18版高中数学第一章解直角三角形1.1.1正弦定理学业分层测评新人教B版必修5

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高中数学第一章解直角三角形 1.1.1 正弦定理同步导学案新人教B版必修5

1.1.1正弦定理
一、预习问题：
1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。

4、用正弦定理可解决下列那种问题
① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对
角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？
二、实战操作：
例1、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。

例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。

2018版高中数学第一章解三角形1.1正弦定理一学案苏教版

1.1 正弦定理（一）学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1 如图，在Rt△ABC 中，a sin A 、b sin B 、csin C 各自等于什么？思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？课本是如何说明的？梳理任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆，向量或建立直角坐标系，利用三角函数定义来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.asin A ＝________＝________＝2R (其中R 是________________)． 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A . 3．sin A ＝a 2R，sin B ＝________，sin C ＝________.知识点三解三角形解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的________元素(至少有一个是________)，求其余三个未知元素的过程．类型一定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．反思与感悟 (1)本例用正弦函数的定义沟通边与角的内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝b sin B，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，证明asin A＝2R .类型二用正弦定理解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解三角形．反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．类型三边角互化例3 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．反思与感悟利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.1．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B ，AC ＝2，则BC ＝________.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则边a ，c 的大小关系是________．3．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝________.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.1. 定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2. 正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学知识点一思考1 a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边BC 上的高AD ＝b sin C ＝c sin B 来证明．知识点二1.b sin B csin C △ABC 外接圆的半径 3.b 2R c2R知识点三三个边题型探究例1 证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CD b＝sin∠CAD ＝sin(180°－A ) ＝sin A ，CD a ＝sin B .∴CD ＝b sin A ＝a sin B .∴a sin A ＝bsin B . 同理，b sin B ＝c sin C .故a sin A ＝b sin B ＝csin C. 跟踪训练1 证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BCA ′B ＝a 2R ， ∴sin A ＝a 2R ，即a sin A＝2R . 例 2 解根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝42.9sin 81.8°sin 32.0°≈80.1(cm)；根据正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝42.9sin 66.2°sin 32.0°≈74.1(cm)．跟踪训练2 解根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6. 例3 解设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b .由正弦定理，得asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝3＋33sin B ＋3cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9. 跟踪训练3 证明由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得：左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B )＝0＝右边，所以等式成立．当堂训练1．4 2.a ＝c 3.60°或120° 4.π3或2π3。

2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(二)学案新人教B版必修5

1.1.1 正弦定理(二) 学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．知识点一正弦定理的常见变形1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；2.asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝______； 3．a ＝__________，b ＝____________，c ＝__________；4．sin A ＝__________，sin B ＝________，sin C ＝__________.知识点二判断三角形解的个数思考1 在△ABC 中，a ＝9，b ＝10，A ＝60°，判断三角形解的个数．梳理已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一．例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可求得sin B ＝b sin A a .在由sin B 求B 时，如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一；如果a <b ，则有A <B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个．思考2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角．其中只有类型(3)解的个数不确定．知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考1 在△ABC中，已知a cos B＝b cos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．思考2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化？类型一判断三角形解的个数例1 在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，解三角形．引申探究若a＝3，b＝1，B＝120°，解三角形．反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1 已知一三角形中a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．类型二利用正弦定理求最值或取值范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．反思与感悟解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪训练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c b的取值范围．类型三正弦定理与三角变换的综合例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b,2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．跟踪训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，其中a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )A ．45° B．30° C．75° D．90°2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 3．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin B sin C的值．1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．答案精析问题导学知识点一1．a ∶b ∶c 2.2R3．2R sin A 2R sin B 2R sin C4.a 2R b 2R c2R知识点二思考1 sin B ＝b a sin A ＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．思考2 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．知识点三思考1 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A ，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.思考2 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径．故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径．题型探究类型一判断三角形解的个数例1 解根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b ＞a ，∴B ＞A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2；当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.引申探究解根据正弦定理，sin A ＝a sin B b＝3sin 120°1＝32＞1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，b sin A ＜a ＜b ，所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，因为b >a ，B >A ，B ∈(0°，180°)，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝4 3或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.类型二例2 解 ∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ，又∵A ∈(0，π2)，sin A ≠0，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C＝cos A ＋sin []π－B ＋A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2.∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，即32<y <32.∴cos A ＋sin C 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.跟踪训练2 解因为A ＋B ＋C ＝π， C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1，所以1<2cos B <2，又c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<cb <2.类型三例3 解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3，∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3.化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形．跟踪训练3 解设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理，得sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．当堂训练1．C 2.B3．解由条件得a c ＝sin A sin C ＝15， ∴sin A ＝15sin C . 同理可得sin B ＝35sin C . ∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C＝－15.。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 1.1-1 正弦定理一含答案精品

1．1.1正弦定理(一)学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1如图，在Rt△ABC中，asin A、bsin B、csin C各自等于什么？思考2在一般的△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C还成立吗？课本是如何说明的？梳理在任意△ABC中，都有asin A＝bsin B＝csin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.asin A＝____________＝__________＝2R (其中R 是____________)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ；3．sin A ＝a2R ，sin B ＝________，sin C ＝________.知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．类型一定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .求证：asin A ＝2R .类型二用正弦定理解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：a ＝20，A ＝30°，C ＝45°.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．类型三边角互化命题角度1 化简证明问题例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.命题角度2 运算求解问题例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 的周长的最大值．反思与感悟利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.1. 定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学知识点一思考1a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A＝a sin B 来证明．知识点二 1.b sin B c sin C △ABC 外接圆的半径 3.b 2Rc 2R知识点三元素解三角形题型探究类型一例1 证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ， CDa＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 跟踪训练1 证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BC A ′B ＝a2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二例2 解 ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)，c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202，∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. 跟踪训练2 解根据三角形内角和定理， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三命题角度1例3 证明由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B ) ＝0＝右边，所以等式成立．命题角度2例4 解设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b . 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9.跟踪训练3 解 ∵A ＋B ＋C ＝π， A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ＝12，sin B ＝32，sin C ＝1.设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ＝k 2，b ＝k sin B ＝32k ，c ＝k sin C ＝k ，∴a ∶b ∶c ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.当堂训练1．C 2.B 3.25 4.π3或2π3。

