天津科技大学第二学期高等数学(一二)期末试卷A 答案
12高数A期末一真题与答案
淮 海 工 学 院11 - 12 学年 第 2 学期 高等数学A(2)试卷(A 闭卷)答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．设向量(1,0,2)a =，(0,1,2)b =，则a b ⨯= --------------------------------------（C ）（A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）42．2(,)()yf x y x x y =+，则(,0)xx f x=----------------------------------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x23. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大-------（A ） （A ）(0,1,1)-（B ）(1,0,1)- （C ）(1,0,1)-（D ）)1,0,1( 4．二次积分x d y x f dy ee y⎰⎰10),(的另一种积分次序为-----------------------（C ）（A ）1ln 0(,)x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）10(,)x e dx f x y dy ⎰⎰（C ）⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),( （D ）1(,)xe e dxf x y dy ⎰⎰5．2252(51)(1)x y x y ds +=++=⎰-----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）6．设n u =，则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）11nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与1n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞= （D ）∑∞=1n n u 发散，而1n ∞=7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为2,0(),0x x f x x x πππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)S π=------（B ） （A ）2π- （B ）22π- （C ）22π （D ）2π8．微分方程28xy y y e -'''++=的一个特解可设为--------------------------------------（D ） （A ）xae- （B ）x axe - （C ）()x ax b e -+ （D ）2xax e -二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1． 设(,)z f xy x y =+，其中(,)f u v 可微，且0,u f ≠求1()x y uz z f -. 解：x u v z yf f =+------------------------------------------------------------------------------------2y u v z xf f =+-----------------------------------------------------------------------------------2则1()x y uz z y x f -=-.---------------------------------------------------------------------3 2．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,06D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式12360(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212320(1)(1)12r d r π-=++⎰32π=.---------------------------------33．设空间闭区域Ω{}22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰． 解: 2,2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1原式=()P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z ∑Ω∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰--------------2 dv Ω=-⎰⎰⎰3π=-．--------------------------------------------------------------------3 4．求411x y y e x x '+=的通解. 解： 1141[]'dx dx x x xye e e x ⎰⎰=-----------------------------------------------------------------------2则4[]'xxy e =-----------------------------------------------------------------------------------2有414xxy e C =+，---------------------------------------------------------------------------2故41()xy e C x=+.--------------------------------------------------------------------------1三、计算题（8分）和建制造，乐在共享。
《高等数学》下册习题参考答案(天津科学技术出版社)
习题答案与提示习题7.11.2()f x x x =-，2()2z x y y =-+.2.21(,)1yf x y x y-=+. 3.2(,)(,)f tx ty t f x y =.4.（1）{(,)x y y ≤22}x ； （2）{}{}(,)0,1(,)0,1x y x y x x y x x y x >>+<<<+；（3）{(,)0,0x y x >≤222,y x x y <+≤2}； （4）{(,)x y y x >，22x y +≤1,x ≥0}； （5）22222{(,,),x y z z x y x y z >+++≤1}； （6）222{(,,)1x y z x y z <++≤2}. 5. 提示：利用1sinxy≤1.6.（1）1； （2）1；（3）0；（4）0；（5）k e ；（6）14-. 8. (,)f x y 在点(0,0)处不连续. 9.（1）0y x +=；（2）22(1,3,5)2k x y k π+==⋅⋅⋅. 习题7.21.（1）43zx y x ∂=-∂，32z x y y ∂=--∂； （2）22sin z x x y y ∂=∂， 222sinz x x y y y∂=-∂；（3）z x ∂=∂， z y ∂=∂； （4）21cos cos sin sin z x y y x yx y y x y x x ∂=+∂， 21cos cos sin sin z x x y x y y y x x y x y∂=--∂； （5） sin 2cos yx z y ye x x x∂=-∂，sin 1cos y x z y e y x x ∂=∂；（6）21(1)y zy xy x-∂=+∂，(1)[ln(1)]1y z xy xy xy y xy ∂=+++∂+； （7）12()1()z z u z x y x x y -∂-=∂+-，12()1()z z u z x y y x y -∂-=-∂+-，2()ln()1()z zu x y x y z x y ∂--=-∂+-； （8）1z z y u y x x -∂=∂，1ln z y z u zx y x y -∂=∂，ln ln z z y uy x x y z∂=∂. 2. (,1)2x f x x =. 5. 6πθ=.6.（1）222sin zy y x x ∂=-∂，22sin cos z x y x x y ∂=-+∂∂，22cos z x y y ∂=-∂；（2）22z x∂=∂，2z x y ∂=∂∂22z y ∂=∂ （3）22222(1)z x x x ∂=-∂+，20z x y ∂=∂∂，22222(1)z yy y ∂=-∂+； （4）2221()z x x y ∂=-∂+，221()y z e x y x y ∂=-∂∂+，2221()yz xe y x y ∂=-∂+. 7. (0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10. 322[2sin()cos()]yz e x y x y x y ∂=-+++∂∂，322[3cos()4sin()]y z e x y x y x y∂=+-+∂∂. 习题7.31. 0.72z ∆=，0.7dz =.2. 47dz dx dy =+.3. 11|(2ln 21)x y dz dx dy ===++.4.（1）22(4sin )dz y dx xy y dy =+-； （2）1()y x ydz e dx dy x x=--；（3）3222()()x dz ydx xdy x y =--+； （4）)dz =； （5）21cos cos sin y x du xydx xydy xydz z z z=+-； （6）1ln ln yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz -=++.习题7.41.33cos 23(sin )t t dze t t dt-=+. 2.dz dx = 3. 22[(cos )sin ]axdu e a y z x b x dx a b =++-+.4.[sin()cos()]xy ze y x y x y x∂=+++∂，[sin()cos()]xy z e x x y x y y ∂=+++∂. 5. 22222[tan()sec ()]tan ()z x y xy xy x x y xy ∂+=∂++，22222[tan()sec ()]tan ()z y x xy xy y x y xy ∂+=∂++.8. （1）122''uxf yf x∂=+∂，122''u yf xf y ∂=+∂； （2） 122''xy uxf ye f x∂=+∂，122''xy u yf xe f y ∂=-+∂； （3）11'u f x y ∂=∂，1221''u x f f y z y ∂=-+∂，22'u yf z z∂=-∂； （4） 1123'cos ''y y zu y f x e f x f x z -∂=++∂，231'ln 'y y z u xe f x xf y z ∂=+∂，32ln 'y z u y x xf z z∂=-∂. 10.（1）2241112222''2''''z f y f y f x∂=++∂，231112222''(2)''2'2''z f y x y f yf xy f x y ∂=---++∂∂，22211122222''4''2'4''zf xyf xf x y f y∂=-++∂； （2） 21112222221''''''z f f f y x y ∂=++∂，2122222211('''')'z x f f f x y y y y ∂=-+-∂∂，222222342'''z x x f f y y y∂=+∂；（3） 222211133332''2'''''xy xy xy zf ye f y e f y e f x∂=-++∂，22121333233''''(1)'''''xy xy xy xy zf xe f xy e f ye f xye f x y∂=+++++∂∂， 222222233332''2'''''xy xy xy zf xe f x e f x e f y∂=+++∂； （4） 222()111313332cos ''2cos ''sin ''''x y x y x y zxf e xf xf e f e f x+++∂=+-++∂，22()312133233'cos sin ''cos ''sin ''''x y x y x y x y ze f x yf e xf e yf e f x y++++∂=-+-+∂∂， 222()322223332'cos 'sin ''2sin ''''x y x y x y ze f yf yf e yf e f y+++∂=-+-+∂. 习题7.51. 2cos cos xy xy dy y x e xy dx x xy e x+-=⋅--.2. dy x y dx x y+=-.3. 22(1ln )(1ln )dy y x dx x y -=-.4. 22z z xx e z∂=∂-，22z z y y e z ∂=∂-.5. z zx x z∂=∂+，2()z z y y x z ∂=∂+.6. 22223(22)()yz yz z e yz y z x ye x ∂--=∂-.7. 2422223(2)()z z z xyz x y x y z xy ∂--=∂∂-. 11.（1）dx y z dz x y -=-，dy z xdz x y-=- (0)x y -≠； （2）2(1)(23)dy x z dx y z -=-，2(23)dz xydx y z =--，((23)0)y z -≠； （3）cos u v x u ∂=∂，sin u v y u ∂=∂，cos sin v v v vx u u u∂=-∂，sin cos v v v v y u u u ∂=+∂；（4）12211221'(2'1)''('1)(2'1)''uf yvg f g u x xf yvg f g ---∂=∂---，1111221'(''1)('1)(2'1)''g xf uf vx xf yvg f g +-∂=∂---.习题7.61.切线方程312223x y z π---==-， 法平面方程2333x y z π-+=-.2.切线方程为133618361z x y ---==-， 法平面方程108+216-6=971x y z . 3.10y -==，0z -=. 4. (1,1,1)--或111(,,)3927--.5.切平面方程333x y z +-=， 法线方程113331x y z ---==-. 6.切平面方程4621x y z ++=±.7．（-3，-1，3）.9.在点（1，1）有极小值为-1. 10.在点（3，2）有极大值为36.11.在点（1，-1）有极大值6，在（1，-1）有极小值-2. 12.在点（34,55）取极大值为5，在（34,55--）处取极小值为-5.13.时，周长最长.14. 15.当矩形的边长分别为23p 和3p时，绕短边所得圆柱体的体积最大.16.在（111,,222-.17..习题7.71.. 4. 143-.6. ±7. 93i j -.8. 2()3i j k ++.9. 24gradu i j k =-+是方向导数取得最大值的方向，最大的方向导数为gradu = 10.提示：用方向导数的定义.习题7.81. 22(,)52(1)(1)(2)(2)f x y x x y y =+---+-+.2. 4234111()(,)()()234(1)x y f x y x y x y x y x y θθ+=+-+++-⋅++ (01)θ<<.3. 2221111(,)()()[()2()()()]2242444444f x y x y x x y y R ππππππ=+-+------+-+ 232231[cos sin ()3sin cos ()()3cos sin ()()sin cos ()]6444444R x x y x y y ππππππξηξηξηξη=--+--+--+-，其中()44x ππξθ=+-，()44y ππηθ=+-，(01)θ<<.4. 2(,)1(1)(1)(1)f x y x x y R =+-+--+23322221122331{(1)(2)(1)3[(1)(1)ln ](1)(1)3[2ln 6ln ](1)(1)ln (1)},R x x y x y y ηηηηηηηηηηξηξηξηηξξξξηξξξξ------=---+-++---++--+-其中1(1)x ξθ=+-，1(1)y ηθ=+-.总习题七1. 2{(,)D x y x y =<≤21}x -.2. e .5.（1）2222sec ()tan()2z x y x y y x∂=+++∂，2222sec ()tan()z x y x y y ∂=++∂，222sec ()tan()2zx y x y x x y∂=+++∂∂. （2）222(1)y z y y x x-∂=-∂，222ln y z x x y ∂=∂，21(1ln )y z x y x x y -∂=+∂∂.6.2(1)2cos x y dz e dx y+=+-. 7. 222231212[('2')](2'')x y x y dz f x y f xye f dx x yf x e f dy =++++. 8.(cos sin )u ze v v u v x-∂=-∂，(cos sin )u z e u v v v y -∂=+∂. 9. 2222111222'(''')2''(2)''''''zf xy xf x y f xy f x yϕϕϕϕ∂=+-+-+∂∂. 11. 切线方程113331x y z ---==-，法平面方程333x y z +-=. 12. 切平面方程222x y z +-=.13. 1.14.（1）4πϕ=； （2）54πϕ=； （3）34πϕ=或74π.15.切点为，min V . 习题8.12.（1）2()Dx y d σ+⎰⎰≥3()Dx y d σ+⎰⎰；（2）3()Dx y d σ+⎰⎰≥2()D x y d σ+⎰⎰；（3）ln()Dx y d σ+⎰⎰≥2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰；（4）2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰≥ln()Dx y d σ+⎰⎰.3.（1）0≤I ≤2； （2）0≤I ≤2π； （3）2≤I ≤8； （4）36π≤I ≤100π.5.（1）负； （2）负； （3）正.习题8.21.（1）83；（2）203； （3）1； （4）32π-； （5） 3cos1sin1cos 22sin 22++--. 2.（1）655； （2）6415； （3）1e e --； （4）136； （5）2409π-.6.（1）11(,)xdx f x y dy ⎰⎰； （2）402(,)x dx f x y dy⎰；（3）1(,)dx f x y dy -1 ⎰；（4）112(,)y dy f x y dx 0 -⎰⎰；（5）1(,)ye e dyf x y dx 0⎰⎰；（6）232(,)x xdx f x y dy - 0⎰⎰；（7）01arcsin 2arcsin arcsin (,)(,)yyydy f x y dx dx f x y dy ππ- -1- 0+⎰⎰⎰⎰.7. 43.8.22ab cπ. 9. 6π.10.（1）20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ 0⎰⎰；（2）2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ -⎰⎰；（3）2(cos ,sin )bad f r r rdr πθθθ 0⎰⎰；（4）1(cos sin )20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ-+ ⎰⎰；（5）3sec csc 4404(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ 0++⎰⎰⎰⎰sec tan 304(cos ,sin )d f r r rdr πθθπθθθ ⎰⎰.11.（1） 40(cos ,sin )sec d f r r rdr πθθθθ 0⎰⎰+csc 24(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰；（2） 2sec 304()d f r rdr πθπθ ⎰⎰；（3） 1120cos sin )(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ- (+⎰⎰；（4） sec 40sec tan (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθ ⎰⎰.12.（1）434a π ； （2）31ln(16a ； （31； （4）418a π.13.（1）4(1)e π-； （2）(2ln 21)4π-；（3）2364π. 14.（1）94； （2）(2)8ππ-；（3） 414a ； （4）332()3b a π -；（5）314()33R π-.15.5140π. 16.4332a π. 习题8.31.（1）11(,,)xxydx dy f x y z dz - 0 0⎰⎰⎰；（2）2211(,,)x y dx f x y z dz -1+⎰⎰；（3）222122(,,)x x y dx f x y z dz - -1+⎰⎰.2. 415M =. 4. 1364. 5. 15(ln 2)28-. 6.148. 7.211162π-. 8.1180. 9.224h R π. 10.559480R π. 习题8.41.（1）5123π；（2）163π. 2.（1）10π； （2）476a π. 3.（1）18； （2）10π； （3）8π； （4）554()15A a π-； （5）0.4. 334a π.5.364105a π. 习题8.51. 22(2)a π-. 3. 216R . 4.（1）035x x =，038y y =；（2）222()b ab a x a b ++=+， 0y =.5. 3548x =，3554y =. 6. 5ax =-，0y =.7.（1）314y I a b π=；（2）725x I =，967y I =； （3）4(165)16x y a I I π==-.8. 4d I =.9.（1）10,0,4x y z ===； （2）30,0,8x y z a ===；（3）44333()0,0,8()A a x y z A a -===-.10. 50,0,4x y z R ===. 11. 5215xy I a π=. 12. 1445z I =. 13. 212a M （2M a h πρ=为圆柱体的质量）.14. 2]f h πρ.总习题八1.（1）≤I ≤；（2）6-≤I ≤78； （3）1e π-≤I ≤π.3.（1）1(,)dy f x y dx 0⎰⎰；（2）132(,)ydy f x y dx - 0⎰⎰；（3）222222(,)(,)(,)aa a aa a y a aady f x y dx dy f x y dx dy f x y dx 0++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 72.5.176.6. 1(sin cos )200(cos ,sin )I d f r r rdr πθθθθθ-+ =⎰⎰.7. 144a . 8. 26π-.10. 31arctan 3R k .11.（1）0(,,)xy ac dx f x y z dz 0 ⎰⎰⎰；（2）2211(,,)x y x dx dy f x y z dz 2+ -1⎰⎰⎰.12. 4. 13. 4π. 14. 6π. 15.8π. 16. 48a π.17. 43π.18. 28a . 19. 2[h π.20.（1）0x =，43by π=； （2）0x =，23()a b y h a b +=+.21.（1）（0，0，13）； （2）（14，18，-14）.22.（1）454R πρ；（2）331sin 3a b ρϕ.23. 523a ρ. 24. 85π.25.（1）2(1k πρ；（2）2(h k πρ. 上述k 为引力系数，ρ为物体密度.习题9.11.11)12. 2. 325615a . 3.（1）0； （2） 24. 4.（1） 2a π；（2） 22a . 5. (2)24ae a π+-.6. 332222211[(1)(1)]3x x +-+.7. 22a .. 9.320(2)3t +-. 10.重心在扇形的对称轴上且与圆心距离sin a ϕϕ处.11.（1）22224)3z I a a k ππ=+；（2）2222634ak x a k π=+，2222634ak y a k ππ-=+，2322223(2)34k a k z a k πππ+=+.习题9.21. 45.2.（1）343a -. （2）0. 3. 32.4. 874-. 5. 3323k a ππ-. 6. 2π. 7.0. 8.（1）0； （2）4π-. 9.（1）2222C a π-+； （2）72.10. 11()kq a b-，（k 为常数）.11. 815-.12.（1）L⎰；（2）L⎰；（3）(,)(1)(,)]L x y x Q x y ds +-⎰.习题9.31. 8π.2.（1）12；（2）42a π；（3）2ab π-；（4）1(1)5e π--；（5）1.3.28m a π. 4. π-.5. 26a π.6. 4π.7.（1）sin 2746-；（2）24π.8.（1）8；（2）32-；（3） 11π.9.（1） 221()2a b -；（2）0. 10.（1）2211222x xy y ++； （2）22sin cos y x x y +； （3）arctan yx.11. 12p =-，1习题9.41. 2ln a a h π223MR （其中24M R πμ=，μ是密度）.4.（1）133π；（2）14930π； （3）11110π.5.（1；（2）9π.6.（11)ln 2； （2）7.21)15π. 8. (0,0,)2a .习题9.52. 33a .3. 215. 4. 1. 5. 22e π. 6.55R π.7. 32π.8.（1）12； （2）18.9. 38()3R a b C π++.10.（1）32()55P Q dS +∑⎰⎰ ；（2）∑⎰⎰. 习题9.61. 92π-.2. 412h π-.3. 545R π.4. 4a .5.