《保险精算学》笔记生命表函数与生命表构造
保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
保险精算学生命表基本函数
e x E [ K x ] k k p x q x k k k q x
k0
k0
而
p x t q x
t 1
2 p x t q x t2
故 k k q x
p k 1 x
k0
k0
由 于 T x K x S x ,故 E (T x ) E (K x ) E (S x )
t
1 2
d
xt
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25.
解：
Ex：p69ex3.1,3.2
3.2 生存分布
主要内容： 1 新生儿的生存函数 2 x岁余寿的生存函数 3 死亡力（死亡力度） 4 整数平均余寿和中值余寿
3.2.1 新生儿的生存函数
生命表描述了人口在整数年龄上存活和死亡的规律， 但实际上年龄是人出生后存活时间的度量，它是一个连 续随机变量。
0
而且 ex E T x
0 t t pxxtdt
E
T
x2
0
t2
t
px xtdt
t2 d 0 dt
t qx
dt
t2 d 0 dt
t px
dt
t
p xt 2
0
பைடு நூலகம் 0
t
pxdt
2
0 2t t p x dt
Var T x E T x 2 E T x 2
g
x
d dt
tqx
d dt
[1
s
x t sx ]
d dt
sx t sx
sx t s x t sx t s x s x s x t t p x x t
所 以 ,
《保险精算》之三--生命表
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数
寿险精算第二讲：生命表构成及应用
生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。
研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。
生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。
生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。
是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。
这种生命表成为实际同批人生命表。
但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。
这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。
由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。
保险精算学3-生命表
2、分类
按照计算死亡率的资料来源不同：
国民生命表：源于人口普查资料，反映一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：源于寿险公司的承保经验，反映 被保险人群的寿命分布情况。
经验生命表的分类
按应用范围不同：
寿险生命表vs年金生命表
按性别不同：
男性生命表vs女性生命表
按统计范围不同
第三章 生命表
英汉单词对照
死亡年龄
Age-at-death
生命表
Life table
剩余寿命
Time-until-death
整数剩余寿命 Curtate-future-lifetime
死亡效力
Force of mortality
极限年龄
Limiting ate
选择与终极生命表 Select-and-ultimate tables
3、lx：从初始年龄0岁到满x岁还生存的人数。
二、生命表中的各类概率
1、qx：x岁的人在x~x+1岁之间死亡的概率。
2、tqx：x岁q的x 人d在lxx x~lxx +lxltx岁1 之间死亡的概率。
3、px：x岁的t qx人在tldx1x 年 后lx 仍lxlx生t 存的概率。
4、tpx：x岁的px人 1到xq+x t岁llx仍x1 生存的概率。
dx列：各年龄间的死亡人数。
o
e
x
列：x岁人的余命的平均值。
三、用途和分类
1、用途：
生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保 险金的给付、责任准备金的提取、保单现金 价值的估计、保单红利的分配都与被保险人 的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生 命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要 的作用。
寿险精算公式集合
常用符号：新生生命组个体数：
l0
l0
年龄： x 极限年龄：
lx l0 s ( x )
个新生生命能生存到年龄 X 的期望个数： l x
l0
个新生生命中在年龄 x 与 x+n 之间死亡的期望个数： n d x （特别：n=1 时，记作 d x ）
dx lx lx n lx
纯保费厘定的基本假定 三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被 保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益 （即预定利率） 。 净保费厘定原理 原则：保费净均衡原则 解释： 所谓净均衡原则， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时 值 ( x) 基本符号： —— 投保年龄 ——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数 vt ——贴现函 数 zt ——保险给付金在保单生效时的现时值 zt bt vt 主要险种的趸缴净保费的厘定： n 年期定期寿险 终身寿险 延期 m 年的终身寿险 n 年期生存保险 n 年期两全保险 延期 m 年的 n 年期的两全保险 递增终身寿险 递减 n 年定期寿险 2.1.1 死亡保险 n 年定期死亡保险 (x)签约离散型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期死亡保险的趸缴纯保费为:
A1 A1
x:n
当n 1 时 v qx v dx lx
x: 1
自然纯保费
v x 1 d x Cx cx v x lx Dx
Ax
v
k 0 k 1
k 1
k
