探索三角形全等的条件复习

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6 探索全等三角形的条件(1)-边角边(SAS)(拓展提高)(解析版)

专题1.6 探索全等三角形的条件（1）-边角边（SAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ，若∠A ＝50°，则∠BDE 的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先由直角三角形的性质得∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，再证△CDE ≌△CDA （S A S ），得∠CED ＝∠A ＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠ACD ，在△CDE 和△CDA 中，EC AC ECD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△CDA （S A S ），∴∠CED ＝∠A ＝50°，又∵∠CED ＝∠B +∠BDE ，∴∠BDE ＝∠CED ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．2．如图所示，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，5AB =cm ，4=AD cm ，则边AC 的长度可能是（）A ．3cmB ．5cmC ．14cmD ．13cm【答案】B 【分析】延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，根据SAS 得出≅ADB MDC ，得出AB =CM =4cm ，再根据三角形的三边关系得出AC 的范围，从而得出结论；【详解】解：延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，∵AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∵∠ADB =∠CDM ,∴≅ADB MDC ，∴MC =AB =5cm ，AD =DM =4cm ，在AMC 中，3＜AC ＜13，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC 长度的取值范围是解题的关键．3．如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【分析】由已知可得△ABC ≌△ADE ，故有∠BAC =∠DAE ，由∠EAB =120°及∠CAD =10°可求得∠AFB 的度数，进而得∠GFD 的度数，在△FGD 中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF 的度数．【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ ∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC 的度数．4．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF ，CE ，下列说法：①ABD △和ACD △面积相等； ②BAD CAD ∠=∠； ③BDF ≌CDE △；④//BF CE ；⑤CE AE =．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①③④D．①④⑤【答案】C【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中，BD CDBDF CDE DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，正确的结论为：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．5．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】D 【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C 【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题7．如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【答案】16AD <<【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【详解】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【点睛】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 是BC 上的一点，过点B 作//BE AC ，使BE CD =，连接CE 与AD 相交于点G ，则AD 与CE 的关系是_______________．【答案】AD ⊥CE ，AD =CE【分析】证明△ACD ≌△CBE ，得到∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，结合∠ACB =90°，可得∠CGD =90°，从而可得结果．【详解】解：由题意可知：∵∠ACB =90°，BE ∥AC ，∴∠ACB =∠EBC =90°，在Rt △ACD 和Rt △CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，∵∠CAD +∠CDA =90°，∴∠CDA +∠BCE =90°，∴∠CGD =180°-（∠CDA +∠BCE ）=90°，∴AD ⊥CE ，综上：AD ⊥CE ，AD =CE ，故答案为：AD ⊥CE ，AD =CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ACD ≌△CBE ，得到角和线段之间的相等关系．10．如图，在ABC 中，90B ∠>︒，CD 为ACB ∠的角平分线，在AC 边上取点E ，使DE DB =，且90AED ∠>︒，若A x ∠=︒，ACB y ∠=︒，则AED =∠_______．（用x 、y 的代数式表示）【答案】180°-x°-y° 【分析】在AC 上截取CF =BC ，根据全等三角形的性质可得BD =DF =DE ，可得∠AED =∠ABC ，根据三角形的内角和可求解．【详解】解：如图，在AC 上截取CF =BC ，∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠ACD =∠BCD ，∵CF =BC ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，∴△BDC ≌△FDC （SAS ），∴∠ABC =∠CFD ，DF =BD ，∵BD =DE ，∴DE =DF ，∴∠DEF =∠DFE ，∴∠AED =∠CFD ，∵∠A =x°，∠ACB =y°，∴∠ABC =180°-∠A -∠ACB =180°-x°-y°，∴∠AED =∠DBC =180°-x°-y°，故答案为：180°-x°-y°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．11．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．【答案】=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．【答案】12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为__秒时，△ABP 和△DCE 全等．【答案】1或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．14．如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为_____．【答案】10【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解．【详解】解：∵△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP，∴△APC≌△BPD（SAS），∴S△APC＝S△BPD，∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD），∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△APC≌△BPD是本题的关键．三、解答题15．如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：∵AC BC ⊥，DC EC ⊥，∴90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACE BCD ≌△△ ∴AE BD =【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明ACE BCD ∠=∠是解答此题的关键． 16．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可．【详解】证明：∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠．∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+．∴BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△．∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．17．如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【答案】见解析【分析】根据已知条件可证得ABE CDF △≌△，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．【详解】//DF BEBEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠//AB CD ∴【点睛】本题考查了三角形全等的的判定的性质，关键是得出AEB CFD ∠=∠．18．如图，BD ，CE 分别是ABC 的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，点Q 在CE 上，BP AC =，CQ AB =，请说明AQ 与AP 的关系．【答案】AP =AQ 且AP ⊥AQ【分析】由于BD AC ⊥，CE AB ⊥，可得ABD ACE ∠=∠，又由对应边的关系，进而得出ABP QCA ∆≅∆，即可得出AQ=AP ．在此基础上，可证明90PAQ ∠=︒．【详解】解：证明：BD AC ⊥，CE AB ⊥（已知），90BEC BDC ∴∠=∠=︒，90ABD BAC ∴∠+∠=︒，90ACE BAC ∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE ∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP ∆和QCA ∆中，BP AC ABD ACE CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS ∴∆≅∆，∴=AP AQ ．ABP QCA ∆≅∆，CAQ P ∴∠=∠，BD AC ⊥，即90P CAP ∠+∠=︒，90CAQ CAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，AP AQ ∴⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．19．平面上有ACD △与,BCE AD 与BE 相交于点,P AC 与BE 相交于点,M AD 与CE 相交于点N ，若,,AC BC CD CE ECD ACB ==∠=∠．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）55,145ACE BCD ∠=︒∠=︒，求BPD ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD =140°．【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；（2）由全等三角形的性质可知：∠A =∠B ，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD 的度数．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB =∠ECD ，∠ACE =∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC BCE ACD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠A =∠B ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCA =∠ECD ，∵∠ACE =55°，∠BCD =155°，∴∠BCA +∠ECD =100°，∴∠BCA =∠ECD =50°，∵∠ACE =55°，∴∠ACD =105°∴∠A +∠D =75°，∴∠B +∠D =75°，∵∠BCD =145°，∴∠BPD =360°-75°-145°=140°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．20．（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的几何原理是：；（2）如图2，小河的旁边有一个甲村庄所示，现计划在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，这里所运用的几何原理是：（3）如图3，在新修的小区中，有一条“Z”字形长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．这样做合适吗?请说出理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解析，垂线段最短；（3）合理，见解析【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；（2）根据垂线段最短解答；（3）首先证明△MEB≌△MFC，根据全等三角形的性质可得ME＝MF．【详解】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）过甲向AB作垂线，如图2所示；运用的原理是：垂线段最短；故答案为：垂线段最短；（3）合理，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵点M 是BC 的中点，∴MB ＝MC ，在△MCF 和△MBE 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEB ≌△MFC （SAS ），∴ME ＝MF ，∴想知道M 与F 之间的距离，只需要测出线段ME 的长度．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．。

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ．求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。

11.3 探索三角形全等的条件(复习课)

一题多变
•6.如图, ∠B=∠C
A
•5.如图,AB=AC,
作AD⊥BC ,垂足是D.
你会说明AB=AC吗?
你会说明∠B=∠C吗?
或作∠BAC平分线,或作BC边上的中线.
B
D
C
拓展与提高
• 1.如图,AB=AC, AD是BC边上的中线
P是AD 的一点,试说明PB=PC
A P
B
D
C
拓展与提高
• 2.如图,AB=AC, AD平分∠BAC.
苏科版数学七年级（下）第十一章
§11.3 探索三角形全等的条件(复习2)
筝形
如图,四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD, 试说明 ∠B=∠D
B
A D
C
• 如图,四边形ABCD
中,AB=AD,CB=CD, • 点P是AC上一点, • 试问BP=DP吗?
A
P
B
D
C
如图,AC=AD,CE=DF, ∠C =∠D , BE=BF 试说明 AB平分∠ EBF
ΔADE ≌ ΔFDB 即∠ADE= ∠ FDB
A D
DE B = DB ∠ADE = ∠FDB AD = FD
AD = FD （等边三角形定义）
在ΔADE和ΔFDB中
∠ADF + ∠EDF = ∠EDB+ ∠EDF
DE = DB (等边三角形定义） ∴∠ ΔADE ≌ ΔFDB (SAS) ° ADF= ∠EDB=60
A A
B
D
C
B
C
• 1.如图,AB=AC, AD平分∠BAC •
• • • 4.如图,AB=AC, AD⊥BC
试说明AD平分∠BAC.

北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等

AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
课堂小结
内容
角边角角角边
应用
有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”)；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”）
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”“角边角” 中两角与边的区分
第四章三角形
3 探索三角形全等的条件
第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
学习目标
情境引入
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法 “ASA”和“AAS”;
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS” 证明两个三角形全等．（重点）
情境导入
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不谨慎打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），

专题探索三角形全等的条件(SSS和SAS)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)

专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案．（1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△．（2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三：【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ，所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中，因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程：【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析；【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠，在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （）．△ADB ∠＝（全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论．证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==，在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。

1.3探索三角形全等的条件(一)(SSSSAS九大题型)(原卷版)

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
解题技巧提炼
用尺规作一个角等于已知角的依据是“边边边”.
【变式31】“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角“的尺规作图过程如下：
已知：如图1，∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图2，
（1）在OA上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
【变式81】如图，AB、CD相交于O，且OA＝OB，观察图形：图中隐含一个相等的角，联想“SAS”，只需补充条件，则有△AOC≌△BOD．
【变式82】如图，AB＝AE，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，应添加一个条件是．
【变式83】如图，点B，F，C，E在一条直线上，且BF＝CE，AC＝DF．
（1）在下列条件①AB＝DE；②∠ACB＝∠DFE；③∠B＝∠E；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是．
【例题7】（2022秋•甘井子区校级月考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝CE，试判断AB和DE的关系，并说明理由．
解题技巧提炼
先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）.
【变式71】（2022秋•泰山区校级月考）如图所示，AB＝CD，BF＝DE，E，F是AC上两点，且AE＝CF．请你判断BF与DE的位置关系，并说明理由．
求证：△ABC≌△DEF．
【例题5】如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，∠B＝∠C，若BE＝4，则CD＝．
解题技巧提炼
先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可证明.

