山东济南一中高二年级第二学期期中检测数学试题及答案
山东省济南第一中学高二数学下学期期中试题理
山东省济南第一中学高二数学下学期期中试题理高二数学试题（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共20题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共9题。
请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题纸上交。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题（每小题4分，共80分，每题只有一个正确选项。
） 1. 下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ． )40,24,16(),5,3,2(=-=h gD ． )0,0,0(),0,3,2(==f e2. 函数x x y ln 212-=的单调减区间为( )A ．(]1,1-B ．(]1,0C ．[)+∞,1D ．()+∞,03. 若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰，则a 的值是（ ）A . 6B . 4C . 3D . 24. 已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，且k a b ⋅+与2a b ⋅-互相垂直，则k 值是（ ）A ． 1B ． 75 C ．35 D ． 155. 曲线2122y x x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A . -1 B . 45° C . 135 D . 45-6. 曲线xy e =，x y e -= 和直线1x =围成的图形面积是 （ ）A ． 1e e --B ． 1e e -+C ． 12e e ---D ． 12e e -+- 7. 设平面α内两个向量的坐标分别为()1,2,1、()1,1,2-，则下列向量中是平面α的法向量的是 （ ） A ．()1,2,5-- B ．()1,1,1-- C ．()1,1,1 D ．()1,1,1--8． 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象 如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个9. 定积分1101dxx +⎰的值为（ ）A ．1B ．ln 2C ．2122- D ．11ln 222- 10. 已知空间四边形,,ABCD M G 分别是,BC CD 的中点，连结,,AM AG MG ，则−→−AB 1()2BD BC ++等于 （ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC 11. 函数()2cos f x x x=-在(),-∞+∞上（ ）A ．是增函数B ． 是减函数C ． 有最大值D ． 有最小值12. 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A ． 22eB ．2eC ．22eD ．294e13. 在棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1中，M 、N 分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值 （ ）A. 23B. 1010C. 53D. 5214. 函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）xyoA xyo BxyoCxyo D111115. 给出以下命题：（1）若()0b af x dx >⎰，则()0f x >； （2）20sin 4xdx =⎰π；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则0()()aa T Tf x dx f x dx+=⎰⎰；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．016. 正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D AC D--的正切值为 （ ）A ．12 B ．2 C．2 D17. 函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的减区间是 A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,1- D ．()2,1--18. 设OABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上一点，且13OG GG =，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为 （ ）A ．（41，41，41）B ．（43，43，43）C ．（31，31，31）D ．（32，32，32）19. 若A ( , 5 , 21)x x x --，B()1 , 2 , 2x x +-，当BA取最小值时，x 的值等于（ ）A ． 19B ． 78-C ． 78D ． 141920. 设曲线()1x y ax e =-⋅在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-⋅在点()02,A x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],1-∞ B. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分，请将答案写到答题纸上.）21. 已知点()1,2,1A ，72,,42B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,1D ，若AP =2PB ，则PD 的值是__ ___22. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若c A A b D A a B A ===11111,,，则M B 1=（用,,a b c 表示） 23. 若()2f x x =+，计算积分34()f x -⎰dx=_____________24. 已知函数()2cos 312f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()f x 在12x π=处的导数/_____12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭25. 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表．()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示．下列命题中第25题图① 函数()y f x =是周期函数；② 函数()f x 在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点。
山东省济南第一中学高二下学期期中数学试题(解析版)
山东省济南第一中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-r r 且2a b ⋅=r r ,则x 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由数量积的坐标运算代入求解即可. 【详解】因为()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-r r所以3252a b x ⋅=-+-=rr ,解得5x =. 故选C. 【点睛】本题主要考查了数量积的坐标运算，属于基础题.2．在2()nx x-的展开式中，若二项式系数的和为32，则x 的系数为（ ） A ．﹣40 B ．﹣10 C ．10 D ．40【答案】D【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得x 的系数． 【详解】根据2()nx x-的展开式中，二项式系数的和为2325n n =∴=， ．而522()()n x x x x-=- 的展开式中，通项公式为52152r r r r T C x -+=⋅-⋅（），令521r -=，求得2r = ，可得展开式中x 的系数为325 240C ⋅-=（），故选：D ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．已知f （x ）＝x 3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D【解析】由f （x ）＝x 3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，f ′（x ）≥0恒成立，从而解得a ≤3，故a 的最大值为3． 【详解】解：∵f （x ）＝x 3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数 ∴f ′（x ）＝3x 2﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立． 即a ≤3x 2∵x ∈[1，+∞）时，3x 2≥3恒成立 ∴a ≤3∴a 的最大值是3 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三次函数的单调性的应用、不等式的解法、恒成立问题的解决方法等基础知识，考查了运算求解能力，化归与转化思想．4．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ) A ．300 B ．216 C ．180 D ．162【答案】C【解析】分两类:一、当偶数取2,4时，则有243472C A =；二、当偶数取0,2或0,4时，考虑首位，只有三个数可排，故有233323108C A ⨯⨯=，因此共有72108180+=.所以应选C.5．用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的方法有（ ）种.A ．120B ．180C ．240D ．72【答案】B【解析】利用乘法原理直接得到答案. 【详解】按照1,2,3,4的顺序涂色，共有：5433180⨯⨯⨯=.故选：B . 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.6．设6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，其中x 、i a R ∈，0i =，1，⋯，6，则()135 a a a ++=A ．16B ．32C ．64D ．128【答案】B【解析】分别令1x =和1x =-，求出代数式的值，然后相减计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，令1x =，则60123456264a a a a a a a =++++++=， 令1x =-，则60123456(11)0a a a a a a a -=-+-+-+=，两式相减，得1352()64a a a ++=，所以13532a a a ++=，故选B. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中合理利用赋值法求解二项展开式系数的和是解得关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ） A ．35 B ．70 C ．80 D ．140【答案】B【解析】先计算从9名学生中任选3名的选法，再分别计算3名都是男生和3名都是女生的情况数目，由事件之间的关系，计算即得. 【详解】由题得，从9名学生中任选3人，共3984C =种情况，若选出的3人都为男生时，有3510C =种情况，选出3人都为女生时，有344C =种情况，可得符合题意的选取种数为8410470--=. 故选：B 【点睛】本题考查组合问题，是基础题.8．在平面ABCD 中，(0,1,1)A ，(1,2,1)B ，(1,0,1)C --，若(1,,)a y z =-v ，且a v为平面ABCD 的法向量，则2y 等于（ ） A ．2 B ．0C ．1D ．无意义【答案】C【解析】根据已知的A ，B ，C 三点坐标，可得向量AB u u u r 和AC u u ur ，再由a v 为平面ABCD的法向量，可列出方程组，即得y . 【详解】由题得，(1,1,0)AB =u u u r ，(1,1,2)AC =--u u u r ，又a r为平面ABCD 的法向量，则有00a AB a AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即10120y y z -+=⎧⎨-+=⎩，则1y =，那么21y =. 故选：C 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量，是基础题. 9．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：() A ． 1 B ．2C ．5D ．3【答案】D【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【详解】试题分析：原函数的单调性是：当x ＜0时，增；当x ＞0时，单调性变化依次为增、减、增故当x ＜0时，f ′（x ）＞0；当x ＞0时，f ′（x ）的符号变化依次为+、-、+． 【考点】利用导数判断函数的单调性．二、多选题 11．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD【解析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=u u u v u u u v u u u v B ．AC AB B C CC ''''=++u u u u v u u u v u u u u v u u u u vC ．AA CC ''=u u u v u u u u vD ．AB BB BC C C AC '''+++=u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v【答案】ABC【解析】作出图形，结合图形利用向量的加法减法法则，向量的相等，逐项判断即得. 【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则A 正确；AB BC CC AB BC CC AC '''''++=++=u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v，则D 不正确.综上，正确的有ABC.故选：ABC【点睛】本题考查向量加法，减法运算法则，向量平行以及向量的相等，属于中档题. 13．已知函数1()cos f x x x=+，中正确结论有（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； B ．()f x 在(0,)π上的最小值为2π； C ．()f x 在(0,2)π上至少有两个零点； D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数； 【答案】AC 【解析】根据1y x=和cos y x =的单调性判断A ，B 选项，根据函数图像判断C. 【详解】 由题得，函数1y x =和cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上都是减函数，可知()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则A 正确；同理可得()f x 在(0,)π上是减函数，则()f x 在(0,)π上没有最小值，B 不正确；若()f x 在(0,2)π上至少有两个零点，则1()cos 0f x x x=+=在定义域上至少有两个实根，即1cos x x=-，分别作出1y x =-和cos y x =在(0,2)π上的函数图像如图，又1cos 1ππ=-<-，由图可知，两函数图像在(0,2)π上有2个交点，故C 正确，由A 知，D 不正确.综上，正确结论是AC.故选：AC【点睛】本题考查函数单调性，极值以及利用数形结合的方法确定函数零点个数.三、填空题14．4(1)i +=________. 【答案】-4【解析】先计算()21i +，再算它的平方，即得.【详解】()()()()242221112124i i i i ⎡⎤+=+=+-==-⎣⎦. 故答案为：4- 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.15．把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为________. 【答案】36【解析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体，有24C 种，再和另外两人分别推荐到3所不同的大学，共有234336C A =种分配方案.故答案为：36 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，利用了捆绑法，属于中档题.16．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.【答案】39【解析】建立空间直角坐标系，以1,,DADC DD u u u v u u u v u u u u v的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM u u u u v u u u u v的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得.【详解】分别以1,,DA DC DD u u u v u u u v u u u u v的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A B M D ，可得11(1,1,1),(1,1,)2BD AM =--=-u u u u v u u u u v ，则11111132cos ,||||13114BD AMBD AM BD AM -+⋅<>===⋅++u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v u u u uv u u u u v ，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为39. 故答案为：3【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.17．若平面α的一个法向量为(n =v ，直线l的一个方向向量为a =v，则l 与α所成角的正弦值为________. 【答案】15【解析】设l 与α所成角为θ，则||sin ||||n a n a θ⋅=v v v v ，由此即得.【详解】由题，设l 与α所成角为θ，可得||1sin 5||||n a n a θ⋅===v v v v . 故答案为：15【点睛】本题考查空间向量中两向量夹角，是常考题型.18．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有__________种不同的分法（用数字作答）．【答案】48【解析】甲乙分得的电影票连号,有2248A =种不同的分法,因此共有33848A =种不同的分法.四、解答题19．已知函数3()12f x x x =-.（1）求这个函数在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求这个函数的极值.【答案】（1）920x y ++=（2）极小值(2)16f -=，极大值(2)16f =-【解析】（1）先根据函数解析式求出(1)f ，再对函数求导，可得(1)f '，由点斜式即得方程；（2）对函数求导，讨论函数的单调性，可得定义域上的极值. 【详解】（1）3()12f x x x =-Q ，(1)11f ∴=-，2()312f x x '=-，(1)9f '=-，故函数()f x在(1,-11)处的切线方程是:119(1)y x +=--，即920x y ++=；（2）3()12f x x x =-Q ，2()312f x x '∴=-，令()0f x '>，解得:2x >或2x <-，令()0f x '<，解得:22x -<<，()f x ∴在(,2)-∞-，(2,)+∞上递增，在(2,2)-上递减，()f x ∴的极小值为(2)16f -=，()f x 的极大值为(2)16f =-. 【点睛】本题考查利用导数求函数在某点处的切线，以及求函数的极值. 20．已知复数 z 3bi =+（b 为正实数），且 ()2z 2- 为纯虚数.（1）求复数 z ； （2）若 zw 2i=+，求复数 w 的模 w ∣∣． 【答案】（1） z 3i =+；（2）2【解析】（1）把z 3bi =+代入()2z 2-中，计算化简，根据题意，可以求出的值，最后确定复数 z ；（2）运用复数除法运算公式计算zw 2i=+，最后根据复数求模公式求出复数 w 的模 w ∣∣． 【详解】（1）z 21bi -=+ .()221bi 12bi b +=--，所以 21b 0-=，又 b 为正实数，所以 b 1=．所以 z 3i =+，（2） ()()()()3i 2i 3i 7i 71w i 2i 2i 2i 555+⋅-+-====-++⋅-，所以 2271w 255∣∣⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了根据复数的分类求参问题，考查了复数的除法、模的计算，考查了运算能力. 21．如图,等腰直角ABC ∆中,90B =o ∠,平面ABEF ⊥平面ABC ,2AF AB BE ==,60FAB ∠=o ,//AF BE .（1）求证：BC BF ⊥；（2）求二面角F CE B --的正弦值.【答案】（1）见解析； （215【解析】(1)先证明BC ⊥平面ABEF ,再得到BC BF ⊥即可.(2)由(1)可知,以B 为坐标原点建立空间直角坐标,再求二面角F CE B --的正弦值即可.