2020届天津市实验中学滨海分校高三模拟考试(3月)数学试题(word无答案)
天津市天津中学2020年3月高三在线月考数学试卷 (解析版)
天津中学2020年3月高三在线月考数学试卷一．选择题1.已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B =I ( ) A. {1,2,3} B. {1,2} C. (0,3] D. (3,4]【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合,A B ,然后求解A B I .【详解】因为{}{*|3}1,2,3A x x ==∈≤N ，{}{}2|40|04B x x x =x x =-≤≤≤，所以{}1,2,3A B =I .故选A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型. 3.函数422y x x =-++的图像大致为A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A.272π B.283π C.263π D.252π 【答案】B 【解析】 【分析】计算出ABC ∆的外接圆半径r ，利用公式222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】ABC ∆的外接圆半径为2332sin3AB r π==，PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为222223211233PA R r ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2221284433R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.5.如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到0.01）分别是（ ）A. 2.20，2.25B. 2.29，2.20C. 2.29，2.25D. 2.25，2.25【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得中位数，利用最高矩形底边的中点值可得出众数. 【详解】由频率分布直方图得，自学时间在[)0.5,2的频率为()0.160.20.340.50.35++⨯=，自学时间在[)2,2.5的频率为0.520.50.26⨯=， 所以，自学时间的中位数为0.50.3520.5 2.290.26-+⨯≈，众数为2 2.52.252+=.故选：C.【点睛】本题考查中位数、众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（ ）A. ()()()f b f c f a <<B. ()()()f a f c f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，再由奇函数性质得()f x 在[0,1]上递增，在[1,1]-上单调递增．然后把自变量的值都转化到[1,1]-上，比较大小． 【详解】设1210x x -≤<≤，则121222x x ≤+<+≤，又()f x 在[1,2]上递减，∴12(2)(2)f x f x +>+，而11(2)()f x f x +=-，22(2)()f x f x +=-，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <，∴()f x 在[1,0]-是递增，∵()f x 是奇函数，∴()f x 在[0,1]上递增，从而在[1,1]-上单调递增，(0)0f =，ln 2(0,1)a =∈，121()24b -==，12log 21c ==-，()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==，∴由10ln 2-<<得(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，然后就是这类问题的常规解法，确定出[1,1]-上单调性，转化比较大小．7.已知双曲线M :22219x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F .若双曲线M 的右支上存在点P ，使12211sin sin cPF F PF F =∠∠，并且22PF =，则双曲线M 的离心率为（ ）B.2C.32D.43【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出1PF ，结合正弦定理求出c 的值，进而可求得双曲线M 的离心率为的值. 【详解】由题意得3a =，由于点P 在双曲线M 的右支上，由双曲线的定义得1226PF PF a -==， 解得18PF =，在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，又12211sin sin cPF F PF F =∠∠，所以，211PF PF c =，即12PF c =，4c ∴=，因此，双曲线M 的离心率为43c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，涉及双曲线定义的应用以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.8.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 的周期为2π；②()f x 在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点；④函数()f x 的最小值为. 其中所有正确结论的编号为（ ） A. ①② B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断①的正误；当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，化简函数()y f x =的解析式，利用整体代入法验证函数()y f x =在区间50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，可判断②的正误；求得方程()10f x -=在区间[],ππ-上的实数解，可判断③的正误；分别求出函数()y f x =在区间(),0-∞和[)0,+∞上的最小值，比较大小后可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①，()cos sin f x x x =+Q ，cos sin 666f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111111cos sin cos 2sin 266666f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1166f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期不是2π，命题①错误；对于②，当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则3,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以，函数()y f x =在区间50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，命题②错误；对于③，()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=， 且该函数的定义域为R ，则函数()y f x =为偶函数，当[]0,x π∈时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，5444x πππ≤+≤，令()10sin 42f x x π⎛⎫-=⇒+= ⎪⎝⎭，可得44x ππ+=或544x ππ+=，解得0x =或π， 由于函数()y f x =为偶函数，则方程()10f x -=在区间[),0π-上的实根为x π=-. 所以，函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点，命题③正确； 对于④，当0x ≥时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的最小值为由于函数()y f x =为R 上的增函数，则该函数在(),0-∞上的最小值为. 因此，函数()y f x =的最小值为，命题④正确. 故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数周期性、单调性、零点以及最值的判断，去绝对值，化简函数解析式是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.9.已知函数()221,01,01x x x h x x x x⎧-+>⎪=⎨+≤⎪-⎩，函数()()112g x h x mx m =--+-恰有三个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A. 10,22⎧⎫⎡-⋃-⎨⎬⎣⎩⎭B. 90,22⎧⎫⎡+⋃⎨⎬⎣⎩⎭C. (922⎧⎫⎤--⋃⎨⎬⎦⎩⎭D. (1-22⎧⎫⎤+⋃-⎨⎬⎦⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】令1t x =-，由()0g x =可得()102h t mt +-=，可转化为直线12y mt =-+与函数()y h t =的图象有三个交点，考查直线12y mt =-+与曲线11t y t+=-和曲线221y t t =-+相切的临界位置，利用数形结合思想可求得实数k 的取值范围.【详解】令1t x =-，由()0g x =可得()102h t mt +-=， 则直线12y mt =-+与函数()y h t =的图象有三个交点，如下图所示：当直线12y mt =-+与曲线11t y t+=-在0t <相切时， 由1121t mt t +-+=-，整理得()222310mt m t -+-=，所以，()2123022380m m m m +⎧<⎪⎨⎪∆=++=⎩，解得12m =-. 当直线12y mt =-+与曲线221y t t =-+在0t >时相切， 由21212t t mt -+=-+整理得()21202t m t +-+=，所以，()2220220m m ->⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩， 解得22m =.由图象可知，当022m ≤<或12m =-时，直线12y mt =-+与曲线()y h t =有三个交点，因此，实数m 的取值范围是10,222⎧⎫⎡⋃-⎨⎬⎣⎩⎭.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解答的关键就是要分析出直线与曲线相切这一临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.二．填空题10.若11abi i=++，其中a 、b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=________．【解析】 【分析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出a bi +的值.【详解】()()()1111122a i a a a bi i i i i -+===-++-Q ，则122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，因此，2a bi i +=-==【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.11.若圆()()2221:08C x a a y a ++=>+与圆222:4C x y +=的公共弦AB 的长为2C 上位于AB 右方的点到AB 的最长距离为_________．【答案】1 【解析】 【分析】将两圆方程相减可得出公共弦AB 的方程，求出圆2C 的圆心到直线AB 的距离，结合点到直线的距离公式求出正数a 的值，【详解】将圆1C 与圆2C 相减可得公共弦AB 所在直线的方程为20ax -=， 所以，圆2C 的圆心到直线AB的距离为1d ==，即21d a==， 0a >Q ，可得2a =，则直线AB 的方程为1x =.因此，圆2C 上位于AB 右方的点到AB 的最长距离21d -=. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用相交弦长求参数，同时也考查了圆上一点到直线的距离最值的计算，考查计算能力，属于中等题.12.将()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是_______. 【答案】5 【解析】 【分析】写出展开式通项，求出展开式倒数第三项的系数表达式，根据已知条件得出关于n 的方程，即可求得正整数n 的值.【详解】()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，则展开式通项为13r n r rr n T C x -+=⋅⋅，由题意2n ≥，则倒数第三项的系数为2223990n n n n C C --⋅==，()()21!102!2!2n n n n n C n --∴===-，整理得2200n n --=，解得5n =. 故答案为：5.【点睛】本题考查根据项的系数求参数，考查运算求解能力，属于基础题.13.若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ． 【答案】65【解析】 【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ:，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值.【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=. 故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14.已知实数若x 、y 满足0x y >≥，则42x y x yx y x y++++-的最小值是______．【答案】5 【解析】 【分析】将所求代数式变形为3x y x yx y x y-++++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式最小值. 【详解】0x y >≥Q ，所以0x y x y +>->，()()423x y x y x y +=++-，()()335342x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x ++-++++=+=-+++≥=+-+-+-Q，当且仅当x y x y -=+时，即当0y =时，等号成立.因此，42x y x yx y x y++++-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.15.如图所示，在ABC ∆中，3AB AC ==，90BAC ∠=o ，点D 是BC 的中点，且M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，若13AM AB mAC u u u u r u u u r u u u r =+，则DM BM ⋅u u u u r u u u u r的取值范围______．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】建立如图所示的坐标系，可知33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),M x y ，由13AM AB mAC u u u u r u u u r u u u r =+，可得到1x =，3y m =，结合M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，可得1233m <<，再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得到答案．【详解】解：建立如图所示的坐标系，33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭．设(),M x y ，13AM AB mAC u u u u r u ur u u Q u u r=+，()()()1,3,00,33x y m ∴=+，1x ∴=，3y m =．M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，1233m ∴<<． 则()22133917,32,3133919()2222416DM BM m m m m m m m u u u u r u u u u r ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1233m <<，所以1,22DM BM ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ，故答案为1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量相等、二次函数的单调性等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题16.在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C的对边，且222sin b A c a -+=. （1）求角A 的大小；（2）若2,3,b c ==求a 和()sin 2B A -的值.【答案】（1）3π； （2）a =【解析】 【分析】（1）222sin 3b A c a -+=化为22223b c a A bc +-=，由余弦定理可得tan A =从而可得结果；（2）由余弦定理求得a =sin 7B =差的正弦公式可得结果.【详解】（1）由已知，得：222sin b A c a +=，由余弦定理，得：2222b c a A bc +-=，cos A A =，即tan A =()0,A π∈,所以3A π=.（2）2222cos a b c bc A =+-⋅214922372a ∴=+-⨯⨯⨯=a ∴= 又sin sin ab A B =2sin B =sin 7B ∴=，b a <Q 0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 227cos 1sin 7B B ∴=-=， 4sin22sin cos 37B B B ∴==,1cos27B =， ()sin 2B A ∴- sin2cos cos2sin B A B A =- 411337272=⨯-⨯3314=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=o ，24AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 221，求线段AP 的长． 【答案】（1）证明见解析；（27；（3）6. 【解析】 【分析】（1）取BE 的中点M ，连接AM 、OM ，证明四边形ADOM 为平行四边形，可得出//OD AM ，即//DF AM ，利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出平面ABE 与平面BEF 所成二面角的余弦值，进而可得出其正弦值；（3）设EP EF λ=u u u r u u u r ，[]0,1λ∈，计算出AP u u u r 的坐标，结合直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为22163求得实数λ的值，进而可求得AP 的长.【详解】（1）如下图所示，设CE DF O =I ，取BE 的中点M ，连接AM 、OM ，Q 四边形EDCF 为矩形，CE DF O =I ，O ∴为CE 的中点，M Q 为BE 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //AD BC Q ，12AD BC =，//OM AD ∴且OM AD =，所以，四边形ADOM 为平行四边形，则//AM OD ，即//AM DF ，AM ⊂Q 平面ABE ，DF ⊄平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）Q 四边形EDCF 为矩形，则DE CD ⊥，平面ABCD I 平面CDEF CD =，平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊂平面CDEF ，DE ∴⊥平面ABCD ，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,4,0B 、()0,0,2E 、()2,4,2F -，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =v，()2,0,2AE =-u u u v ，()0,4,0AB =u u u v ，由11140220m AB y m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令11x =，则10y =，11z =，()1,0,1m =v ， 设平面BEF 的法向量为()222,,n x y z =v，()2,4,2BE =--u u u v ，()4,0,2BF =-u u u v ， 由222222420420n BE x y z n BF x z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令22x =，则24z =，21y =，则()2,1,4n =v ，cos ,7m n m n m n ⋅===⋅v vv v v v，sin ,m n ∴==v v 因此，平面ABE 与平面BEF； （3）Q 点P 在线段EF 上，设()()2,4,02,4,0EP EF λλλλ==-=-u u u v u u u v，()()()2,0,22,4,022,4,2AP AE EP λλλλ=+=-+-=--u u u v u u u v u u u v， 由题意得cos ,63AP n AP n AP n⋅===⋅u u u v v u u u v vu u u v v ， 整理得25270λλ+-=，[]0,1λ∈Q ，解得1λ=，此时()4,4,2AP =-u u u v，则6AP =u u u v .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且()11,0F -，椭圆经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 过椭圆右顶点B ，交椭圆于另一点A ，点G 在直线l 上，且GOB GBO ∠=∠.若12GF AF ⊥，求直线l 的斜率．【答案】（1）22143x y +=；（2）10±.【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，利用b =b 的值，进而可求得椭圆的方程； （2）设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点A 的坐标，由题中条件求出点G 的坐标，由12GF AF ⊥得出120FG F A ⋅=u u u r u u u u r，据此计算出实数t 的值，进而可求得直线l 的斜率.【详解】（1）易知点()21,0F，由椭圆的定义得1224a PF PF =+==，2a ∴=，b ===因此，椭圆的方程为22143x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，且斜率不为零， 设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，设点()00,A x y ，联立2223412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得()2234120t y ty ++=，则021234t y t =-+，2028634t x t -=+， 所以，点A 的坐标为2228612,3434t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，GOB GBO ∠=∠，则1G x =，可得1G y t =-，所以，点G 的坐标为11,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12GF AF ⊥Q ，则120FG F A ⋅=u u u r u u u u r， 112,F G t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u v Q u u ，22224912,3434t t F A t t ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭u u u u v ，所以，21222018034t FG F A t -⋅==+u u u r u u u u r，解得t =， 因此，直线l的斜率为1t =. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用直线垂直求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.19.设{}n a 是等比数列的公比大于0，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列，已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式（2）设()()111nn n n a c a a +=++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()2,2log 1,2n n n n b n kd a a n k≠⎧=⎨+=⎩，其中k *∈N ，求21i i n d =∑.【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）11221n n T =-+；（3）()1212314949i ni n d n n =+-⨯++=∑. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，利用等比数列的通项公式可求得q 的值，利用等差数列的通项公式建立有关1b 和d 的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；（2）由()()11121121212121n n n n n nc ---==-++++，利用裂项相消法可求得n T ； （3）求得1,22,2n n n n kd n n k-≠⎧=⎨⋅=⎩，利用等差数列的求和公式求出数列{}n b 前2n 项中奇数项的和，利用错位相减法求出数列{}n b 前2n 项中偶数项的和，相加即可得出结果. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，11a =Q ，由322a a =+，得22q q =+，0q >Q ，解得2q =，则1112n n n a a q --==.