人教版数学九年级上册教案：21.2.4 一元二次方程的根与系数关系
21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案2021-2022学年九年级数学人教版上册
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.二、教学重难点重点掌握一元二次方程的根与系数的关系.难点一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.重难点解读在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.（2）使用x 1+x2=ba时，“-”不要漏写.（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.三、教学过程活动1 旧知回顾提出问题：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.活动2 探究新知1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.2.教材第15页 第1个思考. 提出问题：（1）把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为一般形式后的方程是什么？（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？ （3）由此可知，方程x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？ 3.教材第15页 第2个思考. 提出问题：（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？（2）由求根公式可知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，两根分别为x 1=242bb ac a，x 2=242bb aca.观察两式右边，分母相同，分子是-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x 1+x 2=__________，x 1x 2=___________.（3）由此你能说出方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有怎样的关系吗？把方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两边同时除以a ，能否得出该结论？为什么？ 活动3 知识归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系： x 1+x 2=b a ，x 1x 2= ca. 提出问题：（1）方程的根是由什么决定的？（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0呢？为什么？活动4 典例赏析及练习 例1 教材第16页 例4.例2 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax 2-ax-2a=0（a ≠0）.例3 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 变式一：已知方程x 2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2-5x+k=0的两根互为倒数，求k. 【答案】解：由两根之积，得-3k=92，解得k=32；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=2k，解得k=2. 练习：1.教材第16页 练习.2.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= -3 . 3.两根均为负数的一元二次方程是（ C ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=04.已知关于x 的方程x 2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求1+1的值.【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k ，∴1+1=(1)(1)(1)(1)=21=2212kk=2.活动5 课堂小结1.若方程x 2+px+q=0有两个实根x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x 1+x2=ba，x1x2=ca.3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.四、作业布置与教学反思。
九年级数学人教版上册课件：第21章 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
；(5)
x1 x2
＋
x2 x1
＝
x21＋x22 x1x2
＝
x1＋xx212x－2 2x1x2；(6)|x1－x2|＝ x1－x22＝ x1＋x22－4x1x2.
2．在利用根与系数的关系求方程中待定系数的值时，必须使Δ＝b2－
4ac≥0.
5
3 1．已知α、β是方程5x2－3x－7＝0的两根，则α＋β＝ 5 . 2．设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α·β＝ －7 .
4
【方法归纳】
1．根据根与系数的关系求值，要将方程两根化为两根之和或两根之积的
形式．(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)(x1＋
1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；(4)
1 x1
＋
1 x2
＝
x1＋x2 x1x2
3
【规范解答】 由题意知：x1＋x2＝2a，x1x2＝a2－2a＋2，因为x21＋x22＝(x1 ＋x2)2－2x1x2＝(2a)2－2(a2－2a＋2)＝2a2＋4a－4＝2，所以a2＋2a－3＝0， 解得a1＝－3，a2＝1.当a＝－3时，原方程变为x2＋6x＋17＝0，Δ＝62－ 4×1×17＝－32＜0，方程无实数根，a＝－3应舍去．当a＝1时，原方程 变为x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，方程有实根，所以a＝1.
b a
＋
ab的值是( A )
A．7
B．－7
C．11
D．－11
11．已知m、n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n ＝8.
12．方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1、x2满足x21＋x22＝4，则k的 值为 1 .