【详解】(1)证明：直角ABC ∆中B Ð是直角,即BC AB ⊥,平面ABC ⊥平面ABEF ,平面ABC I 平面ABEF 于AB ,BC ⊂平面ABC ,BC ∴⊥平面ABEF ,又BF ⊂平面ABEF ,BC BF ∴⊥；(2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ,故建立如图所示空间直角坐标系B xyz -,设1AF =,则由已知可得(0,B 0,0),(0,C 2,0),332F ⎛ ⎝⎭,(3E -,(1,2,3EC =-u u u v ,53,0,22EF ⎛=- ⎝⎭u u u v ,()0,2,0BC =uu u r ,设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =v, 则有230·053·0022x y z n EC n EF x z ⎧+=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v ,令3x =,则5,23z y==,即()3,23,5n =． 设平面BCE 的一个法向量()111,,m x y z =r, 则有11111230·053·0022x y z m EC m BC x z ⎧+-=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v ,1110,3y x z ∴==, 令13x =,则()3,0,1m =r , 设二面角F CE B --的平面角为θ,则10|cos |||||2210m n m m θ⋅===⨯, 所以15sin θ=, 所以二面角F CE B --的的正弦值为15.【点睛】本题主要考查了线线垂直与线面垂直的判定与性质等,同时也考查了立体几何中利用空间向量求解的方法,属于中等题型.22．已知函数()()ln 1a f x x x a a R x=+-+-∈ . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在1x >，使()1x f x x x-+<成立，求整数a 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）5. 【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110044a a a ≤<<≥、、时三种情况的单调性(2)分离含参量ln 211x x x a x +->-，构造新函数，()ln 211x x x g x x +-=-，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，0x >，()22211a x x a f x x x x -+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a <<时，方程20x x a -+-=，且102-<< 12+，此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在0⎫+∞⎪⎪⎝⎭（上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤0<0>，此时当()10,,02x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在上单调递增，在0⎫+∞⎪⎪⎝⎭（上单调递减； 当14a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； （2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立．设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >， 则()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2h x x x =--，则()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20h h =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x g x x x +-==+- 由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果．。
山东省济南市高二数学下学期期中试题(解析版)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！山东省济南市高二第二学期期中数学试卷一．单择题（共8小题）.1．若复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1﹣iB ．1+iC ．2﹣2iD ．2+2i2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是C 1D 1的中点，且AP →=AD →+xAB →+yAA 1→，则实数x +y 的值为（ ）A ．−32B ．−12C ．12D ．323．函数f （x ）＝3x ﹣4x 3（x ∈[0，1]）的最大值是（ ） A ．1B ．12C ．0D ．﹣14．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B |A ）的值等于（ ）A ．13B ．118C ．16D ．195．已知函数y ＝f （x ）的部分图象如图，则f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f （x ）＝x +tan xB ．f （x ）＝x +sin2xC ．f （x ）＝x −12sin2xD ．f （x ）＝x −12cos x6．已知下表所示数据的回归直线方程为y^=4x−4，则实数a的值为（）x23456y3711a21 A．16B．18C．20D．227．已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{1f(n)}的前n项和为S n，则S2020的值为（）A．20202021B．20192020C．20182019D．201720188．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（）A．332B．1564C．532D．516二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.510．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．异面直线QP与A1C1所成的角为60°11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（）A．a2＝180B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310C．a1+a2+…+a10＝1D．a12+a222+a323+⋯+a10210=−112．已知a＞b＞1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A．ae a＞be b B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．be a＞ae b三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有种．14．设(x√x )6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则ab的值为．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为．16．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的导数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题：若已知函数f（x）＝x3−32x2+3x−14，则f（x）的对称中心为；计算f(12021)+f(2 2021)+f(32021)+⋯+f(20202021)=．四．解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．在等差数列{a n}中，a4＝1，a7＝﹣5，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）现从{a n}的前10项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响；条件②：若从10个数中一次取出三个数．18．在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．（1）证明：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值．19．已知f （x ）＝kx ﹣sin2x +a sin x （k ，a 为实数）． （1）当k ＝0，a ＝2时，求f （x ）在[0，π]上的最大值； （2）当k ＝4时，若f （x ）在R 上单调递增，求a 的取值范围．20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A 点投篮一次，以后都在B 点投篮；方案乙：始终在B 点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在A 点命中的概率为34，命中一次记3分，没有命中得0分；在B 点命中的概率为45，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次． （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分ξ的分布列和数列期望． （2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解比较了解合计 男性 女性 合计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，（n ＝a +b +c +d ）． 临界值表： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87922．已知函数f （x ）=1+lnxx−a （a ∈R ）． （1）若f （x ）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围；（2）设g （x ）＝（x ﹣1）2e x ，当a ＝0时，若t （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求t （x ）零点的个数．参考答案一．单择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1﹣iB ．1+iC ．2﹣2iD ．2+2i【分析】通过化简求出z ，从而求出z 的共轭复数即可． 解：∵（1+i ）z ＝2i ，∴z =2i1+i=i （1﹣i ）＝1+i ， 则z =1﹣i ， 故选：A ．2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是C 1D 1的中点，且AP →=AD →+xAB →+yAA 1→，则实数x +y 的值为（ ）A ．−32B ．−12C ．12D ．32【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果． 解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是C 1D 1的中点，所以AP →=12(AD 1→+AC 1→)=12(AD →+AA 1→)+12(AB →+AD →+AA 1→)=AD →+12AB →+AA 1→=AD →+xAB →+yAA 1→， 所以x =12，y =1， 故x +y =32．故选：D．3．函数f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）A．1B．12C．0D．﹣1【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．解：f'（x）＝3﹣12x2＝3（1﹣2x）（1+2x）令f'（x）＝0，解得：x=12或−12（舍去）当x∈（0，12）时，f'（x）＞0，当x∈（12，1）时，f'（x）＜0，∴当x=12时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（12）＝1故选：A．4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（）A．13B．118C．16D．19【分析】P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率．解：由题意，P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率．∵抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4，基本事件有2×6＝12个，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7，基本事件有2个，∴P（B|A）=212=16．故选：C．5．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x+tan x B．f（x）＝x+sin2xC．f（x）＝x−12sin2x D．f（x）＝x−12cos x【分析】函数f（x）＝x+tan x的定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，不合题意；而由图象可知，f（0）＝0，f(π4)＜1，可排除BD，由此选C．解：由图象可知，函数的定义域为R，故排除A；又f（0）＝0，故排除D；若选择B，则f(π4)=π4+sinπ2=π4+1＞1，与图象不符．故选：C．6．已知下表所示数据的回归直线方程为y^=4x−4，则实数a的值为（）x23456y3711a21 A．16B．18C．20D．22【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样本中心点求出y的值，从而求出a的值．解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：x=15×（2+3+4+5+6）＝4，由回归直线经过样本中心点，得y=4×4﹣4＝12，即y=15×（3+7+11+a+21）＝12，解得a＝18．故选：B．7．已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{1f(n)}的前n项和为S n，则S2020的值为（）A．20202021B．20192020C．20182019D．20172018【分析】求得f（x）的导数，将x＝1代入可得切线的斜率，解得b＝1，可得f（n）＝n2+n，1f(n)=1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．解：函数f（x）＝x2+bx的导数为f′（x）＝2x+b，可得f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+b＝3，解得b＝1，则f（x）＝x2+x，即f（n）＝n2+n，1 f(n)=1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1，S2020＝1−12+12−13+⋯+12020−12021=1−12021=20202021．故选：A．8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（）A．332B．1564C．532D．516【分析】用小球落入③球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概率．解：由题可知：小球落入③号球槽有C52=10种情况，小球落入下方球槽共有25＝32，∴小球最终落③号球槽的概率为1032=516．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结果．解：对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍．故错误．对于选项B：若有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，故y＝3﹣5（x+1）＝3﹣5x﹣5．故y平均减少5个单位，正确．对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误．对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x＝1对称，则P（ξ＞1）＝0.5，正确．故选：BD．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．异面直线QP与A1C1所成的角为60°【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，共面的判定的应用求出结果．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，如图所示：①对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ∥BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1∥平面APQ，故选项A正确．②对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1∥PQ，D1Q＝AP，所以：平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故正确．③对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D⊥平面AQP，错误．④对于选项D：PQ∥BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°．故正确．故选：ABD．11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（）A．a2＝180B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310C．a1+a2+…+a10＝1D．a12+a222+a323+⋯+a10210=−1【分析】分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，即可判断答案．解：（2x ﹣1）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，其通项公式为：T r +1=∁10r •（2x ）10﹣r•（﹣1）r ；令x ＝0可得：a 0＝1； 所以：a 2为x 2的系数；故a 2=∁102•22•（﹣1）8＝180成立；由二项式定理可得：x 的偶次项系数为正，奇次项系数为负； 故令x ＝﹣1可得：|a 0|+|a 1|+|a 2|+…|a 10|＝310；即B 对； 令x ＝1可得a 0+a 1+a 2+…+a 10＝1； ∴a 1+a 2+…+a 10＝0；即C 错；令x =12可得：（2×12−1）10＝0＝a 0+12a 1+122a 2+⋯+1210a 10， ∴12a 1+122a 2+⋯+1210a 10＝0﹣a 0＝﹣1；故D 对； 故选：ABD ．12．已知a ＞b ＞1，e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ae a ＞be bB ．alnb ＞blnaC ．alna ＞blnbD ．be a ＞ae b【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数 f(x)=xe x ，g(x)=lnxx，h(x)=xlnx ，k(x)=e xx ，根据这些函数在 （1，+∞） 的单调性可得结果．解：设 f （x ）＝xe x ，x ＞1，则 f ′（x ）＝（x +1）e x ＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，故函数单调递增，故 f （a ）＞f （b ），即 ae a ＞be b ，故A 正确；设 g(x)=lnxx ，x ＞1，则 g′(x)=1−lnx x 2，函数在 （1，e ） 上单调递增，在 （e ，+∞） 上单调递减，故当 1＜b ＜a ＜e 时，g （a ）＞g （b ），即lna a＞lnb b，故 alnb ＜blna ，故B 错误；设h（x）＝xlnx，x＞1，则h′（x）＝lnx+1＞0 在（1，+∞）上恒成立，故函数单调递增，故h（a）＞h（b），即alna＞blnb，故C正确；设k(x)=e xx(x＞1)，则k′(x)=ex(x−1)x2＞0在（1，+∞）上恒成立，故函数单调递增，故k（a）＞k（b），即e aa＞e3b，故be a＞ae b，故D正确．故选：ACD．三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有72种．【分析】利用捆绑法，结合排列知识可得结论．解：因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，所以由捆绑法，可得A33A33A22=72．故答案为：72．14．设(x√x )6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则ab的值为4．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数，再根据x3的系数为a，二项式系数为b，求得a、b的值，可得ab的值．解：(x 2√x)6的展开式的展开式通项公式为Tk+1=C6k x6−k(−2x−12)k=(−2)k C6k x6−32k，令6−32k=3，得k＝2，即T3+1=(−2)2C62x3=60x3即系数为a＝60，二项式系数为b=C62=15，则ab=4，故答案为：4．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 314．【分析】找两卦中含两根阳线分为两类，一类两阳线来自同一卦，一类两阳线来自两卦，分别求出取法，再找出总取法，相比即可． 解：从八卦中任取两卦有C 82=28种；这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线有C11C31+C32=6，则两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率P =628=314故答案为：314．16．