2, ..., an bn)。
3. 向量的数量乘法。
向量的数量乘法遵循以下法则：若有一个向量a和一个标量k，它们的数量乘法表示为ka，其结果为一个新的向量b。
b的每个分量等于a对应分量乘以k，即b = (ka1, ka2, ..., kan)。
4. 向量的点积。
向量的点积遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的点积表示为a·b，其结果为一个标量c。
c等于a和b对应分量的乘积之和，即c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
5. 向量的叉积。
向量的叉积遵循以下法则：若有两个三维向量a和b，它们的叉积表示为a×b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量分别为a和b的对应分量按照右手定则计算得出。
6. 向量的混合积。
向量的混合积遵循以下法则：若有三个三维向量a、b和c，它们的混合积表示为(a×b)·c，其结果为一个标量d。
d等于a、b和c构成的平行六面体的有向体积。
这些向量的运算法则是线性代数中的基本概念，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
通过这些法则，可以对向量进行加法、减法、数量乘法、点积、叉积和混合积的运算，从而解决各种实际问题。
在实际应用中，向量的运算法则可以帮助我们描述物体的运动、力的作用、空间的几何关系等。
例如，在物理学中，利用向量的加法可以描述多个力合成的结果；利用向量的点积可以计算功和投影；利用向量的叉积可以描述力矩和磁场等。
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向量减法有“三角形法则”
（必须起点相同 OAOBBA ）
结论：由同一点 A 为起点的两个已知向量
a, b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD ， 如 果
rr ab
rr ab
矩形
；
r a
设 O A a ,O B b ,试 a ,b 用 表 O 示 ,O M ,M N N
例3: 已知G是△ABC的重心，求证： (1 )GA G B G C 0
xG
(2)
yG
x1 y1
x2
3 y2
3
x3 y3
(其中: A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3))
练习 若 a
2:已知 G 为 GA b GB
28.向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念
①a向,b,量c：…既…有来大表小示又，有或方用向有的向量线。段向的量起一点般与用终点
的大写字母表示，如：AB ，或用坐标表示。向量的
大小即向量的模（长度），记作| AB |。 ②零向 量：长度为0的向量，记为 0，其方向是任 意③的 单位，0向与量任：意模向为量1个平单行位。长<注度意的与向0量的。区a别a> e
5向实)两量数个b，向与使量非得共零线向b 定量=理aa共。线 有且只有一个
证三点共 ABBC且有公共 B 点
线方法： AB//BCA,B,C三点共线
6)平面 向量的基本定理
如平：a 果面 内e1的,e1e 任21 是一 一向个2 量e 平2 a面,内有其的且中两只不个有共不一线共对的线实向向数量e量1,，1e,2那叫2么做对，表这示一使这
O AO BOC ( ABAC )
2
siC n siB n
试判断△ABC的形状.
|A B | |A C |
P的轨迹一定通过ABC的（ B ）
A 外心
B 内心
C重心
D垂心
uuur uuur uuur uuur
练习 4：OP OA （AB AC）， [0， ）如何？
课堂小结：
1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量
2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底
r b
菱形
；
rr ab
rr ab 且
r a
r b
正方形
2020/3/23
4①)实实数数与λ与向向量量的积a的 积是一个向量,记作λ
，a它
的（（时长ⅠⅡ度））0，与当a，0方时λa向的a规0方a 0，定向,λ；方如与的a向下方的是：向a方任与向意的相的方反。向；相当同时；当
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
说明：（1）a b A B C AC；
2）向量加0 法 满a 足a 交 换0 律 与a 结合律；
向3)量①向，量相叫的反做减向a法的量相：反与向a长量度。相记等作、a方,零向向相量反的的
相反向量仍是零向量。 a②与向b量的减差法，：记向作量：aa 加上b 的a b 相( 反b )向。量求叫两做个向
λ+μ=1，λ、μ∈R.反之亦然。
2020/3/23
题型四:判断动点轨迹
例6： O是平面上一定点，A、B、C是平面上不
共O u u P u r线 的O u u 三A u r 个 （ 点u u ，A u u B u u r动u r 点u u A Pu u C 满u u ru r足） ， [0 ， ） ，则
(8) 四边形ABCD是平行四边形,则ABCD,B错CDA
(9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB 平移后可能
得(10到）a的向b量的A充B要的条坐件标是为|a（||3b,－| 且3）a//b；Fra bibliotek错 错
练习1: 化(简 1)AB AC BD CD0
(2)OA OC BO COBA
题型二:向量的相互表示 例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB 相交于点C，线段BC上有一点M满足: BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,
ABC的重心, c GC 0
试判断 ABC的形状
题例若型O 4u u 、三A u r 设 :平2 ar 面a r , 向brb r 量， O u 是u 基B u r 两本 个定3 a 不r 理 共与b r 线， 三O u u 的C u 点r 非 共零a r 线 向问3 量b r 题，，
求证：A、B、C三点共线；
作业:<<走向高考>>P65: 例3 跟踪练习3 P38 :16
补 充 1 ： 经 过 OAB 重 心 G 的 直 线 与
OA,OB 分 别 交 于 点 P ， Q ， 设
uuur OP
uuur uuur mOA, OQ
uuur nOB
，m,
n
R
，求
1 n
1 m
的值。
补充2：
若在平面内存在点O, 使得:
一平面内所有向量的一组基底。 推论：如果 e1,e2 是一个平面内的两个不共线向量，
1 e 12e 21 e12 e2 11且 22
题型一:基本概念问题
例1、判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向错 (2)若 a b,则 则ab 错
(3)单位向量都相等错 (4) 向量就是有向线段 错
(((567)))两 若 若a相a/等/bb向，，量bb若//共cc， ，起则 则点,a则a/终/cc点错也；对相同对
④任意平一行组向平量行（向共量线都向可量以):方移向到相同同一或直相线反上的。a向/量/b。 ⑤向量相经等过向平量移：后长总度可相以等重且合方，向记相为a同的b向量。。相等
做2向）量向的量加加法法。：设求A两 B个a,B 向量C b和的,则运:算叫 向量加法有“三角形法则”（首尾相接） 与“平行四边形法则” （起点相同）
练习3：设 e1 , e 2 是不共线的向量,已知向量
A 2 B e 1 k e 2 ,C e 1 B 3 e 2 ,C 2 D e 1 e 2
若A,B,D三点共线,求k的值
2020/3/23
例 5：设 OA、 OB 不共线，如点 P、A、B
三点共线，求证： OP =λ OA +μ OB 且