微积分习题集带参考答案(2)

合集下载

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与持续【2 】一.填空题1.已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f .2.=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3.0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无限小. 4.01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为. 5.=-∞→x e xx arctan lim .6.⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处持续,则=b .7.=+→xx x 6)13ln(lim0.8.设)(x f 的界说域是]1,0[,则)(ln x f 的界说域是__________. 9.函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________. 10.设a 长短零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x . 11.已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无限小,则常数________=a . 12.函数xxx f +=13arcsin )(的界说域是__________.13.lim ____________x →+∞=.14.设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________. 15.)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________.二.选择题1.设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数. （Ａ）)()(x g x f +;（Ｂ）)()(x h x f +;（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f .2.xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有. （Ａ）α是比β高阶的无限小; （Ｂ）α是比β低阶的无限小;（C ）α与β是同阶无限小; （D ）βα~.3.函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处持续,则=k .（Ａ）23; （Ｂ）32; （C ）1; （D ）0. 4.数列极限=--∞→]ln )1[ln(lim n n n n .（Ａ）1; （Ｂ）1-; （C ）∞;（D ）不消失但非∞.5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的.（Ａ）持续点;（Ｂ）可去间断点;（C ）跳跃间断点;（D ）振荡间断点. 6.以下各项中)(x f 和)(x g 雷同的是（）（Ａ）2lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; （Ｂ）x x f =)(,2)(x x g =;（C ）334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;（D ）1)(=x f ,x x x g 22tan sec )(-=.7.||sin lim0x xx →= （）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （C ）0; （D ）不消失. 8.=-→xx x 10)1(lim （）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （Ｃ）e ; （Ｄ）1-e .9.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →消失的（）（Ａ）充分必要前提;（Ｂ）充分前提;（C ）必要前提;（D ）既不充分也不必要前提. 10.=-+∞→)1(lim 2x x x x （）（Ａ）1; （Ｂ）2; （C ）21; （D ）0. 11.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有（）（A ）n n b a <对随意率性n 成立; （B ）n n c b <对随意率性n 成立;（C ）极限n n n c a ∞→lim 不消失 ; （D ）极限n n n c b ∞→lim 不消失.12.当1→x 时,函数11211---x e x x 的极限（）（Ａ）等于２; （Ｂ）等于０;（Ｃ）为∞;（Ｄ）不消失但不为∞. 三.盘算解答 1.盘算下列极限（1）12sin2lim -∞→n nn x ;（2）xxx x cot csc lim0-→ ;（3）)1(lim 1-→∞xx e x ; （4）xx x x 31212lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→;（5）1cos cos 21cos 2cos 8lim 223-+--→x x x x x π; （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;（7）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ; （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→. ３.试肯定b a ,之值,使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x . ４.运用极限消失准则求极限(1)nn n n 13121111131211lim++++++++++∞→ .（2）设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证实n n x →∞lim 消失,并求此极限值.5.评论辩论函数xx xx n n n n n x f --∞→+-=lim )(的持续性,如有间断点,指出其类型.6.设)(x f 在],[b a 上持续,且b x f a <<)(,证实在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f .第一单元函数极限与持续习题解答一.填空题1.x 2sin 2.2sin 22)2sin21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴.2.0 .016249lim )1()34(lim3222=+-++=-+∞→∞→xx x x x x x x x .3.高阶.0)cos 1(lim )cos 1(tan lim sin tan lim000=-=-=-→→→x xx x x x x x x x ,x x sin tan -∴是x 的高阶无限小.4.0>k .x 1sin为有界函数,所以要使01sin lim 0=→xx kx ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k .5.0.0arctan lim =-∞→x e xx ))2,2(arctan ,0lim (ππ-∈=-∞→x e xx .6.2=b .b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0,2)1(lim )(lim 0=+=++→→xx x e x f ,,)0(b f =2=∴b .7.212163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x .8.e x ≤≤1依据题意请求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1. 9.21-=-x ey )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x ,21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y .10.ae 2原式=a aa x xa ax x e ax a 222)21(lim =-+⋅-⋅-∞→. 11.23-=a 由231231~1)1(ax ax -+（运用教材P58(1)1ax ax +-）与221~1cos x x --,以及1322131lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x axx ax x x , 可得 23-=a . 12.2141≤≤-x 由反三角函数的界说域请求可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-011131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12141x x ,⇒)(x f 的界说域为2141≤≤-x . 13.0limlimx x =22lim0x ==.14.2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x aa-,所以x=3at a + 即：3211lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t→∞→∞+=++-=38a e =2ln 32ln 8ln 318ln 33===⇒=a a .15.2)2(2)1(lim)2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→2121)111(2lim =++++=+∞→nn n .二.选择题1.选（Ｄ）令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴.2.选（Ｃ）])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim31311x x xx x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα23)1(31)1(1lim1=-⋅+-=→x x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-）3.选（A ） 233121lim 1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x xx x x f x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-） 4.选（Ｂ）1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1nn n n n n n-→∞→∞--=--=-5.选（Ｃ）1)0(=-f , 0)0(=+f , 0)0(=f 6.选（Ｃ）在（A ）中2ln )(xx f = 的界说域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的界说域为0>x ,)()(x g x f ≠∴故不准确在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错在（D ）中1)(=x f 的界说域为R,x x x g tan sec )(2-=的界说域为}2,{ππ+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错7.选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++→→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→xxx x x x ||sin lim0x xx →∴不消失8.选（Ｄ） 1)1(110)](1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x xx xx ,9.选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0x f x x →消失,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不必定有)(lim 0x f x x →消失,例如x x 1sinlim 0→,函数11sin 1≤≤-x有界,但在0=x 点极限不消失10.选（Ｃ）（lim ()lim x x x x x x →∞→∞==211111lim2=++=∞→xx 11.选（D ）（A ）.（Ｂ）显然不对,因为稀有列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情形,不可能得出“对随意率性n 成立”的性质.（Ｃ）也显著不对,因为“无限小·无限大”是不决型,极限可能消失也可能不消失.12.选（D ）002)1(lim 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++1111121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不是∞.三.盘算解答 1.盘算下列极限：（1）解：x x x n n n n n n 222lim 2sin2lim 11=⋅=-∞→-∞→.（2）解：2200001cos csc cot 1cos 1sin sin 2lim lim lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====.（3）解：11lim )1(lim 1=⋅=-∞→∞→xx e x x xx . （4）解：3212133])2111[(lim )1221(lim )1212(lim +-∞→∞→∞→-+=-+=-+x x x x x x x x x x . 113332211[lim(1)][lim(1)]1122x x x e x x -→∞→∞=+⋅+=--（5）解：)1)(cos 1cos 2()1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3223+-+-=-+--→→x x x x x x x x x x ππ212112141cos 1cos 4lim 3=++⨯=++=→x x x π.（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1limtan cos sin 1lim00x x x x x xx x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin limx x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=. 0lim(12x →+=（7）解：])1(1321211[lim +++⨯+⨯∞→n n x )]111()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)111(lim =+-=∞→n x . （8）解：33123232323241)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =+=--=--+→→→x xxx x x x x . ３.解：1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==231b a４.（1） 1111211111312111++<+++++++++<n nn n而 1111lim=+++∞→n x 113121111131211lim=++++++++++∴+∞→nn n x .（2）先证有界（数学归纳法）1=n 时,a a a ax x =⋅>=12设k n =时,a x k >, 则a a ax x k k =>=+21数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,11<==+nnn n n x ax ax x x 且0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞→∴lim 消失,设A x n n =∞→lim ,则有 aA A =⇒0=A （舍）或a A =,a x n n =∴∞→lim５.解：先求极限得 00010111lim )(22<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f xxn 而 1)(lim 0=+→x f x 1)(lim 0-=-→x f x 0)0(=f)(x f ∴的持续区间为),0()0,(+∞-∞0=x 为跳跃间断点..６.解：令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在],[b a 上持续而0)()(>-=a a f a F0)()(<-=b b f b F由零点定理,),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f .第二章导数与微分一.填空题1.已知2)3(='f ,则hf h f h 2)3()3(lim--→=.2.)0(f '消失,有0)0(=f ,则xx f x )(lim→=.3.πππ1arctan++=x y x ,则1='x y =.4.)(x f 二阶可导,)sin 1(x f y +=,则y '=;y ''=.5.曲线xe y =在点处切线与衔接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行. 6.)]1ln[arctan(x y -=,则dy =. 7.42sin x y =,则dx dy =,2dx dy=. 8.若txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→,则)(t f '=.9.曲线12+=x y 于点_________处的切线斜率为2. 10.设xxe y =,则_______)0(=''y . 11.设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy eyx 肯定,则________=dxdy. 12.设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12则________22=dx yd . 二.单项选择 1.设曲线xy 1=和2x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ,则ϕtan =（）. （Ａ）1-;（Ｂ）1; （C ）2-;（Ｄ）3. 3.函数x ke xf tan )(=,且e f =')4(π,则=k （）.（Ａ）1;（Ｂ）1-; （C ）21;（Ｄ）2. 4.已知)(x f 为可导的偶函数,且22)1()1(lim-=-+→xf x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(-处切线的方程是.（Ａ）64+=x y ;（Ｂ）24--=x y ;（C ）3+=x y ;（Ｄ）1+-=x y .5.设)(x f 可导,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 220=.（Ａ）0;（Ｂ）)(2x f ; （C ）)(2x f ';（Ｄ）)()(2x f x f '⋅.6.函数)(x f 有随意率性阶导数,且2)]([)(x f x f =',则)()(x fn =.（Ａ）1)]([+n x f n ;（Ｂ）1)]([!+n x f n ;（C ）1)]()[1(++n x f n ;（Ｄ）2)]([)!1(x f n +.7.若2)(x x f =,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim000=（）（Ａ）02x ; （Ｂ）0x ; （C ）04x ; （Ｄ）x 4.8.设函数)(x f 在点0x 处消失)(0x f -'和)(0x f +',则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '消失的（）（Ａ）必要非充分前提;（Ｂ）充分非必要前提; （C ）充分必要前提;（Ｄ）既非充分又非必要前提. 9.设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （）（Ａ）99;（Ｂ）99- ; （C ）!99;（Ｄ）!99-. 10.若)(u f 可导,且)(2x f y -=,则有=dy （）（Ａ）dx x f x )(2-';（Ｂ）dx x f x )(22-'-;（C ）dx x f )(22-';（Ｄ）dx x f x )(22-'. 11.设函数)(x f 持续,且0)0('>f ,则消失0>δ,使得（）（A ）)(x f 在),0(δ内单调增长; （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调削减;（C ）对随意率性的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;（D ）对随意率性的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >.12.设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=001sin)(2x bax x xx x f 在0=x 处可导,则（）（A ）0,1==b a ; （B ）b a ,0=为随意率性常数; （C ）0,0==b a ; （C ）b a ,1=为随意率性常数. 三.盘算解答 1.盘算下列各题（1）xey 1sin 2=,求dy ; （2）⎩⎨⎧==3ln t y t x ,求122=t dx yd ;（3）y y x =+arctan ,22dxy d ; （4）x x y cos sin =,求)50(y ;（5）xxx y )1(+=,求y '; （6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ,求)0(f ';（7）)()()(x a x x f ϕ-=,)(x ϕ在a x =处有持续的一阶导数,求)()(a f a f '''、; （8）设)(x f 在1=x 处有持续的一阶导数,且2)1(='f ,求)1(cos lim 1-+→x f dxdx .2.试肯定常数b a ,之值,使函数⎩⎨⎧<-≥+++=0102)sin 1()(x e x a x b x f ax处处可导. 3.证实曲线a y x =-22与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线互相垂直.4.一气球从距离不雅察员500米处离地匀速铅直上升,其速度为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问不雅察员视角的倾角增长率为若干.5.若函数)(x f 对随意率性实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+,且1)0(='f ,证实)()(x f x f ='.6.求曲线5323-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程.第二章导数与微分习题解答一.填空题 1.1-1)3(21)21()3()3(lim 2)3()3(lim00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h 2.)0(f ')0(0)0()(lim )(lim00f x f x f x x f x x '=--=→→ 3.ππ+x ln 1ln -+='ππππxy xππ+='∴=x y x ln |14.x x f cos )sin 1(⋅+',x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''x x f y cos )sin 1(⋅+'=',x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''5.)1),1(ln(--e e 弦的斜率1011-=--=e e k 1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ,当)1ln(-=e x 时,1-=e y .6.])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--)1()1(11)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12x d x x x d x dy --+⋅-=--=])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--=7.432sin 4x x ,422sin 2xx 433442sin 44cos sin 2x x x x x dxdy =⋅⋅= 4222sin 22x x xdxdy dx dy == 8.t t te e 222+ttx x te xt t f 22)11(lim )(=+=∞→t t te e t f 222)(+='∴9.)2,1(x y 2=' ,由220=x ⇒10=x ,21120=+=y12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为210. 2x x xe e y +=' ,xx x xe e e y ++=''2)0(00=+=''∴e e y11.)sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程双方对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e yx解得 )sin()sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++.12.34cos sin t tt t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy tt 2sin ''-==, 再对x 求导,由复合函数求导法得32224cos sin 21sin cos 21'')'()'(ttt t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=⋅--===. 二.选择题1.选（Ｄ）由⎪⎩⎪⎨⎧==21xy x y ⇒交点为)1,1(,1|)1(11-='==x x k ,2|)(122='=x x k3|1||)tan(|tan 211212=+-=-=∴k k k k ϕϕϕ3.选（Ｃ） x x k e x f k xk21tansec tan )(⋅⋅='-由e f =')4(π得 e k e =⋅⋅2⇒21=k 4.选（A ）由xf x f x f x f x x 2)1()1(lim2)1()1(lim00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y 5.选（Ｄ） )()(2])([)()(lim2220x f x f x f xx f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6.选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(32x f x f x f x f x f ='⋅='='')(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()1(x f x f n x fn n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴7.选（Ｃ） )(22)()2(2lim )()2(lim 0000000x f xx f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆又x x x f 2)()(2='=' ,004)(2x x f ='∴8.选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要前提是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都消失且相等. 9.