对于三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），定义：设f ''（x ）是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f '（x ）的导数，若方程f ''（x ）＝0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y ＝f （x ）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题： 若已知函数f （x ）＝x 3−32x 2+3x −14，则f （x ）的对称中心为 （12，1） ；计算f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021)= 2020 ． 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（12，1）对称，即f （x ）+f （1﹣x ）＝2，即可得到结论． 解：f （x ）＝x 3−32x 2+3x −14，则f ′（x ）＝3x 2﹣3x +3，f ″（x ）＝6x ﹣3，令f ″（x ）＝0，解得：x =12，则f （12）＝1故f （x ）的对称中心是（12，1），∴f （x ）+f （1﹣x ）＝2，∴f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021) ＝f （12021）+f （20202021）+f （22021）+f （20192021）+…+f （10102021）+f （10112021）＝2×1010＝2020，故答案为：（12，1），2020．四．解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．在等差数列{a n }中，a 4＝1，a 7＝﹣5， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）现从{a n }的前10项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响； 条件②：若从10个数中一次取出三个数．【分析】第一问根据等差数列的概念求出公差d ．第二问根据古典概型公式，注意有放回取球的特点．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ．则d =a 7−a47−4，又已知a 4＝1，a 7＝﹣5，∴d ＝﹣2．所以，等差数列{a n }的通项公式为：a n ＝﹣2n +9．（2）由（1）知等差数列{a n }的前10项分别为：7、5、3、1、﹣1、﹣3、﹣5、﹣7、﹣9、﹣11．若选择①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响， ∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率 P =C 31C 42C 61103=1081000=0.108若条件②：若从10个数中一次取出三个数．∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率：P =C 42C 61C 103=36120=0.3018．在如图所示的几何体中，DE ∥AC ，AC ⊥平面BCD ，AC ＝2DE ＝4，BC ＝2，DC ＝1，∠BCD ＝60°．（1）证明：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值．【分析】（1）推导出BD ⊥CD ，AC ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面ACDE ．（2）法一：延长AE ，CD 相交于G ，连接BG ，二面角A _BG ﹣C 就是平面BCD 与平面BAE 所成二面角．由此能求出平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值．法二：建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，利用向量法能求出平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值．【解答】证明：（1）在△BCD 中，BD 2＝4+1﹣2×1×2×cos60°＝3．∴BC 2＝BD 2+DC 2，∴△BCD 为直角三角形，BD ⊥CD ． 又∵AC ⊥平面BCD ，∴AC ⊥BD ． 而AC ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面ACDE ．解：（2）方法一：如图延长AE ，CD 相交于G ，连接BG ， 则平面AEB ∩平面BCD ＝BG ．二面角A _BG ﹣C 就是平面BCD 与平面BAE 所成二面角． ∵DE ∥AC ，AC ＝2DE ，∴DE 是△AGC 的中位线．GD ＝DC ＝1，这样GC ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，△BGC 是等边三角形． 取BG 的中点为H ，连接AH ，GH ，∵AC ⊥平面BCD ． ∴∠AHC 就是二面角A ﹣BG ﹣C 的平面角． 在Rt △AHC 中，AC ＝4，GH =√3， 所以sin ∠AHC =√19=4√1919． ∴平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值为4√1919．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ， 可得D （0，0，0），B （√3，0，0），C （0，1，0）， E （0，0，2），A （0，1，4）．BA →=（−√3，1，4），EA →=（0，1，2）． 设n →=（x ，y ，z ）是平面BAE 的法向量，则{n →⋅BA →=−√3x +y +4z =0n →⋅EA →=y +2z =0，令z =√3，得n →=（2，﹣2√3，√3）．取平面BCD 的法向量为m →=（0，0，1）． 设平面BCD 与平面BAE 所成二面角的平面角为θ，则|cos θ|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=√3√19，∴sin θ=√1−319=4√1919．∴平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值为4√1919．19．已知f （x ）＝kx ﹣sin2x +a sin x （k ，a 为实数）． （1）当k ＝0，a ＝2时，求f （x ）在[0，π]上的最大值；（2）当k ＝4时，若f （x ）在一、选择题上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）求导后，列表得x ，f ′（x ），f （x ）的变化情况，进而求得最大值； （2）依题意，4cos 2x ﹣a cos x ﹣6≤0恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解． 解：（1）当k ＝0，a ＝2时，f （x ）＝﹣sin2x +2sin xf ′（x ）＝﹣2cos2x +2cos x ＝﹣4cos 2x +2cos x +2＝2（2cos x +1）（1﹣cos x ），则x ，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下：x(0，2π3)2π3(2π3，π) f ′（x ） + 0 ﹣ f （x ）增函数极大值减函数∴f(x)最大值=f(2π3)=3√32．（2）f （x ）在R 上单调递增，则f ′（x ）＝4﹣2（cos 2x ﹣sin 2x ）+a cos x ≥0对∀x ∈R 恒成立．得4cos 2x ﹣a cos x ﹣6≤0，设t ＝cos x ∈[﹣1，1]，g （t ）＝4t 2﹣at ﹣6，则g （t ）≤0在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象{g(−1)≤0g(1)≤0，得﹣2≤a ≤2．20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A 点投篮一次，以后都在B 点投篮；方案乙：始终在B 点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在A 点命中的概率为34，命中一次记3分，没有命中得0分；在B 点命中的概率为45，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次． （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分ξ的分布列和数列期望． （2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．【分析】（1）在A 点投篮命中记作A ，不中记作A ；在B 点投篮命中记作B ，不中记作B ，求出概率，判断ξ的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解ξ的数学期望．（2）求出选手选择方案甲通过测试的概率，选手选择方案乙通过测试的概率，即可判断该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．解：（1）在A点投篮命中记作A，不中记作A；在B点投篮命中记作B，不中记作B，其中P(A)=34，P(A)=1−34=14，P(B)=45，P(B)=1−45=15，…………………ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则P(ξ=0)=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=14×15×15=1100，…P(ξ=2)=P(ABB)+P(ABB)=2×14×15×45=8100，……………………………P(ξ=3)=P(A)=34=75100，…………………………………………………………P(ξ=4)=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=14×45×45=16100．…………………………ξ的分布列为：ξ0234P110022534425所以E(ξ)=0×1100+2×8100+3×75100+4×16100=305100=3.05，所以，ξ的数学期望为3.05．…………………………………………………………（2）选手选择方案甲通过测试的概率为P1=P(ξ≥3)=75100+16100=91100=0.91，选手选择方案乙通过测试的概率为P2＝P（ξ≥3）=2×15×45×45+45×45=112125=8961000=0.896，…因为P2＜P1，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．……………………21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解比较了解合计 男性 女性 合计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，（n ＝a +b +c +d ）． 临界值表： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879【分析】（1）计算小区中得分不低于60分的人数，根据古典概型的概率公式计算； （2）计算四类人数填表，计算观测值K 2，与3.841比较得出结论； （3）计算10人中男女人数，按超几何分布得出分布列和数学期望．解：（1）小区1000名居民中，得分不低于60分的人数为：130+110+60+30+110+100+40+20＝600，故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率为P =6001000=35． （2）2×2联表如下： 不太了解 比较了解 合计 男性 250 330 580 女性 150 270 420 合计4006001000K 2=1000×(250×270−330×150)2580×420×400×600≈5.54，∵5.54＞3.841，∴有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关． （3）参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，男性有90人，女性有60人，若按分层抽样的办法从中抽取10人，则男性人数为10×90150=6，女性人数为10×60150=4． 故ξ的可能取值有0，1，2，3．P （ξ＝0）=C 43C 103=130，P （ξ＝1）=C 61⋅C 42C 103=310，P （ξ＝2）=C 62⋅C 41C 103=12，P （ξ＝3）=C 63C 103=16． ∴ξ的分布列为：ξ 0123P1303101216E （ξ）＝0×130+1×310+2×12+3×16=1.8． 22．已知函数f （x ）=1+lnxx−a （a ∈R ）． （1）若f （x ）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围；（2）设g （x ）＝（x ﹣1）2e x ，当a ＝0时，若t （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求t （x ）零点的个数．【分析】（1）变换得到1+lnx x≤a ，设F （x ）=1+lnxx ，求导得到函数单调区间，计算最值得到答案．（2）求导得t ′（x ）=−lnxx2−（x 2﹣1）e x ，得到函数单调区间，得到t （x ）max ＝t （1）＝1，且当x →0时，t （x ）→﹣∞；当x →+∞时，t （x ）→﹣∞，根据零点存在性定理，得到答案．解：（1）f （x ）≤0在（0，+∞）上恒成立，故1+lnx x≤a ，设F （x ）=1+lnxx， 则F ′（x ）=−lnxx 2，当x ∈（0，1）时，函数单调递增，当x ∈（1，+∞）时，函数单调递减，故F （x ）max ＝F （1）＝1，故a ≥1． （2）a ＝0时，t （x ）＝f （x ）﹣g （x ）=1+lnxx −（x ﹣1）2e x ，则t ′（x ）=−lnx x2−（x 2﹣1）e x ，当x ∈（0，1）时，−lnxx2＞0，﹣（x 2﹣1）e x ＞0，故t ′（x ）＞0，函数单调递增， 当x ∈（1，+∞）时，−lnxx2＜0，﹣（x 2﹣1）e x ＜0，故t ′（x ）＜0，函数单调递减， t （x ）max ＝t （1）＝1，且当x →0时，t （x ）→﹣∞；当x →+∞时，t （x ）→﹣∞，根据零点存在性定理知：函数在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，故函数t（x）有两个零点．。
山东省高二下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（ ） ()ln 1y x x =-()2,0A ． B ． 24y x =-24y x =+C ． D ．2y x =+2y x =-【答案】A【分析】求函数在点 处的导数值，根据点斜式求切线方程.. ()ln 1y x x =-()2,0【详解】因为， ()ln 1y x x =-所以， ()ln 11xy x x '=-+-所以， ()22ln 21221x y ==-+=-'所以曲线在点处的切线斜率为，()ln 1y x x =-()2,02所以曲线在点处的切线方程为， ()ln 1y x x =-()2,0()22y x =-即， 24y x =-故选：A. 2．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）322(nx x +A ．60 B ．80 C ．100 D ．120【答案】B【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. n 【详解】当时，，解得，1x =3243n =5n =则的展开式第项， 322()n x x +1r +351532155152552C ()(C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===令，解得，所以，1550r -=3r =335C 210880=⨯=故选：B3．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．1101531025【答案】D【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；35A 54360=⨯⨯=要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=所以该三位数能被3整除的概率为. 242605=故选：D4．已知随机变量 分别满足，，且期望，又,X Y (8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =，则（ ） 1(3)2P Y ≥=p =A ．B ．C ．D ．18143858【答案】C【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，μ可求得答案.【详解】由题意知，，，(8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =故， 8p μ=由，知，故， 1(3)2P Y ≥=3μ=383,8p p =∴=故选：C5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A ：“区域1和区域3颜色不同”，事件B ：“所有区域颜色均不相同”，则（ ）()P B A =A ．B ．C ．D ．27122334【答案】B【分析】根据条件概率的公式，分别计算出事件A 和事件B 的基本事件即可. 【详解】A 事件有 个基本事件， 21115322A C C C :::B 事件有 个基本事件，55A；()5521115322A 1|A C C C 2p B A ∴==:::故选：B. 6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） 3212()33f x x x =+-1a -5a +a A ．[－5,1) B ．(－5,1) C ．[－2,1) D ．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间1a -5a +内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或， 2()2f x x x =+'()0f x '=2x =-0x =由得：或，由得：，()0f x '><2x -0x >()0f x '<20x -<<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-(2,0)-(0,)+∞所以函数在处取得极小值，0x =2(0)3f =-令，解得或， ()32122333f x x x =+-=-0x =3x =-若函数在(,)内存在最小值，则，得． ()f x 1a -5a +3105a a -≤-<<+21a -≤<故选：C 7．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） 21()cos 4f x x x =+()f x '()f x ()f x 'A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】求出导函数，根据奇偶性可得BD 不正确；根据可得C 不正确；()f x 'ππ()1024f '=-<【详解】因为，所以，21()cos 4f x x x =+1()sin 2f x x x '=-因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故11()sin()sin ()22f x x x x x f x ''-=---=-+=-()f x '因为，故C 不正确；ππ(1024f '=-<故选：A8．已知，则（ ）66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 3a =A ．15 B ．20 C ．60 D ．160【答案】D【分析】由已知得，再根据二项式展开式的通项()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 公式求得的系数可得选项.()31x -【详解】因为，66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 所以，()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 所以展开式中含的项为，所以. ()31x -()()33336116012C x x ⨯⨯-=-3160a =故选：D.【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （1C rn rr r n T ab -+=）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展0,1,2,,r n =⋅⋅⋅1r +r rn C 开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意1r +1r +.0,1,2,,r n =⋅⋅⋅二、多选题9．一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X ，则（ ） A ．X 服从二项分布 B ． 9(1)64P X ==C ． D ． 3()4E X =3()16D X =【答案】AC【分析】根据已知，即可判断A 项正确；求出每次取球后得1分的概率，可得，进而根13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭据二项分布求解，判断B 、C 、D.【详解】对于A 项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，所以X 服从二项分布，对于B 项，每次取球后得1分的概率，则.14p =13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以，，故B 项错误； 12131127(1)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C 项，因为，所以，故C 项正确；13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭13()344E X =⨯=对于D 项，因为，所以，故D 项错误.13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭119()314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：AC.10．