18版高中数学第一章解直角三角形1.2应用举例第1课时距离和高度问题学业分层测评新人教B版必修5

距离和高度问题(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.为了测量B ，C 之间的距离，在河岸A ，C 处测量，如图126，测得下面四组数据，较合理的是( )图126A.c 与αB.c 与bC.b ，c 与βD.b ，α与γ【解析】因为测量者在A ，C 处测量，所以较合理的应该是b ，α与γ. 【答案】 D2.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则14时两船之间的距离是( )A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile【解析】到14时，轮船A 和轮船B 分别走了50 n mile ，30 n mile ，由余弦定理得两船之间的距离为l ＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile).【答案】 B3.如图127所示，长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上，另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )图127A.2315B.516C.23116D.115【解析】由题意，可得在△ABC 中，AB ＝3.5 m ，AC ＝1.4 m ，BC ＝2.8 m ，且∠α＋∠ACB ＝π.由AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos∠ACB ，得3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.【答案】 A4.如图128，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )图128A.8 km/hB.6 2 km/hC.234 km/hD.10 km/h【解析】设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.【答案】 B5.如图129，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图129A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m【解析】 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C.【答案】 C 二、填空题6.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米.【解析】如图，∠BAO ＝75°，∠C ＝30°，AB ＝1，∴∠ABC ＝∠BAO －∠BCA ＝75°－30°＝45°. 在△ABC 中，AB sin C ＝ACsin ∠ABC，∴AC ＝AB ·sin ∠ABCsin C ＝1×2212＝2(千米).【答案】27.如图1210，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB＝120 m ，则河的宽度是________m.图1210【解析】 tan 30°＝CD AD ，tan 75°＝CD DB，又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60. 【答案】 608.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1211所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点________dm的C 处截住足球.图1211【解析】设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373.∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－233(dm)(舍去).∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球. 【答案】 7 三、解答题9.A ，B ，C ，D 四个景点，如图1212，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，∠ADC ＝15°.A ，D 相距2 km ，C ，D 相距(32－6)km ，求A ，B 两景点的距离.图1212【解】在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，即BD ＝CD ·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋15°＝60°，BD ＝AD ， ∴△ABD 为等边三角形，∴AB ＝2. 即A ，B 两景点的距离为2 km.10.如图1213所示，在高出地面30 m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60 m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度.图1213【解】设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则△ABC 中，tan α＝3060＝12.又∠DAB ＝45°＋α，tan∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060＝tan(45°＋α).又tan(45°＋α)＝tan 45°＋tan α1－tan 45°tan α＝3，∴x ＋3060＝3，解得x ＝150 m ，所以电视塔的高度为150 m.[能力提升]1.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A.d 1>d 2B.d 1＝d 2C.d 1<d 2D.不能确定大小【解析】如图，B ，C ，D 分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.在△PBC 中，d 1sin α＝PB sin∠PCB ，在△PCD 中，d 2sin β＝PDsin∠PCD ，∵sin α＝sin β，sin∠PCB ＝sin∠PCD ， ∴d 1d 2＝PB PD. ∵PB <PD ，∴d 1<d 2. 【答案】 C2.如图1214所示，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别是β，α(β＜α)，则A 点离地面的高AB 等于( )图1214A.a sin αsin βα－βB.a sin αsin βα－βC.a sin αcos βα－βD.a cos αcos βα－β【解析】设AB ＝h ，则AD ＝hsin α.因为∠CAD ＝α－β，所以CDα－β＝ADsin β，所以aα－β＝hsin αsin β，所以h ＝a sin αsin βα－β.【答案】 A3.如图1215所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC .小明在山脚B 处看索道AC ，此时视角∠ABC ＝120°；从B 处攀登200米到达D 处，回头看索道AC ，此时视角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登300米到达C 处.则石竹山这条索道AC 长为________米.图1215【解析】在△ABD 中，BD ＝200米，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD s in∠DAB ＝ADsin∠ABD ，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米).在△ADC 中，DC ＝300米，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039(米).故石竹山这条索道AC 长为10039米.【答案】 100394.2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机.为了测量两山顶M ，N 间的距离，无人机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图1216)，无人机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.图1216【解】方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d .②第一步：计算AM .由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN .由余弦定理MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·ANα1－β1.方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d .②第一步：计算BM .由正弦定理BM ＝d sin α1α1＋α2；第二步：计算BN .由正弦定理BN ＝d sin β1β2－β1；第三步：计算MN .由余弦定理MN ＝BM 2＋BN 2－2BM ·BNβ2＋α2.。

