2.1认识一元二次方程 (2)
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程 教学案
学科讲义·初三数学 上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章 一元二次方程第一节 认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。
3.体会方程的模型思想。
（难点）知识点1： 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
知识点2： 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
知识点解析学科讲义·初三数学 数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教学设计2
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《一元二次方程》是浙教版数学八年级下册第二章的第一节内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元一次方程的基础上，引入一元二次方程的概念、性质以及解法。
通过本节课的学习，使学生能够掌握一元二次方程的一般形式、判别式的意义，了解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法，对于方程的概念有一定的理解。
但是，对于一元二次方程的概念、判别式的意义以及解法还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从一元一次方程过渡到一元二次方程，逐步理解并掌握一元二次方程的相关知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的一般形式、判别式的意义，了解一元二次方程的解法。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，使学生能够自主探究一元二次方程的性质和解法。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作、探究的学习精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的一般形式、判别式的意义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生自主探究一元二次方程的性质和解法。
2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思维，引导学生主动参与学习。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示一元二次方程的一般形式、判别式的意义以及解法。
2.练习题：准备一些一元二次方程的题目，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题。
通过分析，引入一元二次方程的概念。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的一般形式、判别式的意义，以及一元二次方程的解法。
引导学生观察、分析，总结出一元二次方程的性质。
2014版北师大版九年级数学上2.1认识一元二次方程(2)课时训练含答案
第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程（2）第1题． 若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是．第2题． 下列方程中，不是整式方程的是（）Ａ．21523x x += 3720x +-= Ｃ．2213x x+=Ｄ．1725x -=第3题． 下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）Ａ．234x x m =+ Ｂ．280ax -= Ｃ．20x y +=Ｄ．560xy x -+=第4题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）Ａ．1m ≠ Ｂ．m ≥0 Ｃ．0m ≥且1m ≠ Ｄ．m 为任意实数第5题． 把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项． （1）232232m x mx m x nx px q +=+++（2）2)(3)x x x =-第6题． 设33100a x x -+-=和34680b xx -++=都是一元二次方程，求2002002))b 的值．第7题． 关于x 的方程1(1)10k k xkx -+++=是一元二次方程，求k 的值．第8题． 方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．第9题． 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 ．第10题． 下列方程中，不是整式方程的是（）Ａ．21523x x += 3720x +-= Ｃ．2213x x+=Ｄ．1725x -=第11题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） Ａ．1m ≠Ｂ．m ≥0Ｃ．0m ≥且1m ≠Ｄ．m 为任意实数第12题． 求关于x 的一元二次方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+的二次项系数、一次项系数及常数项．第13题． 下列各方程中属于一元二次方程的是（ ） （1）214y y -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=Ａ．（1）（2）（3）． Ｂ．（2）（3）（4）． Ｃ．（1）（2）（6）． Ｄ．（1）（2）．第14题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）22469154x x x x +=-+；（2）2(31)(2)51x x x x -+=-++（3）22(23)2(5)41t t +--=-．第15题． 不解方程，估计方程2410x x --=的根的大小（精确到0．1）第16题． 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） Ａ．22(3)4x x-=-+． Ｂ．0ax b +=．25x -=． 21x =+．