第4章 特征值

第四章 1方阵的特征根与特征向量一、特征根与特征向量1 定义：设A 为n 阶方阵，如果数λ和n 维非零列向量x ，使Ax x λ=成立，则称数λ为方阵A 的特征根，非零列向量x 称为对应于特征根λ特征向量。

2 性质① 设12,x x 都是方阵A 的对应于特征根λ特征向量，则当120x x +≠时，12x x +也是方阵A 的对应于特征根λ特征向量。

② 设x 都是方阵A 的对应于特征根λ特征向量，对于任意非零常数k ，则kx 也是方阵A 的对应于特征根λ特征向量。

③ 方阵A 的对应于特征根λ的有限个特征向量的非零线性组合也是方阵A 的对应于特征根λ特征向量。

④ 若12,,,m λλλ 方阵A 的m 个互不相等的特征根，12,,,m p p p 是方阵A 的依次对应的特征向量，则12,,,m p p p 线性无关。

⑤ n 阶方阵A 与T A 的特征根相同。

二、特征根与特征向量的计算显然，特征根定义中的等式可表述为齐次线性方程组：()0I A λ-=，它有非零解的充要条件是：0I A λ-=，这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为方阵A 的特征方程。

称()f I A λλ=-为方阵A 的特征多项式。

例1 求3113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征根与特征向量。

解：因 23168(4)(2)13I A λλλλλλλ--==-+=--- 所以，A 的特征根为：12λ=，24λ=第四章 2① 当12λ=时，对应的特征向量应满足齐次线性方程组：122310123x x -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即 1211011x x -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 也就是：120x x -=即 1222x x x x =⎧⎨=⎩12211x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得它的一个基础解系为：111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以方阵A 对应于特征根12λ=的全部特征向量为：11111k k ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 其中1k 为任意非零实数。

② 当24λ=时，对应的特征向量应满足齐次线性方程组：124310143x x -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即 1211011x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也就是：120x x +=即 1222x x x x =-⎧⎨=⎩12211x x x -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得它的一个基础解系为：211ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以方阵A 对应于特征根24λ=的全部特征向量为：22211k k ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 其中2k 为任意非零实数。

例2 求210230104A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根与特征向量。

第四章 3解：因 2210230(4)(1)14I A λλλλλλ---=--=--- 所以得方阵A 的特征根为：11λ=，234λλ==① 当11λ=时，对应的特征向量应满足齐次线性方程组：()0I A x -=即 1231102200103x x x --⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥--= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭， 而 110103220013103000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 故对应的方程组为： 13233333x x x x x x =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ，得其一个基础解系为：1331ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以方阵A 对应于特征根21λ=的全部特征向量为：111331k k ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 其中1k 为任意非零实数。

② 当234λλ==时，对应的特征向量应满足齐次线性方程组：(4)0I A x -=即 1232102100100x x x -⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 而 21010021001010000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故对应的方程组为： 123300x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，得其一个基础解系为：2001ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以方阵A 对应于特征根234λλ==的全部特征向量为：第四章 4222001k k ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中2k 为任意非零实数。

例3 求000000a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征根与特征向量。

解：因 3000()0aI A aa aλλλλλ--=-=-- 所以得方阵A 的特征根为：123a λλλ===当123a λλλ===时，解齐次线性方程组：()0aI A x -=因 000000000aI A ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以任意3个线性无关的向量是它的一个基础解系，取：1231000,1,0001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则方阵A 对应于特征根123a λλλ===的全部特征向量为：123100010001k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中123,,k k k 为任意非零实数。

例4 设λ是可逆矩阵A 的一个特征根，x 为对应的特征向量，证明1(0)λλ-≠ 是1A -的一个特征根，x 为对应的特征向量。

第四章 5证：因为λ是可逆矩阵A 的一个特征根，故有Ax x λ=，两边左乘1A -得：111A Ax A x A x λλ---==，即 1x A x λ-=，也就是：111A x x x λλ--==所以1(0)λλ-≠ 是1A -的一个特征根，x 为对应的特征向量。

例5 设n 阶方阵A 满足2A A =，证明A 的特征根只能是0或1。

证：设λ是n 阶方阵A 的一个特征根，x 为对应的特征向量，则Ax x λ=，所以22A x Ax x λλ==，又因2A A =，故有2Ax x λ=，即2x x λλ=，所以，2()0x λλ-=，即 20λλ-=，故有：0 1λλ==或例6 试证：n 阶方阵A 奇异的充要条件是：A 有一个特征根为零。