18学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(一)课件新人教B版必修5

asin C 20sin 45° c＝ sin A ＝ sin 30° ＝20 2，
∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2 )，c＝20 2 .
(2)a＝8，B＝60°，C＝75°. 解 A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
b a 由正弦定理，＝ sin B sin A
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内部文件，请勿外传
1.1.1 正弦定理(一)
29
a c 由正弦定理sin A＝sin C，
＋45° sin C sin 105° sin60° 得 c＝a· sin A＝5·sin 30°＝5· sin 30° sin 60° cos 45° ＋cos 60° sin 45° 5 ＝5· ＝2( 6＋ 2). sin 30°
要点三已知两边及一边的对角解三角形
[知识链接] 下列说法中，正确的有________.
a (1)在直角三角形中，若C为直角，则sin A＝ . c (2)在△ABC中，若a＞b，则A＞B.
(3)在△ABC中，C＝π－A－B. (4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等. 2 π (5)在△ABC中，若sin B＝，则B＝ . 2 4
a sin A a sin A b sin B (2) ＝ . ，＝，＝ b sin B c sin C c sin C
(3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. (4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
a b c 跟踪演练1 在钝角△ABC中，如何证明仍然成立？ sin A＝sin B＝sin C
π (2)a＝2，c＝ 6 ，A＝ . 4 csin A 3 a c 解 ∵sin A＝sin C，∴sin C＝ a ＝ 2 .

2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理一学案新人教版

1．1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理 1．正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径． (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C. (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3．正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义： sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴c ＝asin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C． (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD ＝a sin__B ＝b sin__A ，∴a sin A ＝bsin B，同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.(3)在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝a sin(π－C )＝a sin__C ，BD ＝c sin__A ，故有a sin C ＝c sin__A ，∴a sin A ＝csin C，同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝BC ∶AC ∶AB .其中正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．题型一对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．反思与感悟 (1)定理的内容：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，在运用正弦定理进行判断时，要灵活使用定理的各种变形． (2)如果a b ＝c d，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)(合比定理)； a －b b ＝c －d d (b ，d ≠0)(分比定理)； a ＋b a －b ＝c ＋d c －d(a >b ，c >d )(合分比定理)；可以推广为：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ，那么a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n.跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A 答案 D解析在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0，1]， ∴1sin B≥1，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B≥b sin A .题型二用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，∴b ＝c sin B sin C ＝c sin （A ＋C ）sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝csin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法．首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边．(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D ．4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______．答案 (1)C (2)105°或15° 解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝bsin B得 b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22. ∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°. 题型三判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．解由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理得sin 2A sinB cos B ＝sin 2B sin Acos A.∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．反思与感悟 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如a b ＝sin A sin B等．跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．解由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．1．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．a sin C ＝c sin A 答案 D解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A .2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 答案 C解析由a sin A ＝bsin B 得sin A ＝a sin Bb＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.3．在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 D解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC是( ) A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30° 答案 C解析由题a cos B ＝b sin A ，又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°. 同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．5．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．答案 1解析由a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sinπ6sinπ6＝1.6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________．答案255210 解析由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sinC (k >0)．2．正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。

