曲面积分习题课(供参考)

第二十二章曲面积分习题课

一 疑难问题与注意事项

1.第一型曲面积分的计算方法：

答 1）先把S 的方程代入，再利用

S

dS ⎰⎰为S 的表面积；

例如

,22⎰⎰+S y

x dS

其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解

222

21122S

S

dS H dS RH x y R R R

ππ==

=+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式

（1）设有光滑曲面

:(,),(,)S z z x y x y D =∈，

(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则

(,,)(,,(,S

D

f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．

注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；

二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS

.

（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则

(,,)d ((,),,d S

D

f x y z S f x y z y z y z =⎰⎰

⎰⎰，

其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．

（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则

(,,)d (,(,),d S

D

f x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．

其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．

3)利用对称性

（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上

部的曲面，则

()()()()1

0,,,,,d 2,,d ,

,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑

∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的

那部分曲面，则

()()()()1

0,,,,,d 2,,d ,

,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑

∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的

那部分曲面，则

()()()()1

0,,,,,d 2,,d ,

,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑

∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有

[]1

(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑

=

++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：

答 1）公式：

（1）设R 是定义在光滑曲面

上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有

注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；

二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；

三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有

这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，

（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有

这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式

注 高斯公式

(

),V

S

P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z

∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：

1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *

后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系

τ

格林公式 n

二 1.计算第一型曲面积分

()S

x y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面

2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．

解 把:S z

=xoy 面投影得222:D x y a +≤

(()

S

D

x y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．

注

(0D

x y +=⎰⎰，因为222

:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且

(x y +

2.计算曲面积分

2

S

z dS ⎰⎰，其中S 是球面2

222x

y z a ++=．

解： ∵球面2

2

2

2

x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴

222S

S

S

x dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴

2

S

z dS ⎰⎰=2221

()3S

x y z dS ++⎰⎰ =22

133

S S

a a ds ds =⎰⎰⎰⎰

22214

.433

a a a ππ==． 3．计算曲面积分

⎰⎰∑

-+zdxdy dydz x z )(2

，其中∑是旋转抛物面)(2

122

y x z +=介于