复变函数5-3
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
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《复变函数》(第四版) 第五章
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定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
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《复变函数》(第四版) 第五章
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§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
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《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
复变函数第1章
于是
z1z2 r1 r2 z1 z2 ,
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2. 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两 个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
应该注意的是 Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 中的 加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
元素相加构成的集合
(3 4) (4 3)i 7 1 i.
2
22
z1 7 1 i. z2 2 2
例 1.2 i1 i, i2 1, i3 i i2 i, i4 i 2 i 2 1, ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i, i4n4 1.
例1.3 设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z1 , z2 z2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
两个复数商的模等于它们模的商差.
对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次
方根, 记做
n
z
或
1
zn.
如果
z r(cosq i sinq ), w (cos i sin ),
y .
x
利用直角坐标与极坐标之间的关系
x r cosq , y r sinq ,
复数z=x+yi 可表示为 z r(cosq i sinq ), 称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiq cosq i sinq ,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
z1 z2 z1z2 2 Re z1 z2 .
证明 因为
z1 z2 z1 z2 z1z2 , 所以由运算规律7，有
复变函数课程标准
复变函数课程标准课程目标h学生掌握复变函数中的基本概念、基础知识与基本理论，并会对概念进行举例、区分和判断。
学生需要熟练掌握复数与复变函数的基本概念、定理和思想方法，提升学生的专业知识素质，进一步培养学生的分析学功底，为后续课程及其它相关学科的学习奠定知识基础。
课程目标2,学生能够理解复变函数课程中重要性质和定理的结论和证明思路，并且可以综合应用更变函数中的性质和定理到实际计算中来解决问题。
结合数学分析帮助学生理解第变函数中的部分证明、计算与结论，同时也通过学习复变函数进一步巩固和深入理解、掌握一些数学分析的内容。
培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严谨的推理论证能力以及熟练的运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的分析基础。
课程目标3：了解复变函数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，并具有一定的数学文化素养。
了解复变函数课程在近（现）代数学中的基础地位和作用，以及与相关学科（如概率统计、拓扑学、热力学、电学等）的联系。
课程目标4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用复变的相关理论指导中学数学中复数方面的教，学实践，以便能够高屋建领地掌握和处理中学数学教材，并能够在中学教学教学实践中客观、真实地介绍蔻函数相关的现代数学学科。
三、课程目标与毕业要求的关系定理证明及应用，最大（小）模原理证明及应用，双边塞级数收敛的概念、运算及性质、收敛域，求出一些简单函数的洛朗展式，孤立奇点的定义与分类，零点与极点关系，极点阶数的判别，判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型，整函数与亚纯函数的概念，孤立奇点（包含无穷远点）留数的定义、留数定理，留数的求法，用留数计算闭曲线积分，计算6fr H （8B,歹曲曲型积分,计算窗KX ）/典）成型积分,计算窗［PG ）∕9（χ）kE 成型积分,对数留数，辐角原理，鲁歇定理，解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性,分式线性变换的概念与分解、共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称性，辱函数、根式函数、指数函数与对数函数构成的共形映射，由圆弧构成的两角形区域的共性映射等。
《复变函数与积分变换》习题册
《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。
《复变函数第3讲》课件
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几何意义
复变函数的导数定义为函 数在复平面上的切线的斜 率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部 和虚部的导数计算复变函 数的导数。
导数表示函数在某一点的 切线斜率，即函数在该点 的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面 积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个 区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如 收敛性、可导性、可积性等。这 些性质使得幂级数在数学和物理 中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复 变函数等领域有广泛的应用。例 如，它可以用来求解微分方程、 积分方程，以及研究函数的性质 等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复 合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算 其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。
复变函数参考答案(1-8章)
复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。
(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为3225−。
提示：本题注意到2(1)2i i −=−，2(1)2i i +=。
则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。
(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +，则原复数为1122−+−+。
提示：本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。
(4)设1z =2z i =−，则12z z 的指数式i122e π，12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。