已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则（ ） nA ．B ．二项式系数最大的项为中间项 9n =C ．系数最大的项为中间项D ．含的项是第6项3x 【答案】BC【分析】根据倒数第三项的系数求出，可知A 不正确；根据二项式系数的性质以及展开式的通项n 公式对另外三个选项进行分析可得答案.【详解】展开式的通项为，n 1C n kkk k n T -+=⋅11312=C k n knx-所以倒数第三项的系数为，故，即，所以， 2C n n -2C 45n n-=2C 45n =(1)452n n -=所以，得或（舍）.故A 不正确；(10)(9)0n n -+=10n =9n =-因为，所以展开式共有项，所以二项式系数最大的项为中间项，故B 正确； 10n =11因为展开式中各项的系数与该项的二项式相等，所以系数最大的项为中间项，故C 正确；因为，所以展开式的通项为，10n =10110C kkk k T -+=⋅113012=C k knx-令，得，所以含的项是第项，故D 不正确. 1130312k -=6k =3x 1617k +=+=故选：BC11．下列选项正确的是（ ）A ．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种B ．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C ．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D ．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 【答案】ABD【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可.【详解】对于A:,故A 正确；57A 2520=对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个，即或所以有种，故B 正确；722111,=++++731111,=++++22375722C C C 140A +=对于C:应用隔板法，C 选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C 错误；27C 21=对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数， 存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式； 存放2个盒子，有3种；71+6=2+5=3+4=存放3个盒子，有4种； 71+1+5=1+2+4=1+3+3=3+2+2=共有8种，故D 正确. 故选：ABD.12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数m ()f x m ≥x D ∈()f x D m 的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，()f x M ()f x M ≤x D ∈()f x D 其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说M ()f x 法正确的是（ ）A ．1是函数的一个下界()1(0)f x x x x =+>B ．函数有下界，无上界()ln f x x x =C ．函数有上界，无下界()2e xf x x =D ．函数有界()2sin 1xf x x =+【答案】ABD【分析】由基本不等式可判断A ；利用导数可确定，即可判断B ；由恒成()1e f x ≥-()2e 0xf x x=>立即可判断C ；利用放缩法即可判断D.【详解】对于A ，当时，（当且仅当时取等号）， 0x >12x x+≥1x =恒成立，是的一个下界，故A 正确；()1f x ∴>1∴()f x 对于B ，∵，()ln 1(0)'=+>f x x x 当时，；当，， ∴10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>在上单调递减，在上单调递增，∴()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴有下界，()11e e f x f ⎛⎫∴≥=- ⎪⎝⎭()f x 又当越来越大时，趋向于，∴无上界， x ()f x +∞()f x 综上所述，有下界，无上界，故B 正确；()ln f x x x =对于C ，，，，有下界，故C 错误；20x > e 0x>2e 0xx ∴>∴()f x 对于D ，，， sin [1,1]x Q Î-2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++又，， 2111x -≥-+2111x ≤+，既有上界又有下界，故D 正确． 2111sin xx ∴-<<+()f x \故选：ABD ．【点睛】关键点睛：函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题．三、填空题13．的展开式中，项的系数为___________. ()62123x x ++3x 【答案】340【分析】由于，根据二项式定理，可得其展开式的通项为()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦，其中，由此可知，再结合的范围，即可求出6C C 23r k r k k r kr x -+06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈3r k +=,k r 结果.【详解】由于，()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦所以其展开式的通项为，其中()22666C 23C C 23C C 23rrr k r k k r k k r k r k k r k r r x x x x x ---++==，06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈为得到展开式中的系数，则，()62123x x ++3x 3r k +=当时，的系数为；2,1r k ==3x 2121162C C 23=180-当时，的系数为；3,0r k ==3x 303063C C 23=160所以展开式中的系数为. ()62123x x ++3x 180160340+=故答案为：.34014．某社区有2个核酸检测点，现有6名志愿者将被派往这2个检测点协助核酸检测工作，每个志愿者只去1个检测点，每个检测点至少需要2名志愿者，则不同的安排方法种数为___________.（请用数字作答） 【答案】50【分析】由题可知，存在两种分组情况，分类讨论，先分组，后排列，利用排列组合求每种分组情况的数值，最后求和即可. 【详解】根据题意分两种情况：第一种情况：将6人分为人数为2和4的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安246415C C =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =15230⨯=第二种情况：将6人分为人数为3和3的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安33632210C C A =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =10220⨯=故不同的安排方法总共有种. 302050+=故答案为：50.15．已知函数在上的最大值为2，则______． ()ln f x x x k =-+[]1,e ()f k =【答案】ln3【分析】直接对函数求导，利用函数在区间上单调性和条件，求出值，从而求出结果. []1,e k 【详解】因为，所以， ()ln f x x x k =-+()111x f x x x-'=-=又，所以在上恒成立，即在区间上单调递减， []1,e x ∈()0f x '≤[]1,e x ∈()f x []1,e 所以，得到，故， ()1ln112f k =-+=3k =()ln 3f x x x =-+所以.()(3)ln3f k f ==故答案为：.ln316．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中1A 2A 3A 取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．①事件，相互独立；②；③；④；⑤．1A 2A ()315P A =()922P B =()2911P B A =()159P A B =【答案】③⑤【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确1A 2A 3A ()12P A A ()()12P A P A ⋅定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤. ()3P A 【详解】依题意，，和是两两互斥事件， 1A 2A 3A ，， ()1515232P A ==++()2215235P A ==++()33352310P A ==++又，①②错误；()()()12120P A A P A P A =≠⋅ ∴又，， ()()()11115525331112P BA P B A P A ⨯++=== ()()()22214454431115P BA P B A P A ⨯++===()()()3333441043431110P BA P B A P A ⨯++===()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅，③正确，④错误； 5141439112115111022=⨯+⨯+⨯=，⑤正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===故答案为：③⑤.四、解答题17．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答） (1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序? (2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?(3)如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序? 【答案】(1) 576(2) 1440(3) 3720【分析】(1)捆绑法：先将4首歌曲捆绑，然后与3个舞蹈排序，有（种）不同的出场4444A A 576⋅=顺序.（2）插空法：先将4首歌曲排好，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，4345A A 1440⋅=（种）不同的出场顺序.（3）有条件限制类排列：可用排除法，7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场77A 时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且66A 66A 舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有44A 44A 种情况，所以有（种）不同的出场顺序.4444A A 576⋅=（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情44A 35A 况，所以有（种）不同的出场顺序.4345A A 1440⋅=（3）方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙77A 66A 在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的66A 情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场66A 时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的515A 个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的15A 55A 61156555A A A A 3720+=出场顺序.18．函数在和单调递增，在单调递减.32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x（2）求在上的最大值和最小值.()f x []1,2-【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为16和. 32()43185f x x x x =--+614-【分析】（1）．根据函数在和，单调递2()122f x x ax b '=++32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+增，在单调递减．可得，是的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出； 3(1,)2-1-32()0f x '=（2）由已知可知函数在，单调递减，函数在，上单调递增．进而得出最值． ()f x [1-3)2()f x 3(22]【详解】（1）．2()122f x x ax b '=++函数在和，单调递增，在单调递减． 32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+3(1,)2-，是的两个实数根． 1∴-322()1220f x x ax b '=++=，． 3126a ∴-+=-31212b -⨯=解得，．3a =-18b =-，满足条件． 23()1261812(1)(2f x x x x x ∴'=--=+-．32()43185f x x x x ∴=--+（2）因为函数在和单调递增，在单调递减.所以函32()43185f x x x x =--+(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭数在，单调递减，函数在，上单调递增． ()f x [1-3)2()f x 3(22]当时，函数取得极小值即最小值，． ∴32x =()f x 361()24f =-又，（2）．(1)16f -=f 11=-时，函数取得最大值为16．1x ∴=-()f x 所以函数在上的最大值和最小值分别为16和. ()f x []1,2-614-【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.20．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. 34（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和Y Y 方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，. ()15E Y =75()4D Y =【分析】（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可； （2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得X 5Y X =解.【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率 ∴314626144881114C C C P C C =+=参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试. 在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为， 34乙通过自主招生初试的概率 ∴43324313189(444256P C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，甲通过自主招生初试的可能性更大. 1118914256> ∴（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4. X ~X B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭且()4431()0,1,2,3,444k k kP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5Y X =的概率分布列为：∴Y Y 0 510 15 20 P 1256364 27128 2764 81256 3()554154E Y np ∴==⨯⨯=. 3175()25(1)254444D Y np p =-=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用表示X 样本中次品的件数.(1)求的分布列（用式子表示）和均值；X(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过的概率.0.1参考数据：设，则(),0,1,2,,20k P X k p k === ，56780.06530,0.12422,0.17972,0.20078p p p p ====.91011120.17483,0.11924,0.06376,0.02667p p p p ====【答案】(1)的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X ()8E X =(2)0.79879【分析】（1）由题意随机变量服从超几何分布，从而即可求解；X （2）样本中次品率是一个随机变量，由题意，，根据参2020X f =()200.40.1(610)P f P X -≤=≤≤考数据即可求解.【详解】（1）解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立， 所以由题意随机变量服从超几何分布，X 所以的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X 40()208100E X np ==⨯=（2）解：样本中次品率是一个随机变量， 2020X f =所以()200.40.1(610)(6)(7)(8)(9)(10)P f P X P X P X P X P X P X -≤=≤≤==+=+=+=+=.0.124220.179720.200780.174830.119240.79879=++++=所以误差不超过的概率为.0.10.7987922．已知函数.()2e e 7x f x ax =-+-(1)当时，求曲线在处的切线方程；7a =-()y f x =1x =(2)若，，求a 的取值范围. [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥【答案】(1)2(e 7)e 7y x =++-(2)2(,e 7]-∞-【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；(2)参变分离可得，利用导数讨论的最值即可求解. 224e 74e 284x x a x-+-≤224e 74e 28()x x g x x -+-=【详解】（1）当时，，则， 7a =-2()e 7e 7x f x x =++-()e 7x f x '=+则(1)e 7f '=+又，所以所求切线方程为， 2(1)e e f =+2(e e)(e 7)(1)y x -+=+-即.2(e 7)e 7y x =++-（2），等价于, [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥2270,)7[,e e 4x x ax x ∈+∞-+-≥①当时，显然成立;0x =2e 60-≥②当时，不等式 0x >227e e 74x ax x -+-≥等价于, 224e 74e 284x x a x-+-≤设，则. 224e 74e 28()x x g x x -+-=2224(1)e 74e 28()x x x g x x ---+'=设，22()4(1)e 74e 28x h x x x =---+则,()4e 142(2e 7)x x h x x x x '=-=-）时，，当）时，, 7(0,ln 2x ∈()0h x '<7(ln ,)2x ∈+∞()0h x '>则在上单调递减，上单调递增. ()h x 7(0,ln )27(ln ,)2+∞因为，所以，且, 2(0)4(6e )0h =-<7(ln 02h <()20h =则当时，，当）时，. ()0,2x ∈()0g x '<(2,x ∈+∞()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x (0,2)(2,)+∞则,2min ()(2)4e 28g x g ==-则，故a 的取值范围为. 244e 28a ≤-2(,e 7]-∞-。
山东省济南市济南中学2018-2019学年高二第二学期数学期中考试(简答)
济南中学2018-2019学年第二学期期中教学检测高二数学试题 2019.4.23注意事项:1本试卷分第1(卷(选择题)和第2卷(非选择题)两部分,共2页,考试时间120分钟,满分150分2.答卷前,考生务必将个人的姓名、座号、考籍号填涂在答题卡规定位置,所有答案必须填涂在答题卡相应位置,否则无效。
第I 卷选择题一、选择题(每小题5分,共60分。