选（Ｄ）)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f )98()2)(1(---++x x x x!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f另解：由界说,)99()2)(1(lim 0)0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x!99!99)1(99-=⋅-= 10.选（Ｂ） )(2)()(])([2222x f x x f x f -'-='-⋅-'='-dx x f x dy )(22-'-=∴11.由导数界说知0)0()(lim)0('0>-=→xf x f f x ,再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时0)0()(>-xf x f ,从而当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时,)0(0)0()(><-f x f ,是以C 成立,应选C. 12.由函数)(x f 在0=x 处可导,知函数在0=x 处持续b b ax x f xx x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01sinlim )(lim 0020,所以0=b .又a xax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-++→-→→+0)0()(lim )0(,01sinlim 0)0()(lim )0(0200,所以0=a .应选C. 三.盘算解答 1.盘算下列各题（1）dx x x x e x d edy xx)1(1cos 1sin 2)1(sin 21sin 21sin 22-⋅⋅==dx e xx x1sin 222sin 1-=（2）32313t tt dxdy ==,3222919t t t dx y d ==,9|122=∴=t dx y d （3）双方对x 求导：y y y'='⋅++2111⇒12+='-y y)11(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y y y y y y y （4）x x x y 2sin 21cos sin == )22sin(2cos π+=='∴x x y )222sin(2)22cos(2ππ⋅+=+=''x x y 设)22sin(21)(π⋅+=-n x yn n则)2)1(2sin(2)22cos(2)1(ππ++=⋅+=+n x n x yn n nx x y 2sin 2)2502sin(24949)50(-=⋅+=∴π（5）双方取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=双方求导：xx x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(xxx x x x y x +-++-+='∴（6）运用界说：!2005)2005()3)(2)(1(lim )0()(lim)0(00=++++=-='→→x x x x xf x f f x x（7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴又ax a x a x x a x a f x f a f a x ax --'-+=-'-'=''→→)()()()(lim)()(lim)(ϕϕϕ )]()()([lim x ax a x ax ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'=[注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知,故只能用界说求.]（8）]121)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-⋅--⋅-'=-++→→x x x f x f dx d x x121sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=++→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f2.易知当0≠x 时,)(x f 均可导,要使)(x f 在0=x 处可导则 )0()0(-+'='f f , 且)(x f 在0=x 处持续.即)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→而020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭⎪⎬⎫=++=+-→→b a x f a b x f x x 又 b xa b a x x f x f f x x =---+++=--='++→→+22)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00a x axx e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(由⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++=1102b a b a b a 3.证实：设交点坐标为),(00y x ,则a y x =-2020b y x =00对a y x =-22双方求导：yx y y y x ='⇒='⋅-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率010|y x y k x x ='== 又由2xb y x b y b y x -='⇒=⇒= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率2020|x by k x x -='== 又 1)(00200021-=-=-⋅=y x b x b y x k k ∴两切线互相垂直.4.设t 分钟后气球上升了x 米,则500tan x=α 双方对t 求导：2575001405001sec 2==⋅=⋅dt dx dt d αα αα2cos 257⋅=∴dt d 当500=x m 时, 4πα=∴当500=x m 时,50721257=⋅=dt d α（弧度/分） 5.证实：hx f h f x f h x f h x f x f h h )0()()(lim )()(lim)(00+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )0()()(lim )0()()()(lim00-=⋅-⋅=→→)()0()(x f f x f ='⋅=6.解：因为x x y 632+=',于是所求切线斜率为3|63121-=+=-=x x x k ,从而所求切线方程为)1(33+-=+x y , 即063=++y x又法线斜率为31112=-=k k 所以所求法线方程为)1(313+=+x y ,即 083=+-x y 第三章中值定理与导数运用一.填空题1.=→x x x ln lim 0__________.2.函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增.3.函数()43384x x x f -+=的极大值是____________.4.曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的.5.函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________.6.曲线xxey 3-=的拐点坐标是_________.7.若()x f 在含0x 的()b a ,（个中b a <）内恒有二阶负的导数,且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值.8.123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点.9.________)1sin 1(cot lim 0=-→xx x x . 10._________)tan 11(lim 20=-→xx x x . 11.曲线2x e y -=的上凸区间是___________. 12.函数1--=x e y x的单调增区间是___________. 二.单项选择1.函数)(x f 有持续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2)(lim x xx f x （）（Ａ）不消失 ;（Ｂ）0 ;（Ｃ）-1 ;（Ｄ）-2.2.设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （）（Ａ）单调增凹的; （Ｂ）单调减凹的; （Ｃ）单调增凸的;（Ｄ）单调减凸的.3.)(x f 在),(b a 内持续,0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ,则)(x f 在0x x =处（）（Ａ）取得极大值; （Ｂ）取得微小值;（Ｃ）必定有拐点))(,(00x f x ;（Ｄ）可能取得极值,也可能有拐点.4.设)(x f 在[]b a ,上持续,在),(b a 内可导,则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（）（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要前提; （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分前提; （Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要前提;（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分前提,也不是必要前提.5.设)(x f .)(x g 在[]b a ,持续可导,0)()(≠x g x f ,且)()()()(x g x f x g x f '<',则当b x a <<时,则有（）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <;（Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <; （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <; （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >. 6.方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内（）（Ａ）无实根; （Ｂ）有独一实根; （Ｃ）有两个实根; （Ｄ）有三个实根.7.已知)(x f 在0=x 的某个邻域内持续,且0)0(=f ,2cos 1)(lim 0=-→xx f x ,则在点0=x 处)(x f （）（Ａ）不可导; （Ｂ）可导,且0)0('≠f ; （C ）取得极大值; （Ｄ）取得微小值. ８.设)(x f 有二阶持续导数,且0)0('=f ,1||)("lim=→x x f x ,则（）（Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值; （Ｂ）)0(f 是)(x f 的微小值; （Ｃ）))0(,0(f 曲直线)(x f y =的拐点; （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点.9.设b a ,为方程0)(=x f 的二根,)(x f 在],[b a 上持续,在),(b a 内可导,则)('x f 在),(b a 内（）（A ）只有一实根; （B ）至少有一实根; （C ）没有实根; （D ）至少有2个实根. 10.在区间]1,1[-上知足罗尔定理前提的函数是（）（A ）21)(x x f =; （B ）||)(x x f =; （C ）21)(x x f -=; （D ）12)(2--=x x x f .11.函数)(x f 在区间),(b a 内可导,则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增长的（）（A ）必要但非充分前提; （B ）充分但非必要前提;（C ）充分必要前提; （C ）无关前提. 12.设)(x f y =是知足微分方程0'"sin =-+xey y 的解,且0)('0=x f ,则)(x f 在（）（A ）0x 的某个邻域单调增长; （B ）0x 的某个邻域单调削减; （Ｃ）0x 处取得微小值; （Ｄ）0x 处取得极大值. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 (1)1arccos lim 1+-+-→x xx π;(2)xxx ln cot ln lim 0+→; (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→; (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ;(5)30arctan limxxx x -→ ; (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→. 2.证实以下不等式(1).设e a b >>,证实ab b a >. (2).当20π<<x 时,有不等式x x x 3sin 2tan >+.3.已知x x y sin 3=,运用泰勒公式求)0()6(y .4.试肯定常数a 与n 的一组数,使得当0→x 时,nax 与33)1ln(x x +-为等价无限小.5.设)(x f 在[]b a ,上可导,试证消失)(b a <<ξξ,使[])()(3)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-.6.作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V 最小,并求出该体积最小值.7.若)(x f 在]1,0[上有三阶导数,且0)1()0(==f f ,设)()(3x f x x F =,试证：在)1,0( 内至少消失一个ξ,使0)('"=ξF .第三章中值定理与导数运用习题解答一.填空题1.00)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==→→→→x xx x xx x x x x x2.),(+∞-∞0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增3.20)2(121224)(232--=-='x x x x x f令2,00)(21==⇒='x x x f当2<x 时,0)(>'x f ;当2>x 时,0)(<'x f∴极大值为 20)2(=f4.)1,1(-31243+-='x x y ,)1)(1(1212122-+=-=''x x x y当1-<x 时,0>''y .当)1,1(-∈x 时,0<''y ;当),1(+∞∈x 时,0>''y∴曲线在)1,1(-上是凸的5.m m x m x x 242)!2(1)1(!41!211-+++-（赐教材P13页,泰勒公式） 6.)32,32(2-e )31(3333x e xe ey x x x-=-='--- ,)32(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x令320=⇒=''x y ,当32<x 时,0<''y ;当32>x 时0>''y而当32=x 时,232-=e y ∴拐点为)32,32(2-e7.0)(0='x f ,0)(lim )()(lim)("000000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)(0<-'⇒x x x f 当0x x <时,)(,0)(0x f x f >'单调增长;当0x x >时,)(,0)(x f x f <'单调削减 8.10232>+='x y ,y ∴在),(+∞-∞上单调增长又-∞=-∞→y x lim +∞=+∞→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点.9.61 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 10.31 原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 2202203020==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 11.)22,22(-22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令220"±=⇒=x y ,当)22,22(-∈x 时,0"<y ,上凸,其它区间0">y ,上凹,故应填入)22,22(-. 12.),0(+∞ 函数1--=x e y x的界说区间为),(+∞-∞,在界说区间内持续.可导,且1'-=xe y ,因为在),0(+∞内0'>y ,所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增长.二.选择题 1.选（Ｃ） 12)(lim 21)(lim )(lim0020-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x 2.选（Ｂ）当)1,21(∈x 时,0)(<'x f ,又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,21(∈x)(x f ∴在)1,21(上单调减且为凹的.3.选（Ｄ） 3)(x x f =,则0)0(")0('==f f ,0=x 是3)(x x f =的拐点;设4)(xx f =,则0)0(")0('==f f ,而0=x 是4)(x x f =的极值点.4.选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要前提是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数）,又因为)(x f 在],[b a 内持续,所以)(a f C =,即在),(b a 上)()(a f x f ≡.5.选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f)()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调削减,),(b a x ∈ )()()()(b f a f x g x f <∴. 6.选（Ｄ）令13)(3+-=x x x f ,则)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f ;当1-<x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长, 当)1,1(-∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 单调削减当),1(+∞∈x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长. 而3)1(=-f ,1)1(-=f-∞=-∞→)(lim x f x ,+∞=+∞→)(lim x f x)(x f ∴在)1,(--∞上有一实根,在]1,1[-上有一实根,在),1(+∞上有一实根.７.选（Ｄ）运用极限的保号性可以剖断)(x f 的正负号：0cos 1)(02cos 1)(lim0>-⇒>=-→xx f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由0cos 1>-x ,有)0(0)(f x f =>,即)(x f 在0=x 取微小值. 8.选（Ｂ）由极限的保号性：0||)("01||)("lim 0>⇒>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域）,)('x f 单调增,又由0)0('=f ,)('x f 在0=x 由负变正,由极值第一充分前提,0=x 是)(x f 的微小点.9.选（B ）由罗尔定理保证至少消失一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf .10.选（C ）,A 选项)(x f 在0=x 不持续,B 选项)(x f 在0=x 处不可导,D 选项)1()1(-≠f f .11.选（B ）,如3x y =在),(+∞-∞单增,但0)0('=f ,故非必要前提.12.选（Ｃ）,由0)('0=x f 有0)(')("00sin 0sin 0>=-=x x e x y ex y ,所以)(x f 在0x 处取得微小值. 三.盘算解答1.盘算极限（1）解： 1arccos lim 1+-+-→x x x π12111arccos 21lim 21+-⋅=+-→x x x x π2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2)解： 1sin cos sin lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 20200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→xx x x xx x x x x x x . (3)解： 613cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4)解：21])1(21[lim 2111lim )1ln(lim )]1ln(11[lim 002020-=--=--=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x (5)解： 31)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x . (6)解： b bx ax a ax bx b bx bx a ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )tan(1)(sec )tan(1lim )tan(ln )tan(ln lim 2202200 220cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b+→⋅⋅==⋅⋅ 2.(1)证实：b a a b b a ab ln ln >⇔>令 x a a x x f ln ln )(-=,则)(x f 在],[b a 上持续0ln )(>-='xa a x f ],[b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增长,)()(a f b f >∴得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b , 即ab b a > (2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2,0(π∈x 时03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++=-+='x x xx x x x x x f 0)(>'∴x f ,)(x f ∴在(0,)2π上单调增,又00lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x ++→→=+-= 0(0,),()lim ()02x x f x f x π+→∴∀∈>=, 即x x x 3sin 2tan >+ 3.解：麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 212153m m m x o m x x x x x +--+-+-=-- ++-==∴!5!3sin 8643x x x x x y 比较 6x 的系数有：120!3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4.解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36023210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ,2113-=⇒=-a an 5.即证：332()()[3()()]b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 令)()(3x f x x F =,则)(x F 在],[b a 上知足拉格朗日定理的前提 ),(b a ∈∃∴ξ,使)()()(ξF ab a F b F '=-- 即3323()()3()()b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 即 )]()(3[)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-6.解：设圆锥的高为h,底面圆半径为R,则有比例关系222r hrRR h r=⇒=-rhrhhRV23131222-⋅==∴ππ)2(rh>222222)2()42(31)2()2(231rhhrhhrrhrhrhhrdhdV---=---=ππ令⇒=0dhdV独一驻点rh4=所以,当rh4=时,体积最小,此时32238241631rrrrrVππ=-⋅⋅=7.解：由题设可知)('"),("),('),(xFxFxFxF在]1,0[上消失,又)1()0(FF=,由罗尔定理,)1,0(1∈∃ξ使0)('1=ξF,又0|)](')(3[)0('32=+==xxfxxfxF,可知)('xF在],0[1ξ上知足罗尔定理,于是),0(12ξξ∈∃,使0)("2=ξF,又0|)](")('6)(6[)0("32=++==xxfxxfxxxfF,对)(''xF在],0[2ξ上再次运用罗尔定理,故有)1,0(),0(),0(12⊂⊂∈ξξξ,使得0)('"=ξF.第四章不定积分一.填空题1.⎰dx xx=___________.2.⎰xxdx2=_____________.3.⎰+-dxxx)23(2=_____________.4.⎰-dxxxxsincos2cos=___________.5.⎰+xdx2cos1=____________.6.dttt⎰sin=___________.7.⎰xdxx sin=___________.8.⎰xdxarctan=__________.9.=+⎰dxxx2sin12sin____________.10.⎰=''dx x f x )(____________. 11.⎰=++dx x x 1)3(1________________. 12.⎰=++__________522x x dx .二.单项选择1.对于不定积分()dx x f ⎰,下列等式中（）是准确的.（A ）()()x f dx x f d =⎰;（B ）()()x f dx x f ='⎰;（C ）()()x f x df =⎰;（D ）()()x f dx x f dx d =⎰. 2.函数()x f 在()+∞∞-,上持续,则()[]dx x f d ⎰等于（）（A ）()x f ;（B ）()dx x f ;（C ）()C x f +;（D ）()dx x f '.3.若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数,则（）（A ）()()0=-x G x F ;（B ）()()0=+x G x F ;（C ）()()C x G x F =-(常数);（D ）()()C x G x F =＋(常数).4.若⎰+='c xdx x f 33)(,则=)(x f （）（A ）c x +3556;（B ）c x +3559;（C ）c x +3;（D ）c x +. 5.设)(x f 的一个原函数为x x ln ,则=⎰dx x xf )(（）（A ）c x x ++)ln 4121(2;（B ）c x x ++)ln 2141(2; （C ）c x x +-)ln 2141(2;（D ）c x x +-)ln 4121(2. 6.设c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2（）（A ）c x +--22)1(2;（B ）c x +-22)1(2;（C ）c x +--22)1(21;（D ）c x +-22)1(21. ７.=+-⎰dx e e x x 11（）。