18版高中数学第一章解直角三角形章末分层突破学案新人教B版必修5

第一章解直角三角形[自我校对] ①a sin A ＝b sin B ＝csin C②已知两角和其中一边 ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ④已知三边 ⑤S ＝12ac sin B中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积.解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求角B 的大小；(2)若∠A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【精彩点拨】 (1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解.(2)先求角C ，然后利用正弦定理求边a ，c . 【规范解答】 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此∠B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin Asin B＝1＋ 3.由已知得，∠C ＝180°－45°－75°＝60°，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. [再练一题]1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求∠A 和tan B 的值.【解】由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因此∠A ＝60°.在△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝120°－∠B .由已知条件，应用正弦定理12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝－B sin B＝sin 120°cos B －cos 120°sin Bsin B＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12.提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b .c,4sin2A ＋B2－cos 2C ＝72，a ＋b ＝5，c ＝7.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积.【精彩点拨】 (1)先降幂，转化成cos C 的方程，求出cos C ，进而求出角C ；(2)由余弦定理列方程，得方程组，求出a ，b ，再求面积.【规范解答】 (1)由4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72，所以4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72.整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，所以∠C ＝60°.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab .①又因为a ＋b ＝5，所以a 2＋b 2＋2ab ＝25. ② ①②联立，解得ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.[再练一题]2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求∠C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.【解】 (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以∠C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又∠C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.在某海滨城市附近海面有台风，据监测，当前台风中心位于城市O (如图11)的东偏南θ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＝210方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭.图11【精彩点拨】设台风中心在t 小时后由P 到Q ，所以在△OPQ 中，OP ＝300，∠OPQ ＝θ－45°，PQ ＝20t ，可由余弦定理求出OQ .城市O 受到台风的侵袭，需满足条件OQ ≤10t ＋60，然后通过解不等式求出城市O 受到台风侵袭的时间.【规范解答】设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t ＋60)km ，若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60.由余弦定理，知OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2PQ ·PO cos∠OPQ .因为PO ＝300 km ，PQ ＝20t km ，cos∠OPQ ＝cos(θ－45°)＝cos θcos 45°＋sin θsin 45°＝210×22＋1－2102×22＝45，所以OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×45＝202t 2－9 600t ＋3002. 又因为OQ ≤10t ＋60，所以202t 2－9 600t ＋3002≤(10t ＋60)2，即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24.所以12个小时后该城市开始受到台风的侵袭. [再练一题]3.如图12，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长(精确到1米).图12【解】法一：设该扇形的半径为r 米，由题意，得CD ＝500米，DA ＝300米，∠CDO ＝60°.在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2·CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即5002＋(r －300)2－2×500×(r －300)×12＝r 2，解得r ＝4 90011≈445(米).法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于点H ，由题意，得CD ＝500米，AD ＝300米，∠CDA ＝120°.在△ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2·CD ·AD ·cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002，∴AC ＝700(米).cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝1114.在Rt△HAO 中，AH ＝350(米)，cos∠HAO ＝1114，∴OA ＝AHcos∠HAO ＝4 90011≈445(米).(2)通过角之间的关系判断形状.正弦定理、余弦定理在解题中起到将已知条件中的边、角互化，把条件化为边之间的关系或化为角之间的关系的作用.在△ABC 中，已知∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状.【精彩点拨】通过正弦定理，把2b ＝a ＋c 化边为角判断或通过余弦定理，利用cos B ＝12化角为边判断. 【规范解答】法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C . 因为∠B ＝60°，所以∠A ＋ ∠C ＝120°，所以∠A ＝120°－∠C .代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 整理，得32sin C ＋12cos C ＝1，即sin(C ＋30°)＝1.所以∠C ＋30°＝90°，∠C ＝60°. 所以∠A ＝60°.所以△ABC 为等边三角形.法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 代入b ＝12(a ＋c )，得14(a ＋c )2＝a 2＋c 2－2ac ·12.化简，得a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等腰三角形. 又因为∠B ＝60°，所以△ABC 为等边三角形. [再练一题]4.在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【解析】法一：若∠A ≤90°，则sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)≥1＞712，∴∠A＞90°，故选A.法二：∵sin A ＋cos A ＝712，∴(sin A ＋cos A )2＝49144，∴1＋2sin A ·cos A ＝49144，∴sin A ·cos A ＝－95288＜0.∵0°＜∠A ＜180°，sin A ＞0， ∴cos A ＜0,90°＜∠A ＜180°，故选A. 【答案】 A把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路.在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状.【精彩点拨】充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断.【规范解答】法一：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .又2cos A sin B ＝sin C ，所以cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2.所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2. 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 因此△ABC 为等边三角形.法二：因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B ). 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A －B )＝0.因为∠A 、∠B 均为三角形的内角，所以∠A ＝∠B . 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab . 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.因为0°<∠C <180°，所以∠C ＝60°. 因此△ABC 为等边三角形. [再练一题]5.已知△ABC 中，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c ＝c 2，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状.【解】由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，得a 3＋b 3－c 3＝c 2(a ＋b )－c 3，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝12，∴∠C ＝60°.由a cos B ＝b cos A ，得2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆的半径)， ∴sin(A －B )＝0，∴∠A －∠B ＝0，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形.1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3C.2D.3 【解析】由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.【答案】 D2.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则∠A ＝( )A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6【解析】 ∵b ＝c ，∴∠B ＝∠C . 又由∠A ＋∠B ＋∠C ＝π得∠B ＝π2－∠A 2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0<∠A <π，∴0<A 2<π2，∴cos A2≠0，∴cos A ＝sin A . 又0<∠A <π，∴A ＝π4.【答案】 C3.在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.【解析】在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴b c＝1. 【答案】 14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求∠B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值.【解】 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A . 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，所以∠B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：∠A ＝2∠B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值.【解】 (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又∠A ，∠B ∈(0，π)，故0<∠A －∠B <π，所以∠B ＝π－(∠A －∠B )或∠B ＝∠A －∠B ，因此，∠A ＝π(舍去)或∠A ＝2∠B ，所以∠A ＝2∠B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。

18学年高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教B版必修5

又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝ .
所以sinB＝＝ .
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcoห้องสมุดไป่ตู้B＋cosAsinB＝ .
所以c＝＝5.
解析：∵A＝30°，B＝120°，∴C＝30°，
由＝可得a＝＝＝4 ，c＝a＝4 ，
∴a＋c＝8 .
答案：8
9．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.
解析：∵A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，由＝可得：sinA＝＝＝ .
答案：A
2．在△ABC中，已知a＝3，B＝60°，cosA＝，则b＝()
A. B.
C. D.
解析：∵0<A<π，cosA＝，∴sinA＝，由正弦定理得b＝＝＝ .故选C.
答案：C
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝ b，则角A等于()
A. B.
C. D.
解析：∵2asinB＝ b，∴2sinAsinB＝ sinB.
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠A是钝角，∴只有一解；C中∠A是钝角且a<b，∴无解；D中bsinA<a<b，∴有两解．
答案：

2018版高中数学第一章解三角形 1.1.2 余弦定理同步精选测试新人教B版必修5

同步精选测试余弦定理(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形【解析】因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15＞0，所以能组成锐角三角形.【答案】 B2.△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )【导学号：18082060】A.19B.14C.－18D.－19 【解析】由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 【答案】 D3.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A.3B.2 2C.2D. 3【解析】由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则∠A ＝( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又∠A 为三角形的内角，∴∠A ＝30°.【答案】 A5.在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则∠B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a －c 2＋ac2ac＝a －c22ac＋12≥12， ∵0<∠B <π，∴∠B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.【答案】 A 二、填空题6.设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________.【导学号：18082061】【解析】 ∵2a －1＞0，∴a ＞12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a－1)2＜(2a ＋1)2，化简得0＜a ＜8.又∵a ＋2a －1＞2a ＋1，∴a ＞2， ∴2＜a ＜8. 【答案】 (2,8)7.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠A ＋∠C ＝________.【解析】由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .设sin A ＝5k ，sinB ＝7k ，sinC ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ， ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴∠B ＝π3，∴∠A ＋∠C ＝π－∠B ＝2π3.【答案】2π38.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，即4＋c －bc ＋b4c＝4＋c －b4c＝－14，∴8c －7b ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝7，8c －7b ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3.∴b ＝4.【答案】 4 三、解答题 9.在△ABC 中，(1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角. (2)b ＝6，c ＝2，∠B ＝60°，求a .【导学号：18082062】【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴∠C ＝120°.(2)法一：由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin C ＝c sin B b ＝2sin 60°6＝36＝22， ∴∠C ＝45°或∠C ＝135°. ∵b >c ，∴∠B >∠C ，又∵∠B ＝60°，∴∠C ＝45°. ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－24＝4＋23， ∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a . ∴a 2－2a －2＝0.解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值.【解】 (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717.[能力提升]1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，∠C ＝60°，则ba ＋c ＋ab ＋c的值为( )A.12B.22 C.1 D. 2 【解析】由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab ，所以a 2＋b 2＝ab ＋c 2，所以b a ＋c ＋ab ＋c ＝b b ＋c ＋a a ＋ca ＋cb ＋c＝b 2＋bc ＋a 2＋ac ab ＋ac ＋bc ＋c 2＝ab ＋c 2＋bc ＋ac ab ＋ac ＋bc ＋c 2＝1. 【答案】 C2.已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A.(5，5) B.(1, 5) C.(5，13)D.(13，5)【解析】三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13.【答案】 C3.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.【解析】由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 【答案】 14.在△ABC 中，∠C ＝2∠A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b 的值.【解】由正弦定理，得c a ＝sin C sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ，所以c a ＝32.又因为a ＋c ＝10，所以a ＝4，c ＝6. 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋2012b ＝34，解得b ＝4或b ＝5.当b ＝4时，因为a ＝4，所以∠A ＝∠B . 又因为∠C ＝2∠A ，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以∠A ＝π4，与已知cos A ＝34矛盾，不合题意，舍去.三当b ＝5时，验证可知满足题意. 所以b ＝5.本文档仅供文库使用。