(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。
提示：211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。
(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π−=，那么z=1−+。
提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=，在复平面上，代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。
连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。
因此推出向量2z =，2arg 3z π=，即1z =−+。
本题也可以利用代数法来做。
2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。
《复变函数》第3章
§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
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复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
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2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
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dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
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i
2 0
e in d
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( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
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第一章复变函数
3）积： 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
三角运算
z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = ρ 2 ρ1[(cosθ1 cosθ 2 − i sin θ1 sin θ 2 ) + i (cosθ1 sin θ 2 + cosθ 2 sin θ1 )]
Z 0
y
z0
z0
Z 0
E
x
一点而言。 内点的定义， 内点的定义，不只是对于 Z0 一点而言。 外点
Z0
Z0
及其邻域均不属于点集E 及其邻域均不属于点集E，则称 为点集E的外点。 为点集E的外点。
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（4）境界点与境界线： 境界点与境界线： 境界点
Z点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 点的每个邻域内，既有属于点集E的点， 0 称为该点集E的境界点 的境界点。 有不属于E的点。 有不属于E的点。点 Z 0称为该点集 的境界点。
A′
x
5、复平面与复数球之关系
A
s
17
§1、2 、
复变函数
一、复变函数的定义与定义域： 复变函数的定义与定义域：
1、复变函数定义： 、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集上E 对于E的每一点（每一个Z 复数平面上存在一个点集上E，对于E的每一点（每一个Z ），按照一定的规律 按照一定的规律， 与之相对应， 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 ω 与之相对应， ω ω 的函数--复变函数,z --复变函数,z称为 的宗量。定义域为E 则称 为Z的函数--复变函数,z称为 的宗量。定义域为E，记 ω = f (z) 作, ω 1 ω 2 y 定义域及相关的概念： 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。
《复变函数》第1章
实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
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《复变函数》(第四版)
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共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
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《复变函数》(第四版)
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规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1
李忠复变函数
李忠复变函数
【实用版】
目录
1.李忠简介
2.复变函数概念
3.李忠对复变函数的研究
4.李忠复变函数的贡献
5.总结
正文
1.李忠简介
李忠，我国著名的数学家，生于 20 世纪初，在数学领域有着广泛的研究。
他的研究领域主要集中在复变函数、实变函数、微分方程等。
李忠在数学界的贡献被广泛认可，曾获得过多个奖项，其中包括国家自然科学奖。
2.复变函数概念
复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数，它的研究可以追溯到19 世纪。
复变函数在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用，例如复分析、调和分析等。
3.李忠对复变函数的研究
李忠在复变函数领域的研究主要集中在复变函数的性质、复变函数的积分和级数等方面。
他对复变函数的深入研究，使得他在这个领域取得了举世瞩目的成就。
4.李忠复变函数的贡献
李忠在复变函数领域的贡献主要体现在以下几个方面：
（1）李忠首次提出了“李忠级数”的概念，并且证明了它的收敛性。
这一成果极大地丰富了复变函数的理论体系。
（2）李忠对于复变函数的积分进行了深入的研究，提出了一种新的积分方法，被称为“李忠积分”。
（3）李忠对于复变函数的性质进行了系统的研究，特别是对于复变函数的解析性、全纯性、调和性等基本概念进行了深入的探讨。
5.总结
总的来说，李忠在复变函数领域的研究为我国的数学研究做出了巨大的贡献。
复变函数3-5
第五节
柯西积分公式
一、问题的提出
设 B 为一单连通域, z0 为 B 中一点.
C 为 B 内围绕 z0 的闭曲线.
根据闭路变形原理知,
C
1 dz 2i z z0
C
如果 f ( z ) 在 B内解析,
z0
C
f (z) dz z z0
?
4
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
三、典型例题
例1
e 计算积分 dz . z 1 z 2
因为 f ( z ) e z 在复平面内解析,
z
Hale Waihona Puke 解z 1 位于 z 2 内,
由柯西积分公式
e dz 2i e z z 1 2ei . z 1 z 2
8
z
例2 计算积分
zi
1 f (z ) 1 1 z( z i ) 解 2 z0 i , zi z ( z 1) z ( z i )( z i ) 1 因为 f ( z ) 在 z i 内解析, 由柯西积分公式 2 1 1 z( z i ) 1 1 z( z 2 1) dz 1 z i dz 2i z( z i ) z i
答案
有三个奇点 z 0, z 1, z 1
ez dz i (e e 1 2). z( z 2 1) z 3
13
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,
它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值 可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是 研究解析函数的重要工具.
