河南省2014年高中数学优质课：等差数列前n项和 作课课件
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(说课课件)等差数列的前n项和
课堂小结
引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答， 然后我在从知识点及数学思想两方面进行
•两个公式：等差数列求和公式
•一种数学算法:倒序相加求和 •数学思想：数形结合思想，方程思想。
作业布置
A必做题：课本118页，练习１、２、３；习题3.3 第２题（３、４） B选做题：在等差数列中，
1、已知a2 a5 a12 a15 36, 求s16 ; 2、已知a6 20, 求s11
此学生会提出各种解决方法，如： (1+2+3+…+20)+21 ; 对 学 生 的 各 种解法我都将给予肯定表扬。 通过前后比较得出认识：高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。 进而提出有无简单的方法？
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助多媒体做一 个实验(如右图)：把 “全等三角形”倒置， 与原图补成平行四边 形，让学生观察，从 而去发现其中的规律。
（三）教学重点、难点
•教学重点：等差数列前n项和公式。
•教学难点：获得等差数列前n项和公 式推导的思路。
二、教法分析
利用计算机多媒体辅助教学，采用启 发探究相结合的教学模式。
三、学情分析
学生已经学习了等差数列的通项公式及 基本性质，对高斯算法也有所了解,这都 为倒序相加法的教学打下了基础。高斯算 法与一般的等差数列求和还有一定的距离, 而我所任教的班级是重点班，基础较差， 如何从首尾配对法引出倒序相加法这是学 生学习的障碍。
在等差数列an 中，a1 20, an 54, sn 999, 求n.
利 用 例 2、例 3 知三求二 进 一步 渗 透 方 20, n 37, s 629, 例３ 在等差数列a 中，已知 程 思d想
等差数列的前n项和PPT优秀课件5
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ] S n a n ( a n d ) ( a n 2 d ) [ a n ( n 1 ) d ]
n 个 2 S n （ a 1 a n ) （ a 1 a n ) （ a 1 a n )
(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n(22n) Sn 2 n(n1).
3. 等差数列 5,4,3,2, ···前多少项和是 –
30？
解： a1=5 , d = -1 , Sn = -30
Sn
5nn(n1)(1)30 2
n15或n4(舍)
课堂小结
1.等差数列前n项和Sn公式的推导: 倒序相加法
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
Sn
n(a1 an) 2
Snna1n(n21)d
说明：(1)正确合理的选择公式. (2).注意与通项公式相结合.
课后作业：
1：作业本：§2.3等差数列的前n项和（1） 2: 预习 课本P44，例3，例4
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
题
分析：由于 a1a2a3 34an2an1an146
所以 3(a1an)180
解
从而
Sn
n(a1an) 2
390得n
=
《等差数列的前n项和》公开课课件
n N , n 6, 即S6最大。
*
思考与探索
1、等差数列{an}的公差为d，前项和为sn 。那 么数列sk ，s2k –sk ，s3k – s2k 成等差吗？ 2、等差数列的项数若为2n(n∈N*) ， 则 s2n = ,且s偶 – s奇= , s奇/s偶= 。 3、等差数列的项数若为2n-1(n∈N*) ， 则 s2n-1 = ,且s奇–s偶 = , s奇/s偶= 。
等差数列的前n项和
复习：
(1 ) 等差数列的通项公式d
(2)如何利用通项公式求项数n? 头尾差除以公差再加1
an a1 n 1 d
(3)在等差数列{an }中，a1 an = a2 an1 = a3 an2 =
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
讲授新课 1.对于一般等差数列,如何求和?(点题) 设等差数列的首项为a1,末项为an,前n项和为sn,求sn. 解:sn=a1+a2 + a3 +……+an (1) sn=an+an-1+an-2+……+a1 (2) (1)+(2)得 2sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+……+(an+a1) ∵ a1+an= a2+an-1= a3+an-2=……= an+a1 ∴2sn= =(a1+an)n
14 (7 98) S14 735 2
例题讲解
例2．已知一个等差数列的前10项的和是310， 前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项 和的公式吗？
高中数学教学优秀教学课件14--《等差数列前n项和》说课
第二阶段：研究课题，建构数学
第一，注重逻辑推理素养的培养
正整数求和对项数的奇偶讨论 下标和性质的证明
第二阶段：研究课题，建构数学
第二，着力突破生成倒序相加法的难点
设置合理问题逐步贴近学生的最近发展区
灵感
体验
归纳
第二阶段：研究课题，建构数学
第三，努力培养学生四能
发现问题 提出问题 分析问题 解决问题
第四，渗透数学文化
第二阶段：研究课题，建构数学
第三阶段：数学应用，回顾反思
新课程背景下的实验教材例题 大观念教学视角下的数学思想方法
第三阶段：数学应用，回顾反思
例 1 在等差数列{an}中，
（1）已知 a1 3, a50 101 ，求 S50 ；
（2）已知
a1
3, d
1 2
，求
S10
第三阶段：数学应用，回顾反思
已有知识的再认识 提升数学素养
第三阶段：数学应用，回顾反思
第一层次
第二层次
第三层次
图从提像 梯炼一化形般展 的问示 倒题整 置的个 相研探 补究索到方流数法程列，的点夯倒明实序数双相学基加建，模温 再的故 一教知 次学新 展暗现线配， 对升的 华必等要差性 数和 列合 求理 和性的，教归学纳主基线本，思积想累方基法本活. 动经验.