由435a b b =+，5462a b b =+得1126831316b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11b d ==，则()11n b b n d n =+-=；（2）()()()()()()()()111111212121121212121212111n n n n n n n n n n n n na c a a ----+-+-+===-=++++++++， 0112111111111212121212121221n n n nT -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ； （3）1,22,2n n n n k d n n k -≠⎧=⎨⋅=⎩Q ， 设数列{}n b 前2n 项中奇数项和偶数项的和分别为n A 、n B ， 则()()2121135212n n n A n n +-=++++-==L ，1352122426222n n B n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，()3521214224222222n n n B n n -+=⨯+⨯++-⨯+⨯L ，上式-下式得()412352122222143222222224214n n n n n B n n --++--=+⨯+⨯++⨯-⨯=+-⨯-L ()11113444164433n n n n n +++-⨯--=+-⨯=，()131449n nn B +-⨯+∴=， 因此，()1212314949ii n nn nB dn n A =+-⨯++=+=∑. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法与奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.20.已知函数()ln f x x mx =-，m R ∈．（1）若()f x 在点()()1,1A f 处的切线与直线210x y ++=垂直，求函数()f x 在A 点处的切线方程； （2）若对于[)1,x ∀∈+∞，()0xf x m +≤恒成立，求正实数m 的取值范围；（3）设函数()()212H x x f x =+，且函数()H x 有极大值点1x ，求证：()211112m f x x x >--. 【答案】（1）210x y --=；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由()12f '=求得实数m 的值，可求出切点坐标，再利用点斜式方程可得出所求切线的方程； （2）令()ln mg x x mx x=-+，且有()10g =，对实数m 进行分类讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，结合()()10g x g ≤=可求得实数m 的取值范围； （3）由题意得出()10H x '=，可得出2111mx x =+，且101x <<，代入()()2111112mx h x f x x =++，利用导数证明出()10h x >对任意的()10,1x ∈恒成立即可.【详解】（1）()ln f x x mx =-Q ，则()1f x m x=-， 直线210x y ++=的斜率为12k =-，由题意可得()112f m '=-=，解得1m =-， 所以，()ln f x x x =+，则()11f =，则点()1,1A ，因此，所求切线的方程为()121y x -=-，即210x y --=；（2）[)1,x ∀∈+∞，()2ln 0xf x m x x mx m +=-+≤恒成立，即ln 0mx mx x-+≤恒成立， 令()ln mg x x mx x=-+，其中1x ≥，且()10g =，则()()1g x g ≤对[)1,x ∀∈+∞恒成立， ()2221m mx x mg x m x x x-+-'=--=. ①当0m ≤时，对任意的[)1,x ∈+∞，()0g x '>，此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，此时，()()10g x g ≥=，不合乎题意；②当0m >时，则214m ∆=-. （i ）若0∆≤，则12m ≥，对[)1,x ∀∈+∞，()0g x '≤，此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递减，则()()10g x g ≤=，合乎题意；（ii ）若>0∆，则102m <<，令()0g x '=，得20mx x m -+=，解得10x '=>，2x '= 由韦达定理得121x x ''=，则必有211x x <<¢¢， 当11x x '<<时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增；当1x x '>时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减.所以，()()()1max 10g x g x g '=>=，不合乎题意. 综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）()()2211ln 22H x x f x x mx x =+=-+Q ，所以，()211x mx H x x m x x-+'=-+=，函数()y H x =的定义域为()0,∞+，由于函数()y H x =有极大值点，则240m '∆=->，解得2m <-或2m >.设方程210x mx -+=的两根分别为1x 、2x ，则12121x x m x x +=⎧⎨=⎩， 若2m <-，则10x <且20x <，不合乎题意；若2m >，则1>0x 且20x >，合乎题意.由于函数()y H x =的极大值点为1x ，则12x x <，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0H x '>；当12x x x <<时，()0H x '<；当2x x >时，()0H x '>.且()211110x mx H x x -+'==，可得2111mx x =+， 令()()()()222112111111111111111ln ln 1222x x mx mx h x f x x mx x x x x x +=++=-++=-+++32111111ln 122x x x x x =-+++-， ()()()32222132********x x x x h x x x x x --+'=-++-=， 当01x <<时，220x ->，则32320x x -+>，此时()0h x '<.所以，函数()y h x =在区间()0,1上单调递减， 因为101x <<，则()()110h x h >=，因此，()211112m f x x x >--. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，利用导数研究不等式恒成立以及证明不等式，利用导数研究函数的单调性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。
最新天津市滨海新区实验中学高三数学考前模拟测试卷二
数学试卷一、选择题 1、复数A ．B ．C ．D ．2、“”是“直线和直线垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是( )A. 1-B.23 C. 32D. 44.函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ) A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D. (1,2)5、 展开式中的常数项是A 、B 、C 、D 、<6、，则 的大小关系是A ．B ．C ．D ．7.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 2sin sin cos a A B b A +=,则ba等于( )A.B.C.D.8、在平面内，已知， ，，设，（），则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题9.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取__________名学生. 10、如图,已知是圆的切线,切点为,是圆的直径,与圆交于点,,圆 的半径是 ,那么11、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .12、已知抛物线的参数方程为( 为参数),焦点为 ,准线为 , 为抛物线上一点,,为垂足,如果直线的斜率为 ,那么。
13、设集合,,若,则实数 取值范围是 。
14、已知函数,函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是. 三、解答题15、已知函数,(1)求函数的最小正周期; (2)若,求函数的值域16、有甲,乙两个盒子,甲盒中装有2个小球,乙盒中装有3个小球,每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球(1)当甲盒中的球被取完时,求乙盒中恰剩下1个球的概率;(2)当第一次取完一个盒子中的球时,另一个盒子恰剩下个球,求的分布列及期望。
17、在四棱锥中,底面是直角梯形, ∥ ,∠ ,,平面⊥平面.(1)求证: ⊥平面;(2)求平面和平面所成二面角(小于)的大小;(3)在棱上是否存在点使得∥平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.18、已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为,右焦点,双曲线的实轴为, 为双曲线上一点(不同于),直线, 分别与直线交于两点(1)求双曲线的方程;(2) 是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由。
天津市实验中学滨海分校2019-2020年度高三年级模拟(3月)考试数学试卷((附答案解析)
2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．已知A＝{x|y＝}，B＝{x|{4x＜2x+1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．R D．∅2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b4．要得到函数y＝cos（4x+）的图象，只需将函数y＝cos（4x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．已知函数，对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．已知函数，若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．二、填空题10．复数（i为虚数单位）的共轭复数是．11．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）12．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，则xy的最小值为．13．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．14．在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．15．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（3）当AD的长为何值时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．参考答案一、选择题（45分）1．已知A＝{x|y＝}，B＝{x|{4x＜2x+1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．R D．∅【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥1}，B＝{x|2x＜x+1}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝∅．故选：D．2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．3．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．4．要得到函数y＝cos（4x+）的图象，只需将函数y＝cos（4x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y＝cos（4x+）的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝cos（4x+）的图象，故选：C．5．已知函数，对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，函数，在定义域R上是增函数，列出不等式组，解出即可．解：∵对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，∴函数在定义域R上是增函数，∴，解得，0＜a≤，故选：A．6．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得f（x）的单调递减区间．解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∵a＝2，c＝，∴sin C＝＝＝，∵a＞c，∴C＝，故选：B．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|＝x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝．故选：D．9．已知函数，若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．解：∵f（x）＝，x＞0，∴f′（x）＝，∴f（x）+xf′（x）＝+＝，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）＝x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）＝1﹣＝，当g′（x）＝0时，解得：x＝，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x＝2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）＝2+＝，∴b＜，故选：B．二、填空题（30分）10．复数（i为虚数单位）的共轭复数是1﹣i．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．11．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．解：T r+1＝＝x16﹣3r，令16﹣3r＝7，解得r＝3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为＝﹣56．故答案为：﹣56．12．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，则xy的最小值为64．【分析】利用基本不等式构建不等式即可得出解：∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，∴xy＝2x+8y≥2＝8，∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x＝4y＝16时取等号．故xy的最小值为64．故答案为：6413．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3．∴＝，S圆柱＝2πR×2R+2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2．∴．故答案为：．14．在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．【分析】选定基向量，，将两向量与用基向量表示出来，再进行数量积运算，即可求出•的值．解：选定基向量，，由图及题意得＝﹣，＝+＝+，则•＝（﹣）•（+）＝+﹣＝＝﹣．故答案为：．15．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【分析】由y＝f（x）﹣a|x|＝0得f（x）＝a|x|，利用数形结合即可得到结论．解：由y＝f（x）﹣a|x|＝0得f（x）＝a|x|，作出函数y＝f（x），y＝a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y＝a|x|与f（x）有三个交点，当a＝1时，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4＝﹣x得x2+4x+4＝0，则判别式△＝16﹣4×4＝0，即此时直线y＝﹣x与f（x）相切，此时y＝a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）三、解答题（75分）16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意可得第二次摸到黑球，第一次为其他球，求出概率；（2）先求出摸一次的奖金数额，再求5次的金额，求出相应的概率，进而求出发布列，及期望．解：（1）由题意可得第一次是红黄白中的一个，概率为，不放回的第二次为黑球，是从剩余的3个球中摸出黑色的球，概率为，所以1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为＝；（2）顾客摸一次的奖金金额设为Y，可能取值0，10，20，30，40，则P（Y＝0）＝，P（Y＝10）＝＝，P（Y＝20）＝+＝，P（Y＝30）＝＝，P（Y＝40）＝＝；所以1名5次摸奖X＝5Y的分布列为Y010203040 X＝5Y050100150200 P所以随机变量X的期望E（X）＝0＝100．17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n＝，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．∴a1+a4＝9，a1a4＝a2a3＝8．解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1（舍），解得q＝2，即数列{a n}的通项公式a n＝2n﹣1；（2）S n＝＝2n﹣1，∴b n＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+﹣＝﹣＝1﹣．18．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（3）当AD的长为何值时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°？【分析】（1）欲证平面DAF⊥平面CBF，先证直线与平面垂直，由题意可得：CB⊥平面ABEF，所以AF⊥CB，又在底面圆中AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF，进一步易得平面DAF⊥平面CBF（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，所以FB为AB在平面CBF上的射影，则∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由DA⊥平面ABEF可知：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，所以∠DMA为二面角D﹣FE﹣B的平面角，∠DMA＝60°．解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF．（2）根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，∴FB为AB在平面CBF上的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FH⊥AB，交AB于H．AB＝2，EF＝1，则AH＝＝．在Rt△AFB中，根据射影定理AF2＝AH•AB，得AF＝1，sin∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°，∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°．（3）过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM．根据（1）的证明，DA⊥平面ABEF，则DM⊥EF，∴∠DMA为二面角D﹣FE﹣B的平面角，即∠DMA＝60°．在Rt△AFH中，∵AH＝，AF＝1，∴FH＝．又∵四边形AMFH为矩形，∴MA＝FH＝．∵AD＝MA•tan∠DMA＝•＝．因此，当AD的长为时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．【分析】（1）由椭圆的离心率为，得到a2＝4b2，由直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，得到a2+b2＝，从而解得a2＝4，b2＝1，由此能求出椭圆方程．（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），直线AB的斜率，则直线AD的斜率k＝﹣，设直线AD的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，由韦达定理得到k1＝，从而直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），求出k2＝﹣，由此得到存在常数λ＝﹣，使得k1＝λk2．②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），△OMN的面积S＝，由此能求出△OMN面积的最大值．解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∴＝，∴＝，∴a2＝4b2，①设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，设P是直线与椭圆在第一象限的交点，∵直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，∴P（，），∴+＝1，解得a2+b2＝，②联立①②，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆方程为＝1．证明：（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率k＝﹣，设直线AD的方程为y＝kx+m，由题意得k≠0，m≠0，联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，由题意知x1≠﹣x2，∴k1＝＝﹣＝，∴直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），解得k2＝﹣，∴，则，∴存在常数λ＝﹣，使结论成立．解：②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），由①知M（3x1，0），得△OMN的面积S＝＝，∵|x1||y1|＝1，当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，此时S取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x ）＝﹣﹣1+＝﹣，设g（x）＝x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则＝﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln＞x1﹣，即lnx1+lnx1＞x1﹣，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）＝2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求导得h′（x）＝﹣1﹣＝﹣＝﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x﹣﹣alnx＝﹣f（x），即f（x）+f（）＝0，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1＝，可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）＝≤0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．即＜a﹣2成立．。
2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷
