轴对称变换(2)
11.5.2 坐标平面上的直线拓展(几何变换II轴对称 )
( y0 b, x0 b)
课堂练习答案 1.(1) (0, 3) (2) (3, 2)
2. x 7 y 22 0 3. x 2 y 11 0
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
续解：因为 P( x0 , y0 ) 在直线 l1 上，因此有
x0 7 y0 4 0 ②
把①代入②中化简，得直线 l2 的方程为：
x y2 0
x3 y5 解：设 P '( x, y), PP ' 的中点 M ( , ) 2 2 dl (3,1) ，于是有：
3 ( x 3) 1 ( y 5) 0 x 5 解得 1 3 y 1 ( x 3) ( y 5) 2 0 2 2
P 关于l 的 解：设直线 l1 上任意一点 P( x0 , y0 ) ，
对称点 P ' 的坐标为 ( x, y ) ，则有
2( x x0 ) ( y y0 ) 0 1 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 1 0 2 2
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
2( x x0 ) ( y y0 ) 0 续解： 1 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 1 0 2 2
解关于 x0 , y0 的方程组，解得 1 x (3 x 4 y 2) 0 5 ① y 1 (4 x 3 y 4) 0 5
2.2 轴对称变换
乙树叫甲树轴对称变换所得的__像___
轴对称变换和轴对称图形有 什么不同点和相同点？
轴对称变换和轴对称图形关系:
不同点：轴对称图形是一个图形。 轴对称变换是两个图形之间的关系。
相同点：都是沿一条直线折叠后能够互相重合。
观察下图中的每组图案，你能找出哪 几组图形是经轴对称变换得到的吗？
如图，已知图形X和直线l。将图形X以直
线l为对称轴，作轴对称变换后得到的图
形是（
C ）。
A、
B、
m
C、
D、
数字游戏
1、下图是从镜中看到的一串 数字，这串数字应为多少？
猜单词游戏
轴对称变换后的像
5、
古罗马有一位将军，他每天都
探 要从营地A出发，到河边饮马，再
到河岸同侧的指挥所B处开会。他 经常想一个问题：应该沿怎样的路
下列图形是轴对称图形吗？若是轴对称图形画出 它的对称轴.（不考虑颜色）
（1）
（2）
知识回顾：什么是轴对称图形？ 轴对称图形有什么性质?
如果把一个图形沿着一条直线折起 来，直线两侧的部分能够互相重合
，那么这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做对称轴。
对称轴垂直平分连结两个对称点之 间的线段。
欣赏
C'
B
B'
l
做一做1: 如图，已知ΔABC，以直线AB为对称轴，
作ΔABC经轴对称变换后的图形。
做一做2: 如图,已知线段AB和直线 l .以直线 l 为
对称轴,作线段AB经轴对称变换后的图形.
B B’ A
C C‘
A
A‘ A‘
B‘
l
B
例1：如图，已知△ABC和直线 l，作出与 △ABC关于直线 l 对称的图形.