正整数求和
弱抽象学习
等差数列求和
ห้องสมุดไป่ตู้
命题教学要求
数学本质 思维发展
目标
理解等差数列前n项和求和公式，会推导、能简单 应用；感受、领悟其蕴含的数学文化、思想方法.
重点
等差数列的前n项和求和公式的理解、推导及简单 应用.
难点
等差数列前n项求和公式的推导方法的探索.
《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)
数列定义
数列是由一系列数字按照一定 顺序排列而成的集合。
数列的元素
数列中的每个数字称为数列的 元素。元素的位置用自然数表 示。
通项公式
通项公式是根据数列的特点和 规律，通过公式来表示数列中 的任意一项。
等差数列的特点和公式
等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差恒定的数列。在这个部分中，我们将研究等差数 列的特点和等差数列公式，以及如何判断一个数列是否为等差数列。
《等差数列的前n项和》 课件（全国讲课比赛一等 奖）
欢迎大家来到我的《等差数列的前n项和》课件！在这个课件中，我们将探索 数列的定义、等差数列的特点和公式、等差数列的前n项和公式，以及一些例 题和实际应用。
数列的定义
数列是由一系列数字按照一定顺序排列而成的集合。在这个部分中，我们将学习数列的定义、数列的元 素和通项公式，以及如何表示一个数列。
总结与展望
通过本课件，我们学习了等差数列的定义、特点和公式，推导了等差数列的 前n项和公式，并应用到了实际问题中。希望大家能够通过本课件加深对等差 数列的理解，并能够灵活运用等差数列的知识。
1
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示第一项， an表示第n项。
2
证明前n项和公式
我们可以通过数学归纳法来证明等差数列的前n项和公式。
3
具体例题演示
让我们通过一些具体的例题来加深对等差数列的前n项和公式的理解。
应用实例
等差数列的特点
等差数列的每一项与前一项之间的差恒定。
等差数列的公式
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
等差数列的前n项和PPT教学课件
“倒序相加”法
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
Sn
n(a1an) 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2还可化成 Nhomakorabea 思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm， S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/10
25
Snd 2n2(a1d 2)n
讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4， S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2， …前多少项的和是54？
讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标： 从 2001 年起用 10 年的时间，在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
Sn
n(a1an) 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2还可化成 Nhomakorabea 思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm， S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？
PPT教学课件
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2020/12/10
25
Snd 2n2(a1d 2)n
讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4， S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2， …前多少项的和是54？
讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标： 从 2001 年起用 10 年的时间，在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
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习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
河南省2014年高中数学优质课：等差数列前n项和 作课课件
第一页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
数列的前n项和的定义
第二页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
你世界知七道大这奇个迹雄之伟一壮—观—的印建度筑泰是姬哪陵儿吗 ？
第三页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
问题1： 传说泰姬陵 陵寝中有一个三角形图案，以相同大小
的圆宝石镶饰而成，共有100层（见示意图），奢靡之程
例2、已知一个等差数列{an} 的前10项的和是310，前20项的 和是1220，由这些条件可以确 定这个等差数列的前n项和的公
式吗？
第十六页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
例题讲解
用公式一做做
第十七页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
方法2
用公式二做做
第十八页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
没有其它方法呢?
第二十一页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第二十二页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第十四页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
解答过程
解:设从2001年起第n年投入的资金为
an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其
中 a1=500, d=50
答: 从2001年起的未来10年内,该市在“校 校通”工程中的总投入是7250万元。
第十五页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
例题讲解
n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？
利用倒序相加法
sn=1 + 2 + … + n-1 + n
sn=n + n-1 + … + 2 + 1
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) n个
数列的前n项和的定义
第二页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
你世界知七道大这奇个迹雄之伟一壮—观—的印建度筑泰是姬哪陵儿吗 ？
第三页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
问题1： 传说泰姬陵 陵寝中有一个三角形图案，以相同大小
的圆宝石镶饰而成，共有100层（见示意图），奢靡之程
例2、已知一个等差数列{an} 的前10项的和是310，前20项的 和是1220，由这些条件可以确 定这个等差数列的前n项和的公
式吗？
第十六页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
例题讲解
用公式一做做
第十七页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
方法2
用公式二做做
第十八页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
没有其它方法呢?
