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北京市东城区(南片)2012-2013学年八年级下学期期末考试数学

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2012-2013学年北京市西城区(南区)八年级(下)期末数学试卷

2012-2013学年北京市西城区(南区)八年级(下)期末数学试卷

2012-2013 学年北京市西城区（南区）八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3 分）下列函数中，不是一次函数的是（）A．y＝﹣x+4 B．y＝ C．y＝ D．y＝2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．（3 分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形4．（3分）正方形具有而矩形没有的性质是（）A．对角线互相平分B．每条对角线平分一组对角C．对角线相等D．对边相等5．（3 分）下列各点中，在双曲线y＝﹣上的点是（）A．（﹣2，3）B．（4，3）C．（﹣2，﹣6）D．（6，﹣2）6．（3 分）甲、乙、丙、丁四名学生10 次小测验成绩的平均数（单位：分）和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数92 92 92 92方差 3.6 1.2 1.4 2.2 则这四人中成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3 分）如图，在▱ABCD 中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E，则BE 等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm8．（3分）一次函数y＝2x﹣3 的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（3分）某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40 升，到B 地后发现油箱中还剩油4 升，则从出发后到B 地油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数的大致图象是（）A．B．C．D．10．（3 分）如图，A，B 是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞411．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，BC 的长度是（）A．5 B．4 C．7 D．612．（3 分）如图，△ABC 中，BC＝18，若BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，F、G 分别为BC、DE 的中点，若ED＝10，则FG 的长为（）A． B．9 C．10 D．无法确定二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．）13．（3 分）已知一组数据为：10；8，10，10，7，则这组数据的方差是．14．（3 分）已知一次函数y＝2x+1，则它的图象与坐标轴围成的三角形面积是．15．（3 分）若＝，则＝．16．（3 分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，则y1 y2（选填“＞”“＝”“＜”）．17．（3 分）菱形的两条对角线长分别为6 和8，则这个菱形的周长为．18．（3 分）等腰梯形ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 的形状是．19．（3 分）如图，函数y＝ax﹣1 的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2 的解集是．20．（3 分）如图，菱形ABCD 中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P 分别为线段AB、AD、BD 上的任意一点，则PM+PN 的最小值为．三、解答题（本大题共7 小题，共40 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．21．（6 分）已知直线y＝kx+b 与x 轴交于点B（2，0），并经过点A（﹣1，3），求出直线表示的一次函数的解析式．22．（6 分）如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别在AD、BC 边上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE 是平行四边形．23．（6 分）如图，一次函数y＝kx+b 与反比例函数y＝的图象交于A（2，1），B（﹣1，n）两点．（1）求m 的值；（2）结合图象直接写出不等式的解集．24．（5 分）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB，CD 的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．25．（5 分）已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且OB＝2OC．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．26．（6 分）如图，现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD，点P 为AD 边上的一点（不与点A、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H，折痕为EF，联结BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）求证：AP+HC＝PH；（3）当AP＝1 时，求PH 的长．27．（6 分）如图，在△ABC 中，AC＞AB，D 点在AC 上，AB＝CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD 的形状并证明．2012-2013 学年北京市西城区（南区）八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3 分）下列函数中，不是一次函数的是（）A．y＝﹣x+4 B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】直接根据一次函数的定义进行判断．【解答】解：y＝﹣x+4，y＝x，y＝﹣3x 都是一次函数，而y＝为反比例函数．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数叫做一次函数．2．（3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．3．（3 分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【分析】首先设此多边形是n 边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n﹣2）＝360，解此方程即可求得答案．【解答】解：设此多边形是n 边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n﹣2）＝360，解得：n＝4．∴这个多边形是四边形．故选：A．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n 边形的内角和等于180°（n﹣2）．4．（3 分）正方形具有而矩形没有的性质是（）A．对角线互相平分B．每条对角线平分一组对角C．对角线相等D．对边相等【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．【解答】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A 不符合题意，B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B 符合题意，C、正方形和矩形对角线都相等，故C 不符合题意，D、正方形和矩形的对边都相等，故D 不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．5．（3 分）下列各点中，在双曲线y＝﹣上的点是（）A．（﹣2，3）B．（4，3）C．（﹣2，﹣6）D．（6，﹣2）【分析】根据反比例函数中k＝xy 为定值进行解答即可．【解答】解：A、∵（﹣2）×3＝﹣6≠﹣12，∴此点不在该函数的图象上，故本选项错误；B、∵4×3＝12≠﹣12，∴此点不在该函数的图象上，故本选项错误；C、∵（﹣2）×（﹣6）＝12≠﹣12，∴此点不在该函数的图象上，故本选项错误；D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此点在该函数的图象上，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（3 分）甲、乙、丙、丁四名学生10 次小测验成绩的平均数（单位：分）和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数92 92 92 92方差 3.6 1.2 1.4 2.2 则这四人中成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，反映了一组数据的波动情况．方差越小，射击成绩越稳定．【解答】解：因为S 甲2＝3.6，S 乙2＝1.2，S 丙2＝1.4，S 丁2＝2.2．所以S 甲2＞S 丁2＞S 丙2＞S 乙2，所以射击成绩最稳定的是乙．故选：B．【点评】解答此题要注意：方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．7．（3 分）如图，在▱ABCD 中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E，则BE 等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE 平分∠ADC，进一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE＝CD，则BE 可求解．【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠EDA＝∠DEC，又∵DE 平分∠ADC，∴∠EDC＝∠ADE，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE＝AB＝6，即BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2．故选：A．【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．8．（3 分）一次函数y＝2x﹣3 的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数y＝ax+b（a≠0）的a、b 的符号判定该一次函数所经过的象限即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3 的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴一次函数y＝2x﹣3 经过第一、三、四象限，即一次函数y＝2x﹣3 不经过第二象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线y＝kx+b 所在的位置与k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、三象限．k＜0 时，直线必经过二、四象限．b＞0 时，直线与y 轴正半轴相交．b＝0 时，直线过原点；b＜0 时，直线与y 轴负半轴相交．9．（3分）某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40 升，到B 地后发现油箱中还剩油4 升，则从出发后到B 地油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数的大致图象是（）A． B．C．D．【分析】根据某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不再发生变化，再次出发油量继续减小，即可得出符合要求的图象．【解答】解：某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，油量在减小；中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不发生变化；再次出发油量继续减小；到B 地后发现油箱中还剩油4 升；只有C 符合要求．故选：C．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．10．（3 分）如图，A，B 是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4【分析】本题可根据A、B 两点在曲线上可设出A、B 两点的坐标以及取值范围，再根据三角形的面积公式列出方程，即可得出答案．【解答】解：设点A 的坐标为（x，y），则B（﹣x，﹣y），xy＝2．∴AC＝2y，BC＝2x．∴△ABC 的面积＝2x×2y÷2＝2xy＝2×2＝4．故选：B．【点评】解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．11．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，BC 的长度是（）A．5 B．4 C．7 D．6【分析】过点B 作BE⊥DC，垂足为E，利用已知条件判定ADEB 是矩形，可得BE＝4，然后利用勾股定理即可求出BC，问题可解．【解答】解：过点B 作BE⊥DC，垂足为E，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠D＝90°，∴ADEB 是矩形，∴AD＝BE＝4，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝3，BE⊥CD，∴在Rt△BEC 中，BC＝＝5，故选：A．【点评】此题主要考查学生对直角梯形的性质和勾股定理的理解和掌握．此题有一定的拔高难度，属于中档题．12．（3 分）如图，△ABC 中，BC＝18，若BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，F、G 分别为BC、DE 的中点，若ED＝10，则FG 的长为（）A．B．9 C．10 D．无法确定【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝DF＝BC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，DG＝ED，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接EF、DF，∵F 是BC 的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，∴EF＝DF＝BC＝×18＝9，∵G 是ED 的中点，∴FG⊥ED，DG＝ED＝×10＝5，在Rt△DGF 中，FG＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线是利用性质的关键．二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．）13．（3 分）已知一组数据为：10；8，10，10，7，则这组数据的方差是 1.6 ．【分析】结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可．【解答】解：平均数为：（10+8+10+10+7）÷5＝9，S2＝[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（7﹣9）2]，＝（1+1+1+1+4），＝1.6，故答案为：1.6．【点评】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．14．（3 分）已知一次函数y＝2x+1，则它的图象与坐标轴围成的三角形面积是．【分析】求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积．【解答】解：一次函数的关系式是y＝2x+1，当x＝0 时，y＝1；当y＝0 时，x＝﹣，它的图象与坐标轴围成的三角形面积是：×1×|﹣|＝．故答案是：．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标的问题解决．15．（3 分）若＝，则＝．【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值．【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．故答案为：．【点评】主要考查了灵活利用比例的合比性质的能力．16．（3 分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＜y2（选填“＞”“＝”“＜”）．【分析】先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．【解答】解：∵双曲线y＝﹣中k＝﹣3＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴A（x1，y1），B（x2，y2）位于第二象限，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．（3 分）菱形的两条对角线长分别为6 和8，则这个菱形的周长为 20 ．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB 是直角三角形，∴AB＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故答案为：20．【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．18．（3 分）等腰梯形ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 的形状是菱形．【分析】等腰梯形的对角线相等，所以可得四边形EFGH 四条边相等，根据四边相等的四边形为菱形，即可判断出四边形EFGH 的形状．【解答】解；如图所示，∵E，F，G，H 分别为各边中点，∴HG∥DB，HG＝DB，EF∥DB，EF＝DB，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC＝BD，∴EF＝EH＝HG＝GF，∴四边形EFGH 为菱形．故答案为：菱形．【点评】本题考查了等腰梯形的性质，三角形中位线定理和菱形的判定定理的理解及运用，属于基础题．19．（3 分）如图，函数y＝ax﹣1 的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2 的解集是 x＞1 ．【分析】根据已知图象过点（1，2），根据图象的性质即可得出y＝ax﹣1＞2 的x 的范围是x＞1，即可得出答案．【解答】解：方法一∵把（1，2）代入y＝ax﹣1 得：2＝a﹣1，解得：a＝3，∴y＝3x﹣1＞2，解得：x＞1，方法二：根据图象可知：y＝ax﹣1＞2 的x 的范围是x＞1，即不等式ax﹣1＞2 的解集是x＞1，故答案为：x＞1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，能把一次函数与一元一次不等式结合起来是解此题的关键．20．（3 分）如图，菱形ABCD 中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P 分别为线段AB、AD、BD 上的任意一点，则PM+PN 的最小值为 2 ．【分析】当PM⊥AB，PN⊥AD 时，PM+PN 的值最小，最小值＝AD 边上的高．【解答】解：连接AC，过点A 作AE⊥BC 于点E，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝AD，当PM⊥AB，PN⊥AD 时，PM+PN 的值最小，最小值＝AD 边上的高，设这个高为AE，•AB•PM+ •AD•PN＝AD•AE，PM+PN＝AE，∵菱形ABCD 中，AB＝4，∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，∴△ABC 是等边三角形，∴BE＝EC＝2，∴AE＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．三、解答题（本大题共7 小题，共40 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．21．（6 分）已知直线y＝kx+b 与x 轴交于点B（2，0），并经过点A（﹣1，3），求出直线表示的一次函数的解析式．【分析】把点A、B 的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于k、b 的方程组，通过解方程组可以求得它们的值．【解答】解：根据题意得：，解得．则y＝﹣x+2．即一次函数的解析式为：y＝﹣x+2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．22．（6 分）如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别在AD、BC 边上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE 是平行四边形．【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A＝∠C，AB＝CD，又由AE＝CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；（2）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥ BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，在△ABE 和△CDF 中，∵ ，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形BFDE 是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．23．（6 分）如图，一次函数y＝kx+b 与反比例函数y＝的图象交于A（2，1），B（﹣1，n）两点．（1）求m 的值；（2）结合图象直接写出不等式的解集．【分析】（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m．（2）根据A、B 的横坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，1），∴代入得：m＝2×1＝2．（2）∵A（2，1），B（﹣1，n），观察图象可知，当﹣1＜x＜0 或x＞2 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴不等式的解集是﹣1＜x＜0 或x＞2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．24．（5 分）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB，CD 的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．【分析】（1）由矩形的性质：OB＝OD，AE∥CF 证得△BOE≌△DOF；（2）若四边形EBFD 是菱形，则对角线互相垂直，因而可添加条件：EF⊥AC，当EF⊥AC 时，∠EOA＝∠FOC＝90°，∵AE∥FC，∴∠EAO＝∠FCO，矩形对角线的交点为O，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴四边形EBFD 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB＝OD（矩形的对角线互相平分），AE∥CF（矩形的对边平行）．∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF．∴△BOE≌△DOF（AAS）．（2）解：当EF⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA＝OC（矩形的对角线互相平分）．又∵由（1）△BOE≌△DOF 得，OE＝OF，∴四边形AECF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又∵EF⊥AC，∴四边形AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．【点评】本题利用了：1、矩形的性质，2、全等三角形的判定和性质，3、菱形的判定．25．（5 分）已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且OB＝2OC．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）易求B（4，0），C（0，2）．把它们的坐标分别代入直线BC 的解析式y＝kx+b（k≠0），列出关于k、b 的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值；（2）需要分类讨论：以AB 为边的平行四边形和以AB 为对角线的平行四边形．【解答】解：（1）∵B（4，0），∴OB＝4，又∵OB＝2OC，C 在y 轴正半轴上，∴C（0，2）．设直线BC 的解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵过点B（4，0），C（0，2），∴，解得，∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+2．（2）如图，①当BC 为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC 为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB 为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点M 的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．【点评】本题考查了一次函数综合题．期中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质．解题时，注意分类讨论，以防错解或漏解．26．（6 分）如图，现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD，点P 为AD 边上的一点（不与点A、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H，折痕为EF，联结BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）求证：AP+HC＝PH；（3）当AP＝1 时，求PH 的长．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC 即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC＝PH；（3）设QH＝HC＝x，则DH＝4﹣x．在Rt△PDH 中，根据勾股定理列出关于x 的方程求解即可．【解答】（1）证明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH ﹣∠EPB ＝∠EBC ﹣∠EBP ． 即∠BPH ＝∠PBC ． 又∵四边形 ABCD 为正方形∴AD ∥BC ，∴∠APB ＝∠PBC ．∴∠APB ＝∠BPH ．（2）证明：过 B 作 BQ ⊥PH ，垂足为 Q ，由（1）知，∠APB ＝∠BPH ，在△ABP 与△QBP 中，，∴△ABP ≌△QBP （AAS ），∴AP ＝QP ，BA ＝BQ ． 又∵AB ＝BC ，∴BC ＝BQ ． 又∵∠C ＝∠BQH ＝90°，∴△BCH 和△BQH 是直角三角形，在 Rt △BCH 与 Rt △BQH 中，∴Rt △BCH ≌Rt △BQH （HL ），∴CH ＝QH ，∴AP +HC ＝PH ．（3）解：由（2）知，AP ＝PQ ＝1，∴PD ＝3．设 QH ＝HC ＝x ，则 DH ＝4﹣x ．在 Rt △PDH 中，PD 2+DH 2＝PH 2，即 32+（4﹣x ）2＝（x +1）2，解得x＝2.4，∴PH＝3.4．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．27．（6 分）如图，在△ABC 中，AC＞AB，D 点在AC 上，AB＝CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD 的形状并证明．【分析】连接BD，取BD 的中点H，连接HF、HE，利用中位线的性质及等腰三角形的性质，在△AFG 中找到各角之间的关系，继而可得△AGF 是等边三角形，推出∠AGD＝90°即可得出结论．【解答】解：判断：△AGD 是直角三角形．证明：连接BD，取BD 的中点H，连接HF、HE，∵F 是AD 的中点，∴HF∥AB，HF＝AB，∴∠1＝∠3，同理，HE∥CD，HE＝CD，∴∠2＝∠EFC，∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠EFC，∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF 是等边三角形，∴AF＝FG，∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝90°，即△AGD 是直角三角形．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用三角形的中位线定理及平行线的性质建立各角之间的关系．。