人教版八年级数学上作轴对称图形2教案教学设计导学案课时作业试卷同步练习含答案解析
方法1 方法2 方法3 NFM C21A E BD 作轴对称图形【目标导航】1.掌握作已知图形的轴对称图形的方法.2.灵活运用轴对称变换设计图案.【要点梳理】1.轴对称变换：由一个平面图形得到它的 图形的变换叫做轴对称变换. 答案：轴对称2.轴对称变换的性质：（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同. （2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于这条直线的 . （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴 . 答案：（1）大小、形状 （2）对称点 （3）垂直平分【课堂操练】1.如图，已知△ABC 和直线l ，作出与△ABC 关于直线l 对称的图形.答案：做点A 、B 、C 关于直线l 的对称点A ’、B ’、C ’，连接A ’B ’,B ’C ’,C ’A ’。
即△A ’B ’C ’与△ABC 关于直线l 对称。
2.如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC 是对称轴，∠A =35º，∠BCO =30º，那么∠AOB =_______. 答案：130°3.一轴对称图形画出了它的一半，请你以虚线为对称轴画出图形的另一半.答案：略4.如下图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：答案：5.如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2； ②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DN ，其中正确的结论有几个？答案：正确的结论是①和②6.如图，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗？实际中这个算式是什么？（写出即可）答案：在实际中不正确。
实际中的版式是：881＝21+52+151【课后巩固】1.以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形：l CB A方法1方法2方法3答案：略2.如图所示，作出△ABC关于直线MN的轴对称图形.答案：略3.一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角为（）A．45°B．60°C．75°D．80°答案：A4.如图，∠MAN=15°，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF= .答案：75°5.如图所示，将一张正方形纸片两次对折，然后剪下含30°的一张纸片.则这块纸片完全展开后所得图形是（）答案：A6.如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q.若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击打时，应瞄准AB边上的（）A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4答案：B7.如图，AB、CD是互相垂直的两条直线，M是一个定点.（1）作出点M关于AB、CD的对称点M1、M2，再作出点M1关于CD的对称点M3，作出点M2关于AB的对称点M4.（2）观察并指出点M3和M4的位置关系，四边形MM1M3M2的形状.答案：M3和M4的位置重合。
北京四中初二轴对称(2)
轴对称(2)编稿老师：李岩审稿老师：龚剑均责编:邵剑英(一)教学目标1、掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，能用它们解决相关问题．2、能利用轴对称变换求解最值问题．(二)知识要点1、线段的垂直平分线的概念垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．[符号语言]如图，∵OP垂直平分线段AB，∴PA=PB．[作用]证明线段相等和作图的重要依据之一．3、线段垂直平分线的判定定理到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[符号语言] ∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．[作用]证明点在线段的垂直平分线上的方法．4、线段垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．5、三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，这个交点称为三角形的外心。
(三)典型例题1、(1)如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AB，交AB于E，交AC于D，若AB=AC=32，BC=21，则△BCD的周长为________．(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，DE⊥AB交BC于D，若∠1：∠2=1：2，则∠B=________，∠BAC=________．解：(1)∵DE垂直平分线段AB，∴AD=BD．∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC．∵AC=32，BC=21，∴=53．(2)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线．∴AD=BD，∴∠2=∠B．∵∠C=90°，∴∠1+∠2+∠B=90°．∵∠1：∠2=1：2，∴∠1=18°，∠B=∠2=36°，∠BAC=∠1+∠2=54°．[小结]线段垂直平分线的性质在具体问题中的应用时，多数与等腰三角形性质联系在一起，因此应熟悉等腰三角形的一些基本性质．2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，垂足为H，交AB于E．交BC延长线于F，求证：∠B=∠CAF．证明：∵EF垂直平分AD∴AF=DF∴∠DAF=∠ADF。
轴对称变换
∴∠AEF= ∠A ˊEF
∠BEG=∠B ˊEG
∵∠AEF+∠A ˊEF+ ∠ BEG+∠B ˊEG=180°
∴ 2∠AEF+2∠BEG=180°
∴ ∠AEF+ ∠BEG=90°
5.1.2 轴对称变换（应用）
5.1.2 轴对称变换（应用）
1
2
5
6
3
4
5.1.2 轴对称变换（应用）
火眼金睛：某日发生了一起交通事故，肇事司机已驾车逃离现
AˊCˊ=________
5cm
(3)∠C=________°
53
C
B
B＇
(4)三角形ABC的周长是__________,
三角形A ˊ B ˊ C ˊ的面积
12cm
是____________.
62
C＇
图形经过轴对称变换，长度、角度和面积等都不改变．
5.1.2 轴对称变换（性质）
l
P
O
l
E
P＇
F
M
N
E＇
l
A
A＇
E
B
F＇
B＇
C
C＇
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
5.1.2 轴对称变换（性质）
因为沿l 对折，
点P和点Pˊ重合，
所以PD与PˊD，
∠1与∠2也互相重合， B
所以PD=PˊD, ∠1=∠2.
又因为∠1+∠2=180°，
所以∠1=∠2=90°.
所以PPˊ被l 垂直平分.