2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）一、选择题 1．（3分）不等式10x x->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．10x -<<或1x >2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A ．3B ．3 C ．3 D ．3 3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则122019111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．20182019B ．20192020C ．40362019D ．201910104．（3分）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是( )A ．[1，1]B ．[7-，7]C ．[1-，7]D ．[7-，1]二、填空题6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C =，则222a b c ac +-的取值范围为 ．7．（3分）若0a >，0b >，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值为 ． 8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．()I 求椭圆的离心率；()II 设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．10．已知函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）参考答案与试题解析一、选择题 1．（3分）不等式10x x->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >B ．1x <-或01x <<C ．1x >-D ．10x -<<或1x >【解答】解：不等式10x x->，解得1x >或0x < 11x x >⇒>或0x <，符合题意，故正确；1x <-或011x x <<⇒>或0x <是假命题，故不正确； 11x x >-⇒>或0x <是假命题，故不正确；10x -<<或11x x >⇒>或0x <是假命题，故不正确；故选：A ．2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD ，1BD =，2AC BC ==当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， ∴1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯g 故选：B ．3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则122019111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．20182019B ．20192020C ．40362019D ．20191010【解答】解：由题意，可知11n n a a n +=++， 即11n n a a n +-=+． 212a a ∴-=， 323a a -=，g g g1n n a a n --=．各项相加，可得 123n a a n -=++⋯+，1(1)231232n n n a a n n +∴=+++⋯+=+++⋯+=，*n N ∈， 12112()(1)1n a n n n n ==-++， 则122019111a a a ++⋯+111112(1)2()2()22320192020=-+-+⋯+-111112(1)22320192020=-+-+⋯+- 12(1)2020=- 20191010=， 故选：D ．4．（3分）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ【解答】解：Q 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， 2p c ∴=A Q 是它们的一个公共点，且AF 垂直x 轴，设A 点的纵坐标大于0， ||AF p ∴=，(2pA ∴，)p ， Q 点A 在双曲线上，∴222214p p a b -=， 2p c =Q ，222b c a =-，∴2222241c c a c a-=-， 化简得：422460c c a a -+=， 42610e e ∴-+=， 21e >Q ，23e ∴=+21()3ba ∴+=+2()23ba∴=+ l ∴的倾斜角所在的区间可能是(3π，)2π，故选：D ．5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是( )A ．[1，1]B ．[7-，7]C ．[1-，7]D ．[7-，1]【解答】解：以O 为坐标原点，与直线BC 平行的直线为x 轴， 与直线AC 平行的直线为y 轴，建立直角坐标系， 设ABC ∆的内切圆的半径为r ，运用面积相等可得，1134(345)22r ⨯⨯=++，解得1r =，则(3,1)B --，(1,1)C -， 即有圆22:1O x y +=，当直线PQ 的斜率不存在时，即有(0,1)P ，(0,1)Q -， (3,3)BP =u u u r ，(1,0)CQ =-u u u r ，即有3BP CQ =-u u u r u u u rg ．当直线PQ 的斜率存在时，设直线:l y kx =，(0)k <， 代入圆的方程可得2(1P k+，21k +，(Q21k+2)1k+，即有2(31BP k=+u u u r，211k+，(CQ =211k -+21)1k++，则有22222(3)(1)(1)(1)311111BP CQ k k k k k =+-+=-+++++u u u r u u u r g 由211k +…可得2041k +，则有23311k-<-++．同理当0k >时，求得P (21k +21k +，2(1Q k +，21k+，则有231BP CQ k =-+u u u r u u u r g 则有27331k --<-+…，综上可得，BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是[7-，1]． 故答案为：[7-，1]． 故选：D ．二、填空题6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 233a b c-=，则222a b c ac +-的取值范围为 (0，23] ．【解答】233a b c-=， 由正弦定理可得，2sin cos 3sin cos 3sin cos A C B C C B =， 即2sin cos 3cos 3cos 3)3A C B C C B B C A =+，所以3cos C =6C π=， 所以506B π<<，所以sin (0B ∈，1]，则2222cos 33sin 23sin (0,23]2a b c ab C b B B ac ac +-===∈．故答案为：(0，3] 7．（3分）若0a >，0b >，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值为 132 ． 【解答】解：0a >Q ，0b >，且11121a b b +=++， (2)3(1)323(1)113123(1)33123(1)12()()23222221222(1)2(2)2222(1)2(2)2a b b a b b a b b a b b a b a b b b a b b a b +++++++++∴+=-=++-=+++-+++++++g …， 当且仅当23(1)2(1)2(2)a b b b a b ++=++，0a >，0b >，且11121a b b +=++，即3b =，132a =+取等号，∴则2a b +的最小值为132故答案为：132+8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 1(9，1)(35⋃，7) ．【解答】解：()f x Q 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x -=+， ()f x ∴的周期为4，作函数()f x 与log (1)a y x =+在(1-，9]上的图象如下，，当1a >时，(21)2(61)2a alog log +<⎧⎨+>⎩，37a <<；当01a <<时，(41)1(81)1a alog log +>-⎧⎨+<-⎩，解得，1195a <<；故答案为：1(9，1)(35⋃7)．三、解答题9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．()I 求椭圆的离心率；()II 设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得12e =．所以，椭圆的离心率为12； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++．由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34． ()ii 解：由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由()i 得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c，进而可得5||2cFP ==， 所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =∠=⨯=g ， 所以FQN ∆的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM ∆的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．10．已知函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．【解答】解：()I 由已知得()(sin cos )f x a x x x '=+，对于任意的(0,)2x π∈，有sin cos 0x x x +>，当0a =时，3()2f x =-，不合题意；当0a <时，(0,)2x π∈，()0f x '<，从而()f x 在(0,)2π单调递减，又函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值为3(0)2f =-，不合题意；当0a >时，(0,)2x π∈，()0f x '>，从而()f x 在(0,)2π单调递增，又函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值为33()2222f a πππ-=-=，解得1a =，综上所述，得3()sin 2f x x x =-()II 函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．证明如下：由()I 知，3()sin 2f x x x =-，从而有3(0)02f =-<，3()022f ππ-=>， 又函数在[0,]2π上图象是连续不断的，所以函数()f x 在(0,)2π内至少存在一个零点，又由()I 知()f x 在(0,)2π单调递增，故函数()f x 在(0,)2π内仅有一个零点．当[2x π∈，]π时，令()()sin cos g x f x x x x ='=+，由()102g π=>，()0g ππ=-<，且()g x 在[2π，]π上的图象是连续不断的，故存在(2m π∈，)π，使得()0g m =． 由()2cos sin g x x x x '=-，知(2x π∈，)π时，有()0g x '<，从而()g x 在[2π，]π上单调递减．当(2x π∈，)m ，()()0g x g m >=，即()0f x '>，从而()f x 在(2π，)m 内单调递增故当(2x π∈，)m 时，3()()022f x f ππ->=>，从而()x 在(2π，)m 内无零点；第11页（共11页）当(,)x m π∈时，有()()0g x g m <=，即()0f x '<，从而()f x 在(2π，)m 内单调递减． 又()0f m >，()0f π<且()f x 在[m ，]π上的图象是连续不断的，从而()f x 在[m ，]π内有且仅有一个零点．综上所述，函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．。
2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷(三)-普通用卷
2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（三）一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.已知i是虚数单位，，且z的共轭复数为，则A. B. C. 5 D. 32.是单位向量，“”是“的夹角为钝角”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.已知，则a，b不可能满足的关系是A. B.C. D.4.已知函数的部分图象如图所示，且，则的最小值为A.B.C.D.5.已知函数，函数，若方程恰好有4个实数根，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）6.已知满足，则______．7.已知双曲线的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若，，则双曲线C 的离心率的取值范围为______．8.如图，菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于O点，，E为BC边包含端点上一点，则的取值范围是______，的最小值为______．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）9.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点E、M分别在线段AB、PC上，且，其中，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME．Ⅰ求证：平面PFD；Ⅱ若时，求二面角的正弦值；Ⅲ若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求值．10.已知数列是公差为1的等差数列，数列是等比数列，且，，，数列满足：，其中．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ记，求数列的前n项和．-------- 答案及解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．【解答】解：，则，故．故选：C．2.答案：C解析：解：是单位向量，由得，，，的夹角为钝角或平角，“”不是“的夹角为钝角”的充分条件；由的夹角为钝角得，，，“”是“的夹角为钝角”的必要条件，“”是“的夹角为钝角”的必要而不充分条件．故选：C．根据题意可得出，从而根据可得出的夹角为钝角或平角，而由的夹角为钝角显然可得出，这样即可判断出，“”是“的夹角为钝角”的必要不充分条件．本题考查了充分条件、必要条件和必要不充分条件的定义，单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，考查了计算和推理能力，属于基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：，和不等式的应用．根据即可得出，，根据，即可判断出选项A，B，C都正确，只能选D．【解答】解：，，，因为，所以，；；；，，D错误．故选D．4.答案：A解析：解由图象易知，，，，又，，，，，，关于点对称，即有，，的最小值为，故选：A．由图象可求得A、、，从而可得函数解析式，由可知关于点对称，利用正弦函数的中心对称性即可得到答案．本题考查由的部分图象确定其解析式，得到函数解析式是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．5.答案：D解析：解：当时，，则，由可得或舍去．当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减．因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示：由图可知，若函数与恰好有4个公共点，则，即，解之得．故选：D．利用导数判断出函数的图象，作出与的图象，数形结合即可本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．6.答案：解析：解：满足，平方求得，即，则，故答案为：．由题意利用两角和差的三角公式求得的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．7.答案：解析：解：法一：，，，，，，设，则，，，．法二：，，令，，，，，，，，，．故答案为：．法一：通过，，利用勾股定理，结合双曲线的定义，转化求解离心率的表达式，通过基本不等式求解范围即可．法二：利用，，令，，推出，通过三角函数的最值求解离心率的范围．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的转化，考查分析问题解决问题的能力．8.答案：解析：解：根据菱形性质可得，则．作，则，此时AE最短，当E与C重合时，AE 最长，故，即；以O为原点，BD所在直线为x轴建系如图：则，，，所以BC：，设则，其中对称轴为，故当时最小，最小值为．故答案为：；．当时AE最短，根据菱形性质及所给数据可求得最小为，当E与C 重合时，AE最长为；建立直角坐标系，用坐标表示出，其中，再结合二次函数最值求解即可．本题考查平面向量数量积的运算，涉及平面向量坐标表示及运算，属于中档题．9.答案：本小题满分15分解：Ⅰ在线段PD上取一点N，使得，，且，，，且，且，四边形为平行四边形，，又平面PFD，平面PFD，平面PFD．Ⅱ以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系0，，0，，2，，2，，0，，，1，，0，设平面PEA的一个法向量为，，，，令，，，设平面PEF的一个法向量为，，，，令，，，，，，二面角的正弦值为．令h，，，，设平面PEA的一个法向量为，，，，令，，由题意可得：，，，．解析：Ⅰ在线段PD上取一点N，使得，，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面PFD．Ⅱ以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PEA的一个法向量，平面PEF的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值．令h，，，，求出平面PEA的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．10.答案：解：Ⅰ数列是公差d为1的等差数列，且，可得，即，则；设等比数列的公比为q，由，，可得，，解得，，则；Ⅱ，，，设数列的前n项和为，则，设，，两式相减可得，化简可得，则数列的前n项和为．解析：Ⅰ运用等差数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求；设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求；Ⅱ求得，，结合数列的分组求和、错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．。
2020届天津市滨海新区高三数学模拟试卷(word版含答案)
2020年天津市滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题（数学学科A 卷）一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U =ðA B I (A) {}1,3,5,6 (B) {}1,3,5(C) {}1,3 (D) {}1,5（2）设x R ∈，则“21x ->”是“2430x x -+>”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件（3）某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数为( A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72（4）函数31()(1)x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为(A) (B) (C) (D)（5）已知三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=o ，则此球的表面积等于(A) 8π (B)9π (C) 10π (D) 11π（6）已知函数12()2log xf x x =-，且1231(ln ),log ,(2),23a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则,,a b c 的大小关系为 （A ）c a b<<（B ）b c a<<（C ）a c b<<（D ）b a c<<（7）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，下列判断正确的是(A) 函数()f x 的最小正周期为2π (B) 函数()f x 的图象关于点7012π（，）对称(C) 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 (D) 函数()f x 在34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 （8）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左焦点为(,0)F c -,抛物线24y cx =的准线与双曲线的一个交点为P ,点M 为线段PF 的中点，且OFM ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为(A)(B) 1(C)(D) （9）已知函数22,0()=1,0x x x f x x x⎧-≥⎪⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是(A) ()1--2,04⎛⎤∞- ⎥⎝⎦U ， (B) ()12+04⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭U ，，(C) [)1-2-0+4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦U ，， (D) [)120+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭U ，，二.填空题:本大题共6个小题，每小题5分，共30分. （10）复数2+12i i-的共轭复数是 ___________.（11）62x）的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） (12) 已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A --和(2,2)B -，且圆心C 在直线:10l x y --=上，则圆心为C 的圆的标准方程是___________.（13）已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是______；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望()E ξ为___________.（14）已知正数,x y 满足23x yxy+=，则当=x ______时，x y +的最小值是___________. （15）在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，且32MN =，若3()2MN AD BC ⋅-=u u u u r u u u r u u u r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r___________.三. 解答题:本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且11,cos ,3b c A ABC -==∆的面积为22．（Ⅰ）求a 及sin C 的值；（Ⅱ）求cos(2)6A π-的值．（17）(15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，边长为2，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：AC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的正弦值；（III ）棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.（18）(15分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是35,a a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列{}1()n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式．（19）（15分）已知点,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=u u u r u u u r ，且该椭圆的离心率为12；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，且2128b k k a⋅=-（O 为坐标原点），求直线AP 的方程.（20）（16分）已知2()46ln f x x x x =--，（Ⅰ）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性； （Ⅱ）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6(1)12xf x f x x k x'->+--恒成立，求k 的最大整数解； （III ）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1212,()x x x x <，且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.2020年滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测（数学学科A 卷）参考答案及评分标准一.选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.）二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)(试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分)三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． （16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==,……………2分 ABC ∆Q的面积为16,3,222bc bc sinA bc b c ⋅===∴=∴==, 3a ∴===．……………5分 再根据正弦定理可得a csinA sinC=,2,sinC sinC =∴=．……………7分（Ⅱ12223sin A sinAcosA ∴===）……………9分 272219cos A cos A =-=-,……………11分 故71222666929218cos A cos Acossin Asinπππ-=+=-⋅+=（）． ……………14分（17）（本小题满分15分）（Ⅰ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ; ……………4分（II ）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，3PO =……………6分以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，(1,0,3)P ，……………7分(1,1,3)PC =-u u u r ，11(,,0)22BC =u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则301122n PC x y z n BC x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =-，则1y =，23z =，23(n =-r ，……………9分平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =u r，22230cos ,10231(1)1()3m n m n m n⋅<>===⨯-++u r ru r r u r r ，从而70sin ,10m n <>=u r r，……………10分 ∴平面P AD 与平面PBC 70；……………11分 （III ）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r(01)λ≤≤，由（II）(1,0,PD =u u u r，AP =u u u r，10AE AP PE AP PD λλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(，……………13分又平面PBC的一个法向量是(1,1,3n =-r ，∴103)AE n λ⋅=--+=u u u r r ，解得13λ=，∴13PE PD =. ∴棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. ……………15分 （18）（本小题满分15分）解：（1）由题知34528a a a ++=，42a +是35,a a 的等差中项， 所以a a a 35424+=+,解得，a q 482==，所以n n a 12-=.