（1）0； （2）108π.6. 32a π.习题9.71.（1）6； （2）36.2. 3()'()f r rf r +.3.（1）2a ；（2）2()a a b π-+；（3）20π-；（4）9π.4.（1）2π； （2）2π.5. 0.6. 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]rotA x z xy xz i y z j y z xz x y k =--+-.7.（1）0；（2）-4.总习题九1.（1）73a ； （2）193. 2.（1）0； （2）43；（3）0.3. 6a ；（2）4π； （33a . 4.（1）5125a π； （2）525a π； （3）32；（4）412h π-；（5）248R π-.0π. 6. 26a π. 7. 23e -.8.（1）4x ； （2）0；（3）0. 9. 0(0)r ≠.10.212ph divA πΦ=-=，.11.212a b c ==-=-，，.12.42a b π. 13.（1）4yk ； （2）22ab ； （3）22ab .习题10.11. （1）234561111133333--，，，，； （2）123241233254，，，，；（3）-1，1，-1，1，-1； （4）1，0，-1，1，0，-1. 2.（1）11n n u n -=+； （2）1(1)(2)n n n u n--+=； （3）22!nn n x u n =.3.（1）1n s =，散；（2）111()22121k u k k =--+，11(1)221k s k =-+，收敛于12；（3）乘2sin6π后积化和差，散.4.（1）312n u n=⋅，散；（2）9110q =-<，收敛于919-； （3）散；（4）10n u →≠，散；（5）10n u →≠散.习题10.21.（1）收，n u <（2）收，21n n u →；（3）收；（4）从n ≥3始，1n u n>，散.3.（1）收；（2）散；（3）散；（4）收；（5）11b b <⎧⎪=⎨⎪⎩111b a a ><->-收；且 .散；收，散4. 都收敛.5.（1）散；（2）散；（3）收；（4）收；（5）绝收；（6）条收；（7）条收；（8）绝收.习题10.31.（1）∞∞（-，+）； （2）1133（-，）； （3）[-1，1)； （4）[1155-，]； （5）∞∞（-，+）； （6）（-4，-2]； （7）（0，4）； （8）[-1，1]. 2.（1）Φ； （2）0x =； （3）13（-1，-）； （4）∞∞（-，+）. 3.（1）(-1，1)，32(1)xx -；（2）(-1，1)，211ln 21xx x+-；（3）2111ln()120x S x x x x +⎧-+⎪=-⎨⎪⎩00x x ≠=；（4. 习题10.41.00000sin()2sin sin sin()()()2!n n x x x x x x x x n ππ+=++-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ ,x ∈∞∞（-+）. 2.（1）221111[1(1)3333n n n x x x -+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅，(33)x ∈-，；（2）261023!5!x x x -+-⋅⋅⋅，x ∈∞∞（-，+）；（3）46221cos 21(2)(2)cos [22224!6!x x x x x +==-+-+⋅⋅⋅，,x ∈∞∞（-+）； （4）0(ln 2)2!nxn x n ∞==∑，x ∈∞∞（-，+）； （5）2(1)(1)n nn x x n n ∞=-+-∑，1x ∈-（，1]；（6）22246113135[1224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅， [1,1]-； （7）先求导后展开，再积分，1,x ∈-（1）； （8）先求导，展开，最后积分回去，[]1,x ∈-1. 3.（1）直接展开：3231(1)2x x =+-+⋅⋅⋅；（2）11121(1)log (1)(02]ln 2nn n x x n ∞-=-=--∑，，. 4. sin sin[()]sin()cos cos()sin 666666x x x x ππππππ=-+=-+-，将sin()6x π-，cos()6x π-分别展开成()6x π-的幂级数代入.5.2111[1(1)(1)](1)11(1)x x x x x ==-=-+++++⋅⋅⋅+--+，（-2,0）. 6.原式ln(23)(1)ln(23)ln(1)x x x x =+-=++-，求导后展开再积分，其中(1,3)x ∈. 7.（1）648；（2）1.01984；（3）1.0986；（4）0.4940；（5）0.487. 8.sin xe x 为(1)i xe+的虚部，且sin )(1)44i xi xeππ++=代入z e 的展开式，整理后要其虚部.习题10.51.（1）21(1)()0,1,2,1n n a e e n nπππ--=⋅-=⋅⋅⋅+，； 121(1)()121n n b e e n nπππ+--=⋅-=⋅⋅⋅+，,,；122111(1)(1)()()()[(cos sin )]211n n n f x e e e e nx nx nn ππππππ+∞--=--=-+-+++∑ (21)x k π≠+ 0,1,2,k x =±±-∞<<+∞；在这些点处级数收敛于1()2e e ππ-+.（2）2(1)8n n a n -=，12n =⋅⋅⋅，，；0n b =，12n =⋅⋅⋅，，；2423a π=+； 2212(1)()18cos 3nn f x nx nπ∞=-=++∑ x -∞<<+∞.2.（1）0n a =，012n =⋅⋅⋅，，，；14(1)21n n b n +=--，12n =⋅⋅⋅，，； 114(1)()sin 21n n f x nx n π+∞=-=-∑ π-≤x π<；（2）01a =，0n a =，12n =⋅⋅⋅，，；2n b n π=-，12n =⋅⋅⋅，，； 1121()sin 2n f x nx nπ∞==-∑ π-≤x π< 0x ≠；0x =时，级数收敛于12.3. 积分时变量代换.4. 22[1(1)]()n n a n π=--，12n =⋅⋅⋅，，；02a =； 12(1)()n n b n π+-=，12n =⋅⋅⋅，，；1()1(cossin )22n n n n x n xf x a b ππ∞==++∑ 2-≤2x <. 5. 展开正弦级数：2[1cos ]n b n n π=-，12n =⋅⋅⋅，，； 1()sin n n f x b nx ∞==∑ 0≤x ≤π且1x ≠；展开余弦级数：2sin n na n π=，12n =⋅⋅⋅，，；02a =； 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑ 0≤x ≤π且1x ≠.6. 2(1)(1)11()n n in c sh n ππ--=+，012n =±±⋅⋅⋅，，，；()in xnn f x c e π∞=-∞=∑，21x k ≠+，012k =±±⋅⋅⋅，，，.总习题十1.（1）必要，充分； （2）充分必要； （3）收敛，发散； （4）2(12)2(1)(2)n n n -++，；（5）绝对收敛； （6）发散； （7）12R =； （8）cos 0x >；（9）1u a -；（10）0(ln )!nn x a n ∞=∑ ()x ∈-∞+∞，.2.（1）正确；（2）未必；（3）只有为正项级数才对；（4）未必；（5）正确；（6）未必.3.（1）收敛；（2）发散；（3）收敛；（4）01a <<时收敛，1a >时发散，1t >时收敛，t ≤1时发散； （5）0p >时绝对收敛，p ≤0时发散；（6）绝对收敛；（7）条件收敛；（8）绝对收敛； （9）发散；（10）条件收敛.4.（1； （2）0（收敛级数的一般项）.5.（1）11[]33-，； （2）（-1，1）； （3）（-1，1）； （4）[-2，0].6.（121(1)2!nn nx n ∞=-⋅ ()-∞+∞，； （2）233313526x x x x ⋅⋅++++⋅⋅⋅11[]22--，； （3）12(1)!n n x n -∞=-∑ ()-∞+∞，；（4）原式=3511(2)(2)sin 2[2]223!5!x x x x =-++⋅⋅⋅ ()-∞+∞，； （5）11()'[ln(1)ln(2)]'12x x x x =+++=+++原式111111231123x x =+--++ 分别展开后求和，再积分回去，展开式成立区间为两者的公共部分.7.（1）令和函数为()S x ，则111[()]''1n n xS x x x ∞-===-∑()(1)[ln(1)1]S x x x =--- （-1，1）； （2）令和函数为()S x ，则211()(1)n n S x x n x ∞-==+∑22121211()()''[()]''()''1n n n n x S x xxx xx x∞∞++=====-∑∑ （-1，1）； （3）3()(3)()'1(3)x S x x x +=+⋅-+ （-4，-2）； （4）222001()(1)1x xnnn x S x x dx dx x ∞=-=-=+∑⎰⎰ (11]-，.8.（1）1；（2）7.5.R R ，.10. 泰勒级数未必收敛于0()f x ，而其泰勒展开式一定收敛于0()f x . 11.（1）正弦级数1sin n n b n x π∞=∑ [01]x ∈，其中2022sin n b x n xdx π 1=⎰ (12)n =⋅⋅⋅，，；余弦级数01cos 2n n a a n x π∞=+∑ [01]x ∈，其中2022cos n a x n xdx π 1=⎰ (012)n =⋅⋅⋅，，，；（2）正弦级数 1sin n n b n x π∞=∑ [01]x ∈，其中02()sin n b f x n xdx π 1=⎰121022[sin (1)sin ]x n xdx x n xdx ππ1=+-⎰⎰ (12)n =⋅⋅⋅，，；余弦级数01cos 2n n a a n x π∞=+∑ [01]x ∈，其中02()cos n a f x n xdx π 1=⎰121022[cos (1)cos ]x n xdx x n xdx ππ1=+-⎰⎰ (012)n =⋅⋅⋅，，，.习题11.11.（1）一阶； （2）二阶； （3）三阶； （4）三阶； （5）一阶； （6）四阶； （7）三阶； （8）三阶.2.（1）是解，特解； （2）不是解； （3）是解，不是通解； （4）是解，通解； （5）是解，特解.3.（1）2'y x =；（2）'20yy x +=.习题11.21.（1）1010y x c -+=；（2）sin sin x y c ⋅=；（3）tan tan x y c ⋅=； （4）cx y e =；（5）arcsin arcsin y x c =+； （6）()(1)a x ay cy +-=. 2.（1）211ln()1x e y e +-=+；（2）ln(1)x y e =+； （3）1y x =-； （4）21y xe x =+；（5）tan 2x y e =；（6）(1)sec x e y +=.3. 6xy =.4. 取O 为原点，河岸朝顺水方向为x 轴，y 轴指向对岸，则所求航线为231()23k h x y y a =-.5.（1arctany xce-=； （2）sinln yx c x=+； （3）arcsin xy c=；（4）1cx y xe +=；（5）2y cx =； （6）222ln y x cx =；（7）x c =；（8）2x yx ye c +=.6. 213y x =.7. (14ln )y x x =-.习题11.31.（1）454x y ce -=-； （2）1(sin cos )2x y ce x x -=++； （3）1()x y e c x=+；（4）2222x x x y cee --=+； （5）22(sin )t t x ce t e =+； （6）2cos 2cos y c x x =-； （7）22ln ln x y y c =+； （8）sin ()x y x c e -=+； （9）332ce θρ-=+； （10）3(2)(2)y x c x =-+-. 2.（1）23t t x e e --=-； （2）32(4)3x y e -=-；（3）cos xy x=；（4）(1)cos y x x π=--；（5）cos sin 51x y x e ⋅+=. 3.2(1)x y e x =--.4.2()3f x x =5.（1）55352y cx x -=+； （2）2221()2x y ce x x =-++； （3）421(ln )2y x x c =+； （4）2[(ln )]12a yx c x -=；（5）1sin x x ce y=-+；（6）23222(ln )33x x x c y=-++.7.（1）tan()y x x c =-++；（2）1cx y e x=；（3）3132arctan()x y ce x=；（4）tan()sec()x x y x y c =+-++；（5）22222ln 21x y y xy cx y --=.习题11.41.（1）32132x y xy c ++=；（2）2(1)e c θρ+=； （3）不是全微分方程； （4）不是全微分方程； （5）522333123x x y xy y c +-+=；（6）422334343x x y y c ++=；（7）sin cos x y y x c +=； （8）sin x xy c =.2. 2()3x x ϕ=；443244x y x y c +-=.3.（1）22x x c y +=；（2）332y x cx =+； （3）2ln y x x cx +=；（4）222x x y ce +=.习题11.51.（1）5212311sin360272c y x x x c x c =-+++； （2）12sin s t c t c =-++；（3）12ln(1)[2]2x x c x c y +++-+=； （4）12ln y c x c =+； （5）121y c x c -=+；（6）12arcsin()x y c e c =+. 2.（1）331y x x =++；（2）223231(1)(22)22a a aax e e e y e x a x a a a a a a=-+-+--；（3）arctan 4y x π=+；（4）24(4)y x =+.3.3162x x y =++习题11.61.（1）线性无关； （2）线性相关； （3）线性无关；（4）线性无关；（5）线性无关； （6）线性无关； （7）线性无关； （8）线性无关； （9）线性相关； （10）线性相关.2. 212()x y c c x e =+.习题11.71.（1）312x x y c e c e =+； （2）12()t s c c t e -=+； （3）3212()x y e c c x -=+；（4）42312x x y c ec e -=+；（5）5612()x y ec c -=+；（6）5412()x y e c c x =+；（7）1234cos sin x x y c e c e c x c x -=+++； （8）1234()cos ()sin y c c x x c c x x =+++； （9）221234cos3sin3x x y c e c e c x c x -=+++； （10）1234(cos 2sin 2)x y e c c x c x c x =+++. 2.（1）342x x y e e =+；（2）5(15)x y e x =-；（3）12t x e =；（4）23sin5x y e x -=；（5）y e =+.3. 1()2x x y e e -=-. 4. 1cos3sin33y x x =-.习题11.81.（1）12cos 2sin 2(cos 24sin 2)x y c x c x e x x -=++-；（2） 22123(2)2x x x y c e c e x x e =+-+； （3）2512112x x xy c e c e e =++； （4）31214x x x y c e c e xe --=+-； （5）424121()2x x y c c x e x e =++； （6）5322121373525x y c c ex x x -=++-+； （7）1212cos2sin 2cos sin 39y c x c x x x x =+++；（8） 12cos sin sin 22x e xy c x c x x =+++；（9） 121cos sin sin cos3416x y c x c x x x =++-；（10）提示：21cos 2sin 2x x -=， 1211cos2210x x y c e c e x -=+-+.2.（1）32277x y e =-；（2）211114242x x x x y e x e e xe ---=+--； （3）2()x x x y e e e x x -=-+-； （4）11cos sin sin 233y x x x =--+.3. 1()(cos sin )2x x x x e ϕ=++. 4. 2811()(3cos sin )15610x x f x e e x x -=+++. 习题11.9（1）21c y c x x=+. （2）221211(ln ln )24y c x c x x x =++++. （3）3221312c y c c x x x =++-. （4）2123ln y c x c x x c x -=++.习题11.101. t PN ce λλ-=+.2. 222[sin cos ]1tmRCE RC e t RC t R C ωωωωω-+-+.3. 30分钟后，容器内含盐171克.4. ()(sin cos )(1)k t m mgv t l x e kα-=--.总习题十一1.（1）ln y cx x x =+ ； （2）213232c y x x x =+++；（3） 212(cos sin )x y e c x c x =+； （4） 312()x y e c c x -=+；（5）212(cos sin )x y e c x c x =+； （6）312()x y e c c =+；（7）12()y c c x =+；（8）(4(41243xxy c e c e =++；（9）23122xxxy e c e c e -=-++；（10）121243x y e c c =-++；（11）2127()2xx y x e e c c x --=++；（12）6121(7cos 5sin )74x x y x x c e c e =+++；（13）123sin5cos5sin510y x x c x c x =++； （14）32122253x y x x x c e c =---++； （15）52512x x x x y e xe c e c e ---=+++；（16）1211cos2sin 52t t t t c e c e ϕ-=-++；（17）21c y c x x=+； （18）212ln (ln )y x x x c x c =++； （19）121(ln )x c c t t=+；（20）1234cos sin kx kx y c e c e c kx c kx -=+++. 2.（1） 22x xe e y x+=；（2） 1cos 4xy π--=；（3） sin sin 12x y x e -=-+； （4） 4x x y e e -=-；（5）t s e -=； （6） 2173265x x y x e e -=---+；（7） 214cos2cos 33x t t =-+.3. n x y =.4. 1()2x f x e =-.5. 23011()23k x ay y v =-，地点30(,)6ka a v . 6.28sin 4sin 24sin 22cos 2t ts t t tωωω-⎧⎪=-⎨⎪-⎩ 22w w ≠=.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
试卷高等数学二期期末A卷试题参考解答
二期期末A 卷试题参考解答完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.一. 求一阶常微分方程x ydy e dx+=满足初始条件(0)0y =的解. 解 xy dy e dx e= x y dy e dx e =⎰⎰,y xe e C --=+代入初始条件(0)0y = C=－2, 于是,所求方程满足初始条件的解为 2.xye e -+=二. 计算二重积分,DI =⎰⎰其中为圆域 22.x y x +≤解cos 2cos 220I d πθπθπθθ-==⎰⎰⎰⎰2cos 20(1)r d πθθ=--⎰⎰cos 22232300022(1)(1sin )33r d d θππθθθ=--=-⎰⎰4.39π=-三. 验证数项级数1n ∞=+∑收敛,并求其和.解 111nnnn k k k S =====--∑∑∑))1=--=-lim 1n n n S S →∞→∞==-+- 11n =+-=-四. 若函数21sin()(),0,().xxt F x dt x F x t'=≠⎰求 解 2221sin()cos()()x x x t xt F x dt x t ⋅'=+⎰321sin cos()x x t xt dt x=+⎰3221sin 1cos()()2x x xt d xt x x=+⎰321sin 1sin()2x x xt x x =+331sin sin .22x x x x=- 五. 计算曲线积分22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰其中C 是圆周222x y x += 的上半部分,方向从点(0,0)(2,0).O A 到点解 22,(sin ),P x y Q x y =-=-+于是1,1,Q Py x∂∂=-=-∂∂ 由于,Q Py x∂∂=∂∂故积分和路径无关,于是 22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰322208.33x x dx ===⎰六.求解一阶常微分方程:220.dy y xy dx x-+= 解 令11,z y y-==则21,dz dy dx y dx =- 原方程化为 2121,dy x y dx x y -⋅=- 即2.dz z x dx x +=(*) 这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为20.dz z dx x += 分离变量,得 2,dz dx z x=- 2,dz dxz x =-⎰⎰2ln 2ln ln ln ,z x C Cx -=-+=即2.z Cx -=下面用常数变易法,令 2().z C x x -=则32()()2,dz C x C x dx x x'=-+ 代入原方程,得 322()()2()2,C x C x C x x x x x x'-++⋅=即2(),C x x x '=3(),C x x '=4().4x C x C =+于是得方程(*)的解为 44221,44x x C z C x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故原方程的解为2414,.x y C z x C==+其中为任意常数 七.求解二阶非齐次方程的初值问题:1,(0)(0) 1.x y y e y y ''⎧+=+⎨'==⎩解 原方程可化为两个二阶非齐次方程1y y ''+=…① 和x y y e ''+=…②它们对应的齐次方程都是 0,y y ''+= 特征方程为 210,λ+=通解为12cos sin .y C x C x =+ 对方程①，设特解为,y C =代入后的C =1；对方程②，因1不是特征根，故设特解为,xy Ae =代入方程得 ,x x xAe Ae e +=由此得12.A =于是得原方程的通解为 121cos sin 1.2xy C x C x e =+++由定解条件： 11111(0)1,22y C C ==++⇒=-122201111(0)sin cos ,;222x y C x C x e C C ⎛⎫'==-++=+⇒= ⎪⎝⎭ 故本初值问题的解为1(cos sin ) 1.2xy x x e =-+++ 八.计算曲面积分,S I xdydz ydzdx zdxdy +=++⎰⎰其中S为锥面04,z z =≤≤取外侧.解 如图，A S ++⋃所围区域为Ω，由高斯定理3A S P Q R xdydz ydzdx zdxdy dV V x y z ++Ω⋃⎛⎫∂∂∂++=++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 4, 4.r h == 22116444333V r h πππ==⋅⋅=因此64.A S xdydz ydzdx zdxdy π++⋃++=⎰⎰又 244464.A A A xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy ππ+++++===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 64640.S A S A I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ππ++++⋃=++=-++=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰九.若函数01(),2nn f x x ∞==+∑求证:⑴函数()f x 在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义积分()f x dx +∞⎰发散.解 ⑴ 11(),[0,),22n nn u x x x =≤∈+∞+ 2211(),(),[0,),(2)2nn n n u x u x x x ''=-≤∈+∞+ 而级数20011,22n n n n ∞∞==∑∑均收敛，由M 判别法，函数项级数00()()n nn n u x u x ∞∞=='∑∑和 在区间[0,+∞)上一致收敛，于是01()2n n f x x ∞==+∑在区间[0,+∞)上有连续的导数.且201().(2)n n f x x ∞='=-+∑⑵01()2AA nn f x dx dx x∞++==+∑⎰⎰1ln(2)2A Annn n dx x x +∞∞+====++∑∑⎰022ln ln 22n nn A A ∞=⎛⎫++⎛⎫=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑,().A →+∞→+∞ 即广义积分()f x dx +∞⎰发散.证毕十.求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛半径,收敛域及和函数. 