)1.i 是虚数单位,则1i i++的虚部是( C ) A.12i B.12i - C.12 D.12- 2.与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( )CA.1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(-1,-3,2)C.13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.3,-- 3.z 是z 的共轭复数.若()2,2z z z z i +=-= (i 为虚数单位),则z=( )DA.1+iB.-1-iC.-1-iD.1-i4.函数f(x)=x 3+3x 2+3x -a 的极值点的个数是（ ）CA.2B.1C.0D.由a 确定5.已知△ABC 的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC 边上的中线长为( )BA.2B.3C.4D.56.设曲线y=ax 2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a=( )AA.1B.12C.12- D.-1 7.函数f(x)=(x -3)e x 的单调递增区间是( )DA.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)8.函数f(x)=x 3+ax -2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a 的取值范围是( )BA.[3,+∞)B.[-3,+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)9.若复数(a 2-a -2)+ (|a -1|-1)i(a△R)是纯虚数,则( )AA.a= - 1B.a= - 1且a=2C.a≠ - 1D.a=210.已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,若点F 是侧面CD 1的中心,且1AF AD mAB nAA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ,则m,n 的值分别为( )A A.11,22- B.11,22-- C.11,22- D.11,2211.已知y=f(x)是R 上的可导函数,对于任意的正实数t,都有函数g(x)=f(x+t)-f(x)在其定义域内为减函数,则函数y=f(x)的图象可能为下图中的( ) A12.在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,PA△平面ABCD,PA=5,那么二面角 A -BD -P 的大小为( )AA.30°B.45°C.60°D.75°第Ⅱ卷 非选择题二、填空题(每题5分,共20分)13.已知i 是虚数单位,计算()211ii -=+__________1122i -- 14.设117,,12i a b R a bi i-∈+=-（i 为虚数单位),则a+b 的值为_______8 15.三个人坐在一排八个座位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为____2416.周长为20cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为______。
山东省济南一中高二下学期期中考试数学(文)试题
济南一中2015—2016学年度第2学期期中考试高二数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷和答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（共90分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题5分,共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}21|{},0|{≤≤-=>=x x B x x A ，则=B A （ ）A ．}1|{-≥x x B.}2|{≤x x C.}20|{≤<x x D.}21|{≤≤-x x2.若3()f x x =且/0()f x =6，则0x =( )A ．1± 3.设x x x x f ln 42)(2--=，则()f x 的单调递增区间为（ ）A. ),0(+∞B. ),2()0,1(+∞-C. )0,1(-D. ),2(+∞ 4.若6.03=a ，6.0log 3=b ，36.0=c ，则（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 5．函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）A ．()2,+∞ B.(),2-∞ C.[)2,+∞ D.[)3,+∞ 6.曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ）A ．330x y ++=B ．330x y -+=C ．30x y -=D ．330x y --= 7.若()f x 是幂函数，且满足(9)2(3)f f =，则19f ⎛⎫⎪⎝⎭=（ ）A. 4B. 2C.14 D. 128.下列函数()f x 中,满足对任意12,(0,),x x ∈+∞当12x x <时都有12()()f x f x >的是（ ）A ．1()f x x=B ．2()(1)f x x =- C ．()xf x e = D ．()ln(1)f x x =+9.设,x y R +∈且191x y+=,则x y +的最小值为（ ） A ．10B ．12C ．15D ．1610．已知:1p x ≤， 1:1q x<，则p ⌝是q 的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.设11a b ,则下列不等式中恒成立的是( )A ．2ab B ．22a b C ．11a b D ．11a b12. 已知函数93)(23-++=x ax x x f , )(x f 在3-=x 时取得极值,则=a ( )A.2B.3C.4D.5 13. 下列图象中，有一个是函数()()()322111,03f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()/f x 的图象，则()1f -等于（ ）A.13B. 13-C.73D. 13-或5314.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-1,2)B ．(-∞,-3)∪(6,+∞)C ．(-3,6)D ．(-∞,-1)∪(2,+∞)15.下列命题错误的是（ ）A ．对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝为：R x ∈∀，均有012≥++x x B ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ， 则0232≠+-x x ”C ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件16. 函数f (x )=xe x1-的零点所在的区间是（） A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（1，23） D ．（23，2）17. 若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<18.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题纸的横线上. 19．已知函数()2()0f x x x x=+>，则函数()f x 的单调递增区间为 20. 设函数21log (2),1()2,1x x x f x x +-<⎧=⎨≥⎩,则2(2)(log 6)f f -+=_____________21. 已知函数31()443f x x x =-+，则函数的极小值为_____________ 22. 已知2:230p x x +->, :q x a >,且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是__________23. 若正数,x y 满足3x y xy +=，则34x y +的最小值是 ___________24. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时有/(1)0,()()0f xf x f x =->,则不等式()0f x >的解集是__________三、解答题：本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.现已画出函数()f x 在yAB Oxy -122C轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： （Ⅰ）写出函数() ()f x x R ∈的增区间； （Ⅱ）写出函数() ()f x x R ∈的解析式；（Ⅲ）若函数()()2 2 ([1,2])g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．26.已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈. （Ⅰ）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）求证：不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立.2015-2016学年度高二第二学期期中检测文科数学(答案)一、选择题CADAC BCADA ADBBC BAC 二、填空题19. +)∞ 20.9 21. 4-322. 1a ≥ 23.25 24. (-1,0)∪(1,+∞) 三、解答题25. 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时， g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).26. （I ）1a =时，1()ln 1f x x x=+- 所以/21()x f x x -=/(1)0f = 又(1)0f = 所以切线方程为0y =（II ）()f x 的定义域为(0,)+∞，/2()x af x x -=①若/0,()0a f x ≤>，()f x 在(0,)+∞上单调递增②若0a >，当(0,)x a ∈时，/()0f x <，()f x 在(0,)a 单调递减. 当(,)x a ∈+∞时，/()0f x >，()f x 在(,)a +∞单调递增.(Ⅲ)1111 2 ln 12x x x <<∴-<-等价于(1)ln 2(1)0x x x +--> 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则/(1)1()ln 2ln 1x F x x x x x+=+-=+-由（I ）知，当1a =时min ()(1)0f x f ==， ()(1)f x f ∴>，即1ln 10x x+-≥ 所以/()0F x ≥，则()F x 在(1,2)上单调递增 所以()(1)0F x F >= 即1111 2 ln 12x x x <<-<-有时。
山东省济南第一中学高二数学下学期期中试题 文
山东省济南第一中学2017—2018学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题(每题5分)1．若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =（ ) A 。
2 B 。
3 C. 5 D 。
10 2．设i 是虚数单位,如果复数iia ++2的实部与虚部是互为相反数,那么实数a 的值为 （ ) A ．31 B ．31- C ．3 D ．3- 3。
函数cos 1xy x=-的导数是（ ） A ．2sin sin (1)x x x x -+- B ．2cos sin sin (1)x x x xx -+- C ．2sin sin cos (1)x x x xx --- D ．cos sin sin 1x x x x x -+-4. 下列推理是类比推理的是（ ）A ．由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数B ．由633,835,1037=+=+=+，猜想任何一个小6的偶数都是两个奇质数之和C ．平面内不共线的3个点确定一个圆，由此猜想空间不共面的4个点确定一个球D ．已知,A B 为定点，若动点P 满足2PA PB a AB +=>（其中a 为常数），则点P 的轨迹为椭圆。
5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如:他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ） A ．36 B ．45 C ．99 D ．1006.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程31x ax be 至少有一个实根”时，要做的假设是( ）A ．方程31x ax be没有实根 B ．方程31x ax be 至多有一个实根 C ．方程31x ax be至多有两个实根 D ．方程31x ax be++≠没有实根7。
下列说法错误的是( ） A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ，随机变量卡方2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 就平均增加0.2个单位8．已知函数()()22ln 52x f x x m x =++-在()2,3上单调递增，则m 的取值范围是（ )A ．(,5-∞+ B ．(],8-∞ C ．26,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,5-∞+ 9．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表:附表:其中()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++则下列结论正确的是（ )A ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0。
山东省济南第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
山东省济南第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-且2a b ⋅=,则x 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．在2()n x x-的展开式中，若二项式系数的和为32，则x 的系数为（ ） A ．﹣40B ．﹣10C ．10D ．403．已知f （x ）＝x 3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ) A ．300B ．216C ．180D ．1625．用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的方法有（ ）种.A ．120B ．180C ．240D ．726．设6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，其中x 、i a R ∈，0i =，1，⋯，6，则()135 a a a ++=A ．16B ．32C ．64D ．1287．从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ） A ．35B ．70C ．80D ．1408．在平面ABCD 中，(0,1,1)A ，(1,2,1)B ，(1,0,1)C --，若(1,,)a y z =-，且a 为平面ABCD 的法向量，则2y 等于（ ） A ．2B ．0C ．1D ．无意义9．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C D ．310．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题 11．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++ C ．AA CC ''= D ．AB BB BC C C AC '''+++=13．已知函数1()cos f x x x=+，中正确结论有（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；B ．()f x 在(0,)π上的最小值为2π； C ．()f x 在(0,2)π上至少有两个零点； D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数；三、填空题14．4(1)i +=________.15．把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为________.16．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.17．若平面α的一个法向量为(3,1,1)n =-，直线l 的一个方向向量为(3,1,1)a =，则l 与α所成角的正弦值为________.18．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有__________种不同的分法（用数字作答）．四、解答题19．已知函数3()12f x x x =-.（1）求这个函数在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求这个函数的极值.20．已知复数 z 3bi =+（b 为正实数），且 ()2z 2- 为纯虚数. （1）求复数 z ； （2）若 zw 2i=+，求复数 w 的模 w ∣∣． 21．如图,等腰直角ABC ∆中,90B =∠,平面ABEF ⊥平面ABC ,2AF AB BE ==,60FAB ∠=,//AF BE .（1）求证：BC BF ⊥；（2）求二面角F CE B --的正弦值. 22．已知函数()()ln 1af x x x a a R x=+-+-∈ . （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值.参考答案1．C 【分析】由数量积的坐标运算代入求解即可. 【详解】因为()()3,2,5,1,,1,a b x =-=- 所以3252a b x ⋅=-+-=,解得5x =. 故选C. 【点睛】本题主要考查了数量积的坐标运算，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得x 的系数． 【详解】根据2()nx x-的展开式中，二项式系数的和为2325n n =∴=， ．而522()()n x x x x-=- 的展开式中，通项公式为52152r r r r T C x -+=⋅-⋅（），令521r -=，求得2r ，可得展开式中x 的系数为325240C ⋅-=（）， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】由f （x ）＝x 3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，f ′（x ）≥0恒成立，从而解得a ≤3，故a 的最大值为3． 【详解】解：∵f （x ）＝x 3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数∴f ′（x ）＝3x 2﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立． 即a ≤3x 2∵x ∈[1，+∞）时，3x 2≥3恒成立 ∴a ≤3∴a 的最大值是3 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三次函数的单调性的应用、不等式的解法、恒成立问题的解决方法等基础知识，考查了运算求解能力，化归与转化思想． 4．C 【解析】分两类:一、当偶数取2,4时，则有243472C A =；二、当偶数取0,2或0,4时，考虑首位，只有三个数可排，故有233323108C A ⨯⨯=，因此共有72108180+=.所以应选C.5．B 【分析】利用乘法原理直接得到答案. 【详解】按照1,2,3,4的顺序涂色，共有：5433180⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力. 6．B 【分析】分别令1x =和1x =-，求出代数式的值，然后相减计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，令1x =，则60123456264a a a a a a a =++++++=， 令1x =-，则60123456(11)0a a a a a a a -=-+-+-+=，两式相减，得1352()64a a a ++=，所以13532a a a ++=，故选B. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中合理利用赋值法求解二项展开式系数的和是解得关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 7．B 【分析】先计算从9名学生中任选3名的选法，再分别计算3名都是男生和3名都是女生的情况数目，由事件之间的关系，计算即得. 【详解】由题得，从9名学生中任选3人，共3984C =种情况，若选出的3人都为男生时，有3510C =种情况，选出3人都为女生时，有344C =种情况，可得符合题意的选取种数为8410470--=.故选：B 【点睛】本题考查组合问题，是基础题. 8．C 【分析】根据已知的A ，B ，C 三点坐标，可得向量AB 和AC ，再由a 为平面ABCD 的法向量，可列出方程组，即得y . 【详解】由题得，(1,1,0)AB =，(1,1,2)AC =--，又a 为平面ABCD 的法向量，则有00a AB a AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即10120y y z -+=⎧⎨-+=⎩，则1y =，那么21y =. 故选：C 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量，是基础题. 9．D【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 10．C 【详解】试题分析：原函数的单调性是：当x ＜0时，增；当x ＞0时，单调性变化依次为增、减、增 故当x ＜0时，f′（x ）＞0；当x ＞0时，f′（x ）的符号变化依次为+、-、+． 考点：利用导数判断函数的单调性． 11．CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 12．ABC 【分析】作出图形，结合图形利用向量的加法减法法则，向量的相等，逐项判断即得. 