2019_2020学年第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第二课时函数奇偶性的应用(习题课)课时作业新人教A版必修1
2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性课件
故 f(x)＝0，x＝0， x3＋x－1，x<0.
探究 4 函数的奇偶性与单调性的综合应用
例 4 (1)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 [2,6]上是减函数，比较 f(－5)与 f(3)的大小；
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上是减函 数，若 f(1－m)<f(m)，求实数 m 的取值范围．
xx＋2，x>0，
故 f(x)＝0，x＝0， x2－x，x<0.
拓展提升 求函数解析式的注意事项
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪 个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用 f(x)的奇偶性解出 f(x)． 注意：若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有 f(0)＝0.
第一章 集合与函数概念
1．3 函数的基本性质 1．3.2 奇偶性
课前自主预习
1．奇偶函数的定义 (1)偶函数的定义：
□1 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)
＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数的定义：
□2 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)
因为 f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即 f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数 f(x)＝x＋1 既不是奇 函数又不是偶函数．
(2)使函数有意义满足x1－－1x≥≥00，， 所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以 f(x)为非奇非偶函 数．
【跟踪训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，并 且当 x>0 时 f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
数学必修一集合与函数概念知识点梳理
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算交集 A B I{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A =I （2）A ∅=∅I （3）A B A ⊆I A B B ⊆IBA并集 A B U{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A =U （2）A A ∅=U （3）A B A ⊇U A B B ⊇UBA补集 U A ð {|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅I ð2()U A A U =U ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x << ∅ ∅()()()U U U A B A B =I U 痧?()()()U U U A B A B =U I 痧?〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
(新)高中数学第一章集合与函数概念1_3_2奇偶性教材梳理素材新人教A版必修11
1.3.2 奇偶性疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、函数奇偶性的定义1.奇函数一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=-f （x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数.例如：函数f （x ）=41x 3，它的定义域为R ，因f （x ）=41x 3，f （-x ）=41（-x ）3=-41x 3，所以f （-x ）=-f （x ），即对于定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=-f （x ）.所以它是奇函数.2.偶函数一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数.例如：函数f （x ）=x 2，它的定义域为R ，因为f （-x ）=（-x ）2=x 2=f （x ），即对于定义域的任意一个x 都有f （-x ）=f （x ），所以它是偶函数.要点提示 注意此处空半格函数的奇偶性是研究f （-x ）与f （x ）之间关系的，其中f （-x ）是把f （x ）解析式中的x 换成“-x ”而得到的.因为x ∈D ，-x ∈D ，所以奇偶函数的定义域必关于原点对称. 因此判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f （-x ）与f （x ）的关系.函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类.二、奇偶函数的图象特征1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.若f （x ）为奇函数，（x ，f （x ））在图象上，则（-x ，f （-x ））即（-x ，-f （x ））也在f （x ）的图象上.2.偶函数的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.若f （x ）为偶函数，（x ，f （x ））在图象上，则（-x ，f （-x ））即（-x ，f （x ））也在f （x ）的图象上.如果知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出函数在另一部分上的性质和图象.我们不难发现，如果奇函数y=f （x ）的定义域内有零，则由奇偶函数的定义知f （-0）=-f （0），即f （0）=-f （0）.∴f （0）=0.误区警示 注意此处空半格图象关于坐标原点或y 轴对称，指的是函数图象本身，而不是两个函数图象之间的关系.奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，偶函数则相反.问题·思路·探究问题 定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数；定义域关于原点对称的一定是奇偶函数.这两句话对吗？思路：定义域关于原点对称，且满足f （-x ）=f （x ）或f （-x ）=-f （x ）的函数才是偶函数或奇函数.其中f （-x ）=f （x ）⇔f （-x ）-f （x ）=0⇔)()(x f x f -=1（f （x ）≠0），f （-x ）=-f （x ）⇔f （-x ）+f （x ）=0⇔)()(x f x f -=-1（f （x ）≠0）， 即可利用f （x ）与f （-x ）的变形形式去证明它的奇偶性.探究：定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数，如函数f （x ）=x 4+1，x ∈［-1，2］.由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x ≤2时，-x 没有定义，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f （x ）=x 4+1，x ∈［-1，2］是非奇非偶函数.定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数.如f （x ）=x 2+x ，g （x ）=x 3+1，它们的定义域都是R ，因为f （-x ）=（-x ）2+（-x ）=x 2-x ≠f （x ）≠-f （x ），所以它是非奇非偶函数.同理可证g （x ）=x 3+1也是非奇非偶函数.典题·热题·新题例1 判断下列函数的奇偶性.（1）f （x ）=x+x 1； （2）f （x ）=x 2+21x； （3）f （x ）=x x 1+； （4）f （x ）=1122-•-x x ； （5）f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+.0,121,0,12122x x x x 思路解析：判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f （-x ）与f （x ）的关系.解：（1）定义域为A={x ｜x ∈R ，且x ≠0}.∵对定义域内的每一个x ，都有f （-x ）=-x+x -1=-（x+x 1）=-f （x ）， ∴f （x ）=x+x1为奇函数. （2）定义域为A={x ｜x ∈R ，且x ≠0}. ∵对定义域内的每一个x ，都有f （-x ）=（-x ）2+2)(1x -=x 2+21x =f （x ）， ∴函数f （x ）=x 2+21x 为偶函数. （3）函数的定义域为A={x ｜x ＞0}，关于原点不对称，∴函数f （x ）=x x 1+为非奇非偶函数.（4）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-,01,0122x x 得x 2=1.∴x=±1. ∴函数的定义域为{-1，1}.于是f （x ）=0，x ∈{-1，1}，满足f （-x ）=f （x ）=0，f （-x ）=-f （x ）=0.∴f （x ）既是奇函数，又是偶函数.（5）分段函数f （x ）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称.当x ＞0时，-x ＜0，f （-x ）=-21（-x ）2-1=-（21x 2+1）=-f （x ）； 当x ＜0时，-x ＞0，f （-x ）=21（-x ）2+1=21x 2+1=-（-21x 2-1）=-f （x ） . 综上所述，在（-∞，0）∪（0，+∞）上总有f （-x ）=-f （x ），∴f （x ）是奇函数.深化升华 注意此处空半格(1)根据函数奇偶性的定义判断，其基本步骤为：①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数.②再看f （-x ）与f （x ）的关系.③然后得出结论.