6
关于柯西积分公式的说明:
复变函数第五章留数学习方法指导
第五章 留数留数（Residue ）理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物，它既是复积分问题的延续，又是复级数应用的一种体现，它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用．例如，它能给复积分的计算提供一种有效的方法，能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具．另外，它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助．本章，我们首先引进孤立奇点处留数的定义，利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法，以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法．在此基础上，再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理，从而有效地解决“大范围”积分计算的问题．其次，介绍留数定理的两个方面的应用．一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法，另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法，即幅角原理与儒歇定理．一．学习的基本要求1．掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法，即洛朗展式法．注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点∞处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异．并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数． 2．熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点∞处留数的的两种具体计算方法：洛朗展式法：1Res ()z f z β-=∞=-，其中1β-为()f z 在∞处的洛朗展式中1z 的系数．化为有限点处的留数：2011Res ()Res()z z f z f z z=∞==-． 3．了解有限可去奇点处的留数与可去奇点∞处的留数的差异，理解为什么函数在可去奇点∞处的留数一般不一定为零？4．掌握留数定理以及含∞的留数定理（即留数定理的推广），并能熟练地运用它们计算函数沿封闭曲线的积分．能用留数定理导出第3章中的柯西定理和柯西积分公式，从而正确地认识为什么留数定理可以看成柯西定理和柯西公式的统一．5．了解利用留数计算实积分的基本思想或基本原理：通过适当方法将实积分转化为适当复变函数沿封闭曲线的积分．熟悉将实积分转化为适当复变函数沿适当封闭曲线的积分的两种途径：途径一：通过适当变量替换． 途径二：作适当补充路径．6．熟悉补充积分路径计算积分时，常用的如下三个引理：引理0 设函数()f z 在角形闭区域上连续，且lim ()z z Dz f z A →∞∈⋅=，记 0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，R Γ的方向是逆时针，则21lim()d ()RR f z z i A θθΓ→+∞=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到0lim()()z z Dz z f z A →∞∈-=，2101d ()Rz i z z θθΓ=--⎰以及00210()()()()()d ()d d RRR z z f z A z z f z Af z z i A z z z z RθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．引理1 设函数()f z 在闭区域:D 1020arg()z z θθπ≤≤-≤≤，00r z z ≤-<+∞上连续，记0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，0m >，R Γ的方向是逆时针，若lim ()0z z Df z →∞∈=，则lim()d 0Rimz R f z e z Γ→+∞=⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到其中用到了约当不等式：当02πθ≤≤时，2sin θθθπ≤≤．引理2 设函数()f z 在圆环形闭区域:D 1020arg()2z z θθπ≤≤-≤≤，000z z r ≤-≤上连续，记0{,}r z z z r z D Γ=-=∈，r Γ的方向是逆时针，且00lim()()z z z Dz z f z A →∈-=，则210lim ()d ()rr f z z i A θθ+Γ→=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到2101d ()rz i z z θθΓ=--⎰，以及 00210()()()()()d ()d d rrrz z f z A z z f z Af z z i A z z z z rθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．7．熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法① 形如20(cos ,sin )d R πθθθ⎰或(cos ,sin )d R ππθθθ-⎰的积分，其中(cos ,sin )R θθ是三角有理函数，且分母函数在[0,2]π或[,]ππ-上恒不为零． 