②
清 水 池 里（ 池 水 清 ）
③
山 西 悬 空 寺（ 空 悬 西 山 ）
轴对称变换(含答案)[上学期]
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§14．2 轴对称变换1.轴对称变换知识要点1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2．轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．典型例题例：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA•和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．作法：如图．①作点P关于直线OA Array的对称点E；②作点P关于直线OB的对称点F；③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．∵△PHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF而△PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF∴△PCD的周长最短．练习题一、选择题1．下列说法正确的是（）A．任何一个图形都有对称轴; B．两个全等三角形一定关于某直线对称;C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;D．点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B•关于直线l对称.2．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）A．①③④ B．③④ C．①② D．①②③④二、填空题线对称的图形，•这个图形与原图形的_________、___________完全一样．4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．①12×231=132×21;②12×462=___________;③18×891=__________;④24×231=___________.5．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB•的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是___________．三、解答题6．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．7．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）8．如图，仿照例子利用“两个圆、•两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．例:一辆小车四、探究题9．如图，已知牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．草地河流营地P答案:1．C 2．D 3．形状；大小4．264×21；198×81；132×42 5．20cm6．作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A•球撞击桌面边缘CF的位置7．作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置8．略9．分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，所走路程最短．2.用坐标表示轴对称知识要点1．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）．2．点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；典型例题例：如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，•请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，•而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。
轴对称变换
轴对称变换轴对称变换是一种常见的几何变换方式，它在我们的日常生活中无处不在。
无论是建筑设计、艺术创作，还是图形处理、物体制造，轴对称变换都扮演着重要角色。
本文将从不同领域的角度，分别介绍轴对称变换的应用。
在建筑设计中，轴对称变换常常被用于对称建筑的设计。
对称建筑体现了一种和谐、平衡的美感，它通过轴对称变换实现对称效果。
例如，古代的宫殿、寺庙和城堡等建筑物往往具有左右对称的结构。
通过轴对称变换，设计师可以在图纸上只绘制一半的建筑结构，然后通过轴对称变换复制另一半，从而节省了时间和精力。
在艺术创作中，轴对称变换也被广泛运用。
许多古代艺术作品，如中国的对联、剪纸和泥塑等，都采用了轴对称的构图方式。
这种构图方式通过轴对称变换使作品呈现出一种平衡、和谐的美感。
此外，现代艺术家也喜欢运用轴对称变换来创作独特的艺术作品。
他们通过将图像沿着某条轴进行镜像对称，创造出奇特、离奇的艺术效果，给人以强烈的视觉冲击力。
在图形处理中，轴对称变换是一种非常重要的操作。
图像处理软件通常都提供了轴对称变换的功能，使用户可以轻松地对图像进行镜像对称。
这对于修复照片中的缺陷、改善图像的美观度非常有帮助。
此外，轴对称变换还被广泛应用于计算机辅助设计（CAD）领域。
在CAD软件中，轴对称变换可以帮助工程师快速复制和对称设计图形，提高设计效率。
在物体制造中，轴对称变换也起到了重要的作用。
许多物体的制造过程都需要进行轴对称变换。
例如，汽车零部件、家电产品等的制造往往需要对称的设计。
通过轴对称变换，制造商可以在设计阶段更好地控制产品的对称性，提高产品的质量和可靠性。
此外，轴对称变换还广泛应用于机械加工工艺中。