(2)定义域关于原点对称，满足f （-x ）=-f （x ）=f （x ）的函数既是奇函数也是偶函数，如f （x ）=0，x ∈R .(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与-x 的所在范围，及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域. 例2 (2006辽宁高考)设f （x ）是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数思路解析：据奇偶函数性质，易判定f(x)f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数，f(x)|f(-x)|的奇偶性取决于f(x)的性质，只有f(x)+f(-x)是偶函数.答案：D例 3 已知函数y=f(x)(x ∈R 且x ≠0)，对于任意两个非零实数x 1、x 2，恒有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，试判断函数f(x)的奇偶性.思路解析：对抽象函数奇偶性的判定，因无具体的解析式，因此需要利用给定的函数方程式，对变量x 1、x 2赋值，将其变成含有f(x)、f(-x)的式子加以判断.答案：由题意知f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.令x 1=x 2=1，得f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，令x 1=x 2=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，即f(-1)=0，取x 1=-1，x 2=x ，得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，∴函数是偶函数.深化升华 注意此处空半格不管函数的表达式多复杂或有没有给出，判断奇偶性时都要先考虑函数的定义域是不是关于原点对称.对于未给出函数解析式的抽象函数，判断奇偶性的关键是寻求f （-x ）与f （x ）的关系，为此要给x 赋以恰当的值来完成.例4 若f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x （1-x ），求当x ≥0时，函数f （x ）的解析式.思路解析：将x ＜0时f （x ）的解析式转化到x ＞0上，这是解决本题的关键.解：由f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=-f （x ）=-{（-x ）［1-（-x ）］}=x （1+x ）； 当x=0时，f （0）=-f （0），即f （0）=0.∴当x ≥0时，f （x ）=x （1+x ）.深化升华 注意此处空半格判断分段函数的奇偶性，对x 在各个区间上分别讨论，应注意由x 的取值范围确定相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有f （-x ）=f （x ）或f （-x ）=-f （x ），从而判定其奇偶性.例5 设f （x ）在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有f （2a 2+a+1）＜f （3a 2-2a+1），求a 的取值范围.思路解析：要求a 的取值范围，就要布列关于a 的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键.答案：由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增知f （x ）在（0，+∞）上递减. ∵2a 2+a+1=2（a+41）2+87＞0，3a 2-2a+1=3（a-31）2+32＞0， 且f （2a 2-2a+1）＜f （3a 2-2a+1），∴2a 2+a+1＞3a 2-2a+1，即a 2-3a ＜0.解之得0＜a ＜3.深化升华 注意此处空半格该例在求解过程中，事实上用到了前面提到的减函数定义的逆命题，要善于运用化归的思想解决问题.例6 （经典回放）函数f （x ）=x 2+|x-a|+1，x ∈R .（1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值.思路解析：解决此题的关键应寻求对字母a 讨论的标准.讨论f （x ）的奇偶性，就需要找f （x ）、f （-x ）的关系.从而发现要对a 是否为零展开讨论.（2）求f （x ）的最小值，由绝对值的定义展开对a 的讨论，分x ≤a ，x ≥a.解：（1）∵f （x ）=x 2+|x-a|+1，∴f （-x ）=x 2+|x+a|+1.∴a=0时，f （x ）=f （-x ）.此时f （x ）为偶函数.a ≠0时，f （x ）≠f （-x ）且f （x ）+f （-x ）=2（x 2+1）+|x-a|+|x+a|≠0.∴f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f （x ）=x 2-x+a+1=（x-21）2+a+43. 若a ≤21，则函数f （x ）在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f （x ）在（-∞，a ］上的最小值为f （a ）=a 2+1；若a ＞21，则函数f （x ）在（-∞，a]上的最小值为f （21）=43+a ，且f （-21）≤f （a ）.②当x ≥a ，函数f （x ）=x 2+x-a+1=（x+21）2-a+43； 若a ≤-21，则函数f （x ）在［a ，+∞］上的最小值为f （-21）=43-a ，且f （-21）≤f （a ）.若a ＞-21，则函数f （x ）在［a ，+∞）上单调递增，从而，函数f （x ）在［a ，+∞）上的最小值f （a ）=a 2+1.综上，若a ≤-21，则f （x ）min =43-a.若-21＜a ≤21，则f （x ）min =a 2+1. 若a ＞21，则f （x ）min =a+43. 深化升华 注意此处空半格分类讨论思想是中学数学的重要思想，利用该思想解题过程中的关键是分类讨论的标准和依据.例7 已知f(x)、g(x)均为奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+∞)上有最大值7，则在(-∞，0)上F(x)的最小值为___________________.思路解析：本题根据已知条件直接去求解是不可取的，因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此充分利用“f(x)、g(x)均为奇函数”这一条件，构造一个新函数来帮助求解. 解：∵F(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+∞)上有最大值7，∴F(x)-5=af(x)+bg(x)在(0，+∞)上有最大值2.由于f(x)、g(x)均为奇函数，所以F(x)-5=af(x)+bg(x)亦为奇函数，故其图象关于原点对称，因此F(x)-5=af(x)+bg(x)在(-∞，0)上有最小值-2，即F(x)=af(x)+bg(x)+5在(-∞，0)上有最小值3.答案：3深化升华 注意此处空半格通过构造出一个辅助函数，利用两个奇函数的和仍为奇函数，结合奇函数的图象与性质，使问题得到巧妙的解决.例8 已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图:则F(x)=f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )思路解析：这是一道函数图形题，解题的关键在于从图形中提炼出数学问题，并将其转化成数学条件，再利用该条件解决问题.解：由已知图象可知，y=f(x)与y=g(x)均为奇函数，∴F(x)=f(x)·g(x)为偶函数，且定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故D 是错误的.又∵在y 轴的左侧附近有f(x)＞0，g(x)＜0，∴F(x)＜0，在y 轴的右侧附近有f(x)＜0，g(x)＞0，∴F(x)＜0，故选A.答案：A深化升华 注意此处空半格本题是数形结合中的以形助数类型的题，首先从已知图象判断两函数的奇偶性，得出F(x)=f(x)·g(x)为偶函数，其图象是关于y 轴对称的，排除D ，然后利用在y 轴的附近f(x)和g(x)的符号判断出正确的图象.。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
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人教版高中数学A版目录新课标A版必修1•第一章集合与函数概念•第二章基本初等函数（Ⅰ）•第三章函数的应用•单元测试•综合专栏第一章集合与函数概念• 1.1集合• 1.2函数及其表示• 1.3函数的基本性质•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合1.1集合• 1.1.1集合的含义与表示• 1.1.2集合间的基本关系• 1.1.3集合的基本运算•本节综合1.2函数及其表示• 1.2.1函数的概念• 1.2.2函数的表示法•本节综合1.3函数的基本性质• 1.3.1单调性与最大(小)值• 1.3.2奇偶性•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第二章基本初等函数（Ⅰ）• 2.1指数函数• 2.2对数函数• 2.3幂函数•同步练习•单元测试•本章综合2.1指数函数• 2.1.1指数与指数幂的运算• 2.1.2指数函数及其性质•本节综合2.2对数函数• 2.2.1对数与对数运算• 2.2.2对数函数及其性质•本节综合2.3幂函数同步练习单元测试本章综合第三章函数的应用• 3.1函数与方程• 3.2函数模型及其应用•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合3.1函数与方程• 3.1.1方程的根与函数的零点• 3.1.2用二分法求方程的近似解•本节综合3.2函数模型及其应用• 3.2.1几类不同增长的函数模型• 3.2.2函数模型的应用实例•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修2•第一章空间几何体•第二章点、直线、平面之间的位置关系•第三章直线与方程•第四章圆与方程•单元测试综合专栏第一章空间几何体• 1.1空间几何体的结构• 1.2空间几何体的三视图和直观图• 1.3空间几何体的表面积与体积•复习参考题•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合•第二章点、直线、平面之间的位置关系• 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系• 2.2直线、平面平行的判定及其性质• 