一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)
21.2 .4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
因此本节课起着承上启下的作用。
二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。
三、教学目标：(一)知识与技能了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。
(二)过程与方法通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
(三)情感态度价值观在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。
四、教学策略教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。
教学工具：ppt课件、白板笔。
五、重点难点：重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：探索发现一元二次方程根与系数关系六、教学过程：教学环节教师活动学生活动设计意图（一）创设情境（3分钟）1、问：操场的长和宽满足一元二次方程2x2-400x +15000= 0的两个根，如果方程的两个根为x1、x2，你能用x1、x2表示操场的周长和面积并求出来么？2、用以前的方法解这个方程求出两个根很麻烦，是否还有别的方法---不解方程也能迅速求出操场的周长和面积？----要解决这学生能表示矩形周长=（x1+x2）×2，面积=x1x2，，并用以前的方法解方程，从而得出操场的周长和面积。
人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教案设计
人教版九年级数学第二十一章2.4节21.2.4 一元二次方程的根与系数关系一教学目标知识与技能：1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程2.掌握一元二次方程根与系数的关系3.能够不解方程，应用根与系数关系解决问题过程与方法：1.通过学生探究、发现根与系数的关系，培养学生观察能力，思考归纳概括能力和探究精神2.通过探究学习，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的解决问题的思路。
3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动，发展推理能力，培养创新精神。
情感态度与价值观：1.通过情境教学，激发学生的求知欲望，培养积极的学习态度2.通过对根与系数之间的关系探究，体会事物之间的联系，更好的认识世界。
3.体验教学活动充满着探究和创造，享受成功快乐。
二教学重点难点重点：一元二次方程根与系数关系及应用难点：探究根与系数之间关系过程三 教学过程教师准备：多媒体课件1-4 学生准备：预习学习内容 1.新课导入课件1 完成下列表格2.新知构建 一 探究活动观察以上表格，思考问题 ⑴通过观察你发现了什么规律？ ⑵语言叙述你发现的规律？ ⑶设x ²+px+q=0的两根为x ₁，x ₂ 用式子表示发现的规律【师生活动】：小组讨论，共同探究，对有困难学生进行指导 二 探究活动 课件2 完成下列表格填表，思考下列问题：⑴上面发现的结论在这里成立吗？⑵你能发现两根之和、两根之积与方程的系数有何关系？ ⑶用语言表述你的发现。
⑷进一步猜想：方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）的根x ₁，x ₂与a ，b ，c 之间的关系 ⑸你能证明上面的猜想吗？【师生互动】：小组合作交流，公同探究，教师及时指导学生把证明过程写板书。
课件3：一元二次方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）a2ac 4b b x 21-+-= a 2ac 4b b x 22---=∴ x ₁+x ₂=a 2ac 4b b 2-+-+a 2ac 4b b 2--- = -abx ₁• x ₂=a 2ac 4b b 2-+- • a 2ac 4b b 2--- = ac【设计意图】：学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程，使学生既动手、动脑又动口，教师引导启发，体现学生的主体学习特征，培养学生的创新精神。
新人教版九年级数学上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案
新人教版九年级数学上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=03.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=,c=. 2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是,k的值是.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
人教版九年级上册数学教案设计：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(第一课时)
四、作业：
1．
六、教学板书
一元二次方程根与系数的关系：
x1
（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．
此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．
方法（二）∵2是方程5x2+kx-6=0的根，
∴5×22＋k×2-6＝0，∴k＝-7．
∴原方程可变为5x2-7x-6=0
课题名称：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）
年级学科
九年级
教材版本
人教版
一、教学内容分析
一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项
人教版数学九年级上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
c.通过分组讨论和教师引导，让学生在解决含参数的一元二次方程时，学会分类讨论，并掌握一般解题步骤。
-举例解释：例如，在解决“一个数的平方比这个数多3，求这个数”的问题时，学生需要将问题转化为方程x^2 - x - 3 = 0，并运用根与系数关系来得出答案。对于含有参数的方程，如ax^2 + bx + c = 0，学生需要讨论a、b、c的取值对根的影响，以及如何根据不同情况进行求解。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核知识：一元二次方程的根与系数的关系，包括根的判别式Δ、根与系数的关系公式。
-学生需掌握的内容：
a.理解并记住根的判别式Δ= b^2 - 4ac的含义及其与方程根的关系。
b.掌握根与系数的关系公式：x1+x2=-b/a和x1x2=c/a，并能够灵活运用。
c.能够通过根与系数的关系解决实际问题，如给定方程的一个根，求另一个根或系数等。
3.通过具体例题，让学生掌握运用根与系数的关系解决实际问题，提高解题能力。
本节课的重点是让学生掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用此关系解决相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生发现并证明一元二次方程的根与系数之间的关系，提高学生运用逻辑推理解决问题的能力。
人教数学九年级上册21.2.4：一元二次方程的根与系数关系 教学设计
《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析学生已经学习了完一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课进一步的学习，使学生了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系及其应用.难点：探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）. 【设计意图】通过复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。