1_3探索三角形全等的条件(3)

课题: 1.3 探索三角形全等的条件（3）一．学习目标：⒈ 通过动手操作，探索三角形全等的“角边角”的条件来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．⒉ 通过动手操作，实验，合作交流等过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，能结合具体问题和情景实行有条理的思考，会用“因为……所以……”的表达方式实行简单的说理．二．学习重难点：探索三角形全等的“角边角”的条件来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．三．图式自构——个体自主学习，完成基础性学习内容1. 温故知新（1）你已学过的三角形全等的判定方法是；（2）已知∠AOB ，求作∠A ´O ´B ´，使∠A ´O ´B ´=∠AOB .2. 自主学习（1）用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？（2）观察下图中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？四．图式共建——展评基础性学习内容后，完成理解性学习内容。

问题1 按下列作法，用直尺和圆规作ΔABC ，使AB=a ，∠A=∠α，∠B=∠β. 作法：（1）作AB= a ； B O A aα（2）在AB 的同一侧分别作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β.AM 、BN 相交于点C.ΔABC 就是所求作的三角形.交流：你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？归纳：判定两个三角形全等的又一个基本事实：两及其分别相等的两个三角形（能够简写成或）.问题2已知：如图，在ΔABC 中，P 是BC 的中点，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且PM ∥AC ，PN ∥AB. 求证：BM=PN ，PM=CN.归纳：五．图式应用1.找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并简要说明理由.P B2．△ABC 和△FED 中，AD ＝FC ，∠A ＝∠F ．当添加条件时，就可得到△ABC ≌△FED ，依据是 (只需填写一个你认为正确的条件)3．已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC . 求证：△ABC ≌△DCB .4．已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，BD =B C ，△ABD ≌△EBC 吗？为什么？六．图式巩固1. 如图，O 是AB 的中点，∠A =∠B ，∠C =∠D 吗？为什么？A B C D E 1 2 D C B A2. 如图，AB =AC ，∠B =∠C ，试说明BE=CD .3．已知，如图4、点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，AB ∥CD 。