2.3直线、平面垂直的判定及其性质•同步练习•单元测试•本章综合第三章直线与方程• 3.1直线的倾斜角与斜率• 3.2直线的方程• 3.3直线的交点坐标与距离公式•同步练习•单元测试•本章综合第四章圆与方程• 4.1圆的方程• 4.2直线、圆的位置关系• 4.3空间直角坐标系•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修3•第一章算法初步•第二章统计•第三章概率•单元测试•综合专栏第一章算法初步• 1.1算法与程序框图• 1.2基本算法语句• 1.3算法与案例•同步练习•单元测试•本章综合1.1算法与程序框图• 1.1.1算法的概念• 1.1.2程序框图和算法的逻辑结构•本节综合1.2基本算法语句• 1.2.1输入、输出、赋值语句• 1.2.2条件语句• 1.2.3循环语句•本节综合1.3算法与案例同步练习单元测试本章综合第二章统计• 2.1随机抽样• 2.2用样本估计总体• 2.3变量间的相关关系•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合2.1随机抽样• 2.1.1简单随机抽样• 2.1.2系统抽样• 2.1.3分层抽样•本节综合2.2用样本估计总体• 2.2.1用样本的频率分布估计总体• 2.2.2用样本的数字特征估计总体•本节综合2.3变量间的相关关系• 2.3.1变量之间的相关关系• 2.3.2两个变量的线性相关•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第三章概率• 3.1随机事件的概率• 3.2古典概型• 3.3几何概型•同步练习•单元测试•本章综合3.1随机事件的概率• 3.1.1随机事件的概率• 3.1.2概率的意义• 3.1.3概率的基本性质•本节综合3.2古典概型• 3.2.1古典概型• 3.2.2随机数的产生•本节综合3.3几何概型• 3.3.1几何概型• 3.3.2均匀随机数的产生•本节综合同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修4•第一章三角函数•第二章平面向量•第三章三角恒等变换•单元测试•综合专栏第一章三角函数• 1.1任意角和弧度制• 1.2任意的三角函数• 1.3三角函数的诱导公式• 1.4三角函数的图象与性质• 1.5函数y=Asin（ωx+ψ）• 1.6三角函数模型的简单应用•同步练习•单元测试•本章综合第二章平面向量• 2.1平面向量的实际背景及基本概念• 2.2平面向量的线性运算• 2.3平面向量的基本定理及坐标表示• 2.4平面向量的数量积• 2.5平面向量应用举例•同步练习•单元测试•本章综合第三章三角恒等变换• 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式• 3.2简单的三角恒等变换•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修5•第一章解三角形•第二章数列•第三章不等式•单元测试•综合专栏第一章解三角形• 1.1正弦定理和余弦定理• 1.2应用举例• 1.3实习作业•探究与发现解三角形的进一步讨论•同步练习•单元测试•本章综合第二章数列• 2.1数列的概念与简单表示法• 2.1等差数列• 2.3等差数列的前n项和• 2.4等比数列• 2.5等比数列的前n项和•同步练习•单元测试•本章综合第三章不等式• 3.1不等关系与不等式• 3.2一元二次不等式及其解法• 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性• 3.4基本不等式：•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版选修一•新课标A版选修1-1•新课标A版选修1-2新课标A版选修1-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章导数及其应用•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•综合专栏第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•单元测试•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1椭圆• 2.2双曲线• 2.3抛物线•同步练习•单元测试•本章综合第三章导数及其应用• 3.1变化率与导数• 3.2导数的计算• 3.3导数在研究函数中的应用• 3.4生活中的优化问题举例•同步练习•单元测试•本章综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试新课标A版选修1-2•第一章统计案例•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•第四章框图•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•本章综合点击这里展开-- 查看子节点索引目录，更精确地筛选资料！第一章统计案例• 1.1回归分析的基本思想及其初步应用• 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用•实习作业•同步练习•综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明•同步练习•综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•综合第四章框图• 4.1流程图• 4.2结构图•同步练习•综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试本章综合新课标A版选修二•新课标人教A版选修2-1•新课标人教A版选修2-2•新课标人教A版选修2-3新课标人教A版选修2-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章空间向量与立体几何•单元测试•本册综合第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1曲线与方程• 2.2椭圆• 2.3双曲线• 2.4抛物线•同步练习•本章综合第三章空间向量与立体几何• 3.1空间向量及其运算• 3.2立体几何中的向量方法•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-2•第一章导数及其应用•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•单元测试•本册综合第一章导数及其应用• 1.1变化率与导数• 1.2导数的计算• 1.3导数在研究函数中的应用• 1.4生活中的优化问题举例• 1.5定积分的概念• 1.6微积分基本定理• 1.7定积分的简单应用•同步练习•本章综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明• 2.3数学归纳法•同步练习•本章综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-3•第一章计数原理•第二章随机变量及其分布•第三章统计案例•单元测试•本册综合第一章计数原理• 1.1分类加法计数原理与分步乘法计.• 1.2排列与组合• 1.3二项式定理•同步练习•本章综合第二章随机变量及其分布• 2.1离散型随机变量及其分布列• 2.2二项分布及其应用• 2.3离散型随机变量的均值与方差• 2.4正态分布•同步练习•本章综合第三章统计案例• 3.1回归分析的基本思想及其初步应用• 3.2独立性检验的基本思想及其初步•本章综合•同步练习单元测试本册综合新课标A版选修三•新课标A版选修3-1•新课标A版选修3-3•新课标A版选修3-4新课标A版选修3-1•第一讲早期的算术与几何•第二讲古希腊数学•第三讲中国古代数学瑰宝•第四讲平面解析几何的产生•第五讲微积分的诞生•第六讲近代数学两巨星•第七讲千古谜题•第八讲对无穷的深入思考•第九讲中国现代数学的开拓与发展•单元测试•本册综合第一讲早期的算术与几何•一古埃及的数学•二两河流域的数学•三丰富多彩的记数制度•同步练习•本章综合第二讲古希腊数学•一希腊数学的先行者•二毕达哥拉斯学派•三欧几里得与《原本》•四数学之神──阿基米德•同步练习•本章综合第三讲中国古代数学瑰宝•一《周髀算经》与赵爽弦图•二《九章算术》•三大衍求一术•四中国古代数学家•同步练习•本章综合第四讲平面解析几何的产生•一坐标思想的早期萌芽•二笛卡儿坐标系•三费马的解析几何思想•四解析几何的进一步发展•同步练习•本章综合第五讲微积分的诞生•一微积分产生的历史背景•二科学巨人牛顿的工作•三莱布尼茨的“微积分”•同步练习•本章综合第六讲近代数学两巨星•一分析的化身──欧拉•二数学王子──高斯•同步练习•本章综合第七讲千古谜题•一三次、四次方程求根公式的发现•二高次方程可解性问题的解决•三伽罗瓦与群论•四古希腊三大几何问题的解决•同步练习•本章综合第八讲对无穷的深入思考•一古代的无穷观念•二无穷集合论的创立•三集合论的进一步发展与完善•同步练习•本章综合第九讲中国现代数学的开拓与发展•一中国现代数学发展概观•二人民的数学家──华罗庚•三当代几何大师──陈省身•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-3•第一讲从欧氏几何看球面•第二讲球面上的距离和角•第三讲球面上的基本图形•第四讲球面三角形•第五讲球面三角形的全等•第六讲球面多边形与欧拉公式•第七讲球面三角形的边角关系•第八讲欧氏几何与非欧几何•单元测试•本册综合第一讲从欧氏几何看球面•一平面与球面的位置关系•二直线与球面的位置关系和球幂定理•三球面的对称性•同步练习•本章综合第二讲球面上的距离和角•一球面上的距离•二球面上的角•同步练习•本章综合第三讲球面上的基本图形•一极与赤道•二球面二角形•三球面三角形•同步练习•本章综合第四讲球面三角形•一球面三角形三边之间的关系•二、球面“等腰”三角形•三球面三角形的周长•四球面三角形的内角和•同步练习•本章综合第五讲球面三角形的全等•1．“边边边”(s.s.s)判定定理•2．“边角边”(s.a.s.)判定定理•3．“角边角”(a.s.a.)判定定理•4．“角角角”(a.a.a.)