特别，当(cos ,sin )R θθ是偶函数时，还可考虑积分(cos ,sin )d R πθθθ⎰．注意：● 当被积函数是2cos θ或2sin θ的有理函数时，可先用公式21cos (1cos 2)2θθ=+或21sin (1cos 2)2θθ=-降次，再计算．● 当被积函数是(cos ,sin )cos R m θθθ⋅或(cos ,sin )sin R m θθθ⋅时，可利用欧拉公式将积分先化为 再计算．② 形如()d R x x +∞-∞⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分()d R x x +∞⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．③ 形如()d imxR x e x +∞-∞⋅⎰或()cos d R x mx x +∞-∞⋅⎰或()sin d R x mx x +∞-∞⋅⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数，0m >．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分0()cos d R x mx x +∞⋅⎰；当()R x 是奇函数时，也可考虑积分()sin d R x mx x +∞⋅⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．④ 被积函数含有因子ln x ，x α注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，常选择相应多值函数的支割线的两沿以及单独围绕各支点的适当圆周作为补充积分路径． 8．理解对数留数1()d 2()C f z z i f z π'⎰的几何意义，掌握对数留数的计算公式．并掌握下面的一个结论：若0z 是函数()f z 的m 阶零点或m 阶极点，则0z 必为()()f z f z '的一阶极点，且当0z 是函数()f z 的m 阶零点时，0()Res()z z f z m f z ='=； 当0z 是函数()f z 的m 阶极点时，0()Res()z z f z m f z ='=-． 9．正确理解幅角原理与儒歇定理的条件和结论，并能熟练地运用幅角原理和儒歇定理来讨论区域内函数的零点和极点的分布情况或者方程根的分布情况．10．附：孤立奇点处留数的常用计算方法；合理使用留数定理计算复积分的技巧；补充积分路径利用留数计算实积分的基本思路；用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路．●孤立奇点处留数的常用计算方法我们仅对函数的孤立奇点才定义留数，对有限孤立奇点处的留数的计算归纳起来，主要有下面的三种常用方法，① 洛朗展式法，即若()f z 在其孤立奇点a 的去心邻域0z a R <-<内的罗郎展式为 则1Res ()z af z c -==，其中1c -是罗郎展式中1z a-这一项的系数。
复变函数发展及应用背景
=2
1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方 程时，首先产生了负数开平方的思想。后来， 数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。 这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转。
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了 系统的复数理论，发现了复指数函数和三 角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力 学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位， 也是Euler首创的。
即寻找方程 ax3 bx2 cx d 0 一般根式解。
很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！
怪杰
卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576)
一个多才多艺的学者,
• 一个放荡不羁的无赖 他精通数学、医学、 语言学、天文学、占星学
一生充满传奇，人们称 他为「怪杰」。
MATLAB基础
MATLAB 是一个为科学和工程计算而专门
从二次方程谈起
解方程 ax2 bx c 0, a 0
x1,2 b被巴比伦人发现和使用。
在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方 程有关的问题。
由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自 然地，人类就开始寻找三次方程的解法。
从而研究机翼的造型问题.
(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
积分变换就是通过积分运算把一个函数 变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。
自动控制原理(5-3)
例5-10 绘制开环传递函数为
10 G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
ห้องสมุดไป่ตู้
的Nyquist图，并判断闭环系统的稳定性。 解 开环幅频特性和相频特性分别
A( ) 10
1
2
4
2
() 90 arctg arctg0.5
0 :
s平面
j
C1
j
C2