证：必要性：如果A 是奇异的，则0A =，于是有：0(1)0n I A A A -=-=-=，即0是A 的一个特征根。

充分性：设A 有一个特征根为0，对应的特征向量为p ，由特征向量的定义有：0()Ap p o p o ==≠，所以齐次线性方程组0Ax =有非零解p ，故系数行列0A =式，即A 奇异。

注：n 阶方阵A 可逆的充要条件是它的任一特征根都不为零。

第四章 6相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵的概念1 定义 设A 、B 都是n 阶方阵，若存在n 阶可逆矩阵P ，使得1P AP B -=成立，则称矩阵A 与B 相似，记为A B ，称可逆矩阵P 为相似变换矩阵。

（注：因P 及1P -都是可逆矩阵，都可表示为一系列初等矩阵的乘积，即对A 施行一系列初等变换可化成矩阵B ，因此，相似关系是一种等价关系。

）2 性质① A A② 若A B ，则B A③ 若A B ，B C ，则A C ④ 相似矩阵的行列式相等。

（因A B ，故存在可逆P 矩阵，使得1B P AP -=，所以有： 11B P AP P A P A --===）⑤ 相似的矩阵秩也相等，都同时可逆或不可逆；如果可逆，则其逆矩阵也相似。

（若A B 且A 、B 均可逆，故存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -=， 所以有：111111111()()B P AP P A P P A P ---------===，即 11A B -- 且相似变换矩阵仍为P 。

） ⑥ 似矩阵具有相同的特征多项式，因而有相同的特征根。

二、矩阵的相似对角化1 定义：若一个矩阵与对角阵相似，则称该矩阵可对角化矩阵。

2 相似的条件(定理) ① n 阶方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。

② 若n 阶方阵A 有n 个互不相等的特征根，则n 阶方阵A 一定可对角化，反之则不一定。

第四章 7例1 判断矩阵210230104A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可否对角化。

解：由A 的特征多项式：2210230(1)(4)104I A λλλλλλ---=--=--- 得其特征根为：11λ=，234λλ==当11λ=时，110103220013103000I A I A λ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对应的方程组为：13233333x x x x x x =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，它的基础解系1331ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭是方阵A 的对应于特征根11λ=的特征向量。

当234λλ==时，2101004210010100000I A I A λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 对应的方程组为：123300x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，它的基础解系1001ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是方阵A 的对应于特征根234λλ==的特征向量。

因此，3阶方阵只有2个线性无关的特征向量，故不能对角化。

例2 已知460350361A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1）证明A 可对角化；第四章 8（2）求相似变换P 矩阵，使1P AP -为对角阵； （3）求10A解：（1）由A 的特征多项式：2460350(1)(2)361I A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=+=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，得其特征根为：12λ=-，231λλ==，当12λ=-时，6601012330011363000I A I A λ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦对应的方程组为：132333x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，它的基础解系1111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是方阵A 的对应于特征根12λ=-的特征向量。

当231λλ==时，360120360000360000I A I A λ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对应的方程组为：1222332x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，它的基础解系23201,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是方阵A 的对应于特征根231λλ==的特征向量。

显然，1111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，23201,001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是线性无关的，所以A 可对角化。

（2）设123120(,,)110101P ξξξ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则1120110121P -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦第四章 9所以， 1211P A P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）由（2）有：1211A P P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以， 10101011221022204601110232047011102320461A P P P P --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦例3 设3阶方阵A 的特征根为：1231,0,1λλλ===-；对应的特征向量依次为：1231112,1,1111ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A . 解：因A 的特征根为：1231,0,1λλλ===-；故取101⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭，而123,,ξξξ是依次对应的特征向量，所以取：123111(,,)211111P ξξξ-⎛⎫⎪==-- ⎪⎪-⎝⎭，则11122312201101P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因为A Λ，所以有1P AP -=Λ，即：第四章 1011122312211110112110011111A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=Λ=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭111010212-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪-⎝⎭三、化为约当形矩阵 1 约当形矩阵的概念① 定义：形如10000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵称为约当块② 主对角线上的子块都是约当块的分块对角阵称约当形矩阵或约当标准形。