专题4.16 探索三角形全等的条件3(专项练习)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲

1专题4.16 探索三角形全等的条件3（专项练习）一、单选题1．（2021·安徽九年级专题练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm2．（2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末）如图，已知在ABC 和DEF 中，AB DE =，BC EF =，下列条件中不能判定ABC DEF △≌△的是（）A ．AC DF =B ．B E ∠=∠C ．AB AC ⊥且ED DF⊥ D ．C F ∠=∠ 3．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，AD BC =，则能直接判断Rt Rt ABD CDB △△≌的理由是（）A ．HLB ．ASAC ．SASD ．SSS4．（2021·山东济南市·八年级期末）如图所示，∠C ＝∠D ＝90°，添加下列条件∠AC ＝AD ；∠∠ABC ＝∠ABD ；∠∠BAC ＝∠BAD ；∠BC ＝BD ，能判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等的条件的个数是（）2A ．1B ．2C ．3D ．45．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（）A ．一条直角边和一锐角分别相等B ．斜边和一锐角分别相等C ．斜边和一条直角边分别相等D ．两个锐角分别相等6．（2019·浙江台州市·八年级期末）用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA7．（2020·全国八年级课时练习）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，DE BC ⊥，6AC =，6EC =，60ACB ∠=︒，则ACD ∠等于（）A ．45︒B ．30C ．20︒D ．15︒8．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）下列结论中不正确的是（） A ．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等3D ．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等9．（2019·北京海淀区·101中学八年级期中）如图，在ACB ∆的两边上分别取点A ，B 使得CA CB =，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A ，B 处，一条直角边分别落在ACB ∠的两边上，另一条直角边交于点P ，连接CP ，则判定ACP BCP ∆≅∆的依据是（）A ．AASB ．ASAC ．SSSD ．HL10．（2020·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在∠ABC 中，∠BAC 的平分线AD 和边BC 的垂直平分线ED 相交于点D ，过点D 作DF 垂直于AC 交AC 的延长线于点F ，若AB ＝8，AC ＝5，则CF ＝（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3二、填空题 11．（2021·江苏南京市·八年级期末）结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒，ACDF =，_______4Rt ABC Rt DEF ∴∆≅∆．12．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，∠C ＝90°，AC ＝103BC ＝8，AX ∠AC ，点P 和点Q 从A 点出发，分别在线段AC 和射线AX 上运动，且AB ＝PQ ，当点P 运动到AP ＝___________，∠ABC 与∠APQ 全等．13．（2020·吐鲁番市高昌区第一中学八年级月考）在∠ABC 中，AD ∠BC 于D ，要用“HL ”证明Rt∠ADB ∠Rt∠ADC ，则需添加的条件是_____．14．（2020·临邑县第五中学八年级期中）已知：如图，AB ＝CD ，DE∠AC ，BF∠AC ，E ，F 是垂足，AE ＝CF ；则证明∠ABF∠∠CDE 的方法是________（用字母表示）15．（2020·中江县凯江中学校八年级月考）如图，在Rt∠ABC 中，∠C=90︒，AC=12cm ，BC=6cm ，一条线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，则当AP= __________时，才能使∠ABC 和∠APQ 全等．16．（2020·蒙阴县高都镇中心学校八年级月考）已知：如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则________∠ADC ．依据是________，并且BD ＝________，∠BAD=________．517．（2020·泰州市大泗学校）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是_____．（填SAS 或AAS 或HL ）18．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AB AD =，ACB 28∠=︒，则DAC ∠=________．19．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图,点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，PN ⊥OB 于点N ，点M 是线段ON 上一点，已知OM=3,ON=4,点D 为OA 上一点，若满足PD=PM,则OD 的长度为________20．（2019·黑龙江哈尔滨市·八年级期中）如图:四边形ABDC 中,CD=BD,E 为AB 上一点,连接DE,且∠CDE=∠B ．若∠CAD=∠BAD=30°,AC=5,AB=3,则EB=______________．6三、解答题21．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）如图：已知AD CB =，CE BD ⊥，AF BD ⊥，垂足分别为点E 、F ，若DE BF =，求证：//AD BC ．22．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，AD 为ABC 的高，E 为AD 上一点，连接BE ，已知BE AC =，且ED CD =．（1）求证：ADC BDE ≌；（2）请你判断BE 与AC 的位置关系，并说明理由．23．（2020·云南昆明市·八年级期中）如图，已知：AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝CD ，AC＝CE．（1）AC与CE有什么位置关系？（2）请证明你的结论．24．（2020·南京师范大学附属中学江宁分校）如图，在∆ABC 中，AC = BC ，直线l 经过顶点C ，过A ， B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ， E ，F 为垂足．AE = CF ，求证：∠ACB = 90︒．25．（2019·全国八年级课时练习）如图，∠ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．78参考答案1．C【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ∠Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【详解】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∠()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△， ∠ED EC =，∠3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ， SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.2．D【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．【详解】解：A 、若AC DF =，则根据“SSS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； B 、若B E ∠=∠，则根据“SAS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意；C 、若AB AC ⊥且ED DF ⊥，则根据“HL”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； D 、若C F ∠=∠，则不能判定ABC DEF △≌△，故符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．3．A【分析】根据全等三角形的判定方法解答．【详解】解：在Rt∠ABD 和Rt∠CDB 中，9AD BC BD DB =⎧⎨=⎩∠Rt∠ABD∠Rt∠CDB （HL ），故选A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法．4．D【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解．【详解】∠∠C ＝∠D ＝90°，AB=AB ，∠∠AC ＝AD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠ABC ＝∠ABD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠∠BAC ＝∠BAD ，可用AAS 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；∠BC ＝BD ，可用HL 判定Rt∠ABC 与Rt∠ABD 全等；故选：D ．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．5．D【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； B 、根据AAS 或ASA 都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意； C 、根据HL 可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D 、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法10 都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．6．A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∠PM OA ⊥，PN OB ⊥，∠90PMO PNO ∠=∠=．∠OM ON =，OP OP =，∠()HL ≌PMO PNO △△， ∠POA POB ∠=∠，故选：A ．【点拨】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.7．B【分析】利用HL 可证明∠ACD∠∠ECD ，可得∠ACD=∠ECD ，即可得答案．【详解】DE BC ⊥，90DAC DEC ∴∠=∠=︒．在Rt ACD △和Rt ECD △中，6DC DC AC EC =⎧⎨==⎩， ()Rt ACD Rt ECD HL ∴≌，ACD ECD ∴∠=∠．1160ACB ∠=︒，30ACD ∴∠=︒．故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，当运用SAS 时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．8．C【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．逐条排除．【详解】解：A 、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS ，能判定全等；B 、一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形符合ASA 或AAS ，能判定全等；C 、两锐角对应相等的两个直角三角形，不符合全等判定，不能判定全等；D 、有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形，符合HL ，能判定全等．故选：C ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；判断两个三角形全等，至少应有一条对应边相等参与其中，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．9．D【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∠∠CAP=∠CBP=90°，∠在Rt∠ACP 与Rt∠BCP 中，AC BC CP CP ⎧⎨⎩＝＝， ∠Rt∠ACP∠Rt∠BCP （HL ）．12故选：D ．【点拨】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．A【分析】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，证明∠AFD ∠∠AMD ，得到AF ＝AM ，FD ＝DM ，证明Rt CDF Rt BDM ≌，得到BM ＝CF ，结合图形计算，得到答案．【详解】连接CD ，DB ，过点D 作DM ∠AB 于点M ，∠AD 平分∠F AB ，∠∠F AD ＝∠MAD ，在∠AFD 和∠AMD 中，FAD MADAFD AMD AD AD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AFD ∠∠AMD （AAS ）∠AF ＝AM ，FD ＝DM ，∠DE 垂直平分BC∠CD ＝BD ，在Rt∠CDF 和Rt∠BDM 中，DC DBDF DM =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠CDF ∠Rt∠BDM （HL ）∠BM ＝CF ，∠AB ＝AM +BM ＝AF +MB ＝AC +CF +MB ＝AC +2CF ，∠8＝5+2CF ，解得，CF ＝1.5，故选：A ．13【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，根据已知角平分线以及垂直平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键． 11．AB DE【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．【详解】AC 和DF 为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．∠填AB=DE ．故答案为：AB=DE ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键．12．8或103【分析】分两种情况：∠当AP=BC=8时；∠当AP=CA=103由HL 证明Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；即可得出结果．【详解】∠AX∠AC ，∠∠PAQ=90°，∠∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：14∠当AP=BC=8时，在Rt∠ABC 和Rt∠QPA 中，AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠QPA （HL ）；∠当AP=CA=10时，在∠ABC 和∠PQA 中，AB PQ AP AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠PQA （HL ）；综上所述：当点P 运动到AP=8或103∠ABC 与∠APQ 全等；故答案为：8或103【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．13．AB =AC【分析】利用HL 定理可直接得到答案．【详解】解：添加条件：AB=AC ，∠AD∠BC ，∠∠ADB=∠ADC=90°，在Rt∠ABD和Rt∠ACD 中15AD AD AB AC ⎧⎨⎩＝＝， ∠Rt∠ABD∠Rt∠ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．14．HL【分析】根据已知条件知∠ABF 和∠CDE 都是直角三角形，所以根据直角三角形全等的判定定理HL 可以证得它们全等．【详解】解：如图，∠DE ∠AC ，BF ∠AC ，AE ＝CF ，∠∠DEC ＝∠BF A ＝90°，AE +EF ＝CF +EF ，即AF ＝CE ．∠在Rt∠ABF 和Rt∠CDE 中，AF CE AB CD=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABF ∠Rt∠CDE （HL ）．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定．注意，此题属于开放题，也可以根据全等三角形的判定定理SAS 、SSS 证得它们全等．15．6cm 或12cm【分析】由题意易得∠C=∠QAP=90°，AB=QP ，要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，进而问题可求解．【详解】解：∠AX∠AC ，∠C=90°，∠∠C=∠QAP=90°，16∠AB=QP ，∠要使∠ABC 与∠APQ 全等，则需AP=CB 或AP=CA ，∠AP=6cm 或12cm ；故答案为6cm 或12cm ．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题的关键．16．ADB △ HL CD CAD ∠【分析】由,AD BC ⊥可得90ADB ADC ∠=∠=︒，结合,AB AC AD AD ==，利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．【详解】解：,AD BC ⊥90ADB ADC ∴∠=∠=︒，AB AC AD AD ==，，()Rt ADB Rt ADC HL ∴≌，,.BD CD BAD CAD ∴=∠=∠故答案为：ADB △，HL ，CD ，.CAD ∠ 【点拨】本题考查的是直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．17．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt OMP 和Rt ONP 全等，进而得出答案．【详解】解：由题意知OM ＝ON ，∠OMP ＝∠ONP ＝90°，OP ＝OP ，∠在Rt OMP 和Rt ONP 中，OP OP OM ON=⎧⎨=⎩，17 ∠Rt OMP ∠Rt ONP （HL ），∠∠AOP ＝∠BOP ，∠OP 是∠AOB 的平分线．故答案为：HL ．【点拨】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．18．62︒【分析】根据HL 证明Rt∠ABC 与Rt∠ADC 全等，进而利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余解答即可．【详解】解：在Rt∠ABC 与Rt∠ADC 中AB AD AC AC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABC∠Rt∠ADC （HL ），∠∠ACD=∠ACB=28°，∠∠DAC=90°-28°=62°，故答案为：62°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余．证明∠ABC∠∠ADC 是解题的关键．19．3或5【分析】过点P 作PE∠OA 于点E ，分点D 在线段OE 上，点D 在射线EA 上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE ，即可求OE=ON=4，由题意可证∠PMN∠∠PDE ，可求OD 的长．【详解】如图：过点P 作PE∠OA 于点E18∠OC 平分∠AOB ，PE∠OA ，PN∠OB∠PE=PN∠PE=PN ，OP=OP∠∠OPE∠∠OPN （HL ）∠OE=ON=4∠OM=3，ON=4∠MN=1若点D 在线段OE 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE -DE=3若点D 在射线EA 上，∠PM=PD ，PE=PN∠∠PMN∠∠PDE （HL ）∠DE=MN=1∠OD=OE+DE=5故答案为3或5．【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 20．13【分析】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ．首先证明Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，推出CM=BN ，∠ADM∠∠ADN ，推出AM=AB ，再证明DE∠AC ，推出∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，推出19AE=DE ，推出∠DEN=60°，在Rt∠ADN 中，可得43，在Rt∠EDN 中，可得DE=DN÷cos30°=83，由此即可解决问题．【详解】如图，作DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N.∠∠CAD=∠BAD=30°，DM∠AC 于M ，DN∠AB 于N ，∠DN=DM ，在Rt∠DMC 和Rt∠DNB 中，DC DBDM DN ==⎧⎨⎩ ，∠Rt∠DMC∠Rt∠DNB ，∠CM=BN ，同理可证∠ADM∠∠ADN ，∠AM=AB ，∠AC+AB=AM+CM+AN−BN=2AM=8，∠AM=AN=4，∠∠DCM=∠DBN ，∠∠1=∠2，∠∠CDE=∠2，∠∠1=∠CDE ，∠DE∠AC ，∠∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，∠AE=DE ，∠∠DEN=60°，20 在Rt∠ADN 中43 在Rt∠EDN 中,DE=DN÷cos30°=83， ∠AE=83， ∠EB=AB−AE=3−83=13. 故答案为13. 【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线.21．见解析【分析】利用已知条件证明∠ADF∠∠CBE ，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D ，进而得出结论．【详解】证明：∠DE=BF ，∠DE+EF=BF+EF ；∠DF=BE ；在Rt∠ADF 和Rt∠BCE 中DF BE AD CB =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ADF∠Rt∠CBE （HL ），∠∠B=∠D ，∠//AD BC ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等量加等量和相等得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．（1）证明见解析；（2）BE AC ⊥，理由见解析．【分析】（1）由AD 为ABC 的高，证明90ADC BDE ∠=∠=︒，再利用斜边直角边公理证明ADC BDE ≌即可；21（2）由ADC BDE ≌证明：,DAC EBD ∠=∠再利用：90DBE BED ∠+∠=︒，证明：90AEF DAC ∠+∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1） AD 为ABC 的高，,AD BC ∴⊥90ADC BDE ∴∠=∠=︒，在Rt ADC 与Rt BDE 中，AC BECD ED =⎧⎨=⎩()ADC BDE HL ∴≌（2）BE AC ⊥，理由如下：如图，延长BE 交AC 于,F,ADC BDE ≌,DAC EBD ∴∠=∠90BDE ∠=︒，90DBE BED ∴∠+∠=︒，,BED AEF ∠=∠90AEF DAC ∴∠+∠=︒，90AFE ∴∠=︒，.BE AC∴⊥【点拨】22 本题考查的是三角形的高的含义，直角三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两锐角互余，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）AC ∠CE ；（2）见解析【分析】（（1）根据题意写出结论即可．（2）由条件可证明Rt∠ABC ∠Rt∠CDE ，得到∠ECD ＝∠A ，进一步可得∠ECA ＝90°，可证得结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥．（2）证明：AB BD ⊥，ED BD ⊥， 90ABC CDE，在Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中， AB CD AC CE ， Rt ABCRt CDE(HL)， A ECD ∴∠=∠， 90AACB ， 90ECD ACB， 90ACE ∴∠=︒，AC CE ∴⊥．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法HL 定理是解题的关键．24．见解析【分析】先利用HL 定理证明∠ACE 和∠CBF 全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC ＝∠BCF ，因为∠EAC ＋ACE ＝90°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝90°，根据平角定义可得∠ACB ＝90°．【详解】证明：如图，在Rt ∆ACE 和Rt ∆CBF 中，∠AC = BC ，AE = CF ，23∠Rt ∆ACE ∠ Rt ∆CBF （HL ），∠∠EAC = ∠BCF ，∠∠EAC + ∠ACE = 90︒ ，∠∠ACE + ∠BCF = 90︒ ，∠∠ACB = 180︒ - 90︒ = 90︒ ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．25．80°，50°.【解析】【分析】根据三角形外角与内角的性质及角平分线的性质求出∠ CAB ，再利用直角三角形全等的判定定理，得出∠CAP=∠PAF ，继而求出即可【详解】解：如图所示：延长BA ，作PN∠BD ，PF∠BA,PM∠AC ，设∠PCD = x°∠CP 平分∠ ACD∠∠ACP =∠PCD = x°，PM=PN∠BP 平分∠ ABC∠∠ABP=∠PBC ，PF=PN∠PM=PF∠∠BPC=40°∠∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=（x−40）°∠∠CAB=∠ACD−∠ABC=2x°−2（x−40）°=80°∠PM=PF ，AP=AP ，PF∠BA,PM∠AC∠Rt∠PAF ∠ Rt ∠PAM∠∠CAP=∠PAF=12（180°−∠CAB ）=12 （180°−80°）=50°故本题答案应为：∠CAB=80°，∠CAP=50°24【点拨】三角形内角与外角的性质及角平分线的性质、直角三角形全等的判定都是本题的考点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.。

七年级数学下册《探索三角形全等的条件》专项练习(含答案)