2018版高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理同步精选测试新人教B版必修5

同步精选测试正弦定理(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.在△ABC 中，a ＝4，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B.23＋1 C.2 6D.2＋2 3 【解析】由已知及正弦定理，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝2 6.【答案】 C2.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150° 【解析】由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝23sin 30°2＝32.因为b ＞a ，所以∠B ＞∠A ，所以∠B ＝60°或∠B ＝120°.【答案】 B3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )【导学号：18082057】A.1∶2∶3B.1∶3∶2C.2∶3∶1D.3∶1∶2 【解析】设三角形内角A ，B ，C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90° ＝12∶32∶1＝1∶3∶2. 【答案】 B4.在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，cos A ＝cos C ，则△ABC 形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b ＝2R ·sin B ，a ＝2R ·sin A ，则3b ＝23a ·sin B 可化为： 3sin B ＝23sin A ·sin B . ∵0°<∠B <180°， ∴sin B ≠0， ∴sin A ＝32， ∴∠A ＝60°或120°，又cos A ＝cos C ， ∴∠A ＝∠C ， ∴∠A ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形. 【答案】 C 二、填空题5.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________.【导学号：18082058】【解析】由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知∠B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】636.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，∠C ＝π6，则b ＝________.【解析】在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<∠B <π，∴∠B ＝π6或∠B ＝56π.又∵∠B ＋∠C <π，∠C ＝π6，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π－π6－π6＝23π.∵asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1. 【答案】 17.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.【解析】由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A .又由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255.因为b ＝5，∠B ＝π4，根据a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.【答案】 210 三、解答题 8.在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C，试判断△ABC 的形状. 【导学号：18082059】【解】令asin A＝k ，由正弦定理得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C . 又∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形.9.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围. 【解】 (1)由a ＝2b sin A 及正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得∠B ＝π6.(2)cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形，知π2－∠B ＜∠A ＜π2. 又因为π2－∠B ＝π2－π6＝π3，所以2π3＜∠A ＋π3＜5π6，所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，所以32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，所以cos A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫32，32. [能力提升]1.在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A.4∶5∶6 B.6∶5∶4 C.7∶5∶3D.7∶5∶6【解析】设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.【答案】 C2.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin AD.a ≥b sin A【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故a sin B ≤a ，∴a ≥b sin A .故选D.【答案】 D3.△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长l ＝f (B )＝________.【解析】在△ABC 中，由正弦定理得ACsin B＝332，化简得AC ＝23sin B ，ABsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝332，化简得AB ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以三角形的周长为l ＝3＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3.【答案】 6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋34.在△ABC 中，已知c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 的值.【解】由正弦定理知sin B sin A ＝ba ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，即sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2∠A ＝π－2∠B ，即∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.。

高中数学第一章解直角三角形 1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算学业分层测评新人教B

2018版高中数学第一章解直角三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算学业分层测评新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章解直角三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算学业分层测评新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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三角形中的几何计算（建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1.已知在△ABC中，AB＝错误!,AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为（)【导学号：18082071】A.错误!B.错误!C。

错误!或错误! D.错误!或错误!【解析】由正弦定理错误!＝错误!，得sin C＝错误!，则∠C＝60°或120°，所以∠A＝90°或30°。

因为S△ABC＝错误!AB·AC sin A＝错误!sin A，所以S△ABC＝错误!或错误!.【答案】D2.在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!【解析】∵S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×1×c×sin 60°＝错误!，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×错误!＝13.∴a＝错误!.【答案】D3。

高中数学第一章解直角三角形 1.1.1 正弦定理学案新人教B版必修5(2021年最新整理)

2018版高中数学第一章解直角三角形1.1.1 正弦定理学案新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章解直角三角形1.1.1 正弦定理学案新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1。

1 正弦定理1.掌握正弦定理及基本应用.（重点)2.会判断三角形的形状。

(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数。

（难点、易错点）[基础·初探］教材整理1 正弦定理阅读教材P3~P4例1以上内容,完成下列问题。

判断(正确的打“√"，错误的打“×”）(1）正弦定理不适用于钝角三角形。

( )(2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立.( )(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则三角形是等腰三角形.( ）【解析】(1）×。