【名师解析】北京市东城区(南片)2013-2014学年高二上学期期末考试 数学(文)试题 Word版含解析

【名师解析】北京市东城区(南片)2013-2014学年高二上学期期末考试 数学(文)试题 Word版含解析

数学试卷（文科）一、选择题：(每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.下列程序语言中，哪一个是输入语句A. PRINTB. INPUTC. THEND. END3.如图所示，程序框图的输出结果为 A.43 B. 61 C. 1211 D. 2425【答案】A 【解析】4.某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为A. 12B. 13C. 14D. 156.平面⊥α平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线l ，α⊥l 且β⊥l B. 存在一个平面γ， γ∥α且γ∥β C. 存在一个平面γ，γ⊥α且γ⊥β D. 存在一条直线l ，α⊥l 且l ∥β7.甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试，三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为 A.31 B. 32 C. 21 D. 418.已知双曲线14222=-y a x 的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A.43 B. 53 C. 423 D. 553二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）11.下列命题中，真命题的是 .①必然事件的概率等于l ②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题13.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 .为3，所以2234V Sh ==⨯=考点：空间几何体的三视图、表面积和体积的计算.14.设),(00y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF ⋅的最大值为 .三、解答题（本大题共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分8分）在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率.考点：互斥与对立事件、概率问题.16.（本小题满分8分）对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m／s）的数据如下表.（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息?（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m／s）数据的平均数、中位数、方差，并判断选谁参加比赛更合适.17.（本小题满分9分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点.（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求三棱锥D－B1C1C的体积.考点：线面平行的判定定理、空间几何体的体积.18.（本小题满分9分）2013年某市某区高考文科数学成绩抽样统计如下表：（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（纵坐标保留了小数点后四位小数）（Ⅱ）若2013年北京市高考文科考生共有20000人，试估计全市文科数学成绩在90分及90分以上的人数；（Ⅲ）香港某大学对内地进行自主招生，在参加面试的学生中，有7名学生数学成绩在140分以上，其中男生有4名，要从7名学生中录取2名学生，求其中恰有1名女生被录取的概率.19.（本小题满分10分）己知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点A （2，0）在椭圆C 上，斜率为1的直线l与椭圆C交于不同两点M，N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点F（1，0），求线段MN的长；（III）若直线l过点（m，0），且以MN为直径的圆恰过原点，求直线l的方程.。

东城区(南片)2013-2014学年第一学期期末考试初二数学

东城区(南片)2013-2014学年第一学期期末考试初二数学

【参考答案】一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1. A2. D3. A4. C5. B6. B7. C 8. B 9. D 10. C二、填空题（共10个小题，每小题3分，共30分，其中第13题不写单位扣1分） 11. 2)12(-y x12. 1-≥x 13. 4cm14. 582+ 15. ︒7516. C B ∠=∠（答案不唯一） 17. m 41-18. x=1 19. 320. xa 2150- 三、计算题（共16分，每题4分）21. 解：原式223223b b a b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=243626b b a b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷= 2分 246326b a b b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= 3分 82b -= 4分 22. 解：原式ba b a b a b a b a b b a b a 2))(()())(2(-+⨯-++---= 1分 ba b a b a b a ab a 2))((422-+⨯-+-= 2分 b a b a b a b a b a a 2))(()2(2-+⨯-+-= b a a -=2 3分∵03=-b ab a 3=∴∴原式=3 4分23. 解：原式xy y x xy y x 2)2(42222÷---= 2分222242y x y x +--=223y x --= 3分 ∵6-=x ，31)3(1==-y ∴原式=-5 4分24. 解：去分母得，x x ax 2)1(33=+- 1分3)53(=-x a∵053≠-a 解得，533-=a x 2分 检验：当533-=a x 时，53)23(3)1(333--=+=+a a x x ， ∵023≠-a ，033≠+∴x3分 所以533-=a x 是原分式方程的解 4分 四、解答题（其中第25，26题各5分，第27题6分，第28题8分）25. 图略 5分26. 证明：∵DE AB //，E B ∠=∠∴ 2分在ABC ∆和DEF ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,21,,EF BC E B)(~ASA DEF ABC ∆∆∴ 5分27. 解：∵AC 是DAE ∠的平分线，︒=∠=∠∴25CAE DAC1分又∵EC DA // ︒=∠=∠∴25ACE DAC︒=∠=∠∴25ACE CAE 2分︒=︒-︒-︒=∠=∴1302525180,AEC CE AE3分在AEB ∆和CEB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,EB EB CB AB CE AE)(~SSS CEB AEB ∆∆∆∴ 4分CEB AEB ∠=∠∴5分 ︒=︒-︒=∠-︒=∠∴115)130360(21)360(21AEC AEB 6分 28. 证明：如图，在AC 上截取AG=AE ，连接FG 。

2012-2013学年北京市西城区(北区)八年级(下)期末数学试卷

2012-2013学年北京市西城区(北区)八年级(下)期末数学试卷

2012-2013 学年北京市西城区（北区）八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3 分）要使二次根式有意义，那么x 的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤22．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，2， C．5，12，13 D．1，，3．（3 分）下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．4．（3 分）如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E，延长AD 至点F，连接EF，如果∠B＝110°，那么∠E+∠F＝（）A．110°B．70°C．50°D．30°5．（3 分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（）A．它的图象在第二、四象限B．点（﹣2，1）在它的图象上C．当x＞0 时，y 随x 的增大而减小D．当x＜0 时，y 随x 的增大而增大6．（3分）下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．同一底上两个角相等的四边形是等腰梯形7．（3 分）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a，b，c 的大小关系式（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，DE∥CB，若CD＝4，△ADE 周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（）A．22 B．26 C．38 D．309．（3 分）如图，菱形ABCD 的周长为16，若∠BAD＝60°，E 是AB 的中点，则点E 的坐标为（）A．（1，1）B．（，1）C．（1，）D．（，2）10．（3 分）用配方法将关于x 的方程x2+5x+n＝0 可以变形为（x+p）2＝9，那么用配方法也可以将关于x 的方程x2﹣5x+n＝﹣1 变形为下列形式（）A．（x﹣p+1）2＝10 B．（x﹣p）2＝8C．（x﹣p﹣1）2＝8 D．（x﹣p）2＝10二、细心填一填（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）如果＝0，那么xy 的值为．12．（3 分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25 米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为．（无需确定x 的取值范围）13．（3 分）一组数据0，﹣1，6，1，﹣1，这组数据的平均数，方差是．14．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，将△AOB 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在x 轴负半轴上，记作点C，折痕与y 轴交点交于点D，则点C 的坐标为，点D 的坐标为．15．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，AB＝13cm，BC 边上的高AH＝5cm，那么对角线AC 的长为cm．16．（3 分）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，A n，A n+1，若A1 的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，A n，A n+1 分别作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＝，S1+S2+S3+…+S n＝．三、解答题（本题共16 分，第17 题8 分，第18 题8 分）17．（8 分）计算：（1）；（2）．18．（8 分）解方程：（1）（2x﹣3）2＝25；（2）x2﹣5x+2＝0．四、解答题（本题共25 分，第19～21 题每小题6 分，第22 题7 分）19．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，1）和点B（1，n）．（1）求反比例函数的解析式及一次函数解析式；（2）设一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴交于点C，连接OA，求△AOC 的面积；（3）结合图象，直接写出不等式的解集．20．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，点E，点F 在BD 上，且BE ＝DF 连接AE 并延长，交BC 于点G，连接CF 并延长，交AD 于点H．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AC 平分∠HAG，求证：四边形AGCH 是菱形．21．（6 分）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表：五项成绩素质考评得分（单位：分）班级行为规范学习成绩校运动会艺术获奖劳动卫生甲班10 10 6 10 7乙班10 8 8 9 8丙班9 10 9 6 9根据统计表中的信息解答下列问题：（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：五项成绩考评比较分析表（单位：分）班级平均数众数中位数甲班8.6 10乙班8.6 8丙班9 9（2）参照表中的数据，你推荐哪个班为区级先进班集体？并说明理由；（3）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照按3：2：1：1：3 的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制了一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为市级先进班集体？22．（7 分）已知：关于x 的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．五、解答题（本题共11 分，第23 题5 分，第24 题6 分）23．（5 分）阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是△ABC 的中线，点M 为BC 边上任意一点（不与点D 重合），过点M 作一直线，使其等分△ABC 的面积．他的做法是：如图1，连接AM，过点D 作DN∥AM 交AC 于点N，作直线MN，直线MN 即为所求直线．请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AE 平分ABCD 的面积，M 为CD 边上一点，过M 作一直线MN，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线MN，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A 的直线AE，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3 中画出直线AE，并保留作图痕迹）．24．（6 分）已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF＝DE．（1）如图1，判断AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC 与BD 交于点O．BD，AC 分别与AE，BF 交于点G，点H．①求证：OG＝OH；②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB 的长．一、填空题（本题6 分）25．（6 分）（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y 的值为．（2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y 的值为．二、解答题（本题共14 分，每小题7 分）26．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OBCD 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点D 在y 轴正半轴上．（1）如图1，反比例函数（x＞0）的图象与正比例函数的图象交于点A．BC 边经过点A，CD 边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE 的面积为6．①直接写出点A 的坐标；②判断线段CE 与DE 的大小关系，并说明理由；（2）如图2，若反比例函数（x＞0）的图象与CD 交于点M，与BC 交于点N，CM＝nDM（n＞0），连接OM，ON，MN，设M 点的横坐标为t（t＞0）．求：（用含n 的式子表示）．27．（7 分）△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．（1）将△C DE 的顶点D 与点O 重合，连接AE，B C，取线段BC 的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE 分别与OA，OB 边重合，则线段OM 与AE 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD 在△AOB 内部，请你在图2 中画出完整图形，判断OM 与AE 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE 绕点O 任意转动，写出OM 的取值范围（用含a 式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE 的三个顶点分别在△AOB 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a 的值；如果不存在，请说明理由．2012-2013 学年北京市西城区（北区）八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3 分）要使二次根式有意义，那么x 的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2【分析】二次根式的性质：被开方数大于等于0．【解答】解：根据题意，得2x﹣4≥0，解得，x≥2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．2．（3 分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，2， C．5，12，13 D．1，，【分析】将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形．【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴能组成直角三角形；B、∵12+22＝（）2，∴能组成直角三角形；C、∵52+122＝132，∴能组成直角三角形；D、∵12+（）2≠（）2，∴不能组成直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．3．（3 分）下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．【分析】求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、＝3，故本选项错误；B、＝5，故本选项错误；C、＝＝，故本选项错误；D、＝×＝6，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了算术平方根的应用，主要考查学生的计算能力．4．（3 分）如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E，延长AD 至点F，连接EF，如果∠B＝110°，那么∠E+∠F＝（）A．110°B．70°C．50°D．30°【分析】在平行四边形ABCD 中，∠B＝110°，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠ADC 的度数，由对顶角相等与三角形内角和定理，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝110°，∴∠EDF＝∠ADC＝110°，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EDF＝70°．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质，用到的知识点为：三角形的内角和为180°、平行四边形的对角相等、对顶角相等．5．（3 分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（）A．它的图象在第二、四象限B．点（﹣2，1）在它的图象上C．当x＞0 时，y 随x 的增大而减小D．当x＜0 时，y 随x 的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小．【解答】解：A、∵k＝2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项错误；B、把点（﹣2，1）代入反比例函数y＝得1＝﹣1 不成立，故选项错误；C、当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，故选项正确．D、当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：①当k＞0 时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0 时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0 时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k＜0 时，在同一个象限，y随x 的增大而增大．6．（3分）下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．同一底上两个角相等的四边形是等腰梯形【分析】根据正方形的判定方法对A 进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；根据矩形的判定方法对C 进行判断；根据等腰梯形的判定方法对D 进行判断．【解答】解：A、两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，所以A 错误；B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B 错误；C、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以C 正确；D、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，所以D 错误．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．7．（3 分）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a，b，c 的大小关系式（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】通过小正方形网格，可以看出AB＝4，AC、BC 分别可以构造直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可．【解答】解：∵AC＝＝5＝，BC＝＝，AB＝4＝，∴b＞a＞c，即c＜a＜b．故选：C．【点评】本题利用了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．8．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，DE∥CB，若CD＝4，△ADE 周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（）A．22 B．26 C．38 D．30【分析】要求梯形的周长，就要利用周长公式，然后根据△ADE 周长为18，求出梯形的各边长即可．【解答】解：梯形ABCD 的周长＝AB+AD+CD+CE+BE，∵DE∥CB，AB∥DC，∴四边形DCBE 为平行四边形，∴DC＝EB＝4，∴DE＝CE∵△ADE 周长为18，∴AD+AE+DE＝18，∴梯形ABCD 的周长＝AB+BC+DC+AD＝AE+DE+AD+DC+BE＝18+4+4＝26．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质；解题时要熟练掌握梯形的性质及平行四边形的性质．9．（3 分）如图，菱形ABCD 的周长为16，若∠BAD＝60°，E 是AB 的中点，则点E 的坐标为（）A．（1，1）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【分析】首先求出AB 的长，进而得出EO 的长，再利用锐角三角函数关系求出E 点横纵坐标即可．【解答】解：过E 作EM⊥AC，EN⊥BD，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝CD＝BC＝AD，AC⊥DB，∠BAO＝∠BAD，∵∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AC⊥DB，∴∠BOA＝90°，∵E 是AB 的中点，∴EO＝EA＝EB＝AB，∵菱形ABCD 的周长为16，∴AB＝4，∴EO＝2，∵EO＝AE，∴∠EOA＝∠EAO＝30°，∴EM＝1，∵∠EOA＝30°，∠BOA＝90°，∴∠BOE＝60°，∴EN＝EO•sin60°＝，∴则点E 的坐标为：（，1）．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系应用，根据已知得出EO 的长以及∠EOA＝∠EAO＝30°是解题关键．10．（3 分）用配方法将关于x 的方程x2+5x+n＝0 可以变形为（x+p）2＝9，那么用配方法也可以将关于x 的方程x2﹣5x+n＝﹣1 变形为下列形式（）A．（x﹣p+1）2＝10 B．（x﹣p）2＝8C．（x﹣p﹣1）2＝8 D．（x﹣p）2＝10【分析】把关于x 的方程x2+5x+n＝0 常数项n 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数5 的一半的平方可以求得n、p 的值，然后用同样的方法对关于x 的方程x2﹣5x+n＝﹣1 进行变形．【解答】解：把方程x2+5x+n＝0 的常数项移到等号的右边，得到x2+5x＝﹣n，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+5x+＝﹣n+配方得（x+）2＝﹣n+，所以，根据题意，得p＝，﹣n+＝9，则n＝﹣．所以，由方程x2﹣5x+n＝﹣1 得到x2﹣5x﹣＝﹣1把常数项移到等号的右边，得到x2﹣5x＝﹣1+，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣5x+＝﹣1++配方得（x﹣）2＝8．即（x﹣p）2＝8故选：B．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．二、细心填一填（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）如果＝0，那么xy 的值为﹣6 ．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y 的值，然后相乘即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，所以，xy＝3×（﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0 时，这几个非负数都为0．12．（3 分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25 米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为y＝．（无需确定x 的取值范围）【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，故可先求得k 的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，∴k＝0.25×400＝100，∴y＝．故答案为：y＝．【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．13．（3 分）一组数据0，﹣1，6，1，﹣1，这组数据的平均数 1 ，方差是．【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算．【解答】解：这组数据0，﹣1，6，1，﹣1 的平均数是：（0﹣1+6+1﹣1）÷5＝1；方差是[（0﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（6﹣1）2+（1﹣1）2+（﹣1﹣1）2]＝．故答案为：1，．【点评】此题考查了平均数和方差，一般地设n 个数据，x1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，将△AOB 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在x 轴负半轴上，记作点C，折痕与y 轴交点交于点D，则点C 的坐标为（﹣1，0），点D 的坐标为（0，）．【分析】由折叠的性质得到三角形ABD 与三角形ACD 全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD＝CD，AB＝AC，由一次函数解析式求出A 与B 坐标，确定出OA 与OB 的长，由BD+OD＝OB，OC+OA＝AC，在直角三角形COD 中，设CD＝x，表示出OD，利用勾股定理求出x 的值，即可确定出C 与D 坐标．【解答】解：由折叠的性质得：△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝4，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB 中，根据勾股定理得：AB＝5，∴OC＝AC﹣OA＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，即C（﹣1，0）；在Rt△COD 中，设CD＝BD＝x，则OD＝3﹣x，根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+1，解得：x＝，∴OD＝，即D（0，）．故答案为：（﹣1，0）；（0，）【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，利用了方程的思想，熟练运用勾股定理是解本题的关键．15．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，AB＝13cm，BC 边上的高AH＝5cm，那么对角线AC 的长为cm．【分析】首先根据菱形的性质可得AB＝BC＝13cm，再利用勾股定理计算出BH 的长，进而得到HC 的长，然后再进一步利用勾股定理计算出AC 的长．【解答】解：如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC＝13cm，∵BC 边上的高AH＝5cm，∴BH＝＝12cm，∴CH＝13﹣12＝1（cm），∴AC＝＝cm，故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的四条边都相等．16．（3 分）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，A n，A n+1，若A1 的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A1，A2，A3，…，A n，A n+1 分别作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＝ 6 ，S1+S2+S3+…+S n＝．【分析】由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、A n、A n+1 在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出S n 的表达式，把n＝1 代入求得S1 的值．【解答】解：∵点A1、A2、A3、…、A n、A n+1 在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1 的横坐标为2，∴A1（2，6），A2（4，3），∴S1＝2×（6﹣3）＝6；由题图象知，A n（2n，），A n+1（2n+2，），∴S2＝2×（3﹣2）＝2，∴图中阴影部分的面积知：S n＝2×（﹣）＝，（n＝1，2，3，…）∵＝﹣，∴S1+S2+S3+…+S n＝12（++…+）＝12（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故答案为：6，．【点评】此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出A n 的坐标的表达式，再由此求出S n 的表达式．三、解答题（本题共16 分，第17 题8 分，第18 题8 分）17．（8 分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式＝2 +4﹣﹣2 ，然后合并同类二次根式；（2）先把分母利用平方差公式计算，然后约分即可．【解答】解：（1）原式＝2+4﹣﹣2＝+2；（2）原式＝＝2+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（8 分）解方程：（1）（2x﹣3）2＝25；（2）x2﹣5x+2＝0．【分析】（1）开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）开方得：2x﹣3＝±5，解得：x1＝4，x2＝﹣1．（2）x2﹣5x+2＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17，x＝x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．四、解答题（本题共25 分，第19～21 题每小题6 分，第22 题7 分）19．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，1）和点B（1，n）．（1）求反比例函数的解析式及一次函数解析式；（2）设一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴交于点C，连接OA，求△AOC 的面积；（3）结合图象，直接写出不等式的解集．【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式中，确定出反比例函数的解析式，再把点B 的横坐标代入反比例函数解析式中得到点B 的坐标，最后把点A 和点B 的坐标分别代入一次函数解析式中即可确定出一次函数解析式；（2）利用一次函数解析式，令y＝0，得到点C 的坐标，求出OC 的长，再利用点A 纵坐标的绝对值即可求出三角形AOC 的面积；（3）结合图象，根据两函数的交点横坐标，将x 轴分为4 个范围，找出一次函数图象在反比例图象上方时x 的范围即可．【解答】解：（1）将A（﹣2，1）代入反比例解析式得：m＝﹣2，则反比例解析式为y＝﹣，将B（1，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即（1，﹣2），将A 与B 坐标代入y＝kx+b 得：，解得：，则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）对于y＝﹣x﹣1，令y＝0 求出x＝﹣1，即OC＝1，则S△AOC＝×1×1＝；（3）由图象得：﹣x﹣1＞﹣的解集为：x＜﹣2 或0＜x＜1．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，点E，点F 在BD 上，且BE＝DF 连接AE 并延长，交BC 于点G，连接CF 并延长，交AD 于点H．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AC 平分∠HAG，求证：四边形AGCH 是菱形．【分析】（1）先由四边形ABCD 是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，则OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，利用SAS 即可证明△AOE≌△COF；（2）先证明四边形AGCH 是平行四边形，再证明CG＝AG，即可证明四边形AGCH 是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，在△AOE 与△COF 中，，∴△AOE≌△COF（SAS）；（2）由（1）得△AOE≌△COF，∴∠OAE＝∠OCF，∴AE∥CF，∵AH∥CG，∴四边形AGCH 是平行四边形；∵AC 平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵AH∥CG，∴∠HAC＝∠GCA，∴∠GAC＝∠GCA，∴CG＝AG；∴▱AGCH 是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，难度适中，利用SAS 证明△AOE≌△COF 是解题的关键．21．（6 分）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表：五项成绩素质考评得分（单位：分）班级行为规范学习成绩校运动会艺术获奖劳动卫生甲班10 10 6 10 7乙班10 8 8 9 8丙班9 10 9 6 9根据统计表中的信息解答下列问题：（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：五项成绩考评比较分析表（单位：分）班级平均数众数中位数甲班8.6 10 10乙班8.6 8 8丙班 8.6 9 9（2）参照表中的数据，你推荐哪个班为区级先进班集体？并说明理由；甲班（3）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照按3：2：1：1：3 的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制了一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为市级先进班集体？【分析】（1）求出丙班的平均分；求出乙班的众数；求出甲班的中位数，填写表格即可；（2）观察表格，即可求解；（3）根据学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照按3：2：1：1：3 的比确定求出丙班的加权平均数，补全条形统计图，判断平均分高的班级即为市级先进班集体．【解答】解：（1）丙班的平均数为＝8.6（分）；甲班成绩为6，7，10，10，10，中位数为10（分）；乙班的众数为8 分，填表如下：五项成绩考评比较分析表（单位：分）中位数班级平均数众数甲班8.6 10 10乙班8.6 8 8丙班8.6 9 9（2）甲班，理由为：三个班的平均数相同，甲班的众数与中位数都高于乙班与丙班；故答案为：甲班；（3）根据题意得：丙班的平均分为9×+10×+9×+6×+9×＝8.9 （分），补全条形统计图，如图所示：∴依照这个成绩，应推荐丙班为市级先进班集体．【点评】此题考查了条形统计图，表格，中位数，众数，以及加权平均数，弄清题意是解本题的关键．22．（7 分）已知：关于x 的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．【分析】（1）先计算判别式得到△＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）＝（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x1＝，x2＝﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）＝（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x＝，∴x1＝，x2＝﹣1，∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m＝1 或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．五、解答题（本题共11 分，第23 题5 分，第24 题6 分）23．（5 分）阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是△ABC 的中线，点M 为BC 边上任意一点（不与点D 重合），过点M 作一直线，使其等分△ABC 的面积．他的做法是：如图1，连接AM，过点D 作DN∥AM 交AC 于点N，作直线MN，直线MN 即为所求直线．请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AE 平分ABCD 的面积，M 为CD 边上一点，过M 作一直线MN，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线MN，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A 的直线AE，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3 中画出直线AE，并保留作图痕迹）．【分析】（1）连接AM，过E 作EN∥AM，交AD 于N，再做直线MN 即可；（2）取对角线BD 的中点O，连接AO、CO，AC，过点O 作OE∥AC 交CD 于E，直线AE 就是所求直线．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及平行线之间的距离和三角形的面积等知识，关键是正确理解题的意思．24．（6 分）已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF＝DE．（1）如图1，判断AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC 与BD 交于点O．BD，AC 分别与AE，BF 交于点G，点H．①求证：OG＝OH；②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB 的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABF 和△DAE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠ABF，然后求出∠PAB+∠ABF＝90°，再求出∠APB＝90°，然后根据垂直的定义解答即可；（2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得∠AOB＝∠AOG＝90°，OA＝OB，对角线平分一组对角可得∠ABO＝∠DAO＝45°，然后求出∠OAG＝∠OBH，再利用“角边角”证明△OAG 和△OBH 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG＝OH；②过点O 作OM⊥AE 于M，作ON⊥BF 于N，根据全等三角形对应角相等可得∠OGA ＝∠OHB，再利用“角角边”证明△OGM 和△OHN 全等，根据全等三角形对应边相等可得OM＝ON，然后判断出四边形OMPN 是正方形，根据正方形的性质求出PM＝OM ＝1，再求出AM，然后利用勾股定理列式求出OA，再根据正方形的性质求出AB 即可．【解答】（1）解：AE⊥BF．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，在△ABF 和△DAE 中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠DAE＝∠ABF，∵∠DAE+∠PAB＝∠BAD＝90°，∴∠PAB+∠ABF＝90°，∴∠APB＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF；（2）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB＝∠AOG＝90°，OA＝OB，∠ABO＝∠DAO＝45°，∵∠DAE＝∠ABF（已证），∴∠ABO﹣∠ABF＝∠DAO﹣∠DAE，即∠OAG＝∠OBH，在△OAG 和△OBH 中，，∴△OAG≌△OBH（ASA），∴OG＝OH；②解：如图2，过点O 作OM⊥AE 于M，作ON⊥BF 于N，∵△OAG≌△OBH（已证），∴∠OGA＝∠OHB，在△OGM 和△OHN 中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴OM＝ON，∴四边形OMPN 是正方形，∵OP＝，∴PM＝OM＝×＝1，∵AP＝4，∴AM＝AP+PM＝4+1＝5，在Rt△AOM 中，OA＝＝＝，∴正方形ABCD 的边长AB＝OA＝×＝2 ．【点评】本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）②难度较大，作辅助线构造出全等三角形和以OP 为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．一、填空题（本题6 分）25．（6 分）（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y 的值为±2 ．（2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y 的值为 6 或﹣7 ．【分析】（1）利用完全平方公式列出关系式，将已知等式代入计算，开方即可求出x﹣y 的值；（2）已知两等式左右两边相加，利用完全平方公式变形，即可求出x+y 的值．【解答】解：（1）∵x2+y2＝10，xy＝3，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4，则x﹣y＝±2；（2）∵x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，∴x2+xy+x+y2+xy+y＝42，即（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，分解因式得：（x+y﹣6）（x+y+7）＝0，则x+y＝6 或﹣7．故答案为：（1）±2；（2）6 或﹣7【点评】此题考查了因式分级诶的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、解答题（本题共14 分，每小题7 分）26．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OBCD 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点D 在y 轴正半轴上．（1）如图1，反比例函数（x＞0）的图象与正比例函数的图象交于点A．BC 边经过点A，CD 边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE 的面积为6．①直接写出点A 的坐标；。