保险精算之三生命表
11
生存分布
一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
12
新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F ( x) Pr(X x)
( x 0)
f x F ' x , x 0
s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s( x) 1 F ( x) Pr(X x)
( x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
Pr(x X z) F ( z) F ( x) s( x) s( z)
13
新生儿的生存函数
10
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积， 而s(x)曲线形状如下图所示，
lx=l0s(x)
14
x岁余寿的生存函数
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t
qx Pr[T ( x) t ]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t 0 n 1
n1 qx
4
生命表基本函数
《保险精算》3.1生命函数
kx n 1 s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
x kxn
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
x
,0 x
qx
s ( x) s ( x 1) s( x)
第3章 生命表基础
3.1 生命函数
为什么要研究生命表？
人寿保险 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定 时期内死亡或生存为给付条件 被保险人寿命的长短对于保险人来说非常重要 对生命表的研究是研究寿险精算的基础
3.1生命函数
3.1.1 分布函数
用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，X是连续型随机变量，则X的 分布函数是F(X) F(X) = Pr(X≤x)，x≥0 这是0岁的人在x岁之前死亡的概率，F(0)=0 X的概率密度函数极为f(x)，则 f(x)=F’(x), x≥0
k
q x s( x k ) s( x k 1)
s ( x)
1 xk
1
x
(1 1 x
x 1
)
x k 1 (1 ) 1 x
1 x
1 x
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
用fT(t)来表示T的概率密度函数： fT(t)=F’T(t)=-*s’(x+t)/s(x)] 用tqx表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则 tqx=Pr[T(x)≤t]，t≥0
寿险精算公式集合
x kxn
Weibull 模型(1939) s( x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
0
整值未来寿命的期望与方差
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： (x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
e ex E ( K ( x))
k k px qxk
p k 1
x
x
k 0
k 0
பைடு நூலகம்
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k 1 px ex2
d
。计算下面各值：（1）
30
,
20
保险精算学3-生命表
1995年，我国编制了第一张寿险行业经验生命表，即“中 国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”，实现了从无 到有的飞跃。
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡
第二节 生命表基本函数
初始年龄为0岁，初始人数l0，极限年龄w=105，lw=0
一、生命表中的各类人数
1、dx：x岁的人在未来一年内（x岁~x+1岁之间）
死亡的人数。
dx lx lx1
2、tdx：x岁的人在x岁~x+t岁间死亡的人数。
t dx lx lxt dx dx1 ... dxt1
0
tm
t m qx y px x ydy
《保险精算》之三--生命表
L
x t
1 Tx lx i lx i 1 i 0 2
：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。 当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生 到死亡平均每人存活的年数。
ex
l Tx ex t px dt x t dt 0 0 l lx x
(1)
(2) (3)
l0
n
d
x 0
1
x
d x d x d x1 d xn1 n qx lx lx qx 1 qx 2 qx t qx
t 0 n 1
n1 qx
5
生命表一个函数。 当n=1，简记为px 。
n n n Lx nl x n n d x (l x l x n ) 2 2
当n=1时，
1 Lx (lx lx 1) 2
7
生命表基本函数
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。
Tx Lx Lx 1
在均匀分布假设下，
L 1
x 1
t 0
11
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
10
例： 25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30% 在50 岁之前死亡。 25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算 25 p50 。 解： 已知 0.3(l 25 -l 75 )=l 25 l50 l25 l50 0.2 l25 由(**) 式可得： 0.8 l 25 l50 代入 (*) 可得： 0.125l50 0.3l75 由此可推知 l75 0.125 p 0.4167 25 50 l50 0.3