判定定理•同步练习•本章综合第六讲球面多边形与欧拉公式•一球面多边形及其内角和公式•二简单多面体的欧拉公式•三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式•同步练习•本章综合第七讲球面三角形的边角关系•一球面上的正弦定理和余弦定理•二用向量方法证明球面上的余弦定理•三从球面上的正弦定理看球面与平面•四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离•同步练习•本章综合第八讲欧氏几何与非欧几何•一平面几何与球面几何的比较•二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型•三欧氏几何与非欧几何的意义•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-4•第一讲平面图形的对称群•第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•第三讲对称与群的故事•综合专栏•单元测试第一讲平面图形的对称群•平面刚体运动•对称变换•平面图形的对称群•同步练习•本章综合第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•n元对称群S•多项式的对称变换•抽象群的概念•同步练习•本章综合第三讲对称与群的故事•带饰和面饰•化学分子的对称群•晶体的分类•伽罗瓦理论•同步练习•本章综合综合专栏单元测试新课标A版选修四•新课标人教A版选修4-1•选修4-2•新课标A版选修4-4•新课标A版选修4-5新课标人教A版选修4-1•第一讲相似三角形的判定及有关性质•第二讲直线与圆的位置关系•第三讲圆锥曲线性质的探讨•单元测试•本册综合第一讲相似三角形的判定及有关性质•一平行线等分线段定理•二平行线分线段成比例定理•三相似三角形的判定及性质•四直角三角形的射影定理•同步练习•本章综合第二讲直线与圆的位置关系•一圆周角定理•二圆内接四边形的性质与判定定理•三圆的切线的性质及判定定理•四弦切角的性质•五与圆有关的比例线段•同步练习•本章综合第三讲圆锥曲线性质的探讨•一平行射影•二平面与圆柱面的截线•三平面与圆锥面的截线•同步练习•本章综合单元测试本册综合选修4-2•第一讲线性变换与二阶矩阵•第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•第三讲逆变换与逆矩阵•第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•单元测试•本册综合第一讲线性变换与二阶矩阵•一线性变换与二阶矩阵•二二阶矩阵与平面向量的乘法•三线性变换的基本性质•同步练习•本章综合第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•一复合变换与二阶短阵的乘法•二矩阵乘法的性质•同步练习•本章综合第三讲逆变换与逆矩阵•一逆变换与逆矩阵•二二阶行列式与逆矩阵•三逆矩阵与二元一次方程组•同步练习•本章综合第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•一变换的不变量---矩阵的特征向量•二特征向量的应用•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-4•第一章坐标系•第二章参数方程•单元测试•本册综合第一章坐标系• 1.1直角坐标系、平面上的伸缩变换• 1.2极坐标系• 1.3曲线的极坐标方程• 1.4圆的极坐标方程• 1.5柱坐标系与球坐标系•同步练习•本章综合第二章参数方程• 2.1曲线的参数方程• 2.2直线和圆的参数方程• 2.3圆锥曲线的参数方程• 2.4一些常见曲线的参数方程•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-5•第一讲不等式和绝对值不等式•第二讲讲明不等式的基本方法•第三讲柯西不等式与排序不等式•第四讲数学归纳法证明不等式•单元测试•本册综合第一讲不等式和绝对值不等式•一不等式•二绝对值不等式•单元测试•本章综合第二讲讲明不等式的基本方法•一比较法•二综合法与分析法•三反证法与放缩法•单元测试•本章综合第三讲柯西不等式与排序不等式•一二维形式的柯西不等式•二一般形式的柯西不等式•三排序不等式•单元测试•本章综合第四讲数学归纳法证明不等式•一数学归纳法•二用数学归纳法证明不等式•单元测试•本章综合单元测试本册综合。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性备课资料素材 新人教A版必修1
1.3.2 奇偶性备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立.(3)f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数.(4)f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f ［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f ［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--. (8)若f(x)是(-a,a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.本章复习整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 三维目标通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 重点难点教学重点：①集合与函数的基本知识.②含有字母问题的研究.③抽象函数的理解.教学难点：①分类讨论的标准划分.②抽象函数的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题. 思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.新知探究提出问题①第一节是集合，分为几部分？②第二节是函数，分为几部分？③第三节是函数的基本性质，分为几部分？④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1应用示例思路1例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )A.P∩Q=∅B.P QC.P=QD.P Q分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=∅.答案：A点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练1.设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )A.M=PB.P MC.M PD.M∩P=R分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴P M.2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A 与B 的运算A*B={x|x∈A 或x∈B,且x ∉A∩B},则(A*B)*A 等于( )A.A∩BB.A∪BC.AD.B分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案：D点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们公共元素组成的集合.例2求函数y=x 2+1的最小值.分析：思路一:利用实数运算的性质x 2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.解：方法一（观察法）∵函数y=x 2+1的定义域是R ,∴观察到x 2≥0.∴x 2+1≥1.∴函数y=x 2+1的最小值是1.方法二:（公式法）函数y=x 2+1是二次函数，其定义域是x∈R ，则函数y=x 2+1的最小值是f(0)=1.点评：求函数最值的方法：观察法：当函数的解析式中仅含有x 2或|x|或x 时，通常利用常见的结论x 2≥0,|x|≥0,x ≥0等，直接观察写出函数的最值； 公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.例3求函数y=432+x x 的最大值和最小值. 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值.解：（判别式法）由y=432+x x 得yx 2-3x+4y=0， ∵x∈R ，∴ 关于x 的方程yx 2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；当y≠0时，则关于x 的方程yx 2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y 2≥0.∴0<y 2≤169.∴43-≤y<0或0<y≤43. 综上所得，43-≤y≤43. ∴ 函数y=432+x x 的最小值是43-，最大值是43. 点评：形如函数y=fcx dx c bx ax ++++22(d≠0)，当函数的定义域是R （此时e 2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2+nx+k=0中有x∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2-4mk≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎨⎧≠≥-.0,042m mk n 此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.例4函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数分析：函数f(x)=x 2-2ax+a 的对称轴是直线x=a ，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a 位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=2-+x a x ，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2，则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+1x a -2)-(x 2+2x a -2) =(x 1-x 2)+(-1x a 2x a )=(x 1-x 2)(121x x a -)=(x 1-x 2)2121x x a x x -. ∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0.∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x 1、x 2；②比较f(x 1)与f(x 2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D 上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值.变式训练求函数f(x)=1-x 2的单调区间.分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=u ，u=x 2-1，当x≥0时，u=x 2-1是增函数，y=u 也是增函数，又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在［1,+∞)上是增函数.