4.3 探索三角形全等的条件第1题. 如图，M 是AB 的中点，MC =MD ，∠1=∠2，请说明△AMC ≌△BMD 的理由．答案：SAS ．第2题. 如图，90,E F ∠=∠=∠B =∠C ，AE =AF ，△ABE ≌△ACF 吗？说明理由．答案：全等，AAS ．第3题. 如图，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ，△ABD ≌△CDB 吗？说明理由．答案：全等，AAS ．第4题. 如图，AB =DF ，AC =DE ，BC =FE ，△ABC 和△DFE 全等吗？请说明理由．答案：全等，SSS ．第5题. 如图，C ，D 两点分别在∠EAF 的两边上，且∠ABC =∠ABD ，∠BCE =∠BDF ，请你说明△ABC ≌△ABD 的理由．答案：AAS 或AS A ．ABCDM 1 2ABCEFA BCDA BF CEDADBC EF第6题. 如图，点C ，E ，B ，F 在同一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，CE =BF ，△ABC 和△DEF 全等吗？∠A =∠D 吗？请说明理由．答案：全等，SSS ，∠A =∠D （全等三角形的对应角相等）．第7题. 如图，AB =AC ，BD =CD ，请说明△ABD ≌△ACD 的理由．答案：SSS ．第8题. 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，∠1=∠2，则图中全等三角形有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案：D ．第9题. 如图，若AB 平分∠DAC ，要用SAS 条件确定△ABC ≌△ABD ，再需有条件（） A ．DB =CB B ．AB =AB C ．AD =AC D ．∠D =∠C答案：C ．第10题. 如图，已知△ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，若AD =BD ，AE =BC ，DE =DC ，则∠AED =（） A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案：D ．AB FCE DABDCA BCDE 1 2ABC DA BC DE第11题. 下列条件中，能判断两个三角形全等的是（） A ．有两条边对应相等B ．有三个角对应相等C ．有两角及一边对应相等D ．有两边及一角对应相等答案：C ．第12题. 已知，AB A B =''，A A ∠=∠'，B B ∠=∠'，则△ABC ≌△A 'B C ''的根据是（）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．AAS 答案：C ．第13题. 已知AB A B =''，A A ∠=∠'，若△ABC ≌△A 'B C ''，还需条件（） A ．B B ∠=∠' B ．C C ∠=∠' C ．AC A C ='' D ．以上均可以答案：D ．第14题. 如图，AC 、BD 相交于点E ，BE =DE ，AB ∥DC ，那么AE 与CE 的关系是____．答案：相等．第15题. 如图，AB 与CD 相交于点O ，DO =BO ，则需要加______条件（填上一个你认为合适的），可得△DOA ≌△BOC ．答案：AO =OC 或∠A =∠C 或∠B =∠D ．第16题. 在△ABC 和△DEF 中，如果AB =DE ，BC =EF ，只要找出∠________=∠________，就可以得出△______≌△______．答案：ABC ，DEF ，ABC ，DEF ．A BED CA BCDO第17题. 如图，AD ⊥BC 于D ，BD =CD ．△ABD 和△ACD 全等吗？为什么？答案：全等，SAS ．第18题. 如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，你能得出AD =A ′D ′吗？答案：能，提示：由△ABC ≌△A ′B ′C ′，得AB =A ′B ′，∠B =∠B ′，BC =B ′C ′，而BD =B ′D ′=12BC =12B ′C ′，则可得△ABD ≌△A ′B ′D ′故AD =A ′D ′．第19题. 木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条．这样做是为什么？答案：提示：根据三角形的稳定性．第20题. 如图，已知∠1=∠2，∠ABC =∠DCB ，那么△ABC 与△DCB 全等吗？为什么？答案：全等，理由ASA 或AAS ．第21题. 如图所示，已知B 点是AC 中点，BE =BF ，AE =CF ，那么△ABE 和△CBF 全等吗？说明理由．答案：全等，理由SSS ．ABD CABCDA ′B ′C ′D ′A BCD1 2AB CFE第22题. 如图，AD ，BE 是两条高，AD =BD ，H 是高AD 与BE 的交点，BH 与AC 相等吗？说明你的理由．答案：∠HBD +∠C =90°，∠CAD +∠C =90°，所以，∠HBD =∠CAD ，显然，∠BDH =∠ADC ，由于AD =BD ，△BDH ≌△ADC （ASA ），所以BH =AC ．第23题. 如图，已知CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分BAC ，那么图中全等三角形共有对．答案：4第24题. 如图2，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是 A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去D ．带①和②去答案：C第25题. 如图，已知△_的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△_全等的三角形是B CDA E H AD BＯCE图2①②③ＡＢＣabc ___ ba _甲_ cb 乙__a丙（A ）只有乙（B ）只有丙（C ）甲和乙（D ）乙和丙答案：D第26题. 如图，已知：在△ABC 中，F AC 为中点，E AB D EF 为上一点，为延长线上一点，A ACD ∠=∠．求证：CD AE 平行且等于．答案：证明：A ACD ∠=∠∵AE CD ∴∥A ACD AF CF AFE CFD ∠=∠=∠=∠∵，，∴△AFE ≌△()CFD ASA CD AE =∴CD AE ∴平行且等于第27题. 如图，ABC △中，AB AC =，过点A 作GE BC ∥，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．答案：解：.BCF CBD △≌△（注意答案不唯一）.BHF CHD △≌△ .BDA CFA △≌△ 证明.BCF CBD △≌△.AB AC =.ABC ACB ∴∠=∠BD 、CF 是角平分线．11.22BCF ACB CBD ABC ∴∠=∠∠=∠，BCF CBD ∴∠=∠，.BC CB =又.BCF CBD △≌△ 还有答案供参考：.BAE CAG AGF AED △≌△，△≌△AFDCBEAGED F HB C第28题. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．答案：．解：（1）图中有三对全等三角形：△COB≌△COD，△AOB≌△AOD，△ABC≌△ADC．（2）证明△ABC≌△ADC．证明：AC∵垂直平分BD，AB AD=∴，CB CD=．又AC AC=∵，∴△ABC≌△ADC．第29题. 如图，已知AB DC=，AC DB=．求证：A D∠=∠．答案：在△ABC和△DCB中，AB DC=∵，AC DB=，BC CB=，∴△ABC≌△DCB，∴A D∠=∠AB DCOＡＤＢＣ。

10 探索全等三角形的条件(3)-角角边(AAS)(拓展提高)(解析版)