《保险精算》之三--生命表
∫
x+n
x
µ y dy = − ∫
x+n
x
s'( y) d y = − lns(y) | x + n = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n) = − ln n p x s( x)
−
x+n
p x = e ∫xµBiblioteka y dy∞ 0ex
正是T(x)随机变量的期望值
p xµ
∞ 0 t
e
x
= E [T ( x )] =
∫
t
t
x + t
dt =
∫
p xdt
23
死亡力
生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分
d x = ∫ lx + t µ x + t dt
0
1
生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分
26
例3.6：已知F0 (t ) = 1 − e
− λt
, λ > 0, 计算µ x 。
解：由已知条件知，f 0 (t ) = λ e − λt , 有 f 0 ( x) λ e−λ x = −λ x = λ; µx = 1 − F0 (t ) e
27
整值平均余寿与中值余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数， 不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x) 的期望值，以ex表示，
d x + n lx + n − lx + n + m = = n px − n + m px = n px ⋅m qx + n n｜m q x＝ lx lx
寿险理论中的生命表与生命函数
,
,
岁起 一 直 到 生 存 少 数 成 为
,
的这段时 间 内 生命表
各种 函 数
飞
、
。
以 统 计 数 字 表 明 每 年死 亡 生 存 状 态 的 表
1 9 98 《 新疆金 融 》
与生 命函 数 有 关 的 随 机 变量
年 第 四 期 ( 曾第
、
2 12
期)
①
龄
。
是指 新 生 婴 儿
的 分 布 函数
一寿
右 垂 垂企
山 山 ,, ,
幢 皿 组 口 国
任 企份 釜 任 任
企 啥企
份垂
企份
份 企 手垂 垂
份垂
份 份手 垂 协份 协 板
滋 币 盛 甲 吊 谧 通 爪 泣 协 爪 邝 味 曦 旅 d
申 甲 喇 甲
险 理 论 中 的
生命表与生命 函数
牛新华
认 , , 二二 , , , , ,
二
, 二 二二二二二二 , 二 , ,
。 。 ,
、
二 生 命表 在 保 险 中 的 运 用 生 命表
,
又 称作 死 亡 表 和 死 亡 生 残 表
O
它 是指
,
构 造 生 命表的 原 始 生 存 数 和 死 亡 率
所以 应 以 生 命
某 一 个数 目( 例 如 1 0 万 )的 在自
O
、
岁人 所组 成 的集 团
0
表 中 的原 始 生 存 数 和 死 亡 率 为 基 础 而 推 演 出 来 的
。 、
险 因 此 年 金 保 险 比死 亡 保 险 的 死 亡 率 更 低
三 对生 命函 数 的 描 述
、
生命表函数与生命表构造
1 1 1 1 1 d t d t d t ... d 1 l0 2 t 0 t 1 t 2
1 1 1 1 1 [ d 0 (1 )d1 (2 )d 2 .... ( 1 )d 1 ] l0 2 2 2 2 (3.11)
ln
s ( x n) ln n p x s ( x)
xn x
故 n p x exp(
y dy) exp( x s ds
0 t 0
n
同样，对于t p x exp( x s ds)
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) s ( x t ) G (t ) 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
• 概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ 0， 1 ）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
q x t p x x t dt
0
nm
qx
nm t
保险精算 第2章 生命表
4
寿命的分布函数与概率密度
Pr(x 100)
1 Pr(x 100)
1 F(100)
f (x)dx 100
E(X ) xf (x)dx 0
Pr(x X x 1 X x)
Pr(x X x 1 X x) Pr( X x)
Pr( X x 1) Pr( X x) 1 Pr( X x)
E(I j ) 1 s(x) 0 (1 s(x)) s(x), ( j 1, 2,..., l0 )
l0
l0
lx E(Lx ) E( I j ) E(I j ) l0 s(x)
j 1
j 1
27
死亡人数
n Dx l0个零岁新生婴儿在x岁与x n岁之间死亡的人概数率
x dx
0
2
24
Actuarial Science
2.2 生命表
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7
死亡率 q x
生存人数 l x
死亡人数 d x
平均余命
0
ex
生命表各函数间的关系
取整平均余命
随机生存群体与确定生存群体
保险精算
25
年龄 x
lxk lxk lxk m lxk lxkm d m xk
k x m xk lx
lxk
lx
lx
31
应用实例
例 根据美国1979～1981年国民生命表计算 30岁的美国人发生以下事件的概率：（1）活 过80岁；（2）在5年之内死亡；（3）在60岁 死亡。
解
x
保险精算(三)
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表：是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的，反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果，它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
78 .0357 .0508 .0641 .0796 .0973 .1121 83
1.给出生存函数s x ex2 2500 ,求：（1）人在50岁至
60岁之间死亡的概率；（2）50岁的人在60岁以前死 亡的概率；（3）人能活到70岁的概率；（4）50岁 的人能活到70岁的概率。