……………4分（2）设n n n n c b b a 1()+=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由n n n S n c S S n 11,1,, 2.-=⎧=⎨-≥⎩解得n c n 41=-.……………7分由（1）可知n n a 12-=，所以（）（）n n n b b n 111412-+-=-⋅，故（）（）n n n b b n n 21145,22---=-⋅≥………9分n n n n n b b b b b b b b b b 11123221()()()()----=-+-+⋅⋅⋅+-+-（）（）n n n n 2310111145(49)()7()3()2222--=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅……………11分（）（）n n n T n n n 013211113()7()(49)()45,22222--=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅≥， 所以n T =12n n n n 221111137()(49)()(45)()2222--⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ 所以n n n T n 22111111344()4()(45)()22222--=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，……………13分 n n T n n 2114(43)(),2,2-=-+⋅≥又b 11=，所以n n b n 2115(43)()2-=-+⋅.……………15分（19）（本小题满分15分）解：（I ）依题意知：(,0)A a -，0(,)B b ，0(c,)F ，(,)BA a b =--u u u r ，(,)BF c b =-u u u r，则21BA BF ac b ⋅=-+=u u u r u u u r ，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143:x y C +=.……………5分（II ）由题意()20,A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为2()y k x =+ 所以02(,)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，()0,N N x由222143()y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=……………5分221612234()P k x k-∴-⋅=+ 22268123434,k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭222863434,k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭……………9分AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k-=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭……………11分 26341P P y k k x k∴==-，2222342342k k k k k k +==+……………13分 2226348123412k k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭……………14分解得294k =. 32k ∴=±∴直线AP 的方程为322()y x =±+， 即3260x y ±+=……………15分（20）（本小题满分16分） 解：（I ）2()46ln f x x x x =--Q 所以定义域为()0,+∞6()24f x x x'∴=--； (1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；……………3分213()()()f x x x x'=+-， 令0()f x '>解得3x > 令0()f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()03,，单调递增区间为3(,)+∞.……………5分 （II ）216112()()xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于1min ln ()x x x k h x x +<=-； 221ln ()()x xh x x --'∴=-，……………7分记2()ln m x x x =--，110()m x x'=->，所以()m x 为1(,)+∞上的递增函数， 且3130()ln m =-<，(4)2ln40m =->，所以034(,)x ∃∈，使得()00m x =即0020ln x x --=，……………9分所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 且()000000341min ln ()(,)x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.……………10分 （III ）2()ln g x x a x =-，20()a g x x x '=-==得0x =当0x ⎛∈ ⎝，0()g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，……………11分 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e =-<⇒>；因为10x <<，2x >21x t x =1()t >， 由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，……………12分 即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，2121ln a tx t ∴=- ……………13分 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证：221318()t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：2231880()ln t t t +-+>，……14分 令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++高三数学检测A 卷第11页（共6页）令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >……15分 故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在1(,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.…………16分。
2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|2<x <4}，B ={x|−2≤x ≤3}，则A ∩(∁R B)等于( )A. (1,2)B. (3,4)C. (1,3)D. (1,2)∪(3,4) 2. 若复数z =4−i ，则z −z =( ) A. −1517+817i B. 1+817i C. 1517+817i D. 1517−817i 3. 在平行四边形ABCD 中，BC⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 下列有关命题的说法中错误的是( )A. 随机变量ξ～N(3,4)，则“c =3”是“P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2)”的充要条件B. △ABC 中，“A >B ”的充要条件为“sinA >sinB ”C. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是(−∞,2)∪(6,+∞)D. 命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”5. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )．A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个6. 函数f(x)=e x −e −xx 2的图象大致为( ) A. B.C. D.7. 三个数a =0.43, b =(2.9)0.4, c =30.4之间的大小关系是( )A. a <c <bB. b <a <cC. a <b <cD. b <c <a8.已知直线l：(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)与圆(x−1)2+(y−2)2=25交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是()A. [4,10]B. [3,5]C. [8,10]D. [6,10]9.函数y=sin2x−6sinx+1,x∈[π6,2π3]的最大值是()A. 1B. −4C. 74−3√3 D. −74二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为______．11.已知f(x)=xln(x−1)，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是____．12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，坐标原点为O，若以线段A1A2为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且∠PFO=45°，则双曲线的离心率为______．13.(2x+x2)8的展开式中x的系数为______．14.已知P为球O球面上的一点，A为OP的中点，若过点A且与OP垂直的平面截球O所得圆的面积为3π，则球O的表面积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.抛物线x2=4y的焦点F的坐标为(1)，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为4，则线段AB的长度为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.设等差数列{a n}的公差为d>1，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=a nb n，求数列{c n}的前n项和T n．17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知√3bcosA=asinB．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PA=AB=2，点Q为线段PC的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值；(3)求二面角A−PC−D的大小．19. 已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a >b >0 )的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为(2,53)，求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率．20. 设函数f(x)=2lnx −x 2，g(x)=−x 2+x +2+a ．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵B ={x|−2≤x ≤3}=[−2,3]，全集U =R ，∴C R B =(−∞,−2)∪(3,+∞)，又A ={x|2<x <4}=(2,4)，则A ∩C R B =(3,4)，故选：B ．由全集U =R ，找出R 中不属于集合B 的部分，求出B 的补集，找出B 补集与A 的公共部分，即可求出所求的集合此题考查了交、并、补集的混合运算，是一道基本题型．学生求补集时注意全集的范围． 2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.答案：A解析：本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．根据CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化简可得结果．解：因为在平行四边形ABCD 中CD⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A ．4.答案：C解析：解：A.若P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2)，则x =c +2与x =c −2关于x =3对称， 则c+2+c−22=3，即c =3，故A 正确，B .△ABC 中，“A >B ”的充要条件为a >b ，由正弦定理得sinA >sinB ，故B 正确，C.若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则若命题“∀x∈R，使得x2+mx+2m−3≥0”恒成立，即判别式△=m2−4(2m−3)≤0，即m2−8m+12≤0，得(m−2)(m−6)≤0，得2≤m≤6，即C为假命题，D.命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”正确，故错误的命题是C，故选：C．A.根据正态分布的对称性与概率的关系进行判断B.根据正弦定理以及大边对大角的性质进行判断C.根据命题真假关系以及一元二次不等式恒成立与判别式△的关系进行判断D.根据全称命题的否定是特称命题进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5.答案：D解析：当三点在平面α一侧，一点在另一侧时，有4种情况；当两点在平面α一侧，另两点在平面α另一侧时，有3种情况．∴这样的平面α共有7个，故选D．6.答案：B解析：本题考查由函数解析式判断函数图象，属于基础题．利用函数的奇偶性以及函数值的大小、正负情况可以排除错误答案，选出正确选项．解：因为函数f(x)=e x−e−xx2的定义域是{x|x≠0}，且f(−x)=e −x−e xx2=−e x−e−xx2=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A；当x>0时，e x−e−x>0，即f(x)>0，排除D;当x→+∞时，e−x→0，由指数函数y=e x和二次函数y=x2的图象特征，可知此时f(x)→+∞，排除C;故选B．7.答案：C解析：利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：∵a=0.43∈(0,1)，1<2.90.4<30.4 ，∴a<b<c.故选C．8.答案：D解析：本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，属于中档题．通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．解：由直线l：(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)得：(x+y+1)+k(2x+y)=0，故l恒过定点D(1,−2)．因为(1−1)2+(−2−2)2=8<25，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．圆心C(1,2)，半径为5，|CD|=4，当截得的弦长最小时，l⊥CD，最短的弦长是2√25−16=6．再由l经过圆心时弦长最长为2r=10，则|AB|∈[6,10]．故选：D．9.答案：D解析：本题主要考查了函数的最值，三角函数的定义域与值域的应用，属于基础题．由题意，可得y=(sinx−3)2−8，由正弦函数及二次函数的性质，可求出该函数的最大值．解：，又，∴sinx∈[12,1]，∴当sinx=12时，y max=(12−3)2−8=−74．故选D．10.答案：18解析：本题考查分层抽样方法，根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丁专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丁专业要抽取的人数．解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取60名学生进行调查，∴每个个体被抽到的概率是601000，∵丁专业有300人，∴要抽取300×601000=18，故答案为18．11.答案：y=2x−4解析：本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线的方程的运用，考查运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．解：f(x)=xln(x−1)的导数为f′(x)=ln(x−1)+xx−1，可得曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为k=ln1+2=2，切点为(2,0)，则切线的方程为y−0=2(x−2)，即为y=2x−4．故答案为：y=2x−4．12.答案：√2解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求出双曲线的右焦点F和一条渐近线方程，由题意可设直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的坐标，由|OP|=a，结合离心率公式，计算可得所求值．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y=bax，由∠PFO=45°，可得直线PF的方程为y=−(x−c)，联立渐近线方程，可得P(aca+b ,bca+b)，由|OP|=a，可得(aca+b )2+(bca+b)2=a2，由a2+b2=c2，可得2a3=b3+a2b，即有(a−b)(2a2+ab+b2)=0，可得a=b，则e=ca =√1+b2a2=√2．故答案为√2．13.答案：1792解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．解：(2x+x2)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅28−r⋅x3r−8，令3r−8=1，求得r=3，可得展开式中x的系数为C83⋅25=1792，故答案为：1792．14.答案：16π解析：解：∵过点A 且与OP 垂直的平面截球O 所得圆的面积为3π，∴截面圆的半径为√3，设球O 的半径为R ，则R 2=(12R)2+(√3)2，∴R =2，∴球O 的表面积为4πR 2=16π．故答案为：16π．解析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球O 的半径，利用球的面积公式求出球O 的表面积即可．本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O 的半径是关键． 15.答案：(0,1)10解析：解：由抛物线x 2=4y ，可得焦点F(0,1)，|AB|=|AF|+|FB|=y A +y B +p=2×(4+1)=10．故答案分别为：(0,1)；10．由抛物线x 2=4y ，可得焦点F(0,1)，由|AB|=|AF|+|FB|═y A +y B +p ，再利用梯形的中位线定理即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、弦长公式、梯形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：(本小题(12分)，第1小题(6分)，第2小题6分)解：(1)由题意可得：{10a 1+45d =100a 1d =2， 解得{a 1=9d =29(舍去)或{a 1=2d =2， 所以a n =2n −1，b n =2n−1．(2)∵c n=a nb n ，c n=2n−12n−1，∴T n=1+32+522+723+⋯+2n−12n−1…①，12T n=12+322+523+724+925+⋯+2n−12n…②①−②可得12T n=2+12+122+⋯+12n−2−2n−12n=3−2n+32n，故T n=6−2n+32n−1.(12分)解析：(1)利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．(2)化简数列的通项公式，然后利用错位相减法求和即可．本题考查数列的通项公式的求法，等差数列以及等比数列的应用，考查数列求和的方法，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)asinB=√3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=√3sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴tanA=√3，A是三角形内角，∴A=π3．(Ⅱ)∵a=√7，b=2，A=π3．∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：7=4+c2−2×2×c×12，整理可得：c2−2c−3=0，解得：c=3或c=−1(舍去)，∴S△ABC=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32．解析：本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A 的大小即可．(Ⅱ)利用余弦定理可求c 的值，通过三角形面积公式即可得解．18.答案：(本小题9分)证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，………………(1分)正方形ABCD 中AC ⊥BD ，PA ∩AC =A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，………………(2分)所以BD ⊥平面PAC.………………(3分)解：(2)正方形ABCD 中AB ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，所以以点A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)． 因为PA =AB =2，所以P(0,0，2)，D(0,2，0)，C(2,2，0)，因为点Q 为线段PC 的中点，所以Q(1,1，1)，所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)．………………(4分)设n ⃗ =(x,y,z)是平面PCD 的法向量，则有{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以{x =02y −2z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,1)，………………(5分)因为cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63，………………(6分)所以直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值等于√63．(3)由(1)可知BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)是平面PAC 的法向量，由(2)n ⃗ =(0,1,1)是平面PCD 的法向量，因为cos <BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，………………(8分)由图可知，二面角A −PC −D 为锐二面角，所以二面角A −PC −D 的大小为π3. ………………(9分)解析：(1)由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥BD ，再由AC ⊥BD ，能证明BD ⊥平面PAC ．(2)以点A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)求出平面PAC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角A −PC −D 的大小． 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的大小求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b2a 2=23，则b 2a 2=59，① 由点C 在椭圆上，将(2,53)代入椭圆方程，4a +259b =1，②解得：a 2=9，b 2=5，∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1； (2)方法一：由(1)可知：b 2a 2=59，则椭圆方程：5x 2+9y 2=5a 2，设直线OC 的方程为x =my(m >0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，{x =my 5x 2+9y 2=5a2，消去x 整理得：5m 2y 2+9y 2=5a 2， ∴y 2=5a 25m 2+9，由y 2>0，则y 2=√5a √5m 2+9， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//OC ，设直线AB 的方程为x =my −a ， 则{x =my −a 5x 2+9y 2=5a2，整理得：(5m 2+9)y 2−10amy =0， 由y =0，或y 1=10am 5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)， 则y 2=2y 1， 则√5a√5m 2+9=2×10am 5m 2+9，(m >0)，解得：m =√35， 则直线AB 的斜率1m =5√33；方法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2，则A(−a,0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1， 由B ，C 在椭圆上，∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y 22)2=5a 2， 解得：x 2=a 4，y 2=4√3则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33；直线AB 的斜率=5√33解析：(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59，将(2,)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值； (2)方法一：设直线OC 的斜率，代入椭圆方程，求得C 的纵坐标，则直线直线AB 的方程为x =my −a ，代入椭圆方程，求得B 的纵坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线直线AB 的斜率k ； 方法二：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，y 2=2y 1，将B 和C 代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=2(1−x 2)x ，x >0，由f′(x)>0，可得{x >01−x 2>0，即x ∈(0,1)， ∴函数f(x)的单调递增区间是(0,1)；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ，则ℎ′(x)=2−x x ，∴x ∈(1,2)时，ℎ′(x)>0，x ∈(2,3)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,2)上为增函数，在(2,3)上为减函数，∴ℎ(2)是ℎ(x)的极大值，也是ℎ(x)在(1,3)上的最大值．∵函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点，∴函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点，则有ℎ(2)>0，ℎ(1)<0，ℎ(3)<0．∴有{2ln2−4−a >0−3−a <02ln3−5−a <0，解得：2ln3−5<a <2ln2−4，∴a 的取值范围是(2ln3−5,2ln2−4)．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点判断，体现了数学转化思想方法，是中档题．(1)求出f(x)的导函数，由导函数大于0求得x 的范围可得函数f(x)的单调递增区间；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ，把函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点转化为函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点，利用导数求ℎ(x)在(1,3)上的最大值，结合函数零点的判定列式求解．。