专题1.10探索全等三角形的条件（3）-角角边（AAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，BCE ACD ∠=∠，40BAC D ∠=∠=︒，AB DE =，则BCE ∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【答案】C 【分析】通过证明△ABC ≌△DEC ，可得AC =DC ，从而40CAD D ∠=∠=︒，然后求出∠ACD 的值，进而可求BCE ∠的度数．【详解】解：∵BCE ACD ∠=∠，∴BCE ACE ACD ACE ∠-∠=∠-∠，∴∠ACB =∠DCE ．在△ABC 和△DEC 中ACB DCE BAC D AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEC ，∴AC =DC ，∴40CAD D ∠=∠=︒，∴∠ACD =180°-40°-40°=100°，∴∠BCE =∠BCA +∠ACE =∠DCE +∠ACE =∠ACD =100°，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．2．如图，在四边形ABCD 中，AB //DC ，E 为BC 的中点，连接DE 、AE ，AE ⊥DE ，延长DE 交AB 的延长线于点F ．若AB ＝5，CD ＝3，则AD 的长为（）A ．2B ．5C ．8D ．11【答案】C 【分析】由“AAS ”可证△BEF ≌△CED ，可得EF ＝DE ，BF ＝CD ＝3，由线段垂直平分线的性质可得AD ＝AF ＝8．【详解】解：∵E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵AB ∥CD ，在△BEF 与△CED 中，F CDE BEF CED BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CED （AAS ）∴EF ＝DE ，BF ＝CD ＝3，∴AF ＝AB +BF ＝8，∵AE ⊥DE ，EF ＝DE ，∴AF ＝AD ＝8，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．3．如图，在ABC 中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，//EF AC ，下列结论中一定成立的是（）A ．ABE DFE ∠=∠B ．AE ED =C ．AD DC = D ．AB BF =【答案】D 【分析】先利用等角的余角相等得到∠C=∠BAD ，再根据平行线的性质得∠C=∠BFE ，则∠BAD=∠BFE ，于是可根据“AAS”可判断△ABE ≌△FBE ，所以AB=BF ．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠C=∠BAD ，∵EF ∥AC ，∴∠C=∠BFE ，∴∠BAD=∠BFE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠FBE ，在△ABE 和△FBE 中，BAD BFE ABE FBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FBE ，∴AB=BF ．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质．4．如图，在OAB 和△OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中一定正确的为（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD即可判断①；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，即可判断②；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，即可判断④；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC 即可判断③；【详解】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA OBOC ODAOC BOD=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，故④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，∵△AOC≌△BOD∴∠COM=∠BOM，∵MO平分∠BMC∴∠CMO=∠BMO，在△COM和△BOM中，COM BOMOM OMCMO BMO∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△COM≌△BOM（ASA）∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC与OA＞OC矛盾，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键；．5．如图，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS【答案】D【分析】求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP，根据AAS推出两三角形全等即可．【详解】解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，∴∠PDA=∠PEA=90°，∵AP 平分∠BAF ，∴∠DAP=∠EAP ，在△APD 和△APE 中DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△APE （AAS ），故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，过A 点作AD ∥BC ；AE ⊥AC ，AC ＝AE ，AD ＝3，连接DE ，则△ADE 的面积为（）A ．3B ．6C ．12D ．18【答案】A 【分析】通过过E 作EF ⊥DA ，交DA 延长于F ，将三角形ABC 转移到三角形AFE 构造确定，求出三角形ADE 的高EF ，利用面积公式即可求出．【详解】过E 作EF ⊥DA ，交DA 延长于F ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAF+∠FAC=90º，∵AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠BAF+∠B=180º，∴∠BAF=90º，∴∠BAC+∠FAC=90º，∴∠EAF=∠BAC ，∠F=∠B ，∴△AEF ≌△ACB(AAS)，∴EF=BC=2，∴S △ADE=11AD EF=3222⨯⨯=3，故选择：A ．【点睛】本题考查三角形的面积问题，利用辅助线构造三角形全等，解决三角形ADE 的高是解题关键．二、填空题7．如图，已知//AD BC ，AB BC ⊥，CD DE ⊥，CD ED =，3AD =，4BC =，则ADE 的面积为________．【答案】32【分析】知道AD 的长，只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积；过点D 作DG ⊥BC 于G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，构造出△EDF ≌△CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：过点D 作DG ⊥BC 于G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，如图所示：则四边形ABGD 是矩形，∵∠EDF +∠FDC =90°，∠GDC +∠FDC =90°，∴∠EDF =∠GDC ，在△EDF 和△CDG 中，F DGC EDF GDC DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDF ≌△CDG （AAS ），∴EF =CG =BC -BG =BC -AD =4-3=1，∴S △ADE =12 AD •EF =12×3×1=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形面积计算等知识，通过作辅助线构造△EDF ≌△CDG 是解题的关键．8．如图，在面积为36的四边形ABCD 中，∠ADC =∠ABC =90°，AD =CD ，DP ⊥AB 于点P ，则DP 的长是_____【答案】6【分析】作DE ⊥BC ，交BC 延长线于E ，如图，则四边形BEDP 为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP =∠CDE ，则可利用“AAS ”证明△ADP ≌△CDE ，得到DP =DE ，S △ADP =S △CDE ，所以四边形BEDP 为正方形，S 四边形ABCD =S 正方形BEDP ，根据正方形的面积公式得到DP 2=36，易得DP =6．如图，作DE ⊥BC ，交BC 延长线于E ，∵DP ⊥AB ，ABC =90°，∴四边形BEDP 为矩形，∴∠PDE =90°，即∠CDE +∠PDC =90°，∵∠ADC =90°，即∠ADP +∠PDC =90°，∴∠ADP =∠CDE ，在△ADP 和△CDE 中APD CED ADP CDE AD DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADP ≌△CDE ，∴DP =DE ，S △ADP =S △CDE ，∴四边形BEDP 为正方形，S 四边形ABCD =S 正方形BEDP ，∴DP 2=36，∴DP =6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．9．如图，在△ABC 中，点D 为AB 延长线上一点，点E 为AC 中点，过C 作CF //AB 交射线DE 于F ，若BD ＝1，CF ＝5，则AB 的长度为_____．【答案】4【分析】根据CF ∥AB 就可以得出∠A =∠ECF ，∠ADE =∠F ，证明△ADE ≌△CFE 就可以求出答案．【详解】∵CF ∥AB ，∴∠ADE =∠F ，∠FCE =∠A ．∵点E 为AC 的中点，∴AE =EC ．∵在△ADE 和△CFE 中，ADE F FCE A AE EC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）．∴AD =CF =5，∵BD =1，∴AB =AD -BD =5-1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，解答时证明三角形全等是关键． 10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AB 的延长线上，点D 在边AC 上，且EB ＝CD ＝4，线段DE 交边BC 于点F ，过点F 作FG ⊥DE 交线段CE 于点G ，CE ⊥AC ，△GEF 的面积为5，则EG 的长_____．【答案】5【分析】过D 作//DH AB 交BC 于H ，求出EF DF =，延长GC 到M ，使EG GM =，连接DM ，DG ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：过D 作//DH AB 交BC 于H ，则,DHC ABC EBF DHF ∠=∠∠=∠，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴DHC ACB ∠=∠，∴DH CD =，∵BE CD =，∴DH BE =，在BEF 与HDF 中EBF DHF BFE HFD BE DH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BEF HDF ≌（AAS ），∴EF DF =，延长GC 到M ，使EG GM =，连接DM ，DG ，∵5,,S EFG EF DF EG MG ===，∴5S DFG S EFG ==，5510S DGM S DGE ==+=，∴101020S DEM =+=，∵4,DC AC CE =⊥， ∴12S DEM EM DC =⨯⨯， ∴12042EM =⨯⨯，解得：=10EM ， ∴11052EG MG ==⨯=，故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．11．如图，在△ABC 中，点D ，E 在AC 边上，且AE ＝ED ＝DC ．点F ，M 在AB 边上，且////EF DM BC ，延长FD 交BC 的延长线于点N ，则EF BN的值＝_____．【答案】14【分析】首先证明13EF BC ＝∶∶，再利用全等三角形的性质证明EF ＝CN 即可解决问题．【详解】解：////EF DM BC AE DE CD ，＝＝， ∴13EF AE BC AC ==，在EFD △与CND △中，EDF CDN FED NCD ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EFD CND AAS ∴≌（），EF CN ∴＝，13CN BC ∴∶＝∶，1CN BN ∴＝∶∶4，∴14EF BN =，故答案为14．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，关键在于熟练掌握两个知识点的基本性质和定理，该类型题属常考题．12．如图，在等边ABC 中，12AC =，点O 在边AC 上，且4AO =，点P 是边AB 上的一动点．连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OD ．要使点D 恰好落在边BC 上，则AP 的长为______．【答案】8【分析】根据AC =12，AO =4，求出OC =8，再根据等边三角形的性质得∠A =∠C =60°，再根据旋转的性质得OD =OP ，∠POD =60°，根据三角形内角和和平角定义得∠AOP +∠APO +∠A =180°，∠AOP +∠COD +∠POD =180°，利用等量代换可得∠APO =∠COD ，然后证出△AOP ≌△CDO ，得出AP =CO =8．【详解】解：∵AC =12，AO =4，∴OC =8，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠C =60°，∵线段OP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，如图所示，∴OD =OP ，∠POD =60°，∵∠AOP +∠APO +∠A =180°，∠AOP +∠COD +∠POD =180°，∴∠AOP +∠APO =120°，∠AOP +∠COD =120°，∴∠APO =∠COD ，在△AOP 和△CDO 中，A C APO COD OP OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△CDO （AAS ），∴AP =CO =8，故答案为8．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等是本题的关键． 13．如图，AE AB ⊥，且,AE AB BC CD =⊥，且BC CD =，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是___________．【答案】50【分析】求出∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∠FEA=∠BAG ，根据AAS 证△FEA ≌△GAB ，推出AG=EF=6，AF=BG=2，同理CG=DH=4，BG=CH=2，求出FH=14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC 和面积公式代入求出即可．【详解】解：∵AE ⊥AB ，EF ⊥AF ，BG ⊥AG ，∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∴∠FEA=∠BAG ，在△FEA 和△GAB 中，∵F BGA FEA BAG AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEA ≌△GAB （AAS ），∴AG=EF=6，AF=BG=2，同理CG=DH=4，BG=CH=2，∴FH=2+6+4+2=14，∴梯形EFHD 的面积是12×（EF+DH ）×FH=12×（6+4）×14=70， ∴阴影部分的面积是S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC =70-12×6×2-12×（6+4）×2-12×4×2 =50．故答案为50．【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．14．如图，△ABC中，AB=AC，BH⊥AC，垂足为点H，BD平分∠ABH，点E为BH上一点，连接DE，∠BDE=45°，DH：CH=3：2，BE=10，则CH=____．【答案】4【分析】延长DE交BC于F，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理和角平分线的性质，由AAS证明△BEF≌△DCF，再根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：延长DE交BC于F，∵AB=AC，设∠A=2α，则∠ABC=∠ACB=90°-α，∵BH⊥AC，∴∠HBC=90°-∠ACB=α，∠A+∠ABH=90°，∵BD平分∠ABH，∴∠DBH=12∠ABH=45°-α，∴∠DBF=45°-α+α=45°，∴∠BDF=∠DBF=45°，∠DFB=∠DFC=90°，∴DF=BF，∵∠DFB=∠DHB=90°，∴∠CDF=∠EBF ，在△BEF 和△DCF 中，CDF EBF BFE DFC BF DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BEF ≌△DCF （AAS ），∴BE=CD=CH+DH=10，∵DH ：CH=3：2，∴CH=4．故答案为：4．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，题目关键是得到∠DBF=45°，利用全等三角形的性质得到BE=CD ．三、解答题15．如图AOB ∠是一个锐角．（1）用尺规作图法作出AOB ∠的平分线OC ；（2）若点P 是OC 上一点，过点P 作PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ，求证：OD OE =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）如图，射线OC 即为所求作．（2）由作图可知，∠POD =∠POE ，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90°，在△POD 和△POE 中，PDO PEO POD POE OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△POD ≌△POE （AAS ），∴OD =OE ．【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，,,//AD BF EC AB DE ∠∠＝＝．求证：AC DF ＝．【答案】证明见解析【分析】由已知//AB DE ，可得∠B ＝∠E ，由BF ＝EC ，可得BC ＝EF ，易证ABC DEF △≌△，即可得出AC ＝DF ．【详解】证明：∵//AB DE ，,B E ∴∠∠＝,BF CE ＝,BC EF ∴＝在ABC 和DEF 中，,A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC DEF AAS ∴≌（），AC DF ∴＝．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出ABC DEF △≌△． 17．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是ACB ∠内部一点，分别过A 、B 两点作,AD CE BE CE ⊥⊥，垂足分别为点D 、E ，求证：AD BE DE =+【答案】见解析【分析】由全等三角形的性质可得BE =DC ，AD =CE ，即可求解．【详解】解：证明：BE CE ⊥，AD CE ⊥，90E ADC ∴∠=∠=︒，90EBC BCE ∴∠+∠=︒．90BCE ACD ∠+∠=︒，EBC DCA ∴∠=∠，在BCE ∆和CAD ∆中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAD AAS ∴∆≅∆；BCE CAD ∆≅∆，BE DC ∴=，AD CE =，AD CE CD DE BE DE ∴==+=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．18．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，连结BE 并延长交AD 的延长线于点F ．（1）求证：BCE FDE ≌；（2）连结AE ，当,2,1AE BF BC AD ⊥==时，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）利用AAS 即可证明；（2）由BCE ≌FDE 可得BE FE =，2BC FD ==，从而证明AEB △≌AEF ，得到AB AF =，可得A B ．【详解】解：（1）∵//AD BC ，∴CBE DFE ∠=∠，∵E 为CD 中点，∴CE DE =，在BCE 和FDE 中，CBE DFE BEC FED CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌FDE （AAS ）．（2）由（1）中BCE ≌FDE ，∴BE FE =，2BC FD ==，∵AE BF ⊥，∴90AEB AEF ∠=∠=︒，在AEB △和AEF 中，AE AE AEB AEF BE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB △≌AEF （SAS ），∴AB AF =，而123AF AD DF =+=+=，∴3AB =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS 和SAS 证明三角形全等．19．已知：在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接DE ，且DE BC =，过点A 作AF DE ⊥于点F ．求证：AB AF =；【答案】见解析【分析】由“AAS ”可证ADF DEC △≌△，可得AF CD AB ==．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，AF DE ⊥，∴//,,,90AD BC AD BC AB CD C AFD ==∠=∠=︒，∴ADE DEC ∠=∠，∵DE BC =，∴AD DE =，在ADF 和DEC 中，90AFD C ADE DEC AD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADF DEC AAS ≌，∴AF CD =，∴AF AB =.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 20．如图，点C 、F 、E 、B 在同一直线上，点A 、D 分别在BC 两侧，AB ∥CD ，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ．（1）求证：AB ＝DC ；（2）若AB ＝CE ，∠B ＝30°，求∠D 的度数．【答案】（1）见解析；（2）75°．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得到∠B ＝∠C ，继而证明△ABF ≌△CDE （AAS ），据此解题；（2）由（1）△ABF ≌△CDE 得，AB ＝CD ，BF ＝CE ，证明△ABF 是等腰三角形，再根据三角形内角和180°解题．【详解】证明：（1）∵//AB CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BF CE =，在△ABF 和△CDE 中，A DBC BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CDE （AAS ），∴AB ＝CD ；（2）∵△ABF ≌△CDE ，∴AB ＝CD ，BF ＝CE ，∵AB ＝CE ，∠B ＝30°，∴AB ＝BF ，∴∠A ＝∠AFB ，∴△ABF 是等腰三角形，∴∠A ＝()1801180307522B ︒-∠=︒-︒=︒， ∴∠D ＝∠A ＝75°．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。