【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC.故选：ABC【点睛】本题考查向量加法，减法运算法则，向量平行以及向量的相等，属于中档题. 13．AC 【分析】 根据1y x=和cos y x =的单调性判断A ，B 选项，根据函数图像判断C . 【详解】 由题得，函数1y x =和cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上都是减函数，可知()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则A 正确；同理可得()f x 在(0,)π上是减函数，则()f x 在(0,)π上没有最小值，B 不正确；若()f x 在(0,2)π上至少有两个零点，则1()cos 0f x x x=+=在定义域上至少有两个实根，即1cos x x=-，分别作出1y x =-和cos y x =在(0,2)π上的函数图像如图，又1cos 1ππ=-<-，由图可知，两函数图像在(0,2)π上有2个交点，故C 正确，由A 知，D 不正确.综上，正确结论是AC. 故选：AC【点睛】本题考查函数单调性，极值以及利用数形结合的方法确定函数零点个数. 14．-4 【分析】先计算()21i +，再算它的平方，即得. 【详解】()()()()242221112124i i i i ⎡⎤+=+=+-==-⎣⎦. 故答案为：4- 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 15．36 【分析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体，有24C 种，再和另外两人分别推荐到3所不同的大学，共有234336C A =种分配方案.故答案为：36 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，利用了捆绑法，属于中档题.16【分析】建立空间直角坐标系，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得.【详解】分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A B M D ，可得11(1,1,1),(1,1,)2BD AM =--=-，则111111cos ,9||||3BD AM BD AM BD AM -+⋅<>===，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为39.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.17．15【分析】设l 与α所成角为θ，则||sin ||||n a n a θ⋅=，由此即得. 【详解】由题，设l 与α所成角为θ，可得||1sin 5||||(n a n a θ⋅===-. 故答案为：15【点睛】 本题考查空间向量中两向量夹角，是常考题型.18．48【解析】甲乙分得的电影票连号,有2248A =种不同的分法,因此共有3 848A 3种不同的分法.19．（1）920x y ++=（2）极小值(2)16f -=，极大值(2)16f =-【分析】（1）先根据函数解析式求出(1)f ，再对函数求导，可得(1)f '，由点斜式即得方程；（2）对函数求导，讨论函数的单调性，可得定义域上的极值.【详解】（1）3()12f x x x =-，(1)11f ∴=-，2()312f x x '=-，(1)9f '=-，故函数()f x 在(1,-11)处的切线方程是:119(1)y x +=--，即920x y ++=；（2）3()12f x x x =-，2()312f x x '∴=-，令()0f x '>，解得:2x >或2x <-，令()0f x '<，解得:22x -<<，()f x ∴在(,2)-∞-，(2,)+∞上递增，在(2,2)-上递减，()f x ∴的极小值为(2)16f -=，()f x 的极大值为(2)16f =-.【点睛】本题考查利用导数求函数在某点处的切线，以及求函数的极值.20．（1） z 3i =+；（2【分析】（1）把z 3bi =+代入()2z 2-中，计算化简，根据题意，可以求出的值，最后确定复数 z ；（2）运用复数除法运算公式计算z w 2i=+，最后根据复数求模公式求出复数 w 的模 w ∣∣． 【详解】（1）z 21bi -=+ . ()221bi 12bi b +=--，所以 21b 0-=，又 b 为正实数，所以 b 1=．所以 z 3i =+，（2） ()()()()3i 2i 3i 7i 71w i 2i 2i 2i 555+⋅-+-====-++⋅-，所以 w ∣∣== 【点睛】本题考查了根据复数的分类求参问题，考查了复数的除法、模的计算，考查了运算能力.21．（1）见解析； （2. 【分析】 (1)先证明BC ⊥平面ABEF ,再得到BC BF ⊥即可.(2)由(1)可知,以B 为坐标原点建立空间直角坐标,再求二面角F CE B --的正弦值即可.【详解】(1)证明：直角ABC ∆中B 是直角,即BC AB ⊥,平面ABC ⊥平面ABEF ,平面ABC 平面ABEF 于AB ,BC ⊂平面ABC ,BC ∴⊥平面ABEF ,又BF ⊂平面ABEF ,BC BF ∴⊥；(2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ,故建立如图所示空间直角坐标系B xyz -,设1AF =,则由已知可得(0,B 0,0),(0,C 2,0),3,0,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(E -,(1,2,EC =,5,0,22EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()0,2,0BC =,设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =,则有20·05·0022x y n EC n EF x z ⎧+=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩, 令3x =,则5,z y ==即)n =． 设平面BCE 的一个法向量()111,,m x y z =,则有1111120·05·002x y m EC m BC x z ⎧+-=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩,1110,y x ∴=, 令13x =,则()3,0,1m =, 设二面角F CE B --的平面角为θ,则|cos |||||m n m m θ⋅===,所以sin θ=所以二面角F CE B --的的正弦值为5【点睛】本题主要考查了线线垂直与线面垂直的判定与性质等,同时也考查了立体几何中利用空间向量求解的方法,属于中等题型.22．（1）见解析（2）5.【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110044a a a ≤<<≥、、时三种情况的单调性(2)分离含参量ln 211x x x a x +->-，构造新函数，()ln 211x x x g x x +-=-，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，0x >，()22211a x x a f x x x x-+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a <<时，方程20x x a -+-=，且0<< ，此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在110,22⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤时，102<，102+>，此时当(),0x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，当1,2x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在上单调递增，在110,22⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上单调递减； 当14a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； （2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立． 设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >， 则()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2h x x x =--，则()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20h h =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x g x x x +-==+- 由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果．。
2019-2020学年山东省济南市第一中学高二下学期期中考试数学试题 (Word版)
济南一中2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸.第Ⅰ卷（共70分）一. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.若复数z 的实部为1，且||2z =，则复数z 的虚部是（ D ）A B ． C ． D ． 2．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( A )A.31y x =-B.35y x =-+C.35y x =+D.2y x = 3.函数21()ex f x x +=⋅,[]1,2-∈x 的最大值为( C )．A.14e -B. 0C.2eD. 23e4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ B ）A. 38B.1340C.1345D.345．二项式30的展开式的常数项为第( C )项 A ． 17 B ．18 C ．19 D ．206.已知随机变量X 的分布列：若()1E X =，(21)2D X +=，则p =（ B ） A.13B.14C. 15D.167.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ A ）A.(2,2)-B.[]2,2-C.(,1)-?D.(1,)+? 8.设()52501252x a a x a x a x -=++L ，那么02413a a a a a +++的值为（ B ）A . －122121 B .－6160C .－244241D .-1 9．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查, y 与x 具有相关关系,回归方程562.166.0ˆ+=x y(单位:千元),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（ D ）A . 66%B . 72.3%C . 67.3%D . 83%10.已知奇函数()f x 在R 上是单调函数，函数()f x '是其导函数，当0x >时，1()ln ()f x x f x x'<-，则使()0f x >成立的x 的取值范围是（ A ） A. (,0)-∞ B. (1,0)- C. (0,1) D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】将不等式变形，并构造函数()()ln g x f x x =⋅，利用导函数可判断在0x >时()f x 的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当0x <时()f x 的符号，进而得解. 【详解】当0x >时，1()ln ()f x x f x x '<-，即1()ln ()0f x x f x x'+<； 令()()ln g x f x x =⋅， 则()()()1ln g x f x x f x x'='⋅+，由题意可知()0g x '<，即()()ln g x f x x =⋅在0x >时单调递减，且()()11ln10g f =⋅=， 所以当01x <<时，()()ln 0g x f x x =⋅>，由于此时ln 0x <，则()0f x <不合题意； 当1x >时，()()ln 0g x f x x =⋅<，由于此时ln 0x >，则()0f x <不合题意； 由以上可知0x >时()0f x <， 而()f x 是R 上的奇函数， 则当0x <时，()0f x >恒成立，所以使()0f x >成立的x 的取值范围为(,0)-∞， 故选：A.二. 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 11.已知复数 z =1ii-，则以下说法正确的是BDA ．复数 z 的虚部为2iB ．2z =C ． z 的共轭复数12z =2i- D ．在复平面内与 z对应的点在第二象限12.A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，则下列排法正确的有（ BD ） A.若A 、B 两人站在一起共有24种排法 B.若A 、B 不相邻共有72种排法C.若A 在B 的左边共有60种排法D.若A 不站在最左边，B 不站在最右边共有78种排法 13.对于函数2()x x f x e e -=+，有下列结论：①()f x 在(–),1∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； ②()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； ③()f x 的图象关于直线1x =对称； ④()f x 的图象关于点()1,0对称． 其中正确的是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】BC14.下列有关说法正确的是A ．51(2)2x y -的展开式中含 x 2 y 3 项的二项式系数为 10B ．51(2)2x y -的展开式中含 x 2 y 3 项的系数为 20C ．已知随机变量ξ 服从正态分布N (2,δ 2) ，P (ξ < 4) = 0.84 ，则 P (2 < ξ < 4) = 0.34D ．已知随机变量ξ 服从正态分布N (2,δ 2) ，P (ξ < 4) = 0.84 ，则 P (0 < ξ < 2) = 0.34 【答案】ACD三．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 15.设随机变量()~2,B p ξ，()~4,B p η ，若5(1)9P ξ≥=，则D η=___________． 【答案】8916.已知33210n n A A =，则345612n n n n C C C C +++++=____________．【答案】462 【解析】 【分析】根据排列数计算公式可求得n ，结合组合数的性质即可化简求值.【详解】根据排列数计算公式可得()()3222122n A n n n =--，()()312n A n n n =--，所以()()()()221221012n n n n n n --=--， 化简可解得8n =，则由组合数性质可得345688910C C C C +++ 4569910C C C =++ 561010C C =+()61111!4626!116!C ===-，故答案为：462.17. 点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 【答案】30,,24p p p 轹轹鼢觋È鼢鼢觋腚18.已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________． 【答案】52-19.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有__34______种.20.已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a >若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围是 . 【答案】四.解答题：本题共4小题，共55分。
山东省济南市数学高二下学期理数期中考试试卷
山东省济南市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·吉林期中) 从编号1~100的100位同学中用系统抽样的方法随机抽取5位同学了解他们的学习状况，若编号为53的同学被抽到，则下面4位同学的编号被抽到的是（）A . 3B . 23C . 83D . 933. （2分）(2019·九江模拟) 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是A .C .D .4. （2分）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)，则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A . 分层抽样法，系统抽样法B . 分层抽样法，简单随机抽样法C . 系统抽样法，分层抽样法D . 简单随机抽样法，分层抽样法5. （2分）二项式（）30的展开式的常数项为第几项（）A . 17B . 18C . 19D . 206. （2分） (2020高二下·吉林期中) 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（）A .B .C .7. （2分） (2020高二下·吉林期中) 如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为 ,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·吉林期中) 已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A . 3B . 5C . 6D . 79. （2分）(2020高二下·江西期中) 已知回归方程，试验得到一组数据是，则残差平方和是（）A . 0.01B . 0.02C . 0.03D . 0.0410. （2分） (2020高二下·吉林期中) 在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A . 越小B . 越大C . 可能大也可能小D . 以上都不对11. （2分） (2019高二下·东莞期末) 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·吉林期中) 在的展开式中的系数是（）A . -297B . =252C . -207D . 207二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·西安模拟) 从集合中任选一个元素，则满足的概率为________．14. （1分）用1、5、9、13中任意一个数作分子，4、8、12、16中任意一个数作分母，可构成________个不同的分数？可构成________个不同的真分数？15. （1分）(2019·浦东模拟) 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________．16. （1分）(2017·浙江模拟) 有3所高校欲通过三位一体招收24名学生，要求每所高校至少招收一名且人数各不相同的招收方法有________种．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）某地区有100名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：第1组：[75，80），第2组：[80，85），第3组：[85，90），第4组：[90，95），第5组：[95，100]．（1）求图中a的值，并估计此次考试成绩的中位数（结果保留一位小数）；（2）在第2、4小组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行面试，求至少有一人来自第2小组的概率．18. （10分）(2013·福建理) 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？19. （10分） (2019高二下·舒兰期中) 从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）20. （15分）某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．21. （10分） (2016高二下·重庆期中) 某校高三某班的一次测试成绩的频率分布表以及频率分布直方图中的部分数据如下，请根据此解答如下问题：（1）求班级的总人数；（2）将频率分布表及频率分布直方图的空余位置补充完整；（3）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100）之间的概率．分组频数频率[50，60）0.08[60，70）7[70，80）10[80，90）[90，100）222. （15分）(2017·天津) 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、。
山东省济南第一中学高二数学下学期期中试题 理
济南一中2014—2015学年度第2学期期中质量检测高二数学试题（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共20题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共9题。
请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题纸上交。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题（每小题4分，共80分，每题只有一个正确选项。
）1. 下列各组向量中不平行的是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
2. 函数错误!未找到引用源。