第二十一页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第二十二页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第十四页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
解答过程
解:设从2001年起第n年投入的资金为
an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其
中 a1=500, d=50
答: 从2001年起的未来10年内,该市在“校 校通”工程中的总投入是7250万元。
第十五页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
例题讲解
n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？
利用倒序相加法
sn=1 + 2 + … + n-1 + n
sn=n + n-1 + … + 2 + 1
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) n个
等差数列的前n项和课件PPT (5)
Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn=2n2+3n+2. (2)Sn=3n-1.
【解题指南】1.利用an=Sn-Sn-1，求出am及am+1的值，从而确定 等差数列{an}的公差，再利用前n项和公式求出首项a1，进而 根据通项公式求出m的值.
2.利用
求数列的通项公式，注意验证n=1
时是否适an合 一SS1n般，－n的Sn－式11，，子n . 2
【自主解答】1.选C.由已知得，am=Sm-Sm-1=2，
am+1=Sm+1-Sm=3，因为数列{an}为等差数列，
所以d=am+1-am=1，
又因为
所以m(Sam1+m2)=a102，am 0，
所以S110=-120+S100=-110.
【规律总结】等差数列前n项和的几个常用性质 已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，在解题中常用的 性质有： (1)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等差数列. (2)若项数为2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an.
【变式训练】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm=70，
【自主解答】1.选A.由条件知6a4+6a10=24，即a4+a10=4，
故a1+a13=4，所以S131=3 a1 a13 =26.
2.因为an=2n+1，所以a1=2 3，
所以Sn=
n
3
=n2+2n，所以
2n 1
=n+2，
Sn
所以 是公差2为1，首项为3的等差n数列，
河南省2014年高中数学优质课：等差数列前n项和 说课课件
n
sn=n
+ 2 + … + n-1 +
+ n-1 + … + 2 + 1
2sn =(n+1) + (n+1) + n个
… + (n+1) + (n+1)
【设计意图】从前面特殊的等差数列的求和，推进到一般的等差数列的求和
，强化倒序相加法的本质！为推导更一般的等差数列的求和公式奠定基础！
第二十页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第十页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
教学重点、难点
教学重点
等差数列的前n项和公式的推导和应用。
教学难点
在等差数列的前n项和公式的推导过程中体 会倒序相加的思想方法。
第十一页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
重点、难点解决策略
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体 到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的 思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整 理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观 演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从 而突出重点、突破教学难点。
本节课的任务：
如何求等差数列{an} 的前n项和Sn？
【设计意图】开门见山，通过设问引出本节课中心任务！ 第十五页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
环节二：问题牵引 探究发现
问题一： 求下图中泰颐陵宝石图案中宝石的数量？
… ……
宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100= 【？设计意图】一、激发学生兴趣；
及方程的思想方法。
第二十八页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
sn=n
+ 2 + … + n-1 +
+ n-1 + … + 2 + 1
2sn =(n+1) + (n+1) + n个
… + (n+1) + (n+1)
【设计意图】从前面特殊的等差数列的求和，推进到一般的等差数列的求和
，强化倒序相加法的本质！为推导更一般的等差数列的求和公式奠定基础！
第二十页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第十页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
教学重点、难点
教学重点
等差数列的前n项和公式的推导和应用。
教学难点
在等差数列的前n项和公式的推导过程中体 会倒序相加的思想方法。
第十一页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
重点、难点解决策略
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体 到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的 思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整 理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观 演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从 而突出重点、突破教学难点。
本节课的任务：
如何求等差数列{an} 的前n项和Sn？
【设计意图】开门见山，通过设问引出本节课中心任务！ 第十五页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
环节二：问题牵引 探究发现
问题一： 求下图中泰颐陵宝石图案中宝石的数量？
… ……
宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100= 【？设计意图】一、激发学生兴趣；
及方程的思想方法。
第二十八页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
1.2.2等差数列的前n项和 课件 (共15张PPT)
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
情景二 计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组： 中间的一 第一个数与最后一个数一组； 组数是什 首尾 么呢？ 第二个数与倒数第二个数一组； 配对 第三个数与倒数第三个数一组，…… 相加 法 每组数的和均相等，都等于101，50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
Sn 4n n(n 1) 6 3n 2 n 2
例3.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?