第17题． 关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）Ａ．1，3mn ，22mn n -． Ｂ．1，3m -，22mn n -． Ｃ．1，m -，2n -． Ｄ．1，3m ，22mn n -．第18题． 在下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）Ａ．29ax bx c ++=． Ｂ．3560k x k ++=．202x x -=． Ｄ．2(3)30m x --=．一般形式第20题． 若方程210ax bx c ++-=是一元二次方程，则必须满足条件 ． 若此方程是一元一次方程，则必须满足条件 ．第21题． 当k 时，方程2223kx x x -=-是关于x 的一元二次方程．第22题． 关于x 的一元二次方程(3)(3)2(2)4x x a x a -+-+=，化成一般形式是 ．二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第23题． 解方程2214133x x x x -+=-时，设21xy x =-，则原方程化成关于y 的整式方程是 ．．第24题． 已知a ，b ，c 均为有理数，判定关于x 的方程2231ax x c b -+=-是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题．m 为何值时，关于x 的方程2(31m m x mx m --=是一元二次方程？写出这个一元二次方程的一般形式．第26题． 下列各式哪个不是二次三项式（ ） Ａ．2(0)ax bx c a ++≠，a ，b ，c 为实数 Ｂ．22285x xy y +-Ｃ．2132x x -- Ｄ．2132x x --第27题． 将方程25x x =化成一般形式是 ．第28题． 用一块长宽分别为8cm ，6cm 的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm 2的长方体盒子，据上述题意，可得方程： ．第29题． 若1x =-是20(0)ax bx c a ++=≠的一个解，你能求出b a c --的值吗？第30题． k 时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程．第31题． 某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1．2米，体积 为1．2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为 米．1.答案：3k ≠2.答案：Ｃ3.答案：Ａ4.答案：（1）2()0m n x px q ---=，二次项系数为：m n -，一次项系数p -，常数项为q -． （2）22630x x --=，二次项系数为2，一次项系数为6-，常数项为3-．5.答案：Ｃ6.答案：32342a b -=⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴20042002220022200222002()(1(12)3a b ==-=-=-7.答案：123131.10k k k k k k ⎧-===-⎧⎪=⎨⎨≠-+≠⎪⎩⎩或，，∴∴8.答案：1，4-，1 9.答案：2a >-且0a ≠10.答案：Ｃ 11.答案：Ｃ12.答案：解：将方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+化为一般式：223(31)0mx m x m m -++-=．∵已知该方程是一元二次方程，所以0m ≠．此方程的二次项系数为3m ，一次项系数为(31)m -+，常数项为2m m -．13.答案：Ｄ15.答案：解：分别取0.3x =-与0.2x =-时，有：2(0.3)4(0.3)10.09 1.210.290--⨯--=+-=>，2(0.2)4(0.2)10.160----=<．于是，方程2410x x --=必有一根在0.3-与0.2-之间． 分别取 4.2x =与 4.3x =时，有：24.24 4.210.160-⨯-=-<，24.34 4.310.290-⨯-=>因此，方程2410x x --=必有一根在4．2与4．3之间．16.答案：Ｃ 17.答案：Ｂ 18.答案：Ｃ20答案：；， 21.答案：3k ≠-22.答案：一般形式是22890x ax a ++-=；二次项系数是1，一次项系数是2a ，常数项是89a -．23.答案：23410y y -+=24.答案：是一元二次方程，二次项系数为a +，一次项系数为3-，常数项为1c b -+．25.答案：m =，一般形式为210-= 26.答案：Ｄ27.答案：251)0x x -= 28.答案：(82)(62)15x x --= 29.答案：130.答案：1≠±31.答案：0，将1x =-代入20ax bx c ++=，得0a b c -+=，从而0b c a --=。
2.1.1一元二次方程的概念、一般形式、列方程
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四
个数依次可表示
为： x+1 , x+2 , x+3 , x+ .
根据题意，可得方程：
4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 该方程中未知数的个数和
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
最高次数各是多少？
解题技巧 4
列一元二次方程步骤：
分析题意→找等量关系→设未知数→列方程
课后作业
11.下列是一元二次方程有
(1)7x2 - 6x = 0
（6）
(2)2x2 - 5xy + 6y = 0
(3) 2 x 1 1 0
3x
(4) y 2 0
2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
(3x+2)2=4(x-3)2
x2 + x - 8 = 0 7x2 - 4 = 0
1
1
-8
7
0
-4
课后作业
3 a为何值时，(a－1)2 x ∣ a ∣ +1 －2ax－a+1=0为一 元二次方程？
课后作业
4 随堂练习 第1题
5 习题2.1 第1题
解题技巧 3
描述一元二次方程的各项及其系数：
(1)先将一元二次方程化成一般形式再进行判断. (2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、 去括号、移项、合并同类项等步骤． (3)指出一元二次方程的各项及其系数时，各项或各项的系 数应包括它们前面的符号.