2012-2013学年北京市海淀区八年级期末数学试卷(带解析)

2012-2013学年北京市海淀区八年级期末数学试卷(带解析)

2012-2013学年北京市海淀区八年级期末数学试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释一、单选题(注释)1、已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）A ．图象经过点（－1，－1）B ．图象在第一、三象限C ．两个分支关于原点成中心对称D ．当x ＜0时，随着的增大而增大 2、如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°3、已知正方形边长为4，分别是上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，设，梯形的面积为，下列结论①②∽③与的函数关系式为： ④当点运动到的中点时，∽其中正确的有 。

①②③①③④②③④②④更多功能介绍/zt/4、如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ； ④S △FGC ＝3． 其中正确结论的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5、如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16 D．6、下列命题中是假命题的是【 】A ．平行四边形的对边相等B ．菱形的四条边相等C ．矩形的对边平行且相等D ．等腰梯形的对边相等7、在反比例函数图像上有两个点A （x 1，－1）和B(x 2，2)，则 （ ）A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．x 1=x 2D ．x 1与x 2大小不能确定8、一辆客车从上海出发开往北京，设客车出发小时后与北京的距离为千米，下列图象能大致反映与之间的函数关系的是下图中的9、平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交点O ，与△OBC 面积相等的三角形（不包括自身）的个数是A ． 1B ．2C ．3D ．410、如图，在矩形ABCD 中，AB=9，BC=12，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．911、平行四边形一边长为10 ,则它的两条对角线可以是( )A．6 ,8 B．8, 12 C．8, 14 D．6, 1412、函数y1 =" x" + 1与y2 =" ax" + b（a≠0）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范围是（）A．B．C．D．13、直线分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数的图象交于点A、B.过点A 作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，连结EF，下列结论：1AD＝BC；2EF∥AB；3四边形AEFC是平行四边形；4.其中正确的个数是（▲）A．1 B．2 C．3 D．414、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD=DC，AC = BC。

2011-2012学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

2011-2012学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

2011-2012学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷2011-2012学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如果是二次根式，那么a应满足的条件是（）2．（3分）反比例函数y=的图象经过点（﹣3，4），则函数的图象在（）3．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=3，则BC的长为（）C D4．（3分）已知点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数y=的图象上，则（）27．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB=45°，则∠BAE的大小为（）8．（3分）“水立方”的游泳池长为50m，宽为25m，深为3m．现以x m3/min的速度向池中注水，注满水池需y min，则y与x函数关系的大致图象为（）． C D ．9．（3分）如图，已知▱ABCD 中，点M 是BC 的中点，且AM=6，BD=12，AD=4，则该平行四边形的面积为（ ）二、填空题（第11～17小题每题3分，第18题4分，本题共25分）10．（3分）化简：= _________ ． 11．（3分）反比例函数，当x ＞0时y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 _________ ．12．（3分）如图，A是反比例函数y=图象上任意一点，AC ⊥x 轴于点C ，△AOC 的面积为3，则k= _________ ．13．（3分）下列各数：①；②+1；③；④1﹣；⑤，其中与﹣1的乘积是有理数的是 _________（填序号）．三、解答题（本题共5小题，共45分）14．（8分）计算：（1）+﹣；（2）2（3+1）÷15．（4分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于点M ，ME ⊥AB 于点E ，MF ⊥BC 于点F ．试判断四边形EBFM 的形状，并加以证明．16．（6分）2010年5月1日，第41届世界博览会在上海举行，开幕初期连续八天的每日入园人数统计如下表：（1）根据以上统计图分析，入园人数的中位数是_________，众数是_________，平均数是_________．（2）根据入园人流量，请你估计，在184天会期中世博会将接待多少名参观者？（3）为了分散热门场馆管人流，减少排队时间，并最大限度满足参观者的需求，组织者为参观者提供热门场馆分时预约服务，如果每天发放的预约卷29万张，你认为能满足参观者的需求吗？如果你上组织者，你认为每天发放多少张预约卷更合适？请说明你的理由．17．（7分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEFG是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC上能否找到另外一点G′，使四边形DE G′F的周长与（2）中矩形DEFG的周长相等，请简述你的理由．18．（8分）如图，已知直线y=x与双曲线y=交于A、B两点，且点A的横坐标为．（1）求k的值；（2）若双曲线y=上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y=上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．2011-2012学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如果是二次根式，那么a应满足的条件是（）2．（3分）反比例函数y=的图象经过点（﹣3，4），则函数的图象在（）3．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=3，则BC的长为（）C DBC=．4．（3分）已知点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数y=的图象上，则（）27．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB=45°，则∠BAE的大小为（）OBA==67.58．（3分）“水立方”的游泳池长为50m，宽为25m，深为3m．现以x m3/min的速度向池中注水，注满水池需y min，．C D．y=9．（3分）如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，且AM=6，BD=12，AD=4，则该平行四边形的面积为（）的中点，即==，，二、填空题（第11～17小题每题3分，第18题4分，本题共25分）10．（3分）化简：=3．=的形式是解答此题的关键．11．（3分）反比例函数，当x＞0时y随x的增大而增大，则m的取值范围是m＜2．先根据反比例函数解：∵反比例函数12．（3分）如图，A是反比例函数y=图象上任意一点，AC⊥x轴于点C，△AOC的面积为3，则k=﹣6．|k||k|=3中13．（3分）下列各数：①；②+1；③；④1﹣；⑤，其中与﹣1的乘积是有理数的是②⑤（填序号）．计算题．﹣1分别于各项相乘可得出乘积是有理数的项．①×﹣﹣﹣③（，不是有理数；）﹣=2⑤﹣﹣三、解答题（本题共5小题，共45分）14．（8分）计算：（1）+﹣；（2）2（3+1）÷+﹣﹣+2）÷=6+15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F．试判断四边形EBFM的形状，并加以证明．16．（6分）2010年5月1日，第41届世界博览会在上海举行，开幕初期连续八天的每日入园人数统计如下表：（1）根据以上统计图分析，入园人数的中位数是30，众数是24、34，平均数是29.5．（2）根据入园人流量，请你估计，在184天会期中世博会将接待多少名参观者？（3）为了分散热门场馆管人流，减少排队时间，并最大限度满足参观者的需求，组织者为参观者提供热门场馆分时预约服务，如果每天发放的预约卷29万张，你认为能满足参观者的需求吗？如果你上组织者，你认为每天发放多少张预约卷更合适？请说明你的理由．17．（7分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEFG是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC上能否找到另外一点G′，使四边形DE G′F的周长与（2）中矩形DEFG的周长相等，请简述你的理由．EAD=∠EAD=∠，=2+2；18．（8分）如图，已知直线y=x与双曲线y=交于A、B两点，且点A的横坐标为．（1）求k的值；（2）若双曲线y=上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y=上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．的横坐标为y=ax，，解得：．上点，∴横坐标为，把点（（x+4x+4点坐标为（×﹣××axy=，解得纵坐标为：||=||）或（﹣）参与本试卷答题和审题的老师有：workholic；zhangCF；王岑；zhehe；nhx600；499807835；lbz；mrlin；WWF；CJX；yeyue；733599；py168；lanchong；thx；ZJX；lf2-9（排名不分先后）菁优网2013年6月10日。