问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。
问题3：（1）填写上表后思考：①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程x 2-4x-7=0的根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= ; 已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= .已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= . [答案]4，-7；-3，-5；23，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？ [回答]若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .③如何证明以上发现的规律呢？[论证结论]教师与学生共同整理证明过程： 证明：当Δ>0时，由求根公式得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝ca ； 当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b2a .所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15； （2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=39-； （3）方程化为4x 2-5x+1=0，∴x 1+x 2=45，x 1·x 2=41. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )A ．－4B ．－1C ．1D ．4变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值． [解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1， ∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教案
人教版数学九年级上第四课时教学设计课题21.2.4解一元二次方程单元第二十一章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
能力目标学生经历探索、尝试发现一元二次方程根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
知识目标 1.了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用；2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
重点一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用。
难点发现一元二次方程根与系数的关系。
学法探究学习、合作交流法教法启发引导、归纳推理教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习引入1. 一元二次方程的求根公式是什么？2. 方程的两根x1，x2与系数a，b，c还有其他关系吗？一元二次方程的求根公式：求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反应了根与系数之间的关系。
出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题。
通过温故知新，创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。
讲授新课二、探究新知1.填表、观察、猜想启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系. 学生通过去括号、合并得到一般形式的一元通过思考问题，让学生知道二次项系问题：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：x2-6x-15=02.启发：如果方程二次项系数不为1呢？表2:填表、观察、猜想问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）ax2+bx+c=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)3x2+7x-9=0 (2)5x-1=4x23.总结归纳：一元二次方程的根与系数的关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
人教版九年级数学上册教案：21.2.4韦达定理
武陟县实验中学教育集团群体智慧教学活动案学 科 数学 级九级设计者苗小林 授课人：刘小娟时 间 9.7课 题 一元二次方程根与系数的关系计划学时1重 点 理解根与系数的关系及应用课 标 要 求 知道一元二次方程根与系数的关系课 时 目 标 掌握一元二次方程根与系数的关系，能够灵活解决一些简单的有关的一元二次方程问题。
引 桥 突 破 公式法的求根公式教 法 先学后用，学用结合 学 法 先学后用，学用结合教学内容 及过程群体智慧设计个性化批注一 ：温故知新：一元二次方程的一般式：(a,b,c 为常数，a≠0）一元二次方程的解法：直接开平方法， 配方法， 公式法，因式分解法一元二次方程的求根公式： (a ≠0, b2-4ac ≥0)二：探知求疑1.阅读提示（阅读教材15——16页） 小组交流重点内容和困惑。
2. 完成基训课前预习和课堂练习。
3. 学生扮演课堂练习5和课后训练2里的五个小题。
4.归纳韦达定理：通过三个提问，复习旧知，做好铺垫。
学生自主完阅读课本，动手推到公式。
总结规律，得出韦达定理。
20ax bx c ++=X=20ax bx c ++=两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,用式子表示你发现的规律为X1+x2 = X1x2=注意事项：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式，（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
三：巩固提高不解方程求下列方程两个根的和与积X2-3x=15 3x2+2=1-4x5x2-1=4x2+x 2x2-x+2=3x-1判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2）x2+2=0两根之和0，两根之积2。
3）x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四：探究内化已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（）A．1B．C．2D．关于x的一元二次方程3x²-5x+ (m-1)=0，当m =___时，方程的两根为互为倒数.拓展延伸已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2，且X12+X22 = 4，求k的值。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2）学生口答：2(40).2b b ac x b ac a-±=-≥2.如何用判别式b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？学生口答：对一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a≠0).b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b 2-4ac<0时,方程无实数根.想一想：方程的两根x 1和x 2与系数a、b、c 还有其他关系吗？