当x≤0时，u=x 2-1是减函数，y=u 也是增函数，又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在(-∞,-1］上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f ［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f ［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f ［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.思路2例1集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.分析：集合B 是关于x 的方程mx-1=0的解集，∵B ⊆A ，∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，关于x 的方程mx-1=0无解，则m=0；当B≠∅时，x=m 1∈A，则有(m 1)2m 3--4=0，即4m 2+3m-1=0.解得m=-1,41. 答案：-1,0,41 黑色陷阱：本题任意忽视B=∅的情况，导致出现错误m=-1,41.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.变式训练已知集合A={x|⎩⎨⎧≥-≥+0502x x }，B={x|p+1≤x≤2p -1}，若A∩B=B，求实数p 的取值范围.分析：理解集合A 是不等式组⎩⎨⎧≥-≥+05,02x x 的解集是关键，又A∩B=B 说明了B ⊆A ，包含=∅和B≠∅两种情况，故要分类讨论解决问题.解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B，∴B ⊆A.∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，p+1>2p-1，解得p<2.当B≠∅时，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-<+.512,21,121p p p p 解得2≤p≤3.综上所得实数p 的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；要重视常见结论A∩B=B ⇔A∪B=A ⇔B ⊆A 的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-.2,4,22,2,2,4x x x x -4,2x,4, x≤-2,-2<x<2,x≥2.其图象如图1-2所示:图1-2由图象,得函数的最小值是-4，最大值是4.方法二（数形结合）:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示，图1-3观察数轴,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4. 点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.其步骤是①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值.例3求函数y=x+x4,x∈［1,3］的最大值和最小值. 分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性. 解：可以证明当x∈［1,2］时，函数y=x+x 4是减函数， 此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4.可以证明当x∈［2,3］时，函数y=x+x 4是增函数， 此时函数的最大值是f(3)=313，最小值是f(2)=4. 综上所得，函数y=x+x4,x∈［1,3］的最大值为5，最小值为4. 点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b ］上是减函数，在区间［b,c ］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b ］上是增函数，在区间［b,c ］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.例4求函数y=x 4+2x 2-2的最小值.解：函数的定义域是R ，设x 2=t ，则t≥0.则y=t 2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0，则当t=0时，y 取最小值-2，所以函数y=x 4+2x 2-2的最小值为-2.点评：求形如函数y=ax 2m +bx m +c(ab≠0)或y=ax+c bx +(ab≠0)的最值时，常用设x m =t 或c bx +=t ，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.例5定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(xyy x ++1). (1) 求证：函数f(x)是奇函数；(2) 若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y 是解题关键；（2）定义法证明，其中判定21121x x x x --的范围是关键. 解： (1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，由f(x)+f(y)=f(xy y x ++1)，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0100++)，∴f(0)=0. 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(21xx x --)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)＝f(21121x x x x ---). ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0. 又(x 2-x 1)-(1-x 1x 2)=(x 2-1)(x 1+1)<0，∴0＜x 2-x 1<1-x 1x 2.∴-1<21121x x x x ---<0.由题意知f(21121x x x x ---)＞0， ∴f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练1.已知集合P={x∈N |1≤x≤10},集合Q ={x∈R |x 2+x-6=0},则P∩Q 等于( )A.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2}D.{2}分析：明确集合P 、Q 的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q ={-3,2},则P∩Q ＝{2}.答案：D点评：解决本题关键是集合P 是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q 是方程x 2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.2.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S∪T)等于( )A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8} 分析：直接观察（或画出Venn 图）得S∪T={1,3,5,6}，则(S∪T)＝{2,4,7,8}. 答案：B点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn 图写出运算结果.3.已知二次函数f （x ）满足条件f （0）=1和f （x ＋1）-f （x ）=2x.（1）求f （x ）；（2）求f （x ）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.分析：（1）由于已知f （x ）是二次函数，用待定系数法求f （x ）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.解：（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，由f （0）＝1，可知c ＝1.而f （x ＋1）-f （x ）＝［a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ］-（ax 2＋bx ＋c ）＝2ax ＋a ＋b.由f （x ＋1）-f （x ）＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因而a ＝1，b ＝-1.故f （x ）＝x 2-x ＋1.（2）∵f(x)=x 2-x+1=(x-21)2+43， ∴当x∈[-1，1]时，f （x ）的最小值是f(21)=43，f （x ）的最大值是f （-1）＝3. 拓展提升问题：某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图1-4图1-5思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH ，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH 为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x ，每块地砖的费用为W ，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C 按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF ，∠ECF=90°,∴△CFE 为等腰直角三角形，同理可得△CFG、△CGH、△CEH 为等腰直角三角形.∴ 四边形EFGH 是正方形.(2)设CE=x ，则BE=0.4-x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a(元)， W=21x 2·3a+21×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-21x 2-21×0.4×(0.4-x)］a =a(x 2-0.2x+0.24)=a ［(x-0.1)2+0.23］(0<x<0.4).由于a>0，则当x=0.1时，W 有最小值，即总费用为最省.即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.课堂小结本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法. 作业复习参考题任选两题.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性课件 新人教A版必修1