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微积分的应用专项练习60题(有答案)

微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。

通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。

以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。

微积分各章习题及详细答案(供参考)

微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。

2(4 3x)22、 lim2)。

xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。

4、 lim xksin10 建立的 k 为。

xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。

x 0在 x 0处连续，则 b 。

x 0。

8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。

9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。

10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。

xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。

12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。

1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。

x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。

xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。

n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。

2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。

1 x1（Ａ）是比高阶的无量小；（Ｂ）是比低阶的无量小；（ C ）与是同阶无量小；（ D ）~。

3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章

(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

数学微积分复习题集及答案

数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

为了帮助学生复习微积分知识，本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。

通过解答这些问题，学生可以巩固对微积分的理解，提高解题能力和应用能力。

一、求导篇1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。

答案：f'(x) = 6x + 2。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。

答案：g'(x) = cos(x) - sin(x)。

3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。

答案：h'(x) = 2/x。

二、定积分篇4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。

答案：∫[1,3] f(x) dx = 26/3。

5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。

答案：F(x) = e^x + C，其中C为任意常数。

6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。

答案：∫[0,π] sin(x) dx = 2。

三、微分方程篇7. 求微分方程y' = 2x的通解。

答案：y = x^2 + C，其中C为任意常数。

8. 求微分方程y' = y的通解。

答案：y = Ce^x，其中C为任意常数。

9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。

答案：y = A*sin(x) + B*cos(x)，其中A和B为任意常数。

四、面积与体积篇10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标，并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。

答案：交点坐标为(0, 0)和(2, 4)，所围成的面积为8/3。

11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。

微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

微积分习题集带参考答案(2)

微积分习题集带参考答案一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线xy e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋=+⎰e 12d )1ln(d d x x x 0．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =．6函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．7.当→x 0时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.=+-⎰-x x x d )135(1132．10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =.11.函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 12-x ．1⒉=∞→xx x 1sinlim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ． 1⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．1⒌微分方程x y xyy cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．16.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x ．17.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．18.函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19.=⎰∞-dx e x 0221． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．21.设函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 12+x ．22.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k =1-．23.曲线1e )(+=xx f 在)2,0(点的斜率是 1 ． 24.=+-⎰-x x x d )235(113 4 ．25.微分方程0)(42=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是答案：2>x 且3≠x .27.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃-- 28.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f29.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f31.函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x32.=∞→xx x 1sin lim ．答案：133.若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 34.曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是答案：2135.曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：e x y +=36.已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2xx x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x - 38.若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-39.函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞40.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xxa x a = D.)d(2d 1x x x=⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃ 7.曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（D ）．A ．2B ．2e C ．4e D ．42e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d ex xB ． ⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s10.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 411.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B ）．A ．x cosB ．x -5C ．2x D ． x21⒋ 设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2ln 1xx - D. x 2ln 1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．A ．x y y x y xln e sin ='-''B ．xxy y y e 2=+'C ．yy x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 216.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +118.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠19.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223 B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++232322120.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.)(ln d d y x x y ⋅=； B. x y x y+=e d d ； C. y x x y e e d d +=； D. )ln(d d y x xy += 21.函数x x y ln 41+-=的定义域为（D ）． A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x 22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．A. x y e 1=B. 1e 1-=x yC. 1e 1+=x yD. 1e e1+-=x y23.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xx a x a = D. )d(2d 1x x x=24.下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x =⎰B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d x f x x f =⎰D ．)()(d x f x f =⎰ 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy += 26.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +28.函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ D ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 29.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x30.当=k （D ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．331.当=k （B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1-32.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（A ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点33.若x x f xcos e )(-=，则)0(f '=（ C ）．A. 2B. 1C. -1D. -234.设，则（ B ）．A ．B ．C ．D ．35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos37.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点 39.下列结论中（Ａ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+=' x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx5.计算极限46lim 222----→x x x x ． 6.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 7.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 3238.计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 9.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 10.设xx y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x xxy +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x13.计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y xcos 2+=，求y dxx y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=15.计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= ce xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d16.计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e xx x17. 计算极限423lim 222-+-→x x x x解：原式41)2)(2()2)(1(lim2=+---=→x x x x x 18. 计算不定积分x xx d )1(2⎰+解：x xx d )1(2⎰+= c x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(219.计算极限932lim 223---→x x x x ．解：原式32)3)(3()1)(3(lim3=+-+-=→x x x x x 20.设xy x 1e1+=+，求y '．解： 2111(21e x x y x -+='+21.计算不定积分x x x d e 112⎰解：c x x x x x x +-=-=⎰⎰1112e 1d e d e 122.计算定积分x x x d cos 2⎰π解：x x x d cos 20⎰π=20sin πx x -x x d sin 20⎰π=20cos 2ππx +=12-π23.423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 24.329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x 25.4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 26.计算极限x x x 11lim0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim 0-=+--=→x x 27.计算极限x x x 4sin 11lim0--→解：x x x 4sin 11lim 0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 28.设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x29.设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=30.设x y x 2e1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+31.设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 32.设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x x y xy y d 22d --=33.设2e e cos y x y x =++，求y d ．解：方程两边对x 求导，得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=34.求微分方程yx y +='e 的通解解：将原方程分离变量 x y xy d e ed =x y x y d e d e =-两端积分得通解为C x y +=--e e35.求微分方程y y y x ln ='满足e )1(=y 的特解.解：将原方程分离变量x x yy yd ln d = 两端积分得 lnln y = ln C x通解为 y = e Cx将e )1(=y 代入通解，得1=C ，故特解为y = e x36.求微分方程xx y y ln 1=-'的通解. 解此方程为一阶线性微分方程，且xx Q x x P ln 1)(,1)(=-=，则方程的通解为)ln (ln )d ln 1()d e ln 1(e d 1d 1C x x C x xx x C x x y x x xx +=+=+⎰⎰=⎰⎰-37.求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解．解此方程为一阶线性微分方程，且1)(,1)(2+==x x Q xx P ，则方程的通解为)2141(1)d )1((1)d e)1((e242d 12d 1C x x x C x x x x C x x y xx xx ++=++=+⎰+⎰=⎰⎰-将初始条件47)1(=y 代入通解，得1=C ，于是满足初始条件的为 )12141(124++=x x x y 四、应用题1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h2．用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省. 4.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2r Vh π=，则其表面积为 rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4rV r S -=' 令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x ，另一边长为x216，共用材料为y于是 y =3x x x x 43232162+=+ 24323xy -='令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去）因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省.6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。