探索三角形全等的条件专项练习

1探索三角形全等的条件专项练习1、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接A 与BC 的中点D 的支架。

求证:(1)△ ABD ≌△ ACD (2) ∠B=∠C2、如图，AB=AD ，BC=DC ，试证明△ABC 和△ADC 全等。

3、如图，O 是AB 吗？为什么？4、在△ABC 中，AB=AC ， AD 是∠BAC 的角平分线。

那么BD 与CD5、如图，∠B ＝∠E ，AB ＝EF ，BD ＝EC ，那么△ABC 与△FED 全等吗？为什么？ AC ∥FD 吗？为什么？6.如图，OA ＝OB ，PA ＝PB ，说明：OP 平分∠AOB7.如图，已知AC 与BD 相交于点O ，AC ＝BD ，AB ＝DC ，那么∠A ＝∠D 吗？说明理由。

AB CD8．如图，点C，E，B，F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝DF，BC＝EF，试判断AC与DF是否平行，并说明理由。

9．如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE ，AC ＝DF，BE＝CF，∠A＝43°。

（1）∠D的度数；（2）AC与DF平行吗？为什么？10．如图，已知AB＝DC，AC＝DB。

求证：∠OBC＝∠OCB11．如图，已知AB＝AC，BD＝CD。

求证：∠1＝∠212如图，点A、C、F、D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF。

试说明△ABC≌△DEF13工人师傅经常利用角尺平分一个任意角。

如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA、边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能解释其中的数学道理吗？14如图，广场上有两根旗杆，都垂直于地面放置．已知太阳光线AC与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光下的影子一样长，那么这两根旗杆的高度相等吗？说说你的理由。

215如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，试说明AB＝CD16图，在长方形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD。

全等三角形全面复习详解

全等三角形复习复习目标：知识技能：1.灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”判定三角形全等。

2.熟练运用三角形全等的性质。

3.二次全等的几何证明。

4.熟练运用角平分线的性质与判定。

教学思考：经历探索，运用三角形全等条件的过程，进一步发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉及分析问题、解决问题的能力。

解决问题：提高综合运用三角形全等条件及角平分线的性质解决相关几何问题的能力。

情感、态度：在综合运用三角形全等条件及角平分线的性质的证明过程中，培养学生探索问题的兴趣，增强解决问题的信心。

重点：掌握并灵活运用判定三角形全等的方法。

难点：1.探索三角形全等的条件。

2.二次全等证明几何问题。

教学手段：多媒体、三角板。

复习过程：一、课题引入多媒体显示两个三角形通过平移重合的过程，引出课题。

二、知识回顾（多媒体展示）1.下面三组全等的三角形分别可以通过怎样的方式重合？生答：① 平移 ② 翻折 ③ 旋转 2.三角形全等的判定方法有：生答：SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 、 HL 、教师强调：“SSA”，“AAA”不能判定两个三角形全等 3.填空：全等三角形对应边，对应角。

（答：相等，相等） 4.填空：角平分线上的点到这个角两边的距离，到一个角两边距离相等的点在这个角的上。

（答：相等，平分线）三.知识运用问题一：（多媒体展示）ADBCEFA C BDEABE D C②③①1.如图：AB=EF ，∠ABC=∠FED ，BC=DE ， AF=CD ，则AF CD 。

（填“平行”或“相交”）设计意图：添加辅助线，运用“SAS”，“SSS”判定三角形全等，体现全等中的平移与旋转。

（2）正方形ABCD 的边长为4cm,将一块足够大的三角板的直角顶点落在A点，两直边分别交CD 于F ，交CB 的延长线于E ，则四边形AECF 的面积为cm 2。

设计意图：运用“ASA”，判定三角形全等，体现全等中的旋转。

八年级数学上册 1.3《探索三角形全等的条件》知识点解

知识点解读：快速判定三角形全等全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。

判断三角形全等公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL ，如果能够直接证明三角形的全等的条件，则比较简单，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全面，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一、已知一边及与其相邻的一个内角对应相等判断三角形全等的公理中边和角相邻的有SAS 、ASA 、AAS ，所以可以从三个方面进行考虑：例1、如图1，点C 、D 在线段AB 上，AC=DB ，AE=BF ，∠A=∠B 。

说明△ABF≌△DCE 的理由。

分析：本题是根据SAS 来判断两个三角形全等，应该首先推导这个内角的另一条边也是对应相等的，也就是AD ＝BC ，然后再证明三角形全等。

解：因为AC ＝DB （已知）所以AC ＋CD=BD ＋CD ，即 AD ＝BC 在△ABF 和△DCE 中，AE BFA B AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF≌△DCE（SAS ）。

例2、如图2，F 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，DC∥AB。

说明△AFE≌△CDE 的理由。

分析：本题是在两个三角形有对顶角的情况下进行考虑的，根据ASA 来判断两个三角形全等，应该首先推导以DE 、FE 为一边的另一个角也是对应相等的，也就是∠AFE=∠CDE，然后再证明三角形全等。

CBA D 图1解：应为 FC∥AB（已知）所以∠AFE=∠CDE（两直线平行，内错角相等）在△ADE 和△CFE 中，AFE CDE DE FEAEF CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AFE≌△CDE（ASA ）。

例3、题目同例2，在DE=FE 的情况下也可以根据FC∥AB，证明AFE CDE ∠=∠和EAF ECD ∠=∠，然后根据AAS 公理来说明△AFE≌△CDE。

第03讲探索三角形全等的条件(7种题型)(解析版)