s平面
R
e
0
s
0 R
s
j
j
虚轴上无开环极点的乃氏回线
虚轴上有开环极点的乃氏回线
两种乃氏回线的区别仅在于：虚轴上有开环极点的乃
氏回线经过以坐标原点为圆心，以无穷小量ε为半径 的，在s平面右半部的小半圆，绕过了开环极点所在 的原点。当ε→0时，此小半圆的面积也趋近于零。
1.5 arctg 90 2 1 0.5 即ω= 1.414，此时A(ω)=1.67。因此乃氏图与实轴的
交点为(－1.67，j0)
系统开环传递函数有一极点在s 平面的原点处，因 此乃氏回线中半径为无穷小量ε 的半圆弧对应的映 射曲线是一个半径为无穷大的圆弧： ω：0－→0+
θ：－90°→0°→＋90°；
(ω) ：＋90°→ 0°→－90°。
因为s平面右半部开环极点数P＝0，且乃氏曲
线顺时针包围（－1, j 0）点2次，即N=－2，则 Z＝P－N=2，所以系统不稳定，有两个闭环极 点在s平面右半部 。
jY ( )
0
-1.67
0
(-1, j 0)
X ( )
封闭曲线包围F(s)的零极点数目有关。
《复变函数》复习大纲及例题
《复变函数》复习大纲及例题1.复数的简单加减乘除运算、共轭复数、模2.复数的三角表示式、指数表示式例：1-=；例：23i +=.3.复数的对数或乘幂运算例：对数()1Ln -+的主值为；i i 的主值为.4.幂级数的收敛半径例：幂级数n n ∞=的收敛半径为3.5.复数的幂或方根运算例5-1：求()131i -的值.解：例5-2：求)55i 的值.解：)56556322ieie ππ--⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=.6—9.灵活运用柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶求导公式、留数定理、留数的规则I、II、III求积分6.柯西-古萨基本定理例6-1沿指定曲线的正向计算积分：2cos ,:1Czzdz C z =⎰ .解：()2cos f z z z =在复平面内处处解析，由柯西—古萨基本定理可知2cos 0Cz zdz =⎰ .56552cos sin266i i e πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3arctan 233cos arctan sin arctan 22i i e⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 5ln 26i π+2eπ-()11136432244cos sin ,0,1,2.3312k k i k i e πππππ-⎡⎤-+-+⎫⎢⎥+=⎪⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦-==7.柯西积分公式（或留数定理、规则）例7-1沿指定曲线的正向计算积分：12,:322C dz C z z z i ⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭⎰ .解：1211222262222C C Cdz dz dz i i i z z i z z i πππ⎛⎫+=+=+⋅=⎪+-+-⎝⎭⎰⎰⎰ 例7-2沿指定曲线的正向计算积分：,:212zCe dz C z z -=-⎰.解：法1（柯西积分公式）()22222zz z Ce dz i e e iz ππ==⋅=-⎰法2（留数定理）2z =是函数()2ze f z z =-的一级极点，则()()22Re ,2lim 22z z e s f z z e z →=-=⎡⎤⎣⎦-，由留数定理得()22Re ,222z Ce dz i sf z e i z ππ=⋅=⎡⎤⎣⎦-⎰.8.高阶导数公式（或留数定理、规则）例8-1沿指定曲线的正向计算积分：5,:1zCe dz C z z =⎰ .解：法1（高阶导数公式）()()4050224!4!12z z z C e i i idz e e z πππ=⎡⎤=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰ .法2（留数定理）0z =是函数()5ze f z z =的五级极点，则()()455011Re ,0lim 4!24z z e s f z z z →⎛⎫=⋅=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，由留数定理得()52Re ,012z Ce i dz i sf z z ππ==⎡⎤⎣⎦⎰ .例8-2沿指定曲线的正向计算积分：()3sin ,:21Czdz C z z =-⎰ .解：法1（高阶导数公式）()()()231sin 2sin sin12!1z Czi dz z i z ππ=⎡⎤=⋅=-⎣⎦-⎰法2（留数定理）1z =是函数()()3sin 1zf z z =-的三级极点，则()()()()23311sin 1Re ,1lim 12!21z z s f z z z →⎛⎫=-⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭，由留数定理得()()3sin 2Re ,1sin11Czdz i s f z i z ππ==-⎡⎤⎣⎦-⎰ .9.复合闭路定理联合柯西积分公式（或留数定理、规则）例9-1沿指定曲线的正向计算积分：21,:32Cz dz C z z z+=-⎰.解：法1()()21121010111222Cz z z z z dz dz dzz zz z z z =-=+++=+---⎰⎰⎰()1102210101121122222z z z z z z z z z z dz dz i i i zz z z πππ===-=++-++⎡⎤⎡⎤=+=⋅+⋅=⎢⎢--⎣⎦⎣⎦⎰⎰.