高等数学微积分练习题集完整版(含答案)

高等数学微积分练习题集2(含答案)1．求抛物线2x y =与直线02=--y x 之间的最短距离。

2．求点)8,2(到抛物线x y 42=的最短距离。

3．求过点31,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一卦限内所围成的立体体积最小。

4．计算二重积分dxdy xy I D ⎰⎰=2，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线1=xy 所围成的区域。

5．计算二重积分dxdy e I D y ⎰⎰-=2，其中区域D 由y 轴，直线x y y ==,1所围成。

6．求dxdy y xy I D ⎰⎰+=31，其中D 由2,1,0x y y x ===所围成。

7．求dy e dx x I x y ⎰⎰-=11022。

8．求dxdy y x I D ⎰⎰+=)(，其中D 为224,x y xy ==及1=y 所围成的区域。

9．求σd y x I D⎰⎰+=)|(|，其中D 为：1||||≤+y x 。

10．求dxdy y x I D⎰⎰--=221，其中D ：y y x ≤+22。

11．求dxdy y x x I D ⎰⎰--=)2(22，其中D ：1)1(22≤+-y x 。

12．设{}x y x y x D ≤+=22),(，求dxdy x D ⎰⎰。

13．计算二重积分dxdy yx y x D ⎰⎰++--222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一卦限内的闭区域。

14．求ds y x c ⎰+)(，其中c 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形边界。

15．设L 是半圆周24y x -=上由点)2,0(A 到点)2,0(-B 之间的一段弧。

计算⎰++L ds y x )1(。

16．计算ds y x L ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+（0>a ）。

17．计算曲线积分⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周x y x =+22。

18．计算曲线积分：dy y x dx y x I L )653()42(-++--=⎰，其中L 是从点)0,0(O 到点)2,3(A 再到点)0,4(B 的折线段。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社第八章