正弦定理适用于任意三角形.（2）√.由正弦定理知错误!＝错误!，即b sin A＝a sin B。

（3）√。

由正弦定理可知错误!＝错误!，即a＝b，所以三角形为等腰三角形。

【答案】(1)×(2）√（3)√教材整理2 解三角形阅读教材P4例1～P5例2，完成下列问题。

1。

一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3错误!，则AC＝________.【解析】由正弦定理得：错误!＝错误!，所以AC＝错误!＝2错误!。

[配套k12学习]2018高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1.1.1 正弦定理(二) Word版含答案

1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是．(1)在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则A ＝90°. (2)在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b .(3)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；反之，若A >B ，则sin A >sin B .(4)在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C. 答案 (2)解析对于(1)，由正弦定理可知，sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，故A ＝90°，故(1)正确．对于(2)，由sin 2A ＝sin 2B 可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故(2)错误．对于(3)，在△ABC 中，sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，故(3)正确．对于(4)，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C，所以a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C，故(4)正确． [预习导引]1．正弦定理的常见变形(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R . (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(3)sin2α＝2sin αcos α.要点一利用正弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解方法一在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴(a 2R )2＝(b 2R )2＋(c 2R)2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12. ∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°.∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C .∴△ABC 是等腰直角三角形．规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B. 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．要点二利用正弦定理求最值或范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．解设R 为△ABC 外接圆的半径．∵a ＝2b sin A ，∴2R sin A ＝4R sin B sin A ，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6. 令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin [π－(B ＋A )]＝cos A ＋sin(π6＋A ) ＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π3)．由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2. ∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin(A ＋π3)<32， ∴32<3sin(A ＋π3)<32，即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是(32，32)．规律方法在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪演练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c b 的取值范围．解因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1. 因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<c b <2.要点三正弦定理与三角变换的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)． ∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A ＋sin(2π3－A )＝3， ∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3， ∴sin(A ＋π6)＝1. ∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2. ∴A ＝π3，C ＝π3，即A ＝B ＝C . ∴△ABC 是等边三角形．规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．跟踪演练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．解设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B . 由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )A. 45°B. 30° C ．75° D ．90°答案 C解析由正弦定理，得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝ . 答案 0解析由于a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝(a sin A －b sin B )＋(a sin A －c sin C )＝0. 4．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．解 a ＝23，b ＝6，a ＜b ，A ＝30°＜90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a ＞b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．。

2018版高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制学业分层测评新人教版

1.1.2 弧度制(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．－25π6的角是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【解析】因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角．【答案】 D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143π B ．－143πC.718π D ．－718π【解析】分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是：－4π－13×2π＝－143π.【答案】 B3．圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2cm 2C ．π cm 2D ．3π cm 2【解析】 15°＝π12，则S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝3π2(cm 2)．【答案】 B4．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关．【答案】 D5．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界)．故选C.【答案】 C 二、填空题6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________．【解析】法一：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad＝－196π rad ，∴－196π＝－4π＋56π.法二：－570°＝－2×360°＋150°， ∴－570°＝－4π＋56π.【答案】－4π＋56π7．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________ rad ，扇形面积是________. 【导学号：00680005】【解析】由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r＝π－rr＝π－2(rad)，扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2)．【答案】 π－2 2(π－2) 三、解答题8．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.9．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值．【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝lr＝2(rad)．故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40，得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D.2sin 1【解析】设圆的半径为R ，则sin 1＝1R，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1. 【答案】 D2．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【导学号：70512004】【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－3.。