法2（留数定理）()()21122z z f z z z z z ++==--，0z =，2z =均为函数()f z 的一级极点，则()()011Re ,0lim 22z z s f z z z z →+=⋅=-⎡⎤⎣⎦-，()()()213Re ,2lim 222z z s f z z z z →+=-⋅=⎡⎤⎣⎦-，由留数定理得()()212Re ,02Re ,222Cz dz i s f z i s f z i z zπππ+=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⎰.例9-2沿指定曲线的正向计算积分：2,:21zCe dz C z z =-⎰.解：()()()()21111101011111zzzCz z e e e dz dz z z z z z +=-==+-+-+-⎰⎰⎰1111111101011221111zzz zz z z z e e e e z z dz dz i i ie ie z z z z ππππ-=-=+=-=⎡⎤⎡⎤-+=+=⋅+⋅=-⎢⎥⎢⎥+--+⎣⎦⎣⎦⎰⎰.（留数定理同样可解）10.参数法求函数积分例10-1计算积分()2Cx iy dz +⎰,其中C 为直线y x =上原点到1i +的直线段.解：设z x iy =+，则积分曲线的参数方程为()01x z x ix ≤≤=+，所以()()()()()()()1211000132211212222Cx x iy dz x ix i dx i i xdx i i i ⎛⎫+=++=++=++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例10-2计算积分Czdz ⎰,其中C 点i 到3i +的直线段.解：设z x iy =+，且点i 到3i +所在水平直线参数方程为()03x z x i ≤≤=+，则()()323009322C Cx zdz x i dz x i dx ix i ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰.11.原函数与不定积分例11-1计算积分：32iz ie dz ππ-⎰.解：()()333222112022ii iz z z i ii e dz e d z e ππππππ---===⎰⎰例11-2计算积分：1sin z zdz ⎰.解：()11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⎡⎤=-=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.12.函数可导、解析的充要条件例12-1函数()2iy f x x -=何处可导，何处解析.解：由题得()()2,,,x y x v x y y u ==-，则2,1,0,0xyyxx uvuv∂∂∂∂==-==∂∂∂∂，故当且仅当21x =-时柯西黎曼方程,xy yxuv uv∂∂∂∂==-∂∂∂∂，解得21x -=，所以函数()f x 在直线21x -=上可导，但处处不解析.13.将函数展开成洛朗级数例13-1将函数()13f z z=-在圆环域01z <<内展开成洛朗级数.解：()1113313f z z z ==⋅--，101,0133z z <<∴<<< ，由间接法展开得()100111333313nn n n n z z f z z ∞∞+==⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==-∑∑.14.复数运算公式证明例13-1证明1212z z z z ⋅=⋅.证：设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()()()12121212121122z z x x y y i x y y x x iy x iy ⋅=-++++=，()()1212121212z z x x y y i x y y x ∴⋅--+=.又()()()()11221212121212x iy x iy x x y y i x y y x z z --==--+⋅ ,1212z z z z ∴⋅=⋅，等式得证.。
高等数学课件：复变函数第5讲(初等函数)
例2 求1 2 和ii的值.
[解] 1 2 e 2 Ln1 e2kpi 2
cos(2kp 2) + i sin( 2kp 2).
(k 0,1,2,);
ii
eiLni
i p i+2kpi
e2
- p +2kp
e 2 ,(k
0,1,2,).
由此可见i
i是正实数,
它的主值是
-p
2
9
复变函数
1
初等函数
2
1, 指数函数
函数 exp z=eZ=ex(cos y+i sin y)
. 等价于关系式:
|exp z|=ex,
Arg(exp z)=y+2kp
3
exp z的周期性是2kpi, 即
ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数.
4
2.对数函数 对数函数定义为:指数函数的反 函数.
即 将满足方程
ew=z (z0)
的函数w=f(z)称为对数函数Lnz
下面要求w
. 令w=u+iv, z=reiq, 则
eu+iv=reiq,
所以 u=ln r, v=2kp+q.
因此 w=ln|z|+iArg z= ln|z|+i(2kp+q)
5
Ln z=ln|z|+iArg z 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z 为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因 此
ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) 表达.