解 令2,u x =原级数为11(1)21n n n u n -∞=--∑. 记 1(1),21n n a n --=-则 1211lim lim 1, 1.21n n n na n l R a n l +→∞→∞-=====+故级数收敛半径为 由于当1x =时,数项级数11(1)21n n n -∞=--∑满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原幂级数的收敛区域为[－1,1]. 下面来求和函数.记121(1)(),21n nn f x x n -∞=-=-∑则 12111(1)()(),21n n n f x x g x x n -∞-=-==-∑ 于是2011()()arctan ,1x f x g x dt x x t===+⎰ 121(1)()()arctan .21n nn f x x xg x x x n -∞=-===-∑ 十一.把函数2()4x f x x-=-展开成(2)x -的幂级数,并求其收敛域.解 令2,t x =-则0002(2)11 1.222n n n nn n n t x x ∞∞∞===--⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 收敛域为{}{}{}212222204.2x x x x x x x x ⎧⎫-<=-<=-<-<=<<⎨⎬⎩⎭十二.验证瑕积分2⎰收敛, 并求其值.解 x =1为瑕点,而2121dx dx dx =+⎰⎰⎰1111111012221022;y x dx dx y dy y dy y =---==-===⎰⎰⎰⎰.1111221221122;y x dx dx y dy y =--====⎰⎰⎰故瑕积分2⎰收敛,且其值为2121dx dx dx =+⎰⎰⎰=4.十三.若02,α<≤讨论瑕积分111sin dx x xα⎰的敛散性. 解 令2111,,,y x dx dy x y y===-则于是112201111sin ()sin sin .y I dx y y dy dy x x y y αααα+∞-+∞⎛⎫==-⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当12,()(2)sin I I ydy αα+∞===⎰都能够发散.当2102,0,,y A yαα-<<由于关于变量单调下降且趋于而对任意正常数积分一致有界:1sin 2.Aydy ≤⎰由Drichlet 判别法,积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰收敛.下面讨论绝对收敛性: 当22sin 121,01,,y y yαααα---><<≤即时当而积分211dy y α+∞-⎰收敛,由比较判别法,广义积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰绝对收敛; 当2222sin sin 1cos 221,12,,y y yy y yααααα-----≤≤<≥=即时 但由于此时广义积分21cos 2ydy y α+∞-⎰收敛,而广义积分211dy yα+∞-⎰发散,于是 广义积分211cos 2ydy y α+∞--⎰发散,即广义积分21sin ()y I dy yαα+∞-=⎰条件收敛. 十四.设()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增且(0)0,lim ()2;x f f x →+∞== (1) 求证:级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛并求其和;(2) 若函数()0,[0,),f x x ''<∈+∞求证:级数1()n f n ∞='∑也收敛.证 ⑴ 因()(1)0,lim ()lim ()2,n n x a f n f n f n f x →+∞→+∞=--≥==且故 1lim lim[()(1)]lim [()(0)]lim() 2.nn n n n n k S f k f k f n f f n →+∞→+∞→+∞→+∞==--=-==∑因此级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,其和为S =2.⑵ 由于()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增,故级数1()n f n ∞='∑为正项级数.因 ()0,[0,),f x x ''<∈+∞故()f x ' 在此区间单调递减,而由拉格朗日中值定理,在区间( n －1,n ) 内,必有n ξ,使得()(1)()(),n f n f n f f n ξ''--=≥ 由于1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,由正项级数的比较判别法, 级数1()n f n ∞='∑收敛.。
2022-2023学年天津市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3B．4C．5D．6解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为12×5102040=3．故选：A．2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34B．35C．36D．37解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γD．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C 错误；对于D ，因为α∩β＝m ，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D 正确． 故选：D ．4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A 与事件B 互斥却不互为对立（ ）A ．事件A ：3个球中至少有1个红球；事件B ：3个球中至少有1个白球 B ．事件A ：3个球中恰有1个红球；事件B ：3个球中恰有1个白球C ．事件A ：3个球中至多有2个红球；事件B ：3个球中至少有2个白球D ．事件A ：3个球中至多有1个红球；事件B ：3个球中至多有1个白球解：对于A ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A 与事件B 互斥却不互为对立，故B 正确；对于C ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故C 错误；对于D ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A 与事件B 是互斥事件也是对立事件，故D 错误． 故选：B ．5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A ．1720B ．3140C ．3740D ．1920解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为12，14，35．则没有一人成功的概率为12×14×35=340，∴至少一人成功的概率为1−340=3740． 故选：C ．6．如图，A ，B 是以CD 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，则DM →=（ ）A ．13DC →+12DN →B ．12DC →+23DN →C ．12DC →+13DN →D ．23DC →+12DN →解：由圆的几何性质知，2AB ＝CD 且AB ∥CD ，因为AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，所以DM →=12(DC →+DA →)=12DC →+12(DN →+NA →)=12DC →+12DN →+12×23BA →=12DC →+12DN →+13BA →=12DC →+12DN →+13×12DC →=23DC →+12DN →． 故选：D ．7．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在棱A 1B 1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA 1D 1D 内不存在直线与DE 垂直； ②平面A 1DE 与平面ABCD 所成的锐二面角为π4；③当点E 运动到棱A 1B 1的中点时，线段A 1C 上存在点P ，使得BC ∥平面AEP ； ④设点P 为线段A 1C 的中点，则三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：对①，如图，易知DE 在平面AA 1D 1D 内的射影为A 1D ，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB=π4，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，P A，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC 1即为对角面ABC 1D 1， 又易知A 1B 1∥对角面ABC 1D 1，∴E 到平面ABC 1D 1的距离为定值，又三角形PBC 1的面积也为定值， ∴三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值，∴④正确． 故②③④为真命题，共计3个． 故选：C ．8．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A 处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B 处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C 处）的距离，她在点A 处利用测角仪器测得点B 的俯角为5°，点C 的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D 处，测得点A ，B ，C 的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC ＝（ ）A ．50(√3+1)米B ．50(√3−1)米C ．50(√6+√2)米D ．50(√6−√2)米解：由题意知，AD ＝100，∠BAC ＝45°，∠BAD ＝75°，∠ADC ＝45°，∠BDC ＝30°， 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC +∠BDC ＝75°，∠ABD ＝180°﹣（∠BAD +∠ADB ）＝30°， 由正弦定理知，AB sin∠ADB=AD sin∠ABD，所以AB =100⋅sin75°sin30°=100sin(45°+30°)sin30°=100⋅√22⋅(√32+12)12=50√2（√3+1），在△ACD 中，∠ACD ＝180°﹣（∠BAC +∠BAD +∠ADC ）＝15°， 由正弦定理知，AC sin∠ADC=AD sin∠ACD，所以AC =100sin45°sin15°=100sin45°sin(45°−30°)=100⋅√22√22(√32−12)=100（√3+1），在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos ∠BAC ＝5000（√3+1）2， 所以BC ＝50√2（√3+1）＝50（√6+√2）米． 故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．i 为虚数单位，若复数z =2i+1i−2，则|z |＝ 1 ． 解：z =2i+1i−2， 则|z |=|1+2i −2+i |=|1+2i||−2+i|=√22√(−2)+1=1．故答案为：1．10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，则直线AB 与平面BCD 所成角的余弦值为 √33．解：如图所示：在正四面体ABCD 中，点A 在等边△BCD 的投影为△BCD 的中心O ， 则AB 与平面BCD 所成角为∠ABO ， 因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以BE =√32，BO =23⋅BE =√33， 所以cos ∠ABO =BOAB =√33．故答案为：√33．11．已知向量a →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4），则|a →−b →|的最小值为 √5 ．解：向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4）， 则b →∥c →，可设b →=λc →=（2λ，4λ），a →=（4，3），则a →−b →=(4−2λ，3−4λ)，故|a →−b →|2=（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5， 当λ＝1时，|a →−b →|的最小值为√5． 故答案为：√5．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为310．解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A ，B ，3袋未过保质期的牛奶为a ，b ，c ，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以所求概率为310．故答案为：310．13．设三角形ABC 是等边三角形，它所在平面内一点M 满足AM →=13AB →+23AC →，则向量AM →与BC →夹角的余弦值为 √714．解：设△ABC 边长为1，AM →=13AB →+23AC →，则|AM →|2＝（13AB →+23AC →）2=19AB →2+49AB →⋅AC →+49AC →2=19+49×1×1×cos60°+49=79， 所以|AM →|=√73，因为AM →⋅BC →=(13AB →+23AC →)(AC →−AB →)=−13AB →2+23AC →2−13AB →⋅AC →=−13+23−13×1×1×cos60°=16，设向量AM →与BC →夹角为θ， 则cos θ=AM →⋅BC →|AM →||BC →|=16√73=√714．故答案为：√714． 14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S 1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S 2，该雕塑外接球表面积为S 3，则S 1＝1189，S 2：S 3＝ 1：6 ．解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S 1=13×2×16+2×1×1+8×12×13×13=1189； 该雕塑内可容纳最大球的半径为12，表面积为S 2=4π×(12)2=π，该雕塑外接球的半径为√12+(22)2=√62，表面积为S 3=4π×(√62)2=6π，所以S 2：S 3＝1：6． 故答案为：1189，1：6．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生： （i ）写出该试验的样本空间：（ii ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×（0.005+0.01+0.02+a +0.025+0.01）＝1， 解得a ＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85， 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90，100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4， （i ）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}；（ii ）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共7种取法， 所以所求概率为P =715． 16．（15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cosA=b+c cosB+cosc．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）已知a ＝3， （i ）若△ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长： （ii ）求△ABC 周长的取值范围．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：sinAcosA =sinB+sinCcosB+cosC，整理可得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin C cos A﹣cos C sin A，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A=π3；（Ⅱ）（i）因为S△ABC=12bc sin A=12bc•√32=√32，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c=√15，所以三角形的周长为a+b+c＝3+√15；（ii）a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（b+c2）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．（Ⅰ）证明：取A1B1的中点E，连接EM，ED1，因为点M，N分别为棱AB和C1D1的中点，所以D1N∥B1E，D1N＝B1E，DD1∥EM，DD1＝EM，所以四边形B1ED1N和四边形DD1EM是平行四边形，第11页（共11页） 所以B 1N ∥D 1E ∥DM ，所以D ，M ，B 1，N 四点共面，因为D 1N ∥AM ，D 1N ＝AM ，所以四边形D 1AMN 是平行四边形，所以AD 1∥MN ，又AD 1⊄平面DMB 1N ，MN ⊂平面DMB 1N ，所以AD 1∥平面DMB 1N ．（Ⅱ）证明：因为过A 1作底面的垂线，垂足在线段AC 上，且垂线在平面ACC 1A 1上， 所以平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，所以A 1C 在底面ABCD 上的投影为AC ，假设直线A 1C 与平面DMB 1N 垂直，因为DM ⊂平面DMB 1N ，所以A 1C ⊥DM ，所以AC ⊥DM ，因为底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ，所以四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，所以点M 与点B 重合，这与题意相矛盾，故假设不成立，即直线A 1C 与平面DMB 1N 不垂直．（Ⅲ）解：若AC 1⊥平面A 1BD ，因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1D ，因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，A 1D →=AD →−AA 1→，所以AC 1→•A 1D →=（AB →+AD →+AA 1→）•（AD →−AA 1→）=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→−AA 1→2=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→=|AB →|2cos60°−|AB →|2cos ∠BAA 1＝0，所以cos ∠BAA 1=12，又∠BAA 1∈（0°，90°），所以∠BAA 1＝60°．。
天津科技大学高等数学试题库(定积分)答案
定积分一、填空题难度系数0.2以下：1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 /4π .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ 2/2πa ________.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ 2/3 ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ 0 ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ 45/2 ______. 6.比较大小，120d x x ⎰__≥_____130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰___≥____1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰__≥__320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰__≤___523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 10.120d sin d d x x x =⎰ 0 . 11.2d sin d d x x x⎰ 2sin x . 12.20d sin d d x t t x⎰ 2sin x . 13.02d sin d d x x x x ⎰ 2sin x - .14.220d sin d d x t t x ⎰ 4sin 2x x . 15.()2de d x t t -=⎰________2-x e dx _________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰________sin x dx x -_________________.17.20d d t t ⎛⎫=⎪⎝⎭⎰_________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰___e _________________.19.求极限203sin d limx x t t x →=⎰____31________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→⎰21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于________2____________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =________-2____________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰_______9__________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = 2a π .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = ab π .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = 212a π .27.由圆x =0x =所围成图形的面积A =12π . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = 2 . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = 2 . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = 1 .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = 3π .难度系数0.2—0.4：1.2e d ln d x xx t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_______)ln 2e (2x x x -__________________.2.设()f x 为[1,)+∞上的连续函数，且ln 1()()d xF x f t t =⎰，则()F x '=____1()(ln )F x f x x=____. 3.求极限202(3sin )d lim3xx t t t x→+⎰4.求极限2sin 0d limxt x e t x-→=⎰______1____________.5.1211d x e x x+∞=⎰ e . 6.11()d x x x e e x --+=⎰0 .7.325245sin d 1x xx x x -=++⎰ 0 . 8.51d x x=⎰42arctan 2- . 9.设()f x 连续，且221()d x f t t x -=⎰(2)f10.若2201()d 1xt t f x t t t-+=++⎰，则(1)f '11.30(1sin )d πθθ-=⎰43π-. 12.若sin d (0)ax x x b a =>⎰，则(sin cos ) d a ax x x x -+=⎰ 2b .13.由曲线xy e =，xy -=e ，与直线1x =所围成图形的面积A =2e1e -+. 14.由曲线sin y x =，cos y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所围图形的面积A =12- .15.用定积分表示由曲线42-=x y 与直线1=x 及3=x 所围成图形的面积A =4 .16.由圆222x y a +=所围图形绕x 轴旋转一周形成一个球体，其体积值V =343a π .难度系数0.4—0.6：1.反常积分21d (ln )kx x x +∞⎰，当k 取 1k > 时收敛.2.2(d aax x -=⎰32a .3.函数0()xf x t =⎰在[0,1]上的最大值是 2 .4.由单位圆221x y +=所围图形绕y 轴旋转一周形成一个球体，其体积值V =43π .5.用定积分表示曲线方程ln y x =上对应x ≤≤一段弧长的弧长的值s =131ln 22+ .难度系数0.6以上：1.若1ln ()d xtf x t t=⎰，则1()d e xf x x '=⎰ 1 .2.设正值函数()f x 在[,]a b 上连续，则函数1()()d d ()xxabF x f t t t f t =+⎰⎰在(,)a b 上至少有 1 个根.3.