2013-2014学年北京市东城区八下期末数学试卷

2013-2014学年北京市东城区八下期末数学试卷

2013-2014学年北京东城八下期末数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 用配方法解方程 x 2−4x −7=0 时，原方程应变形为 ( )A. x −2 2=11B. x +2 2=11C. x −4 2=23D. x +4 2=232. 下列各曲线中，不表示 y 是 x 的函数的是 ( )A. B.C. D.3. 对于函数 y = 2x −1，当自变量 x =2.5 时，对应的函数值是 ( ) A. 2 B. −2 C. ±2 D. 44. 在社会实践活动中，某小组对甲、乙、丙、丁四个地区三到六月的黄瓜价格进行调查．四个地区四个月黄瓜价格的平均数均为 3.60 元，方差分别为 S 甲2=18.1，S 乙2=17.2，S 丙2=20.1，S 丁2=12.8．三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是 ( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 关于 x 的方程 x 2−3x +c =0 有实数根，则整数 c 的最大值为 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 06. 如图，在矩形 ABCD 中，有以下结论：① △AOB 是等腰三角形；② S △ABO =S △ADO ；③ AC =BD ；④ AC ⊥BD ；⑤当∠ ABD =45∘ 时，矩形 ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是 ( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 一次函数 y = 1−m x +m −5 的图象经过二、三、四象限，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. 1<m <5 B. m >5 C. m <1或m >5 D. m <18. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠C =90∘，且 BD 平分 ∠ABC ，BD =3，BC =2，AD 的长度为 ( )A. 1B. 5C. 13D. 59. 依次连接四边形ABCD的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD的对角线需满足 ( )A. AC=BDB. AC⊥BDC. AC=BD且AC⊥BDD. AC⊥BD且AC与BD互相平分10. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60∘，AB=AD=BO=4 cm，OC=8 cm，点M从点B出发，按B→A→D→C的方向，沿四边形BADC的边以1 cm/s的速度作匀速运动，运动到点C即停止．若运动的时间为t，△MOD的面积为y，则y关于t的函数图象大约是 ( )A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 我市5月份某一周最高气温统计如下表：则这组数据的中位数是，平均数是．中，自变量x的取值范围是．12. 在函数y=x−1x−213. 如图，将△ABC纸片折叠，使点A落在边BC上，记落点为点D，且折痕EF∥BC，若BC=4，则EF的长度为．14. 一次函数y=kx+b的图象如图，当y>1时，x的取值范围是．15. 关于x的方程mx2+2m−1x+m+1=0有实数根，则字母m的取值范围是．x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，16. 直线y=43则点C的坐标是．三、解答题（共10小题；共130分）17. 解方程：x2−4x+1=22x−1．18. 已知a是方程x2+5x=14的根，求2a−11a−1−a+12+3+2a3−2a的值．19. 已知关于x的一元二次方程：mx2−4m+1x+3m+3=0．Ⅰ求证：方程总有两个实根；Ⅱ若m是整数，方程的根也是整数，求m的值．20. 如图，在菱形ABCD中，AD=13，BD=24，AC，BD交于点O．Ⅰ求菱形ABCD的面积；Ⅱ求点O到边CD的距离．21. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2，∠A=60∘，BC=25，CD=4．Ⅰ求∠ADC的度数；Ⅱ求四边形ABCD的面积．22. 列一元二次方程解应用题在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300平方米．求道路的宽度．23. 一次函数y=kx+b k≠0的图象由直线y=3x向下平移得到，且过点A1,2．Ⅰ求一次函数的解析式；Ⅱ求直线y=kx+b与x轴的交点B的坐标；Ⅲ设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是12，这条直线与y 轴交于点C，求直线AC对应的一次函数的解析式．24. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，DC上，作直线MN，分别交DA和BC的延长线于点E，F，且AE=CF．Ⅰ求证：△AEM≌△CFN；Ⅱ求证：四边形BNDM是平行四边形．25. 设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，则有x1+x2=−ba ,x1x2=ca．根据以上材料，解答下列问题：已知关于x的方程x2−2k−1x+k2=0有两个实数根x1，x2．Ⅰ求实数k的取值范围；Ⅱ若x1+x2=x1x2−1，求k的值．26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=OB=5．点C是第一象限内一动点，直线AC交y轴于点F．射线BD与直线AC垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．OE⊥OC，交射线BD于点E．Ⅰ求证：不论点C怎样变化，点O总是在线段CE的垂直平分线上；Ⅱ若点C的坐标为2,4，求直线BD的解析式．答案第一部分1. A2. C3. A4. D5. B6. C7. A8. B9. C 10. C【解析】∵AD∥BO，AD=BO，∴四边形ABOD是平行四边形．点M在AB边上时，△MOD的面积为定值；点M在AD上时，△MOD的面积逐渐减小；点M与点D重合时，面积减为0；点M在CD上时，面积逐渐增大，直到运动到点C，面积最大为83．第二部分11. 26，2512. x≥1且x≠2．13. 2．14. x>32【解析】由图象可知b=−2，∴设y=kx−2．直线过1,0点，∴k=2．直线解析式为y=2x−2，．当y=1时，x=32∴y>1时，x>3．2．15. m≤18,016. 2,0，−8,0，3,0，76【解析】AC1=AB，AB=AC2，AB=AC3，AC4=BC4．第三部分17. 化简，得x2−8x+3=0配方，得x−42=13解得x1=4+13,x2=4−13.18. 原式=2a2−13a+11−a2−2a−1+9−4a2=−3a2−15a+19∵a是方程x2+5x=14的根，∴a2+5a=14．∴原式=−23．19. （1）∵Δ=4m+12−4m3m+3=2m−12≥0，∴方程总有两个实根．（2）x=4m+1±2m−122m =4m+1±2m−12m，∴x1=3,x2=1m+1，∵m,1m均为整数，∴m=±1．20. （1）∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，且AC，BD互相平分，∴OD=12．在Rt△AOD中，AD=13，OD=12，根据勾股定理，∴AO= AD2−OD2=5，∴S菱形ABCD =4×12×12×5=120．（2）作OE⊥CD于点E，则OE长就是点O到CD的距离，∵在Rt△DOC中，S△DOC=12×DO×OC=12×CD×OE，∴OE=OD⋅OCCD =12×513=6013．21. （1）连接BD，∵AB=AD=2，∠A=60º,∴△ABD是等边三角形，∴BD=2，∠ADB=60º，在△BDC中，BD=2，DC=4，BC=25，∴BD2+DC2=BC2，∴△BDC是直角三角形，∴∠BDC=90º，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=150º．（2）S四边形ABCD =S△ABD+S△BDC=34×4+12×2×4=3+4．22. 设道路的宽度为x米，0<x<17，根据题意，22×17−17x+22x+x2=300,整理得，x2−39x+74=0,解得，x1=37,x2=2,∵0<x<17，∴x=2．答：道路的宽度为2米．23. （1）根据题意得，k=3,k+b=2.解得k=3, b=−1.∴y=3x−1．（2）B13,0；（3）设直线AC的解析式为y=mx+n,（其中m≠0），则点C的坐标为0,n，根据题意，S△BOC=12×13n =12，∴ n =3，∴n=±3．当n=3时，n=3,m+n=2,解得，n=3, m=−1∴y=−x+3．当n=−3时，n=−3,m+n=2,解得，n=3, m=5,∴y=5x−3．∴直线AC的解析式为y=−x+3或y=5x−3．24. （1）∵平行四边形ABCD，∴DE∥BF，AB∥DC，∴∠E=∠F，∠EAB=∠ABF=∠FCD，∴∠EAB=∠FCD．在△AEM和△CFN中，∠E=∠F,AE=CF,∠EAM=∠FCN,∴△AEM≌△CFN ASA．（2）由（1）知，△AEM≌△CFN，∴AM=CN，又∵平行四边形ABCD，∴AB=DC，∴MB=ND，∴MB∥ND，∴四边形BNDM是平行四边形．25. （1）依题意，Δ≥0即−2k−12−4k2≥0，；解得k≤12（2）根据阅读材料，x1+x2=2k−1,x1x2=k2由（1）知，k≤1，2因此x1+x2=2k−1<0，∴x1+x2=−x1+x2=x1x2−1，∴−2k−1=k2−1，解得，k=1或k=−3．，又∵k≤12∴k=−3．26. （1）∵BD⊥AC,∴∠BDF=90º，∴∠OBM+∠OFA=90º，∵∠AOF=90º，∴∠OAF+∠OFA=90º，∴∠OAF=∠OBM，在△OAF和△OBM中，∠OAF=∠OBM,OA=OB,∠FOA=∠MOB=90∘∴△OAF≌△OBM，∴OF=OM，∠OFA=∠OMB，∵OC⊥OE，∴∠EOC=90∘，∴∠AOF−∠AOC=∠EOC−∠AOC，∴∠FOC=∠MOE，在△OFC和△OME中，∠OFC=∠OME,OF=OM,∠FOC=∠MOE,∴△OFC≌△OME，∴OC=OE，∴不论点C怎样变化，点O总是在线段CE的垂直平分线上．（2）根据待定系数法，求得直线AC的方程为y=−43x+203，令x=0，可求得y=203，∴OM=OF=203，∴点M的坐标为203,0，利用点M和点B的坐标，根据待定系数法，可求得直线BD的方程为y=34x−5．。

海淀区2012～2013学年度八年级第二学期数学期末检测及答案

海淀区2012～2013学年度八年级第二学期数学期末检测及答案

ＡＤＥＣ Ｂ2012-2013学年度第二学期八年级数学学科期末考试试卷13年7月9日 班级 姓名 得分一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x 2. 矩形具有平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对边平行D. 对角线相等 3. 下列方程中，无实数根的是（ ）A ．012=+x B. 02=+x x C. 012=-+x x D. 02=-x x 4. 在平行四边形ABCD 中，∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E +∠F =（ ）A ．110°B ． 30°C ． 50°D ． 70° 5. 用直接开平方法解方程8)3(2=-x ，求得方程的根为（ ） A ．323+=x B. 223-=xC ．2231+=x ，2232-=x D. 3231+=x ，3232-=x6. 关于x 的一元二次方程22(1)210mx xm -++-=的一根是0，m 的值是（ ） A ．0 B. 1 C ．-1 D. 1或-17. 如图，BE 是半径为6的D 的14圆周，C 是BE 上的任意一点，ABD △是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A ．1218P <≤ B. 1824p <≤C ．181862p <+≤ D. 121262p <+≤ 8. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设AFC △的面积为S ，则（ ）A ．2S =B ． 2.4S =C ．4S =D ．S 与BE 长度有关G C DBFA E二、填空题：（每题3分，共12分） 9. 一元二次方程232x x =的根是．10. 如图，点A 、B 、C 在O 上，80AOB ∠=，则ACB ∠等于 ． 11.已知m 是方程012=--x x 的一个实数根，则代数式)11)((2+--mm m m 的值为 ．12. 如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为 度．三、解答题：（13、17、18每题5分，14、15、16、19每题4分，共31分） 13.计算：81421)12(80+---- 14.计算：(2332)(2332)+-15. 用配方法解方程：2450x x +-= 16.解方程：2269(52).x x x -+=-A O图①AO A OAO图②第12题图CB AO第10题图E O DCBA17. 已知：在O 中，直径AB ⊥CD 于E ，若AB =20，CD =16，求OE 的长.18. 已知：如图，在等边三角形ABC 中， D 、E 是AB 、 AC 上的点，且AD = CE ，若CD 与BE 交于P 点. 求证：CD =BE .19. 如右图，方格纸中的每个都是边长为1的正方形，将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到△OA′B′. （1）在给定的方格纸中画出△OA′B′；（2）OA 的长为_________，AA′的长为_________.四、解答题：（20、21每题5分，23题4分，22、24每题6分，25题 7分，共33分）20. 用40cm 长的铁丝，围成一个面积为96cm 2的矩形,求这个矩形的长和宽.用同样长的铁丝，是否能够围成面积是120 cm 2的矩形？请说明理由.O ABpA BCDEF EDCBA21.若关于x 的一元二次方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有两个实根，求m 的取值范围.22. 如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，60B EAF ∠∠︒＝＝，18BAE ∠︒＝.求∠CEF 的度数.23. 阅读下列材料：当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分时，则这个矩形的面积为1242或cm 2cm .当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和4cm 两部分时，则这个矩形的面积为52cm 或202cm .根据以上情况，完成下面填空.(1)当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和5cm 两部分时，则这个矩形的面积为 2cm 或 2cm .(2) 当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和ncm 两部分时，则这个矩形的面积为 2cm 或 2cm .(n 为正整数)24. 已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，求 a 的值.25. 已知：在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点D 为射线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）.以AD 为边向上作正方形ADEF ，连接CF . (1)如图1，当点D 在线段BC 上时，请直接 写出CF 、BC 、BD 三条线段之间的关系为 ； (2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时， 其它条件不变， 求证：BD ⊥CF .(3)如图3，当D 在CB 延长线上时，如图3所示，连结CE ，取CE 中点M ，连结BM ，FM . 求证：BM =FM .EFCABD图1EC ABDF图2MEFC ABD图3。

