江苏省金湖中学高一数学周练(3)

江苏省金湖中学高一数学周练（3）
一、填空题：
1．2
12sin 15-= ．
2．求值：
︒
-︒10cos 3
10sin 1 = ．
3．等差数列{}n a 中，155=a ，则8642a a a a +++的值为 ．
4．在ABC ∆中，已知,,a b c 分别,,A B C ∠∠∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量
222(4,),(1,)p a b c q S =+-=r r
，满足//p q r r ，则C ∠= ．
5．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个
数列有 项．
6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1,45a B =∠=，ABC ∆的面积
2S =，那么ABC ∆的外接圆的直径为 ．
7．设βαβα,,10
10=sin ,55=sin 为锐角，则αβ+= ．
8．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60方向，行驶4h 后船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为 km ．
9．若0
tan70tan50tan70tan50λ++=λ= ．
10．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B
，sin(B －A )＝cos C ．则
B ＝________.
11．数列{}n x 满足1221,3x x ==
，且()111122n n n
n x x x -++=≥，则10x = ． 解：因为等差中项定义()11112
2n n n
n x x x -++=≥可得
数列12
111111
=12n d x x x x ⎧⎫-=⎨
⎬⎩⎭是首项，公差=的等差数列. 110111111(1)1(1)=.22221122===2111
n n n n n d n n x x n x x x n +=+-=+-=++⇒⇒+
12．对于ABC ∆，有如下命题：
①若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形； ②若sin cos A B =，则ABC ∆为直角三角形；
③若2
2
2
sin sin cos 1A B C ++<，则ABC ∆为钝角三角形； ④若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆为锐角三角形． 则其中正确命题的序号是 ．
③2222222
sin sin cos 1sin sin 1cos sin C A B C A B C ++<⇒+<-=
222222sin sin sin C A B a b c +<⇒+<
④tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=>
13．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA
＝4，则四边形ABCD 的面积为________．
14．若在ABC ∆中，
sin sin sin b a B
a B A
+=-，且cos 2cos 1cos()C C A B +=--， 则ABC ∆的形状为 ．
二、解答题
15.已知数列{a n }和{b n }是两个无穷等差数列，公差分别为d 1，d 2， 求证：数列{a n + b n }是等差数列，并求其公差.
16.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． （Ⅱ）若()065f x =
，0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．求0cos 2x 的值．
17. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．
⑴ 求角B 的值；
⑵ 若5b =，求ABC ∆周长的取值范围．
18.如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，
AD 是BAC ∠平分线.
（1）求证：2DC BD =； （2）求AB DC ⋅的值.
B A
C
D （第17题图）
19.在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB ·AC ＝50.
(1)求cos ∠BAC 的值；
(2)求sin ∠CAD 的值； (3)求△BAD 的面积．
20. 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道
FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口
H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上.已知20AB =米，AD =米，记BHE θ∠=.
（Ⅰ）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；
（Ⅱ）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.
解：（1）EH=10cosθ，FH=10
sinθ
………………………………………………………………2分
EF=10sinθcosθ ……………………………………………………………………4分
由于BE=10tanθ≤103, AF=10tanθ≤10 3 故33≤tanθ≤3,θ∈[π6,π
3]………………………5分
L =
10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ，θ∈[π6,π
3
].……………………………………………………6分 (2)L =10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10(sinθ+cosθ+1sinθcosθ
)
设sin θ+cos θ=t 则sin θ•cos θ=t 2-1
2………………………………………………………12分
由于θ∈[π6,π3]，所以t=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)∈[3+1
2, 2]…………………………14分
L=
20t -1在[3+12
, 2]内单调递减， 于是当t=
3+12时，即θ=π6,θ=π
3
时L 的最大值20(3+1)米. ……………………………15分 答：当θ=π6或θ=π
3时所铺设的管道最短，为20(3+1)米.…………………………………16分。