一立体以抛物线2y x =与直线4x =围成区域为底，而用垂直于x 轴的平面截得的截面都是正方形，则平行截面面积()S x = 4x ；其体积V = 32 .二、单项选择题难度系数0.2以下：1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（ B ）.（A ）大于零； （B ）小于零； （C ）等于零； （D ）不能确定. 2.下列等于1的积分是（ C ）.（A ）1d x x ⎰； （B ）1(1)d x x +⎰； （C ）11d x ⎰； （D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d xx ee x -=⎰（ D ）.（A ）1e e +； （B ）2e ； （C ）2e ； （D ）1e e-. 4.22(sin +cos )d 22x xx π=⎰（ B ）.（A ）2π； （B ）12π+； （C ）2π-； （D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（ C ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）2. 6.10d xm e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（ A ）. （A ）m n >； （B ）m n <； （C ）m n =； （D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（ C ）.（A ）112300d d x x x x ≤⎰⎰； （B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰； （D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（ C ）.（A ）203gt ； （B ）20gt ； （C ）202gt ； （D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰，其中（ B ）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点； （B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点； （C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点； （D ）ξ是[,]a b 的中点.10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xax f t t ϕ=⎰，则（ A ）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数； （B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数； （D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0baf x x =⎰且()f x 在[,]a b 连续，则（ B ）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =； （C ）存在唯一的一点x 使()0f x =； （D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ B ）.（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（ C ）.（A ）311d 2x x-⎰； （B ）30ln d x x ⎰；（C ）4tan d x x π⎰； （D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（ C ）.（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）2. 15.02sin x d t dt dx=⎰（ B ）. （A ）2sin x ； （B ）2sin x -；（C ）22sin x x -； （D ）2sin t -. 16.定积分()()d bax a x b x --=⎰（ B ）.（A ）3()6b a -； （B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -； （D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aaf x x -=⎰（ C ）.（A ）02()d af x x ⎰； （B ）0；（C ）[()()]d af x f x x +-⎰； （D ）0[()()]d a f x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且6()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （ D ）.（A ）0； （B ）4； （C ）8； （D ）16. 19.222d xe x --=⎰（ D ）.（A ）4222d u eu --⎰； （B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰； （D ）222d x e x --⎰.20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（ A ）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =0y =所围成图形的面积A =（ B ）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（ A ）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（ B ）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（ Ｃ ）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π.难度系数0.2—0.4：1.设ln 1()()xxF x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（ A ）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +； （B ）1(ln )()f x f x +； （C ）2111(ln )()f x f x x x -； （D ）1(ln )()f x f x-.2.下面命题中错误的是（ A ）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d baf x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界； （C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积；（D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积. 3.下列积分值为零的是（ C ）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰； （B ）220cos d x x x π⎰；． （C ）222sin d xx x ππ-⎰； （D ）022cos d x x x π-⎰.4.下列反常积分收敛的是（ B ）.（A ）1x +∞⎰； （B ）211d x x +∞⎰；（C ）11d x x+∞⎰； （D ）1d x e x +∞⎰.5.下列反常积分收敛的是（ C ）.（A ）ln d e x x x +∞⎰； （B ）1d lne x x x +∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰； （D ）e x +∞⎰.6.1211dx x -=⎰（ D ）.（A ）2； （B ）-1； （C ）； （D ）不存在. 7.函数2x 在[0,2]上的平均值为（ B ）.（A ）32； （B ）32ln 2； （C ）3ln 22； （D ）3ln 2. 8.定积分340sin 2d x x π⎰的值是（ C ）.（A ）12； （B ）12-； （C ）32； （D ）32-. 9.关于反常积分1ln d x x ⎰，下列结论正确的是（ C ）.（A ）积分发散； （B ）积分收敛于0； （C ）积分收敛于-1； （D ）积分收敛于1. 10.由不等式22222a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（ Ｃ ）.(A) 21)a π； (B)2a ； (C) 2a π； (D) 22a π.11.由相交于点11(,)x y 及2212(,),()x y x x <的两条曲线(),()y f x y g x ==，且()()0f x g x ≥>所围图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V =（ B ）.(A) []212()()d x x f x g x x π-⎰； (B) 2122()()d x x f x g x x π⎡⎤-⎣⎦⎰；(C)⎰-21d )]()([222x x x x g x f π； (D)[]21()()d x x f x g x x π-⎰.难度系数0.4—0.6：1.设sin 20()sin d xf x t t =⎰，34()g x x x =+，当0x →时，()f x 是()g x 的（ B ）无穷小量.（A ）高阶； （B ）同阶非等价； （C ）高阶； （D ）低价. 2.设0()(1)d xt f x t e t =-⎰，则()f x （ A ）.（A ）有极小值2e -； （B ）有极大值2e -； （C ）有极大值2e -； （D ）有极小值2e -.3.设()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数，()()d xaF x f t t =⎰，则（ B ）.（A ）()F x 是奇函数； （B ）()F x 是偶函数； （C ）()F x 是非奇非偶函数； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都不对.4.12121cos lnd 1xx x x-+=-⎰（ C ）. （A ）1； （B ）-1； （C ）0； （D ）12. 5.广义积分d ()()bkaxb a x a >-⎰的收敛发散性与k 的关系是（ B ）.（A ）1k >时收敛，1k ≤时发散； （B ）1k <时收敛，1k ≥时发散； （C ）1k ≥时收敛，1k <时发散； （D ）1k ≤时收敛，1k >时发散. 6.曲线ln y x =，ln y a =，ln y b =，（0a b <<）及y 轴所围图形面积A =（ Ｄ ）.(A) e e ln d abx x ⎰； (B)e e e d baxx ⎰； (C)ln ln ln d bax x ⎰； (D)ln ln e d by ay ⎰.7.曲线y =4x =、0y =所围图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积=V （ C ）.(A)4d x x π⎰； (B)240d y y π⎰；(C) 2432d y y ππ-⎰； (D) 24016d y y ππ-⎰.难度系数0.6以上：1.若20tan arctan d lim0x kx t t tc x →⋅=≠⎰，则k =（ D ）.（A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6.2.设()f u ''连续，已知12(2)d ()d n xf x x tf t t ''''=⎰⎰，n 应是（ C ）.（A ）2； （B ）1； （C ）4； （D ）12. 3.由心形线22cos r θ=+所围成图形的面积=A （ D ）.(A)2201(22cos )d 2πθθ+⎰； (B) 220(22cos )d πθθ+⎰； (C)201(22cos )d 2πθθ+⎰； (D) 20(22cos )d πθθ+⎰.三、计算题难度系数0.2以下：1.10(23)d x x +⎰．解：112(23)d (3)4x x x x +=+=⎰.2.2211()d x x x x-+⎰． 解：22232111115()d [ln ]ln 2236x x x x x x x -+=-+=-⎰.3.0(cos )d x x e x π-+⎰．解：00(cos )d (sin )1x x x e x x e e πππ---+=+=-⎰.4.x x x d )123(124⎰-+．解：14253100324(321)d []5315x x x x x x +-=+-=⎰. 5.x a x a x ad ))((0⎰+-．解：332233()()d ()d 33a a a x a x a x a x x a x a a -+=-=-=-=⎰⎰322a -．6.x xx d )11(94+⎰．解：=-=+=+=+⎰⎰32824]232[d )1(d )11(942/39494x x x xx x x x 344． 7.x x d 1123⎰--+．解：=-=+=+----⎰2ln 01ln d 112323x x x2ln -．8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 解：333sin()d sin()d()cos()03333x x x x x ππππππππππ+=++=-+=⎰⎰.9.(sin cos )d x x x π-⎰．解：00(sin cos )d (cos sin )(11)02x x x x x ππ-=-+=----=⎰.10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰．解：3311(sin sin 2)d (cos cos 2)24x x x x x ππ-=-+=-⎰.11.x x d )sin 21(0⎰-π．解：=--+=+=-⎰)11(2cos 2d )sin 21(00ππππx x x 4-π．12.222cosd x x ππ-⎰．解：22222221cos 211cos d d sin 22222x x x x x x πππππππ---+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭⎰⎰． 13.20(1cos )d πθθ-⎰．解：2201cos211(1cos )d sin d d (sin 2)2222ππππθπθθθθθθθ--===-=⎰⎰⎰14．π220cos d 2θθ⎰．解：ππ22201cos cosd d 22θθθθ+=⎰⎰π201π2(sin )|24θθ+=+=． 15.40sec tan d x x x π⎰．解：440sec tan d sec 1x x x xππ==⎰．16.⎰+33/121d x x．解：=-==+⎰63arctan 1d 33/133/12ππx x x 6π． 17.⎰-2121d x x ．解：=-==-⎰06arcsin 1d 2/102102πx x x6π．18.1⎰．解1110d()arcsin 26xx π===⎰⎰. 19.2201d 4x x +⎰． 解：2201d 4x x =+⎰82arctan212π=x .20.2120d 1x x x +⎰． 解：221111022*******d d (1)d [arctan ]11114x x x x x x x x x x π+-==-=-=-+++⎰⎰⎰．21.322d x ⎰．解：339222421193d (2)d (2ln )ln 222x x x x x x x =++=++=+⎰⎰．22.x xx d 12134⎰-．解：=-=+=-=-⎰⎰1817]212[d )1(d 121222132134x x x x x x x x 89． 23.4120d 1x x x +⎰． 解：4120d 1x x x =+⎰1411232201111d (1)d (arctan )113x x x x x x x x x -+=-+=-+++⎰⎰ 324-=π.24.212212d (1)x x x x ++．解：212212d (1)x x x x +=+1221122221111()(arctan )(1)1x x dx dx x x x x x x ++=+=-+++3112+-=π.25.11d (21)ex x x +⎰．解：11112d d 2121ee x x x x x x =-++⎰⎰()()1111d d 2121e e x x x x =-++⎰⎰() 11ln |ln(21)|1ln 3ln(21)e ex x e =-+=+-+.26.221d (1)xx x +解：222211d 11()d (1)1x x x x x x =-++arctan 112π=-=-. 27.251(1)d x x -⎰．解：22556211111(1)d (1)d(1)(1)66x x x x x -=--=-=⎰⎰． 28.⎰-324)28(d x x．解：=-=-=---=-⎰⎰)64181(61)28(61)28()2d(821)28(d 323324324x x x x x 3847． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ． 解：=-==-=⎰⎰0211cos )1d(1sin d 1sin /3/2/3/2/3/22ππππππx•x x x x x 21．30.41x ⎰．解：4411122(cos1cos 2)x ==-=-⎰⎰．31.120arctan d 1xx x +⎰．解：121122000arctan 1d arctan d(arctan )(arctan )1232x x x x x x π===+⎰⎰． 32.1d e x x⎰． 解：1322111222d (ln )dln (ln )(10)333eee x x x x x ===-⎰⎰＝． 33.ln3d 1x xe x e+⎰． 解：ln3ln3ln30 1 d d(1)ln(1)2ln 211x x x x x e x e e ee =+=+=++⎰⎰．34.2d x xe x ．解：222200111d d (1)222x x x a xe x e x ee ===-． 35.⎰+32d 1x x x ．解：=-=+=++=+⎰⎰)18(31)1(31)d(1121d 1302/32302232x x x x x x 37．36.20sin cos d t t t π⎰．解：22220011sin cos d cos d cos cos 22t t t t t t πππ=-=-=⎰⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．解：===⎰⎰πππ050404sin 51dsin sin d sin cos x x x x x x 0．38.20x π⎰．解：222000sin d sin d sin d x x x x x x x πππππ==-⎰⎰⎰⎰4cos cos 20=+-=πππx x .39.102d x x e x ⎰．解：102d x xe x =⎰2ln 112)2ln()2(10+-=e e e x.40.51x ⎰．t =，则212,d d 33t x x t t -==.于是4544122212224d d 3333x t t t t t =⋅===⎰⎰⎰.41.41x ⎰． 解：令t x =，则t t x t x d 2d ,2==.于是422211112d 1321d 2[ln(1)]21ln 112t t x t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-=-+=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 42.x xx d 191⎰+．解：令t x =，则2t x =，t t x d 2d =，于是t t t t t t x xxd )111(2d 12d 13131291⎰⎰⎰++-=+=+2331142ln(1)t t =-++42ln2=+．43.x xx d 4511⎰--．解：令t x =-45，则4/)5(2t x -=，2/d d t t x -=，于是3231132311(5)11d (5)d (5)8883t t t x x t t t t --=-=-=-=⎰⎰⎰61．44.x x d tan 32⎰π．解：223330tan d (sec 1)d tan 033x x x x xπππππ=-=-=-=⎰⎰33π-．45.224cot d x x ππ⎰．解：224cot d x x ππ=⎰41)cot ()1(csc 24242πππππ-=--=-⎰x x dx x .46.设函数21,1,()112x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求定积分20()d f x x ⎰.解：12223212118()d (1)d d ()2263x x x f x x x x x x =++=++=⎰⎰⎰. 47.设函数3,01,()2,12x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求定积分20()d f x x ⎰.解：12212210137()d 3d 2d 222x f x x x x x x =+=+=⎰⎰⎰.48.设函数⎩⎨⎧≥<=.11e )(x x x x f x ，，，，求定积分x x f d )(20⎰.解：=-+-=+=+=⎰⎰⎰2121e 2ed de d )(2121021120x x x x x x f x x21e +． 49.624d x x -⎰．解：466462222424114d (4)d (4)d (4)(4)422x x x x x x x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰．50.x x d cos 0⎰π．解：/220/22cos d cos d cos d sin sin x x x x x x xxπππππππ=-=-⎰⎰⎰10(01)2=---=．51.20sin d x x π⎰．解：2200sin d sin d (sin )d x x x x x x ππππ=+-⎰⎰⎰20cos cos 224x x πππ=-+=+=.52.1ln d e ex x ⎰．解|：()()1111111ln d (ln )d ln d ln ln eeeeeex x x x x x x x x x x x =-+=--+-⎰⎰⎰21112(1)e e=-+=-.53.d t te t π⎰．解：0d d d 1t t t t tte t t e te e t e e e e ππππππππππ==-=-=+-⎰⎰⎰.54.x x x d e 10⎰-．解：=--=+-=----⎰⎰110110e e1d e ed e xx x xx x x x e21-． 55.cos d x x x π⎰．解：cos d dsin sin sin d cos 2x x x x x x xx x xπππππ==-==-⎰⎰⎰．56.x x d ln e 1⎰．解：=--=-=⎰⎰)1e (e d ln d ln e 1e1e1x xxx x x x 1． 57.10arctan d x x x ⎰．解：21121020011arctan d arctan 221x x x x x x dx x =-+⎰⎰214-=π． 58.求极限02ln(1)d limx x t t x→+⎰．解：0200ln(1)d ln(1)11limlimlim 22(1)2x x x x t t x x x x →→→++===+⎰．59.求下列极限2d limx t x e t x→⎰．解：220d limlim 1x t x x x e t e x→→==⎰．60.设0()sin d xf x t t =⎰，求(0f '），(4f π'）． 解：()sin f x x '=，(0=sin0=0f '），(=sin 442f ππ'=）． 61.计算由曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成平面图形的面积. 解： 00sin d (cos )2A x x x ππ==-=⎰.62.计算由曲线xy e =与x 轴、y 轴及直线1x =围成平面图形的面积. 解： 11d ()1x x Ae x e e ===-⎰.63.求由直线x y =与曲线x y =围成的平面图形的面积A .解：dx x x A )(10-=⎰16=.难度系数0.2—0.4：1.x x xd 31102⎰+-．解：=+-=+-=+-⎰3ln 214ln 2136)]3ln(213arctan 31[d 31103102πx x x x x 43ln 2136+π． 2.⎰--112d x x x ．解：121d x x x --=⎰012210()d ()d x x x x x x --+-⎰⎰16165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x . 3.⎰-40sin 1d πxx．解：=-+=+=+=-⎰⎰121]sec [tan cos )d sin (1sin 1d 4/040240πππx x xx x x x 2． 4.x x x d 1222⎰+-．解：21211d (1)d (1)d x x x x x x x =-=-+-⎰⎰⎰⎰=+=-+--=2121)1(21)1(2121212x x 1． 5.22d 22xx x -++⎰．解：()()00022222d 12211x dxarctg x x x x ---==+++++⎰⎰ ()24411πππ=+=--=arctg arctg ．6.x x x d 12103-⎰．解：令t x sin =，则t t x d cos d =，于是t t t t t t x x xcos d )cos (cos d cos sin d 122042023213-==-⎰⎰⎰ππ1525131]3cos 5cos [2/035=-=-=πt t ．7.⎰+31221d xxx ．解：令t x tan =，则t t x d sec d 2=，于是=-===+⎰⎰⎰3/4/3/4/23/4/223122]sin 1[sin d c sec tan d sec 1d ππππππt t t ost t t t t xx x 3322-． 