在机械加工过程中，通过轴对称变换可以使物体在加工过程中保持平衡，从而提高加工精度和效率。
轴对称变换在建筑设计、艺术创作、图形处理和物体制造等领域都具有重要的应用价值。
它不仅能够帮助设计师和工程师提高工作效率，还能够为我们带来更美丽、更和谐的世界。
《轴对称再认识(二)》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对轴对称的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.培养创新意识和审美观念，激发学生运用轴对称设计出独特且富有创意的图案；
5.增强团队协作能力，通过小组合作探索轴对称在生活中的应用，培养学生交流、合作、分享的意识和能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）轴对称图形的定义及其性质：这是本节课的核心内容，要求学生熟练掌握轴对称图形的定义，并能够运用其性质分析和解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“轴对称在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（3）轴对称在日常生活中的应用：让学生了解轴对称在实际生活中的运用，提高学生的几何素养和审美观念。
-生活中的轴对称实例：如剪纸、建筑、家具设计等。
2.教学难点
（1）找出隐藏的对称轴：有些轴对称图形的对称轴并非直观可见，需要学生具备较强的空间想象能力。
-例：一个不规则的轴对称图形，如何找出隐藏的对称轴。
五、教学反思
在本次《轴对称再认识（二）》的教学过程中，我发现学生们对轴对称的概念有了更深入的理解，但在一些具体的应用和难点上，他们仍感到困惑。这让我意识到，在今后的教学中，我需要针对这些方面进行调整和改进。
平移变换与对称变换
平移变换与对称变换平移变换和对称变换是几何学中常见的两种变换方式，它们在图形的位置和形状改变方面起着重要作用。
本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及实际应用，并对它们进行比较和分析。
一、平移变换1.1 概念平移变换是指在二维或三维平面上，将一幅图形向某一方向移动一定距离的变换方式。
平移变换并不改变图形的形状和大小，只是改变了它的位置。
在平移变换中，所有的点都按照相同的方式进行移动，即移动前后的所有点之间的距离和相对位置保持不变。
1.2 性质平移变换具有以下性质：（1）平移变换可以将一条直线映射为平行于它的另一条直线。
（2）平移变换保持图形的面积、周长和内角度不变。
（3）平移变换是可逆的，即对一个图形进行平移变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。
1.3 应用平移变换在日常生活中广泛应用，比如：（1）导航地图中的位置标记，通过平移变换可以将标记移动到准确的位置。
（2）计算机图形学中的图像平移，可以实现图像的拼接和移动效果。
（3）工程设计中的布局规划，通过平移变换可以调整建筑物或设备的位置。
二、对称变换2.1 概念对称变换是指通过某一中心或某一轴进行图形的位置改变的变换方式。
在对称变换中，图形经过变换后，仍然保持相同的形状和大小，只是相对于中心或轴的位置发生了改变。
对称变换有三种常见的形式，即轴对称、中心对称和点对称。
2.2 性质对称变换具有以下性质：（1）轴对称：轴对称变换将图形映射为关于某一直线对称的图形。
（2）中心对称：中心对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。
（3）点对称：点对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。
（4）对称变换保持图形的面积、周长和内角度不变。
（5）对称变换是可逆的，即对一个图形进行对称变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。
2.3 应用对称变换在许多领域中得到广泛应用，比如：（1）建筑设计中的立面对称，通过对称变换可以保持建筑的整体美感。
（2）艺术创作中的图案设计，对称变换可以创造出美观的对称效果。
2.2作轴对称图形 课件(人教版八年级上册) (2)
A
M L
试一试：
如图，EFGH是矩形的台球桌面， 有两球分别位于A、B两点的位置，试 问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞 台边EF反弹后再击中B球？
[来源:学_科_网]
解：1．作点A关于EF 的对称点A′ 2．连结A′B交EF于点 C则沿AC撞击黑球A，必 沿CB反弹击中白球B。
H
A B E
G
C
A′
F
动脑筋
1.如图,EFGH为长方形的台球台面,有黑、 白两球分别位于A、B两点的位置上,怎样撞 击黑球A,使黑球先碰撞台边FG,反弹后再撞 击台边GH,再反弹后击中白球B?作出FG、 GH上的撞击点的位置和黑球的运行路线.
E B A F G F A H E B H
∟D
N M G
B1
∟
C A1
■如图,OA、OB是两条相交的公路,点P 是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立 一个投递点,要想使邮电员每次投递路 程最近,问投递点应设立在何处？
A
P A’
L
∴他沿A→P→B走是最短路程。
思路：利用轴对称变换将同侧问题转化 为两侧问题。
练习： 如图，要在燃气管道L上修建一个泵站 ，分 别向A，B两镇供气。泵站应修在管道的什么 地方，可使所用的输气管线最短？
[来源:]
B
A L
课堂总结：
通过我们帮小和尚进行路径的合理选择， 你能谈谈我们都用了哪些数学知识？ (1)两点之间线段最短。 (2)三角形中任意两边之和大于第三边。 (3)轴对称变换的知识。 (4)线段垂直平分线的性质。 从中你又学到了什么？ 转化思想。
组卷网
O F E M
N
B A P
已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称， P与B关于OM对称。若AB长为15cm 求：PCD的周长.