第八章习题8-1 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)z=(2)1ln()zx y=-；(3)z=arcsin yx；(4)zarccos（x２+y２）．解：（1）要使函数有意义，必须222210x ya b--≥即22221x ya b+≤，则函数的定义域为2222(,)|1x yx ya b⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，如图8-1阴影所示.图8-1 图8-1（2）要使函数有意义，必须ln()0x yx y-≠⎧⎨->⎩即1x yx y-≠⎧⎨>⎩，则函数的定义域为{(,)|x y x y>且1}x y-≠,如图8-2所示为直线y x=的下方且除去1y x=-的点的阴影部分（不包含直线y x=上的点）.（3）要使函数有意义，必须1yxx⎧≤⎪⎨⎪≠⎩,即11yxx⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩，即x y xx-≤≤⎧⎨>⎩或x y xx≤≤-⎧⎨<⎩，所以函数的定义域为{(,)|0x y x>且}{(,)|0,}x y x x y x x y x-≤≤<≤≤-，如图8-3阴影所示.图8-3 图8-4（4）要使函数有意义，必须2200||1x y x y ⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩即222001x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩, 所以函数的定义域为222{(,)|0,0,,1}x y x y x y x y ≥≥≥+≤,如图8-4阴影所示.２．设函数f (x ,y )=x 3-2xy +3y 2，求 (1) f (-2,3); (2) f 12,x y ⎛⎫⎪⎝⎭； (3)f (x +y ,x -y ). 解：（1）32(2,3)(2)2(2)33331f -=--⨯-⨯+⨯=;（2）23321211221412,23f x y x x y y x xy y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （3）32(,)()2()()3()f x y x y x y x y x y x y +-=+-+-+- 3222()2()3()x y x y x y =+--+-. ３．设F (x ,y )f，若当y =1时，F (x ,1)=x ，求f (x )及F (x ,y )的表达式．解：由(,1)F x x =得1)x f =即1)1f x =-1t =则2(1)x t =+代入上式有2()(1)1(2)f t t t t =+-=+所以 ()(2)f x x x =+于是(,)1)1) 1F x y f x ===-４．指出下列集合A 的内点、边界点和聚点：(1){(,)01,0}A x y x y x =≤≤≤≤；(2){(,)31}A x y x y =+=； (3)A ＝｛（x ,y ）｜x ２＋y ２＞０｝； (4)(0,2]A =．解：（1）内点{(,)|01,0}x y x y x <<<<边界点{(,)|01,0}{(,)|01,1}x y x y x y y x ≤≤=≤≤= {(,)|,01}x y y x x =≤≤ 聚点A （2）内点∅ 边界点A 聚点A （3）内点A边界点（0，0）聚点A（4）内点∅ 边界点[0,2] 聚点[0,2]习题8-2１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：(1) z =224xy x y+； (2) z =x y x y +-．解：(1)当(,)P x y 沿曲线2x ky =趋于（0，0）时，有24244200lim (,)lim 1y y y kxky kf x y k y y k →→===++这个值随k 的不同而不同，所以函数224Z=xy x y+在(0,0)处的极限不存在. (2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有001lim (,)lim(1)1y x y kxx kx kf x y k x kx k→→=++==≠--，这个极限值随k 的不同而不同，所以函数Z=x yx y+-在(0,0)处的极限不存在. ２．求下列极限：(1) 00sin limx y xy x →→； (2)22011lim x y xyx y→→-+；(3)00x y →→ (4)22sin lim x y xy x y →∞→∞+．解：（1）0000sin sin()limlim 0x x y y xy xy y x xy →→→→=⋅=（2）222211101lim101x y xy x y →→--⨯==++（3）0000001)2x x x y y y →→→→→→=== （4）当,x y →∞→∞时，221x y+是无穷小量，而sin xy 是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即22sin lim0x y xyx y →∞→∞=+.３．求函数z =2222y xy x+-的间断点．解:由于220y x -=时函数无定义，故在抛物线22y x =处函数间断，函数的间断点是2{(,)|2,R}x y y x x =∈.习题8-3１．求下列各函数的偏导数：(1) z =(１+x )y ; (2) z =lntany x； (3) z =arctan yx； (4) u =zx y ．解：（1）1(1)y zy x x-∂=+∂(1)ln(1)y zx x y∂=++∂; （2）22221sec cot sec ;tan z y y y y y yx x x x x x x∂-=⋅⋅=-∂ 22111sec cot sec ;tan z y y y yy x x x x xx∂=⋅⋅=∂ （3）22221;1zy yxx x yy x ∂--=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭22211;1zx yx x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（4）22ln ln ;z zx x u z z yy y y x x x∂-=⋅⋅=-⋅∂1;1ln ln .zxzz x xu z y y xu y y y y z x x-∂=∂∂=⋅⋅=⋅∂２．已知f (x ,y )=e -sin x (x +2y )，求x f '(0，1)，y f '(0，1)．解：sin sin sin (,)e (cos )(2)e e [cos (2)1]x x x x f x y x x y x x y ---'=⋅-++=-⋅++ s i ns i n(,)e22ex x y f x y --'=⋅= 所以sin0(0,1)e (cos0(021)1)1x f -'=-⋅+⨯+=- s i n 0(0,1)2e 2y f -'== ３．设z =x +y +(y -，求112811,x x y y z z x y====∂∂∂∂．解：1122112d (,1)d(1)1d d x x y x z f x x xx x====∂==+=∂又23211(3z x x y y y y-⎛⎫∂-=+-⋅ ⎪∂⎝⎭所以1811π11arcsin 126x y z y==∂=+=+=+∂. ４．验证z =11+ex y ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足222z zxy z x y∂∂+=∂∂．解：1111()()2211e ex yx y z x x x-+-+∂-=⋅-=∂ 1111()()2211e ex yx yz y y y-+-+∂-=⋅-=∂所以1111()()22222211e ex yx y z z x y x y x y x y-+-+∂∂+=⋅+⋅∂∂ 11()2e 2x yz --+==５．设函数z =2222422,00,0xy x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?解：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f z y y ∆→∆→+∆--'===∆∆ 00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f z x x∆→∆→+∆--'===∆∆ 所以函数在（0，0）处的偏导数存在且(0,0)(0,0)0x y z z ''==.６．求曲线22(),4z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩14在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角．解：因为 242z x x x ∂==∂，故曲线221()44z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）的切线斜率是(2,4,5)1z x ∂=∂,所以切线与x 轴正向所成的倾角πarctan14α==.７．求函数z =xy 在(2,3)处，当Δx ＝0.1与Δy =－0.2时的全增量Δz 与全微分d z ．解：,z zy x x y ∂∂==∂∂∴ d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂ 而()()z x x y y xy x y y x x y ∆=+∆+∆-=∆+∆+∆∆ 当0.1,0.2,2,3x y x y ∆=∆=-==时，d 30.12(0.2)0.1z =⨯+⨯-=-2(0.2)30.10.1(0.2)0.12z ∆=⨯-+⨯+⨯-=-. ８．求下列函数的全微分：(1) 设u =()zx y，求d u ｜(1,1,1)．(2) 设z，求d z ．解：（1）1121(),()z z u x u x x z z x y y y y y --∂∂-=⋅⋅=⋅⋅∂∂;()ln ,z u x xz y y∂=∂ (1,1,1)(1,1,1)1,1,u u x y∂∂∴==-∂∂ (1,1,1)0u z∂=∂,于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)d d d d d d z z z ux y z x y xyz∂∂∂=++=-∂∂∂（2）z x∂==∂2zy∂==∂ ∴22d d d d d z z z x y xyx y ∂∂=+=∂∂习题8-4１．求下列各函数的全导数：(1) z =e 2x +3y , x =cos t , y =t 2; (2) z =tan(3t +2x 2+y 3), x =1t，y．解：（1）d d d d d d z z x z yt x t y t∂∂=+⋅∂∂ 22323232cos 3e 2(sin )e 32=2e(3sin )2e (3sin )x y x y x yt t t tt t t t ++++=⋅⋅-+⋅⋅-=-（2）d d d d d d z f f x f y t t x t y t∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂223223222321sec (32)3sec (32)4 sec (32)3t x y t x y xt t x y y -=++⋅+++⋅+++⋅3223242(3(3)t t t t=-++. ２．求下列各函数的偏导数：(1) z =x 2y -xy 2, x =u cos v , y =u sin v ;(2) z =e uv , u =, v =arctany x．解：（1）z z x z yu x u y u∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22222222222(2)cos (2)sin 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos 3sin cos (cos sin )xy y v x xy vu v v u v v u v v u v v u v v v v =-+-=-+-=-z z x z y v x v y v∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22323333323333(2)sin (2)cos 2sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos (sin cos )(sin cos )xy y u v x xy u vu v v u v u v u v v u v v v v u v v =--+-=-++-=-+++（2）221e e 1()uv uv z z u z v y v u y x u x v x x x∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅∂∂∂∂∂+arctan2222e e()(arctanyuvxyxv yu x y x y x y x=-=-++211e e 1()uv uv z z u z vv u y y u y v yxx∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅⋅∂∂∂∂∂+2222e e()(arctanln y uvxyyv xu x x x y x y x=+=+++ ３．求下列函数的一阶偏导数，其中f 可微： (1) u =f (,x yy z)； (2) z =f (x 2+y 2)； (3) u =f (x , xy , xyz )．解：（1）121110u f f f x y y ∂'''=⋅+⋅=∂12212211u x x f f f f y y z z y ∂-''''=⋅+⋅=-∂122220u y y f f f z z z∂-'''=⋅+⋅=∂ （2）令22,u x y =+则()z f u =22d ()22()d z f u f u x xf x y x u x∂∂''=⋅=⋅=+∂∂22d ()22()d z f u f u y yf x y y u y∂∂''=⋅=⋅=+∂∂ （3）令,,t x v xy w xyz ===,则(,,)u f t v w =.123123d 1d u f t f v f w f f y f yz f yf yzf x t x v x w x∂∂∂∂∂∂''''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂ 12323d 0d u f t f v f w f f x f xz xf xzf y t y v y w y∂∂∂∂∂∂'''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂1233d 00d u f t f v f w f f f xy xyf z t z v z w z∂∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂ ４．设z =xy +x 2Ｆ(u ),u =yx，Ｆ（u ）可导．证明：2z zxy z x y∂∂+=∂∂．证：222()()2()()z yy xF u x F u y xF u yF u x x∂-''=++⋅=+-∂21()()z x x F u x xF u y x∂''=+⋅=+∂22()()()z zxy xy x F u xyF u xy xyF u x y∂∂''∴==+-++∂∂ 22[()]x y x F u z=+=∂ ５．利用全微分形式不变性求全微分：(1) z =(x 2+y 2)sin(2x +y )； (2) u =222()yf x y z --，f 可微．解：（1）令22,sin(2)u x y v x y =+=+，则vz u =122d d d d()ln d sin(2)v v z zz u v vu x y u u x y u v-∂∂=+=++⋅+∂∂122sin(2)2222(2d 2d )ln cos(2)d(2)[2(d d )ln cos(2)(2d d )]2sin(2)()(d d )cos(2)ln()(2d d )v v v x y vu x x y y u u x y x y vu x x y y u x y x y ux y x y x x y y x y x y x y x y -+=++⋅++=⋅++⋅++⎡⎤+=++++++⎢⎥+⎣⎦（2）22222222111d d d d ()d()yu y y f y f x y z x y z f f f f-'=+⋅=-----222222222222221()d (2d 2d 2d )12()d (d d d )()()yf x y z y x x y y z z f f yf x y z y x x y y z z f x y z f x y z '--=---'--=-------６．