解：∵a1=-10,d=-6－(-10)=4 ∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 解得n=9，n=-3(舍) ∴前9项的和是54
变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和 1645
Sn a1 a2 a3 an
其中
a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
Sn a1 a2 a3 an
Sn an an13 an2 a1
2Sn a 1 an a 1 an a 1 an a 1 an
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
2 1 21 20 19
3
获得算法：
(1 21) 21 s21 2
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学等差数列前n项和优秀课件
解法1 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an 0 an1 0
n
15 2
得
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例1.等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求 n取何值时,Sn取最大值.
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
• A．51
B．50
• C．49
D．48
解析： 由 Sn＝na1＋nn－2 1d 得 n×50＋n×n2－1×(－2)＝0 即 n2－51n＝0 ∴n＝0(舍去)或 n＝51.故选 A.
答案： A
• 知识应用
• 例1．设等差数列{an}的前n项和为Sn.假设S9＝72，那 么a4＋a6＝________.
首项、公差与项数 Sn＝ na1＋nn－ 2 1d
复习稳固
• 1．{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数 列前6项的和．
解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3.
又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1.
∴S6＝6×(－1)＋6×62－1×2＝24.
• 2．等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，那么n 等于( )
2
2
∴ d=－2
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
归纳： (1)当a1>0,d<0时,Sn有最大值无最小值. (2)当a1<0,d>0时,Sn有最小值无最大值.
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问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求？
n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？
利用倒序相加法
sn=1
sn=n
+
2
+ +
… …
+ +
n-1 2
+ +
n 1
+ n-1
2sn =(n+1) + (n+1)
+…
+ (n+1) + (n+1)
n个
问题3: 对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导 它的前n项和公式Sn呢？
公式一:如何类比梯形面积公式来记忆？
n a1 an Sn 2
a1
n
an
公式二:如何类比梯形面积公式来记忆？
n n 1 Sn na1 d 2
a1
n
a1
(n 1)d
分割成一个平行四 边形和一个三角形
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的 等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=－2，n=50
例题讲解
用公式一做做
方法2
用公式二做做
反馈达标
练习1. 在等差数列{an}中, a1=20, an=54, sn =999,求n。
归纳总结 收获分享
1.倒序相加法求和的思想及应用
2.等差数列前n项和公式的推导过程
n a1 an 3.公式 Sn 2
n n 1 Sn na1 d 2
上式相加得： 由等差数列性质可知：
2Sn a1 an (a1 an ) (a1 an )
n a1 an Sn 2
n个
(a1 an )
又 an a1 n 1 d
n n 1 Sn na1 d 2
等差数列前n项和公式
看看高斯的
（1+100）+（2+99）+ …+（50+51） =101×50=5050
?
?
高斯的思路有什么特点？ 适合哪种类型？
特点：首尾配对（变不同数求和为相同 数求和，变加法为乘法） 类型：偶数个数相加
探索与发现1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？
高斯的办法行吗？如何改进？ S21=1 S21 =21 + 2 + + 3 19 + +
n a1 an Sn 2
（公式一）
n n 1 Sn na1 d（公式二） 2
一、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公
式一中有an,公式二中有d 。 若a1，d, n, an中已 知三个量就可以求出Sn 。
二、 a1，d, n, an，Sn五个量可“知三求二”。
探索与发现3： 等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系呢？
…
+ +
21 1
+ 20
…
21个22 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)
探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？
S8=5+6+7+8+9+10+11+12 S8=12+11+10+9+8+7+6+5
总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？
ห้องสมุดไป่ตู้
倒序相加法
解答过程
解:设从2001年起第n年投入的资金 为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差
数列,其中 a1=500, d=50
答: 从2001年起的未来10年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是7250万元。
例题讲解
例2、已知一个等差数列{an} 的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件可以 确定这个等差数列的前n项和 的公式吗？
10 (5 95) 500 n(a1 an ) 解： 1 Sn 2 2 n(n 1) 解： d 2 Sn na1 2 50 (50 1) 50 100 -2 2550 2
例题讲解
例1.2000年11月14日教育部下发了<<关 于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001年起用10年时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网. 据测算,2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计 划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那 么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通” 工程中的总投入是多少?
数列的前n项和的定义
世界七大奇迹之一——印度泰姬陵 你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？
问题1：
传说泰姬陵 陵寝中有一个三角形图案，以相同大 小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见示意图），奢 靡之程度可见一斑。你知道这个图案一共花了多少
颗圆宝石吗？
即: 1+2+3+· · · · · · +100=？
4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想 5 . .…………………………
课后作业
一、书面作业： 1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1 及s n。 2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成 等差数列,求这10个数的和。
二、课后思考： 等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法 还有没有其它方法呢?