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（3月份）（含答案解析）
2020年天津市滨海新区高考数学模拟试卷(3月份)一、选择题(本大题共8小题，共如・0分)1.己知集合4= {0』，2, 3, 4, 5}, B = {x \x 2-x -2<0}9 则AC\B =()A. {1,2}B. {0,1, 2}C. {一 1,0, 1}D. (04}3. “xv 2” 是 “x(x-l)V0•'成立的()2.设变量s y 满足约束条件x + 2y < 4x-2y<0.则目标函数z = 3x-y 的最小值为()、x+2>0A. -9 B. 5 C. 1 D. -54. A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图，输出$的值为()A. -1008B. -1010C. 1009D. 1007设函数/(x) = log a |x|在(一8,0)上单调递增，则尸0 + 1)与/*(2)的大小关系是()A. f(a + 1) > /(2)B. /(a + 1) < 7(2)C. f(a + 1) = /(2)D.不能确定6.已知氏、F2分别为双曲线#一§= l(a>0,b>0)的左、右焦点，过点旦且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 两点，当△ F r AB 为等腰直角三角形时，此双曲线的离心率为()A. V2B. V3C. 2 D .店7.若函数f(x) = 2sin(5 +。
)，(x6R,3>0,g| V ；)的最小正周期为s 旦/'(0)=归，则()A.3=；,©B.3==? c. 3=2,s=S D. 3=2,s=三8.己知函数/'(x)=|[L2?；"]1,，若关于x的方程/Xx)=k恰有3个不相等的实根，则实k X I*ZX,X< X数k的取值范困为()A.(2-2/2,1)B,(-co,2-2in2)C, (2-2加2,+8)D.(1,+co)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.设，是虚数单位，则复数i—j=.10.曲线y=x-cosx在点G，：)处的切线方程为____________.11.已知直线2x+my-8=0与圆C：(x-m)2+y2=4相交于48两点，且仙8C为等腰直角三角形,则m=.12.正三棱柱的底而边长为2.高为2.则它的外接球表而积为.13.已知是两个正实数，且满足x+2y=xy,则x+2y的最小值是14.在ZiMBC■中，AB=3,AC=2,BD=则~AD~BD=.三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了50名居民，统计了他们本月参加户外运动时间(单位：小时)的数据.并将数据进行整理，分为5组：[10,12).[12,14),[14,16).[16,18),[18,20].得到如图所示的频率分布直方图.(I )试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于16小时的人数：(口)己知这50名居民中恰有2名女性的户外运动时间在[18,20],现从户外运动时间在[18,20]的16.A ABC的对边分别'为u,b,u,满足q=bcosC+(1) 求角B:(2) 若cosH=试求cosC的值.17.如图,四校锥P—ABCD的底面ABCD为矩形,HPA=AD=1.AB=2.^LPAB=120°. ZPBC=90°.(I)求证：DA1平而PAB-(H)求直线PC与平面ABC。
2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)
2020 年天津市高考数学全真模拟试卷（1）（3 月份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 9 小题，共 45.0 分） 1. 已知全集 U=R，集合 A={x|-2≤x＜3}，B={y|y=2x-1，x≥0}，则 A∩∁UB=（ ）A. {x|-2≤x＜0}B.C.D. {x|0≤x＜3}2. 若，则 =（ ）A. -1B. 1C. -3D. 33. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 中点，那么向量等于( )A. B. C. D.4. 下列有关命题的叙述错误的是（ ）A. 若“p∨q”为假命题，则 p 与 q 均为假命题B. 已知向量 =（1，m+1）， =（m，2），则“ ∥ ”是“m=1”的充分不必要条件C. 命题“若 x2-3x+2=0，则 x=1 的逆否命题为“若 x≠1，则 x2-3x+2≠0” D. 命题“∀x∈（0，+∞），x-lnx＞0”的否定是“∃x0∈（0，+∞），x0-lnx0≤0”5. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，动点 P 在 ABCD 内，且到直线 AA1，BB1 的距离之和等于 ，则△PAB 的面积最大值是（ ）A.B. 1C.D. 26. 函数 f（x）= 的图象大致为（ ）第 1 页，共 13 页A.B.C.D.7. 设 a=0.30.6，b=0.60.3，c=0.30.3，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A. b＜a＜cB. a＜c＜bC. b＜c＜aD. c＜b＜a8. 若实数 a，b，c 成等差数列，动直线 l：ax+by+c=0 与圆 x2+y2=9 相交于 A，B 两点，则使得弦长|AB|为整数的直线 l 共有（ ）条．A. 2B. 3C. 4D. 59. 已知函数 f（x）= mcos2x+（m-2）sinx，其中 1≤m≤2，若函数 f（x）的最大值记为g（m），则 g（m）的最小值为（ ）A. -B. 1C. 3-D. -1二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） 10. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲 社区有驾驶员 96 人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12， 21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为______ ． 11. 已知曲线 f（x）=（ax-1）lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=x-1，则实数 a 的值 为______．12. 已知 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，点 P 是以 F1F2为直径的圆与 C 在第一象限内的交点，若线段 PF1 的中点 Q 在 C 的渐近线上，则 C 的两条渐近线方程为______． 13. （x-1）7（x+1）3 的展开式中 x 的系数是______． 14. 已知一平面截球 O 所得截面圆的半径为 1，且球心到截面圆所在平面的距离为 2， 则球 O 的表面积为______． 15. 已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F（4，0），过 F 作直线 l 交抛物线于 M，N两点，则 p=______，的最小值为______．三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 16. 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，数列{bn}为正项等比数列，已知 a3=5，S3=9，b1=a1，b5=S4． （1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式； （2）记 Tn 为数列{an•bn}的前 n 项和，求 Tn．第 2 页，共 13 页17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（sinA+sinB）（a-b）+bsinC=csinC．（1）求 A；（2）若 b=2c，点 D 为边 BC 的中点，且，求△ABC 的面积．18. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥侧面 BB1C1C，已知，BC=1，AB=C1C=2，点 E 是棱 C1C 的中点． （1）求证：C1B⊥平面 ABC； （2）求二面角 A-EB1-A1 的余弦值；（3）在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．19. 如图，已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的左顶点 A（-2，0），且点（-1， ）在 椭圆上，F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点．过点 A 作斜率为 k（k＞0）的直线交椭 圆 E 于另一点 B，直线 BF2 交椭圆 E 于点 C． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若△CF1F2 为等腰三角形，求点 B 的坐标； （3）若 F1C⊥AB，求 k 的值．第 3 页，共 13 页20. 已知函数.（1）求函数 的单调递增区间；（2）若关于 的方程 的取值范围．在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数2020 年天津市高考数学全真模拟试卷（1）（3 月份）答案和解析【答案】1. B2. B3. A4. B5. C6. B7. B8. C9. D10. 80811. 212. y=±2x13. 414. 20π15. 816. 解：（1）设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，设数列{bn}的首项为 b1，公比为 q，由 a3=a1+2d=5 和 S3=3a1+3d=9 得 a1=1，d=2， an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．第 4 页，共 13 页所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1．b1=a1=1，由 b5=S4 得，所以．所以数列{bn}的通项公式为．（2）．．相减可得． ．即有．17. 解：（1）由（sinA+sinB）（a-b）+bsinC=csinC，可得 a2-b2+bc=c2，由余弦定理可得，故．（2）因为 AD 为△ABC 的中线，所以，两边同时平方可得故 28=c2+b2+bc． 因为 b=2c，所以 c=2，b=4． 所以△ABC 的面积， ．18. （1）证明：∵BC=1，CC1=2，∠BCC1= ，∴BC1= ， ∴BC2+BC12=CC12，∴BC1⊥BC， 又 AB⊥侧面 BB1C1C，∴AB⊥BC1， 又 AB∩BC=B，∴C1B⊥平面 ABC； （2）以 B 为原点，BC，BC1，BA 分别为 x， y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，0，0），A（0，0，2），B1（-1， ， 0），A1（-1， ，2），E（ ， ，0），C（1，0，0）；则 =（- ，- ，2）， =（- ， ，0）， =（0，0，2）；第 5 页，共 13 页设平面 AEB1 的法向量为 =（x，y，z），则，即，令 x=1，得 y= ，z=1，所以 =（1， ，1）；设平面 A1EB1 的法向量为 =（x，y，z），则，即，令 x=1，求得 =（1， ，0）；cos＜ ， ＞===，∴二面角 A-EB1-A1 的余弦值为- ；（3）假设在棱 CA 上存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 ，不妨设 =λ ，λ∈[0，1]；又 =（x-1，y，z）， =（-1，0，2）；即，所以 M（1-λ，0，2λ）；所以 =（ -λ，- ，2λ），平面 A1B1E 的法向量为 =（1， ，0）； 则 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为：|cos＜ ， ＞|===，化简得 69λ2-38λ+5=0，解得 λ= 或 λ= ；所以在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 ，此时 = 或 ．19. 解：（1）由题意得 a=2，将（-1， ）代入椭圆方程，解得：b= ，∴椭圆 E 的标准方程：；（2）由△CF1F2 为等腰三角形，且 k＞0，则点 C 在 x 轴下方， 若丨 F1C 丨=丨 F2C 丨，则 C（0，- ）； 若丨 F1F2 丨=丨 CF2 丨，则丨 CF2 丨=2，C（0，- ）； 若丨 F1C 丨=丨 F1F2 丨，则丨 CF1 丨=2，C（0，- ）； ∴C（0，- ）； ∴直线 BC 的方程 y= （x-1），第 6 页，共 13 页由，得或，∴B（ ， ）； （3）设直线 AB 的方程 lAB：y=k（x+2），由，整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，∴xA•xB=-2xB=，xB=，yB=k（xB+2）=，B（，）若 k= ，则 B（1， ），C（1，- ），由 F1（-1，0），则 =- ，F1C 与 AB 不垂直；∴，由 F2（1，0）， = ， =- ，∴直线 BF2 的方程，直线 CF1 的方程：由，解得，∴C（8k2-1，-8k） 又点 C 在椭圆上得，即（24k2-1）（8k2+9）=0，即∴.20. 解：（1）函数 f（x）的定义域为（1，+∞），∵，∵x＞1，则使 f'（x）＞0 的 x 的取值范围为（1，2）， 故函数 f（x）的单调递增区间为（1，2）． （2）方法 1：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）2， ∴f（x）+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln（x-1）=0． 令 g（x）=x+a+1-2ln（x-1），∵g'（x）=1-，且 x＞1，由 g'（x）＞0 得 x＞3，g'（x）＜0 得 1＜x＜3． ∴g（x）在区间[2，3)内单调递减，在区间(3，4]内单调递增，故 f（x）+x2-3x-a=0 在区间[2，4]内恰有两个相异实根⇔，∵k＞0，第 7 页，共 13 页即解得：2ln3-5≤a＜2ln2-4．综上所述，a 的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）． 方法 2：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）2， ∴f（x）+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln（x-1）=0． 即 a=2ln（x-1）-x-1，令 h（x）=2ln（x-1）-x-1，∵h'（x）=，且 x＞1，由 h'（x）＞0 得 1＜x＜3，h'（x）＜0 得 x＞3． ∴h（x）在区间[2，3)内单调递增，在区间(3，4]内单调递减． ∵h（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又 h（2）＜h（4）， 故 f（x）+x2-3x-a=0 在区间[2，4]内恰有两个相异实根⇔h（4）≤a＜h（3）． 即 2ln3-5≤a＜2ln2-4． 综上所述，a 的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）． 【解析】1. 【解析】：由指数函数的性质，可知集合 B={y|y≥ }=[ ，+∞）又全集 U=R，∴CUB=（- ， ），∵集合 A={x|-2≤x＜3}，∴A∩CUB=[-2， ）．故选：B． 求出集合 B 中的不等式的解集，确定出集合 B，根据全集 U=R，找出集合 B 的补集，然 后找出集合 B 补集与集合 A 的公共部分，即可求出所求的集合 此题考查了交、并、补集的混合运算，是一道基本题型，求集合补集时注意全集的范围2. 解：∵=，∴，则=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出 ，作和得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 【分析】本题考查向量的线性运算的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】 解：在矩形 ABCD 中，E 为 CD 中点，所以，则=故选 A．．第 8 页，共 13 页4. 解：若“p∨q”为假命题，则 p 与 q 均为假命题，正确；已知向量 =（1，m+1）， =（m，2），则“ ∥ ”可得 m2+m-2=0，解得 m=1 或 m=-2，所以“ ∥ ”是“m=1”的必要不充分条件，所以 B 不正确；命题“若 x2-3x+2=0，则 x=1 的逆否命题为“若 x≠1，则 x2-3x+2≠0”，满足逆否命题的 形式，正确； 命题“∀x∈（0，+∞），x-lnx＞0”的否定是“∃x0∈（0，+∞），x0-lnx0≤0”满足命题的 否定形式，正确； 故选：B． 利用复合命题的真假判断 A 的正误；充要条件判断 B 的正误；四种命题的逆否关系判断 C 的正误；命题的否定形式判断 D 的正误． 本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件 等知识，是基本知识的考查．5. 解：∵AA1 和 BB1 都⊥面 ABCD，∴P 到直线 AA1，BB1 的距离就是 PA 和 PB， ∴PA+PB=2 ， ∵△PAB 的 AB 边上的高，当 PA=PB 时最大，这时 PA=PB= ，最大的高==，∴最大面积= ×2× = ．故选：C． △PAB 的 AB 边上的高，当 PA=PB 时最大，这时 PA=PB= ，即可求出△PAB 的面积最 大值． 本题考查△PAB 的面积最大值，考查点到直线距离的计算，属于中档题．6. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，极限思想以及函数值的对应性 结合排除法是解决本题的关键．比较基础．根据函数值的对应性以及极限思想进行排除 即可． 【解答】 解：函数 f（x）为非奇非偶函数，图象不对称，排除 C， 由于 f（x）＞0 恒成立，排除 A， 当 x 趋近于+∞时，f（x）趋近于 0，排除 D， 故选 B．7. 解：∵0.30.6＜0.30.3＜0.60.3，∴a＜c＜b 故选：B． 根据指数函数的单调性得出 0.30.6＜0.30.3，而根据幂函数的单调性得出 0.30.3＜0.60.3，从 而得出 a，b，c 的大小关系． 考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和 减函数的定义．8. 解：实数 a，b，c 成等差数列，所以 2b=a+c，所以直线 l：ax+by+c=0 恒过定点 P（1，-2）； 当直线 1 与 OP 垂直时，圆心 O 到定点 P 的距离 d= ，弦长|AB|=2=4，满足题意，此时直线有 1第 9 页，共 13 页条； 当直线 1 过圆心 O 时，弦长|AB|=2r=6，满足题意，此时直线有 1 条； 当弦长|AB|=5 时，对应的直线应有 2 条，如图所示； 综上，直线 l 被圆 x2+y2=9 所截得弦长为整数时， 对应的直线 l 有 4 条． 故选：C． 根据题意，利用等差数列的定义求出直线 l 恒过定点（1，-2），画出图形，讨论弦长|AB| 的取值范围，从而求出满足条件的直线条数． 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是综合性题目．9. 解：函数 f（x）= mcos2x+（m-2）sinx，化简可得：f（x）= m（1-2sin2x）+（m-2）sinx= m-msin2x+（m-2）sinx= m-[msin2x+（2-m）sinx]， 令 y=msin2x+（2-m）sinx， ∵1≤m≤2，开口向上，对称轴 sinx= ，∴ ≤sinx≤0．故当 sinx= 时，f（x）取得最大值为 g（m）= -m×（ ）2+（m-2）× =．由= ，（当且仅当，即 m= 时取等号）故得 g（m）的最小值为： ． 故选：D． 利用二倍角公式化简 f（x），转化为二次函数问题求解函数 f（x）的最大值 g（m）， 可得 g（m）的表达式，利用基本不等式即可求出 g（m）的最小值． 本题考查了二次函数的最值问题和三角函数化简转化思想．基本不等式的运用，属于中 档题．10. 解：对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人． 在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25，43，则=，∴这四个社区驾驶员的总人数 N=808． 故答案为：808． 利用分层抽样列出方程，由此能求出这四个社区驾驶员的总人数 N． 本题考查四个社区驾驶员的总人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽 样的性质的合理运用．11. 解：由题意，f′（x）=alnx+ ，x＞0．∵f′（1）=a-1=1， ∴a=2． 故答案为：2． 本题先求出 f（x）的一阶导数，然后计算出 f′（1），很明显 f′（1）=1，计算即可得 到 a 的值． 本题主要考查导数求某点处切线斜率的运用，考查了数学计算能力．本题属基础题．第 10 页，共 13 页12. 解：双曲线的渐近线方程为 y=± x，点 P 是以 F1F2 为直径的圆与 C 在第一象限内的交点，可得 PF1⊥PF2， 线段 PF1 的中点 Q 在 C 的渐近线，可得 OQ∥PF2， 且 PF1⊥OQ，OQ 的方程设为 bx+ay=0，可得 F1（-c，0）到 OQ 的距离为=b，即有|PF1|=2b，|PF2|=2|OQ|=2a， 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2b-2a=2a， 即 b=2a， 所以双曲线的渐近线方程为 y=±2x． 故答案为：y=±2x． 求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得 PF1⊥PF2，由三角形的中位线定理可得 PF1⊥OQ，OQ 的方程设为 bx+ay=0，运用点到直线的距离公式可得 F1（-c，0）到 OQ 的距离，结合双曲线的定义可得 b=2a，进而双曲线的渐近线方程． 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线 定理和化简整理能力，属于中档题．13. 解：（x-1）7（x+1）3 的展开式中 x 的系数可这样求得：第一个括号（x-1）7 中提供 x 时，第二个括号（x+1）3 只能提供常数，此时展开式中 x的系数是： •（-1）6•13=7；同理可求，第一个括号（x-1）7 中提供常数时，第二个括号（x+1）3 只能提供 x，此时展开式中 x 的系数是（-1）7• •12=-3，所以展开式中 x 的系数是 •（-1）6•13+（-1）7• •12=4．故答案为：4． 把（x-1）7（x+1）3 看成两部分，利用组合法，分两类解决即可． 本题考查二项式定理，考查组合法的应用，考查运算能力，属于中档题．14. 解：如图，O1A=1，OO1=2，∵OO1⊥圆 O1 所在平面，∴，则球 O 的表面积为 4π×R2=4π×5=20π． 故答案为：20π． 由题意画出图形，求出球的半径，代入球的表面积公式得答案． 本题考查球的表面积的求法，是基础的计算题．15. 解：抛物线 y2=2px 的焦点 F，因为 F（4，0），∴ =4⇒p=8⇒y2=16x；当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x=4，第 11 页，共 13 页由，可得 M（4，8），N（4，-8），∴|MF|=|NF|=8，∴=-= ；当直线 l 的斜率存在时，设过点 F 作直线 l 的方程为 y=k（x-4），不妨设 M（x1，y1）， N（x2，y2），由，消 y 可得 k2x-（16+8k2）x+16k2=0，∴x1+x2=8+ ，x1x2=16， ∴|MF|=x1+ =x1+4，|NF|=x2+ =x2+4，∴+ = + ===．∴= -4（ - ）= + -1≥2 -1= ．（当且仅当|NF|=6 时等号成立）．故答案为：8， ．先有焦点坐标求出 p，再讨论当直线 l 的斜率不存在时，求出答案，当直线 l 的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出 + = ，代入，根据基本不等式即可求最小值 本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的定义，基本不等式的应用，考查了运算 能力和转化能力，是中档题16. （1）设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，设数列{bn}的首项为 b1，公比为 q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求 和，化简运算能力，属于中档题．17. （1）直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．（2）利用余弦定理和向量的应用求出结果． 本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18. （1）推导出 BC1⊥BC，AB⊥BC1，由此证明 C1B⊥平面 ABC．（2）以 B 为原点，BC，BC1，BA 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法求出二面角 A-EB1-A1 的余弦值；（3）设在棱 CA 上存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 ，且 =λ ，λ∈[0，1]，利用法向量求出 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值，列方程求出 λ 的值即可． 本题考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角、面面角的计算问题，考查了运算求 解能力，是中档题．19. （1）将点代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，求得 C 点坐标，设直线 BC 的方程，即可求得点 B 的坐标； （3）设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，即可求得 B 点坐标，分别求得 BF2 及 CF1 方程，第 12 页，共 13 页联立，求得 C 点坐标，代入椭圆方程，即可求得 k 的值． 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式， 考查分类讨论，考查计算能力，属于中档题．20. 本题主要考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函 数的图象交点问题，属于综合题型． （1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调 递增区间即为 f'（x）＞0 的 x 的取值区间； （2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研 究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数 a 的取值范围． 方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据 题意列出关于实数 a 的不等式组进行求解．第 13 页，共 13 页。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷3月第二次模拟考试数学试卷