第03讲探索三角形全等的条件（7种题型）1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL ”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A ＝∠，AC ＝，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.''A B 'A ''A C '''A B C要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.四、全等三角形判定4——“边边边”全等三角形判定4——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则△ABC ≌△.五．直角三角形全等的判定——“HL ”1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，'A ''A B 'B '''A B C ''A B ''A C ''B C '''A B C使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．六、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.七．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．八．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型一、全等三角形的判定1——“边角边”例1、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD中AB AD BAC DAEAC AE =ìïÐ=Ðíï=î∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．90AB BC ABE CBD BE BD =ìïÐ=Ð=°íï=îAD DE ADB EDCBD CD ìïÐÐíïî＝＝＝．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例3、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED．BD DE ADB=ADEAD AD ìïíïî＝∠∠＝AE D CB又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.【答案】证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE和△CFE中，1 2∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型二、全等三角形的判定2——“角边角”例4、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D＝∠B．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中CEB CEFEC =EC EB EF =ìïÐ=Ðíïî12(AF AD FAC DAC AC AC =ìïÐ=Ðíï=î角平分线定义）∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形； (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠F ，再证明BC ＝EF ，然后根据“ASA ”可判断△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ，∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F ，∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用A C AD CBD B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例5、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】ïîïíìÐ=Ð=Ð=ÐC DAC BCAD CBFADG证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型三、全等三角形的判定3——“角角边”例6.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC ＝AD ，再由平行线的性质可得∠DAE ＝∠ACB ，由∠CED +∠B ＝180°，∠CED +∠AED ＝180°，得∠AED ＝∠B ，从而利用AAS 可判定△ADE ≌△CAB ．【解答】证明：∵∠ADC ＝∠ACD ，∴AD ＝AC ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠ACB ，∵∠CED +∠B ＝180°，∠CED +∠AED ＝180°，∴∠AED ＝∠B ，在△ADE 与△CAB 中，，∴△ADE ≌△CAB （AAS ）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例7、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．12MQ NQMQP NQH Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【变式】已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B 分别作、，垂足为E 、F ，求证：.【答案与解析】证明：∵ ，∴∴∵∴∴BAC EAD B ECB=DE Ð=ÐìïÐ=Ðíïî90ACB Ð=°AC BC =CD C A AE CD ^BF CD ^CE BF=CD AE ^CD BF ^°=Ð=Ð90BFC AEC °=Ð+Ð90B BCF ,90°=ÐACB °=Ð+Ð90ACF BCF BACF Ð=Ð在和中∴≌（）∴【总结升华】要证，只需证含有这两个线段的≌.同角的余角相等是找角等的好方法.题型四、全等三角形的判定4——“边边边”例8、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.BCF ∆CAE ∆ïîïíì=Ð=ÐÐ=ÐBC AC B ACE BFC AEC BCF ∆CAE ∆AAS BF CE =BF CE =BCF ∆CAE∆()(),,RP RQ PM QM RM RM ì=ï=íï=î已知公共边【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）例9、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型五．直角三角形全等的判定“HL ”例10.如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ，则能直接判断Rt △ABD ≌Rt △CDB 的理由是（）()AD BC AC BDCD DC ì=ï=íï=î公共边AB AC AD AEBD CE =ìï=íï=îA．HL B．ASA C．SAS D．SSS【分析】由“HL”可证Rt△ABD和Rt△CDB．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本题的关键．【变式1】．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题．【解答】解：补充条件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案为：AB＝DE．【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键．【变式2】如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．题型六．全等三角形的判定与性质例11．（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE 相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD⊥BD，AE⊥EC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝∠OBC＝20°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式1】．如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．【分析】连接BD，利用边边边证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可求解．【解答】证明：连接BD，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，此题主要利用边边边判定三角形全等．【变式2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．【解答】证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．题型7．全等三角形的应用例12．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）（1）线段的长度就是A、B两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【分析】（1）根据题意确定DE＝AB；（2）根据已知条件得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到结论即可．【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；故答案为：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．【变式】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（2）请说明方案可行的理由．【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．【解答】解：（1）甲同学的方案可行；（2）甲同学方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同学方案：在△ABD和△CBD中，只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．一．选择题（共8小题）1．（2022秋•南京期末）已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（）A．AC∥DF B．AD＝BEC．∠CBA＝∠FED＝90°D．∠C＝∠F【分析】根据三角形的判定定理，结合题目所给条件进行判定即可．【解答】解：A、由AC∥DF可得∠A＝∠FDB，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，不能证明△ABC≌DEF，故此选项正确；B、AD＝BE可得AB＝DE，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，可利用SSS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；C、∠CBA＝∠FED＝90°可利用HL定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；D、∠C＝∠F可利用SAS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；故选：A．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2022秋•启东市校级月考）不能判定两个直角三角形全等的条件是（）A．两个锐角对应相等B．两条直角边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．斜边和一条直角边对应相等【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解答】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意；C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；D、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2022秋•阜宁县期末）如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．∠ABD＝∠BAC【分析】根据已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△ABC ≌△BAD即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∴若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项A符合题意；若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意；若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意；若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．4．（2022秋•江都区期末）如图，已知AB＝AD．下列条件中，不能作为判定△ABC≌△ADC条件的是（）A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90°D．∠ACB＝∠ACD【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．【解答】解：A、AB＝AD，BC＝DC，再加上公共边AC＝AC能判定△ABC≌△ADC，故此选项不符合题意；B、AB＝AD，∠BAC＝∠DAC再加上公共边AC＝AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；C、AB＝AD，∠B＝∠D＝90°再加上公共边AC＝AC能判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；D、AB＝AD，∠ACB＝∠ACD再加上公共边AC＝AC不能判定△ABC≌△ADC，故此选项合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．（2022秋•扬州期中）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、3或3、4去均可【分析】带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形．【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．6．（2022秋•宿豫区期末）如图，小明和小丽用下面的方法测量位于池塘两端的A、B两点的距离；先取一个可以直接到达点A的点C，量得AC的长度，再沿AC方向走到点D处，使得CD＝AC；然后从点D 处沿着由点B到点A的方向，到达点E处，使得点E、B、C在一条直线上，量得的DE的长度就是A、B 两点的距离．在解决这个问题中，关键是利用了△DCE≌△ACB，其数学依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．ASA或AAS【分析】直接利用全等三角形的判定方法，进而分析得出答案．【解答】解：由题意可得：AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠ABC＝∠DEC，∠BAC＝∠EDC，故由AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠ABC＝∠DEC或AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠BAC＝∠EDC都可以得出△DCE≌△ACB，故其数学依据是ASA或AAS．故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．7．（2022秋•高邮市期末）如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA【分析】根据图形找出公共边AB＝BA，再根据全等三角形的判定定理AAS得出即可．【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本选项不符合题意；C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本选项符合题意；D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．8．（2022秋•邳州市期末）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；B．AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；C．AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；D．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．二．填空题（共4小题）9．（2022秋•泗洪县期中）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件　AB＝DE　，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题．【解答】解：补充条件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案为：AB＝DE．【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键．10．（2022秋•启东市校级月考）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　BC＝EF　．【分析】此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案为：BC＝EF【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，题目比较典型，难度适中．11．（2022秋•江宁区校级月考）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　AB＝DC或AC＝DB　，理由是　“HL”　（填简称）．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AC＝BD，∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），故答案为：AB ＝DC 或AC ＝BD ，HL ．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．12．（2022秋•江阴市期中）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，AD 是边BC 上的中线，AD ＝2，则△ACB 的面积是 6　．【分析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证△ADC ≌△EDB （SAS ），得BE ＝AC ＝5，∠CAD ＝∠E ，再由勾股定理的逆定理证∠EAB ＝90°，即可解决问题．【解答】解：如图，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD ，在△ADC 与△EDB 中，，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝5，∠CAD ＝∠E ，又∵AE ＝2AD ＝4，AB ＝3，∴BE 2＝AE 2+AB 2，∴△ABE 是直角三角形，∠EAB ＝90°，则S △ACB ＝2S △ABD ＝2××2×3＝6，故答案为：6．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）13．（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．14．（2022秋•鼓楼区期中）如图，点B、C、E、F在同一条直线上，AF、DE相交于点G，∠B＝∠C＝∠AGD＝90°，BF＝CD．求证：AF＝DE．。

探索三角形全等的条件试题与答案

姓名密封区教师填写内容考试类型张媛审批绝密★启用前探索三角形全等的条件(SSS)测试时间:25分钟一、选择题1.如图,AB=AC,BD=CD,则可推出( )A.△BAD≌△BCDB.△ABD≌△ACDC.△ACD≌△BCDD.△ACE≌△BDE2.如图,在四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,连接AC,AE,若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有( )A.0对B.1对C.2对D.3对3.如图,线段AD 与BC 相交于点O,连接AB 、AC 、BD,若AC=BD,AD=BC,则下列结论中不正确的是( )A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D4.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2=110°,∠BAE=60°,则下列结论错误的是( )A .△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE C.∠ACE=30° D.∠1=70°二、填空题5.如图,AB=AD,只要添加一个条件: ,就可以通过“SSS”判定△ABC≌△ADC.6.如图,以△ABC 的顶点A 为圆心,BC 长为半径作弧,再以顶点C 为圆心,AB 长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD 、CD.若∠B=65°,则∠ADC 的大小为度.三、解答题7.教室的门松动了,老师用一根木条斜着钉上去,门就不松动了,这是什么道理?8.如图所示,已知∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,BD=CE,∠1=25°,∠2=30°,求∠3的度数.9.(2018陕西西安莲湖月考)如图,在△ABC 中,AC=BC,D 是AB 上的一点,AE⊥CD 交CD 的延长线于点E,BF⊥CD 于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断直线AC 与BC 的位置关系,并说明理由.参考答案一、选择题横线以内不许答题1.答案 B ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).2.答案 D ∵E 是BC 的中点,∴BE=CE.在△ABE 和△ACE 中， {AB =AC ,AE =AE ,BE =EC ,∴△ABE≌△ACE(SSS). 在△ACE 和△CAD 中,{AE =CD ,AC =CA ,CE =AD ,∴△ACE≌△CAD(SSS),∴△ABE≌△CAD,故选D.3.答案 C A 项,根据SSS 可以证明△ABC≌△BAD,故本选项结论正确;B 项,根据全等三角形的对应角相等,得∠CAB=∠DBA,故本选项结论正确;C 项,无法得出OB 和OC 相等,故本选项结论错误;D 项,根据全等三角形的对应角相等,得∠C=∠D,故本选项结论正确.故选C.4.答案 C ∵BE=CD,∴BE -DE=CD-DE,∴BD=CE,∵AB=AC,AD=AE,BD=CE,∴△ABD≌△ACE, ∴∠B=∠ACE=∠2-∠BAE=50°(由三角形内角和定理和平角定义可得出∠B=∠2-∠BAE), ∴C 选项错误.二、填空题5.答案 BC=DC解析在△ABC 与△ADC 中,∵AB=AD,AC=AC(公共边),∴添加BC=DC,就可以通过“SSS”判定△ABC≌△ADC.6.答案 65解析 ∵以点A 为圆心,BC 长为半径作弧,以点C 为圆心,AB 长为半径作弧,两弧交于点D,∴AB=CD,BC=AD.在△ABC 和△CDA 中,{AB =CD ,BC =DA ,AC =CA ,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠ADC=∠B=65°.三、解答题7.解析因为教室的门是四边形,四边形具有不稳定性,易松动.斜钉一根木条就构成了三角形,而三角形具有稳定性,所以门就不再松动了.8.解析在△BAD 和△CAE 中,{AB =AC ,AD =AE ,BD =CE ,∴△BAD≌△CAE(SSS),∴∠ABD=∠2=30°,∵∠1=25°,∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°(由三角形内角和定理与平角的定义可得∠3=∠1+∠ABD).9.解析 AC⊥BC,理由如下:∵CE=BF,AE=EF+BF,CF=EF+CE,∴AE=CF. 在△ACE 和△CBF 中,{AC =CB ,AE =CF ,CE =BF ,∴△ACE≌△CBF(SSS),∴∠CAE=∠BCF.在Rt△ACE 中,∵∠CAE+∠ACE=90°,∴∠ACE+∠BCF=90°, ∴AC⊥BC.。