解题技巧 4
2.1认识一元二次方程教学设计2024—2025学年北师大版数学九年级上册
将方程转化为一般形式的一元二次方程：
0.8x - y = 0
求解这个方程，得到商品的原价 x。
【答案】
x - 5y = 0
解得：
x = 5y
5. 题型五：应用一元二次方程解决实际问题
【例题】一个长方体的长、宽、高分别为 l、w、h，其体积 V 可以用一元二次方程表示为：
V = lwh
强调一元二次方程在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用一元二次方程。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于一元二次方程的短文或报告，以巩固学习效果。
学生学习效果
1. 理解一元二次方程的定义和标准形式，能够正确识别和写出一般形式的一元二次方程。
2. 掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法等，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课做好铺垫。
核心素养目标
本节课的核心素养目标主要有以下几点：
1. 逻辑推理：通过学习一元二次方程的定义和性质，培养学生的逻辑推理能力，使其能够正确理解和运用一元二次方程。
2. 数学建模：引导学生将实际问题转化为数学模型，培养学生的数学建模能力，使其能够运用一元二次方程解决实际问题。
- 问题描述：某商品打折后的价格为一元二次方程的形式
- 方程设定：设商品原价为x元，折扣为a（0<a<1），则打折后价格为ax^2 + bx + c元
- 求解目标：求出商品的原价x
④ 艺术性和趣味性
- 使用颜色、图标、图形等元素，使板书设计更具艺术性
- 通过有趣的例子、生活情境或小故事，将一元二次方程与现实生活相结合，提高学生的学习兴趣
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的 一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的 解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题 含答案
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1C ．x ＝x 2D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．任何实数B ．m≠0C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A ．x(x ＋2)＝323B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x3.25<x<3.2610．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠113．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．k ≠1B ．k ≥0C ．k ≥0且k ≠1D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？答案：1. C2. C3. 3x2－5x－12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.5. D6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.8. D9. C10. 611. －112. B13. C14. C15. C16. ≠±2＝－217. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依 次可表示为： x+1 , x+2 , x+3 , x+4 . 根据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. x2 - 8x - 20＝0（一般式）.
当堂练习
1.下列方程哪些是一元二次方程? 为什么?
(1)7x2 - 6x = 0
√
(2)2x2 - 5xy + 6y = 0
方程中同时出现x、y两个未知数
(3) 2x 1 1 0 3x
(4) y 2 0 2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
120m2
讲授新课
一元二次方程的概念
问题1：请通过类比一元一次方程一般形式（ax + b = 0）,对 下面所得方程进行整理.
（1） x2 = 64 ;
（2）x（x + 10） = 1200.
（1） x2 – 64 = 0 ; （2） x2 + 10x – 1200 = 0.
问题2：上述两个方程有什么共同特点？ 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
注意 ①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘以-1,使二次项系数变 为正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
2.1认识一元二次方程(2)
4、根据x的范围1＜x＜2进行取值，完成下表：
x
x2+12x-15
… …
1.1
－0.59
1.2
0.84
1.3
2.29
1.5 … 3.76 …
探究：根据表格你能说出x的确定值吗？
x≈1.1（精确到十分位）
分组分享活动四:小结与收获
通过本节课的学习，你有哪些收获？
分组分享活动二:探究与应用
在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
( x 6) 7 10
2 2
2
即 x 2 12 x 15 0
10m
1、梯子底端也滑动了1米对吗？ 2、梯子底端可能滑动了2米吗？8m 可能是3米吗？ 3、所以x的大致范围是？ 1 ＜x ＜2
X
探索方程的根：
解：若设花边的宽为xm, 根据题意，可列方程为：(8-2x)(5-2x)=18
1、方程中x能小于0吗？ 可能大于4吗？ 可能大于2.5吗？说说你的理由。
2、所以x的大致范围是什么？
0＜x＜2.5
分组分享活动一:新知探究
探索方程(8-2x)(5-2x)=18的解
3、根据x的范围0＜x＜2.5进行取值，填出下表
北师大版九年级上册第二章
认识一元二次方程（2）
学习目标
1. 会判断实际问题中未知量的取值范围。
2. 会用估算的方法探索一元二次方程的解。
旧知回顾 下列哪些数是方程 x x 12 0 的根?
2
-4，
1,
3,
分组分享活动一:新知探究
先独立思考，再小组内进行交流。 1.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽 为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m2 ，则花边多宽?