2018版高中数学第一章解三角形1_1_2余弦定理一学案新人教B版必修5

- 让每一个人同等地提高自我余弦定理(一)学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2. 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一余弦定理的推导思虑 1 依据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－ 2ab cos C．①试考证①式平等边三角形还成立吗？你有什么猜想？思虑 2 在c2＝a2＋b2－ 2ab cos C中，ab cos C能解说为哪两个向量的数目积？你能由此证明思虑 1 的猜想吗？梳理余弦定理的发现是鉴于已知两边及其夹角求第三边的需要．由于两边及其夹角恰巧是确立平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示从而求出模长．此外，也可经过结构直角三角形，应用勾股定理或成立坐标系利用两点间的距离公式证明余弦定理．知识点二余弦定理的体现形式1．a2＝________________ ，b2＝ __________________ ，c2＝________________.2． cos ____ ＝b2＋ c2－ a2 2bc；- 让每一个人同等地提高自我cos ____ ＝c2 ＋ a2 －b2 ；2caa2 ＋ b2 －c2.cos ____ ＝2ab知识点三适合用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思虑 1 察看知识点二第 1 条中的公式结构，此中等号右侧波及几个量？你以为可用来解哪种三角形？思虑 2 察看知识点二第 2 条中的公式结构，此中等号右侧波及几个量？你以为可用来解哪种三角形？梳理余弦定理合适解决的问题：(1) 已知两边及其夹角，解三角形；(2) 已知三边，解三角形．种类一余弦定理的证明例 1已知△ ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.反省与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要察看公式两边的结构特点，联系已经学过的知识，看有没有相像的地方．追踪训练 1 例 1 波及线段长度，能不可以用分析几何的两点间距离公式来研究这个问题？- 让每一个人同等地提高自我种类二用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例 2如图，在△ ABC中，已知a＝5， b＝4，∠ C＝120°，求 c.反省与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理下手求出第三边，再利用正弦定理求其他的角．追踪训练2在△ ABC中，已知a＝2， b＝22，C＝15°，求A.命题角度2已知三边例 3在△ ABC中，已知a＝3， b＝2， c＝19，求此三角形各个角的大小及其面积( 精准到0.1) ．b2＋ c2－a2a2＋ c2－b2 反省与感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A＝ 2 ，cos B＝ 2ac ，bcb2＋ a2－ c2cos C＝求一个角，求其他角时，可用余弦定理也可用正弦定理．2ba追踪训练3在△ ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．31．一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值是－5，则三角形的另一边长为 () A．52 B ．2 13 C ．16 D ．42．在△ABC中，a＝ 7，b＝4 3，c＝13，则△ABC的最小角为 ( )ππππA. 3B. 6C. 4D. 123．假如等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( )5 3 3 7A. 18B. 4C. 2D. 84．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A cos B cos Ca ＝b ＝c ，则△ ABC是 ( )A．等边三角形B．直角三角形，且有一个角是30°C．等腰直角三角形D．等腰三角形，且有一个角是30°1．利用余弦定理能够解决两类相关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的随意一角．2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理能够看作是勾股定理的推行，勾股定理能够看作是余弦定理的特例．(1)假如一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)假如一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点一思虑 1当a＝b＝c时，∠ C＝60°，a2＋ b2－2ab cos C＝c2＋ c2－2c·c cos 60°＝ c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有 c2＝ a2＋ b2－2ab cos C.思虑 2→→→→→→ab cos C＝| CB | ·|CA |cos CB， CA ＝ CB·CA.∴a2＋b2－2ab cos C→2→2 →→＝ CB＋CA－2CB· CA→→2→2＝( CB－CA) ＝AB＝ c2.猜想得证．知识点二1．b2＋c2－ 2bc cos A c2＋ a2－2ca cos B a2＋ b2－2ab cos C2．A B C知识点三思虑 1 每个公式右侧都波及三个量，两边及其夹角．故假如已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．思虑2每个公式右侧都波及三个量，即三角形的三条边，故假如已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．题型研究种类一例 1解→→如图，设 CB ＝a， CA ＝ b，→A B ＝c，→→→由 AB ＝ CB － CA ，知 c＝a－b，则 | c| 2＝c·c＝( a－b) ·(a－b)＝a·a＋ b· b－2a· b＝a2＋b2－2| a|| b|cos C.所以 c2＝ a2＋ b2－2ab cos C.追踪训练1解如图，以 A 为原点，边AB所在直线为x 轴成立直角坐标系，则 A(0,0)，B( c, 0)，C( b cos A， b sin A)，22222 2∴ BC＝b cos A－2bc cos A＋ c ＋b sin A，即 a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证 b2＝ c2＋ a2－2ca cos B，c2＝ a2＋ b2－2ab cos C.种类二命题角度 1例 2解由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2ab cos 120°，所以 c＝2 2 1 5 ＋ 4 －2×5×4× －2＝ 61.追踪训练 2 A＝30°命题角度 2例 3 解如图，由余弦定理，得a2＋ b2－ c2 32＋ 22－19 2 cos C＝ 2 ＝2×3×2ab＝9＋ 4－ 19＝－ 1，12 2所以∠ C＝120°.再由正弦定理，得3sin A＝a sin C 3×2c＝193 3＝≈0.596 0 ，2 19所以∠ A≈°或∠ A≈°(不合题意，舍去) ．所以∠ B＝180°－∠ A－∠ C≈°.设 BC边上的高为AD，则AD＝ c sin B＝°≈ 1.73.1所以△ ABC的面积为2×3×≈2.6. 追踪训练3三角形为钝角三角形当堂训练1． B。

2018版高中数学第一章解三角形单元精选检测新人教B版必修5

第一章解三角形单元精选检测(一) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设A 是△ABC 的最小角，则sin A ＋cos A 的取值范围是( )【导学号：18082128】A.(－2，2)B.[－2，2]C.(1，2)D.(1，2]【解析】 sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.∵∠A 是△ABC 的最小角，∴0＜∠A ＜π3，∴π4＜∠A ＋π4＜7π12，∴22＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1,1＜sin A ＋cos A ≤ 2. 【答案】 D2.在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】由余弦定理得AB 2＝9＋AC 2－2×3×AC ×cos 120°＝13，∴AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1(AC ＝－4＜0舍去).【答案】 A3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) A.(8,10) B.(22，10) C.(22，10)D.(10，8)【解析】设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cosA <12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2，∴22<a <10. 【答案】 B4.已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A.2 2B.8 2C. 2D.22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.【答案】 C5.△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴∠C ＝π3.【答案】 B6.在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( )A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠CC.∠B ＝∠CD.∠A ＝∠B ＝∠C【解析】由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴∠B －∠C ＝0，即∠B ＝∠C . 【答案】 C7.一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )【导学号：18082129】图1A.210 mmB.200 mmC.198 mmD.171 mm【解析】连接AB ，则∠BAC ＝90°－α＝40°，∠ABC ＝90°－β＝20°，∴∠C ＝180°－40°－20°＝120°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos 120°＝902＋1502－2×90×150×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝44 100，∴AB ＝210，故DE ＝210 mm.【答案】 A8.如图2所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD ＝( )图2A.3B. 3C. 2D.1【解析】 ∵AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BAD ＋π2＝cos∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.【答案】 B9.已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形D.直角三角形【解析】由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b ＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10.在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则∠A ＝( )【导学号：18082130】A.30°B.60°C.120°D.150° 【解析】由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°. 【答案】 C11.在△ABC 中，∠A ∶∠B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34D.0 【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线，∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等.∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等.∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32.由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵∠B ＝2∠A ，∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A.a ＝8，b ＝16，∠A ＝30°，有两解 B.b ＝18，c ＝20，∠B ＝60°，有一解 C.a ＝5，c ＝2，∠A ＝90°，无解 D.a ＝30，b ＝25，∠A ＝150°，有一解【解析】 A 中，sin B ＝168sin 30°＝1，∴∠B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c ＞b ，∴∠C ＞∠B ，故有两解；C 中，∵∠A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A ，B ，C 都不正确.所以选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________.【解析】 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，且∠C 为钝角.∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0.故a 2＋b 2<c 2. 【答案】 a 2＋b 2<c 214.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.【解析】由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝2π3.【答案】2π315.在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________.【导学号：18082131】【解析】设∠A ＝θ⇒∠B ＝2θ.由正弦定理得AC sin 2θ＝BC sin θ，∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3). 【答案】 2 (2，3)16.如图3，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD＝433，则cos∠C ＝________.图3【解析】由条件得cos∠ABC ＝13，sin∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos∠ADB ＝－cos∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，②联合①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.【答案】 79三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B .【解】 (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以∠B ＝45°. 18.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值. 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<∠B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4， ∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.19.(本小题满分12分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值. 【解】 (1)由余弦定理及题设得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0＜∠A ＜3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.20.(本小题满分12分)如图4所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile.问乙船每小时航行多少海里.图4【解】如图所示，连接A 1B 2. 因为A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，所以A 1A 2＝A 2B 2.又因为∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形. 所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 又因为A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝10 2.所以乙船的速度为1022060＝302(n mile/h).答：乙船每小时航行302n mile.21.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ，∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴absin A sin Bsin C ＝2，由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积.【导学号：18082132】【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0，解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