求下列隐函数的导数：(1) 设e x +y +xyz =e x ，求x z ',y z '； (2)设x z =ln z y，求,z zx y ∂∂∂∂．解：（1）设(,,)e e 0x yx F x y z xyz +=+-=，则ee ,e ,x yx x y x y z F yz F xz F xy ++'''=+-=+=故e e e ,x x y x yy x y z F Fx yz xzz z Fz xy F xy++'--+''=-==-=-（2）设(,,)ln 0x zF x y z z y=-=,则 2221111,,x y z y z x y x F F F z z y y z z y z z--'''==-⋅==-⋅=--故21x z F z z z xF x z z z '∂=-=-='∂+--2211()y z F z z yx yF y x z z z'∂=-=-='∂+-- ７．设x +z =yf (x 2-z 2)，其中f 可微，证明：z zzy x x y∂∂+=∂∂．证：设22(,,)()F x y z x z yf x z =+--则2212()x F xyf x z ''=--2222()12()y z F f x z F yzf x z '=--''=+-故22222()112()x z F zxyf x z x F yzf x z ''∂--=-=''∂+- 2222()12()y zF z f x y y yzf x z F '∂-=-='∂+-' 从而22222222()()12()12()z z xyzf x z z yf x y z y x y yzf x z yzf x z '∂∂∂---+=+''∂∂+-+- 222222222222222()()12()2()12()[2()1]12()xyzf x z z yf x y yzf x z xyzf x z z x zyzf x z x yzf x z x yzf x z '--+-='+-'--++='+-'-+=='+-８．设x =e u cos v , y =e u sin v , z =uv ,求z x ∂∂及z y∂∂．解法一：由e cos ,e sin u ux v y v ==得221ln(),arctan ,2yu x y v z uv x=+== 故22(cos sin )e uz z u z v xv yu v v u v x u x v x x y-∂∂∂∂∂-=+==-∂∂∂∂∂+22(sin cos )e uz z u z v yv xu v v u v y u y v y x y-∂∂∂∂∂+=+==-∂∂∂∂∂+ 解法二：设方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了函数(,),(,)u u x y v v x y ==,对方程组的两个方程关于x 求偏导得1e cos e sin 0e sin e cos uu u u u v v v x xu v v v x x ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得e cos e sin u u uv xv v x --∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=-⎪∂⎩又方程组的两个方程关于y 求偏导得0e cos e sin 1e sin e cos uu u u u v v v y y u v v vy y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得：e sin e cos uu u v y v v y--∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩ 从而e (cos sin )u z z u z vv v u v x u x v x-∂∂∂∂∂=⋅+=-∂∂∂∂∂e (s i n c o s )uz z u z v v v u v y u y v y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ ９．设u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，y =y (x )和z =z (x )分别由方程0xye y -=和e z -xz =0确定，求d d ux．解：方程e 0xyy -=两边对x 求导得d de ()0d d xyy y y x x x +-=，解得2d e d 1e 1xy xy y y y x x xy==-- 方程e 0zxz -=两边对x 求导得d de 0d d zz z z x x x--= 解得d de z z z z x x xz x==-- 从而2d d d d d d 1y z x y z x y f zf u y zf f f f x x x xy xz x''''''=++=++--习题8-5１．求下列函数的二阶偏导数： (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2； (2) z =arctany x； (3) z =y x ； (4) z =x ln(xy )．解：（1）23222248, 128;z z x xy x y x x∂∂=-=-∂∂232222248, 128;1622z z y x y y x y y zxy x y∂∂=-=-∂∂∂=-（2）22221,1()z y y y x x x y x∂-=⋅=-∂++ 22222222222222222222222222222211,1()2(2),()()22()()()2()()z x y y x x y xz y xyx x x y x y z x xyy y x y x y z x y y y y x x y x y x y ∂=⋅=∂++∂-=-⋅=∂++∂--=⋅=∂++∂+-⋅-=-=∂∂++（3）1ln , ,x x z zy y xy x y-∂∂==∂∂222222211ln , (1),1ln (1ln )x x x x x z z y y x x y x y z xy y y y x y x y y---∂∂==-∂∂∂=+⋅=+∂∂（4）1ln()1ln(),z xy x y xy x xy∂=+⋅⋅=+∂22222211,1,11.z y x xy x z x x x y xy y z xy y z x x y xy y∂=⋅=∂∂=⋅⋅=∂∂=-∂∂=⋅=∂∂２．求下列函数的二阶偏导数，其中f (u ,v )可微： (1) z =f (x 2+y 2)； (2) z =f (xy ,x +2y )．解：（1）2222, 22224z zxf f xf x f x f x x∂∂'''''''==+⋅=+∂∂ 2222, 22224z zyf f yf y f y f y y ∂∂'''''''==+⋅=+∂∂2224zxf y xyf x y∂''''=⋅=∂∂（2）1212, =+2 z zyf f xf f x y∂∂''''=+∂∂ 22111221221112222(1)12zy f y f f y f y f yf f x∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 22111221*********(2)2(2)44z x f x f f x f x f xf f y∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 21111221221111222(2)2 (2)2zf y f x f f x f x y f xyf x y f f ∂'''''''''=++⋅+⋅+⋅∂∂'''''''=++++３．求由e z -xyz =0所确定的z =f (x ,y )的所有二阶偏导数．解：设(,,)e 0zF x y z xyz =-=，则,,e z x y z F yz F xz F xy '''=-=-=-于是,e x z z F z yz zx F xy xz x∂=-==∂--e z z xz zy xy yz y∂==∂-- 从而222()(1)()z z xz x z z x zx x xxz x ∂∂--+-∂∂∂=∂-232223(1)221.(1)(1)z z z z z z z z x z x z --+---==-- 223222223()(1)(1)221.()(1)(1)z zz yz y z z y z z z z z z z y y z y yz y y z y z ∂∂--+---+∂--∂∂-===∂--- 2222233()()(1)(1).()(1)(1)(1)z z z z xz x z x z z z z z y y y y z x y xz x x z xy z xy z ∂∂---∂---∂∂-====∂∂----习题8-6１．求z =x ２+y ２在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2的方向的方向导数．解：设(1,2),(2,2o p p ，则射线l的方向就是向量(1o p p =的方向，将o p p 单位化得：1(,),22||o o p p p p =于是1cos ,cos 2αβ==, 又2,2,f fx y x y ∂∂==∂∂ 于是(1,2)(1,2)2,4,f f x y∂∂==∂∂所以(1,2)124122f l∂=⨯+=+∂ ２．设u =xyz +x +y +z ,求u 在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数．解：设0(1,1,1),(2,2,2)p p ,则射线l 的方向就是向量0p p =(1,1,1)的方向，将0p p单位化得00||p p p p =⎝⎭，于是cos αβγ=== 又1,1,1f f f yz xz xy x y z ∂∂∂=+=++∂∂∂，于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)2,2,2fff xyz∂∂∂===∂∂∂,所以(1,1,1)222333f l∂=⨯+⨯+⨯=∂. ３．求函数z =x ２-xy +y ２在点Ｍ（１，１）处沿与Ox 轴的正方向所成角为α的方向l 上的方向导数．问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零? 解：2,2f f x y x y x y ∂∂=-=-+∂∂, (1,1)(1,1)1,1f fx y∂∂==∂∂∴(1,1)π1c o s 1s i n 2s i n ()4f lααα∂=⋅+⋅+∂当πsin()4α+=1，时，即π4α=当πsin()14α+=-时，即5π4α=时，此方向导数有最小值当πsin()04α+=时，即3π4α=或7π4时，此方向导数为0.习题8-7１．求下列函数的极值： (1) z=x ３-4x 2+2xy -y 2+3； (2) z =e 2x (x +2y +y 2)； (3) z =xy (a -x -y )， a ≠0．解：（1）由方程组：23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩ 得驻点（0，0），（2，2）又68,2,2,xx xy yy z x z z ''''=-==-在点（0，0）处，2120B AC -=-<,又80A =-<，所以函数取得极大值(0,0)3;f = 在点（2，2）处，2120,B AC -=>该点不是极值点.（2）由方程组222e (2241)0e (22)0x xx y z x y y z y ⎧'=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩ 得驻点1(,1)2-.又2222e (4484),e (44),2e xxxxx xy yy z x y y z y z ''''''=+++=+=，在点1(,1)2-处22202e 2e 4e 0,B AC -=-⋅=-<且2e 0A =>,所以函数取得极小值11(,1) e.22f -=- （3）由方程组(2)0(2)0xy z y a x y z x a y x ⎧'=--=⎪⎨'=--=⎪⎩ 得四个驻点（0，0），(0,),(,0),,.33a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又2,22,2xx xy yy z y z a x y z x ''''''=-=--=-.在点（0，0）处，220,B AC a -=>该点不是极值点. 在点(0,)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点. 在点(,0)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点.在点,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭处,2203a B AC -=-<，所以函数在该点有极值，且极值为3,3327aa a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于23xx A z a ''==-故当0a >时，(0)A <，函数有极大值327a ,当0a <时，(0)A >，函数有极小值327a .２．求函数z =x 3-4x 2+2xy -y 2在闭区域D ：-1≤x ≤4,-1≤y ≤1上的最大值和最小值． [分析]由(,)f x y 在D 上连续，所以必有最大最小值，又由于(,)f x y 在D 内可导，所以(,)f x y 的最值在D 的内部驻点或在D 的边界上，由(,)f x y 在D 内部驻点上值与边界上函数比较可求出(,)f x y 的最大和最小值.解：由方程23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点（0，0），（2，2）（2，2）D ∈应该舍去，(0,0)0f =（可由充分条件判别知是极大值）.D 的边界可分为四部分：12:1,11; :1,14;L x y L y x =--≤≤=--≤≤ 34:4,11; :1,1 4.L x y L y x =-≤≤=-≤≤在1L 上，2(1,)52(),1 1.f y y y y y ϕ-=---=-≤≤因为()2(1)0,y y ϕ'=-+≤所以()y ϕ单调递减，因而(1)4ϕ-=-最大，(1)8ϕ=-最小. 在2L 上，32(,1)421(),14f x x x x g x x -=---=-≤≤令()0g x '=得124433x x ==.而122227min{(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x --==,1214227m a x {(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x -==分别是(,)f x y 在2L 上的最小值与最大值.类似讨论可得：在3L 上(4,1)7,(4,1)9f f =-=-，分别是(,)f x y 的最大值与最小值;在4L 上(4,1)7,(1,1)f f =-=-8分别是(,)f x y 的最大值与最小值.比较(,)f x y 在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到(4,1)7f =是函数(,)f x y 在D 上的最大值，116.1f ⎫-=≈-⎪⎪⎝⎭. ３．求函数z =x +y 在条件111x y+= (x ＞０,y ＞０)下的条件极值．解：构造拉格朗日函数11(,)1F x y x y x y λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭解方程组221010111x y F x F y x yλλ⎧'=-=⎪⎪⎪'=-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 得2,2,4x y λ===,故得驻点(2,2)。