2.1一元二次方程的近似解
在一般形式ax2+bx+c=0中，
注意（1）一般形式的右边必须是0， （2）左边是按降幂排列的三项式，
当然也可以没有一次项、常数项。
3、方程ax²+bx+c=0的条件：
（1）当a≠0时，是一元二次方程。
（2）当a=0并且b≠0 时，是一元一次方程。
我能行
小 试 牛 刀
根据题意列出方程：
（1）造一个池底为正方形，深度为2.5cm的长方体无盖蓄水池， 池壁的造价为120元/m2，池底的造价为240元/m2，总造价为 8640元.求池底的边长.
x
18m2
x 8
因此,x取值的大致范围是:0<x<2.5.
在0<x<2.5这个范围中,x具体的值= ? 完成下表(取值计算,逐步逼近):
x 2x2-13x+11 … …
0.5 4.75
1 0
1.5 -4
2 -7
… …
由此看出,可以使2x2-13x+11的值为0的x=1.故可知花边宽为1m. 你还有其它求解方法吗?与同伴交流.
数学化
8m
7m
xm
你能猜得出x取值的大致范围吗?
你能猜得出x取值的大致范围吗?
完成下表(取值计算,逐步逼近):
x x2+12x-15 … …
0.5 -8.75
1 -2
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5
在1<x<1.5这个范围中,如果x取整数是几? 如果x精确到十分位呢?百分位呢?
如果将(8-2x)(5-2x)=18看作是6×3=18. 则有8-2x=6, 5-2x=3.从而也可以解得x=1.
怎么样,你还敢挑战吗?
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案2
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案2一. 教材分析《一元二次方程》是初中数学的重要内容，也是八年级下册的教学重点。
通过学习一元二次方程，学生可以掌握方程的解法，提高解决实际问题的能力。
浙教版教材通过丰富的例题和习题，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减、乘除运算，以及方程的基本概念。
但他们对一元二次方程的认识还较为模糊，解法也较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过引导和启发，让学生逐步理解和掌握一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的定义、解法及其应用。
2.过程与方法：培养学生解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义、解法及应用。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。
五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导，激发学生的思考，让学生主动探索一元二次方程的解法。
2.案例教学：结合典型例题，分析一元二次方程的解法，提高学生的解题能力。
3.小组讨论：引导学生分组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含重点知识、例题、练习的教学PPT。
2.教案：提前准备教案，明确教学目标、重难点、教学方法等。
3.习题：准备适量的一元二次方程习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习相关知识，如：什么是方程？什么是二次方程？引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的定义、解法及应用，让学生初步了解一元二次方程的基本概念。
3.操练（10分钟）教师给出典型例题，引导学生运用一元二次方程的解法进行解答。
在解答过程中，教师注意引导学生思考、讨论，以便发现解题规律。
小学数学认识一元二次方程
小学数学认识一元二次方程一元二次方程是小学数学中较为复杂的一个概念，需要对数学概念有一定的了解才能理解和解决。
一元二次方程包含一个未知数和其次方的方程，通常写作ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a不等于0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法以及应用。
一、基本概念在学习一元二次方程之前，我们需要了解一些基本概念。
1.1 平方数：一个数的平方，例如1、4、9、16等。
1.2 二次方程：方程中含有未知数的平方项的方程，例如x^2 + 2x + 1 = 0就是一个二次方程。
1.3 一元二次方程：方程中只有一个未知数的平方项的方程，例如3x^2 - 2x + 1 = 0就是一个一元二次方程。
二、解法解一元二次方程通常有以下两种方法：因式分解法和求根公式法。
2.1 因式分解法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 1) = 0，从而得到x的解为x = 3或x = 1。
2.2 求根公式法：对于一般的一元二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以代入a = 2，b = 5，c = 2，然后计算得到x的解为x = -1/2或x = -2。
三、应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。
3.1 抛物线运动：抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来表示。
例如，投掷一颗子弹的运动轨迹可以表示成y = -5x^2 + 10x + 3的形式，其中y为高度，x为时间。
3.2 建模和预测：一元二次方程可以用来对一些现实问题进行建模和预测。
例如，根据某商品的销售数据，可以建立销售量和价格之间的一元二次方程，从而预测不同价格下的销售量。
3.3 几何问题：一元二次方程也可以用来解决几何问题。
1_认识一元二次方程_教案4
第二章 一元二次方程 2．1 认识一元二次方程（二）课 题** 认识一元二次方程（二）课型新授课教学目标 1．探索一元二次方程的解或近似解． 2．培养学生的估算意识和能力．3. 经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力． 教学重点 探索一元二次方程的解或近似解． 教学难点 培养学生的估算意识和能力． 教学方法 分组讨论法 教学后记教 学 内 容 及 过 程学生活动一、创设现实情境，引入新课前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家回忆一下。