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正弦定理
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在△ABC 中，a ＝4，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B.23＋1 C.2 6
D.2＋2 3 【解析】由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b
sin 60°
，
∴b ＝4sin 60°
sin 45°＝4×
322
2
＝2 6.
【答案】 C
2.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A.60° B.60°或120° C.30°
D.30°或150° 【解析】由a sin A ＝b
sin B ，得sin B ＝
b sin A a ＝23sin 30°2＝3
2
.因为b ＞a ，所以∠B ＞∠A ，所以∠B ＝60°或∠B ＝120°.
【答案】 B
3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )
【导学号：18082057】
A.1∶2∶3
B.1∶3∶2
C.2∶3∶1
D.3∶1∶2 【解析】设三角形内角A ，B ，C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90° ＝12∶3
2∶1＝1∶3∶2. 【答案】 B
4.在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，cos A ＝cos C ，则△ABC 形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】由正弦定理知b ＝2R ·sin B ，a ＝2R ·sin A ，则3b ＝23a ·sin B 可化为： 3sin B ＝23sin A ·sin B . ∵0°<∠B <180°， ∴sin B ≠0， ∴sin A ＝
32
， ∴∠A ＝60°或120°，又cos A ＝cos C ， ∴∠A ＝∠C ， ∴∠A ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形. 【答案】 C 二、填空题
5.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________.
【导学号：18082058】
【解析】由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知∠B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×
223
2
＝6
3.
【答案】
6
3
6.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，∠C ＝π
6
，则
b ＝________.
【解析】在△ABC 中，∵sin B ＝1
2，0<∠B <π，
∴∠B ＝π6或∠B ＝5
6
π.
又∵∠B ＋∠C <π，∠C ＝π6，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π－π6－π6＝2
3
π.
∵
a
sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A
＝1. 【答案】 1
7.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π
4
，tan A ＝2，则a ＝________.
【解析】由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A .又由sin 2A ＋cos 2
A ＝1，得sin A ＝255.
因为b ＝5，∠B ＝π4，根据a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝25
2
2
＝210.
【答案】 210 三、解答题 8.在△ABC 中，已知
a cos A ＝
b cos B ＝c
cos C
，试判断△ABC 的形状. 【导学号：18082059】
【解】令
a
sin A
＝k ，由正弦定理得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C
cos C ，
即tan A ＝tan B ＝tan C . 又∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)，
∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形.
9.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小；
(2)求cos A ＋sin C 的取值范围. 【解】 (1)由a ＝2b sin A 及正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝1
2.
由△ABC 为锐角三角形，得∠B ＝π
6.
(2)cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋A
＝cos A ＋12cos A ＋3
2
sin A
＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形，知
π2－∠B ＜∠A ＜π
2
. 又因为π2－∠B ＝π2－π6＝π
3，
所以2π3＜∠A ＋π3＜5π
6，
所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，
所以
32＜3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜3
2，
所以cos A ＋sin C 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，32. [能力提升]
1.在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A.4∶5∶6 B.6∶5∶4 C.7∶5∶3
D.7∶5∶6
【解析】设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52
k ，
c ＝3
2
k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.
【答案】 C
2.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin A
D.a ≥b sin A
【解析】由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，
故a sin B ≤a ，∴a ≥b sin A .故选D.
【答案】 D
3.△ABC 中，∠A ＝π
3，BC ＝3，则△ABC 的周长l ＝f (B )＝________.
【解析】在△ABC 中，由正弦定理得
AC
sin B
＝
332
，化简得AC ＝23sin B ，
AB
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝
33
2
，
化简得AB ＝23sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3－B ，
所以三角形的周长为
l ＝3＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
B ＋π6＋3.
【答案】 6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3
4.在△ABC 中，已知c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝4
3，求a ，b 的值.
【解】由正弦定理知sin B sin A ＝b
a ，
∴
cos A cos B ＝sin B
sin A
，即sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .
又∵a ≠b ，∴2∠A ＝π－2∠B ，即∠A ＋∠B ＝π
2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝π
2
，
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋b 2
＝102
，b a ＝4
3
得a ＝6，b ＝8.。