2013-2014学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

2013-2014学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

2013-2014 学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3 分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0 时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝11 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣4）2＝23 D．（x+4）2＝23 2．（3 分）如图各曲线中，不表示y 是x 的函数的是（）A． B．C． D．3．（3 分）对于函数，当自变量x＝2.5 时，对应的函数值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．44．（3分）在社会实践活动中，某小组对甲、乙、丙、丁四个地区三到六月的黄瓜价格进行调查．四个地区四个月黄瓜价格的平均数均为 3.60 元，方差分别为，，，．三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（3分）关于x 的方程x2﹣3x+c＝0 有实数根，则整数c 的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（3分）如图，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限，则实数m 的取值范围是（）A．1＜m＜5 B．m＞5 C．m＜1 或m＞5 D．m＜18．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，且BD 平分∠ABC，BD＝3，BC ＝2，AD 的长度为（）A．1 B． C． D．59．（3分）依次连接四边形ABCD 的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD 的对角线需满足（）A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AC＝BD 且AC⊥BDD．AC⊥BD 且AC 与BD 互相平分10．（3分）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝AD＝BO＝4cm，OC＝8cm，点M 从B 点出发，按从B→A→D→C 的方向，沿四边形BADC 的边以1cm/s 的速度作匀速运动，运动到点C 即停止．若运动的时间为t，△MOD 的面积为y，则y 关于t 的函数图象大约是（）A． B．C．D．二、填空题（本题共14 分，每空2 分）11．（4 分）我市5 月份某一周最高气温统计如表：温度/℃22 24 26 29天数 2 1 3 1则这组数据的中位数是，平均数是．12．（2 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是．13．（2 分）如图，将△ABC 纸片折叠，使点A 落在边BC 上，记落点为点D，且折痕EF∥BC，若BC＝4，则EF 的长度为．14．（2 分）一次函数y＝kx+b 的图象如图，当y＞1 时，x 的取值范围是．15．（2 分）关于x 的方程mx2+（2m﹣1）x+m+1＝0 有实数根，则字母m 的取值范围是．16．（2 分）直线与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B，在x 轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标是．三、解答题（本题共30 分，其中第17 题4 分，第19 题6 分，其余均5 分）17．（4 分）解方程：x2﹣4x+1＝2（2x﹣1）．18．（5 分）已知a 是方程x2+5x＝14 的根，求（2a﹣11）（a﹣1）﹣（a+1）2+（3+2a）（3 ﹣2a）的值．19．（6 分）已知关于x 的一元二次方程：mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝0．（1）求证：方程总有两个实根；（2）若m 是整数，方程的根也是整数，求m 的值．20．（5 分）如图，在菱形ABCD 中，AD＝13，BD＝24，AC，BD 交于点O．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求点O 到边CD 的距离．21．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝2，CD＝4．（1）求∠ADC 的度数．（2）求四边形ABCD 的面积．22．（5 分）（列一元二次方程解应用题）在一块长22 米、宽17 米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300 平方米．求道路的宽度．四、解答题（本题共20 分，其中第26 题8 分，其余均6 分）23．（6 分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x 向下平移得到，且过点A（1，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）求直线y＝kx+b 与x 轴的交点B 的坐标；（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y 轴交于点C，求直线AC 对应的一次函数的解析式．24．（6 分）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，点M，N 分别在边AB，DC 上，作直线MN，分别交DA 和BC 的延长线于点E，F，且AE＝CF．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BNDM 是平行四边形．25．（6 分）设一元二次方程ax2+bx+c＝0 的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，则有．根据以上材料，解答下列问题．已知关于x 的方程x2﹣2（k ﹣1）x+k2＝0 有两个实数根x1，x2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k 的值．26．（8 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，且OA＝OB＝5．点C 是第一象限内一动点，直线AC 交y 轴于点F．射线BD 与直线AC 垂直，垂足为点D，且交x 轴于点M．OE⊥OC，交射线BD 于点E．（1）求证：不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上；（2）若点C 的坐标为（2，4），求直线BD 的解析式．2013-2014 学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3 分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0 时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝11 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣4）2＝23 D．（x+4）2＝23 【分析】方程常数项移到右边，两边加上4 变形得到结果即可．【解答】解：方程x2﹣4x﹣7＝0，变形得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝11，即（x﹣2）2＝11，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（3 分）如图各曲线中，不表示y 是x 的函数的是（）A． B．C． D．【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．【解答】解：A、x 取一个值，y 有唯一值对应，正确；B、x 取一个值，y 有唯一值对应，正确；C、很明显，给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数，错误；D、x 取一个值，y 有唯一值对应，正确．故选：C．【点评】此题主要考查了函数的定义，题目比较典型，是中考中热点问题．3．（3 分）对于函数，当自变量x＝2.5 时，对应的函数值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．4【分析】把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可得解．【解答】解：x＝2.5 时，y＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查了函数值的求解，算术平方根的定义，准确计算是解题的关键．4．（3分）在社会实践活动中，某小组对甲、乙、丙、丁四个地区三到六月的黄瓜价格进行调查．四个地区四个月黄瓜价格的平均数均为 3.60 元，方差分别为，，，．三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵＝18.1，S2 乙＝17.2，＝20.1，＝12.8，∴＞＞S2 乙＞，∴三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是丁．故选：D．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3 分）关于x 的方程x2﹣3x+c＝0 有实数根，则整数c 的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于c 的不等式，求出c 的取值范围，进而得到整数c 的最大值．【解答】解：∵关于x 的方程x2﹣3x+c＝0 有实数根，∴△＝9﹣4c＞0，解得c＜2，故整数c 的最大值为2，故选：B．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据矩形的性质、正方形的判定方法逐项分析即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO＝BO＝DO＝CO，AC＝BD，故①③正确；∵BO＝DO，∴S△ABO＝S△ADO，故②正确；当∠ABD＝45°时，则∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD 变成正方形，故⑤正确，而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，∴正确结论的个数是4个．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及正方形的判定，解题的根据是熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质．7．（3分）一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限，则实数m 的取值范围是（）A．1＜m＜5 B．m＞5 C．m＜1 或m＞5 D．m＜1【分析】先根据一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限列出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣5 的图象经过二、三、四象限，∴，解得1＜m＜5．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0 时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键．8．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，且BD 平分∠ABC，BD＝3，BC ＝2，AD 的长度为（）A．1 B． C． D．5【分析】利用勾股定理列式求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD＝CD．【解答】解：∵BD＝3，BC＝2，∠C＝90°，∴CD＝＝＝，∵∠A＝∠C＝90°，且BD 平分∠ABC，∴AD＝CD＝．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．9．（3分）依次连接四边形ABCD 的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD 的对角线需满足（）A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AC＝BD 且AC⊥BDD．AC⊥BD 且AC 与BD 互相平分【分析】由于四边形EFGI 是正方形，那么∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，而G、F是AD、CD 中点，易知GF 是△ACD 的中位线，于是GF∥AC，GF＝AC，同理可得IG∥BD，IG＝BD，易求AC＝BD，又由于GF∥AC，∠IGF＝90°，利用平行线性质可得∠IHO＝90°，而IG∥BD，易证∠BOC＝90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD 的对角线互相垂直且相等．【解答】解：如右图所示，四边形ABCD 的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI 是正方形，∵四边形EFGI 是正方形，∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，又∵G、F 是AD、CD 中点，∴GF 是△ACD 的中位线，∴GF∥AC，GF＝AC，同理有IG∥BD，IG＝BD，∴AC＝BD，即AC＝BD，∵GF∥AC，∠IGF＝90°，∴∠IHO＝90°，又∵IG∥BD，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，故四边形ABCD 的对角线互相垂直且相等．故选：C．【点评】本题考查了正方形的概念性质和判定，考查了中点四边形，各图形性质及之间的相互联系，对角线之间的关系．10．（3 分）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝AD＝BO＝4cm，OC＝8cm，点M 从B 点出发，按从B→A→D→C 的方向，沿四边形BADC 的边以1cm/s 的速度作匀速运动，运动到点C 即停止．若运动的时间为t，△MOD 的面积为y，则y 关于t 的函数图象大约是（）A． B．C． D．【分析】根据平行四边形的判定与性质，可得OD＝AB＝4cm，根据∠DOC＝∠B＝60°，OC＝2OD，可得△OCD 的形状，根据勾股定理，可得DC 长，根据三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：M 在BA 上运动时，面积不变是4；M 在AD 上运动时，面积变小；M 在DC 上运动时，面积变大，在C 点时，面积最大，最大面积是8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论是解题关键．二、填空题（本题共14 分，每空2 分）11．（4 分）我市5 月份某一周最高气温统计如表：温度/℃22 24 26 29天数 2 1 3 1则这组数据的中位数是26℃ ，平均数是25℃．【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大进行排列，找出最中间的数即可；再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可求出平均数．【解答】解：把这些数从小到大排列，22℃，22℃，24℃，26℃，26℃，26℃，29℃，最中间的数是26℃，则中位数是26℃；平均数是（22×2+24+26×3+29）÷7＝25℃；故答案为：26℃，25℃．【点评】此题考查了平均数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．12．（2 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是x≥1 且x≠2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知x﹣1≥0；分母不等于0，可知：x﹣2≠0，则可以求出自变量x 的取值范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥1 且x≠2．故答案为：x≥1 且x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．13．（2 分）如图，将△ABC 纸片折叠，使点A 落在边BC 上，记落点为点D，且折痕EF∥BC，若BC＝4，则EF 的长度为 2 ．【分析】连接AD 交EF 于点G，由轴对称的性质可知，EF 垂直平分AD，得出EF 为△ABC 的中位线，得出答案即可．【解答】解：如图，连接 AD 交 EF 于点 G ，由轴对称的性质可得EF 垂直平分 AD ，且 G 为 AD 中点，∵EF ∥BC ，∴E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，∴EF ＝ BC ＝2． 故答案为：2．【点评】此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用．14．（2 分）一次函数 y ＝kx +b 的图象如图，当 y ＞1 时，x的取值范围是 x＞ ．【分析】首先利用待定系数法把（1，0），（0，﹣2）代入 y ＝kx +b 中，求出 k 、b 的值， 求出一次函数解析式，再根据 y ＞1 列出不等式，再解即可．【解答】解：∵一次函数 y ＝kx +b 的图象经过（1，0），（0，﹣2），∴一次函数解析式为：y ＝2x ﹣2，当 y ＞1 时，2x ﹣2＞1，解得：x ＞ ． 故答案为：x ＞ ．∴， 解得 ，【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数，以及解一元一次不等式，关键是正确求出一次函数解析式．15．（2 分）关于x 的方程mx2+（2m﹣1）x+m+1＝0 有实数根，则字母m 的取值范围是m ≤．【分析】m＝0 时是一元一次方程，一定有实根；m≠0 时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m 的不等式，求得m 的取值范围．【解答】解：当m≠0 时，方程为一元二次方程，∵a＝m，b＝2m﹣1，c＝m+1 且方程有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m（m+1）≥0，∴m≤；当m＝0 时，方程为一元一次方程﹣x+1＝0，一定有实数根，所以m 的取值范围是m≤．故答案为m≤．【点评】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 的关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0 时，方程无实数根．进行分类讨论是解题的关键．16．（2 分）直线与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B，在x 轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标是（，0）或（2，0）或（3，0）或（﹣8，0）．【分析】根据等腰三角形的性质，可设C 点坐标为（x，0）．分三种情况进行讨论：分别以点A、B、C 为顶点的等腰三角形．【解答】解：∵直线方程为，∴易求A（﹣3，0），B（0，4）．设C 点坐标为（x，0）．①当以AB 为底时，可得AC＝BC，即3+x＝，解得x＝，则C（，0）；②当以BC 为底时，可得AC＝AB，即3+x＝5，或﹣3﹣x＝5解得x＝2 或x＝﹣8则C（2，0）或（﹣8，0）；③当以AC 为底时，可得AB＝BC，即得＝5，解得x＝±3，则C（3，0）．综上所述，满足条件的点C 的坐标是（，0）或（2，0）或（3，0）或（﹣8，0）．故答案是：（，0）或（2，0）或（3，0）或（﹣8，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定．解题时，在没有确定等腰三角形的底边时，一定要分类讨论．三、解答题（本题共30 分，其中第17 题4 分，第19 题6 分，其余均5 分）17．（4 分）解方程：x2﹣4x+1＝2（2x﹣1）．【分析】方程整理后，利用配方法计算即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣8x＝﹣3，配方得：x2﹣8x+16＝13，即（x﹣4）2＝13，开方得：x﹣4＝±，解得：x1＝4+ ，x2＝4﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（5 分）已知a 是方程x2+5x＝14 的根，求（2a﹣11）（a﹣1）﹣（a+1）2+（3+2a）（3 ﹣2a）的值．【分析】求出a2+5a＝1，先算乘法，再合并同类项，变形后代入求出即可．【解答】解：∵a 是方程x2+5x＝14 的根，∴a2+5a＝14，∴（2a﹣11）（a﹣1）﹣（a+1）2+（3+2a）（3﹣2a）＝2a2﹣2a﹣11a+11﹣a2﹣2a﹣1+9﹣4a2＝﹣3a2﹣15a+19＝﹣3（a2+5a）+19＝﹣3×14+19＝﹣23．【点评】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解的定义的应用，用了整体代入思想，题目比较好，难度适中．19．（6 分）已知关于x 的一元二次方程：mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝0．（1）求证：方程总有两个实根；（2）若m 是整数，方程的根也是整数，求m 的值．【分析】（1）根据题意m≠0，则计算判别式有△＝（2m﹣1）2≥0，然后根据判别式的意义即可得到结果；（2）利用求根公式得到x1＝3，x2＝1+，而方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，然后根据整数的整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝0 是关于x 的一元二次方程，∴m≠0，∵△＝（4m+1）2﹣4m×（3m+3）＝（2m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；|（2）解：方程的两个实数根为x＝，∴x1＝3，x2＝1+ ，∵m 是整数，方程的根也是整数，∴m＝±1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．20．（5 分）如图，在菱形ABCD 中，AD＝13，BD＝24，AC，BD 交于点O．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求点O 到边CD 的距离．【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分得出DO 的长，再利用勾股定理得出AO 的长，即可得出AC 的长，再利用菱形面积求法得出；（2）过点O 作OE⊥CD 于点E，利用（1）中所求得出OE 的长即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，BO＝DO，∵AD＝13，BD＝24，∴DO＝12，则AO＝＝5，故AC＝10，菱形ABCD 的面积为：×10×24＝120；（2）过点O 作OE⊥CD 于点E，∵菱形ABCD 的面积为：120，∴S△COD＝×120＝30，∵在菱形ABCD 中，AD＝13，∴CD＝13，∴×EO×CD＝30，解得：EO＝．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，得出DO 的长是解题关键．21．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝2，CD＝4．（1）求∠ADC 的度数．（2）求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）连接BD，根据AB＝AD＝2，∠A＝60°，得出△ABD 是等边三角形，求得BD＝2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC 是直角三角形，从而求得∠ADC＝150°；（2）根据四边形的面积等于三角形ABD 和三角形BCD 的和即可求得；【解答】解：（1）连接BD，∵AB＝AD＝2，∠A＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD＝2，∠ADB＝60°，∵，CD＝4，则BD2+CD2＝22+42＝20，BC2＝（2）2＝20，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝150°；（2）S＝S△ABD+S△BDC＝AD•AD+ BD•DC＝×2××2+ ×2×4＝4+ ．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，把不规则的图形转化成规则的三角形求得面积等．22．（5 分）（列一元二次方程解应用题）在一块长22 米、宽17 米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300 平方米．求道路的宽度．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【解答】解：设道路的宽应为x 米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）＝300，解得：x1＝37（舍去），x2＝2．答：修建的路宽为2 米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．四、解答题（本题共20 分，其中第26 题8 分，其余均6 分）23．（6 分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x 向下平移得到，且过点A（1，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）求直线y＝kx+b 与x 轴的交点B 的坐标；（3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y 轴交于点C，求直线AC 对应的一次函数的解析式．【分析】（1）先根据直线平移时k 的值不变得出k＝3，再将点A（1，2）代入y＝3x+b，求出b 的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将y＝0 代入（1）中所求的函数解析式即可求解；（3）先根据过点B 的直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是求出这条直线与y 轴交点C 的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AC 的解析式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x 向下平移得到，∴k＝3，将点A（1，2）代入y＝3x+b，得3+b＝2，解得b＝﹣1，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣1；（2）将y＝0 代入y＝3x﹣1，得3x﹣1＝0，解得x＝，∴点B 的坐标为（，0）；（3）∵S△OBC＝OB•OC＝，∴×OC＝，∴OC＝3，∴点C 的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．设直线AC 的解析式为y＝mx+n．如果点C 的坐标为（0，3），那么，解得，直线AC 的解析式为y＝﹣x+3；如果点C 的坐标为（0，﹣3），那么，解得，直线AC 的解析式为y＝5x ﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，都是基础知识，需熟练掌握．24．（6 分）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，点M，N 分别在边AB，DC 上，作直线MN，分别交DA 和BC 的延长线于点E，F，且AE＝CF．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BNDM 是平行四边形．【分析】（1）利用“平行四边形的对边相互平行”和平行线的性质易推知∠1＝∠3，∠E ＝∠F，然后结合已知条件，由AAS 证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等推知AM＝CN，则结合平行四边形的性质可以得到BM＝DN，则“有一组对边相互平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：（1）如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC 即ED∥BF，AB∥DC，∴∠E＝∠F，∠2＝∠3．又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．在△AEM 与△CFN 中，，∴△AEM≌△CFN（AAS）；（2）由（1）知：△AEM≌△CFN，则AM＝CN．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB﹣AM＝CD﹣CN 即MB＝ND，MB∥ND，∴四边形BNDM 是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．25．（6 分）设一元二次方程ax2+bx+c＝0 的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，则有．根据以上材料，解答下列问题．已知关于x 的方程x2﹣2（k ﹣1）x+k2＝0 有两个实数根x1，x2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k 的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2≥0，由k≤得到x1+x2＝2（k﹣1）＜0，把已知条件去绝对值后利用整体代入得到﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，然后解关于k 的一元二次方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）根据题意得x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2≥0，∵k≤，∴x1+x2＝2（k﹣1）＜0，∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝1，k2＝﹣3，∵k≤，∴k 的值为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．26．（8 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，且OA＝OB＝5．点C 是第一象限内一动点，直线AC 交y 轴于点F．射线BD 与直线AC 垂直，垂足为点D，且交x 轴于点M．OE⊥OC，交射线BD 于点E．（1）求证：不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上；（2）若点C 的坐标为（2，4），求直线BD 的解析式．【分析】（1）若要证明不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上，则问题可转化为证明OC＝OE，所以此题可通过证明两次三角形全等即可；（2）设直线AC 的解析式为：y＝ax+b，把A，C 坐标代入可求出a 和b 的值，进而可求出OF 的长，因为OF＝OM，所以M 的坐标又可求出，再设直线BD 的解析式为y＝kx+b，把M 和B 点的坐标代入求出k 和b 的值即可求出直线BD 的解析式．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠BDF＝90°，∴∠OBM+∠OFA＝90°，∵∠AOF＝90°，∴∠OAF+∠OFA＝90°，∴∠OAF＝∠OBM，在△OAF 和△OBM 中，，∴△OAF≌△OBM，∴OF＝OM，∠OFA＝∠OMB，∵OC⊥OE，∴∠EOC＝90°，∴∠AOF∠AOC＝∠EOC﹣∠AOC，∴∠FOC＝∠MOE，在△OFC 和△OME 中，，∴△OFC≌△OME，∴OC＝OE，∴不论点C 怎样变化，点O 总是在线段CE 的垂直平分线上；（2）解：设直线AC 的解析式为：y＝ax+b，把A，C 坐标代入可求出a＝﹣，b＝∴直线AC 的解析式为y＝﹣x+ ，令x＝0，可求得y＝，∴OM＝OF＝，∴点M 的坐标为（，0）设直线BD 的解析式为y＝kx+b，把M（，0）和B（0，﹣5）的坐标代入得：解得：，∴直线BD 的解析式为y＝x﹣5．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题，题目的综合性较强，难度中等．。