轴对称经典中考试题及答案解析二A
图 1DCBA折叠轴对称经典中考试题及答案解析二知识点1 轴对称变换的定义：由一个平面图形得到它的图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．【答案】轴对称1.（2006大连）如图1，将矩形沿对称轴折叠，在对称轴处剪下一块，余下部分的展开图为( )【答案】C知识点2作出简单平面图形经过轴对称后的图形．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的，再这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．【答案】对称点、连结、特殊点。
2.(2005江西) 如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半。
【答案】知识点3坐标表示轴对称：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．利用点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于【答案】(x，-y) (-x，y)3.(2005上海) （1）在图3所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为；【答案】关于y轴对称的两个三角形的编号为①、②；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为①、③；说明：本部分须罗列本节重要知识点及公式，在对知识点的概念的解释中，可将关键字等重要部分留空，每个知识点下面，节选1~2题考查相应知识点的中考原题，要求此部分所节选的中考题简单、容易，总题量不超过6题。
一、选择题1. （2006山东淄博）4、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后B E B A ''与与在同一条直线上，则∠CBD 的度数A. 大于90°B.等于90°C. 小于90°D.不能确定 【答案】B2. （2006山东青岛）已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A 的对应点A'的坐标为（ ）．A ．(－4，2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4，2)【答案】DAEBDCA 'E '3.(大连课改) 在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A’点，则A与A′的关系是（）A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、将A点向x轴负方向平移一个单位【答案】A′的坐标是（－1，2），所以A与A′的关系是关于y轴对称，选B。
中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对称变换
中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对
称变换
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中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对称变换
点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。
关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为：关于y轴(x轴)对称的点的纵坐标(横坐标)相同，横坐标(纵坐标)互为相反数。
关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以-1。
《轴对称再认识(二)》轴对称和平移
轴对称的例子
• 例如，一个圆、等腰三角形、正方形、矩形 、菱形等都是轴对称图形。其中，线段、角 、等腰三角形、矩形、菱形都是轴对称图形 的基本元素。
轴对称的性质
• 轴对称的性质包括：对称轴是一条直线；垂直平分线上任一点到两个对应点之间的距离相等；对称轴互 相平行或者重合，在对称轴两侧的对应点的连线段被对称轴垂直平分。
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轴对称在物理中的应用
• 波动方程：在物理中，轴对称被广泛应用于波动方程的研究中。例如，在研究弦的振动时，我们通常会 用到轴对称来简化问题。通过将弦分成若干段较小的部分，我们可以将复杂的三维问题简化为简单的二 维问题来处理。
03
平移的概念
Chapter
平移的定义
定义：平移是指将一个图形沿某一个方向移动一定的距 离。 图形平移前后的形状、大小、方向和位置关系都没有发 生变化，只是图形的位置发生了移动。
轴对称变换可以由平 移和旋转组合而成。
轴对称和平移的区别
轴对称变换是将图形关于某条直线（或 曲线）对称，而平移变换则是将图形沿
某个方向移动一定的距离。
轴对称变换后，图形的形状和大小不会 改变，而平移变换后，图形的形状和大 小也不会改变，只是位置发生了移动。
轴对称变换具有旋转不变性，即旋转一 定角度后，图形仍保持轴对称；平移变 换则具有平移不变性，即沿相反方向平 移相同的距离后，图形回到原来的位置
平移在代数中的应用
函数图像平移
在代数中，平移可以用于 移动函数图像，这种平移 不影响函数的值，只是改 变了图像的位置。
变量替换