微积分各章习题及详细答案

《微积分》各章习题及详细答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

微积分试题集精编版

微积分试题集一季一、计算下列极限：（每题5分，共10分） 4．若0x →时1sin x x 与是等价无穷小,求常数k 的值.5. 设sin 2sin ,0,()3,0,1,0sin x bx x x x x f x x a x x⎧+<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩在0x =处连续，求,a b 的值.二、导数与微分：（每题5分，共25分） 1. 设sin ,x y x =求 2.x dy π=2．求由方程yx x y e e +=所确定的曲线()y y x =在0x =处的切线方程.3．利用微分近似计算,求.4．设2210,sin ,()ln(1)0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪+≥⎩ 求 ().f x '5. 求曲线5235()33f x x x =+的拐点.三、计算下列各题：（每小题8分，共16分） 1. 设某商品的价格P 与需求量Q 的关系为280P Q-=,(1) 求4=P时的需求弹性,并说明其经济意义.（2）求当价格P 为何值时,总收益R 最大？并求出此时的需求价格弹性d E .2. 设()F x 为()f x 的原函数,且()f x =,已知2(1),F e π=()0,F x >求().f x四、证明题：（每小题5分，共10分） 1. 当0x >时, 证明：(1)ln(1)arctan .x x x ++>.2. 设)(x f '连续且()lim8x af x x a→'=-，试证明a x =是)(x f 的极小值点。