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷3月第二次模拟考试数学试卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一．填空题1.已知集合}|{},,02|{2axxBRxxxxA≥=∈≤-=,若BBA=⋃,则实数a的取值范围是_______________2.已知ibiia-=+3，其中Rba∈,，i为虚数单位，则ba+=_____________3.某单位从4名应聘者A,B,C,D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有1人被录用的概率是________________4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________5.已知变量x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2yyxyx则目标函数yxz+-=2的取值范围是_________6.已知双曲线1222=-yax的一条渐近线方程为02=-yx,则该双曲线的离心率e=_______7.已知圆C经过直线022=+-yx与坐标轴的两个交点,又经过抛物线xy82=的焦点,则圆C 的方程为________________8.设nS是等差数列}{na的前n项和，若3163=SS,则=76SS_____________9.已知函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=AxAy的部分图像如图所示，则ω的值为___10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______ 11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3cm . 12.下列四个命题：（1）“01,2≤+-∈∃x x R x ”的否定; (2)“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题； (3)在ABC ∆中，“oA 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”. 其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)13.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2BC PB PC +⋅的最小值是______________14.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________ 二、解答题15．（本题满分14分）设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角 （1）若a ·b =613,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+3π)的值．16.（本题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BEBF的值。
2020届天津市实验中学高三3月线上自我检测(六) 数学试题(解析版)
2020届天津市实验中学高三3月线上自我检测（六） 数学试题一、单选题1．记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()U A B =I ð（ ） A ．[)4,+∞ B ．(]1,4 C ．[)1,4 D ．()1,4【答案】C【解析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}U A x x =-<<ð，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥，所以{|44}U A x x =-<<ð，所以()[){|14}1,4U A B x x =≤<=I ð. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 4．函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。
最新天津市滨海新区实验中学高三数学考前模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1、1是虚数单位， 的值是 （ ）A ．-1B ．1C ．-1D ．12、在 的展开式中，含 项的系数是 （ ）A.30 B,20 C.15 D.10 3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16 B. 2524C. 34D. 11124.若曲线()f x x =()a g x x =在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ,且12l l ⊥,则实数a 的值为( ) A. 2- B. 2C. 12D. 12-5、数列是公比为q 的等比数列，则是数列为递增数列的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不确定7.函数() f x 的定义域是R ,()02f =,对任意x ∈R ,()()'1f x f x +>,则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为( )A. {}|0x x >B. {}|0x x <C. {|1x x <-或1}x >D. {|1x x <-或01}x <<8.若坐标原点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP⋅u u u r u u u r 的最大值为( ) A.2B.3C.6D.8二、填空题9、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ．10、以 的直角边AB 为径作圆O,圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC=3，AB=4，则OE= .11、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .12.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线11,:{12x t C y t =+=- (t 为参数)与曲线2sin ,:{3cos x a C y θθ== (θ为参数, 0a >)有一个公共点在x 轴上,则a =__________.13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取__________名学生.14.设函数()xf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x fx m +<,则m 的取值范围是__________. 三、解答题15、已知锐角 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且（1）求角A 的大小：（2）求 的取值范围.16.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. 1.从盒中一次随机抽出2个球,求取出的2个球的颜色相同的概率P ;2.从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为1x ,2x ,3x ,随机变量X 表示1x ,2x ,3x 中的最大数,求X 的概率分布和数学期望()E X .17、如图，四棱锥中，.,F 为PC 的中点，.（1）求 的长： （2）求二面角 的正弦值.18、数列 的各项均为正数，为其前n 项和，对于任意的，总有成等差数列 （1）求数列 的通项公式： （2）设数列 前n 项和为 ，且，求证对任意的实数和任意的正整数n ，总有 .19、已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的标准方程：（2）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若（ⅰ）求 的最值：（ⅱ）求证：四边形ABCD 的面积为定值.20、设函数（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数a的取值范围：（2）若函数有两个极值点，且，求证：参考答案答案： 1、 解析： ∵，∴ ，故选A.考点：复数计算. 答案： 2、 解析：展开式中通项 ，令r=2可得，T 3=C 6 2x 2=15x 2，∴展开式中x 2项的系数为15，在 的展开式中，含x 3项的系数为：15．故选：C ．考点：二项式系数的性质． 3.答案：D解析：根据题意,由于程序框图可知,得到1,4;2S n ==11,6;24S n =+=111,8;246S n =++=此时终止循环得到S 的值为1112.故选D. 考点:程序框图.点评:主要是考查了程序框图基本运用,属于基础题. 4.答案：A 解析：()'f x =,()1'a g x ax-=,所以在点P 处的斜率分别为121,2k k a ==,因为12l l ⊥,所以1212ak k ==-,所以2a =-,选A. 答案： 5、 解析： 若，满足为递增数列，但q ＞1，不成立，故充分性不成立，若q ＞1，，则 为递减数列，故必要性不成立，故“为递增数列”是“q＞1”的既不充分也不必要条件，故选：D考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 6.答案：A 解析： 7.答案：A 解析： 8.答案：C解析：由题设,知(1,0)F -.设点00(,)P x y ,则2200143x y +=,得22003(1)4x y =-.因为0000(,),(1,)OP x y FP x y ==+u u u r u u u r,所以22220000000001(1)(1)3(1)3(2)2444x x OP FP x x y x x x x ⋅=++=++-=++=++u u u r u u u r .又022x -≤≤,所以OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为21(22)264++=.故选C.答案： 9、解析： 甲要获得冠军共分为两种情况：（1）第一场就取胜，这种情况的概率为 ；（2）第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为，则甲获得冠军的概率为.故应填 .考点：等可能事件的概率. 答案： 10、解析： 由题意，连接OD ，BD ，则OD⊥ED，BD⊥AD∵OB=OD，OE="OE" ，∴Rt△EBO≌Rt△EDO，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°，∴∠C=∠EDC，∴ED=EC，∴EB=EC，∵O 是AB 的中点，∴OE=AC，∵直角边BC=6，AB=8，∴AC=10，∴OE=5，故答案为：5. 考点：圆的切线的性质定理的证明． 答案： 11、解析： 如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知．故选C ．考点：空间几何体的三视图. 12.答案：32解析：曲线 1C 的普通方程为23y x =-+,曲线2C 的普通方程为22219x y a +=,直线23y x =-+与x 轴的交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭, 代入2C 的方程,可得32a =. 13.答案：15解析：高二年级学生人数占总数的310,样本容量为50,则3501510⨯=. 14.答案：()(),22,-∞-⋃+∞ 解析：答案： 15、解析： （1）由余弦定理表示出 ，代入 即可得到s1nA 的值，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的大小；（2）由三角形为锐角三角形且由（1）得到A 的度数可知B+C 的度数，利用C 表示出B 并求出B 的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为s1n （B+），然后根据求出的B 的范围求出B+ 的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出s1n （B+ ）的范围即为cosB+cosC 的取值范围． 试题解析：解：（1）（2）考点：1.余弦定理；2.同角三角函数基本关系的运用；3.正弦函数的定义域和值域． 16.答案：1.取到的2个颜色相同的球可能是2个红球,2个黄球或2个绿球,所以2224322963153618C C C P C ++++===.2.随机变量X 所有可能的取值为2,3,4,{}4X =表示的随机事件是“取到4个球是4个红球”,故()444914126C P X C ===;{}3X =表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,或3个黄球和1个其他颜色的球”,故()313145364920613312663C C C C P X C ++====;于是()()()13111213416312614P X P X P X ==-=-==--=, 所以随机变量X 的概率分布如下表:因此随机变量X 的数学期望()111312023414631269E X =⨯+⨯+⨯=. 解析：答案： 17、解析： （1）连接BD 交AC 于点O ，等腰三角形BCD 中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB 、OC 分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A 、B 、C 、D 各点的坐标，设P （0，-3，z ），根据F 为PC 边的中点且AF⊥PB，算出z=，从而得到，可得PA 的长为；（2）由（1）的计算，得 的坐标．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出和分别为平面FAD 、平面FAB 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D 的正弦值． 试题解析： 解：如图建立空间坐标系（2）由（1）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x 1，y 1，z 1），平面FAB的法向量为=（x 2，y 2，z 2），∵ • =0且• =0，∴ ，取y 1= 得=（3，，﹣2），同理，由• =0且• =0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞= ==因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=考点：1、用空间向量求平面间的夹角；2、点、线、面间距离计算；3、二面角的平面角及求法. 答案：18、解析：（1）根据题意，可得2S n=a n+a n2①与2S n−1＝a n−1+a n−12②成立，①-②得2a =a n+a n2-a n-1-a n-12，可以化简为a n-a n-1=1（n≥2），进而可得{a n}是公差为1的等差数n列，将n=1代入①中，可得a 1=1，由等差数列的通项公式，可得答案；（2）由对数的性质，分析可得对任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而a n=n，则总有，用放缩法，可得，由裂项相消法，对右式求和可得证明．试题解析：解：（1）成等差数列是等差数列（2）考点：1.数列与不等式的综合；2.等差关系的确定；3.数列的求和；4.数列递推式．答案：19、解析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b 2+c 2，联立即可得到a 2、b 2、c 2；（2）（ⅰ）设A（x，y 1），B（x 2，y 2），设k1=k，由，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联AC立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ⅱ）由椭圆的对称性可知S 四边形ABCD=4×S △AOB=2|OA||OB|s1n∠AOB，得到，代入计算即可证明．试题解析：解：（1）（2），考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.三角形的面积公式；3.平面向量数量积的运算；4.椭圆的标准方程．答案：20、解析：（1）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（2）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．试题解析：解：（1）在上恒成立（2）上有解.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求闭区间上函数的最值．。
最新天津市滨海新区实验中学高三数学考前模拟测试卷三
数学试卷一、选择题1.已知集合{}=1,2,3,4,5,6U ，{}=1,3,5A ，{}=2,3,4B ，则集合U =A B I ð( ) A.{}1,3,5,6B.{}1,3,5C.{}1,3D.{}1,52.设R x ∈，则“21x ->”是“2430x x -+>”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数为( )A.18B.36C.54D.724.函数3e 1()(e 1)x x f x x +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为( )A. B.C. D.5.已知三棱柱111ABC A B C -，2AB =，1AC =，60BAC ∠=o ，则此球的表面积等于( )A. 8πB. 9πC. 10πD. 11π6.已知函数 12()2log xf x x =-，且 1231(ln ),log ,(2),23a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则 ,,a b c 的大小关系为( )A. c a b <<B. b c a <<C. a c b <<D. b a c <<7.已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>< ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2 ，且函数π()12f x +是偶函数，下列判断正确的是( ) A. 函数()f x 的最小正周期为2π B. 函数()f x 的图象关于点7π012（，）对称 C. 函数()f x 的图象关于直线7π12x =-对称 D. 函数()f x 在3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为(,0)F c -,抛物线24y cx =的准线与双曲线的一个交点为P ,点M 为线段PF 的中点，且OFM △为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )19.已知函数22,0()=1,0x x x f x x x⎧-≥⎪⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. ()1--2,04⎛⎤∞- ⎥⎝⎦U ，B. ()12+04⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭U ，， C. [)1-2-0+4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦U ，，D. [)1,20+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭U ，二、填空题10.复数2+i12i-的共轭复数是 ___________.11.62x）的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 12.已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A --和(2,2)B -，且圆心C 在直线:10l x y --=上，则圆心为C 的圆的标准方程是___________.13.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是______；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望()E ξ为___________.14.已知正数,x y 满足23x yxy+=，则当=x ______时，x y +的最小值是___________.15.在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，且32MN =，若3()2MN AD BC ⋅-=u u u u r u u u r u u u r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r ___________.三、解答题16.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且11,cos ,3b c A ABC -==△的面积为1.求a 及sin C 的值；2.求πcos(2)6A -的值．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，边长为2，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD .1.证明：AC ⊥平面PAD ；2.求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的正弦值；3.棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.18.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是35,a a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列{}1()n n n b b a +-的前n 项和为22n n +． 1.求数列{}n a 的通项公式； 2.求数列{}n b 的通项公式．19.已知点,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=u u u r u u u r ，且该椭圆的离心率为12；1.求椭圆C 的标准方程；2.设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，且2128bk k a⋅=-（O为坐标原点），求直线AP 的方程.20.已知2()46ln f x x x x =--，1.求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；2.对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6(1)12xf x f x x k x'->+--恒成立，求k 的最大整数解；3.令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1212,()x x x x <，且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.参考答案1.答案：D 解析：2.答案：C解析： 4.答案：D 解析： 5.答案：A解析：由于2,1,60AB AC BAC ==∠=︒则121sin 2ABC S BAC =⨯⨯⨯∠=△则该棱柱的高h=2,而由余弦定理可得BC 可知ACB ∠为直角,那么球心O 在11,AB A B 的中点连线的中点上则球O 的半径为R =则此球的表面积为24πR 8πS == 6.答案：C7.答案：D解析：9.答案：A11解析：6162rR rR T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭3326(2)r r r C x-=-,令3302r -=，得2r =.故常数项226(2)60C =-= 12.答案：()()223225x y -++=解析：∵点(1,1)A -和(2,2)B --，∴21321AB k --==-+直线，线段AB 的中点坐标为31(,)22--，∴线段AB 垂直平分线方程为113()232y x +=-+，即330x y ++=，与直线l 联立得：10330x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩，∴圆心C 坐标为()3,2-，∴半径5AC =，则圆C 方程为()()223225x y -++=13.