的单调减区间为( )A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
3. 若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
的值是（）A . 错误!未找到引用源。
B . 错误!未找到引用源。
C . 错误!未找到引用源。
D . 错误!未找到引用源。
4. 已知向量错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
互相垂直，则错误!未找到引用源。
值是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
5. 曲线错误!未找到引用源。
在点错误!未找到引用源。
处的切线的倾斜角为（）A . -1B . 45°C . 错误!未找到引用源。
D . 错误!未找到引用源。
6. 曲线错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
和直线错误!未找到引用源。
围成的图形面积是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
7. 设平面错误!未找到引用源。
内两个向量的坐标分别为错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
，则下列向量中是平面错误!未找到引用源。
的法向量的是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
山东省济南第一中学高二数学下学期期中试题 理
济南一中2015—2016学年度第2学期期中考试高二数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４页，满分150分．考试限定用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考号分别填写在试卷和答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共75分）注意事项：1． 第Ⅰ卷共15题，每小题5分，共75分.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号．只能涂在答题纸上, 答在试卷上无效．一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数31iz i-=+（i 为虚数单位）的共轭复数等于 （ ） A.12i + B.12i -C.13i +D.13i --2. 曲线2122y x x =-在点3(1,)2-处的切线的倾斜角为（ ）A . 1-B . 45oC . 45-oD . 135o3. 用反证法证明命题：若系数都为整数的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数。
下列假设中正确的是（ ）A . 假设,,a b c 都是偶数B . 假设,,a b c 都不是偶数C . 假设,,a b c 中至多有一个偶数D . 假设,,a b c 中至多有两个偶数4. 5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是（ ） A ．53 B ．35C ． 35AD ． 35C5. 若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰，则a 的值是（ ）A . 6B . 4C . 3D . 26. 已知复数1z i =-，则221z zz --的模是（ ）A ． 2iB ． 2C ． 2-D ． 47. 用数学归纳法证明21122221n n -+++⋅⋅⋅+=- (n ∈N *)的过程中，第二步假设当()n k k N *=∈时等式成立，则1n k =+时应得到 ( ) A ． 22111222221k k k --++++⋅⋅⋅++=- B ．211112222212k k k k +-++++⋅⋅⋅++=-+ C ． 21111222221k k k -+++++⋅⋅⋅++=- D ．2112222212k k k k -+++⋅⋅⋅++=-+ 8. 下列函数中，导数是1x的函数是 A ． ln kx B ． ln()x k + C ． lnk x D ． 2ln x k x+ 9. 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（ ）A. 正三角形的顶点 B ．正三角形的中心 C ．正三角形各边的中点 D ．无法确定10. 在832x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A. 28 B ． 28- C ． 7 D ．7-11. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A. B ． C ． D ．12. 5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-13. 函数32y x ax a =-++在()1,0-内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A. 3(0,)2B. (0,3)C. (,3)-∞D. (0,+)∞14. 把6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么不同的分派方案共有多少种 （ ）A. 252B. 70C. 50D. 56 15. 设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x '=g 的图象的一部分如图所示，则A ．()f x 极大值为(2)f ，极小值为(2)f -B ．()f x 极大值为(2)f -，极小值为(2)fC ． ()f x 极大值为(3)f ，极小值为(3)f -D ． ()f x 极大值为(3)f -，极小值为(3)f第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分.16. 设复数113z i =-，232z i =+，则12z z +在复平面内对应的点位于第 象限 17. 函数sin y x x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值是 18. 由数字1，2，3，……9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“421”）顺序排列的数的个数是19. 由曲线3y x =及直线2y x =所围成的图形的面积是 20. 用数学归纳法证明()2211111n n a a a a a a++-++++=≠-K ，在验证1n =成立时，左边计算所得的项是_____ ___-33xy2-221. 若()554325432102=x a x a x a x a x a x a -+++++ , 则12345=a a a a a ++++ _________.(用数字作答)22. 若()f n 为2*1()n n N +∈的各位数字之和，如2141197,19717+=++=，则(14)17,f =记*1211()(),()(()),,()(()),,k k f n f n f n f f n f n f f n k N +===∈L 则2016(8)f =三、解答题:本大题共3小题, 共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23. （本小题满分13分）设函数2()ln(23)f x x x =++. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．24. （本题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2AB =，3BAD π∠=，M 为BC 上一点，且12BM =，MP AP ⊥．（Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角A PM C --的正弦值．25. （本题满分14分） 设函数21()ln 22f x x ax x =--，其中0a ≤ （Ⅰ）若曲线y =()f x 在点()1(1)f ，处的切线方程为2y x b =+，求2a b -的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；2015－2016学年高二下学期期中考试数学理科答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ADBADBDABCDBACC二、填空题16、四 17、π18、168 19、 2 20、21a a ++ 21、 31 22、 8 三、解答题23. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）2()223f x x x '=+=+ ………………………….2分 24622(21)(1)2323x x x x x x ++++=++当312x -<<-时，()0f x '>； ………………………………….3分 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．………………………………….4分从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加， …………………….5分 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． …………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． ……………….8分又 339ln 4216f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ , 171ln 4216f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………….9分而 31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<．…………….11分所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． …………….13分24. （本题满分13分）解：（Ⅰ）连接AC ，BD ，∵底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ， 故=O AC BD I ，且AC ⊥BD ，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 方向为,,x y z轴正方向建立空间坐标系O ﹣xyz ， ………………………………………………….2分2,3AB BAD π=∠=Q ，1cos()32OA AB BAD ∴=⋅∠=，1sin()12OB AB BAD =⋅∠=， ………………………………………………….3分∴O （0，0，0），A （3，0，0），B （0，1，0），C （﹣3，0，0），OB =（0，1，0），BC =（﹣3，﹣1，0），又∵BM=21，∴BM =41BC =31,,04--（）则OM =OB +BM =33,,044-（）， ………………………………………………….4分设0,0,P a （），则()=3,0,,AP a -u u u r MP =33(,)4a -， MP AP ⊥Q ∴•MP =2304a -=，…………………………………………….5分解得3a =PO 的长为23． ………………………………………….6分说明：第一问用几何法做可酌情给分。
山东省济南第一中学高二数学下学期期中试题 文
济南一中2015—2016学年度第2学期期中考试高二数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷和答题纸规定的位置. 第Ⅰ卷（共90分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题5分,共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}21|{},0|{≤≤-=>=x x B x x A ，则=B A I （ ）A ．}1|{-≥x x B.}2|{≤x x C.}20|{≤<x x D.}21|{≤≤-x x2.若3()f x x =且/0()f x =6，则0x =( )A ．2± B.2- C. 2 D.1± 3.设x x x x f ln 42)(2--=，则()f x 的单调递增区间为（ ）A. ),0(+∞B. ),2()0,1(+∞-YC. )0,1(-D. ),2(+∞ 4.若6.03=a ，6.0log 3=b ，36.0=c ，则（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 5．函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）A ．()2,+∞ B.(),2-∞ C.[)2,+∞ D.[)3,+∞ 6.曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ）A ．330x y ++=B ．330x y -+=C ．30x y -=D ．330x y --= 7.若()f x 是幂函数，且满足(9)2(3)f f =，则19f ⎛⎫⎪⎝⎭=（ ）A. 4B. 2C.14 D. 128.下列函数()f x 中,满足对任意12,(0,),x x ∈+∞当12x x <时都有12()()f x f x >的是（ ）A ．1()f x x=B ．2()(1)f x x =- C ．()xf x e = D ．()ln(1)f x x =+9.设,x y R +∈且191x y+=,则x y +的最小值为（ ） A ．10B ．12C ．15D ．1610．已知:1p x ≤， 1:1q x<，则p ⌝是q 的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是( ) A ．2a b > B ．22a b > C ．11a b > D ．11a b< 12. 已知函数93)(23-++=x ax x x f , )(x f 在3-=x 时取得极值,则=a ( )A.2B.3C.4D.5 13. 下列图象中，有一个是函数()()()322111,03f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()/f x 的图象，则()1f -等于（ ）A.13B. 13-C.73D. 13-或5314.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-1,2)B ．(-∞,-3)∪(6,+∞)C ．(-3,6)D ．(-∞,-1)∪(2,+∞)15.下列命题错误的是（ ）A ．对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝为：R x ∈∀，均有012≥++x x B ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ， 则0232≠+-x x ” C ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件16. 函数f (x )=xe x1-的零点所在的区间是（ ） A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（1，23） D ．（23，2）17. 若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<18.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题纸的横线上. 19．已知函数()2()0f x x x x=+>，则函数()f x 的单调递增区间为 20. 设函数21log (2),1()2,1x x x f x x +-<⎧=⎨≥⎩,则2(2)(log 6)f f -+=_____________21. 已知函数31()443f x x x =-+，则函数的极小值为_____________ 22. 已知2:230p x x +->, :q x a >,且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是__________23. 若正数,x y 满足3x y xy +=，则34x y +的最小值是 ___________AB Oxy -122C24. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时有/(1)0,()()0f xf x f x =->,则不等式()0f x >的解集是__________三、解答题：本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：（Ⅰ）写出函数() ()f x x R ∈的增区间； （Ⅱ）写出函数() ()f x x R ∈的解析式；（Ⅲ）若函数()()2 2 ([1,2])g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．26.已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈. （Ⅰ）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）求证：不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立.2015-2016学年度高二第二学期期中检测文科数学(答案)一、选择题CADA C BCADA ADBBC BAC 二、填空题19. (2,+)∞ 20.9 21. 4-322. 1a ≥ 23.25 24. (-1,0)∪(1,+∞) 三、解答题25. 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x x ＞0，x 2＋2x x ≤0.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ≤0，－a 2－2a ＋10＜a ≤1，2－4a a ＞1.26. （I ）1a =时，1()ln 1f x x x=+- 所以/21()x f x x-=/(1)0f = 又(1)0f = 所以切线方程为0y =（II ）()f x 的定义域为(0,)+∞，/2()x af x x-=①若/0,()0a f x ≤>，()f x 在(0,)+∞上单调递增②若0a >，当(0,)x a ∈时，/()0f x <，()f x 在(0,)a 单调递减.当(,)x a ∈+∞时，/()0f x >，()f x 在(,)a +∞单调递增.(Ⅲ)1111 2 ln 12x x x <<∴-<-Q 等价于(1)ln 2(1)0x x x +--> 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则/(1)1()ln 2ln 1x F x x x x x+=+-=+-由（I ）知，当1a =时min ()(1)0f x f ==， ()(1)f x f ∴>，即1ln 10x x+-≥ 所以/()0F x ≥，则()F x 在(1,2)上单调递增 所以()(1)0F x F >= 即1111 2 ln 12x x x <<-<-有时。
山东省济南市2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)
A．4
B．6
C．12
D．24
2．已知某物体的运动方程为
s(t)
1 2
t2
6t
（时间单位：s，位移单位：m），当
t
t0
时，
该物体的瞬时速度为 2m / s ，则 t0 的值为（ ）
A．2
B．6
C．7
D．8
3．已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，且满足 f (x) 2xf (e) ln x（e 为自然对数的底数），
x 可得 a,b 大小关系；利用作差法可得 b, c 大小关系，由此可得结论.
答案第 2页，共 14页
5a
【详解】由 e2
5 2
，得
5 2
a
ln
5 2
， a
2 ln 5
5 2
ln 5 2 5
；
2
由
eb
1 ，得
b
1 e
ln e e
；由
ec
2
，得
c
ln
2
；
令
f
x
ln x x
，则
f
x
1 ln x2
x
，
15．现有五张卡片，分别写有数字 0，1，2，3，6（数字 6 倒放也可当做数字 9），则用
这些卡片摆成的不同五位数的个数为
．（用数字作答）
16．已知函数 f (x) x(ln x 1) ae2x x ln a，若对任意两个不相等的正实数 x1, x2 ，都有
f
x1
x1
f
x2
x2
2 ，则实数
(1)求 a3 的值；
(2)求 a1 a2 aa3
1 a9
的值．
山东省济南第一中学学年高二数学下学期期中试题理
山东省济南第一中学2020学年高二数学放学期期中试题理一、选择题（5分*12=60分）1.用反证法证明命题“设 a,b R,则方程x2ax b 0最稀有一个实根”时要做的假设是（）A.方程x2ax b0没有实根B.方程x2ax b0至多有一个实根C.方程x2ax b0至多有两个实根D.方程x2ax b0恰巧有两个实根2 .i为虚数单位，复数i2016的共轭复数为()A．1B．i C．-1D．-i3．设曲线y ax ln(x 1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a=（）A.0B.1C.2D.31＋i，则|z|＝()4.设z＝1＋i123A.2B.2C.2D．25．函数y xcosx sinx的一个递加区间是（）A.(,3) B.(,2) C.(3,5) D.(2,3)22226.若复数（，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A.-2B.4C.—6D.67.用数字0，1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，此中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个已知2x 10a0a1xa2x2L a9x9a10x10，则a2a3L a9a10的值（）8.19 .某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出序次，则同类节目不相邻的排法种数是()A．120B．72C．168D．144把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144B．120C．72D．2411．如图是函数y f(x)的导函数y f'(x)的图象，给出以下命题：3是函数yf(x)的极值点；②1是函数yf(x)的最小值点；③y f(x)在x0处切线的斜率小于零；④y f(x)在区间(3,1)上单一递加。