（二）探索新知探究根与系数的关系填表，观察、猜想（出示课件4）方程x 1,x 2x 1+x 2x 1·x 2x 2-2x +1=0x 2+3x -10=0x 2+5x +4=0你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.出示课件5：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？教师引导：归纳结论：（出示课件6）如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则:x1+x2=-p,x1·x2=q.教师问：如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7）方程x1,x2x1+x2x1·x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.师生共同归纳：（出示课件8）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=-ba ,x1·x2=ca.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.请同学用求根公式证明.（一生板演）教师问：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？强调：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.出示课件9,10：例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.学生思考后，共同解答如下：解：⑴这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1·x2=6.⑵这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=32,x1·x2=-1.出示课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积：①x2+3x-1=0；②2x2-4x+1=0.学生自主思考并解答.解：⑴x1+x2=-3,x1·x2=-1.⑵原方程可化为：2122=+-xxx1+x2=2,x1·x2=1 2 .出示课件12：例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.学生思考后，共同解答如下：解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=6, 5-即：x2=3, 5-由于x1+x2=2+3 ()5-=,5k-得：k=－7.答：方程的另一个根是3,5-k=－7.出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.学生自主思考并解答.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x1·2＝3k,即2x1＝－6.∴x 1＝－3.答：方程的另一个根是－3,k 的值是－2.出示课件14：例3不解方程，求方程2x 2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x 1+x 2和x 1·x 2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.师生共同解答如下：解：根据根与系数的关系可知：121231,.22+=-⋅=-x x x x ()()22212112212,∵+=++x x x x x x ∴()2221212122+=+-x x x x x x 21331;4222⎛⎫⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121132.2312+⎛⎫⎛⎫+==-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭x x x x x x 出示课件15：设x 1,x 2为方程x 2-4x+1=0的两个根，则:⑴x 1+x 2=,(2)x 1·x 2=,(3)=-221)(x x ,(4)=+2221x x .学生自主解答后，口答：⑴4；⑵1；⑶12；⑷14.出示课件16：例4设x 1，x 2是方程x 2-2(k-1)x+k 2=0的两个实数根，且x 12+x 22=4，求k 的值.教师分析：将x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2，代入x 12+x 22=4可求出k 值.此时需用Δ=b 2-4ac 来判断k 的取值，这是本例的关键.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k -1）2-4k 2≥0即-8k +4≥0.∴.21≤k 由根与系数的关系得x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(k -1)2-2k 2=2k 2-8k +4.由x 12+x 22=4，得2k 2-8k+4=4,解得k 1=0,k 2=4.经检验，k 2=4不合题意，舍去.师生共同总结归纳如下：（出示课件17）12111.x x +=1212;x x x x +2221212122.()2;x x x x x x +=+-12213.x x x x +221212x x x x +=2121212()2;x x x x x x +-=124.(1)(1)x x ++=1212()1;x x x x +++125.x x -==教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.出示课件18：当k 为何值时，方程2x 2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.学生自主思考并解答.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，由根与系数的关系得x1+x2=12k+，x1x2=32k+.∴（12k+）2-4×32k+=1.解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.（三）课堂练习（出示课件19-25）1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2B．1C．2D．02.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=,q=.4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2).2112xxxx+7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.参考答案：1.D2.32；-33.1；-24.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x 1,则：1×x 1=16.3c a =∴x 1=16.35.解：(1)根据根与系数的关系12,x x k +=-121.2k x x -=得(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=1()14,2k k -+-+=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以127,x x +=12 4.x x =-则：222121212()()474(4)65.x x x x x x -=+-=-⨯-=6.解:根据根与系数的关系得：12124, 1.3b c x x x x a a +=-=-⋅==-（1）(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=44(-1)1;33-++=-（2）222211212121212123492x x x x x x x x x x x x x x +++===-（）-.7.解：设方程两根分别为x 1,x 2(x 1>x 2)，则x 1-x 2=1,由根与系数的关系，得,221k x x =+,2121=∙x x ∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1,∴1,21422=⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∴3,22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∵△＞0,∴=±k 8.解：(1)方程有实数根，24b acD =-＝（-2m ）2-4m （m -2）22448m m m=-+＝8m ≠0∴m 的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x 1,x 2，∴.22,2121mm x x x x -=⋅=+∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，∴1.2422=-⨯-m m 解得m=8.经检验m=8是原方程的解．（四）课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。