平移可以用于代数中的变 量替换，将一个代数表达 式中的变量替换为另一个 变量。
方程变形
通过平移方程的解，可以 得到新的方程或方程组的 解。
关于任意轴的对称变换的5步
关于任意轴的对称变换的5步摘要：1.引言2.对称变换的概念3.任意轴对称变换的5 个步骤3.1 选择一个轴3.2 将物体绕轴旋转180 度3.3 确定旋转后的物体位置3.4 将物体沿着轴翻转3.5 确定翻转后的物体位置4.对称变换在数学和物理中的应用5.总结正文：对称变换是一种重要的几何变换，它在数学和物理中有着广泛的应用。
本文将详细介绍关于任意轴的对称变换的5 个步骤。
首先，我们需要了解对称变换的概念。
对称变换是指将一个物体或图形通过某种变换，使得其与某个轴对称。
在几何学中，轴对称变换是一种保持物体形状不变，但改变其位置的变换。
接下来，我们来介绍任意轴对称变换的5 个步骤。
第一步，选择一个轴。
对称轴可以是任意一条直线，如水平轴、垂直轴或斜轴。
选择对称轴的依据是它能够将物体分为两部分，使得这两部分关于轴对称。
第二步，将物体绕轴旋转180 度。
这意味着物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴旋转180 度。
需要注意的是，旋转的方向和角度要根据所选轴来确定。
第三步，确定旋转后的物体位置。
这一步需要根据物体的初始位置和旋转的角度来确定旋转后的物体位置。
如果物体在轴的左侧，旋转180 度后，它将位于轴的右侧；如果物体在轴的右侧，旋转180 度后，它将位于轴的左侧。
第四步，将物体沿着轴翻转。
翻转的目的是使物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴对称。
翻转后的物体应与旋转后的物体重合。
第五步，确定翻转后的物体位置。
这一步需要根据物体的旋转位置和翻转方向来确定翻转后的物体位置。
翻转后的物体可能与初始位置重合，也可能与初始位置相反。
对称变换在数学和物理中有着广泛的应用。
在数学中，对称变换可以用于解决几何问题，如求解图形的面积、周长等；在物理中，对称变换可以用于分析物体的受力情况，以及研究物体在相互作用过程中的运动规律。
总之，任意轴对称变换是一种在数学和物理中具有重要意义的几何变换。
14.2.1(2)轴对称变换
例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B 行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄， （2）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距 M 离相等？
A
P3
B N
答：如图 ，当汽车行驶到P3时，与村庄M、N的距离相 等。
根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B 行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄， （3）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离 M 之和最短？
A′
使AA′等于河宽
A P4 B N
答：如图 ，当汽车行驶到P4时，到村庄M、N的距离之 和最短。 根据：两点之间线段最短。 又问：若村庄M，N在公路AB的同侧，则又如何解决此题？
M N A P5 N1 B
答：若村庄M，N在公路AB的同侧时，当汽车行驶到P5时， 到村庄M、N的距离之和最短。
八年级（3）班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球（如图），则小林按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能 最快拿到求跑到目的地A？
把下列图形补成关于直线l对称的图形
· · ·
l l l
·
·
·
例1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站 分别向A、B两镇供气（A、B两镇在燃 气管道l两旁）。泵站修在管道的什么 地方，可使所用的输气管线最短？
A·
P
B ·
（2）如果A、B两镇在燃气管道l的同旁， 泵站修在管道的什么地方，可使所用 的输气管线最短？ B ·
B E P · D · C
1.如图，数字“81”以直线l为对称轴，作轴 对称变换得到的数字是 18 ；数字“25”以 直线l为对称轴，作对称变换得到的数字又 是 25 。
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例 如图,已知△ABC和直线l,作出与△ ABC关于直线l对称的图形.
B
C A AБайду номын сангаас C′ B′
⑴过点A作直线l的垂线,垂足 为点O,在垂线上截取OA＝OA′ ,点A′就是点A关于直线L的 对称点. . ⑵同理,作出点B 、 C关于直线l 的对称点B′C′.
⑶连结A′B′、B′C′、C′A′,得到的 △A′B′C′为所求三角形
14.2.1第一课时
对称是一种思想，通过它，人们毕生追求， 并创造次序、美丽和完善…… ------赫尔曼· 外尔
自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸 折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?改变 折痕的位置,你又得到了什么?
由一个平面图形得到它的轴对称 图形叫做轴对称变换.
思考: 如何作出已知图形关 于某条直线的对称图 形?