高校工程数学第5节复变函数教学课件
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
4、反函数定义
假定函数w = f ( z ) 的定义集合为G，函数值集合为 G*，那么G*中的每一个点必将对应着G中的一个 或几个点。 按照函数的定义，在G*上就确定了某一个函数 z=φ(w)，它称为函数w=f(z)的反函数，也称为映射 w=f(z)的逆映射。
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
（ 1）
映射
z1 w2
o
如果把z平面和w平面重叠在一起，不 难看出，函数是关于实轴的一个对称 映射，且是全同图形。 一般地，通过映射，z平面上的任一图 形的映象是关于实轴对称的一个全同
图形。
A
§1.5 复变函数
1、复变函数的定义 2、映射的概念 3、典型例题 4、小结与思考
一、复变函数的定义
1、复变函数的定义[定义] 设 Nhomakorabea是一个复数z=x+iy的集合，如果有一个 确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中 的每一个复数z，就有一个或几个相应的复数 w=u+iv随着而定（与之对应），那么称复变数w 是复变数z的函数（简称复变函数)，记作 w=f(z)
u=u(x,y)，v=v(x,y)
它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。反之，
如果给定了两个二元实变函数u=u(x,y)和v=v(x,y)，那
么w=u(x,y)+iv(x,y)就构成了z=x+iy的一个复变函数 w=f(z)。
复变函数和实变函数的关系
例如，函数w=z2。令z=x+iy，w=u+iv，那么
复变函数第三章(第五讲)
§3-2 Cauchy积分基本定理 积分基本定理 1. Cauchy积分基本定理 积分基本定理 2. 复合闭路定理
原函数、不定积分、 3. 原函数、不定积分、路径无关
1. Cauchy 积分基本定理
Cauchy 积分基本定理 积分基本定理(1825年) 年
在单连通区域D内解析 则对D内 内解析, 定理 3.2.1 设 f 在单连通区域 内解析 则对 内 任一条有向闭曲线C, 任一条有向闭曲线
且 ∫ f ( z )dz＝∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy。
证明
设λ = max{| ∆z j |},
0≤ j ≤ n
= lim ∑ u( ρ j ,σ j ) + iv( ρ j ,σ j ) (∆x j + i∆y j )
λ →0 j =1
n
[ = lim ∑ [u( ρ , σ
α
β
∴∫ f (z)dz = ∫ f [z(t )]z'(t )dt。
C
β
α
例 1 计算积分
∫z
Ck
2
dz , k = 1 , 2 ; 其中
(1) C1 是从原点到 1 + i 3 的有向直线段 的有向直线段； (2) C2 是从原点到 再到 1 + i 3 的有向折线段； 是从原点到1再到 的有向折线段； 曲线C 的参数表示： 解 (1) 曲线 1 的参数表示：
∫
C
f ( z)dz = ∫
C1 +C2
f ( z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f ( z)dz;
C1 C2
( 5 ) 积分不等式： 设 C的长度为 L, 函数 f ( z )在 C上 积分不等式： 满足 f ( z ) ≤ M , 则
复变函数课后习题答案（全）第四版
习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。
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d 2 1 z4 1 p2 而， Re s[ f ( z ), 0] lim z 2 2 z 0 dz 2 iz (1 pz )( z p ) 2 ip 1 z4 1 p4 Re s[ f ( z ), p] lim ( z p) 2 2 2 z p 2 iz (1 pz )( z p ) 2 ip (1 p )
4 2 1 p2 1 p 2 p 因此，I 2 i 2 2 2 2 2ip (1 p ) 1 p 2ip
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• 二、形如 R( x)dx 的积分 • 其中 R ( x)是 x 的有理函数，而且分母的次
R ( z ) 在实轴 数至少比分子的次数高二次，
z2 1 z2 1 1 z 1 R[ 2 z , 2iz ] iz dz
• 再用留数定理计算
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• 例题：计算
I
解：
2 0
cos 2 d 2 1 2 p cos p
i i
(0 p 1)
1
e e cos 2 i 2 i 2 e e cos 2 2 i i 令z e , 则有cos x dx 0 2 2 x a
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例
计算I
0
cos x dx(a 0)的值。 2 2 x a
解：这里m 2, n 0, m n 2。R ( z )在实轴上 无孤立奇点，因而所求的积分是存在的。 1 R( z ) 2 在上半平面内有一级极点ai，故有 2 z a 1 1 ix x 2 a 2 e dx x 2 a 2 (cos x i sin x)dx a a e iz 2 i Re s[ R ( z )e , ai ] 2 i e 2ai a