1.3探索三角形全等的条件(6)(分层练习)解析版

1.3 探索三角形全等的条件（6）分层练习1．图中是全等的三角形是（）A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁【答案】B【分析】比较三条边的长度一致的就是全等三角形．【详解】解：比较三角形的三边长度，发现乙和丁的长度完全一样，即为全等三角形，故选：B．2．将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．【详解】解：三根木条即为三角形的三边长，即为利用SSS确定三角形，故选：A．3．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（）A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，AC=FDBC=ED，AB=FE∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】由D为BC中点可得BD=CD，利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质逐一判断即可.【详解】∵D为BC的中点，∴BD=CD，又∵AB=AC，AD为公共边∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正确，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.综上所述：正确的结论有①②③④共4个，故选D.【答案】3【分析】根据已知利用全等三角形的判定方法SSS得出全等三角形即可．【详解】解：全等三角形共有3对，△ACE≅△ADE，△ACB≅△ADB，△ECB≅△EDB，理由：在△ECB和△EDB中EB=EBEC=ED，BC=BD∴△ECB≅△EDB(SSS)，在△ACE和△ADE中AC=ADAE=AE，EC=ED∴△ACE≅△ADE(SSS)，在△ACB和△ADB中AB=ABAC=AD，BC=BD∴△ACB≅△ADB(SSS)．故答案为：3．8．如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，试说明：点O是AC的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由．解：因为BF=DE，所以BF―EF=DE―EF，因为AB=CD，AE=CF，所以_______________（理由：SSS）所以∠B=∠D（理由：_________________）因为∠AOB=∠COD（理由：_________________）所以△ABO≌△CDO所以__________________（理由：全等三角形对应边相等）所以点O是AC中点．【答案】△ABE≌△CDF，全等三角形对应角相等，对顶角相等，AO=CO【分析】由“SSS”可证△ABE≌△CDF，可得∠B=∠D，由“AAS”可证△ABO≌△CDO，可得AO=CO，即可求解．【详解】解：因为BF=DE，所以BF―EF=DE―EF，因为AB=CD，AE=CF，所以△ABE≌△CDF（理由：SSS），所以∠B=∠D（理由：全等三角形对应角相等），因为∠AOB=∠COD（理由：对顶角相等），所以△ABO≌△CDO，所以AO=CO（理由：全等三角形对应边相等），所以点O是AC中点，故答案为：△ABE≌△CDF，全等三角形对应角相等，对顶角相等，AO=CO．9．如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E，由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中3个正确结论（不要添加字母和辅助线，并对其中一个给出证明）结论1：结论2：结论3：证明：【答案】结论1：△ABC≌△ADC结论2：∠BCA=∠DCA结论3：AC平分∠BAD证明结论3，见详解【分析】结合题意，得出三个结论；利用“SSS”证明△ABC≌△ADC，由全等三角形的性质即可证明AC平分∠BAD．【详解】结论1：△ABC≌△ADC结论2：∠BCA=∠DCA结论3：AC平分∠BAD证明结论3：在△ABC和△ADC中，AB=ADAC=ACCB=CD，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD．10．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.【详解】（1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CB DE=BF AE=CF，∴△ADE≌△CBF.（2）成立.理由如下：∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CB DE=BF AE=CF，∴△ADE≌△CBF.（3）AD与CB不一定平行，理由如下：∵只给了两组对应相等的边，∴不能判定△ADE≌△CBF，∴不能判定∠A与∠C的大小关系，∴AD与CB不一定平行.11．中国现役的第五代隐形战斗机歼—20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角∠A，∠B必须相等. 制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA=PB，CA=CB就能满足要求，说明理由.【分析】连接PC，证明△APC≌△BPC(SSS)即可证明∠A=∠B；【详解】解：如图所示，连接PC，∵PA=PB，PC=PC，AC=BC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠A=∠B；12．如图，在四边形ABCD中，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D，点E，F分别在AB，AD上，AE AF=，CE=CF．若AE=8，CD=6，求四边形AECF的面积.【答案】)8【分析】连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；【详解】解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE =AF CE =CF AC =AC∴△ACE ≌△ACF （SSS ）．∴S △ACE ＝S △ACF ，∠FAC ＝∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD ＝CB ＝6．∴S △ACF ＝S △ACE ＝12AE ·CB ＝12×8×6＝24．∴S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE ＝24＋24＝48．（1）【旧题重现】《学习与评价》19P 有这样一道习题：如图①，AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的BC 、B C ¢¢边上的中线，AD A D ¢¢=，AB =A ′B ′，BC =B ′C ′．求证：△ABC≌△A ′B ′C ′．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．．（2）【深入研究】如图②，AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的BC 、B C ¢¢边上的中线，AD A D ¢¢=，AB =A ′B ′，AC =A ′C ′．判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否仍然全等．（3）【类比思考】下列命题中是真命题的是．（填写相应的序号）①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．【答案】（1）①BD =12BC ；②B ′D ′=12B ′C ′；③AD =A ′D ′；④∠B =∠B ′（2）全等，见解析（3）①②③⑤【分析】（1）根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案；（2）延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，延长A ′D ′至E ′，使D ′E ′=A ′D ′，连接B ′E ′．证明△ADC≌△EDB(SAS )．由全等三角形的性质得出AC =EB ，∠DAC =∠E ，同理A ′C ′=E ′B ′，∠D ′A ′C ′=∠E ′．证明△ABE≌△A ′B ′E ′(SSS )．得出∠BAE =∠B ′A ′E ′，∠E =∠E ′．则可证明△ABC≌△A ′B ′C ′(SAS )；（3）根据全等三角形的判定方法可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =12BC ，∵A ′D ′分别是△A ′B ′C ′的中线，∴B ′D ′=12B ′C ′，∵BC =B ′C ′，∴BD =B ′D ′，在△ABD 和△A ′B ′D ′中，BD =B ′D ′AD =A ′D ′AB =A ′B ′，∴△ABD≌△A ′B ′D ′(SSS )，∴∠B =∠B ′，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB =A ′B ′∠B =∠B ′BC =B ′C ′，∴△ABC≌△A ′B ′C ′(SAS )．故答案为：①BD =12BC ；②B ′D ′=12B ′C ′；③AD =A ′D ′；④∠B =∠B ′；（2）解：△ABC 与△A ′B ′C ′仍然全等，理由如下：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，延长A ′D ′至E ′，使D ′E ′=A ′D ′，连接B ′E ′．∵AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的BC 和B ′C ′边上的中线，∴BD =CD ，B ′D ′=C ′D ′．在△ADC 和△EDB 中，AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD，∴△ADC≌△EDB(SAS )．∴AC=EB，∠DAC=∠E，同理A′C′=E′B′，∠D′A′C′=∠E′．∵AC=A′C′，∴EB=E′B′．∵AD=A′D′，AD=DE，A′D′=D′E′，∴AE=A′E′．∵AB=A′B′，∴△ABE≌△A′B′E′(SSS)．∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′．∴∠DAC=∠D′A′C′．∴∠BAC=∠B′A′C′，又AB=A′B′，AC=A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)，（3）①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误，如图，在△ABC与△AB C′中，AB=AB，AC=A C′，高AD相同，但是△ABC与△AB C′不全等．故④不符合题意；⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意．故答案为：①②③⑤．（初步探索）(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___________；（灵活运用）(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF，证明见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，得到∠BAE=∠DAG，AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，得到∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF 即可；（2）同（1）证明即可．【详解】（1）解：∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B=∠ADC=90°，∴∠ADG=∠B=90°，∵DG=BE，AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD，DG=BE，∴EF=DG+FD=GF，又∵AE=AG，AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF.故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）解：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF.。

探索三角形全等的思路归纳

探索三角形全等的思路归纳“探索三角形全等的条件”是三角形的重点，又是进一步学习平面几何的基础.在具体应用三角形全等的识别方法时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了那些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系，从而选择适当的说明方法。

现将探索三角形全等的思路归纳如下：一、已知两边对应相等时的思路思路1：找已知两边的夹角对应相等，利用“SAS ”探索.例1．已知：如图1，AB ＝AC ，AE ＝AD ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．∠B 与∠C 相等吗？为什么？分析：欲知∠B=∠C ，应探索△CAD ≌△BAE. 由于已有AB＝AC ，AE ＝AD ，找一找是否对应边的夹角∠CAD =∠BAE ？它们是公共角. 所以△CAD ≌△BAE ，故∠B 与∠C 相等.思路2：找第三边对应相等，利用SSS 探索.例2．“三月三，放风筝”.图2是小明制作的风筝. 他根据DE = DF , EH = FH ，不用度量，就知道∠DEH =∠DFH. 请你用所学的知识给予证明. 分析：欲知∠DEH =∠DFH ，应探索△DEH ≌△DFH ，为此连结DH. 由于已有DE = DF , EH = FH ，找一找是否第三边DH = DH ？由于它们是公共边，故成立.二、已知有两角对应相等时的思路思路一、找出夹边相等，用（ASA ）例3．如图3，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。

解析：只要求出CM 和AC 的长即得△ABC 的周长，而△AMN ≌△CMN 可实现这一目的。

因为MN 平分∠AMC ，所以∠AMN=∠CMN ，D E F H 图2E D C B A 图1图3因为MN ⊥AC ，所以∠AMNA=∠CMNC=900，这样有两角对应相等，再找出它的夹边对应相等（MN 为公共边）即可。

在△AMN 和△CMN 中AMN CMN MN MN MNA MNC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以△AMN ≌△CMN （ASA ）所以AC=NC ，AM=CM （全等三角形的对应角相等），AN=2cm,所以AC=2AN=4 cm ，而△ABM 的周长为9cm,所以△ABC 的周长为9+4=13 cm 。

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探索三角形全等的条件复习(1)
本节课学习目标是：
1、知识与技能：通过自主复习进一步巩固三角形的基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。

2、过程与方法：合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题，培养分析问题和解决问题的能力，培养小组合作意识和合作能力。

3、情感与态度：理解数学的应用价值。

学习的重、难点：
会用合理且严谨的几何语言去写出推理过程，并写出每一步的依据。

A组题：
1．三角形全等的判定方法有，也就是说必须要条件，并且至少有条边。

2．已知，如图1：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF
(1) 若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；
(2) 若以“ASA”为依据，还要添加的条件为______________；
3．如图2，如果AB＝AC，，即可判定ΔABD≌ΔACE。

4、如图3所示，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 [答案不唯一]
5、如图,,,,在同一直线上，，
，若要使
，则还需要补充一个条件：或．
6、根据下列条件作三角形，不能作出唯一三角形的是（）
A、已知三个角
B、已知三条边
C、已知两角和夹边
D、已知两边和夹角
B组题:
图1 图2
图3
图4
7.已知：如图，AE ＝CF ，AD ∥BC ，∠D ＝∠C 。

问：△ADF 与△CBE 全等吗？请说明理由。

A D
8.如图：AE=DE
，BE=CE ，AC 和BD 相交于点E ，求证：
AB=DC
9．已知：如图，21∠=∠，43∠=∠。

求证：AD AC =。

C 组题：
10．没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬
与小红的做法，他们的画法正确吗？请说明理由． (1) 小彬的做法如图1，角平分线刻度尺画法： ①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD ＝
OC ． ②连结CD ，利用刻度尺画出CD 的中点E ． ③画射线OE ．所以射线OE 为∠AOB 的角平分线．
图1
(2) 小红的做法如图2，角平分线三角板画法： ①利用三角板在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝
ON ． ②分别过M 、N 画OM 、ON 的垂线，交点为P ．
③画射线OE ．所以射线OP 为∠AOB 的角平分线．
F E B C。