人教版九年级上册数学教案：21.2.4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
3、情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：根与系数关系的发现及运用。
教学过程：一创设情境，激发探究欲望温故知新：1一元二次方程的一般式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)2一元二次方程的求根公式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0，则x=a acb b24 2-±-它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？导入：一元二次方程根与系数的关系二、合作交流，探究新知： 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？猜想：如果：一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，那么：1x +2x = - ba 1x . 2x =c a一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =c a小试牛刀：下列方程中两根之和与两根之积各是多少？ 1 2 3 4强调.应注意的问题：1. 先化成一般形式，在确定a,b,c .2.当且仅当b 2-4ac ≥0时，才能应用根与系关系.3.要注意比的符号：两个根的和1x +2x = - ba比前面有负号，01522=--x x 05322=-+x x 0732=-x x 522=x两个根的积1x . 2x =c a比前面没有负号。
人教版九年级数学上册教案-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1带教学反思
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.~。
21.2.4一元二次方程的根与系数的教案案.doc
（九）年级（数学）学科教案证明：你的猜想对吗？请写出证明过程。
问题 2 :如果方程ax1 + bx+ c=0(Q H 0)的根是X］和X2,那么请你猜一猜：兀|+兀2二；=(写出推导过程)问题3：根据一元二次方程根与系数的关系，写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为X1, X2)(1)X2 -4x-7 = 0(2)X2+3X-5=0(3)2X2-3X+1=0(4)3X2+5X=0(5)5X2+X-2=0如果方程x2+px+q=0 有两个根是Xi, x2. 那么Xi+Xz=-p,xix2=q 猜想：2X2-5X+3=0这个方程的两根Z和，两根Z积是否满足这个特征？4、捉问：对于二次项系数不为1的一元二次方程两根之和，两根之积有怎样的特征？引发学生探索的欲望。
•5、精讲：.根与系数的关系及其应用，会求 "两根的平方和”等代数式的值。
6、强调：一元二次方程根与系数的关系式成立的条件是b2-4ac^07、组织学生抢答问题3.3、畅所欲言。
4、两名学生板演，其他学生分组推导一元二次方程根与系数的关系。
5、学生口答，互相纠错。
2、推导过程不完整或不知如何下手，可通过学生板演，引导思路找到问题解决的方向。
3、公式掌握不熟练，抢答的速度较慢；符号的错误率较高。
可组织学生以小组为单位自编自考，以达到巩固的目的。
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
人教版初中初三年级九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系精品教学教案
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的教学中也有广泛的应用。
现在又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要，它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路。
二、学情分析：1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
三、教法特点及预期效果分析：1、本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。
3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。
学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
四、教学目标:1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
人教版九年级上册数学21.2.4《解一元二次方程的根与系数的关系》 教 案
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1．理解并掌握根与系数的关系：1212b c x x x x a a+=-⋅=，． 2．会用根与系数的关系、根的判别式解决问题． 二、教学重点及难点重点：一元二次方程根与系数关系的推导过程．难点：利用一元二次方程根与系数的关系解题．三、教学用具：多媒体课件。
四、相关资源《小明与小青悄悄话》动画，。
五、教学过程【创设情景，提出问题】前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？小青：什么秘密？小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程212350x x -+=的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程2352000x x --=的两根的和呢．【合作探究，形成知识】问题1 从因式分解法可知，方程（x －x 1）（x －x 2）＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1，x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，你能看出x 1，x 2与p ，q 之间的关系吗？ 师生活动：让学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现：（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．（2）把方程（x －x 1）（x －x 2）＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x －（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＝0这个方程的二次项系数为1，一次项系数p ＝－（x 1＋x 2），常数项q ＝x 1x 2.于是，上述方程两根的和、积与系数的关系为：（x 1＋x 2）＝－p ，x 1x 2＝q ．问题2 一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？