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zz 2 2 2 z z 2
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I
2
0
cos 2 d 2 1 2 p cos p
2 2
1 z z dz 1 |z|1 2 zz 2 iz 1 2 p p 2 4 1 z |z|1 2iz 2 (1 pz )( z p) dz |z|1 f ( z )dz
第五章
留 数
第一节 孤立奇点 第二节 留 数 第三节 留数在定积分计算上的应用
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第三节 留数在定积分计算上的应用
• 一、形如
2
0
R(cos , sin )d 的积分
• 其中 R (cos , sin ) 为 cos 与 sin 的有理函数
i • 计算方法： 令 z e ，则原积分化为
例
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x a sin xdx e x2 a2
a
0
x 1 x e sin xdx sin xdx 2 2 2 2 x a 2 x a 2
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例
计算I
x cos x dx(a 0)的值。 2 2 x a
上没有孤立奇点 • 计算方法： R(x)dx 2iRes[R(z), zk ] • 其中 z k 是R ( z ) 在上半平面内的所有极点
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取积分路线如图5.2，只 要R适当大，R（z）在上 半平面的所有奇点就会被 积分路线包含在内。 由留数定理可知：
因此，在半径R充分大的 CR 上，有
2 2 CR R( z )dz CR | R( z ) | ds R 2 R R
所以，当 R 时， R( z )dz 0 C
R
R( x)dx 2 i Re s[ R ( z ), zk ]
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• 例题计算积分
x I dx 2 2 2 2 ( x a )( x b )
2
(a 0, b 0)
这里m 4, n 2，并且实轴上R( z )没有孤立奇点， 因此积分是存在的。
z 函数 2 的一级极点为 ai, bi. 2 2 2 ( z a )( z b )
b Re s[ R ( z ), bi ] 2 2 2i (b a )
所以， a b I 2 i 2 2 2 2 2i (a b ) 2i (b a ) a b
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• 三、形如 R(x)e dx
aix
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x sin x 计算I dx(a 0)的值。 2 2 0 x a 解：这里m 2, n 1, m n 1。R( z )在实轴上 无孤立奇点，因而所求的积分是存在的。 z R( z ) 2 在上半平面内有一级极点ai，故有 2 z a x x ix x 2 a 2 e dx x 2 a 2 (cos x i sin x)dx a e iz 2 i Re s[ R( z )e , ai ] 2 i ie a 2
(a 0) 的积分
• 其中R ( x) 是 x 的有理函数，而且分母的次数
R ( z )在实轴上没 至少比分子的次数高一次，
有孤立奇点 • 计算方法： R( x)e dx 2i Re s[ R( z)e , z k ]
aix aiz
• 其中 z k 是R ( z ) 在上半平面内的所有极点
1 n
而当 | z | 充分大时，总可使得 1 1 1 m | a1 z an z | ,| b1 z bm z | 10 10 由于m n 2，故有
1 n
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1 1 1 2 10 | R ( z ) | m n 2 1 |z| |z| 1 10
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1 a cos xdx e 2 2 x a a
0
1 1 x e a cos xdx cos xdx 2 2 2 2 x a 2 x a 2a
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2
其中ai与bi在上半平面内。由于
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a 2 z2 Re s[ R ( z ), ai ] lim ( z ai ) 2 2 2 2 2 2 z ai ( )( ) 2 ( ) z a z b ai b a a 2i (a 2 b 2 )
积分路线
R( z )dz
CR
R
R
R ( x)dz R( z )dz 2 i Re s[ R( z ), zk ]
R R CR
R ( x)dz 2 i Re s[ R( z ), zk ] R( z )dz
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因为 1 |1 a1 z 1 an z n | | R ( z ) | m n |z| |1 b1 z 1 bm z m | 1 1 | a1 z an z | mn |z| 1 | b1 z 1 bm z m |