答案：950,3514.答案：，1.解析：16.答案：解：1.在ABC△中,角,,A B C所对的边分别是,,,a b c且11,cos,sin3b c A A-==∴=ABCQ△的面积为1sin6,3,222bcbc A bc b c⋅====∴==,3a∴．再根据正弦定理可得sin sina cA C=,2,sinsinCC=∴2.1sin22sin cos 23A A A ∴=== 27cos22cos 19A A =-=-,故π7122sin2sin66692cos A cos AcosA ππ-=+=-=（） 解析：17.答案：1.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ;2.取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD，PO =以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，P ，(1,1,PC =-u u u r，11(,,0)22BC =u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则01122n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =-，则1y =，z(n =-r ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =u r，cos ,m n m n m n ⋅<>===u r ru r r u r r ，从而sin ,m n <>=u r r ，∴平面PAD 与平面PBC；3.假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r(01)λ≤≤，由2.(1,0,PD =u u u r，AP =u u u r，10AE AP PE AP PD λλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(，又平面PBC的一个法向量是(n =-r ，∴1)0AE n λ⋅=--=u u u r r ，解得13λ=，∴13PE PD =. ∴棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，且13PE PD =. 解析：18.答案：解：1.由题知34528a a a ++=，42a +是35,a a 的等差中项， 所以35424a a a +=+,解得482a q ==，，所以12n n a -=. 2.设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S . 由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由1可知12n n a -=，所以111412n n n b b n -+-=-⋅（）（），故21145,22n n n b b n n ---=-⋅≥（）（）11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-2310111145(49)()7()3()2222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅（）（）013211113()7()(49)()45,22222n n n T n n n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅≥（）（）， 所以1=2n T221111137()(49)()(45)()2222n n n n --⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，2114(43)(),2,2n n T n n -=-+⋅≥又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.解析：19.答案：解：1.依题意知：(,0)A a -，(0,)B b ，(c,0)F ，(,)BA a b =--u u u r，(,)BF c b =-u u u r ，则21BA BF ac b ⋅=-+=u u u r u u u r ，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22:143x y C +=.2.由题意()2,0A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+ 所以(0,2)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x 由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-= 221612(2)34P k x k -∴-⋅=+ 2226812,3434k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k-=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭ 12634P P y k k x k ∴==-，2222234234k k k k k k +==+ 2122263481234k k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解得294k =. 32k ∴=± ∴直线AP 的方程为3(2)2y x =±+，即3260x y ±+=解析：20.答案：解：1.2()46ln f x x x x =--Q所以定义域为()0,+∞6()24f x x x'∴=--； (1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-， 令()0f x '>解得3x >令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞. 2.21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-； 22ln ()(1)x x h x x --'∴=-， 记()2ln m x x x =--，1()10m x x '=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数， 且(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x = 即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-； 所以k 的最大整数解为3.（III ）2()ln g x x a x =-，()20a g x x x '=-==得0x =，当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>； 所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e =-⇒>；因为10x <<2x >21x t x =1()t >， 由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-， 即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a t x t ∴=- 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证：221(31)8t x a +> 即：22ln (31)81a t t a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>， 令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++ 令1()(186)ln 76n t t t t t=+-++，则261()18ln 110t n t t t -'=++>(1)t > 故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.解析：。
2020年天津中学高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)
2020年天津中学高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.已知A={−2,−1,0，1，2}，B={x|2x−1>0}，则A∩B=()A. {−2,−1,0，1，2}B. {0,1，2}C. {0,1}D. {1,2}2.设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=x的图像可能是()x2+aA. (2)(3)(4)B. (1)(2)(4)C. (1)(3)D. (1)(2)(3)(4)4.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120º，AP=√2，AB=2，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积是()B. 40πC. 9√2πD. 18πA. 9π25.为了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了n名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间(单位：小时)在[10,50]内，其中锻炼时间在[30,50]内的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则n=()A. 150B. 160C. 180D. 2006. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=−1f (x )，且在(0,1)上f (x )=3x ，则( )A. 32B. 23C. −32D. −237. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P 使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=2a c，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. 3−√172<e <3+√172 B. 2<e <3+√72 C. 1<e <3+√172D. 2<e <3+√1728. 函数f (x )=sin (x −π3)的单调递增区间是( )A. [kπ−π6,kπ+5π6](k ∈Z) B. [2kπ−π6,2kπ+5π6] (k ∈Z) C. [kπ−7π6,kπ−π6](k ∈Z)D. [2kπ−7π6,2kπ−π6] (k ∈Z)9. 已知函数f(x)=x 2+x −2，若函数g(x)=|f(x)|−f(x)−2mx −2m 2有三个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (1−2√73,−1)∪(2,1+2√73)B. (1−2√73,1+2√73)C. (1−4√23,−1)∪(2,1+4√23) D. (1−4√23,1+4√23) 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 10. 设i 为虚数单位，计算3+i1+i =______．11. 圆x 2+y 2+2y −3=0与圆x 2+y 2+6x +2y +3=0的公共弦方程是_________，公共弦长为______________．12. 若(2x −1x)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n =________，展开式中的常数项是________．13. 已知一个袋中装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球．若任意取出2个球，则取出的2个球颜色相同的概率是______；若有放回地任意取10次，每次取出一个球，每取到一个红球得2分，取到其它球不得分，则得分数X 的方差为______．14. 设实数a ，x ，y ，满足{x +y =2a −1x 2+y 2=a 2+2a −3，则xy 的取值范围是______ ．15. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，AB =√3，BC =1，P 为△ABC 内一点(不含边界)且满足∠BPC = 90°，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ba+c =1−sinAsinC+sinB．(1)求角C的大小；(2)若S△ABC=2√3,a+b=6，求c．17.如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．(1)求证AF//平面CDE；(2)求直线EF与平面ADE所成角的大小．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFP与△BFQ的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求直线l的方程．19.在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．(1)求a n和b n；(2)求数列{nb n}的前n项和S n．20.设函数f(x)=xlnx．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，求实数a的取值范围；(x12−x22)>f(x1)−f(x2)恒成立，求实数m的取值范围．(3)当x1>x2>0时，m2【答案与解析】1.答案：D解析：解出关于集合B的不等式，从而求出其和A的交集即可．本题考查了集合的运算，是一道基础题．解：A={−2,−1,0，1，2}，B={x|2x−1>0}={x|x>12}，则A∩B={1,2}，故选：D．2.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，分别令a=0，a>0，a<0，根据导数和函数的单调性即可判断．解：f(x)=xx2+a ，可取a=0，f(x) = 1x ,故(4)正确；∴f′(x)= a−x2 (x2+a)2 ,当a<0时，函数f′(x)<0恒成立，x2+a=0，解得x=±√−a，故函数f(x)在(−∞,−√−a)，(−√−a,√−a)，(√−a,+∞)上单调递减，故(3)正确；取a>0，f′(x)=0，解得x=±√a，当f′(x)>0，即x∈(−√a,√a)时，函数单调递增，当f′(x)<0，即x∈(−∞,−√a)，(√a,+∞)时，函数单调递减，故(2)正确;的图象可能是(2)，(3)，(4)，函数f(x)=xx2+a故选A．4.答案：D解析：首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．解：如图所示：三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AP=√2,AB=2，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为√3，则：当AM⊥BC时，线段PM达到最小值，由于：PA⊥平面ABC，所以：PA2+AM2=PM2，解得：AM=1，所以：BM=√3，则：∠BAM=60°，由于：，∠BAC=120°，所以：∠MAC=60°则：△ABC为等腰三角形．所以：BC=2√3，=4，在△ABC中，设外接圆的直径为2r=2√3sin120°则：r=2，所以：外接球的半径R═√22+(√22)2=√92，则：S =4⋅π⋅92=18π， 故选D ．5.答案：D解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题． 先求出锻炼时间在[30,50]频率，进而求出答案．解：由频率分布直方图得锻炼时间在[30,50]对应的频率为1−(0.010+0.023)×10=0.670， 所以n =1340.670=200， 故选D ．6.答案：C解析：本题主要考查函数的奇偶性，属于一般题． 解析：解：∵f(x)为奇函数且f(x +2)=−1f(x)∵f(x +4)=−1f(x +2)=f(x)又∵当x ∈(0,1)时，f(x)=3x 故f(log 354)=−32 故选C ．7.答案：D解析：解：不妨设P 在双曲线右支上运动，并设P(x 0,y 0)，则x 0>a由正弦定理可sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=|PF 2||PF 1|=2a c，由双曲线的第二定义可得|PF 1|=a +ex 0，得|PF 2|=ex 0−a∴ex0−aex0+a =2ac，解得x0=2a2+acce−2ae>a，∴2a+c>ce−2ae，两边同除以a，可得2+e>e2−2e，即e2−3e−2<0，解得1<e<3+√172，又ce−2ae>0，解得e>2，故2<e<3+√172，故选：D．用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，属于中档题．8.答案：B解析：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．的单调递增区间，则令−π2+2kπ⩽x−π3⩽π2+2kπ，解出x即可．解：由−π2+2kπ⩽x−π3⩽π2+2kπ(k∈Z)，即−π6+2kπ⩽x⩽5π6+2kπ(k∈Z)，故选B．9.答案：A解析：本题考查函数零点的应用，根的分布．化简g(x)解析式，根据一次函数与二次函数的根的分布情况列不等式得出m的范围．解：令f(x)=x2+x−2≥0，解得x≥1或x≤−2，∴g(x)={−2mx−2m 2,x≤−2或x≥1−2x2−(2+2m)x−2m2+4,−2<x<1，若函数g(x)有三个不同的零点，则2mx +2m 2=0在(−∞,−2]∪[1,+∞)上有一解， 且−2x 2−(2+2m )x −2m 2+4=0在(−2,1)上有两解， 由2mx +2m 2=0在(−∞,−2]∪[1,+∞)上有一解， 得−m ≤−2或−m ≥1，即m ≥2或m ≤−1，由−2x 2−(2+2m )x −2m 2+4=0在(−2,1)上有两解， 得{(2+2m )2−8(2m 2−4)>0−2<−1+m 2<1−8+2(2+m )−2m 2+4<0−2−(2+2m )−2m 2+4<0，解得{1−2√73<m <1+2√73−3<m <3m <0或m >2m <−1或m >0，∴m 的范围是(1−2√73,−1)∪(2,1+2√73)． 故选A ．10.答案：2−i解析：解：3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i 2=2−i ．故答案为：2−i复数的分母实数化，化简为a +bi 的形式即可．本题考查复数的基本运算，复数的分母实数化是解题的关键．11.答案：x =−1，2√3解析：本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题．利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求．解：由两圆方程相减得两圆公共弦方程为6x +2y +3−(2y −3)=0，即x =−1， 圆x 2+y 2+2y −3=0化为x 2+(y +1)2=4，圆心到直线的距离为1， 所以两圆公共弦长为2√4−12=2√3， 故答案为x =−1，2√3．。
天津市滨海新区高三下学期三模数学试题(解析版)
天津市滨海新区高三下学期三模数学试题一、单项选择题1．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，{}26N x R x =∈≤≤，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．()MN M B ．N ()M NC ．M N N ⋃=D ．M N M ⋂=【答案】A【分析】利用集合的根本运算以及集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】集合{}1,2,3,4,5,6M =，{}26N x R x =∈≤≤，那么{}2,3,4,5,6MN =，所以，()M N M ，N ()MN ，MN N ≠，MN M ≠.应选：A.2．设a 、b R ∈，那么“2a ≥且2b ≥〞是“228a b +≥〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用不等式的根本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：假设2a ≥且2b ≥，那么24a ≥且24b ≥，从而可得228a b +≥，充分性成立；必要性：取1a =，3b =，那么228a b +≥成立，但“2a ≥且2b ≥〞不成立，必要性不成立.因此，“2a ≥且2b ≥〞是“228a b +≥〞的充分不必要条件. 应选：A.3．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如下列图．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为〔 〕A ．18B ．36C ．54D ．72【答案】B【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数． 【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣〔0.03+0.06+0.18+0.14〕×2＝0.18， ∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36． 应选：B ．【点睛】此题考查频数的求法，考查频率分布直方图等根底知识，考查运算求解能力，是根底题．4．函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是〔 〕 A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 应选：D.【点睛】此题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的外表上， ,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且22,2AC BC CD ===，那么球O 的外表积为 A ．4π B ．8πC ．16πD ．22π【答案】C【详解】由题意可知CA ,CB ,CD 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，()(22222222216R =++=，求的外接球的外表积2416S R ππ==，选C【点睛】求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题．充分表达补形转化思想．6．抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=〔0a >，0b >〕的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，那么双曲线的方程为〔 〕A ．221916x y -=B ．2211641x y -=C ．2214116y x -=D ．221916y x -=【答案】D 【分析】由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到9a ==，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ， 即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=54bc==， 所以4b =，又由9a ==，所以双曲线的方程为221916y x -=.应选：D .【点睛】此题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.7．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)+∞，上单调递增，那么〔 〕. A ．0.63(3)(log 13)(2)f f f -<-< B ．0.63(3)(2)(log 13)f f f -<<- C ．0.63(2)(log 13)(3)f f f <-<- D ．0.63(2)(3)(log 13)f f f <-<-【答案】C【分析】利用()f x 为偶函数将所给式子的自变量全部转化到(0)+∞，上，然后判断自变量的大小关系，根据自变量的大小关系及单调性判断. 【详解】∵()f x 定义在R 上的偶函数， ∴(3)(3)f f -=，33(log 13)(log 13)f f -=，又∵00.610.6222122<<⇒<<，3333log 9log 13log 272log 133<<⇒<<，∴0.632log 133<<，∴0.63(2)(log 13)(3)f f f <-<-， 应选：C .【点睛】此题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，较容易，解答时转化并判断自变量的大小关系是关键.8．函数()cos sin 2f x x x =①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ； ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数.A ．①②③④B ．②③C ．①②③D ．①②④【答案】D【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.【详解】①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确； ②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，那么3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =(1)0,y y -==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,22x ⎡⎡⎤∈-⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确. 应选：D .【点睛】此题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.9．函数f 〔x 〕满足f 〔x 〕＝f 〔3x 〕，当x ∈[1，3〕，f 〔x 〕＝lnx ，假设在区间[1，9〕内，函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕﹣ax 有三个不同零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．313ln e ⎛⎫⎪⎝⎭， B ．3193ln e ⎛⎫⎪⎝⎭， C ．3192ln e ⎛⎫⎪⎝⎭， D ．3393ln ln ⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】B【分析】根据题意得到()ln ,13ln ,393x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩画出函数图像，计算直线y ax =与函数相切和过点()9,ln3时的斜率，根据图像得到答案.