8.⎰-12122d 1x xx ． 解：令t x sin =，则t t x d cos d =，于是=--=-==-⎰⎰⎰4cot d )1(csc d cot d 12/4/2/4/22/4/212122πππππππt t t t t x xx 41π-． 9.⎰-2122d 1x x x ． 解：令t x sec =，则t t t x d sec tan d =，于是⎰⎰⎰-==-3/03/022122d )cos (sec d cos sin d 1ππt t t t t t x xx 3/0]sin sec tan [ln πt t t -+=23)32ln(-+=． 10.220cos d x x x π⋅⎰．解：22222000cos 2111cos d ()d cos 2d 222x x x x x x x xdx x x ππππ+⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰⎰2π=. 11.120arctan d 1x xx x ++⎰ ． 解：111222000arctan arctan d d d 111x x xx x x x x x x +=++++⎰⎰⎰ 2112200111ln(1)(arctan )ln 222232x x π=++=+.12.21e x ⎰．解：22211ln )1)e e x x =+==⎰⎰.13.x π⎰．解：22cos d cos d cos d )x x x x x x x x ππππππ===-⎰⎰⎰⎰202sin )x x πππ=-=14.x x x d sin 02⎰π．解)d sin sin (2d cos 2cos d sin 02022x x xx x x x xx x x x ⎰⎰⎰-+=+-=ππππππ4cos 2202-=+=πππx ．15.⎰41d ln x xx ．解：=--=-=-=⎰⎰)12(42ln 842ln 8d 2ln 2d ln 41414141x x xxx x x xx 42ln 8-．16.10x ⎰．解：令t =，2x t =，d 2d x t t =，111110002d 2[]2d 22[]2t t t t x te t te e t e e ==-=-=⎰⎰⎰． 17.⎰210d arcsin x x ．解：⎰⎰--=21022/10210d 1arcsin d arcsin x x x xx x x =-+=2/102112x π12312-+π． 18.10ln(1)d x x x +⎰．解：112001ln(1)d ln(1)d 2x x x x x +=+⎰⎰121200111ln(1)d 221x x x x x=+-+⎰101111ln 2(1)d 2214x x x =--+=+⎰． 19.x x x d cos e 2/0⎰π．解：因为x x x x x x x x d sin e sin e d cos e 2/02/02/0⎰⎰-=πππx x x x xx xx d cos e 1e d cos e cos e e 2/022/02/02⎰⎰--=-+=πππππ，有=⎰x x x d cos e 22/0π1e 2-π，所以=⎰x x x d cos e 2/0π)1e (212-π．20.求由d cos d 0yxte t t t +=⎰⎰所决定的隐函数y 对x 的导数d d y x. 解：等式两边同时对x 求导，得d cos 0d yy e x x +=，即d cos d y y x x e=-. 21.设隐函数()y y x =由方程22330ln 40y t x e dt y --++=⎰所确定，求d d yx. 解：等式两边同时对x 求导，得422d d 3230d d y y y x yey x x --+=，解得422d 3d 23y y x x ye y-=-. 22.求由方程1d sin d 202=+⎰⎰x y t tt t t 确定的函数)(x y y =的导数xyd d . 解：等式两边同时对x 求导，得22d sin 20d y x y x x x +⋅=，解得22sin 2d d yx x y -=. 23.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≥+=,01,1,0,11)(x x x x x f 求定积分20(1)d f x x -⎰. 解：令1-=x t ，则⎰-2d )1(x x f ⎰⎰⎰+++==--1001111d d 1d )(tt t t t t f 2ln 32)1ln()1(3210012/3+=+++=-t t .24.设函数1,0,1()1,0,1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩ 求定积分20(1)d f x x -⎰.解：令1-=x t ，则⎰-2d )1(x x f 111101d ()d d 11t t f t t te t --==+++⎰⎰⎰ 0101(ln(1)ln(1)(1)t t e t ln e -=-+++=+.25.ln320(1+)d x x e e x ⎰． 解：ln3ln3223ln30156(1+)d (1+)d(1+)(1+)33x x x x x e e x e e e ===⎰⎰． 26.x x d )sin 1(03⎰+π．解：=-+=-+=+⎰⎰πππππ03023]cos 3cos [dcos )1(cos d )sin 1(x x x x x x 34+π． 27.x x xd ln 1e1⎰+．解：=+=+=+=+⎰⎰321)(ln 321dln ln ln d ln 1e 12/3e 1e 1e1x x x x x x x 35． 28.⎰-++212102d x x x．解：=-=+=+++=++---⎰⎰)04(3131arctan 313)1()1d(102d 212122212πx x x x x x 12π． 29.⎰-++01311d x x ．解：令t x =+31，则13-=t x ，t t x d 3d 2=，于是2011003d 13(1)d 11t t t t t t -==-+++⎰⎰⎰ 2103[33ln(1)]2t t t =-++=232ln 3-．30.求函数2()d xt f x te t -=⎰的极值．解：2()x f x xe -'=，22()(12)x f x x e -''=-,令()0f x '=得函数()f x 的驻点0x =，又(0)10f ''=>，所以0x =时函数()f x 有极小值(0)=0f ．31.求极限⎰⎰→2202d cos )d sin (limx xx tt t tt．解：===⋅=→→→→⎰⎰⎰⎰1sin lim d sin lim cos 2sin d sin 2lim d cos )d sin (lim 000400020202x x x t t t x x x x t t t t t t t t x x x x x x x x 1． 32.求极限3001sin lim(1)d xx tt x t →-⎰． 解：323200000sin 11sin sin cos 11lim (1)d lim lim lim 33918x x x x x xt x x x x t x t x x x →→→→----====-⎰． 33.求极限42)d )1ln((limxt t xx ⎰+→．解：2432(ln(1)d )2ln(1)d ln(1)ln(1)d limlim42xxx x x t t t t x t t xx x →→++⋅++==⎰⎰⎰=414)1ln(lim0=+→x x x ．34.22(+)d xx x e x --⎰．解：2022222(+)d 0d 2d 2d 26xxx x x e x x xe x xe x e ------=+==-⎰⎰⎰⎰．35．若函数)(x f 连续，设⎰=x t t xf y 1d )(，求xyd d . 解：⎰=x t t f xy 1d )(，根据乘积求导法则，xyd d )(d )(1x xf t t f x +=⎰．36.计算反常积分411d x x+∞⎰的值．解：4433111111111d lim d lim ()lim ()3333bb b b b x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰． 37.计算反常积分0d ()kt pte e tp k +∞->⎰.解：()()0d d limd bkt pt k p t k p t b e e t e t e t +∞+∞---→+∞==⎰⎰⎰()()0111lim lim[]bk p t k p b b b e e k p k p k p --→+∞→+∞==----1p k =-． 38.判定反常积分1x ⎰的敛散性，若收敛，计算其值．解：2111lim[lim(1ttt t x --→→=-==⎰⎰． 故反常积分收敛于1． 39.判定反常积分1e⎰的敛散性，若收敛，计算其值．解：11lim[arcsin(ln )]2ett et ex π--→→===⎰．故反常积分收敛于2π． 40.计算由抛物线曲线26y x =-与直线32y x =-围成平面图形的面积.解：两条曲线交点为2632y x y x ⎧=-⎨=-⎩，得（-1，5），（3，-3），3323211132(632)d (3)33A x x x x x x --=--+=-++=⎰. 41.求由双曲线xy 1=及直线x y =、2=y 围成平面图形的面积. 解：取y 为积分变量，则2ln 23)ln 2(d )1(21221-=-=-=⎰y y y y y A .42.求由抛物线243y x x =-+-及它在点)3,0(-与点)0,3(的两条切线34-=x y与x y 26-=所围成区域的面积.解：如图，两切线34-=x y 与x y 26-=的交点为3,32C ⎛⎫⎪⎝⎭，所求面积为： x x x x x x x x A d )]34()26[(d )]34()34[(32322302-+---+-+---=⎰⎰498989d )96(d 32322302=+=+-+=⎰⎰x x x x x . 43.求由双曲线1=xy 与直线x y =及2=y 围成的平面图形的面积A . 解：dy y y A )1(21⎰-=3ln 22=-.44.求由曲线xe y =，xe y -=与直线1=x 围成的平面图形的面积A .解：dx e e A xx )(1--=⎰12e e=+-. 45.求由抛物线2x y =与直线x y 23+=围成的平面图形的面积A . 解：dx x x A )23(231-+=⎰-323=. 46.求由抛物线23x y -=与直线x y 2=围成的平面图形的面积A .解：dx x x A )23(213--=⎰-323=. 47.求由曲线y x =，直线1=+y x 及ox 轴围成的平面图形的面积A .解：dy y y A )2(10⎰--=56=. 48.求由曲线x y x y cos ,sin ==与直线0=x 及2/π=x 围成的平面图形的面积A .解：dx x x A ⎰-=2/0sin cos π1)=.49.求由不等式组10≤<x ，0ln ≤≤y x 所确定的平面区域的面积A . 解：10ln 1A xdx =-=⎰.50.求由不等式ax y x a 2222≤+≤所确定的平面区域的面积A .解：]cos 42121[22/3/223/02θθθπππd a d a A ⎰⎰+=22(3a π=-. 51.计算由两条曲线23y x =-与2y x =围成平面图形的面积.解：两条曲线交点为232y x y x⎧=-⎨=⎩，得（-3，-6），（1，2）23233d )23(1323132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--⎰x x x x x x A .52.求由曲线2x y =，1=x 及ox 轴围成的区域绕ox 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：140x V x dx π=⎰5π=53.求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形分别绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.解：所求的体积140d 5x V x x ππ==⎰.54.求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 解：所求的体积1(1)d 2y V y y ππ=-=⎰.55.求由曲线2x y =，1=x 及ox 轴围成的区域绕oy 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：10(1)2y V y dy ππ=-=⎰.56.求由曲线2x y =与2y x =围成的区域绕ox 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：1403()10x V x x dx ππ=-=⎰. 57.求由曲线2x y =与2y x =围成的区域绕oy 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：1403()10y V y y dy ππ=-=⎰.58.求底半径为r ，高为h 的圆锥题体积V . 解： 2201()3hr V x dx r h h ππ==⎰. 59.一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 围成区域为底，而用垂直于ox 轴的平面截得的截面都是等边三角形，求该立体体积. 解：20V ==⎰60.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面成α角，计算这个平面截下的圆柱体体积. 解： 22312()tan tan 23RR V R x dx R αα-=-=⎰. 61.计算曲线x y ln =从3=x 到8=x 一段的弧长S .解：dx x S ⎰+=83211131ln 22=-. 62.计算曲线)3(31x x y -=从1=x 到3=x 一段的弧长S . 解：dx x xS ⎰+=31)1(2143=. 63.计算曲线dt t t y x ⎰+=022从0=x 到5=x 一段的弧长S . 解：dx x S ⎰+=50)1(352=. 64.计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==的全长. 解：/243sin cos 6S a t tdt a π==⎰.难度系数0.4—0.6：1.1x ⎰．解：11222x ==⎰⎰⎰12212316π==． 2．已知⎰=='=201d )(0)2(21)2(x x f f f ，，，求定积分⎰''102d )2(x x f x ． 解：⎰⎰'-'=''10102102d )2()2(21d )2(x x f x x f x x x f x⎰+-'=1010d )2(21)2(212)2(x x f x xf f ⎰+-=1d )2(2141x x f ．对积分⎰10d )2(x x f ，令t x =2，则21d )(21d )2(2010==⎰⎰t t f x x f ，所以0212141d )2(102=⋅+-=''⎰x x f x ． 3．若22lim 4d xxax x a x e x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求c 值. 解：左式22lim 1xa x a e x a -→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭． 右式2222(2)d(2)2d x x aax e x x e +∞+∞--=--=-⎰⎰2222222(2d )22d )x x a x aa ax e xe x a e x e +∞+∞+∞----=--=-⎰⎰22222222(d )(221)ax x x aaa exee x a a e +∞+∞----=--=++⎰由，左式=右式，有222(221)xx a a ee --∴++=，得0a =或1a =-．4.求函数203()d 1xtf x t t t =-+⎰在区间[0,1]上的最大值与最小值． 解：23()1xf x x x '=-+，令()0f x '=得0x =在01（，）内无驻点，又(0)0f = 11220033(21)1(1)d d 121t t f t t t t t t -+==-+-+⎰⎰。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)
《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。
天津科技大学《高等数学》(一
-4-
天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题答案
法线方程为：
x 3 y 1 z 3 ． 1 3 1
天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题 9-6 答案
一、填空题
1． ( 2, 2) ， 8 ； 2． ( 1, 1) ， 0 ．
二、选择题
1．(A)； 2．(C)； 3．(B)； 4．(D)．
3．解：方程两边对 y 求导，有
x 2 y
1 xyz
( yz
x xz ) ， y
即
xyz
x x x xz 2 xyz 2 xyz yz xz ． 解得 . y y y xyz yz
4．解：方程两边微分得 2xdx 2ydy 2zdz
1 dz z
一、选择题
1. (A) 二、解答题 1．解：令 F ( x, y ) xy ln y 1, 则 Fx y, Fy x
1 y
F dy x dx Fy
y x 1 y
y2 1 xy
由原方程 x 0, y e
-3-
天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题答案
高等数学二(A)期末考试试题.docx
太原科技大学2013/2014学年第2学期《高等数学二》课程试卷B卷、填空题(每小题4分，共20分)1、已知Z=/2(2xy),其中/■为任意可微函数，则备=2、函数的定义域是___________________________________ln(l-x z-y z) ----------------------------------------------3、化下述积分为极坐标下的累次积分I =dyf^y~y2 f(x,y) dx _________________________________________________4、设曲线L的质量密度函数为戒3+力，则L的质量可表示为,又若I为二=x(0 « x « 1),则其质量等于5、已知lim”* a n = a> 0,则级数S^=i(—)n,0 < a <a nb的敛散性是____________________注：填空题由于数据丢失具体数据不详, 凭本人根据图片猜测而来，如有错误还请大家尽快指出 1.2小题可以肯定正确。
二、单项选择题(每小题4分，共20分)1、设z=<p(x + y)-巾(x - y),其中<p,小具有二阶连续导数, 则必有()_ d2z d2z - - d2z行一d2z d2z - - d2z d2z _A、—^+—^=0 B> —— = 0 C、—=0 D> —-=0 dx2 dy2dxdy dx2dy2dxdy dydx2、若函数笑/(X )=0,务I(X y)=°测，(勺)在(W。
)是A、连续且可微B、连续但不一定可微C、可微但不一定连续D、不一定可微也不一定连续3、1=贷dy丁疽刁3x2y2 dx,则交换积分次序后，得()A> \=j^ dxjf^3x2y2 dy B> \=ff^ dx 3x2y2 dyC. \=f^ dx f^~x2 3x2y2 dy D> \=f^ dx 3x2y2 dy4、1=]^ xe cosxy tan(xy)dxdy, D: |x| < 1, |y| « 1,则1=()A> 0 B> e C、 1 D > e-25、若级数蠢=1 %收敛于S,贝U级数Xn=l(U n + U n+1)().A、收敛于2sB、收敛于2s-UiC、收敛于2S+U1D、发散三、求下列偏导数(每小题5分，共10分)<、FL - -r^ du du1.设心,求源菽2.设u=x2+ y2 + z2,x=rcos 6 sin(p,y=rsin 0,z=rcos 伊，求房，舞.四、在椭圆x2 + 4y2 = 4上求一点使其到直线2% + 3,-6 = 0的距离最短。
天津科技大学高等数学2习题册答案
天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-1答案一、填空题1. c b a 6142+-；2. )2,1,2(31-±；3. 3232313--，，，；4. 22；5.2020z y +，0z ； 6. )1,0,0(；7. )1(43222-=-+z z y x .二、选择题1.（B ）；2. (C)；3.（C ）.三、解答题1．解：c b-=-=+=，)2(31)(3131c b c b c +=-+=+=+=，)2(31)(3232c b c b c +=-+=+=+=.2. 解：由++=，++=，得)(21+=，而)1,2,4()3,6,0(-=--=、，于是)1,4,2(--=. 或由中点坐标公式，得N M 、点坐标为)2/5,5,1(M 、)2/3,1,3(N 于是)1,4,2(--=.3. 解：由49)3()2(62222=-+-+=AB ，49)6(3)2(2222=-++-=AC ， 98)3(5)8(2222=-++-=BC ，有AC AB =及222BC AC AB =+，所以，三角形ABC 是等腰直角三角形.天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-2答案一、填空题1. 2， )13,4,7(--；2. 2，212arccos ；3. )2,1,1(-k （k 是任何实数）；4. 3.二、选择题1.（A ）；2.（B ）；3.（C ）；4. (D) .三、解答题1．解：22253)3()2(n n m m n m n m b a -⋅+=-⋅+=⋅08532cos 5322=-+=-⋅+=nn m mθ.2. 解：8=⋅b a ，8=⋅c a，于是k j b c b c a c b a 248)(8)()(--=-=⋅-⋅；k j kj i c a b a+=--=-⨯-=-⨯+111443)1,11()443()()(，，，；k j i kj i b a+--=--=⨯58311132， 2)(=⋅⨯c b a. 3. 解：(2=u +a +b ()⋅c +a +b )c14)(2222=⋅+⋅+⋅+++=c b c a b a c b a ，所以14=u.=⋅⋅=u a u a θcos 14141411===⋅⋅+⋅+⋅u u a c a b a a a. 4．)301(-=，，，)021(，，=A ，)236(021301，，-=-=⨯kj i，==S 27.天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-3答案一、填空题1. 6)2()1()1(222=-+++-z y x ； 2. 2222)1(x z y +=+，221z x y ++=； 3. 122=-z x ，z ，单叶旋转双曲面； 4. 圆锥面； 5. 椭圆，椭圆柱面； 6.2x z =，抛物柱面.二、选择题1.（B ）；2.（B ）；3.（C ）；4. (D) .三、解答题1．解：配方得 14)3()2()1(222+=-+++-a z y x ， 当14->a 时，是球心在)3,2,1(0-M ，半径14+=a R 的球面；当14-=a 时，是一点)3,2,1(0-M ；当14-<a 时，不表示任何图形. 2. 解：将方程改写为2222)(y z x =+±，由此可见，它是由xOy 平面是直线x y ±=，或由yOz 平面是直线z y ±=绕y 轴旋转形成. 它是圆锥面，其特点是顶点在原点，半顶角为4/π，y 轴是中心轴，开口向y 轴两侧. 3. 解：（1） （2）天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-4答案一、填空题1. 圆；2. 16322=-z y ； 3.⎩⎨⎧=-；022y x ,12=z4. ,cos 3θ=x ,sin 3θ=y θsin 3=z （πθ20<≤）；5. 0=-y x ；6. 62=+-z y x ；7. 0==C B ，0≠A .二、选择题1.（C ）；2.（C ）；3.（D ）.三、解答题1．解： 取法向量)4,3,1()2,3,1()12,2(3121=-⨯--=⨯=M M M M n， 平面方程为0)2(4)0(3)1(=-+-+-z y x ，即943=++z y x . 2. 解：取法向量)0,1,1(2)1,1,1()11,1(1-=⨯-=⨯=n n， 平面方程为0)1(0)1()1(=-+---z y x ，即0=-y x .3. 解：由平面过y 轴，于是设所求平面方程为0=+Cz Ax ，再由平面到B A 、两点的距离相等，有222232C A A C A C A +-=++，即132=+AC，得C A -=或C A 3-=，代入0=+Cz Ax 得所求平面方程为0=-z x 或03=-z x .4．解：设所求平面方程为132=++az a y a x ，由到原点的距离是6，有 2223121116⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a ，即766a=，得7±=a ， 代入方程132=++aza y a x 并化简，得所求平面为42236±=++z y x .天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-5答案一、填空题1. )5,3,1(--；2. 42132zy x =-+=-； 3. z y x ==； 4.232211-=--=-z y x ； 5. 0. 二、选择题1.（D ）；2.（D ）；3.（B ）.三、解答题1．解：取)1,1,3()1,2,1()2,1,1(21-=-⨯-=⨯=n n s，所求直线方程为111231-=--=+z y x . 2. 解：在直线上取一点)0,3,4(0-M ，并取所求平面的法向量为)22,9,8()2,4,1()1,2,5(0--=-⨯=⨯=MM s n，所求平面方程为0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x . 3. 解：设所求平面方程为012=+--+z z y x λ，将点M 代入有03=-λ，得3=λ，于是所求方程为122=++z y x .4．解：设所求直线方程为pz n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．