二季一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．⒉若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k ．⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是．⒋='⎰x x s d )in (．⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x ⒉若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 ⒋=''⎰x x f x d )(（）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C.c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1( ⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（） A. y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy +=三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．⒉设x y x 3sin 2+=，求y d .⒊计算不定积分x x x d cos ⎰⒋计算定积分xx x d ln 51e1⎰+四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？微积分初步期末试题选（一）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f．（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．（7）=∞→xx x 1sinlim．（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k．2．单项选择题、（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++D ．2x x +（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．（2）329lim 223---→x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是．（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '=．（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''=．（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2（2）设y x =lg2，则d y =（）．A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx （3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x fd 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）． A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos3．计算题（1）设xx y 12e=，求y '．（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.（3）设xy x 2e1+=+，求y '. （4）设x x x y cos ln +=，求y '.1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是．（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）.A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ．间断点（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2xD ．x -33．应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？1．填空题（1）若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f .（2）若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f ．（3）若______________d os ⎰=x x c（4）=⎰-2de x．（5）='⎰x x d )(sin．（6）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32( ．（7）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2．（8）.______d )2cos (sin 112=+-⎰-x x x x x（9）=+⎰e12d )1ln(d d x x x .（10）x x d e 02⎰∞-=．2．单项选择题（1）下列等式成立的是（）． A ．)(d )(d x f x x f =⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ D ．)()(d x f x f =⎰（2）以下等式成立的是（） A ． )1d(d lnxx x = B ．)(cos d d sin x x x =C ．x xxd d = D ．3ln 3d d 3xxx =（3）=''⎰x x f x d )(（）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C.c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1( （4）下列定积分中积分值为0的是（）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ（5）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aax x f -d )(（）A ．0B ．⎰-d )(ax x f C ．⎰ax x f 0d )(D ．⎰-d )(2ax x f（6）下列无穷积分收敛的是（）． A ．⎰∞+0d in x x s B ．⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ．⎰∞+-02d e x x3．计算题（1）x x d )12(10⎰- （2）x x x d 1sin2⎰（3）c x d x xxx x+==⎰⎰e2e 2d e(4)x x x d )e 4(e 22ln 0+⎰(5)xx x d ln 51e1⎰+ (6)x x x d e 10⎰(7)⎰π20d sin x x x微积分初步期末试题选（五）1．填空题 (1)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x1，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 .(2)由定积分的几何意义知，x x a ad 022⎰-= .(3)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . (4)微分方程03=+'y y 的通解为 .(5)微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为．2.单项选择题(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（）．A ．y = x 2+ 3 B ．y = x 2+ 4 C ．22+=x y D ．12+=x y(2)下列微分方程中，（）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2 B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y x ln e sin ='-''(3)微分方程0='y 的通解为（）． A ．Cx y = B ．C x y += C ．C y = D ．0=y(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A. y x x y +=d d ；B. y xy x y+=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy +=三季一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分) 1．10lim 2xx -→=_________。

清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)

(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求，． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（）设函数由方程确定，求． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r

微积分II课后答案详解

2�计算下列各式的近似值�分析运用公式
f (x0 + ∆x1 y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0 ) + f x′ ∆x + f ′y∆y � �1� (10.1)2.03 解�令 f (x, y) = x y , x0 = 10, ∆x = 0.1, y0 = 2, ∆y = 0.03
(10.1)2.03 = f (x0 + ∆x1 y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + f x′ ∆x + f ′y∆y = 102 + yx y−1 (10,2) ⋅ 0.1 + x y ln x (10,2) ⋅ 0.01 = 100 + 2 + 3ln10 ≈ 108.9
f (x, y) = x − kx = 1 − k ≠ 1(k ≠ 0) x + kx 1 + k
综合①②可知函数极限不存在。
练习 5.2
1.求下列函数的偏导数
① z = x3 y − xy3,求 ∂z , ∂z
∂x ∂y
解� ∂z = 3x 2 y − y 3 , ∂z = x3 − 3xy 2
x+ y
x→0
分析�由二元函数极限定义�我们只须找到沿不同路径 p → p0(0,0) 时�所得极限值不同即可。
证明� ① p(x, y) x ( x ≠ 0, y = 0)
f (x, y) = f (x,0) = 1, lim f (x, y) = 1 x →0 y→0
p0 (0, 0)
②当 p(x, y)沿直线y = kx(x ≠ 0)趋于�0�0�时�
练习 5.1
1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状?

(完整word版)微积分答案详解

一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ .答案：)1ln(x - 王丽君解：x e u f u -==1)(2,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=.2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax xx x ,则=a . 答案：1 孙仁斌解：a xba x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1lim 022.3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 .答案：4 俞诗秋解：4)]1()1([)]1()31([lim0=-+--+→xf x f f x f x4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ,)(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ,))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.5、=⎰xx dx22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好解：C x x x dxx dx dx xx x x x x dx +-=+=+=⎰⎰⎰⎰cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222.二、选择题(每小题3分,共15分)答案： 1、 2、 3、 4、 5、。

1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.答案：A 王丽君2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x xx f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.答案：B 江美英4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<'' (C) )()(Q C Q R ''=''； (D) )()(Q C Q R '='答案：D 俞诗秋5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是：(A))()(x f dx x f dx d⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.答案：B 秋俞诗三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设x x f xx-=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx 王丽君,俞诗秋解：令2-=x t ,则2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f tt t tt t , (3分)于是42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f xx x x x . (6分)2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.答案：1 俞诗秋解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11coslim )1cos(lim (3分)11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n . (6分)3、求极限)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→ . 答案：1 俞诗秋解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， (3分)而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→nn n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→nn nn n n n n . (6分)4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.答案：1 俞诗秋解：xx x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ (4分) 1sin lim cos )1(1lim 020=+=→→x xx x x x . (6分)5、求函数xx y 1sin=的导数.答案：)1sin 1ln 1cos 1(21sinxx x x x x y x+-=' 俞诗秋解：)(ln 1sin'='x xey (2分)]1sin 1ln )1(1[cos 2ln 1sin x x x x x ex x+-=)1sin 1ln 1cos 1(21sin xx x x x x x +-=. (6分)6、求曲线12ln =-+x y y x 在点)1,1(处的法线方程. 答案：02=-+y x 江美英,俞诗秋解：方程两边对x 求导得：02ln =-'+'+y yy xy , 将)1,1(),(=y x 代入得法线斜率1)1(1-='-=y k , (3分)从而法线方程为：)1(11-⋅-=-x y , 即： 02=-+y x . (6分)7、求曲线12134+-=x x y 的凹凸区间和拐点.答案：曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的．拐点为)1,0(,)34,1(．俞诗秋解：(1)),()(+∞-∞∈C x f ,(2)2332)(x x x f -=', )1(666)(2-=-=''x x x x x f , (3)0)(=''x f ,得01=x ,12=x . 1)0(=f ,34)1(=f ． (3分) (4) 列表如下：(5) 曲线的拐点为)1,0(、)3,1(．(6) 曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的． (6分)8、计算⎰+xx dx)1(3．答案：C x x +-66arctan 66 俞诗秋解：⎰⎰⎰+===+=+==)1(6 ])(1[)()1(2352636366t t dtt x x dx x x dx xt t x (3分) ⎰⎰⎰+=-=+-+=2221 6 611)1( 6t dtdt dt t t ． C x x C t t +-=+-=66arctan 66arctan 66． (6分)9、计算⎰xdx e x 2sin ．答案：C x x e x +-)2cos 2sin 21(104 俞诗秋解：⎰⎰⎰+-=-=xdx e x e x d e xdx e x x x x 2cos 212cos 212cos 212sin (3分)⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x 2sin 412sin 412cos 212sin 412cos 21,∴C x x e xdx e x x +-=⎰)2cos 2sin 21(1042cos ． (6分)10、设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中Q P ,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：1)10(=η,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋解：总收益函数为25100)5100()(P P P P PQ P R -=-==,令010100)(=-='P P R ,得3=P ,而05)10(<-=''R ,可见, 当10=P 时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性151005)10(1010=-=-===P P P PdP dQ Q P η, (5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋证明：显然]1,0[1)(C xe x f x ∈-=,由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ； (3分) 又因0)1()(>+='x e x x f ,)1,0(∈x ,知]1,0[)(↑x f ,所以方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ. (5分)2、设)(x f 在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(f f =,证明在)2,1(内必存在一点ξ,使得)()(3ξξξf f '=. 俞诗秋证明: 令3)()(xx f x F =,623)(3)()(x x f x x f x x F -'=', 显然]2,1[)(C x F ∈,)2,1()(D x F ∈,且)2(8)2()1()1(F f f F ===, 由罗尔定理知：)2,1(∈∃ξ,..t s 0)(='ξF ,所以)()(3ξξξf f '=.一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

微积分习题集带参考答案(2)

《微积分》各章习题及详细答案

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分的应用专项练习60题(有答案)

微积分各章习题及详细答案(供参考)

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章

微积分练习题及答案

数学微积分复习题集及答案

微积分课后题答案习题详解

微积分习题集带参考答案(2)

高等数学微积分练习题集完整版(含答案)

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社 第八章

微积分各章习题及详细答案

微积分试题集精编版

清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)

微积分II课后答案详解

(完整word版)微积分答案详解

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社第八章