2012-2013学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

2012-2013学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

2012-2013 学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3 分）如果是二次根式，那么x 应满足的条件是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x＝1 D．x≥12．（3 分）本市某周气温的度数分别为30，29，30，31，30，32，29，则这组数据的众数为（）A．30 B．29 C．30 和29 D．313．（3 分）已知反比例函数y＝的图象过点（2，1），则下列各点中也在反比例函数图象上的是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（2，）D．（4，）4．（3 分）若关于x 的方程3x2+mx+2m﹣6＝0 的一个根是0，则m 的值为（）A．6 B．3 C．2 D．15．（3分）下列运算正确的是（）A．×＝B．+ ＝C．÷＝ D．＝6．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD 的面积为（）A．24 B．32 C．36 D．407．（3 分）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于O，EF 过点O 与BC，AD 分别相交于点E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFDC 的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．108．（3 分）若关于x 的方程x2﹣ax﹣a＝0 有两个相等的实根，则a 的值是（）A．0 B．﹣4 C．4 D．0 或﹣49．（3分）已知Rt△ABC 中两条边长分别是3，4，则第三条边长是（）A．2 B．5 C． D．5 或10．（3 分）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y 与x 的图象大致为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．请把答案填在题中横线上．11．（3 分）甲乙两组投掷比赛，平均环数均相同，甲组的方差是2.4，乙组的方差是3.5，则成绩较稳定的是组．12．（3 分）计算：（﹣2）2012（+2）2013＝．13．（3 分）已知双曲线y＝经过点（﹣1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0，那么b1b2（选填“＞”、“＝”、“＜”）．14．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB 的中线长为．15．（3 分）若关于x 的方程（k﹣1）+2x﹣3＝0 为一元二次方程，则k＝．16．（3 分）如图，已知直线y＝kx+b 图象与反比例函数y＝图象交于A（1，m），B（﹣4，n），则不等式kx+b＞的解集为．17．（3 分）下列命题：①矩形的对角线相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④对角线平分每组对角的四边形是菱形．其中正确命题的序号为．18．（3 分）如图，▱ABCD 中，AC，BD 交于点O1，作▱BCD1O1，连接BD1 交AC 于点O2，作▱BCD2O2，连接BD2 交AC 于点O3，…，以此类推，若AD＝1，AB＝2，∠BAD＝120°，则▱BCD2O2 的面积是，▱BCD n O n 面积是．三、计算题：本大题共2 小题，计算应有演算步骤．19．（8 分）（1）﹣×（+）；（2）﹣﹣ a ．20．（5 分）已知，求的值．四、解答题：本大题共5 小题，共33 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8 分）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x＝3；4（2）x（x﹣2）+3＝0．22．（6 分）如图，在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边CD 于点E，∠ABC 的平分线BF 交边CD 于点F，交AE 于点G．（1）求证：DF＝EC；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．23．（5 分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200 名学生参加活动的情况，随机调查了50 名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．（Ⅰ）求这50 个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200 名学生共参加了多少次活动？24．（6 分）分别以△ABC 的边AC、BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，连接D1D2．（1）如图1，过点C 作MH⊥AB 于点H，交D1D2 于点G．若CM＝AB，连接MD1，MD2，试证明四边形D1CD2M 是平行四边形．（2）如图2，CF 为AB 边中线，试探究CF 与线段D1D2 的数量关系，并加以证明．25．（8 分）如图1 在直角坐标系xOy 中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C（1，0）（1）若△AOC 的面积是2，则m 的值为；若OB＝OA，则点B 的坐标是．（2）在（1）的条件，AB 所在直线分别交x 轴、y 轴于点M、N，点P 在x 轴上，PE⊥ AB 于点E，EF⊥y 轴于点F．①若点P 是线段OM 上不与O，M 重合的任意一点，PM＝a，当a 为何值时，PM＝PF？②若点P 是射线OM 上的一点．设P 点的横坐标为x，由P、M、E、F 四个点组成的四边形的面积为y，试写出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围．2012-2013 学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3 分）如果是二次根式，那么x 应满足的条件是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x＝1 D．x≥1【分析】根据被开方数大于等于0 列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．（3 分）本市某周气温的度数分别为30，29，30，31，30，32，29，则这组数据的众数为（）A．30 B．29 C．30 和29 D．31【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可．【解答】解：30 出现了3 次，出现的次数最多，则这组数据的众数为30；故选：A．【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．3．（3 分）已知反比例函数y＝的图象过点（2，1），则下列各点中也在反比例函数图象上的是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（2，）D．（4，）【分析】先根据反比例函数y＝的图象过点（2，1）求出k 的值，再根据k＝xy 的特点进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过点（2，1），∴1＝，即k＝2，A、∵2×（﹣1）＝﹣2≠2，故此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵1×（﹣2）＝﹣2≠2，故此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、∵2×＝1≠2，故此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵4×＝2，故此点在反比例函数的图象上，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4．（3 分）若关于x 的方程3x2+mx+2m﹣6＝0 的一个根是0，则m 的值为（）A．6 B．3 C．2 D．1【分析】把x＝0 代入已知方程，可以得到关于m 的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m 的值．【解答】解：把x＝0 代入方程：3x2+mx+2m﹣6＝0，得2m﹣6＝0，解得m＝3．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．5．（3 分）下列运算正确的是（）A．×＝B．+ ＝C．÷＝ D．＝【分析】根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据二次根式的加减法对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C、D 进行判断．【解答】解：A、原式＝＝，所以A 选项正确；B、与不能合并，所以B 选项错误；C、原式＝＝，所以C 选项错误；D、原式＝，所以D 选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．6．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD 的面积为（）A．24 B．32 C．36 D．40【分析】连接AC，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积＝直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：连接AC，如图所示：∵∠B＝90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AC＝＝5，又∵CD＝12，AD＝13，∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD＝90°，则S 四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+ AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．7．（3 分）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于O，EF 过点O 与BC，AD 分别相交于点E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFDC 的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．10【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD＝AB＝4，AD＝BC＝5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△COE≌△AOF．根据全等三角形的性质，得：OF＝OE＝1.5，CE＝AF，故四边形EFDC 的周长为CD+EF+AD＝12．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，∠AEO＝∠CFO，在△COE 和△AOF 中，，∴△COE≌△AOF（AAS）．∴OF＝OE＝1.5，CE＝AF．故四边形EFCD 的周长为CD+EF+AD＝12．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．8．（3 分）若关于x 的方程x2﹣ax﹣a＝0 有两个相等的实根，则a 的值是（）A．0 B．﹣4 C．4 D．0 或﹣4【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△＝0，建立关于 a 的方程，求出a 的取值．【解答】解：∵关于x 的方程x2﹣ax﹣a＝0 有两个相等的实数根，∴△＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣a）＝0，解得a＝0 或﹣4．故选：D．【点评】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．（3 分）已知Rt△ABC 中两条边长分别是3，4，则第三条边长是（）A．2 B．5 C． D．5 或【分析】此题要分情况进行讨论，两边长分别为3 和4，4 可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：Rt△ABC 中，两边长分别为3 和4，4 可能是直角边也可能为斜边，当4 为直角边时，斜边长为＝5，当4 为斜边时，另一直角边为：＝，故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10．（3 分）菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y 与x 的图象大致为（）A． B．C． D．【分析】先根据题意确定y 与x 之间的函数关系式，再根据x、y 的实际意义确定其图象所在的象限即可．【解答】解：∵菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，∴xy＝4，∴y 与x 之间的函数图象为反比例函数，且根据xy 实际意义x＞0、y＞0，其图象在第一象限．故选：C．【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．请把答案填在题中横线上．11．（3 分）甲乙两组投掷比赛，平均环数均相同，甲组的方差是2.4，乙组的方差是3.5，则成绩较稳定的是甲组．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵甲组的方差是2.4，乙组的方差是3.5，∴甲组的方差小于乙组的方差，∴成绩较稳定的是甲组；故答案为：甲．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12．（3 分）计算：（﹣2）2012（+2）2013＝+2 ．【分析】先根据积的乘方与幂的乘方得到原式＝[（﹣2）（+2）]2012•（+2），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2012•（+2）＝（5﹣4）2012•（+2）＝+2．故答案为+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．13．（3 分）已知双曲线y＝经过点（﹣1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0，那么b1＜b2（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【分析】根据反比例函数的增减性解答．【解答】解：把点（﹣1，3）代入双曲线y＝得k＝﹣3＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大，∵A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0，∴A、B 在同一象限，∴b1＜b2．故答案为：＜．【点评】本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征．14．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB 的中线长为 5 ．【分析】由在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理即可求得斜边AB 的长，又由在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求得斜边AB 的中线长．【解答】解：∵在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴斜边AB 的中线长：CD＝AB＝5．故答案为：5．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．（3 分）若关于x 的方程（k﹣1）+2x﹣3＝0 为一元二次方程，则k＝ 3 ．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．【解答】解：∵关于x 的方程（k﹣1）+2x﹣3＝0 为一元二次方程，∴k2﹣4k+5＝2 且k﹣1≠0，解得k＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的概念：形如ax2+bx+c＝0（a、b、c 为常数，a≠0）的方程叫一元二次方程．16．（3 分）如图，已知直线y＝kx+b 图象与反比例函数y＝图象交于A（1，m），B（﹣4，n），则不等式kx+b＞的解集为﹣4＜x＜0 或x＞1 ．【分析】当所求不等式成立时，一次函数图象对应的点都在反比例图象的上方，根据两个函数的图象可求出所求不等式的解集．【解答】解：不等式kx+b＞成立，就是函数y＝kx+b 对应的点在反比例函数y＝图象的上方；因而不等式kx+b＞的解集为﹣4＜x＜0 或x＞1．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．17．（3 分）下列命题：①矩形的对角线相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④对角线平分每组对角的四边形是菱形．其中正确命题的序号为①③．【分析】利用矩形的判定与性质、菱形的判定与性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①矩形的对角线相等，正确；②对角线相等的四边形是矩形，错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，正确；④对角线平分每组对角的四边形是菱形，错误，故答案为：①③．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，难度不大．18．（3 分）如图，▱ABCD 中，AC，BD 交于点O1，作▱BCD1O1，连接BD1 交AC 于点O2，作▱BCD2O2，连接BD2 交AC 于点O3，…，以此类推，若AD＝1，AB＝2，∠BAD＝120°，则▱BCD2O2 的面积是，▱BCD n O n 面积是．【分析】根据平行四边形的性质可知：对角线把平行四边形分得的四个三角形的面积相等，所以▱BCD2O2 的面积是原平行四边形面积的，以此类推即可求出，▱BCD n O n 面积．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC，BD 交于点O1，∴▱BCD2O2 的面积＝S 四边形ABCD，∵AD＝1，AB＝2，∠BAD＝120°，∴S 四边形ABCD＝1×，∴▱BCD2O2 的面积＝S 四边形ABCD＝，∴S▱BCD3O3＝，…以此类推，▱BCD n O n 面积是＝，故答案为：，．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用，是一道找规律的题目，解题的关键是掌握对角线把平行四边形分得的四个三角形的面积相等．三、计算题：本大题共2 小题，计算应有演算步骤．19．（8 分）（1）﹣×（+）；（2）﹣﹣ a ．【分析】（1）先根据二次根式的除法法则得到原式＝2 ﹣﹣，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣＝2﹣﹣＝﹣；（2）原式＝4﹣3﹣＝0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．20．（5 分）已知，求的值．【分析】把a+＝两边平方得到（a+ ）2＝10，然后根据（a±b）2＝a2±2ab+b2 变形得到（a﹣）2+4＝10，最后利用平方根的定义计算即可．【解答】解：∵a+＝，∴（a+）2＝10，∴（a﹣）2+4＝10，∴a﹣＝±．【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力以及平方根的定义．四、解答题：本大题共5 小题，共33 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8 分）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x＝3；（2）x（x﹣2 ）+3＝0．【分析】（1）直接在左右两边同时加上一次项系数﹣6 的一半的平方；（2）先去括号，把常数项3 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：（1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9＝3+9，配方得（x﹣3）2＝12．x﹣3＝±2，解得x＝3±2，即x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）去括号得，x2﹣2x+3＝0，移项得，x2﹣2x＝﹣3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+3＝﹣3+3，配方得（x﹣）2＝0．x﹣＝0，解得x1＝x2＝．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．22．（6 分）如图，在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边CD 于点E，∠ABC 的平分线BF 交边CD 于点F，交AE 于点G．（1）求证：DF＝EC；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．【分析】（1）由角平分线知∠ADE＝∠DEA，由平行知∠DEA＝∠EAG，所以∠DAE＝∠DEA，即AD＝DE，同理CF＝BC，又AD＝BC，所以DE＝CF，去掉公共部分，则有DF＝CE；（2）由于AE、BF 是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG 已经是直角三角形了，要成为等腰直角三角形，则必须有FG＝EG 即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC．∴∠DEF＝∠EAB，∵∠BAD 的平分线AE 交边CD 于点E，∴∠DAE＝EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，同理可证：BC＝CF，∵AD＝BC，∴DE＝CF，∴DF＝CE；（2）解：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵AE、BF 分别平分∠DAB 和∠CBA，∴∠GAB+∠GBA＝90°．∴∠AGB＝90°．∴∠FGE＝90°．因此我们只要保证添加的条件使得GF＝FE 就可以了．【点评】此题考查了平行四边形的基本性质，以及直角三角形的判定，难易程度适中．23．（5 分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200 名学生参加活动的情况，随机调查了50 名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．（Ⅰ）求这50 个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200 名学生共参加了多少次活动？【分析】（Ⅰ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数；（Ⅱ）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数×1200 即可．【解答】解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：＝＝3.3 次，则这组样本数据的平均数是3.3 次．∵在这组样本数据中，4 出现了18 次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是4 次．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，＝3 次，∴这组数据的中位数是3 次；（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3 次，∴估计全校1200 人参加活动次数的总体平均数是3.3 次，3.3×1200＝3960．∴该校学生共参加活动约为3960 次．【点评】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．24．（6 分）分别以△ABC 的边AC、BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，连接D1D2．（1）如图1，过点C 作MH⊥AB 于点H，交D1D2 于点G．若CM＝AB，连接MD1，MD2，试证明四边形D1CD2M 是平行四边形．（2）如图2，CF 为AB 边中线，试探究CF 与线段D1D2 的数量关系，并加以证明．【分析】（1）过点D1 作D1N⊥CM 于N，根据同角的余角相等求出∠BAC＝∠MCD1，根据正方形的四条边都相等可得AC＝CD1，然后利用“角角边”证明△ACH 和△CD1N 全等，根据全等三角形对应边相等可得AH＝CN，CH＝D1N，然后求出BH＝MN，再利用“边角边”证明△BCH 和△MD1N 全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M＝BC，∠D1MN＝∠CBH，根据正方形的性质可得BC＝CD2，再求出∠CBH＝∠MCD2，从而得到∠D1MN＝∠MCD2，根据内错角相等，两直线平行可得D1M∥CD2，然后根一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）延长CF 至G，使FG＝CF，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BG，全等三角形对应边相等可得∠G＝∠ACF，再根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CBG+∠ACB＝180°，根据周角等于360°求出∠D1CD2+∠ACB＝180°，从而得到∠D1CD2＝∠CBG，然后利用“边角边”证明△CBG 和△D2CD1 全等，根据全等三角形对应边相等可得D1D2＝CG，从而得到D1D2＝2CF．【解答】（1）证明：如图，过点D1 作D1N⊥CM 于N，∵MH⊥AB，∴∠BAC+∠ACH＝90°，∵∠ACD1＝90°，∴∠MCD1+∠ACH＝90°，∴∠BAC＝∠MCD1，∵四边形ACD1E1 是正方形，∴AC＝CD1，在△ACH 和△CD1N 中，，∴△ACH≌△CD1N（AAS），∴AH＝CN，CH＝D1N，∵CM＝AB，∴BH＝MN，在△BCH 和△MD1N 中，，∴△BCH≌△MD1N（SAS），∴D1M＝BC，∠D1MN＝∠CBH，∵四边形BCD2E2 是正方形，∴BC＝CD2，∠BCD2＝90°，∴D1M＝CD2，∠CBH＝∠MCD2，∴∠D1MN＝∠MCD2，∴D1M∥CD2，∴四边形D1CD2M 是平行四边形；（2）D1D2＝2CF．证明如下：如图，延长CF 至G，使FG＝CF，∵CF 是AB 边的中线，∴AF＝BF，在△ACF 和△BGF 中，，∴△ACF≌△BGF（SAS），∴AC＝BG，∠G＝∠ACF，∴AC∥BG，∴∠CBG+∠ACB＝180°，∵∠D1CD2+∠ACB＝360°﹣2×90°＝180°，∴∠D1CD2＝∠CBG，在△CBG 和△D2CD1 中，，∴△CBG≌△D2CD1（SAS），∴D1D2＝CG，∴D1D2＝2CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的性质，熟记各性质是解题的关键，（1）难点在于作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等，（2）“遇中线，加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．25．（8 分）如图1 在直角坐标系xOy 中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C（1，0）（1）若△AOC 的面积是2，则m 的值为 4 ；若OB＝OA，则点B 的坐标是（4，1）．（2）在（1）的条件，AB 所在直线分别交x 轴、y 轴于点M、N，点P 在x 轴上，PE⊥ AB 于点E，EF⊥y 轴于点F．①若点P 是线段OM 上不与O，M 重合的任意一点，PM＝a，当a 为何值时，PM＝PF？②若点P 是射线OM 上的一点．设P 点的横坐标为x，由P、M、E、F 四个点组成的四边形的面积为y，试写出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围．【分析】（1）过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，由反比例函数比例系数的几何意义即可求出m 的值；由条件可得OD2+BD2＝OC2+AC2＝17，OD•BD＝4．由此可求出OD、BD 的值，即可得到点B 的坐标．（2）①先求出直线AB 的解析式，再求出直线AB 与坐标轴的交点坐标，从而可以得到OM＝ON＝5，∠OMN＝∠ONM＝45°，然后利用三角函数就可用a 的代数式表示出OP、PF、OF 的长，在Rt△POF 中运用勾股定理就可求出a 的值；②由于点P 是射线OM 上的一点，因此需分情况讨论，可分0≤x＜5，x＝5，x＞5 三种情况进行讨论，同样利用三角函数用a 的代数式表示出PM、EF、OF 的长，就可解决问题．【解答】解：（1）过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，如图1，∵AC⊥x 轴，垂足为C，∴S△ACO＝OC•AC＝＝2，OA2＝OC2+AC2．∵点C（1，0）即OC＝1，m＞0，∴AC＝4，m＝4．∵BD⊥x 轴，垂足为D，∴S△ODB＝OD•BD＝＝2，OB2＝OD2+BD2．∴OD•BD＝4．∵OA＝OB，∴OD2+BD2＝OC2+AC2＝1+16＝17．∴（OD+BD）2＝OD2+BD2+2OD•BD＝17+8＝25，（OD﹣BD）2＝OD2+BD2﹣2OD•BD＝17﹣8＝9．∵OD＞BD＞0，∴OD+BD＝5，OD﹣BD＝3．∴OD＝4，BD＝1．∴点B 的坐标为（4，1）．故答案为：4，（4，1）．（2）在（1）的条件下有点A（1，4），点B（4，1）．①如图2，设直线AB 的解析式为y＝kx+b，则有．解得：．∴直线AB 的解析式为y＝﹣x+5．当x＝0 时，y＝5，则点N（0，5），ON＝5；当y＝0 时，x＝5，则点M（5，0），OM＝5．∴OM＝ON＝5．∵∠MON＝90°，∴∠OMN＝∠ONM＝45°，MN＝5 ．∵PE⊥AB，EF⊥ON，∴EM＝PM•cos∠EMP＝PM，NF＝NE•cos∠FNE＝NE．∵PM＝a，∴OP＝5﹣a，EM＝a，NE＝5 ﹣a，NF＝5﹣a，OF＝a．∵PF＝PM＝a，∠POF＝90°，∴PF2＝OF2+OP2．∴a2＝（a）2+（5﹣a）2．解得：a1＝20+10，a2＝20﹣10．∵点P 是线段OM 上不与O，M 重合的任意一点，∴0＜a＜5．∴a＝20﹣10 ．∴当a＝20﹣10时，PM＝PF．②Ⅰ．当0≤x＜5 时，点P 在线段OM 上（与点M 不重合），如图2，则有PM＝5﹣x，EM＝（5﹣x），NE＝5 ﹣（5﹣x），EF＝NF＝NE＝5﹣（5﹣x）＝x+．∴OF＝ON﹣NF＝5﹣（x+）＝﹣x．∴y＝（EF+PM）•OF＝（x++5﹣x）•（﹣x）＝x2﹣x+．Ⅱ．当x＝5 时，点P 与点M 重合，此时P、M、E、F 四个点不能组成四边形，故舍去．Ⅲ．当x＞5 时，点P 在线段OM 的延长线上，如图3，则有PM＝x﹣5，EM＝（x﹣5），NE＝5 +（x﹣5），EF＝NF＝NE＝5+（x﹣5）＝x+．∴OF＝NF﹣ON＝x+﹣5＝x﹣．∴y＝（EF+PM）•OF＝（x++x﹣5）•（x﹣）＝x2﹣x+．综上所述：当0≤x＜5 时，y＝x2﹣x+ ；当x＞5 时，y＝x2﹣x+ ．【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、用待定系数法求一次函数的解析式、特殊角的三角函数值、勾股定理、解一元二次方程、完全平方公式、等腰三角形的性质等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．。

