大学数学 概率统计3.1

当( X ,Y )取某组实数 ( x, y)时，若另一 r .v . Z取
z f ( x, y)的值，称Z是二维r .v.( X ,Y )的函数， 记作Z f（X ,Y） .
例 X的分布律如下，求Y1 2 X 1,Y2 X 2的分布律.
X P 解： -1 0.1 0 0.2 1 0.3 1.5 0.4
计算方法和步骤： 1、由X=xi ,Y=yj得出Z f ( xi , y j ), 根据P{Z f ( xi , y j )} pij写出Z的分布律。 2、若有相同的f(xi ,yj）数值，将对应 的pij相加后再写出Z的分布律。
例 求Z 2 X Y , Z XY , (3) max( X , Y ); 1 2
(4) min( X , Y )的分布律.
X
-1 1 Y
-1
0.3 0
0
0.2 0.4
1
0 0.1
解：
(X,Y) P (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (1,-1) (1,0) (1,1) 0.3 0.2 0 0 0.4 0.1
Z1 Z2
1 1
2 3
3
2
0
1
1
0 1 1
所求分布律为：
Z1 P Z2
2 0.2 0
1 0.3 1
1 2 0.1 0.4
P
0.6
0.4
i k i C nC m i 0
k

k C n m
k Cn k 0
n

k 1
n k 2
1 2
n
四、几个重要结论
1、设X1 , X 2 ,....X n相互独立, 且X i ~ B(1, p), (i 1,2...n)
i 1
k 1
k 1 1 1 1 k 1 i k i k k 2 2 i 1 2 i 1 2
作业：P87，1，4，7
例2、设X , Y相互独立, 其分布律为 1 P{ X n} P{Y n} n ，n 1,2, 2 试求X Y的分布律。
解
P { X Y k } P{ X i , Y k i }
k 1 i 1
X , Y独立
k 1
P{ X i } P{Y k i }
§ 3.1 离散型随机变量的函数
定义1
设y f ( x )是一元函数 , X是R.V .，当X取
某一实数x时，若另一 r .v.Y取y f（x）的值，
则称Y是一维r .v. X的函数，记作 Y f（X） .
定义2 设z f ( x，y )是二元函数 .( X ,Y )是R.V .，
2、 若X ,Y相互独立，且X ~ P(1 )，Y ~ P(2 ) 则X Y ~ P(1 2 )
a b 例1、设X , Y相互独立且P{ X k } , P{Y k } 2 k k k 1,2. 试求X Y的分布律。
解 （先求待定系数）
a a 3a 1 P{ X 1} P{ X 2} 1 2 2 2 a 3 b b 5b 1 P{Y 1} P{Y 2} 1 4 4 4 b 5
第三章
随机变量的函数
重点：随机变量函数的概念 求随机变量函数的分布 难点：随机变量函数的概念 分布函数法
背景
在许多实际问题中,常常需要研究随机 变量的函数的分布问题, 例: 测量圆轴截面的直径d,而关心的却 是截面积： S 1 d 2
4
d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。 在统计物理中,已知分子的运动速度X的分 布,求其动能 1 Y mX 2 的分布。 2
X
P
-1
0.1
0
0.2
1
0.3
1.5
0.4
Y1 Y2
3
1
1
2
1
0
1
2.25
所求分布律为：
Y1
3
1
1
2
P
Y2
0.1
0
0.2
1
0.3
2.25
0.4

P
0.2
0.4
0.4
二、求Y=f(X)的分布律方法：
（1） 由X xi 计算Y f ( xi ), 根据P{Y f ( xi )} pi写出Y的分布律；
(2) 若有多个f ( xi )相同，则将对应的pi 相加。
三、二维离散型随机变量的函数
对函数Z f ( X , Y ), 已知(X , Y )的分布律为P{ X xi , Y y j } pij , 由于 P{ X xi , Y y j } P{ f ( X , Y ) f ( xi , y j )} P{ Z f ( xi , y j )} pij 故Z 的分布律可由(X , Y )的分布律得到。
则Y X1 X 2 ... X n ~ B(n, p)
特别 (1)设X1 , X 2相互独立 , 且X i ~ B(1, p), ( i 1,2)
则Y X 1 X 2 ~ B(2, p)
(2)若X ,Y相互独立，且 X ~ B(n, p)，Y ~ B(m, p)
则X Y ~ B(m n, p)