师生活动：学生探讨，试写推导过程，教师巡视后给出规范推导过程．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根是：12x x =．由此可得122222b b b b x x a a a a---+-+=+==-，22122()(4)224b b b b ac c x x a a a a---+---===． （1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．（2）()200ax bx c a ++=≠的两根是12x x ，，用式子表示规律：1212b c x x x x a a+=-=，．归纳总结：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．3．例题分析：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12x x ，的和与积：（1）26150x x --=；（2）23+790x x -=；（3）2514x x -=．师生活动：让学生根据根与系数的关系，独立解决上述问题．教师巡视学生的掌握情况，指导困难学生．解：（1）()12126615x x x x +=--==-，．（2）121279333x x x x -+=-==-，．（3）方程化为24510x x -+=．1212551444x x x x -+=-==，． 教师引导：只要把一元二次方程化成一般式，找对a ，b ，c ，代入韦达定理即可求解． 例2 已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一个根及k 的值．师生活动：找一名学生上黑板解答，其他同学交流做法，老师巡视辅导．针对在黑板上解答的学生出现的问题，进行讲解．解：设已知方程的另一个根是x 1，由题意可得19(3)2x --⋅=． 所以132x =．故方程的另一个根为32． 所以133322k x --+=-+=． 解得k =3．教师引导：本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数的关系应该掌握的内容．此外，还可以让学生应用多种方法解决问题，进一步培养学生的发散思维．【练习巩固，综合应用】1．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程230x x a -+=的两个解,若(m －1)(n －1)=－6,则a 的值为（ ）．A ．－10B ．4C ．－4D ．102．设a b ，是方程220150x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 0153．若方程2310x x --=的两个根为12x x ，，则1211x x +的值为（ ）． A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 4．已知x =1是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为 ，a = ．5．求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：（1）23210x x -+=； （2）2550x x +-=；（3）256x x x +=+； （4）2758x x -=+．6．已知关于x 的方程260x x k -+=的两个根是m 和n ，且3m ＋2n =20，求k 的值．7．已知12x x ，是一元二次方程2310x x --=的两个实数根,求22121240x x x x ++=的值．目标检测答案1．C 2．C 3．B 4．2，-35．解：（1）方程化为2380x x --=．1212(3)38x x x x +=--==-，．（2）121215155x x x x -+=-==-，． （3）方程化为2460x x --=．1212(4)46x x x x +=--==-，．（4）方程化为27130x x --=．12121113777x x x x -+=-==-，． 6．解：∵m ，n 是方程的两个根， ∴6 3220 m n mn k m n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，①，②．③①×2－③，得－m =－8．∴m =8．将m =8代入①，得n =－2．将m =8，n =－2代入②，得k =8×(－2)=－16．∵当k =－16时，∆=36－4k =100＞0，∴k =－16．7．根据一元二次方程根与系数的关系可知121231x x x x +==-，．所以222121212124()2927x x x x x x x x ++=++=-=．六、课堂小结1．一元二次方程根与系数的关系两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．2．数学语言表述若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x ，，则 1212b c x x x x a a+=-=，．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计21.2解一元二次方程——21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程根与系数的关系2．数学语言表述。
人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教学目标知识与能力：1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；3、已知一根求另一根及系数。
过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
情感、态度与价值观：通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
教学重、难点重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。
难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。
一、创设情景，引入新课师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。
同学们还记得这个小秘诀是什么吗？生：通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。
当“Δ＞0”时，方程有两个不相等的实数根；当“Δ=0”时，方程有两个相等的实数根；当“Δ＜0”时，方程没有实数根。
师：回答的真好。
其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？生：想。
师：那么这节课我们一起来探究这个秘密。
一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）二、探索新知，解决问题1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.表格1师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。
生：……师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？生：x1 +x2 = – p，x1x2 = q师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？生：不一定。
师：为什么不一定呢？生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。
师：同学们观察的非常的仔细。
那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。
表格2师：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？ 生：学生认真思考，并回答。
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一元二次方程的根与系数关系.