一团。自己以前也看过穿越的小说，但从没想过灵魂穿越的后果，现在经韩哲轩这么一说，真的有点可怕。所以说现在的韩哲 轩到底是穿越过来的一个灵魂呢，还是晴国的皇子呢，又或者是一个鬼也说不定啊……慕容凌娢都有些庆幸自己是本体穿越了， 至少她可以肯定自己就是慕容凌娢。……“白绫！”茉莉一脚踹开了慕容凌娢的房门。“怎么了？”慕容凌娢从梦中惊醒，揉 了揉眼睛从椅子上站起来。“喊你好几声都不开门，以为出事了。”茉莉警觉的环顾慕容凌娢的房间，要不是语气太过冷淡， 慕容凌娢还以为茉莉是在关心她。“不好意思，我睡着了。”“把这身衣服给换上。”茉莉递给了慕容凌娢一套演出服。“呵 呵，感觉我的少女心要回归了。”慕容凌娢换上那套淡紫色的抹胸宽袖礼服后，感觉整个人都不好了。“衣服是百蝶选的，想 抱怨找她去。”茉莉说着把慕容凌娢的头发解开了，“马尾辫，亏你想得出来……”“要不然就披着头发吧……”“不行！” 茉莉一拍桌子，“难看。”“……”慕容凌娢无语了，她难道也是强迫症吗？“坐下。”茉莉命令道，慕容凌娢哪敢怠慢，规 规矩矩的坐在了梳妆台前。“十字髻，随云髻，垂挂髻，选一个。”“What?”茉莉拽的慕容凌娢头发生疼，她根本不清楚茉 莉在说什么。“随云髻不适合你。十字髻……有点复杂来不及了。就垂挂髻吧……”茉莉快速给慕容凌娢梳好了发行，又从梳 妆台中取出了一直金丝攒珠钗插在慕容凌娢头上。“好了，该下楼了。”茉莉接着递给慕容凌娢一块面纱，“戴上。”“为 毛？”“这是个看脸的世界。”(从君行小剧场)笄筱玦：“我要告诉大家一个悲痛的消息。”慕容凌娢：“嗯，说吧。”笄筱 玦：“我们的学校要求九年级提前开学，所以……”韩哲轩：“所以说你要开始上课了？”笄筱玦：“是的，我就是想提醒一 下各位读者，以后依旧是一个星期一更，只要我还活着，就一定更新。”慕容凌娢：”哦，你可以回去写作业了。”笄筱玦： “你们表那么冷漠啊～最后容我在向我们的秃顶校长请求一句，等您长发及腰，我们再开学可好？”韩哲轩：“这个故事告诉 我们：秋天有秋老虎，春天有倒春寒，睡觉有回笼觉，人死之前都有回光返照。但是，假期依旧结束的那么干脆。”第037章 演出“好了，该下楼了。”茉莉接着递给慕容凌娢一块面纱，“戴上。”“为毛？”“这是个看脸的世界，你在那些歌伎里根 本不出众，可以说是丢进去三秒钟就不见了。”茉莉非常诚实，“想要显眼，自然要有神秘感。”“茉莉你还真是实在啊…… 又时百蝶设计的吗？”“是的。记住别在人前摘下面纱。”“知道了知道了。”被她这么一说，慕容凌娢甚至开始觉得自己难 看了。不过确实，醉影楼里漂
你能画出下列图形的 另一半吗?并猜想整个 图形的含义.
利用轴对称变换,你能设计一些 图案吗?
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区 （如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建 立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个 接口应建在哪,才能使得所用管道最短? B 小区 A小区
）
煤气主管 道 ）
已知:直线l和l的同侧两点A、B. 求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小.
如图：A为马厩，B为帐篷牧 马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某 一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐 篷．请你帮他确定这一天的最短路线． N
河
M
A
B
l
⑴什么是轴对称变换? ⑵如何作出轴对称图形?
⑶请你设计一些轴对称变换的图案.
wod42xqy
B A P A' l P' 作法: 1.作点A关于直线l的对称 点 A′; 2.连结A′B,交l于点 P. ∴ 点P就是所求的点.
已知:直线l和l的同侧两点A、B. 求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小. B 作法: A 1.作点A关于直线l的对称 点 A’; l 2.连结A’B,交l于点 P. P P' ∴ 点P就是所求的点. A' 证明: 在l 上任取另一点P’, 连结AP、AP’、BP’、A’P’. ∵ 直线 l是点A、A’的对称轴，点P、P’在对称轴上， ∴AP=A’P,AP’=A’P’. ∴AP+BP=A’P+BP=A’B. 在△A’BP’中，A’B<A’P’+BP’, ∴AP+BP <A’P’+BP’, 即AP+BP 最小.