北京市东城区(南片)下学期初中八年级期末考试

北京市东城区(南片)下学期初中八年级期末考试

北京市东城区（南片）下学期初中八年级期末考试英语试卷(本试卷满分100分，考试时间100分钟)听力理解（共20分）一、听对话，从下面各题所给的A、B、C三幅图片中选择与对话内容相符的图片。

每段对话你将听两遍。

（共4分，每小题1分）1.A. B. C.2.A. B. C.3.A. B. C.4.A. B. C.二、听对话或独白，根据对话或独白的内容，从下面各题所给的A、B、C三个选项中选择最佳选项。

每段对话或独白你将听两遍。

（共12分，每小题1分）请听一段对话，完成第5至第6小题。

5. What does Joe want to be?A. An astronautB. An engineer.C. A scientist.6. Where will he live?A. On the moon.B. On a planet.C. On a space station.请听一段对话，完成第7至第8小题。

7. What does the girl think of TV plays?A. Boring.B. Exciting.C. Interesting.8. What’s the boy’s favourite TV show?A. Sports shows.B. Talk shows.C. Game shows.请听一段对话，完成第9至第10小题。

9. Why can’t Nick come to Ann’s house?A. He has to get ready for the exam.B. He needs to visit his cousin.C. He wants to go bike riding.10. When is Nick going to meet Sam?A. On Saturday.B. On Wednesday.。

2023-2024学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）（）2化简结果正确的是（）A．﹣3B．3C．±3D．92．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（）A．中位数B．平均数C．方差D．众数4．（3分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4B．，，C．5，6，7D．5，12，135．（3分）下列命题中正确的是（）A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．（3分）一次函数y＝3x+2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8B．16C．24D．329．（3分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．35°10．（3分）下面的四个问题中都有两个变量：①正方形的面积y与边长x；②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x；③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如y＝kx+b（其中k，b是常数，k≠0）的式子表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式．12．（2分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是．13．（2分）如图，数轴上点A表示的数为3，AB⊥OA，AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，与数轴交于一点C，则点C表示的数为．14．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…97531…那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是．15．（2分）某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．16．（2分）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为5，EF＝BG，则CE的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，则AF的长为．18．（2分）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：．①碳﹣14的半衰期为5730年；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一；④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．（4分）计算：．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：以AC为对角线的矩形ADCE．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；③连接AE，CE．（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明．证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（）．（填推理的依据）由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（）．（填推理的依据）∴∠ADC＝90°．∴平行四边形ADCE是矩形（）．（填推理的依据）21．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，且经过点A（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．23．（5分）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力x（N）与弹簧长度y（cm）之间的数据，如表所示：弹簧受到的拉力x（单位：N）0510152025弹簧的长度y（单位：cm）6810121416（1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；（2）结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式；（3）若弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值．24．（5分）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.12名学生的身高：160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.3m n（1）写出表中m，n的值；（2）现将12名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高165167167168168171乙组学生的身高160164164166167169（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．25．（6分）如图，矩形ABCD中，点E为边AB上任意一点，连接CE，点F为CE的中点，过点F作MN ⊥CE，MN与AB、CD分别相交于点M、N，连接CM、EN．（1）求证：四边形CNEM为菱形；（2）若AB＝10，AD＝4，当AE＝2时，求EM的长．26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，0），（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点M在BC延长线上，点P是BM的中点，连接AP，在射线BC上方作PQ⊥AP，且PQ＝AP．连接MD，MQ．（1）补全图形；（2）用等式表示MD与MQ的数量关系并证明；（3）连接CQ，若正方形边长为5，CQ＝6，直接写出线段CM的长．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”．（1）已知，点A（1，3），B（5，3）．①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是；②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标；（2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【分析】原式利用二次根式的化简公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3，故选：B．【点评】此题考查了算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．【解答】解：A、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；D、不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．3．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括加权平均数、中位数、众数、方差，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键．4．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意；C、52+62≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．5．【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定定理判断．【解答】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，命题正确，符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意；D、一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．【分析】一次函数y＝kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过1，2，3象限，据此作答．【解答】解：∵k＝3＞0，b＝2＞0，∴直线y＝3x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项．7．【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，当吸管与底面垂直时，h最大，此时AB＝＝15（cm），故h最短＝20﹣15＝5（cm），h最大＝20﹣12＝8（cm）．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8．【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝2，则，BD＝4，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．9．【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝AB，PF∥AB，求得∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，得到∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，∴PF是△ABD的中位线，∴PF＝AB，PF∥AB，∴∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，∴∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPE＝130°，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠EFP＝∠FEP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．10．【分析】根据题意列出函数矩形函数解析式，判定即可．【解答】解：①根据题意得，y＝x2，故不符合题意；②根据题意得，y＝20﹣2x，故符合题意；③设汽车从A地匀速行驶到B地的速度为k，y＝kx（k为常量），故符合题意；④根据题意得，y＝x（5﹣x）故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确地列出函数解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】先根据正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可得结论．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴函数表达式为y＝﹣x．故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．12．【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．13．【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，故点C表示的数为：，故答案为：．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．14．【分析】直接根据表格中x，y的值即可得出结论．【解答】解：由表格可知，当x＝﹣4时，y＝9；当x＝﹣3时，y＝7，∵﹣4＜﹣3，9＞7，∴关于x的不等式kx+b≥7的解集是x≤﹣3．故答案为：x≤﹣3．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能直接根据表格中的数据得出不等式的解集是解题的关键．15．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【解答】解：∵笔试成绩占80%，面试成绩占20%，∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），故答案为：81．【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．16．【分析】根据SAS证明△EHC≌△DHC得出CE＝CD，再根据正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵△AED≌△CBG，∴DE＝BG，∵EF＝BG，∴EF＝DE，又∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝DE，∠EHC＝∠DHC，∴EH＝DH，又HC＝HC，∴△EHC≌△DHC（SAS），∴CE＝CD，又∵正方形ABCD的面积为5，∴CE＝CD＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△EHC≌△DHC是解题的关键．17．【分析】由矩形和折叠的性质可知，AB＝CD，AD＝BC＝CF，BE＝EF，再根据三角形周长，求得BC+CD ＝18，DF＝6，然后利用勾股定理，求出CF的长，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，由折叠的性质可知，BE＝EF，BC＝CF，∵△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，∴AE+EF+AF＝AE+BE+AF＝AB+AF＝12，CD+CF+DF＝CD+BC+DF＝24，∴AB+AF+CD+BC+DF＝AB+AD+CD+BC＝36，∴BC+CD＝18，∴DF＝6，CF＝BC＝18﹣CD，在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，∴CF2＝（18﹣CF）2+62，解得：CF＝10，∴AD＝BC＝CF＝10，∴AF＝AD﹣DF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．18．【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示剩余碳﹣14所占百分百可得答案．【解答】解：由图象可知：①碳﹣14的半衰期为5730年，说法正确；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢，说法正确；③经过5个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的，经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的百分之一，说法正确；④某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，设生物死亡时间为x年前，则：x＝5730×≈2866，该生物死亡时间大约在公元前2866年，所以原说法错误．所以正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的图象以及常量与变量，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝﹣+2＝3﹣+2＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（三线合一），∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，三线合一，有一个角是90°的平行四边形是矩形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF．【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD∵E、F分别是OA、OC的中点∴OE＝OA，OF＝OC∴OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．【分析】（1）先根据一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到可知k＝2，再由函数图象经过点A（1，4）求出b的值，进而可得出结论；（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，∴k＝2，∵函数图象经过点A（1，4），∴4＝2×1+b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）∵一次函数的解析式为y＝2x+2，∴当y＝0时，x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（1，4），∴△AOB的面积＝×1×4＝2．【点评】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．23．【分析】（1）先描点，再连线，即可得出图象；（2）利用待定系数法计算即可；（3）求出当y＝30时，x的值即可．【解答】解：（1）描点、连线如图所示：（2）设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝kx+b，将（0，6），（5，8）代入函数解析式得，，解得：，故弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝x+6．（3）当y＝30cm，x+6＝30，解得：x＝60，故弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值为60N．【点评】本题主要考查一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键．24．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；（2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答；（3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在175﹣178，据此可解答．【解答】解：（1）从中可以看出第6个数据和第7个数据分别是167，167，所以这组数据的中位数为m ＝＝167，其中，167出现的次数最多，所以这组数据的众数n＝167；故答案为：167，167；（2）甲组学生的身高分布于165﹣171，乙组学生的身高分布于160﹣169，据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，所以舞台呈现效果更好的是甲组；故答案为：甲组；（3）根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在165cm﹣168cm，从乙组的数据可以知道，在165cm﹣168cm的身高有2个，分别是166、167；故答案为：166、167．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．25．【分析】（1）根据已知证明△EFM≌△CFN，证得EM＝CN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM是平行四边形，然后证明NE＝NC，即可证得结论；（2）AB＝10，AE＝2，则BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，利用勾股定理求出x即可解答．【解答】（1）证明：矩形ABCD中，AB∥DC，∴∠MEF＝∠NCF，∠EMF＝∠CNF，∵点F为CE的中点，∴EF＝CF，∴△EFM≌△CFN，∴EM＝CN，∴四边形CNEM为平行四边形，∵MN⊥CE于点F，EF＝CF，∴NE＝NC，∴四边形CNEM为菱形；（2）解：∵四边形CNEM是菱形，∴EM＝CM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，∵AB＝10，AE＝2，∴BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，在Rt△BMC中，BM2+BC2＝CM2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EM的长为5．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．26．【分析】（1）用待定系数法可得答案；（2）画出图形，用数形结合思想可得答案．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，2）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）函数y＝mx﹣1的图象过定点（0，﹣1），当x＝﹣3时，y＝x+1＝﹣3+1＝﹣2，若函数y＝mx﹣1的图象过（﹣3，﹣2），则﹣2＝﹣3m﹣1，此时m＝；如图：由图可知，当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，m的取值范围是≤m≤1．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想的应用．27．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）连接QD，过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，证明四边形QHCN为矩形，再证明△HPQ和△BAP全等得PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，则CH＝CP+PH＝x+a，由此得矩形QHCN为正方形，则QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，据此可证明△QDH为等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出MD与MQ的数量关系；（3）由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，则△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得CH ＝QH＝6，则PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝1，据此可得CM的长．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2），证明如下：过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，如图2所示：则∠PHQ＝90°，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠PHQ＝∠B＝∠DCM＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，又∵QH⊥BM，QN⊥CD，∴四边形QHCN为矩形，∵PQ⊥AP，∴∠BPA+∠HPQ＝90°，∴∠HPQ＝∠BAP，在△HPQ和△BAP中，，∴△HPQ≌△BAP（AAS），∴PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，∵CH＝CP+PH＝x+a，∴CH＝QH，∴矩形QHCN为正方形，∴QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，∴ND＝CN﹣CD＝a+x﹣a＝x，∵点P是BM的中点，∴PM＝BP＝a+x，∴HM＝PM﹣PH＝a+x﹣a＝x，∴HM＝ND＝x，在△QHM和△QND中，，∴△HM≌△QND（SAS），∴MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，∴∠DQM＝∠DQN+∠HQM＝∠DQN+∠NQD＝∠NQH＝∠90°，∴△QDH为等腰直角三角形，由勾股定理得：MD＝MQ；（3）连接CQ如图3所示：∵CQ＝，正方形边长为5，由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，∴△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得：CH＝QH＝CQ＝＝6，∴PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝6﹣5＝1，∴CM＝CP+PH+HM＝7．【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和正方形是解决问题的难点．28．【分析】（1）①首先求出AB＝5﹣1＝4，然后根据平行四边形的性质得到AB|\PQ，AB＝PQ＝4，然后设P（x，x），然后分别验证求解即可；②首先判断出点Q在直线y＝x+4上运动，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点0，连接QO′，BO′，得到OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO'的长度，然后求出O′（﹣4，4），最后利用勾股定理求解即可，运用待定系数法求得直线O′B的解析式，联立方程组求解即可求得点Q的坐标；（2）首先得出正方形CDEF左上角的顶点坐标为（t﹣1，2），右下角的顶点坐标为（t+1，0），设P（m，m），然后分两种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）①∵点A（l，3），B（5，3）．∴AB＝5﹣1＝4，∵四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∵点P在直线y＝x上，∴设P（x，x），当Q1（1，5）时，若PQ1∥AB，且PQ1＝AB，∴x﹣1＝4，x＝5，∴x＝5，∴P（5，5）符合题意，∴Q1（1，5）是线段AB的“相随点”；当Q2（﹣1，3）时，若PQ2∥AB，且PQ2＝AB，∴x﹣（﹣1）＝4，x＝3，∴x＝3，∴P（3，3），此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；当Q3（0，4）时，若PQ3∥AB，且PQ3＝AB，∴x﹣0＝4，x＝4，∴x＝4，∴P（4，4）符合题意，∴Q3（0，4）是线段AB的“相随点”；当Q4（﹣5，0）时，若PQ4∥AB，且PQ4＝AB，∴x﹣（﹣5）＝4，x＝0，∴x＝﹣l与x＝0相矛盾，不符合题意；综上所述，线段AB的“相随点”是Q1（1，5），Q3（0，4），故答案为：Q1（1，5），Q3（0，4）；②∵点Q为线段AB的“相随点”，∴四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∴设P（y，y），Q（x，y），∴y﹣x＝4，∴y＝x+4，∴点Q在直线y＝x+4上运动，如图所示，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点O′，连接QO′，BO'，则QO'＝QO，∴OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，∴当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO′的长度，∵点O和点O′关于直线y＝x+4对称，∴O′（﹣4，4），∵B（5，3），∴O′B＝＝，∴OQ+BQ的最小值为，设直线O′B的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线O′B的解析式为y＝﹣x+，联立得：，解得：，∴此时点Q的坐标为（﹣，）；（2）对于线段AB上的M，N，使得四边形MNPQ为平行四边形，。