函数单调性与奇偶性的综合
题点一：比较大小问题
1．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大
小关系为
()
A．f(1)＞f(－10)
B．f(1)＜f(－10)
C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和 f(－10)关系不定
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又 f(x)在[0，＋∞)
(× )
(2)奇函数的图象一定通过原点．
(× )
(3)函数 f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．
(× )
(4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0. ( √ )
2．函数 y＝f(x)，x∈[－1，aห้องสมุดไป่ตู้(a＞－1)是奇函数，则 a 等于 ( )
A．－1
B．0
C．1
1．3.2 奇偶性
预习课本 P33～36，思考并完成以下问题 (1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？ (2)奇、偶函数的定义域有什么特点？ (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？
[新知初探]
函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件 定
义 结论
对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有
f(－x)＝ f(x)
利用函数的奇偶性求解析式
[例 3] 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x) ＝x2－2x＋3，求 f(x)的解析式．
[解] 当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于 f(x)是奇函 数，故 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)＝－x2－2x－3. 即当 x＜0 时，f(x)＝－x2－2x－3.
高一 集合 与 函数 知识点小结
高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B→．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b是两个实数，且a b<，满足a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]a b；满足a x b<<的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b；满足a x b≤<，或a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b，(,]a b；满足,,,x a x a x b x b≥>≤<的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,) a a b b+∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b<<与区间(,)a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b<．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x是整式时，定义域是全体实数．②()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tany x=中，()2x k k Zππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x的定义域为[,]a b，其复合函数[()]f g x的定义域应由不等式()a g x b≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值③判别式法：若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0a y xb y xc y++=，则在()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B→．②给定一个集合A到集合B的映射，且,a Ab B∈∈．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法o②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 作max ()f x M =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 新人教A版必修1
即f(-x)=f(x), ∴f(x)偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1) 首先确定函数的定义域,并且判断其 定义域是否关于原点对称; (2) 确定f(-x)与f(x)的关系;
(3) 作出相应结论: 若有f(-x)= f(x), 则f(x)是偶函数; 若有f(-x)= -f(x), 则f(x)是奇函数.
∴f(x)偶函数;
(2) 定义域为R, ∵ f(-x)=(-x)5=-f(x),
即f(-x)=-f( 定义域为{x|x≠0}, (4) 定义域为{x|x≠0}, ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x), ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x),
即f(-x)=-f(x), ∴f(x)奇函数;
注意
1.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶 性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 2.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性 的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即 定义域关于原点对称）．
注意
3.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
2.两个性质：
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称; 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称.
奇偶函数图象的性质
1.奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个 函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为 奇函数.
2.偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函 数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函 数.
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a.简化函数图象的画法; b.判断函数的奇偶性.
一般地，对于函数 f (x)的定义域内的 任意一个x，都有f (－x)=f (x)，那么 f (x) 就叫做偶函数 (even function) ．
函数的奇偶性说课稿
三．已知函数f(x)是定义 在R上的奇函数，给出下 列命题：f(0)=0若f(x)在 [0,+∞〕上有最小值-1，则 f(x)在（-∞，0）上有最大 值1若f(x)在 [1,+∞〕上为 增函数，则f(x)在（-∞，1] 上为减函数若x>0 2 时，f ( x) x 2 x ，则 f ( x) x 2 2 x x<0时， 其中正确的序号是：
4.重点与难点
教学重点： ⑴函数奇偶性的概念； ⑵运用函数奇偶性的定义判断一些函数的 奇偶性，其中最易错的也是本节的一个重 点就是函数的定义域对这个函数的奇偶性 起到的影响。
教学难点： ⑴函数奇偶性概念的形成，也就是定义中 “任意”的理解； ⑵利用函数图像，奇偶性的定义判断和证 明函数的奇偶性。 ⑶根据定义判断等式f(x)=f(-x)或f(x)= -f(-x) 后易忽略了对于此函数定义域的判断，这 既是教学的重点同时也是难点和易错点。
2.说出下列函数的奇 偶性: ① f ( x) x 4 ② f ( x) x 5 ③ f ( x) x ④ f ( x) x 1 ⑤ f ( x) x 2 ⑥ f ( x) x 3
2.从简单的例子出发， 让学生找出其中的规 律方便以后简单的函 数的判断。即：说明： 对于形如 f ( x) x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶 函数；若n为奇数，则 它为奇函数。
课堂小结
方法1：教师提出下列问 题让学生思考 （1）对比偶（奇）函数 的形成过程是怎样的？ （2）如何判定函数的奇 偶性？要注意什么问题？ （3）偶（奇）函数的图 像有什么特点？如何由一 部分的图像做出整个函数 图像？ 方法1： 通过学生的主体参与，使 学生深切体会到本节课的 主要内容和思想方法，从 而实现对函数奇偶性认识 的再次深化。
高中数学 第一章 集合与函数 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇
梳理
一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该 等式同时满足两个条件： ①定义域符合要求； ②图象上任意一点均满足该式. 特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求对 称区间[－b，－a]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b， －a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x， y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.