解：过点M 作平面垂直于所给直线，方程为0)2(2)1(=--+y x ，将直线改写为参数方程0221=--=+=z t y t x ，，并代入平面方程，有0510=+t ，得2-=t ，投影点为)0,2,1(0-M ，所以30==MM d .天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-1答案一、填空题1．u u 22+，1-+y x ； 2．}0,1),{(22≥<+x y x y x ；3．{}x y y x ±=),(.二、选择题1．（B ）； 2．（C ）； 3．（D ）；三、解答题1．解：令y x u +=，x y v =.则v u x +=1，vuvy +=1.于是 vv u v uv v u y x x y y x f v u f +-=+-+=-=+=1)1()1()1(),(),(22222.所以yy x y x f +-=1)1(),(2.2．解：))((2)()(),(44ty tx ty tx ty tx f -+=2t =).,()2(244y x f t xy y x =-+3．解：由⎩⎨⎧≥->--,0)(,0122x y x y x 有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥<+；，，00122x y x y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤<+.00122x y x y x ，，得⎩⎨⎧≥≥<+；0,122x y y x 或⎩⎨⎧≤≤<+.0,122x y y x于是，定义域为：)0,1(),{(22≥≥<+=x y y x y x D 或)}0,1(22≥≥<+x y y x .天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-2答案一、填空题1．)1(22xy x y -； 2．z 2或yx 2； 3．1； 4．3.二、选择题1．（A ）； 2．（C ）；三、解答题1．解：；y x x z y e 2=∂∂ .)1(e )e e (2222yy x y y x y z y y y -=-⋅=∂∂ 2．解：x y x x y x y xx y x y x x y x x z cos sin 21)(cos sin 212-=-⋅+=∂∂； .cos 1)1(cos x y xx x y x y z =⋅=∂∂ 3．证明：由)ln(2122y x z +=，有2222)(22y x x y x x x z +=+=∂∂， 由变量y x ，的对称性，得22y x y y z +=∂∂，于是1=∂∂+∂∂yz y x z x . 4．证明：由于)2sin(21)21)](2sin()[2cos(2t x t x t x t z -=----=∂∂, )2cos(2122t x tz --=∂∂； )2c o s (22t x x t zt x z -=∂∂∂=∂∂∂. 所以, 0)2cos()2cos(2222=-+--=∂∂∂+∂∂t x t x t x ztz . 天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-3答案一、填空题1．119.0-,125.0-；2．y yx x y y d )11(d )1(2-++；3．)1ln 2(sec 2++t t t ； 二、选择题1．（B ）； 2．（A ）；三、解答题1. 解：由 y y xyx y x y y y x y x x z 2csc2cossin 11tan sec 2==⋅=∂∂,22222c s c2c o ss i n )(t a n s e cy y xx yx y x y x y x y x y x y z -=-=-⋅=∂∂. 得)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -=-=. 2. 解：2222212222)d 2d 2()(d )(d d 21yx y y x x y x y y y x yx y z ++⋅+⋅-+=+=-)d d ()(2/322y x x y y x x-+-=. 3. 解：由)ln(2122y x z u +=，有2222)(22y x xz y x x z x u +=+⋅=∂∂， 由变量y x ,的对称性,得22y x yz y u +=∂∂；又22ln y x zu +=∂∂. 所以，.d ln d d d 222222z y x y yx yz x y x xz u +++++=天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-4答案一、填空题1．21e2f x f y xy'+'-； 2．31cos 12f yxy f x '+'； 3．2e -； 4．z x z+；)(2z x y z +； .二、选择题 1．（B ）； 2．（A ）； 3．（C ）. 三、解答题1．解：.222121f x f y x f y f xz'+'=⋅'+⋅'=∂∂ )2(22)2(22212121122f x f y x f f x f y y xz''+''+'+''+''=∂∂222212112244f f x f xy f y '+''+''+''=. =∂∂∂yx z2)2(2)2(222112111f y f x x f y f x y f ''-''+''-''+' 1221222114)(2f f xy f y x f xy '+''-''-+''=. 2．解：方程两边对y 求导，有)(12xz yxyzxyzyx+∂∂=+∂∂， 即xz y x yz xyz y x xyz+∂∂=+∂∂2. 解得.2yzxyz xyz xz y x --=∂∂ 3．解：方程0),(=++xzy y z x F 两边对x ，y 求导，有 0)11(221=-∂∂⋅'+∂∂+⋅'x zx zxF x z y F . （1） 0)11(221=∂∂+⋅'+-∂∂⋅'yz x F y zyz yF . （2） （1），（2）移项并相比，有yz x x z x zx y z yzy xzy ∂∂+-∂∂=-∂∂∂∂+11/)(/)(1122，化简得.xy z yz y x z x-=∂∂+∂∂天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-5答案一、填空题1．314211-=-+=-z y x ；2．122=--z y x ； 3．101-； 4．⎪⎭⎫⎝⎛5354，. 二、选择题 1．(D)； 2．（C ）. 三、解答题1．解：以x 为参数，于是1)(24)(2-='='x z z x y y ，，在点)1,2,1(-M 处，2/1)1(1)1(='='z y ，. 取切线方向向量)1,2,2())1()1(1(2=''=z y T ，，，切线方程为：112221+=-=-z y x ； 法平面方程为：0)1()2(2)1(2=++-+-z y x ，即522=++z y x .2．解：设切点为),,(000z y x M ，442),,(222-++=z y x z y x F ， 取法向量),4,2()2,8,4(21),,(21000000z y x z y x F F F n M z y x =='''=， 由切平面与已知平面平行，有12422000z y x ==，即000022y z y x ==，， 代入椭球面方程，得2/10±=y ，100±==z x ，切平面方程为：0)1()2/1(2)1(2=±+±+±z y x ，即0422=±++z y x .3．解：设所求点为),,(000z y x M ，则法向量)1,,()1,,(00-=-''=x y z z nM y x，根据已知，有113100-==x y ，得31300000==-=-=y x z y x ，，， 切平面方程为：0)3()1(3)3(=-++++z y x ，即033=+++z y x ； 法线方程为：133113-=+=+z y x . 4．解：设曲面上任意一点为),,(000z y x M ，1),,(-=xyz z y x F ，则法向量),,(),,(000000y x z x z y F F F n Mz y x ='''=，于是切平面方程为：0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ， 化为截距式方程为：1333000=++z z y y x x ， 四面体体积292933361000000==⋅⋅⋅=z y x z y x V ， 所以，曲面1=xyz 上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为定值2/9.天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-6答案一、填空题1．)2,2(-，8； 2．)1,1(-，0； 3．41)21,21(=z ； 二、选择题1．(A)； 2．（C ） 3．(C)； 4．(B)； 5．(D).三、解答题1．解：设两直角边分别为x 、y ，三角形面积为A ，则xy A 21=，条件222l y x =+. 设(),(λ+=xy y x L )222l y x -+，)0(l y x <<，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+='=+=',,02,02222l y x y x L x y L y xλλ 得惟一可疑点2l y x ==，由实际意义，斜边一定时直角三角形面积为A 有最大值，于是在斜边长为l 的直角三角形中，以等边直角三角形面积最大，最大面积为42maxl A =. 2．解：设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,.则表面积z y x xy A )(2++=， )0,0,0(>>>z y x .约束条件为V xyz =.设)()(2),,(V xyz z y x xy z y x L -+++=λ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++=',,0)(2,02,02V xyz xy y x L xz z x L yz z y L z yxλλλ 得惟一可疑点32V y x==，3212V z =. 由实际意义，体积一定时，长方体表面积A 有最小值. 所以，当水箱的长、宽都为32V ，高为3212V时，最省材料.天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-1答案一、填空题1．2； 2．3π； 3．y x ，，⎰⎰211d d y yx xy y ．二、选择题 1．（D ）； 2．（A ）； 3．（C ）． 三、解答题1．证：设 143),(22-+=y x y x f ，由⎩⎨⎧=='==',08),(,06),(y y x f x y x f yx在区域D 内得驻点)0,0(O ，1)0,0(-=f .又在D 的边界上，212212]143[),(2222y y x y x f y x y x +=-+==+=+，（11≤≤-y ）于是，在D 的边界上，),(y x f 的最小值21=m ，最大值31=M ． 在D 上，),(y x f 的最小值1-=m ，最大值3=M ，D 的面积πσ=． (或者：222213414()13x y x y -≤+-≤+-≤) 所以，⎰⎰≤-+≤-Dy x y xππ3d d )143(22．2．证：设22arctan()(,)x y f x y x y+=+，则(,)f x y 除原点之外连续. 由二重积分的中值定理，知2222arctan()arctan()d 1nD x y x y ξησξη++=⋅++⎰⎰ 又221lim0n ξη→∞=+，arctan()2πξη+<有界，故22arctan()lim d 0nn D x y x y σ→∞+=+⎰⎰. 3. 解：(1) 先对y 再对x：120d (,)d x I x f x y y -=⎰⎰；先对x 再对y ：212201d (,)d d (,)d y y I y f x y x y f x y x -=+⎰⎰⎰⎰.(2) 先对y 再对x ：110110d (,)d d (,)d d (,)d x xxI x f x y y x f x y y x f x y y ---==+⎰⎰⎰⎰⎰；先对x 再对y：101d (,)d (,)d y yI y f x y x y f x y x -=+⎰⎰⎰⎰.天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-2答案一、填空题1．⎰⎰⎰⎰+2112102d ),(d d ),(d x x x y y x f x y y x f x ； 2．⎰⎰--1)1(212d ),(d y yx y x f y ；3．⎰⎰2cos 20d )(d πθρρρθa f 。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
《高等数学》(一)检测题1-1至1-7答案
一、填空题1. ]4,2()2,1( ；2. 2 ；3. 2e 1-=-x y ；4. ]2,1[.二、选择题1. （D ）；2. （B ）；3. （D ）；4. (C) .三、解答题1. 解：==)e ()]([xf xg f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<,1e ,1,1e ,0,1e ,1x x x 即=)]([x g f ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<.0,1,0,0,0,1x x x==)(e )]([x f x f g ⎪⎩⎪⎨⎧>=<-,1,e ,1,e ,1,e 101x x x 即=)]([xfg ⎪⎩⎪⎨⎧>=<-.1,e ,1,1,1,e 1x x x 2. 解：因为，x xf x f =+)1()(3， )0(≠x （1）所以，令tx 1=，则x t 1=，故有t t f t f 1)()1(3=+，即 xx f x f 1)1(3)(=+ （2） 联立方程（1）（2）解得xx x f 8183)(-=.3. 解：（1）21,,tan x v v u u y -===；（2） xx v v u u y 1,sin ,22-===； （3）x v u u y v-=+==1,e 1,ln ； （4）x t t v v u u y =-===,sin 1,arctan ,.一、填空题1. n n 1-；2. 112)1(---n n ； 3. n n )1(1-+； 4. （1）1； （2）0； （3）0； （4）不存在.二、选择题1. (A)；2. (C)；3. (A)；4. (D)；5. (D).天津科技大学《高等数学》(一)检测题答案1-3一、填空题1. 0xa ； 2.b ax +0； 3. 1； 4. 0； 5. 2-； 6.2π； 7. 不存在； 8. 0. 二、选择题1. (B)；2. (B)；3. (D)；4. (D)；5. (C) .天津科技大学《高等数学》(一)检测题答案1-4一、填空题1. 1、1-；2. 0、∞+、+-1； 3. 0； 4. 2-.二、选择题1. (D)；2. (C) 、(B)；3. (D) . 三、计算题1. 解：2112lim )1)(1()2)(1(lim 123lim 11221-=-+=-+++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x x . 2.解：222032203303)33(lim 33lim )(limx h xh x hh xh h x h x h x h h h =++=++=-+→→→. 3. 解：21111lim )11(lim 11lim000=++=++=-+→→→x x x x x x x x x . 4. 解：2111lim )1)(1(1lim 1211lim 1121=+=+--=⎪⎭⎫⎝⎛---→→→x x x x x x x x x .5. 解：110101cos 1sin lim cos sin lim -=-+=-+=-+∞→∞→xx x xx x x x x x . 6. 解：因为01lim 2=+∞→x x x ，而x arctan 有界，所以0arctan 1lim 2=+∞→x xx x .于是，2)02)(01(arctan 1211lim 2=-+=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x . 7. 解:()11lim 12/)121(lim 112531lim2222=-=--+=--++++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . 8. 解:由21)1()(1lim )11(lim 22=-++-+-=---+∞→∞→xx a x a b b b ax x x x x ，有 ⎩⎨⎧=-=+,2,01b a a 得⎩⎨⎧-=-=.3,1b a天津科技大学《高等数学》(一)检测题答案1-5一、填空题1. 1；2.52； 3. 21； 4. e 1； 5. 4e1； 6. 2e .二、选择题1. (C)；2. (B)；3. (D)；4. (B).三、计算题1.解：212/)(lim cos 1lim 200==-++→→x x x x x x . 2.解：41)1)(1)(1(1lim 11lim 1)1sin(lim12121=++--=--=--→→→x x x x x x x x h h h . 3.解：e e 1221lim 1212lim 1122212==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--∞→∞→x x x x x x x x x .4.解： 2sin 221sin 10e )21(lim )21(lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+→→xx xx xx x x .四、解答题1.解：因为33/)1(1lim )1)1(1(1lim 11lim )()(lim131311=---=--+--=--=→→→→x xx x x x x x x x x x βα，所以当1→x 时，x x -=1)(α与31)(x x -=β是同阶但不等价无穷小. 2.证明：设22212111nn n n x n ++++++=，则，≤n xn y nnn ==+++1111222； ≥n xn z nnn n nn nn nn =+=+=++++++/1111112222，因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，所以112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n nn .天津科技大学《高等数学》（一）检测题1-6答案一、填空题1. ),2()2,1()1,(+∞---∞、、，1-=x ；2. π-，0；3. 1.二、选择题1.（D ）；2. （C ）；3. （B ）；4. （C ）.三、解答题1.解：原式2)45)(1()1(4lim)45)(1()45)(45(lim11=+---=+--+---=→→x x x x x x x x x x x x x .2.解：原式1e ln )11(lim ln )11ln(lim ==+=+=+∞→+∞→x x x x x x.3.解：原式22lim 2222ππ==→∞n nn .4.解：原式23)1cos sin 3(lim 211cossin 3lim 21020=+=+=→→x x x x xx x x x x .5.解：因为0)313(lim 1=+-+→x x x 故02])[(lim 1=+=++→B A B x B A x 即B A 2-=，代入)(x f 表达式有.2)1(2)313)(1(lim313)1(lim)(lim 111B x x x x B x x x B x f x x x -=-+++--=+-+--=→→→ 要使)(x f 在1=x 处连续，必需4)1()(lim 1==→f x f x ，故42=-B ，2-=B ，4=A .天津科技大学《高等数学》（一）检测题1-7答案一、选择题1.（D ）；2. （B ）.二、证明题1.证明：令1sin )(--=x x x f ，由于)(x f 是初等函数，所以在],0[π上连续且01)0(<-=f ，01)(>-=ππf .由零点定理得方程1sin +=x x 在),0(π内至少有一个实根.2.证明：设2/1ln )(-+=x x x f ，则函数)(x f 在闭区间]1,2/1[上连续，又02ln )21(<-=f ，021)1(>=f ，由零点定理知方程x x -=21ln 在)1,21(内至少有一个实根，从而至少有一个不超过1的正根.注：0)21(<f 也可以用0)(lim 0<-∞=+→x f x 替代. 3.证明：记)()()(x g x f x F -=，由题设知)(x F 在闭区间],[b a 上连续，且0)()()(≤-=a g a f a F ， 0)()()(≥-=b g b f b F .若)()(a g a f =或)()(b g b f =，则可取a =ξ或b =ξ，若)()(a g a f ≠，)()(b g b f ≠，则得0)(<a F ，0)(>b F .由闭区间上连续函数的零点定理，知至少存在一),(b a ∈ξ，使0)(=ξF 即)()(ξξg f =. 综上：至少存在一],[b a ∈ξ，使得)()(ξξg f =.4．证明：由函数)(x f 在闭区间],[1n x x 上连续，则)(x f 在闭区间],[1n x x 上有最小值m 与最大值M ，而M nx f x f x f m n ≤+++≤)()()(21 ，由介值定理推论有],[1n x x ∈ξ使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ.。
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
李伟版高等数学第二章习题答案(天津科技大学)
习题2—1（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；（2）求分段函数(),,()(),x x a f x x x a ϕφ<⎧=⎨≥⎩在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在； （4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)()(00--'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00++'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．2．设函数2x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.解：1lim 1lim)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．3．设函数y =10=x 点处的导数． 解：2111lim 11lim)1(11=+=--='→→x x x y x x ． 4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．解：xx x x x x x y x x x x x x 1e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim1100==∆+=∆-∆+='∆→∆→∆． 5． 对函数x x x f 2)(2-=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ．解：22)22(lim )2()](2)[(lim)(0220-=+-=--+-+='→→x h x hx x h x h x x f h h ， （1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ； （2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为221gt s =，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ． 解：速度为gt hgt h gt h t g t s t v h h =+=-+='=→→)2(lim 2/2/)(lim)()(0220， 加速度为g g hgth t g t v t a h h ==-+='=→→00lim )(lim)()(． 7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率11)1(1=='==x xy k ，切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即01=--y x ； 法线方程为：)1(110--=-x y ，即01=-+y x ． 8．若函数)(x f 可导，求下列极限：（1）x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000； （2）x x f x )(lim 0→（其中0)0(=f ）；（3）h h x f h x f h )()(lim000--+→； （4）x x f f x )sin 1()1(lim 0--→．解：（1）=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆xx f x x f x x f x x f x x )()(lim )()(lim 000000)(0x f '-．（2）=--=→→0)0()(lim )(lim00x f x f x x f x x )0(f '． （3）hh x f h x f h )()(lim000--+→='+'=---+-+=→→)()()()(lim )()(lim00000000x f x f h x f h x f h x f h x f h h )(20x f '． （4）=⨯'=⋅---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim )sin 1()1(lim00f xx x f x f x x f f x x )1(f '． 9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：（1）3x y =，在0=x 点；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点； （3）2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点．