则正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④12.函数在定义域内可导，若，且当时，，设a=，b=,C=，则()A.abcB.cbaC.cabD.bca二、填空题（5分*5=25分）13.已知椭圆中有以下结论：椭圆x2y21a0,b0上斜率为1的弦的中点在直线a2b2x y0上．类比上述结论可推得：双曲线x2y21a0,b0上斜率为1的弦的a2b2a2b2中点在直线____________上．在报名的3名男教师和6名女教师中，采用5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不一样样的采用方式的种数为（结果用数值表示）．15.计算定积分1sinx)dx___________ (x2116若函数fx ax3x2x2在R上单一递加，则实数a的取值范围为17．对于函数f(x)给出定义：设f(x)是函数y f(x)的导数，f(x)是函数f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x 0,f(x 0))为函数yf(x)的“拐点”.某同学经过研究发现：任何一个三次函数f(x)ax 3 bx 2 cx d(a 0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)1x 31x 2 3x 5 ，请你依据上边研究结果，计算32 12f(1) f(2 ) f(3 ) L f(2018)=.2019 2019 20192019二、解答题1x 21 n18.（10 分）已知在的张开式中，第 9项为常数项，2x求（1）n 的值（2）张开式中x 5的系数19.（11 分）已知函数 f(x)e x 4x 4 x 2 4x ，求（1）f(x)的单一区间 （2）f(x)的极大值20.(14分)已知函数f(x)1 ln(x1)(x0) .x（Ⅰ）判断函数f(x)在(0,)上的单一性；（Ⅱ） 若f(x)k 恒成立,求整数k 的最大值；x 1（Ⅲ）求证： (11 2)(1 2 3)L[1n(n 1)] e 2n3.答案一、选择题123456789101112A A DB BC BD A D C C二、填空题13.14.120 15.16.三、解答题18.（1）n=10(2)19.(1)单一增区间和单一减区间2）20.解：（Ⅰ）----------------2分上是减函数----------------4分（Ⅱ），即的最小值大于.---------------5分----------------6分令，则又且满足上单一递加，，----------------8,----------------7存在独一实根分分,当时，当时，∴，故正整数的最大值是3----9分（Ⅲ）由(Ⅱ)知，∴----------------10分令,则----------------11分∴----------------13分∴----------------14分方法二：则当----------------10分当----------------11分当----------------12分----------------13分----------------14分。
山东省济南市高二数学下学期期中试题理(含解析)
山东省济南市高二数学下学期期中试题理（含解析）高二期中数学（理科）试题一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 复数的虚部是（）A. 2B.C.D. -1【答案】D【解析】,∴虚部为-1.故选D.点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．③利用复数相等求参数．．2. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A. 36B. 45C. 99D. 100【答案】A【解析】三角形数都可写成1+2+…+n=的形式,正方形数都可写成n2的形式①由于16=无正整数解，所以16不是三角形数。
②由于25=无正整数解，所以25不是三角形数。
③由36=解得n=8,所以36是三角形数。
又36=62，所以36也是正方形数。
符合要求④由于49=无正整数解，所以49不是三角形数。
综上所述，既是三角形数又是正方形数的是36故选A.3. A、B、C、D、E、F六人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法种数为（）A. 720B. 240C. 120D. 60【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：、A. B必须相邻且B在A的右边，视A，B为一个元素，且只有一种排法；②、将A，B与其他4个元素，共5个元素全排列，即=120种排法，则符合条件的排法有1×120=120种；故选：C.4. 已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】 ,选A.5. 曲线在点处的切线方程为( )A. y＝3x－4B.C. y＝－4x＋3D. y＝4x－5【答案】B【解析】∵曲线y=2x3−x2+1，∴y′=6x2−2x，∴切线方程的斜率为：k=y′|x=1=6−2=4，又因为曲线y=2x3−x2+1过点(1,2)∴切线方程为：y−2=4(x−1)，即y=4x−2，故选：B.6. 已知向量，若则（）A. -5B. 0C. 5D. -7【答案】D【解析】∵,∴存在实数k使得=k，∵,解得k=-，x=−1，y=−6.则x+y=−7.故选：D.7. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极值点．．．有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】试题分析：函数在点处连续且，若在点附近左侧，右侧，则点为函数的极大值点，满足定义的点有个,故选B. 考点：函数极值点的特征.8. 若，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以，选B；法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以（其中：），故选B.考点：导数的概念.9. 下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】[ln（2x+1）]′=•（2x+1）′=，（3x）′=3x ln3，（x2cosx）′=2xcosx-x2sinx，于是可得A，C，D错误故选：B10. 若的展开式中，的系数是系数的7倍，则的值为（）A. 5B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】试题分析：的展开式的通项公式为,依题意的系数是系数的倍,即,.考点：二项式定理.11. 为使高三同学在高考复习中更好的适应全国卷，进一步提升成绩，济南外国语学校计划聘请北京命题组专家利用周四下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A. 36种B. 30种C. 24种D. 6种【答案】B【解析】由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=6种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：6×6﹣6=30，故选：B．点睛：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
2020-2021学年山东省济南一中高二(下)期中数学复习卷1(含解析)
2020-2021学年山东省济南一中高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共15小题，共75.0分） 1. i 是虚数单位，已知复数Z =1+3i 3−i+(1+i)4，则复数Z 对应点落在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 椭圆的两焦点之间的距离为( )A.B.C.D.3. 已知一个物体的运动方程为s =1−t +t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3s 时的瞬时速度为( )A. 5 m/sB. 6 m/sC. 7 m/sD. 8 m/s4. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，直线l 经过A 点且斜率为√34，以右焦点F 为圆心、OF 为半径的圆与直线l 从左往右依次交于P 、Q 两点(O 为坐标原点)，若∠OFQ =2π3，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±12xB. y =±√22xC. y =±√3xD. y =±2x5. 抛物线的焦点为F ，倾斜角为的直线过点F 且与抛物线的一个交点为A ，，则抛物线的方程为A. B. C.或D.或6. 在复平面内，复数z =(a −1)+(a +1)i(a ∈R,i 为虚数单位)对应的点位于第三象限的充要条件是( )A. a >1B. a <1C. a >−1D. a <−17. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线的离心率为( )A. √3B. 1+√2C. 2√2D. 1+√58. 如图是导函数y =f′(x)的图象，则y =f(x)的极大值点是( )A. x1B. x2C. x3D. x49.不等式(x+1)(x−2)>0的解集为()A. {x|x<−1或x>2}B. {x|x<−2或x>1}C. {x|−2<x<1}D. {x|−1<x<2}10.已知复数(1−i2015)⋅Z=i2014，则Z的共轭复数在复平面中对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11.设f(x)=ax3+3x2+2，若f′(−1)=4，则a的值等于()A. 193B. 163C. 133D. 10312.用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．则假设的内容是()A. a，b都能被5整除B. a，b有1个不能被5整除C. a不能被5整除D. a，b都不能被5整除13.已知当m，n∈[−1,1]时，msinπm2−nsinπn2<n2−m2，则以下判断正确的是()A. m>nB. |m|<|n|C. m<nD. m与n的大小关系不确定14.设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有xf′(x)<f(x)成立，则()A. 2f(2)<f(4)B. 2f(2)=f(4)C. 2f(2)>f(4)D. 2f(2)与f(4)的大小不确定15.不等式|x−1|−|x−5|<2的解集是()A. (−∞,4)B. (−∞,1)C. (1,4)D. (1,5)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）16.抛物线y2=4x上一点A到点B(3,2)与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为______．17.对于实数和，定义运算“∗”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是．18.已知曲线C：y2=2x+a在点P n(n,√2n+a)(a>0,n∈N)处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴、y轴分别于点A n(x n,0)、B n(0,y n)，且|x0|=|y0|.给出以下结论：①a=1；②当n∈N∗时，y n的最小值为2√3；3③当n∈N∗时，k n>√2sin；√2n+1④当n∈N∗时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n<√2(√n+1−1)．其中，正确的结论有______.(写出所有正确结论的序号)19.不等式|2x−1|>x+2的解集是______．20.“若m，n∈R，且满足m+n≤6，则m≤2或n≤4”是______命题(填“真”或“假”)．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）21.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且焦点到渐近线的距离等于3，求双曲线的标准方程及渐近线方程．22.已知函数f(x)=xlnx−(k+1)x，k∈R．(1)若k=−1，求f(x)的最值；(2)对于任意x∈[2,e2]，都有f(x)>−2x−k成立，求整数k的最大值．23.已知点F(4,0)，且点Q是直线x=−4上的动点，过点Q作y轴的垂线，与线段FQ的垂直平分线交于点P．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若直线l：y=x+m与曲线C交于A，B两点，M是曲线C上一点，且点M的横坐标t∈(1,4)，若MA⊥MB，求实数m的取值范围．(x>0)；24.已知函数f(x)=|x−t|+tx(1)判断函数y=f(x)在区间(0,t]上的单调性，并证明；(2)若函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵Z=1+3i3−i +(1+i)4=(1+3i)(3+i)(3−i)(3+i)+(2i)2=10i10−4=−4+i∴对应的点的坐标是(−4,1)∴复数的对应点落在第二象限，故选：B．首先进行复数的除法运算和乘方运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，写出复数对应的点的坐标，根据坐标看出位置．本题考查复数的运算和复数的几何意义，这种题目是近几年高考卷中必出的一种题目，题目的知识点比较简单，是一个送分题目．2.答案：C解析：试题分析：因为椭圆的标准方程为，所以，所以两焦点之间的距离等于．考点：椭圆的标准方程及其几何性质．点评：先把椭圆的方程化成标准方程，然后再根据，求出2c的值．3.答案：A解析：解：根据题意，物体的运动方程为s=1−t+t2，其导数s′=−1+2t，则s′|t=3=−1+2×3=5，则物体在3s时的瞬时速度为5，故选：A．根据题意，由物体的运动方程对其求导可得s′=−1+2t，将t=3代入计算即可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，注意变化率与导数的关系．4.答案：C解析：解：由题意，A(−a,0)，F(c,0)，l：y=√34(x+a)，圆F的半径为c，如图，∵∠OFQ=2π3，∴QFG=π3，则Q(32c,√32c)，∵点Q在直线y=√34(x+a)上，∴√32c=√34(32c+a)，则c=2a，∴c2=a2+b2=4a2，即b2=3a2，∴ba=√3，则该双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故选：C．由题意画出图形，写出直线l的方程，再由已知求得Q的坐标，代入直线方程，整理后结合隐含条件求得ba，则该双曲线的渐近线方程可求．本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：D解析：试题分析：过A作AB⊥x轴于B点，则Rt△ABF中，∠AFB=60°，|AF|=3∴|BF|=|AF|=，|AB|=|AF|=，设A的坐标为(，)得+=3，且=2p，解之得p=∴抛物线的方程为或故选D。
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21.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) x3 2x2 x a ．
（1）若 f x 在 x 0 处的切线过点 2,3 ，求 a 的值；
（2）若 f x 在 2, 0 上存在零点，求 a 的取值范围．
22.(本小题 12 分)在某次测试中，卷面满分为 100 分，考生得分为整数，规定 60 分及以上为及格.某调研课 题小组为了调查午休对考生复习效果的影响，对午休和不午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表：
D．已知随机变量 服从正态分布N 2, 2 ，P 4 0.84 ，则P 0 2 0.34
第Ⅱ卷（共 80 分）
三．填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．
15.设随机变量 ~ B 2, p ， ~ B 4, p ，若 P( 1) 5 ，则 D ___________．
济南一中 2019-2020 学年度第二学期期中考试
高二数学
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用 0.5mm 黑色签字笔和 2B 铅笔分别涂写在答 题卡与答题纸上. 3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应 区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸.
11.已知复数z i ，则以下说法正确的是（ ） 1i
i
A．复数z
的虚部为
2
B．
z
2 2
C．z
的共轭复数 z
1 2
i 2
D．在复平面内与z 对应的点在第二象限
12.A、B、C、D、E 五人并排站成一排，则下列排法正确的有（ ）
A.若 A、B 两人站在一起共有 24 种排法
B.若 A、B 不相邻共有 72 种排法
其中正确的是（ A. ①
） B. ②
C. ③
D. ④
2
14.下列有关说法正确的是
A．
(1 2
x
2 y)5
的展开式中含x2
y3
项的二项式系数为10
B．
(
1 2
x
2 y)5
的展开式中含x2 y3
项的系数为20
C．已知随机变量 服从正态分布N 2, 2 ，P 4 0.84 ，则P 2 4 0.34
19.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法
共有________种.
20. 已 知 函 数
f
(
x)
ln(ax
1)
1 1
x x
,
x
0
，其中
a0
若
f (x)
的最小值为
1，则
a
的取值范围
是
.
四.解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答题需要写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9
16.已知
A23n
10 An3 ，则 Cn3
Cn4
C5 n1
C6 n2
____________．
17.点 P 在曲线 y x3 x 2 上移动，设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ，则 的取值范围是 3
18.已知复数 z 满足方程 | z i | 2 ，则 | z 2 | 的最小值为____________．
第Ⅰ卷（共 70 分）
一. 单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的.
1.若复数 z 的实部为1，且 |z | 2 ，则复数 z 的虚部是（ ）
A． 3i
B． 3i
C． 3
D． 3
2．曲线 y x3 3x2 在点 (1, 2) 处的切线方程为(
分数段
0～39
40～49 50～59
60～69
70～79 80～89 90～100
f (x) ln x) 0 成立的 x 的取值范围是（ ）
A. (, 0)
B. (1, 0)
C. (0,1)
D. (0, )
二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
关系,回归方程 yˆ 0.66x 1.562 (单位:千元),若某城市居民消费水平为 7.675,估计该城市消费额占人
均工资收入的百分比为（ ）
A . 66%
B . 72.3%
C . 67.3%
D . 83%
10.已知奇函数
f (x) 在 R 上是单调函数，函数
f (x) 是其导函数，当 x 0 时，
3 A. 8
13
B.
40
5．二项式
a
2 3a
30
的展开式的常数项为第(
A． 17
B．18
13
C.
45
)项 C．19
3
D.
4
D．20
6.已知随机变量 X 的分布列：
若 E( X ) 1， D(2X 1) 2 ，则 p （
1
A.
3
1
B.
4
X
0
） P
1p 2
1
C.
5
a
2
1
p
2
1
D.
6
1
7.若函数 f (x) = x3 -3x + a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（
)
A. y 3x 1
B. y 3x 5
C. y 3x 5
D. y 2x
3.函数
,
的最大值为( )．
A.
B. 0
C.
D.
4．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中不放回地依次取 2 个数，事件 A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第
二次取到的是 3 的整数倍”，则 P(B | A) （ ）
A. (-2, 2)
B.[-2, 2]
C. (-¥,-1)
）
D. (1, +¥)
8.设 2
x5
a0
a1x
a2x 2 a5x 5
，那么
a0 a2 a4 a1 a 3
的值为（
）
A . － 122
B .－ 61
C .－ 244
D .-1
121
60
241
9．某考察团对全国 10 大城市进行职工人均平均工资 x 与居民人均消费 y 进行统计调查, y 与 x 具有相关
C.若 A 在 B 的左边共有 60 种排法
D.若 A 不站在最左边，B 不站在最右边共有 78 种排法
13.对于函数 f ( x) ex e2x ，有下列结论：
① f x 在 (–,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减； ② f x 的图象关于直线 x 1 对称；
③ f x 在 (,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增； ④ f x 的图象关于点 1, 0 对称．