证明
引申探究 区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称. (1)若f(x)为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最 _小___值_－__M__. 解析 设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]， ∴f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M. ∵f(x)为奇函数，∴－f(x)≤M，f(x)≥－M， 且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M. ∴f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.
知识点三 奇偶性的推广
思考
对于定义域内任意x，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的图象关于
(0,0)对称，那么若f(1－x)＝－f(1＋x)，函数f(x)的图象又有什么
特点？
x1＋2 x2＝1，
答案 设 1－x＝x1,1＋x＝x2，则有fx1＋2 fx2＝0，
即点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))关于点(1,0)对称.
证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2. ∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b. ∵f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(－x2)＞f(－x1). ∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2
x1－xx＜0.
【互动探究】 若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是 偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？
解：设 x＞0，则－x＜0， ∴f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x)． 又 f(0)＝0，
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性
第2课时 函数奇偶性的应用
学习目标
1．掌握利用函数的奇偶性求参数值．(重点、难点) 2．掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法．(重点) 3．理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求 最值、解不等式等综合问题．(难点)
1．奇函数y＝f(x)的定义域为[a，a＋4]，则a＝________. 解析：∵a＋(a＋4)＝0，∴a＝－2. 答案：－2 2．若函数f(x)是偶函数且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3. 答案：3
利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略 (1)定义域含参：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定 义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比 较系数可解．
1．函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝______. 解析：因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即ax2－2x＝－ax2－2x， 由对应项系数相等得，a＝0. 答案：0
解得－1≤m<12.
∴m 的取值范围是－1，21.
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体 现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的 相互转化，这是对称思想的应用．
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性的应用教案新人教A版必修1
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性的应用教案新人教A 版必修1第2课时 函数奇偶性的应用[目标] 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．[重点] 利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．[难点] 运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.知识点一 函数奇偶性的性质[填一填]1．奇、偶函数代数特征的灵活变通 由f (－x )＝－f (x )，可得f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；由f (－x )＝f (x )，可得f (－x )－f (x )＝0或f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．[答一答]1．什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，故－f (x )＝f (x )，所以f (x )＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f (x )＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数奇偶性与单调性的联系[填一填]由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．[答一答]3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是f(－π)>f(3)>f(－2)．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式[例1] (1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2 015，则f(－3)＝________.(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．[答案](1)－2 009 (2)见解析[解析](1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．又g(3)＝f(3)－3＝2 015－3＝2 012，所以g(－3)＝－g(3)，即f(－3)－3＝－2 012，解得f(－3)＝－2 009.法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2 015＝－2 009.(2)解：设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－x ＋1＝－x 3－x ＋1. 又∵f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴x <0时，f (x )＝x 3＋x －1.又f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x 在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f (x )与f (－x )的关系求f (x ).(2)本题中是求x ∈R 时的函数解析式，不要忘记x ＝0的特殊情况.[变式训练1] (1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( B )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则x <0时，f (x )＝x 2－x .解析：(1)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.①f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.②由①＋②得g (1)＝3，故选B.(2)设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x . 又∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝x 2－x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2－x .类型二 函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1：比较大小[例2] 若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52[答案] C[解析] 因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52.奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.[变式训练2] 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( D )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10)解析：由题易知y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，则f (x )的图象的对称轴为x ＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f (6)<f (7)，f (6)＝f (10)<f (9)，f (7)＝f (9)>f (10)．故选D.命题视角2：解不等式[例3] 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．[分析] 由于f (x )是奇函数，可得f (x )在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f (1－m )<f (m )转化为具体的不等式组求解．[解] 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，所以f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.[变式训练3] 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：因为f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象由f (2x －1)<f (13)得－13<2x －1<13.解得13<x <23.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用[例4] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且满足对于定义域内任意的x 1，x 2都有等式f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立．(1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明．(3)若f (4)＝1，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (－6)≤3.[解] (1)令x 1＝x 2＝1得，f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，则f (－1)＝0， 令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f (－x )＝f (x )，又定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，∴f (x )为偶函数． (3)∵f (4)＝1，又f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴f (4)＋f (4)＝f (4×4)＝f (16)， ∴f (16)＋f (4)＝f (16×4)＝f (64)， ∴f (64)＝f (4)＋f (4)＋f (4)，∴f (64)＝3. ∴f (3x ＋1)＋f (－6)≤3等价于f (－6(3x ＋1))≤3，∴f (|－6(3x ＋1)|)≤f (64)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≠0，|－6(3x ＋1)|≤64，解得x ∈[－359，－13)∪(－13，299]．对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f (1)，f (0)，f (－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f (x )与f (－x )或f (x 2)与f (x 1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.[变式训练4] 已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0. 解：(1)因为f (x )＝ax ＋bx 2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，则f (0)＝0，得b ＝0.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，则12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝25⇒a ＝1.所以f (x )＝x x 2＋1.(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是增函数， 由f (t －1)＋f (2t )<0， 得f (t －1)<－f (2t )＝f (－2t )．所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1<t －1<1，－1<－2t <1，t －1<－2t ，⎩⎪⎨⎪⎧0<t <2，－12<t <12，t <13.解得0<t <13.故不等式f (t －1)＋f (2t )<0的解集为{t |0<t <13}．1．若偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f (－2)，b ＝f (π2)，c ＝f (32)的大小关系是( C )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <a <b解析：f (x )为偶函数，则a ＝f (－2)＝f (2)． 又∵2<32<π2，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (32)<f (π2)，即a <c <b .2．已知函数f (x )是偶函数，且x <0时，f (x )＝3x －1，则x >0时，f (x )＝( C ) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．－3x －1D ．－3x ＋1解析：设x >0，则－x <0.∴f (－x )＝－3x －1.又∵f (x )是偶函数，∴x >0时，f (x )＝f (－x )＝－3x －1.3．若f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( D )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)解析：∵f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是(－∞，0)．解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，∴f(3a－10)<－f(4－2a)，∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，∴f(3a－10)<f(2a－4)．又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．——本课须掌握的三大问题1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．学习至此，请完成课时作业13。
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第二课时函数奇偶性的应用(习题课)
选题明细表
知识点、方法题号
利用奇偶性求函数值3,7,8
利用奇偶性求解析式6,13
抽象函数的奇偶性9,11
奇偶性与单调性的综合应用1,2,4,5,10,12,14
基础巩固
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )
(A)y=(B)y=x2+1
(C)y= (D)y=x
解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.