1 Pr(50 X 60)
天
期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708
年
0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
保险精算第3章(1)
且分布函数为t q，x 生存函数为 t，px
t qx
s( x) s( x s( x)
t)
t
px
s( x t) s( x)
20
生命函数总结
• t u qx 表示x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的
概率， t u qx q tu x t qx t px tu px t px qu xt
或 FX (30) FX (10) 0.0587
s(25) s(30)
(4) 5|5 q20
s(20)
0.1303
或 Pr5 T(20) 10 FT (10) FT (5)
或 Pr5 T(20) 10
10
5 fT (t )dt
19
生命函数总结
• X表示新生儿未来的寿命，是一个连续型随机变量， 分布函数为F(x)，生存函数为s(x)，密度函数为f(x)；
t px Pr(T( x) t) Pr( X x t X t) s( x t) s( x)
• 特别： x p0 s( x)
8
符号介绍
• px：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 px 1 px
• q x：x岁的人将在1年内去世的概率 qx 1qx • t u q：x x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概
0
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
s( x) s( x s( x)
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s( x )
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《保险精算学》笔记生命表函数与生命表构造第一节生命表函数
一、生存函数
1、定义：
2、概率意义：新生儿能活到的概率
3、与分布函数的关系：
4、与密度函数的关系：
二、剩余寿命
1、定义：差不多活到x岁的人（简记），还能连续存活的时刻，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数
5、：，
它的概率意义为：将在以后的年内去世的概率，简记
3、剩余寿命的生存函数：，
它的概率意义为：能活过岁的概率，简记
专门：
（1）
（2）
（3）
（4）：将在岁与岁之间去世的概率
4、整值剩余寿命
（1）定义：以后存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与方差
（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的方差：
6、整值剩余寿命的期望与方差
（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的方差：
2
三、死亡效力
1、定义：的人瞬时死亡率，记作
2、死亡效力与生存函数的关系
3、死亡效力与密度函数的关系
4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则
第二节生命表的构造
一、有关寿命分布的参数模型
1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）至今为止找不到专门合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合成效不令人中意。
（2）使用这些参数模型估量以后的寿命状况会产生专门大的误差
（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源
（1）生命表的定义
依照已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
（2）生命表的进展历史
1662年,Jone Graunt,依照伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观看》。
这是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《依照Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估量》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。
人们因而把Halley称为生命表的创始人。
（3）生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依靠总体分布假定（非参数方法）
三、生命表的构造
1、原理
在大数定理的基础上，用观看数据运算各年龄人群的生存概率。
（用频数估量频率）
2、常用符号
（1）新生生命组个体数：
（2）年龄：
（3）极限年龄：
（4）个新生生命能生存到年龄的期望个数：
（5）个新生生命中在年龄与之间死亡的期望个数：
专门，当时，记作
（6）个新生生命在年龄与区间共存活年数：
（7）个新生生命中能活到年龄的个体的剩余寿命总数：
四、选择与终极生命表
1、选择-终极生命构造的缘故
（1）需要构造选择生命表的缘故：刚刚同意体检的新成员的健康状况会优于专门早往常同意体检的老成员。
（2）需要构造终极生命表的缘故：选择效力会随时刻而逐步消逝
2、选择-终极生命表的使用
第三节有关分数年龄的假设
一、使用背景
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,因此我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估量分数年龄的生存状况
二、差不多原理
插值法
三、常用假定
1、平均分布（Uniform Distribution）假定:(线形插值)
2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（几何插值）
3、Balducci假定（调和插值）
四、三个假定下的生命表函数
函数平均分布假定恒定死亡效力假定Balducci假定。