解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，因为+∞==--→→32031lim 00limxx x x x （极限不存在），所以3x y =在0=x 点不可导． （2）因为21arctan lim 00)/1arctan(lim2020π==--→→xx x x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续． （3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(211=====+-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1f x f x =→， 所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点连续，又2)1(lim 11lim )1(111lim )1(1211=+=--='=--='---→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ， 所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点不可导．10．设函数⎩⎨⎧≥<=，，，，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．解：因为e 1ee lim )1(e 11e lim e 1e e lim )1(1111=--='=--=--='---→+-→→-x x f x x f x x x x x ，，所以=')1(f e ． 11．设函数⎩⎨⎧≥+<=，，，，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．解：当0<x 时，x x x f sin )(cos )(-='='，当0>x 时，22lim )12(1)(2lim)12()(00==+-++='+='→→h h hx h x x x f ，当0=x 时，由20112lim )0(001cos lim )0(00_=--+='=--='+→+→-x x f x x f x x ，， 于是函数在0=x 点不可导，所以⎩⎨⎧><-='.020sin )(x x x x f ，，，习题2—1（B ）1．有一非均匀细杆AB 长为20 cm ，M 为AB 上一点，又知AM 的质量与从A 点到点M 的距离平方成正比，当AM 为2 cm 时质量为8 g ，求： (1) AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M 处的密度．解：设x AM = cm ，则AM 杆的质量为2)(kx x m = g ，由2=AM 时,8=m ，得2=k ，所以，22)(x x m =，x h x hx h x x m h h 4)24(lim 2)(2lim)(0220=+=-+='→→ g/cm ． （1）AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度为==282)2(m 4 g/cm ． （2）全杆的平均线密度为==2080020)20(m 40 g/cm ． （3）点M 处的密度为=')(x m x 4 g/cm ．2．求b a ，的值，使函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 解：首先函数)(x f 要在0=x 点连续．而1e lim )0(0==-→-x x f ，b b ax f x =+=+→+)(lim )0(0，b f =)0(， 由)0()0()0(f f f ==+-，得1=b ，此时1)0(=f ．又11e lim )0(0=-='-→-xf x x ，a x ax f x =-+='+→+11lim )0(0，由)0()0(+-'='f f 得1=a ． 所以，当11==b a ，时，函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 3．讨论函数x y tan =在0=x 点的可导性．解：1tan lim 0tan lim )0(00-=-=-='--→→-x x x x f x x ，1tan lim 0tan lim )0(00==-='++→→+xxx x f x x 因为)0()0(+-'≠'f f ，所以函数x y tan =在0=x 点不可导． 4．若函数)(x f 可导，且)(x f 为偶（奇）函数，证明()f x '为奇（偶）函数． 证明：（1）若)(x f 是偶函数，有)()(x f x f =-， 因为)()()(lim )()(lim)(00x f hx f h x f h x f h x f x f h h '-=----=--+-=-'→→，所以)(x f '是奇函数．（2）若)(x f 是奇函数，有)()(x f x f -=-， 因为)()()(lim )()(lim)(00x f hx f h x f h x f h x f x f h h '=---=--+-=-'→→， 所以)(x f '是偶函数．5．设非零函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，在0=x 点可导，)0()0(≠='a a f ，且对任何实数y x ，，恒有)()()(y f x f y x f =+.证明)()(x af x f ='．证明：由)()()(y f x f y x f =+，令0==y x ，有)0()0(2f f =，而0)(≠x f ，得1)0(=f ．因为hx f h f x f h x f h x f h h )()()(lim )()(lim00-=-+→→)()0()()0()(lim )(1)(lim)(00x af f x f hf h f x f h h f x f h h ='=-=-=→→， 所以函数)(x f 可导，且)()(x af x f ='．6．求曲线xx y 1+=上的水平切线方程． 解：hx x h x h x h x y h x y x y h h )/1()]/(1[lim )()(lim )(00+-+++=-+='→→211])(11[lim xh x x h -=+-+=→，由0)(='x y ，得±=x ，当1=x 时，2=y ，此时水平切线是)1(02-=-x y ，即2=y ； 当1-=x 时，2-=y ，此时水平切线是)1(02-=+x y ，即2-=y ．7．在抛物线21x y -=上求与直线0=-y x 平行的切线方程． 解：对21x y -=，导函数为：x h x hx h x h x y h x y x y h h h 2)2(lim )1(])(1[lim )()(lim )(02200-=+-=--+-=-+='→→→，设切点为)1(2t t -，，则切线斜率为t t y k 2)(-='=，而直线斜率为11=k ， 根据已知，有1k k =，即12=-t ，得2/1-=t ，切点为)4/32/1(，-， 切线方程为：)21(143+⋅=-x y ，即0544=+-y x ． 8．已知曲线2ax y =与曲线x y ln =相切，求公切线方程．解：设切点为),(00y x ，则两曲线在切点处的斜率分别为012ax k =，02/1x k =.由两曲线在0x x =时相切，有⎩⎨⎧==./12ln 00,020x ax x ax 得21ln 0=x ，即e 0=x ，此时，e 21=a ，210=y ，公切线斜率为e1=k ， 公切线方程为)e (e 121-=-x y ，化简得021e1=+-x y . 习题2—2（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数)(x f y =在一点x 处的微分x x f x f ∆'=)()(d 仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．答：（1）前者正确，根据微分的定义y x o y y d )(d ≈∆+=∆；后者不正确，如对线性函数b ax y +=，恒有)(d x a y y ∆==∆．（2）不正确．因为x x f x f x x ∆'==)()(d 00，可见0)(d x x x f =不仅与)(0x f '有关，还与自变量x 在该点的增量x ∆有关．（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x 点处的微分y d ：（1）x y ln =； （2）3x y =（0≠x ）； （3）xy 1=（0≠x ）； （4）22x x y +=．解：（1）因为x y 1='，所以xxy d d =． （2）因为3222332033031)()(1lim lim )(xx h x x h x h x h x x y h h ⋅=++++=-+='→→，所以，323d d xx y ⋅=．（3）因为x x h x x x xhx h h x x h x h x x y h h h 211lim 1lim /1/1lim)(0200-=++-=++-=-+='→→→，所以，xx x y 2d d -=．（4）因为)1(2)22(lim )2(])()(2[lim)(0220x h x hx x h x h x x y h h +=++=+-+++='→→， 所以x x y d )1(2d +=．3．求下列函数在0x x =点处的微分0d x x y =：（1） x y cos =，20π=x ； （2）xx y 1+=，10=x ． 解：（1）因为x y sin -='，所以x x x yx x d d sin d 2/2/-=⋅-===ππ．（2）因为211xy -='，所以0d 0d ]11[d 121=⋅=⋅-===x x xy x x ． 4．设函数y =10=x ，1.0=∆x 时函数的微分y d ．解：因为x x h x h x h x y h h 211lim lim00=++=-+='→→， 所以05.02d 1.011.01=∆==∆==∆=x x x x xx y．5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：（1）0330sin '； （2）05.1； （3）002.1ln ．解：（1）取6/30360/610330sin )(0ππ==='== x x x x f ，，，x x f cos )(='， 由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得 5076.05000.00076.0217203213606cos 0330sin =+≈+=+⋅≈'πππ．（2）取105.1)(0===x x x x f ，，，x x f 2/1)(='，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得025.1105.02105.1=+⨯≈． （3）取)1ln()(x x f +=，当1<<x 时，先证明x x ≈+)1ln(， 事实上，取00=x ，则0)0()(0==f x f 10)1ln(lim)0()(00=--+='='→x x f x f x ，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得x x x =+-⋅≈+0)0(1)1ln(， 利用x x ≈+)1ln(，得002.0)002.01ln(002.1ln ≈+=． 6．讨论下列函数在0=x 点的可微性：（1）32)(x x f =； （2）x x x f =)(； （3）⎩⎨⎧≥<=.0sin 0)(3x x x x x f ，，，解：（1）因为∞==--→→303201lim 00lim xx x x x ，则32)(x x f =在0=x 点不可导，所以32)(x x f =在0=x 不可微． （2）因为0lim 00lim==--→→x x x x x x ，则x x x f =)(在0=x 点可导，所以x x x f =)(在0=x 点可微．（3）因为10sin lim )0(000lim )0(030=--='=--='+-→+→-x x f x x f x x ，，)0()0(+-'≠'f f ， 得⎩⎨⎧≥<=0sin 0)(3x x x x x f ，，，在0=x 点不可导，所以在0=x 点也不可微．习题2—2（B ）1．已知单摆的振动周期glT π2=，其中980=g cm/s 2是重力加速度，l 是摆长（单位：cm ）．设原摆长为20 cm ，为使周期T 增加0.05 s ，问摆长大约需要增加多少？ 解：02244.020201lim 220/202/2limd d 202020≈=+=--=→→=gl g l g g l lT l l l ππππ由l T T ∆'≈∆)20(，得23.202244.005.0)20(≈≈'∆≈∆T T l ，即为使周期T 增加0.05 s ，摆长大约需要加长2.23 cm ．2．用卡尺测量圆钢的直径D ，如果测得03.60=D mm ，且产生的误差可能为0.05 mm ，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为4/)(2D D A A π==，2)2(lim 44/]4/)([lim )(0220Dh D h D h D D A h h ππππ=+=-+='→→；2/)(D D D D A A ∆⋅=∆'≈∆π，当05.003.60≤∆=D D ，时，715.42/04.003.601416.3≈⨯⨯≤∆A mm 2， 所以绝对误差大约为4.715 mm 2；0017.003.6005.0224/2/2≈⨯≤∆⋅=∆⋅≈∆D D D D D A A ππ，所以相对误差大约为0.17%． 3．若函数)(x f 在0=x 点连续，且1)(lim=→xx f x ，求0d =x y ．解：由1)(lim=→xx f x ，及分母极限0lim 0=→x x ，得分子极限0)(lim 0=→x f x ；又因为函数)(x f 在0=x 点连续，所以=)0(f 0)(lim 0=→x f x ，1)(lim 0)0()(lim)0(00==--='→→xx f x f x f f x x ，x x f y x d d )0(d 0='==．4．设函数()f x 在点0x 可微，且2)(0='x f ，求极限yyx d lim 0∆→∆．解：由已知，有x y ∆=2d ，所以101]2)(1[lim d )(d lim d lim000=+=∆∆+=∆+=∆→∆→∆→∆x x o y x o y y y x x x ．习题2—3（A ）1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分． 答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：（1）3232++=xx y ； （2）)1(2x x x y +=； （3）32(1)x y x-=； （4）ln y x x =； （5）x x x y xsin tan 2-+=； （6）cos 1cos xy x=+． 解：（1）)3()1(2)(32'+'+'='xx y xx x xx x 12012-=+-=．（2）252123232323)()(---='+'='x x x x y )11(233xx -=．（3）132)33(2312-+-='-+-='--xx x x xy ． （4）1ln /ln )(ln ln +=+='+'='x x x x x x x x y ． （5）2sin )(sin )(tan )2(x x x x x x y x'-'-'+'=22sin cos sec 2ln 2xx x x x x --+=． （6）22)cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos )cos 1()(cos x xx x x x x y +-=+'+-+'='．3．求下列函数在指定点的导数或微分：（1）x x x f cos sin )(-=，求()3f π'与()2f π'；（2）3523x x y +-=，求0d =x y 与2d =x y．解：（1）x x x f sin cos )(+='，()3f π'2313sin 3cos +=+=ππ， ()2f π'12sin 2cos =+=ππ．（2）22223)5(2)5()1(2)3()52(x x x x x x y +-=+--⨯-='+'-=， 因为938492)2(252)0(=+='='y y ，，所以==0d x y x d 252，==2d x y x d 938． 4．求下列函数的导数：（1）7(2)y x =-； （2）cos(32)y x =+； （3）xy arctan e=； （4）x y -=1tan ；（5）x y 2e arcsin =； （6）1arccosy x=； （7）y = （8）21sin x y +=； （9）)2ln 1(cos 2x y +=； （10）ln(y x =+． 解：（1）66)2(7)2()2(7x x x y --='--='． （2）)23sin(3)23)(23sin(+-='++-='x x x y ．（3）2arctan arctan 1e )(arctan exx y xx+='='． （4）xx x xx x x y ---='---='--='121sec )1(121sec )1(1sec222．（5）xx xx x x x y 4242222e1e 2e1)2(e )e (1)e (-=-'=-'='．（6）111)/1(1)/1(2222-=-⋅=-'-='x x x x x x x y ．（7）xx x xx x xx y 2222sin 1cos sin sin 12)(sin sin 2sin 12)(sin +=+'=+'='．（8）22222221cos 11cos 12)()1(1cos x x x x x x x x y ++=++'='++='．（9）)2ln 1)(2ln 1sin()2ln 1cos(2])2ln 1)[cos(2ln 1cos(2'+++-='++='x x x x x yxx x x x )2ln 22sin(]2)2(0)[2ln 22sin(+-='++-=． （10）xx x x xxx xx x x y ++=++=+'+='21)11(212)2(．5．求下列函数的微分y d ：（1）3ln 33++=x x y ； （2）x x y 2sin 2=； （3）2ln (1)y x =+； （4）)1(sec 2x y -=； （5）21x x y -=； （6）2tan(12)y x =+；（7）21arctan x y +=； （8）x y 2sin 2-=．解：（1）x x x x x x x y xxxln3)d 33(d 0d 3ln 3d 3)3(ln d )3(d )(d d 223+=⋅++=++=． （2）x x x x x x x x x x x x x x x y d )2cos 2(sin 2d 2cos 2d 2sin 2)2(sin d )(d 2sin d 222+=+=+=． （3）x xx x x x x x y d 1)1ln(2)d(11)1ln(2)]1[ln(d )1ln(2d ++=+++=++=．（4）)d(1)1tan()1(sec 2)1sec(d )1sec(2d 2x x x x x y ---=--=x x x d )1tan()1(sec 22---=．（5）因为2/32222)1(11)1/(11x x x x x x y -=-----⋅='，所以，2/32)1(d d x x y -=． （6）因为)21(sec 44)21(sec 2222x x x x y +=⋅+='，所以x x x y d )2(1sec 4d 22+=． （7）因为222221)2(122)1(11xx x xx x y ++=+⋅++='，所以221)2(d d xx x x y ++=．（8）因为x xx x y 22sin 2sin22sin 2ln )sin (2ln 2--⋅⋅-='-⋅='，所以x x y x d 22sin 2ln d 2sin -⋅⋅-=． 6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：（1）d( )2=d x ； （2）d( )21x=+d x ； （3）d( )2sin 2x =d x ； （4）d( )=x ；（5）d( )nx =d x （1-≠n ）； （6）d( )211x+=d x ． 解：（1）因为2)2(='+C x ，所以x C x d 2)2(d =+． （2）因为x C x +='++12)1ln 2(，所以d(C x ++1ln 2)21x=+d x ． （3）x C x 2sin 2)sin 2(2='+，所以d(C x +2sin 2)2sin 2x =d x ，或因为x C x 2sin 2)2cos (='+-，所以d(C x +-2cos )2sin 2x =d x ． （4）因为xC x 21)(='+，所以d(C x +)=x ．（5）因为nn x C n x ='+++)1(1，所以d(C n x n +++11)n x =d x （1-≠n ）． （6）因为211)(arctan x C x +='+，所以d(C x +arctan )211x +=d x ．习题2—3（B ）1．如图所示的,,A B C 三个圆柱型零件．当圆柱A 转过x 圈时，B 转过u 圈，从而带动C 转过y 圈．通过计算周长知道,32uy u x ==，因此3d d 21d d ==x u u y ，，求xy d d ． 解：23321d d d d d d =⨯==x u u y x y ． 2．求下列函数的导数：（1）x x y xsin e =； （2）x y ln ln ln =；（3）)ln(22x a x y ++=； （4）)cot ln(csc x x y -=；（5）xxy -+=11ln ； （6）a x a x a x y arcsin 22222+-=； （7）xxy +-=11arcsin ； （8）x x x x y 12)2(+=．解：（1）)cos sin (sin e )(sin e sin )e (sin e x x x x x x x x x x x y xx x x ++='+'+'='．（2）xx x x x x x x x x x y ln ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln )(ln ln ln )ln (ln ⋅⋅=⋅⋅=⋅'='='．（3）2222222222/1)(x a x a x x a x x a x x a x y +=++++=++'++='．（4）x xx xx x x x x x y csc cot csc csc cot csc cot csc )cot (csc 2=-+-=-'-='． （5）xx x x x x x x y )1(1)1(21)1(21])1[ln(])1[ln(-=-++='--'+='．（6）2222222)/(1/1222a x aa x a x x a y -+---='2222222222222222222x a x a x a xa a x a x x a -=-+-=-+---=． （7）)1(2)1(1)1()1()1(112111112x x x x x x xx x x y -+-=+--+-+-+--='． （8）因为xx xx xxx x y 2ln ln 212ee)2(+=+=，所以x xxx x x x xx x x x x x y 12222ln ln 2)2(2ln 1)2ln 2(2ln 1e)2ln 2(e -++=-++='． 3．若函数)(x f 可微，求下列函数的导数：（1）)(2x f y =； （2）)(2x f y =； （3）)]([x f f y =； （4）]e 1ln[)(x f y +=． 解：（1）)(2))((222x f x x x f y '=''='． （2）)()(2])()[(2x f x f x f x f y '='='．（3）)()]([])()][([x f x f f x f x f f y ''=''='．（4）)()()()()()(e1)(e e 1])([e e 1]e 1[x f x f x f x f x f x f x f x f y +'=+'=+'+='． 4．设可导函数)(x f 满足方程x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f '． 解：（方法1）等式两边对x 求导，有223)1)(1(2)(xx x f x f -=-'+'，用x 1替换上式中的x ，有223)(2)1(x x f x x f -='-'，从而得212)(xx f +='．（方法2）用x 1替换题中等式里的x ，有x x f xf 3)(2)1(=+， 由此得x x x f 12)(-=， 所以，212)(x x f +='．5．设]1)([2x x g f y -=，其中)()(u g u f ，可微，求y d ．解：x x x g f xx g x g x x g x x g f y d ]1)([]1)()(2[]1)([d ]1)([d 2222-'+'=--'=.6．试写出垂直与直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程． 解：x x x y 63)(2+='，设切点的横坐标为t x =，则切线斜率t t t y k 63)(2+='=， 而直线0162=+-y x 的斜率3/11=k ，由已知11-=kk ，有122-=+t t ，得1-=t ，切点为)31(--，，切线斜率为3-=k ，于是，所求切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x ．习题2—4（A ）1．下列论述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）如果()y f x =的导数()f x '大于零，那么()y f x =的二阶导数也一定大于零； （2）变速直线运动的加速度大于零，该变速运动一定是加速运动． 答：（1）不正确．如x x f ln )(=（0>x ），01)(>='x x f ，但是01)(2<-=''xx f ． （2）正确．由0)()(>='t a t v ，有速度的变化率是正的，即运动是加速运动． 2．求下列函数的二阶导数：（1）22ln y x x =+； （2）y =；（3）x y arctan =； （4）)21sin(x y -=； （5）x x y arcsin 12-=； （6）x y xcos e =；（7）y =（8）2ln(1)y x =+；（9）)1ln(2-+=x x y ； （10）x x y sh =．