2.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,则下列关系成立的是( B )
(A)f(-3)>f(0)>f(1) (B)f(-3)>f(1)>f(0)
(C)f(1)>f(0)>f(-3) (D)f(1)>f(-3)>f(0)
解析:因为f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,所以f(-3)>f(1)>f(0).
3.(2019·辽宁六校协作体高一期中)f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-3x+6,f(-2)+f(0)等于( B )
(A)4 (B)-4 (C)10 (D)-10
解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.
又f(-2)=-f(2)=-(4-6+6)=-4.
故f(-2)+f(0)=-4.选B.
4.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数且为减函数,若f(m-1)+f(1-2m)>0,则实数m的取值范围为( C )
(A)m>0 (B)-1<m<3
(C)0<m<(D)-<m<
解析:因为f(m-1)+f(1-2m)>0.
所以f(m-1)>-f(1-2m)=f(2m-1).
由题意知
所以
所以0<m<.
5.已知f(x)是R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=x2+5x+3,则满足f(x)<f(3)的x取值范围是( B )
(A)(-∞,3)∪(3,+∞) (B)(-3,3)
(C)(0,3) (D)(-3,0)
解析:由x≥0时,f(x)=x2+5x+3=(x+)2+3-知,函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,又函数f(x)是偶函数,故f(x)<f(3)可化为f(|x|)<f(3),即|x|<3.解之得-3<x<3.选B.
6.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,则f(x)等于( D )
(A)x2 (B)2x2
(C)2x2+2 (D)x2+1
解析:因为f(x)+g(x)=x2+3x+1, ①
所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.
又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-3x+1. ②
由①②联立,得f(x)=x2+1.故选D.
7.若函数y=f(x)+x2是奇函数,且f(2)=5,则f(-2)= .
解析:令g(x)=f(x)+x2,
则g(x)是奇函数.
故g(-x)+g(x)=0.
则f(x)+x2+f(-x)+x2=0.
所以f(-x)=-f(x)-2x2,
所以f(-2)=-f(2)-2×22=-13.
答案:-13
8.(2018·陕西安康市期中)已知f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数.若f(2)=2,则g(-2)= .
解析:因为f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,
所以
解得g(-2)=f(2)=2.
答案:2
9.函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=
2f(x1)·f(x2),求证:f(x)为偶函数.
证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). ①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x). ②
由①②得f(x)-f(-x)=0.即f(x)=f(-x).
所以函数f(x)为偶函数.
能力提升
10.已知a<b<0,奇函数f(x)的定义域为[a,-a],在区间[-b,-a]上单调递减且f(x)>0,则在区间[a,b]上( D )
(A)f(x)>0且|f(x)|单调递减
(B)f(x)>0且|f(x)|单调递增
(C)f(x)<0且|f(x)|单调递减
(D)f(x)<0且|f(x)|单调递增
解析:因为f(x)是奇函数,
所以其图象关于原点对称.
又f(x)在[-b,-a]上单调递减且f(x)>0,
所以f(x)在[a,b]上单调递减,且f(x)<0.
因为y=|f(x)|与y=f(x)的图象关于x轴对称,
所以y=|f(x)|在[a,b]上单调递增.
11.若y=f(x)(x∈R)是奇函数且是减函数,则F(x)=f(f(x))在R上是( B )
(A)减函数、奇函数(B)增函数、奇函数
(C)减函数、偶函数(D)增函数、偶函数
解析:因为F(-x)=f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x))=-F(x),
所以F(x)是奇函数.
设x1<x2,则f(x1)>f(x2),
又由f(x)是减函数知,f(f(x1))<f(f(x2)),
即F(x1)<F(x2),所以函数F(x)是增函数.
12.奇函数f(x)满足:①f(x)在(0,+∞)内单调递增;
②f(1)=0.则不等式x·f(x)>0的解集为.
解析:法一因为f(x)在(0,+∞)上是增函数且是奇函数,f(1)=0,
所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(-1)=0.
当x>0时,f(x)>0,即f(x)>f(1),所以x>1.
当x<0时,f(x)<0,即f(x)<f(-1),所以x<-1,
所以xf(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
法二依题意作出函数y=f(x)的大致图象如图所示.由图象易知, xf(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
13.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x+x2.
(1)当x>0时,求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=2m+1有三个不相等的实根,求m的取值范围.
解:(1)当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=-2x+x2,
又f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=2x-x2.
所以当x>0时,f(x)=2x-x2.
(2)f(x)=
作出f(x)的函数图象如图所示:
因为关于x的方程f(x)=2m+1有三个不相等的实根,
所以-1<2m+1<1,
解得-1<m<0.
所以m的取值范围为(-1,0).
探究创新
14.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是( D )
(A)f(1)<f()<f()
(B)f()<f(1)<f()
(C)f()<f()<f(1)
(D)f()<f(1)<f()
解析:函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,
所以函数y=f(x+2)在(-2,0)上是增函数,
又函数y=f(x+2)为偶函数,
所以函数y=f(x+2)在(0,2)上是减函数,
即函数y=f(x)在(2,4)上为减函数;
则函数y=f(x)的图象如图所示,
由图知f(2)>f()>f(1)>f()成立.故选D.。