【详解】函数f 〔x 〕满足f 〔x 〕＝f 〔3x 〕，当x ∈[1，3〕，f 〔x 〕＝lnx故()ln ,13ln ,393x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()()()0g x f x ax f x ax =-=∴=画出函数图像，如下列图：当直线与()()ln 393xf x x =≤<相切时： ()1'f x x=，设切点为()00,x y 那么000000011ln 1303y x y x e x x -=∴=∴=∴=- 此时13a k e==当直线经过点()9,ln3时：ln 39a k == 综上所述：ln 3193a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 应选：B【点睛】此题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.二、填空题10．复数z=〔1+i 〕〔1+2i 〕,其中i 是虚数，那么z 的模是__________【分析】利用复数的运算法那么、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z ＝〔1+i 〕〔1+2i 〕＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |==【点睛】对于复数的四那么运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为a bi -．11．〔x +1〕〔x ﹣1〕5展开式中含x 2项的系数为_____．〔用数字表示〕 【答案】﹣5【分析】按照二项式定理将()()()54111x x x =---展开，即可求得()()511x x +-展开式中含2x 项的系数.【详解】()()()()524321114641x x x x x x x +-=--+-+，∴展开式中含2x 项的系数为()16115-⨯+⨯=-， 故答案为：5-.【点睛】此题主要考查了二项式展开式某一项系数的应用问题，属于根底题. 12．直线l ：220x y --=，点P 是圆C ：()()22114x y ++-=上的动点，那么点P 到直线l 的最大距离为______.2【分析】求得圆心到直线l 的距离为d =.【详解】由题意，圆C ：()()22114x y ++-=的圆心坐标为(1,1)C -，半径2r ，那么圆心到直线l ：220x y --=的距离为d ==所以点P 到直线l的最大距离为2d r +=.2.【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，结合圆的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题. 13．,a b 都为正实数，且111a b +=，那么25b a a ab++的最小值为______． 【答案】9【分析】将111a b+=通分整理代入所求式子，配凑根本不等式形式求解即可 【详解】111a b +=那么a b ab += 且1b b a，那么25b a a ab++=25122519a b a b ，当且仅当1115a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩等号成立故答案为9【点睛】此题考查根本不等式求最值，将条件灵活变形是关键，是中档题14．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，边DC 〔包含点D 、C 〕的动点P 与CB 延长线上〔包含点B 〕的动点Q 满足DP BQ =，那么PA PQ ⋅的取值范围是___________. 【答案】3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】如下列图，设(),1P x ，()2,Q y ()02,20x y ≤≤-≤≤.由于DP BQ =，可得x y =，x y =-.可得22211PA PQ x x y x x ⋅=--+=-+，再利用二次函数的单调性即可得出. 【详解】解：如下列图，设(),1P x ，()2,Q y ()02,20x y ≤≤-≤≤.DP BQ =，x y ∴=，x y ∴=-.(),11PA x =--，()2,1PQ x y =--，那么()()21PA PQ x x y ⋅=----221x x y =--+21x x =-+()21324x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴当12x =时，那么()f x 取得最小值34.又()01f =，()23f =，()f x ∴的最大值为3.∴那么PA PQ ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、双空题15．箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．那么3个小球颜色互不相同的概率是_____；假设变量ξ为取出3个球中红球的个数，那么ξ的数学期望E 〔ξ〕为_____． 【答案】950 35【分析】根本领件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的根本领件个数m ＝103﹣〔23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯〕＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；假设变量ξ为取出3个球中红球的个数，那么ξ～〔n ，210〕，由此能求出ξ的数学期望E 〔ξ〕．【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 根本领件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的根本领件个数：m ＝103﹣〔23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯〕＝180，那么3个小球颜色互不相同的概率是P 1809100050m n ===； 假设变量ξ为取出3个球中红球的个数，那么ξ～〔n ，210〕，∴ξ的数学期望E 〔ξ〕＝323105⨯=． 故答案为：950，35．【点睛】此题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等根底知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．四、解答题16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，(cos cos )0C a B b A c ++=．〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设a =2b =．求：〔ⅰ〕边长c ；〔ⅱ〕sin(2)B C -的值．【答案】〔1〕34C π=； 〔2〕〔ⅰ〕c =〔ii 〕sin(2)B C -=．【分析】〔1〕利用正弦定理化简条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. 〔2〕〔ⅰ〕两边和夹角，用余弦定理求得边c ； 〔ⅱ〕由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.【详解】解：〔1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，0C π<<， ∴34C π=〔2〕〔ⅰ〕因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得22222cos 24222()102c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，∴10c = 〔ⅱ〕由5sin sin sin 5c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以25cos 5B = 5254sin 22555B =⨯⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=， 423272sin(2)sin 2cos cos 2sin ()525210B C B C B C -=-=⨯--⨯=-【点睛】此题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的根本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.17．在如下列图的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，3DAB π∠=，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．〔Ⅰ〕求证：//AN 平面MEC ．〔Ⅱ〕求ME 与平面MBC 所成角的正弦值：〔Ⅲ〕在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？假设存在，求出AP 的长；假设不存在，请说明理由． 【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ6〔Ⅲ〕不存在，理由见解析． 【分析】〔Ⅰ〕设CM 与BN 交于F ，连接EF ，利用条件得到//AN EF ，利用线面平行的判定定理即可得证；〔Ⅱ〕先利用条件得到DE AB ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到DN ⊥平面ABCD ，以DE 为x 轴，DC 为y 轴，DN 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面所成角即可；〔Ⅲ〕利用空间向量求解二面角判断即可.【详解】证明：〔Ⅰ〕设CM 与BN 交于F ，连接EF ， 由得四边形BCNM 是平行四边形， 所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点， 所以//AN EF ， 又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以//AN 平面MEC ．〔Ⅱ〕由于四边形ABCD 是菱形，3DAB π∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥． 又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ， 平面ADNM平面ABCD AD =，∴DN ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D-xyz ， 那么()0,0,0D ，)3,0,0E，()0,2,0C ，(3,1,1)M -，(3,1,0)B ，()0,0,1N ；设平面MBC 的法向量为1(,,)n x y z = (0,2,1)MB =-，(3,1,0)BC =-〕， 1100MB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴200y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴1(1,3,2n =，(0,1,1)ME =-，111cos ,||||2MEn ME n ME n ⋅-<>===∴ME 与平面MBC ； 〔Ⅲ〕设1,)P h -，(3,2,0)CE =-，()0,1,EP h =-， 设平面PEC 的法向量为1(,,)n x y z=，那么1100CE n EP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴20y y hz-=-+=⎪⎩，令y =，∴1(2n h =，又平面ADE 的法向量2(0,0,1)n =，122211231cos ,27||||n n n n n h n ⋅<>===解得，h =1>， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：〔1〕建坐标系，建立坐标系的原那么是尽可能的使得点在坐标轴上或在坐标平面内； 〔2〕根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. 〔3〕利用数量积验证垂直或求平面的法向量.〔4〕利用法向量求距离、线面角或二面角.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率12e =，左顶点为()4,0A -，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥，假设存在，求出点Q 的坐标；假设不存在说明理由；〔3〕假设过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.【答案】〔1〕2211612x y +=；〔2〕存在，Q 的坐标为()3,0-；〔3〕最小值为22【分析】〔1〕根据题中条件求出a 、c 的值，可得出b 的值，进而可求得椭圆C 的方程； 〔2〕设直线l 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立，求出D 、P 、E 的坐标，设点()(),0Q m n m ≠，根据OP EQ ⊥可得出1OP EQ k k =-，利用直线的斜率公式可求得m 、n 的值，由此可得出定点Q 的坐标；〔3〕写出直线OM 的方程为y kx =，与椭圆方程联立可求得点M 的横坐标，由此可得出AD AEOM+关于k 的表达式，利用根本不等式求得结果.【详解】〔1〕椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率12e =，左顶点为()4,0A -，4a ∴=，又12e =，2c ∴=，那么22212b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2211612x y +=；〔2〕直线l 的方程为()4y k x =+，由()22116124x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得()()2244316120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，14x ∴=-，222121643k x k -=+，当22121643k x k -=+时，22212162444343k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，即点222121624,4343k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 点P 为AD 的中点，P ∴的坐标为2221612,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，那么()304OP k k k =-≠， 直线l 的方程为()4y k x =+，令0x =，得E 点坐标为()0,4k ， 假设存在定点()(),0Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 那么1OP EQ k k =-，即3414n kk m--⋅=-恒成立， ()41230m k n ∴+-=恒成立，∴412030m n +=⎧⎨-=⎩，即3m n =-⎧⎨=⎩，∴定点Q 的坐标为()3,0-；〔3〕//OM l ，OM ∴的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x = 由//OM l，得222121682D A E A D A M M k AD AE x x x x x x OM x x -++-+--====⎫=≥2k =±时取等号， ∴当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用根本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．19．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＞0，S 2=2a 2-2，S 3=a 4-2，数列{a n }满足a 2=4b 1，nb n +1-〔n +1〕b n =n 2+n ，〔n ∈N 〕. 〔1〕求数列{a n }的通项公式； 〔2〕证明数列{nb n}为等差数列； 〔3〕设数列{c n }的通项公式为：C n =24n n n n a b n a b n ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，其前n 项和为T n ，求T 2n .【答案】〔1〕2nn a = ；〔2〕证明见解析；〔3〕27127499nn n T -=+⋅. 【分析】〔1〕由等比数列的根本量法求解； 〔2〕求得11b =，再证11n nb b n n+-+为常数即可； 〔3〕先并项，设212n n n p c c -=+，然后有212n n T p p p =+++，用错位相减法计算．【详解】〔1〕由于等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2=2a 2-2，S 3=a 4-2， 所以S 3-S 2=a 4-2a 2=a 3， 整理得22222a q a a q -=， 由于a 2≠0，所以q 2-q -2=0，由于q >0， 解得q =2.由于a 1+a 2=2a 2-2，解得a 1=2， 所以2n n a =.〔2〕数列{a n }满足a 2=4b 1，解得b 1=1， 由于nb n +1-〔n +1〕b n =n 2+n ，所以111n nb b n n+-=+〔常数〕. 所以数列数列{n bn}是以1为首项1为公差的等差数列.〔3〕由于数列数列{n bn}是以1为首项1为公差的等差数列.所以()11n b n n n=+-=，解得2.n b n =由于数列{c n }的通项公式为：C n =24n n n n a b n a b n ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，所以令212n n np c c -=+=()2122212(2)224n n n n --⋅⋅-+=〔4n -1〕⋅4n -1. 所以()012123474114414n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅①，4()12323474114414nn T n =⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅②， ①-②得：01123344444n n T --=⋅+⋅+⋯+⋅-〔4n -1〕⋅4n ，整理得()24133441441n n n T n --=+⋅--⋅-，故：27127499n n n T -=+⋅. 【点睛】此题考查等比数列的通项公式，考查用定义法证明等差数列，考查并项求和与错位相减法求和．数列中数列求和是一个难点，如果数列的项中出现正负相间，可能考虑并项求和法或分组求和法．在数列的项是一个等差数列与一个等比数列的项相乘所得时，用错位相减法求和，如果项是等差数列相邻两项积的倒数，那么用裂项相消法求和． 20．函数2()ln ,()1af x xg x bx x ==+-，(a ，b ∈R ) 〔1〕当a =﹣1，b =0时，求曲线y =f (x )﹣g (x )在x =1处的切线方程；〔2〕当b =0时，假设对任意的x ∈[1，2]，f (x )+g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； 〔3〕当a =0，b >0时，假设方程f (x )=g (x )有两个不同的实数解x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：x 1+x 2>2. 【答案】〔1〕30x y +-=〔2〕[,)2e+∞〔3〕证明见解析【分析】〔1〕求出()()y f x g x =-的导函数，求出函数在1x =时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；〔2〕对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x +都成立，那么对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+，恒成立，构造函数22()(12)h x x lnx x x =-+，求出()h x 的最大值可得a 的范围； 〔3〕由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，构造函数()1(0)F x lnx bx x =-+>，将问题转化为证明112()0()F x F x b->=，然后构造函数证明1122()()0()F x F x F x b->==即可． 【详解】〔1〕当1a =-时，0b =时，211y lnx x =++， ∴当1x =时，2y =，312y x x∴=-'， ∴当1x =时，1y '=-，∴曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为30x y +-=；〔2〕当0b =时，对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x +都成立， 那么对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+恒成立，令22()(12)h x x lnx x x =-+，那么()2h x xlnx x -'=+．令()0h x '=，那么x =∴当1x <<()0h x '>，此时()h x 单调递增；2x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，∴()2max e h x h ==，2e a ∴， a ∴的取值范围为[,)2e +∞；〔3〕当0a =，0b >时，由()()f x g x =，得10lnx bx -+=， 方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <， 令()1(0)F x lnx bx x =-+>，那么12()()0F x F x ==，1()F x b x'=-， 令()0F x '=，那么1x b=， ∴当10x b <<时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x b>时，()0F x '<，此时()F x 单调递减，∴1()()0max F x F b=>，01b ∴<<，又1()0bF e e=-<，F 〔1〕10b =->， ∴1111x e b <<<， ∴121x b b->， ∴只要证明212x x b >-，就能得到1222x x b +>>，即只要证明112()0()F x F x b->=， 令221()()()()22(0)G x F x F x ln x lnx bx xbbb=--=--+-<， 那么212()()02()b x b G x x x b-='<-，()G x ∴在1(0,)b 上单调递减，那么1211()()()()0G x G F F b b b b >=--=，∴1112()()()0G x F x F x b =-->，∴1122()()0()F x F x F x b ->==，∴212x x b>-， ∴1222x x b+>>，即122x x +>，证毕．【点睛】此题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．。
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2020届天津市实验中学滨海分校高三模拟考试（3月）数学试题一、单选题
(★) 1 . 已知，则（）
A．B．C．D．
(★★) 2 . 设，是两个不同的平面，是直线且．“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
(★★) 3 . 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
(★) 4 . 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
(★) 5 . 已知函数，对任意的，，总有
成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
(★) 6 . 函数= 的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★) 7 . △ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 ，
a=2， c= ，则 C= A ． B ．
C ．
D ．
(★★) 8 . 设椭圆C ：
的左、右焦点分别为 、 ，P 是C 上的点，
⊥ ， ∠
=
，则C 的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★★) 9 . 已知函数
， ，若存在 ，使得 ，
则实数 的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
(★) 10 . 复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是 ________ ． (★★) 11 . 的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答）
(★★) 12 . 已知
，且
，则
的最小值为 ______________ .
(★) 13 . 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发
现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．
(★★) 14 . 如图，在中，，是边上一点，，则．
(★★) 15 . 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数
的取值范围是________．
三、解答题
(★★) 16 . 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励
（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：
（2）记为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望
(★★) 17 . 已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．
(★★) 18 . 如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）当的长为何值时，二面角的大小为．
(★★★★) 19 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.
①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；
②求面积的最大值.
(★★★★) 20 . 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．。