2019-2020年北京市东城区(南片)初二下期末数学试题及答案

2019-2020年北京市东城区(南片)初二下期末数学试题及答案

2019-2020年北京市东城区(南片)初二下期末数学试题及答案东（南片）—学年第二学期期末统一测试初二数学（总分：100分；时间：100分钟）亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，要相信“我能行”。

一、精心选一选(本题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 已知分式11-+x x 的值为0，那么x 的值为 A. 1 B. -1 C. ±1 D. 02. 下列函数中，自变量x 的取值范围为3≥x 的是 A. 31-=x y B. 31-=x y C. y= x-3 D.3-=x y3. 反比例函数xky =的图象经过点（-2，4），则函数的图象在 A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限A. 32，30B. 31，30C. 32，32D. 30，305. 下面计算正确的是 A. 3333=+B. 3327=÷C. 532=⋅D. 24±= 6. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是A. 1.5，2，3B. 7，24，25C. 6，8，10D. 9，12，157. 如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点A’处，若∠CBA’=30°，则∠BEA’等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°8. 如图，菱形ABCD 的周长为20，点A 的坐标是(4,0)，则点B 的坐标为A. （3，0）B. （4，0）C. （0，3）D. （0，4）9. 如图，点A 在反比例函数xky =的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C 在x 轴上，且CO=OB ，△ABC 的面积为2，则此反比例函数的解析式为A. xy 4=B. xy 3=C. xy 2=D.xy 1=10. 如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A. 4B. 6C. 8D. 10二、认真填一填（本题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 使分式31+-x x 有意义的x 的取值范围是___________。

北京市东城区(南片)2013年八年级下期末数学试卷及答案

北京市东城区(南片)2013年八年级下期末数学试卷及答案

北京市东城区（南片）2012－2013学年下学期八年级期末考试数学试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个点中，在反比例函数y=－x2上的点是 A. （1，1）B. （－1，2）C. （－1，－2）D. （1，2）2. 已知一组数据3，a ，4，6的众数为3，则这组数据的平均数为A. 3B. 4C. 5D. 63. 下面计算正确的是A. 21-=－2B.4= ±2C. （mn 3）2=mn 2D. m 6÷m 6=14. 下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是A. 一组对边相等B. 一组对角相等C. 两条对角线相等D. 两条对角线互相平分5. 在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和－1，则点C 所对应的实数是A. 23+1B. 23－1C. 2+3D. 1+36. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.21，乙的成绩的方差为3.98，由此可知A. 甲比乙的成绩稳定B. 乙比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人的成绩一样稳定D. 无法确定谁的成绩更稳定7. 下列函数中，当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数是A. y=4xB. y=3x －2C. y=－x2D. y=x2 8. 在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成三角形，又能拼成平行四边形和梯形的可能是9. 关于x 的方程1+x a=1的解是负数，则a 的取值范围是 A. a<1B. a≤1C. a<1且a ≠0D. a≤1且a ≠010. 如图，在△AOB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k>0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△AOB 面积为6，则k 的值为A. 2B. 4C. 4D. 16二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分） 11. 使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是______。

东城区南片2013高二上期末文

东城区南片2013高二上期末文

北京市东城区（南片）2012－2013学年第一学期高二年级期末考试数学（文）试卷本试卷共100分，考试时长120分钟 第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. “x=3”是“x 2=9”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本。

若样本中具有初级职称的职工为10人，则样本容量为A. 10B. 20C. 40D. 503. 已知直线（k －3）x+（4－k ）y+1=0与2（k －3）x －2y+3=0平行，那么k 的值为A. 1或2B. 1或3C. 1或5D. 3或54. 用秦九韶算法计算多项式f （x ）=3x 6+4x 5+54+6x 3+7x 2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为A. 5，5B. 5，6C. 6，6D. 6， 55. 过椭圆4x 2+y 2=1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为A. 2B. 22C. 4D. 86. 如图给出的是计算100181614121+⋯++++的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件为A. i<50B. i>50C. i<25D. i>257. 设点A （2，－3），B （－3，－2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A. k≥43或k≤－4 B. k≥43或k≤－41C. －4≤k≤43 D. 43≤k≤4 8. 双曲线12422y x -=1的焦点到渐近线的距离为 A. 23 B. 2 C. 3 D. 19. 在平面直角坐标系内，一束光线从点A （－3，5）出发，被x 轴反射后到达点B （2，7），则这束光线从A 到B 所经过的距离为A. 12B. 13C.41 D. 26+5310. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线第二部分（非选择题 共70分）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

北京市东城区(南片)10-11下学期高一数学期末考试和答案

北京市东城区(南片)10-11下学期高一数学期末考试和答案

北京市东城区（南片）2010-2011学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷共100分。

考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 下列命题中正确的是A. AB OB OA =-B. 0=+BA ABC. 00=⋅ABD. AD CD BC AB =++2. 函数()()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 3π的最小正周期为A.2πB.πC. π2D. π43. 已知向量()2,1=a ，()3,2=b ，()4,3=c ，且b a c 21λλ+=，则21λλ，的值分别为A. 2-，1B. 1-，2C. 2，1-D. 1，2-4. 已知542cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-x π，且x 在第三象限，则()π-x tan 的值为A. 34B. 34-C. 43D. 43-5. 不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件是A. 0>>b aB. 0,0<>b aC. 0<<a bD. 011>>ba6. 将函数x y sin =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx yB. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx yC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx yD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y7. 如图，()3,3=AC ，()3,3-=BC ，F E ，是AB 上的三等分点，则ECF ∠cos 的值为A.85852 B.23 C.21 D.548. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，321a ，22a 成等差数列，则9871098a a a a a a ++++的值为A. 223+B. 21-C. 21+D. 223-9. 若有实数a ，使得方程2sin ax =在[)π2,0上有两个不相等的实数根21x x ，，则()21co sx x +的值为A. 1-B. 0C.1D.a 23 10. 在ABC ∆中，内角C B A ，，的对边分别是c b a ，，，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A 的值为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

东城北区2012～2013学年度八年级第二学期数学期末检测及答案

东城北区2012～2013学年度八年级第二学期数学期末检测及答案

二次根式的基本性质【知识讲解】1a ≥0）•的式子叫做二次根式，2a ≥0）的意义。

3a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．4（a ≥0）并利用它进行计算和化简． 【例题讲解】例1、 下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、1x y+x ≥0，y •≥0）．例2．当x 31x -在实数范围内有意义？例3、当x 23x +11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知，求xy的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值．【同步训练】 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 2在实数范围内有意义？3．4.2(5)x --x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b 5a -102a -=b+4，求a 、b 的值．例5 计算 1．322 2．（52 3．562 4．7）2a 2=a （a ≥0）的结论解题．例6 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24．2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．例7、在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3【同步训练】一、选择题1的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（2=________． 2_______数． 三、综合提高题 1．计算（1）92 （2）-32 （3）（1262 （4）（- 2(5) (2332)(2332) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0） 31x y -+3x -，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5例8、 化简（1 （2 （3 （4例9、 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？例10、当x>2【同步训练】 一、选择题1 ）． A ．0 B ．23 C ．423D ．以上都不对2．a ≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．AC ． 二、填空题1．0.0004．220m m 的最小值是________． 三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求212a a -+甲的解答为：原式2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a │，求（a -1995）2的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│【随堂测试】1、下列格式中，一定是二次根式的有（） ①25- ②|5|- ③x - ④ ⑤210- ⑥3x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、下列语句正确的是（ ）A 、式子x 是二次根式B 、二次根式中被开放数只能是正数C 、2是2的算数平方根D 、0-不是二次根式3、当a ＜5时，下列各式在实数范围内无意义的是（ ）A 、5-aB 、25102+-a a C 、 D 、4+|a| 4、若22++-x x 有意义，则x5、若实数x 、y 满足0322=-++）（y x ，则x y的值为6、化简22)2(的结果为（ ）A 、2B 、4C 、8D 、16 7、下列计算中正确的有（ ）①2)2(2=- ②222=- ③22(2=-）（ ④2)2(2-=-A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、计算22)4(-的结果为（ ）A 、-16B 、-8C 、D 、4 9、在实数范围内分解因式：x 4-9=10、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，试化简222)(b a b a ---11、化简：22)3()3(-+-x x12、若a 、b 、c 为三角形的三边长，化简||22b ac c b a ----+）（13、已知实数a 、b 满足b=4-a +a -4+3，求代数式)4(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-）的值。

北京市东城区(南片)八年级数学下学期期末考试试题-人教版初中八年级全册数学试题

北京市东城区(南片)八年级数学下学期期末考试试题-人教版初中八年级全册数学试题

市东城区（南片）2014-2015学年下学期初中八年级期末考试数学试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分。

）1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是A. y=2x-1B. y=2xC. y=2x2D. y=kx2. 在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的中线长是A. 34B. 263. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角4. 三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为A. 6B. 4.5C. 2.4D. 85. 点（1，m），（2，n）在函数y=-x+1的图象上，则m、n的大小关系是A. m>nB. m<nC. m=nD. m≤n6. 下列各三角形的边长如图所示，其中三角形面积是无理数的是7. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是A. 一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对角相等，另一组对角互补C. 一组对角相等，一组邻角互补D. 一组对边平行，一组对角互补8. 已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，M+N不可能是A. 360°B. 540°C. 720°D. 630°9. 如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD. 若四边形BFDE是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为A. 23B. 33C. 63D.29310. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CEDF 不可能为正方形；③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化； ④点C 到线段EF 的最大距离为2。

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北京市东城区（南片）2012－2013学年下学期八年级期末考试数学试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个点中，在反比例函数y=－x2上的点是 A. （1，1）B. （－1，2）C. （－1，－2）D. （1，2）2. 已知一组数据3，a ，4，6的众数为3，则这组数据的平均数为A. 3B. 4C. 5D. 63. 下面计算正确的是A. 21-=－2 B.4= ±2C. （mn 3）2=mn 2D. m 6÷m 6=14. 下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是A. 一组对边相等B. 一组对角相等C. 两条对角线相等D. 两条对角线互相平分5. 在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和－1，则点C 所对应的实数是A. 23+1B. 23－1C. 2+3D. 1+36. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.21，乙的成绩的方差为3.98，由此可知A. 甲比乙的成绩稳定B. 乙比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人的成绩一样稳定D. 无法确定谁的成绩更稳定7. 下列函数中，当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数是A. y=4xB. y=3x －2C. y=－x2D. y=x2 8. 在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成三角形，又能拼成平行四边形和梯形的可能是9. 关于x 的方程1+x a=1的解是负数，则a 的取值范围是 A. a<1B. a≤1C. a<1且a ≠0D. a≤1且a ≠010. 如图，在△AOB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k>0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△AOB 面积为6，则k 的值为A. 2B. 4C. 4D. 16二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分） 11. 使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是______。

12. 计算10－（21）2013×22013=______。

13. 平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线交于点O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大8cm ，则AB=_____cm ，BC=______cm 。

14. 用科学记数法表示：0.0002013=______。

15. 如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是_____。

16. 若392--x x =0，则x=_______。

17. 下图是反比例函数y=x k 1和y=xk2（k 1<k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S AOB ∆=2，则k 2－k 1的值为______。

18. 如图，边长为1的等边△ABC ，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2，照此规律作下去，则S 3=_____；若△ABC 的面积记作S ，则S 2013：S=_____。

三、计算题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 19. 若n 为正整数，且a n2=3，计算（3an3）2÷（27an4）的值。

20. 计算：122-a a －a+11。

21. 先化简，再求值：)12111(2+-+-+x x x x ÷1-x x，其中（x －2）（x －1）=0。

22. 解分式方程：x x 352+－xx -21=0。

四、解答题（本题共26分，第23、24题每题各5分，第25题8分，第26题8分。

）23. 将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=3a ，AC 交ED 于点F ，求DB 及AF 的长。

24. 某供电局完成一项抢修任务，供电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从供电局出发，结果他们同时到达抢修工地，已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这抢修车的速度。

25. 如图，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE<AB ），连接EG 并延长交DC 于点M ，作MN ⊥AB ，垂足为点N ，MN 交BD 于点P ，设正方形ABCD 的边长为1。

（1）证明：四边形MPBG 是平行四边形；（2）设BE=x ，四边形MNBG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如果按题设作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长。

26. 在直角坐标平面内，反比例函数y=xm的图象经过点A （1，4）、B （a ，b ），过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D 。

（1）求反比例函数的解析式；（2）若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，点B 的坐标是______；若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是等腰梯形，点B 的坐标是______；（3）△ABD 的面积为4，求点B 的坐标。

【试题答案】一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBDDAADCCB二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）题号 11 12 13 14 15 16 17 18答案x≥3－119；112.013×104-10－343217；402521三、计算题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 19. （3a n3）2÷（27an4）=9a n6÷（27a n4） 2分=31a n2.3分因为a n2=3，所以（3a n3）2÷（27an4）=15分 20.122-a a －a +11=)1)(1(2-+a a a －)1)(1(1-+-a a a1分=)1)(1()1(2-+--a a a a2分=)1)(1(1-++a a a3分=11-a5分21. )12111(2+-+-+x x x x ÷1-x x=[2)1(111-+-+x x x ]·x x 1-1分=22)1(11-+-x x ·x x 1-2分=1-x x . 3分由于（x －2）（x －1）=0.因为（x －1）≠0，所以x=2. 所以当x=2时，)12111(2+-+-+x x x x ÷1-x x=2 5分22.x x 352+－xx -21=0.解：方程两边同乘以x （x －1）（x+3）. 1分 得：5（x －1）－（x+3）=0.2分解这个方程，得：x=2.3分 检验：把x=2代入最简公分母，得2×5×1=10≠0. 4分 ∴原方程的解是x=2.5分四、解答题（本题共26分，第23、24题每题各5分，第25题8分，第26题8分。

） 23. 解：在Rt △EDB 中，∠EDB=90°，∠E=30°，则ED DB =31，则DB=a.2分 AD=3a －a.3分在Rt △ADF 中，∠ADF=90°，∠A=45°，则AF AD =21， 即AF a a -3=21，AF=6a －2a.5分 24. 解：设抢修车的速度是x 千米/小时，1分 则x 15－x 5.115=6015。

2分 解分式方程，得x=20.3分 经检验x=20是原方程的解.4分 所以抢修车的速度是20千米/小时.5分25. 证明：（1）∵ABCD 、BEFG 是正方形∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°， ∴DB ∥ME 。

∵MN ⊥AB ，CB ⊥AB ，∴MN ∥CB 。

∴四边形MPBG 是平行四边形；2分（2）∵正方形BEFG ，∴BG=BE=x 。

∵∠CMG=∠BEG=45°，∴CG=CM=BN=1－x 。

∴y=21（GB+MN ）·BN=21（1+x ）（1－x ）= 21－21x 2， 5分（0<x<1）；6分（3）由四边形BGMP 是菱形，则有BG=MG ， 即x=2（1－x ）。

7分 解得x=2－2，∴ BE=2－2。

8分26. 解： （1）∵函数y=xm的图象经过点A （1，4），∴m=4。

1分所以函数y=x m 的解析式是y=x4。

2分（2）若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，点B 的坐标是（2，2）； 3分若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是等腰梯形，点B 的坐标是（4，1）、（－4，－1）；5分 （3）因为B （a ，b ），对a 进行分类讨论：①当a>1时，如图1，设BD ，AC 交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a a 4,，D 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 4,0，E 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a 4,1，∴ DB=a ，AE=4－a 4。

由△ABD 的面积为4，即21a ⎪⎭⎫⎝⎛-a 44=4，得a=3，∴点B 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3。

6分②当0<a<1时，如图2，由△ABD 的面积为4， 即21a （a4－4）=4，得a=－1（舍）。

7分③当a<0时，如图3，由△ABD 的面积为4， 即21（－a ）（4－a4）=4， 得a=－1，∴点B 的坐标为（－1，－4）。

8分所以使△ABD 的面积为4点B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛34,3、（－1，－4）。

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