解：（1）x x y 22+='，222xy -=''．（2）121242--++=x xx y ，22342----='x xx y ，328232xxx y +⋅+=''． （3）211x y +='，22)1(2x xy +-=''． （4）)21cos(2x y --='，)21sin(4x y --=''． （5）1arcsin 12+--='x xx y ，22/3222222221)1(arcsin 111arcsin )1(1/1x xx x xx x x x x x x y ----=-⋅----+--=''． （6）)sin (cos e x x y x-='，x x x x x y xxsin e 2)cos sin sin (cos e -=---=''． （7）32-='x x y ，2/322222)3(333/3--=----=''x x x x x y ． （8）212x x y +='，222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''． （9）1111/1222-=-+-+='x x x x x y ，2/32212)1(])1[(--='-=''-x xx y ． （10）x x x y ch sh +='，x x x x x x x y sh ch 2sh ch ch +=++=''．3．设函数24()32f x x x x =+++，求)0(f '''及)0()4(f．解：3441)(x x x f ++='，2124)(x x f +=''，x x f 24)(='''，24)()4(=x f，024)0(0=='''=x x f ；2424)0(0)4(===x f ．4．计算下列各题：（1）12e)(+=x x f ，求)()5(x f；（2）(1)ln y x x =+，求33d d xy；（3）x y sin ln =，求y '''． 解：（1）12e2)(+='x x f ，12e4)(+=''x x f ，12e8)(+='''x x f ，12)4(e 16)(+=x x f ，12)5(e 32)(+=x x f ．（2）x x x y 11ln d d ++=，22211d d x x x y -=，33233221d d xxx x x y -=+-=． （3）x xxy cot sin cos =='，x y 2csc -=''，x x x x x y cot csc 2)cot csc (csc 22⋅=-⋅-='''． 5．验证函数x x C C y λλ-+=e e 21（其中21,C C 为任何常数）满足关系式（微分方程） 20y y λ''-=．证明：因为x x C C y λλλλ--+='e )(e 21，y C C y x x 22221e )(e λλλλλ=-+=''-，所以20y y λ''-=． 6．验证函数x y xsin e =满足关系式220y y y '''-+=． 证明：因为x x y xxcos e sin e +='，x x x x x y x x x x x cos e 2sin e cos e cos e sin e =-+++=''，所以0sin e 2)cos e sin e (2cos e 222=++-=+'-''x x x x y y y xxxx习题2—4（B ）1．挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉长5 cm ，并松开使其上下振动．记松开时的时刻为0=t ，在时刻t 时物体的位置为t s cos 5=．求时刻t 时物体的速度和加速度．解：物体的速度t t s t v sin 5d d )(-==；物体的加速度t t vts t a cos 5d d d d )(22-===． 2．设函数2arcsin442xx x y --=，求y ''． 解：2244/14/144224xx x x x xx x y --=----=',2/32222)4(244/)2(4x x xx x x x x x x x y --=------=''． 3．设函数x y arcsin =，求)0()10(y ．解：由x y arcsin =是奇函数，则)(x y '是偶函数，)(x y ''是奇函数，)(x y '''是偶函数， 以此类推)()10(x y是奇函数，根据初等函数导数的性质，)()10(x y 在0=x 点有定义，所以0)0()10(=y ．4．求下列函数的n （3≥n ）阶导数：（1）x x y e =； （2）x x y cos 2=； （3）x x y ln 2=；（4）0111a x a x a x a y n n n n ++++=-- （其中),,2,1(n i a i =为常数，0≠n a ）． 解：（1）（方法1）)1(e e e +=+='x x y x x x ，)2(e e )1(e +=++=''x x y x x x ，)3(e e )2(e +=++='''x x y x x x ，以此类推)(e )(n x yx n +=．（方法2）)(e )e ()e ()e ()()1()()()(0)(n x x n x x C yx n x n x k n x k nk kn n +='+==--=∑． （2）)()(20)()(cos )(k n k nk kn n x x C y-=∑= )2(2)1(2)(2)(cos )(2)1()(cos )()(cos --''-+'+=n n n x x n n x x n x x )()(2)cos )(1()(sin 2)2cos(n n x n n x nx n x x --+++=π)2sin(2)2cos()(22ππn x nx n x n n x ++++-=．（3）（方法1）)()(20)()(ln )(k n k nk kn n x x C y-=∑= )2(2)1(2)(2)(ln )(2)1()(ln )()(ln --''-+'+=n n n x x n n x x n x x 231212)!3()1)(1()!2()1(2)!1()1(--------+--+--⋅=n n n n n n x n n n x n nx x n x 21)!3()1(2----=n n x n ．（方法2）x x x y +='ln 2，3ln 2+=''x y ，2123)2()2()()3()1(2)3()1(2)3ln 2()(--------=--=+=''=n n n n n n n x n x n x y y．（4）)(0)(1)(11)()()()()()(n n n n n n n n n a x a x a x a y ++++=--!000!n a n a n n =++++= ．5．若函数)(x f 满足(sin )cos 2csc f x x x '=+，求)(x f ''．解：由x x x x x f sin 1sin 21csc 2cos )(sin 2+-=+='，有xx x f 121)(2+-='， 所以2214)121()(xx x x x f --='+-=''． 6．若函数()y f x =存在二阶导数，分别求)(2x f y =及2()y f x =的二阶导数． 解：对)(2x f y =，)()(2x f x f y '='，=''y )()(2)]([2])()(2[2x f x f x f x f x f ''+'=''；对2()y f x =，)(22x f x y '='，=''y ])(2[2''x f x )(4)(2222x f x x f ''+'=．7．若函数)(x f 有任意阶导数，且)()(2x f x f ='，证明)(!)(1)(x f n x fn n +=．证明：用数学归纳法进行证明， 当1=n 时显然成立， 设k n =时成立，即)(!)(1)(x f k x fk k +=，当1+=k n 时，等式)(!)(1)(x f k x fk k +=两边同时对x 求导，得)()!1()()()!1()()()1(!)(22)1(x f k x f x f k x f x f k k x f k k k k +++=+='+=，即对1+=k n ，式子)(!)(1)(x f n x f n n +=，所以根据数学归纳法原理，对任何正整数n 都有)(!)(1)(x f n x fn n +=．习题2—5（A ）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）求由方程(,)0F x y =所确定的隐函数)(x y y =的导数时，所得到的()y x '是x 的一元函数，若再求)(x y y =的二阶导数，直接对x 的函数()y x '求导即得；（2）求由参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的函数的导数时，在()0t ϕ'≠的条件下，若再求22d d x y ，只需将所求得的xyd d 对t 再继续求导数即可； （3）在知道两个变量,x y 中的一个对第三个变量t 的变化率，求另一个变量对t 的变化率时，应首先求出两个变量,x y 之间满足的解析式（假设这样的解析式存在），从而得到,x y 对变量t 的变化率之间的关系．答：（1）不正确．在)(x y '的表达式中不仅含有变量x ，还含有函数)(x y ，在用求导法则求)(''=''y y 时，凡是遇到含有y 的项，都要将其视为x 的函数，按复合函数进行求导．（2）不正确．xyd d 要先对t 求导，再乘以t 对x 的导数（或除以x 对t 的导数）．这是因为 )(/))()((d d d d ))()((d d ))()((d d )d d (d d d d 22t t t t x t t t t t t x x y x xy ϕϕψϕψϕψ''=⋅''='==． （3）正确．如果变量y x ，有函数关系)(x f y =，两边同时对t 求导，有txx f t y d d )(d d '=，这就是y 对t 的变化率t y d d 与x 对t 的变化率txd d 之间的关系． 2．设函数)(x y y =由下列方程确定，求xyd d ：（1）012=++xy y ； （2）3330x y xy +-=； （3）yx xy +=e； （4）xy y e 2ln -=．解：（1）方程012=++xy y 两边同时对x 求导，有0d d d d 2=++⋅xyx y x y y ，解得 xy yx y +-=2d d ． （2）方程3330x y xy +-=两边同时对x 求导，有0d d 33d d 3322=--+xyx y x y yx ， 解得22d d y x x y x y ---=． （3）方程y x xy +=e 两边同时对x 求导，有)d d 1()d d 1(e d d xyxy x y x y x y y x +=+=++， 解得)1()1(d d ---=y x x y x y ． （4）方程xy y e 2ln -=两边同时对x 求导，有x x y xyx y y e d d e d d 1--=，解得 xxy y x y e1e d d 2+-=． 3．求曲线yx y e 1-=上对应于0=x 点处的切线方程．解：将0=x 代入方程y x y e 1-=，得1=y ，切点坐标为)10(，，方程y x y e 1-=两边同时对x 求导，有y x y y y '--='e e ，用0=x ，1=y 代入，得1)0(-='y ，即切线斜率为1-=k ，切线方程为)0(11--=-x y ，即01=-+y x ．4．求星形线3/23/23/2a y x =+在点)42,42(a a 处的切线方程与法线方程． 解：方程3/23/23/2a y x =+两边同时对x 求导，有032323/13/1='+--y y x ， 用a y a x 42,42==，得1)42(-='a y ，即切线斜率1-=k ， 切线方程为)42(142a x a y -⋅-=-，即022=-+a y x ； 法线方程为)42(142a x a y -⋅=-，即0=-y x ． 5．设函数)(x y y =由下列方程确定，求22d d xy：（1）y y x 222=+； （2）yx y e 1+=． 解：（1）方程y y x 222=+两边同时对x 求导，有x y x y yx d d 2d d 22=+，得yxx y -=1d d ， 所以3322222)1(1)1()1()1()(1)1(d d y y x y y y x y y x x y x -=-+-=-'---='-=． （2）方程y x y e 1+=两边同时对x 求导，有xyy x y x x y y y y d d )1(e d d e e d d -+=+=，得 y x y y -=2e d d ，所以32222)2()3(e )2()(e )2(e d d y y y y y y x y y y y --=-'---'=． 6．用对数求导法求下列函数的导数xy d d ： （1）xx y 1)1(+=； （2）xx y x-=1；（3）xx y x sin e 12+=； （4）0=-xy y x ．解：（1）将xx y 1)1(+=两边取对数，有xx y )1ln(ln +=，两边再同时对x 求导，有)1()1ln()1()1ln()1/(22x x x x x x x x x y y +++-=+-+='，所以 )1()1ln()1()1()1()1ln()1(d d 212x x x x x x x x x x x y x y x+++-⋅+=+++-⋅=． （2）将xx y x-=1两边取对数，有)1ln(ln ln x x x y --=，两边再同时对x 求导，有)]ln 1)(1(1[11111ln x x xx x y y +-+-=---+='，所以 )]ln 1)(1(1[)1()]ln 1)(1(1[)1(d d 2x x x x x x x y x y x +-+-=+-+-=． （3）将xx y x sin e 12+=两边取对数，有x x x y sin ln )1ln(21ln 2--+=，两边再同时对x 求导，有x x x y y cot 2)1(21--+='，所以 =x y d d )cot 2411(sin 2e 1]cot 2)1(21[2x x x xx x x x y x --++=--+． （4）将xy y x =两边取对数，有y x x y ln ln =，两边再同时对x 求微分，有yyx x y x x y y x d d ln d d ln +=+⋅，即y x x y xy x y y x xy d d ln d d ln 22+=+⋅，解得 22ln ln d d x x xy y y xy x y --=，或写作)1(ln )1(ln d d 22--=y x x y x y ． 7．求由下列参数方程所确定的函数)(x y y =的导数xyd d ： （1）⎩⎨⎧-==；，3212/t y t x （2）⎩⎨⎧--=++=；，t y t x 1111 （3）⎩⎨⎧==；t y t x tt cos e ,sin e （4）⎩⎨⎧-=+=.arctan )1ln(2t t y t x ，解：（1）因为t t x t t y ='-=')(3)(2，，所以t tt t x t y x y 33)()(d d 2-=-=''=．（2）因为tt x tt y +='-='121)(121)(，，所以ttx y -+=1212d d t t -+=11． （3）因为t t t x t t t y t t t t cos e sin e )(sin e cos e )(+='-='，，所以x y d d t t t t t t t t tt t t sin cos sin cos sin e cos e sin e cos e +-=+-=，或写作tt x y 2sin 12cos d d +=． （4）因为222212)(1111)(t t t x t t t t y +='+=+-='，，所以=++=)1/(2)1/(d d 222t t t t x y 2t． 8．写出下列曲线在所指定点处的切线方程：（1）⎩⎨⎧-==，，2232t t y t x 在点)12(，处； （2）cos ,cos 2,x t y t =⎧⎨=⎩ 在4π=t 处． 解：（1）切点)12(，对应参数1=t ，切线斜率21243d d 11-=-====t t t xyk ，切线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x ． （2）将4π=t 代入方程，得切点为)02/2(，，切线斜率22sin 2sin 2d d 44=--====ππt t xx xyk ，切线方程为)2/2(220-=-x y ，即0222=--y x ．9．求由下列参数方程所确定的函数)(x y y =的二阶导数22d d xy：（1）⎩⎨⎧+==；，t y t x 12/2 （2）⎩⎨⎧=-=-；，tt t y x e e （3）⎩⎨⎧==；，t b y t a x sin cos （4）⎩⎨⎧=+=.cos 12t y t x ，解：（1）t t t x y tt1)2/()1(d d 2=''+=，32221/1)(/)1(d d t t t t x t x y t =-=''=． （2）)1(e )e ()e (d d 2t t x y t tttt +='-'=-，)23(e e )23(e )(])1(e [d d 32222t t t x t x y t t t t t +=+=''+=-．（3）t a b t a t b x y ttcot )cos ()sin (d d -=''=， ta b t a t a b t x t a b x y t 32222sin )sin /(csc )(/)cot (d d -=-=''-=． （4）tt t t x y t t2sin )1()(cos d d 2-='+'=， 32224cos sin 2/sin cos 21)(/)2sin (d d tt t t t t t t t t x t t x y t -=--=''-=． 习题2—5（B ）1．有一长度为5m 的梯子铅直地靠在墙上，假设其下端以3m/min 的速率沿地板离开墙脚而滑动．问当其下端离开墙脚2m 时，梯子上端下滑的速率为多少？解：设时刻t 时梯子上端距墙脚y m ，下端距墙脚x m ，则2522=+y x ，两边同时对时间t求导，有0d d 2d d 2=+t y y t x x，将3d d 212===t x y x 、、代入，有0d d 21212=+ty ，得31.17212d d -≈-=t y ，即梯子上端下滑的速率大约为min /m ． 2．一个气球从距观察员500 m 处离开地面铅直上升，其上升速率为120 m/min ，当气球升高到500 m 时，求观察员视线的仰角α的增加速率． 解：设时刻t 时气球的高度为h ，则500arctanh=α（观察员身高忽略不计），两边同时对时间t 求导，有thh t h h t d d 500500d d )500/(115001d d 222+=+=α，将500=h 120d d =t h ，代入，得12.0253d d ==t α，，即观察员视线的仰角α的增加速率为0.12 (rad/min)． 3．一正圆锥形水池，深8m ，上口直径也为8m ，现以min /m 33速率向水池内注水，当水深为5m 时，求水面上升的速率．解：设时刻t 时容器内水深为h ，水的体积为V ，此时水面的直径h d =，则123πh V =，两边同时对时间t 求导，有thh t V d d 4d d 2π=，将3d d 5==t V h ，代入，有t h d d 4253π=，得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、单项选择题（每小题3分,共15分）
1. 函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数)(y x f x ，'及
)(y x f y ，'存在是函数),(y x f z =可微的（ B ）条件.
（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ）即非充分又非必要. 2.曲线积分2(1)()L
xy dx yf x dy ++⎰
与积分路径无关，且(0)1f =，则可微函数
()f x =（ B ）.
(A)21x +； (B) 2
1x +； (C) 21xy +； (D) 2
1x y +.
3.已知区域{}
22
(,):1, 0D x y x y y =+≤≥，则用极坐标化二重积分
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰为二次积分是（ C ）.
(A) 21
0(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ⎰⎰； (B)
1
(cos ,sin )d f r r dr π
θθθ⎰
⎰；
(C)
10
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ⎰
⎰； (D) 21
(cos ,sin )d f r r dr π
θθθ⎰
⎰.
4. 下列级数中，绝对收敛的是（ D ）
(A) 1
(1)n
n n ∞=-∑
(B)
1
n
n ∞
=(C)
1
1
n n -∞
=
(D)
1
n n -∞
=
5. 微分方程4816(1)x
y y y x e '''-+=-的特解形式是（ C ）
（A ）*4()x y ax b e =+； （B ）*4()x y x ax b e =+； （C ）*24()x y x ax b e =+； （D ）*24()x y ax bx c e =++. 二、填空题（每小题3分,共15分）
1. 设函数sin z x y =, 则
z
y
∂=∂cos x y . 2. 2
2
4z x y =--在点(0,0)取到极大值. 3. 已知曲线22
:1L x y +=，则曲线积分
4L
ds =⎰8π.
4. 已知级数
n
n n a x
∞
=∑在3x =收敛，那么级数
2n
n
n a
∞
=∑绝对收敛. （填“收敛”“绝对收敛”“发散”“不确定”）
5. 微分方程()
24
,(),0F x y y ''=的通解中含有2个独立任意常数.
三、多元函数微分学计算题（每小题6分,共12分）
1.若函数(,)z z x y =由方程22
2x y z z ++=确定，求
z x
∂∂. 解：方程两端同时对x 求偏导 （2分） 得22z z x z x x ∂∂+=∂∂， （5分） 212z x x z
∂∴=∂- （6分）
2.若函数(,)z f x y =有一阶偏导数，设2
2
(,)z f xy x y =+，求
z
y
∂∂. 解：1z
f x y
∂'=∂ （3分）22f y '+ （6分）
四. 多元积分学计算题（每小题7分,共14分）
1．计算二重积分D
I ydxdy =
⎰⎰
，其中区域D 由2
y x =及1y =围成. 解：区域:11,D x -≤≤2
1x y ≤≤ （2分） 所以211
1
x
D
I ydxdy dx ydy -=
=⎰⎰⎰⎰ （4分）
1
411(1)2x dx -=-⎰ （6分） 4
5
= （7分）
2．计算222I xy dydz x ydzdx x dxdy ∑
=
++⎰⎰，其中∑是立体 {}22(,,):1x y z x y z Ω=+≤≤的整个表面外侧.
解：2
2,
P P xy y x ∂==∂，22,Q Q x y x y
∂==∂，2,0R R x z ∂==∂ 2:02,01,1r r z θπΩ≤≤≤≤≤≤ （3分）
由高斯公式，22
()I x y dxdydz Ω
=
+⎰⎰⎰
221
1
200r
d rdr r dz π
θ=⎰⎰⎰ （5分）
π
=
（7分） 五. 微分方程计算题（每小题8分,共16分）
1．当1x <时，求微分方程2
(1)0x y xy '''--=的通解.
解：设y p '=，则y p '''= （3分）原方程变为2
(1)
0dp
x xp dx
--=，于是 21dp x dx p x =- （4分）1y p C '∴== （6分）
12arcsin y C x C ∴=+ （8分）
2．求微分方程430y y y '''-+=满足初始条件(0)1,(0)3y y '==的特解. 解：特征方程是2
430r r -+=，所以121,3r r == （3分） 通解是312x x Y C e C e =+ （4分）
3123x x Y C e C e '=+，
带入初始条件得12121
33
C C C C +=⎧⎨
+=⎩，进而120,1C C == （7分）
所求特解是3x
Y e =. (8分) 六、无穷级数（每个7分，共21分）
1. 判别级数21
sin n n
n ∞
=∑
的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛. 解：对于
21
sin n n n ∞
=∑
，由于22
sin 1
n n n
≤ （2分） 级数211n n ∞
=∑收敛，从而由比较法知级数2
1
sin n n
n ∞
=∑收敛 （6分） 级数
2
1sin n n
n
∞
=∑
绝对收敛。
（7分） 2. 求级数212
n
n n n x ∞
=∑的收敛半径和收敛区间.
解：21
2
2lim 22(1)n n n n R n +→∞==+ （4分） 收敛区间是(2,2)-。
（7分）
3. 将函数1
()3f x x =
-展为x 的幂级数，并指出收敛区间. 解：11
()33f x x x
==--- （2分） 0111133313
n
n n x x ∞==-=--∑ （4分）1013
n n n x ∞
+==-∑ （5分）
由
13
x
<⇒3x <知收敛区间是(3,3)-。
(7分) 七、（7分）计算曲线积分
[()cos ][()sin ]AMB
I y x y dx y x dy ϕπϕπ'=-+-⎰
其中AMB 为
连接(,2)A π与(3,4)B π的线段AB 下方的任意分段光滑的简单闭曲线，且该曲线与AB 所围区域D 面积为2.
解：补BA ， （1分）
已知()cos P y x y ϕπ=-，()sin Q y x ϕπ'=-，由格林公式得
D AMBA
Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎡⎤
∂∂+=-⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰2D dxdy ππ==⎰⎰ （3分） 1
:1BA y x π
=
+，于是
311cos 1sin BA
x x I Pdx Qdy x x dx ππϕϕπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=
+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰23(1)62x dx π
π
πππ-++=+⎰
（6分）
所以222(62)6I ππππ=-+=- （7分）。