2019届高三文科数学测试卷(一)附答案(可打印修改)

（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令 bn log2an ，求数列 1n bn2 前 2n 项的和T ．
18．（12 分）2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗 寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随
机抽取 80 名群众进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20,30，30, 40，40,50， 50, 60，60, 70，70,80，得到如图所示的频率分布直方图．问：
2
所以T n 2n 1．
18．【答案】（1） 55 ；（2） 1 ． 5
【解析】（1）设 80 名群众年龄的中位数为 x ，则
0.00510 0.01010 0.02010 0.030 x 50 0.5 ，解得 x 55 ，
即 80 名群众年龄的中位数 55．
（2）由已知得，年龄在20,30中的群众有 0.0051080=4 人，
年龄在30, 40的群众有 0.011080=8 人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在
20,30的群众 6 4 2 人，记为 1，2；随机抽取年龄在30, 40的群众 6 8 =4 人，
48
48
记为 a ， b ， c ， d ．则基本事件有： a,b, c， a,b, d ， a,b,1， a,b, 2， a, c, d ，
2x1x2 x1 x2 x1 x2 2
2 ，
所以直线 BC 与 x 轴交于定点 D 2, 0．
答案 第 3 页（共 6 页）
21．【答案】（1）
1 2
,
；（2）
1,
；（3）证明见解析．
【解析】（1）由 a 2 ，得 h x f x g x ln x 2x 2 ， x 0．
所以 hx 1 2 1 2x ，
A．136π
B．144π
C． 36π
D． 34π
10．若函数 f x x ，则函数 y f x log1 x 的零点个数是（ ）
2
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
11．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，点 A l ，线段 AF 交抛物线 C 于点 uuur uuur uuur
第 1 页（共 8 页）
6．已知函数 y sin 2x 在 x π 处取得最大值，则函数 y cos 2x 的图像（
6 ）
A．关于点
π 6
,
0
对称
B．关于点
π 3
,
0
对称
C．关于直线 x π 对称 6
D．关于直线 x π 对称 3
7．若实数 a
满足 loga
2 3
1
log 3 a
a, c,1， a, c, 2， a, d,1， a, d, 2， b, c, d ， b, c,1， b, c, 2， b, d,1， b, d, 2，
c, d,1， c, d, 2， a,1, 2， b,1, 2， c,1, 2， d,1, 2共 20 个，参加座谈的导游中有
3 名群众年龄都在30, 40的基本事件有： a,b, c， a,b, d ， a, c, d ， b, c, d 共 4 个，
第 5 页（共 8 页）
第 6 页（共 8 页）
21．（12 分）已知函数 f x ln x ， g x a x 1， （1）当 a 2 时，求函数 h x f x g x的单调递减区间； （2）若 x 1 时，关于 x 的不等式 f x g x恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若数列an满足 an1 1 an ， a3 3 ，记an的前 n 项和为 Sn ，求证： ln 1 2 3 4... n Sn ．
4
，则 a
的取值范围是（
）
A．
2 3
,1
B．
2 3
,
3 4
C．
3 4
,1
D．
0,
2 3
8．在△ABC 中，角 B 为 3π ， BC 边上的高恰为 BC 边长的一半，则 cos A （ ） 4
A． 2 5 5
B． 5 5
C． 2 3
D． 5 3
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 y2 4x ．
（1）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
x 2 t cos
（2）直线 l 的参数方程是
B ，若 FA 3FB ，则 AF （ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
uuur 12．已知△ABC 是边长为 2 的正三角形，点 P 为平面内一点，且 CP 3 ，则
uuur uuur uuur
PC PA PB 的取值范围是（ ）
A． 0,12
B．
0,
3 2
C．0, 6
D． 0, 3
第 2 页（共 8 页）
14．【答案】2
2
15．【答案】
10 16．【答案】 x2 y2 1
x
三、解答题 ．
17．【答案】（1） an 2n1 ；（2）T n 2n 1．
【解析】（1）由
S
Sn
n1
2an 1 2an1
1
得
an
2an1
n N*, n 1
，
∴an是等比数列，令 n 1 得 a1 1，所以 an 2n1 ．
纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 ．
1．复数 z 的共轭复数为 z ，且 z 3 i 10 ( i 是虚数单位)，则在复平面内，复数 z 对应
Q AP PB 2 ， AB PC 2 ，CQ 3 ，且△PAB 为等腰直角三角形， 即 APB 90 ， PQ AB ，且 PQ 1， PQ2 CQ2 CP2 ， PQ CQ ，
又 AB I CQ Q ， PQ 平面 ABCD ，
VC PAE
VE ACP
1 2 VD ACP
16．已知双曲线 C 的中心为坐标原点，点 F 2, 0是双曲线 C 的一个焦点，过点 F 作渐
近线的垂线 l ，垂足为 M ，直线 l 交 y 轴于点 E ，若 FM 3 ME ，则双曲线 C 的方程 为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知数列an的前 n 项和是 Sn ，且 Sn 2an 1 n N* ．
x
x
令 hx 0 ，解得 x 1 或 x 0 （舍去），
所以
x1
x2
4k 2 1 2k 2
，
x1x2
2k 2 2 1 2k 2
，
直线 BC 的方程为
y
y2
y2 x2
y1 x1
x
x2
，所以
y
y2 x2
y1 x1
x
x1 y2 x2 y1 x2 x1
，
令
y
0 ，则
x
x1 y2 y2
x2 y1 y1
2kx1x2
k x1
k x1 x2 x2 2k
（2） bn log2 an log2 2n1 n 1，
于是数列bn是首项为 0，公差为 1 的等差数列．
答案 第 1 页（共 6 页）
T b12 b22 b32 b42 L
b2 2 n 1
b22n
b22 b12
b42 b32
L
b22n
b2 2 n 1
1 5 L 4n 3 1 4n 3 n n 2n 1，
的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知集合 A x 2 x 5， B x y x 1 ，则 A I B （ ）
A． 2,1
B． 0,1
C． 1, 5
D． 1,5
3．阅读如下框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 10，则输出 n 的值为（ ）
A．0
B．1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．计算： log8 32 7log7 3 ________．
x y 0
14．若
x
，
y
满足约束条件
x
y
y 1
0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则
z
y 1 x2
的最大值为________．
15．已知
tan
π 4
2
，则
sin
2
π 4
的值等于__________．
y t sin
( t 为参数)， l 与 C 交于 A ， B 两点，
AB 4 6 ，求 l 的倾斜角．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f x a 3x 2 x ． （1）若 a 2 ，解不等式 f x 3 ； （2）若存在实数 a ，使得不等式 f x 1 a 2 2 x 成立，求实数 a 的取值范围．
1 2 VP ACD
1 1 1 2 232
3 1
3． 6
20．【答案】（1） x2 +y2 1；（2）见解析． 2
【解析】（1）由已知，动点 M 到点 P 1 , 0， Q 1 , 0的距离之和为 2 2 ，
且 PQ 2 2 ，所以动点 M 的轨迹为椭圆，而 a 2 ， c 1，所以 b 1，