课 型
新 授
姓名 郑建贵
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 技能
学 过程
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明. 目 方法 情感 标 态度 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学 生勇于探索的精神. 一元二次方程的根与系数关系 对根与系数关系的理解和推导
学生独立解决，并 加深对韦达定 交流 理的理解，培 养学生的应用 意识和能力
2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根 ○ 是 ,k 的值是 . 先观察，尝试选用 3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数， ○ 则 合适方法解题，之 后交流，比较解法 p= ; 若两个根互为倒数，则 q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另 一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的 两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是 1 时，若方程的 两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程 的一次项系数和常数项. 4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) ○ A.4x +21x+5=0 B.6x -13x-5=0 C.7x -12x+5=0 D.2x +15x-8=0 5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） ○ A.4x -3=0 B.-3x +5x-4=0 C.0.5x -4x-3=0
2
x1
x2
学生归纳，总结阐 述，体会，反思. 并做出笔记.
通过归纳，进 一步理解韦 达定理及其 应用
四、小结归纳 本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时， 注意隐含条件： 二次项系数不为 0， △≥0；
加强教学反 3.韦达定理的应用常见题型： 1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○ 2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○ 3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○ 4 判断两个根的符号；○ 5 不解方程求含有方程的两根的式子的 ○ 值. 五、作业设 计 必做：P17：7 选做：补充作业：已知一元二次方程 x +3x+1=0 的两个根是
2 2 2 2 2 2 2
通过学生亲自 解题的感受与 学生尝试归纳，师 经验，感受数 生总结 学的严谨性和 数学结论的确 定性.
D.2x + 3 5 x- 6 =0 6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m ○ 正根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有两个
2
时方程有一个正根 进一步加强 对所学知识 学生独立完成，教 师巡回检查，师生 集体订正 的理解和掌 握
2
思，帮助学生 养成系统整 理知识的学 习习惯，加深 认识，深化提 高，形成学生 自己的知识 体系.
、 ，求
的值.
课后记：初步理解了关系，推导过程理解不好。 解题应用不灵活。
2 2 2 发学生 解本课所要研究的 好奇心，求知 问题 欲
学生通过去括号、 通过思考问 合并得到一般形 式的一元二次方 程，教师适时点 题，让学生知 道二次项系数 为 1 的一元二
拨，分析总结得到 次方程的根与 结论. 学生独自完成 巩固上诉知识 系数关系，为 后面继续研究 做铺垫
一个负根，且正根的绝对值较大. 分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方 6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的 程各项系数的符号，○ 限制. 三、课堂训练 1.完成课本练习 2.补充练习： x1 ，x2 是方程 3x -2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求下列 1 1 1 ； ○ 2 x2 x12 x1 x2 2 ○ 3 x12 x2 2 ； 各式的值：○ x1 x 2 5 x2 x1 x1 x2 2 ；○ 4 ○
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、 根据求根公式进行 积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达 探究、交流，尝试 定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两 发现结论 根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积 等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导 得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元 二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. 1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○ 2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x ○ 6.拓展练习 1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，则 ○ b= ,c= .
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求 教师出示探究问 出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否 题，学生通过特殊 成立，若不成立，新的结论是什么？
2
让学生通过 探究问题，体 会从特殊到 一般的认知 过程，体会数 学结论的确 定性
例子入手，再通过
4.一般的一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1， 一般形式推导证 它的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？ 明，教师引导学生
教学重点 教学难点 教学过程设计
教学程序及教学内容 一、复习引入
师生行为
设计意图
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪 教师出示问题，引 创设问题情 法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1） （x-x2）=0 化为一般形式 x -( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x +px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系 数是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根 和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. x +3x+2=0； x +2x-3=0; x -6x+5=0; x -6x-15=0 3. 方程 2x -3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系 吗？