二、教室地面的宽x(m)满足方程 估算教室未铺地毯区域的宽教室未铺地毯区域的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18， 你能求出x 吗？（1）x 可能小于0吗？说说你的理由；x 不可能小于0，因为x 表示区域的宽度。
（2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ （3）完成下表（4）你知道教室未铺地毯区域的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
x** 1** 2**（8-2x ）（5-2x ）回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0(4)― 3 x 2=0(8—2x)(5—2x)＝18， 即222一13x 十11＝0． 注:x>o ， 8—2x ＞0， 5—2x ＞0．从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9 区域宽度1米，另，因8―2x 比5―2x 多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1(x 十6)十7＝10，三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m 吗？为什么？（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（4）x的整数部分是几？十分位是几？注意：（1）估算的精度不适过高。
北师版九年级数学上册作业课件(BS) 第二章 一元二次方程 认识一元二次方程
13．(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、 宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使 种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据 题意，列方程为(C)
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600 B．35×20－35x－2×20x＝600 C．(35－2x)(20－x)＝600 D．(35－x)(20－2x)＝600
(1)下面式子中是方程12 x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式的 是__①__②__④__⑤___；(只填写序号) ①12 x2－x－2＝0；②－12 x2＋x＋2＝0； ③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤ 3 x2－2 3 x－4 3 ＝0.
(2)方程12 x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后， 它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具有什么关系？
(2)(x＋2)(x－2)＋3x＝4. 解：一般形式是x2＋3x－8＝0， 二次项系数是1， 一次项系数是3， 常数项是－8
5．某中学准备建一个面积为5000平方米的矩形操场，操场的长比宽长50米， 设操场的长为x米，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A
A．x(x－50)＝5000 B．x(x＋50)＝5000 C．2x(x－25)＝5000 D．2x(25＋x)＝5000
北师版
第二章 一元二次方程
2．1 认识一元二次方程
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C )
A．x2＋1x ＝0 B．(x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1 C．x＝x2 D．ax2＋bx＋c＝0
2．方程(m－1)x2＋mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为( C) A．任何实数 B．m≠0 C．m≠1 D．m≠－1
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一、温故互查：
1.二人小组复述一元二次方程的有关概念. 把只含有______未知数并且都可以化为________________(a、b、c为常数，a≠0)的整式方程叫做一元二次方程．2．当x=9时, x2-8x-20=_____;
当x=10时, x2-8x-20=_____;
二、设问导读：
阅读教材P33-34完成下列问题：
1.在前一课时的问题中,因为x表示四周未铺地毯的宽度，所以x_____________0.
2.(8-2x)表示地毯的长, (5-2x)表示地毯的宽,所以8-2x___0, 5-2x___0因而x________4,x_________2.5.
(填＞＜＝)
3.完成课本33页表格
由表中数据可知:当x=1时，（8-2x）(5-2x)＝____，正好与右边的值相等．所以由此可知：x＝____是方程(8-2x)(5-2x)=0的解，从而得知；地毯花边的宽为___.
4. 方程(x+6)2+72=102．化为一般形式为_____________.
5.当x=1时,x2+12x-15=_____,
当x=2时,x2+12x-15=_____,
当x=3时,x2+12x-15=_____.
x=1、2、3时,都不满足方程___________ 6.当x＝1，x＝2时，x2+12x-15的值分别为___、___，而0介于负数和正数之间，所以x的大致范围是在1和2之间那么x的整数部分是____,十分位是___.梯子底端距墙____m.
7. x＝____是方程2x2-13x+11=0的精确解，x=1是方程x2+12x-15=0的_____解. 对于这两个问题的具体解决，我们是先根据实际问题确定了其解的_________，然后通过具体计算进行两边“______”，逐步获得了问题的解或____解.
三、自学检测：
1. 根据方程x2-8x-20=0可列表:
方程x2
-8x-20=0的解是_____或_____. 2. 根据方程x2+12x-15＝0，可列表：
2.1认识一元二次方程（第二课时）
所以______<x<______．
因此，x 的百分位是____．
四、巩固训练：
1．计算填表，并回答问题：
（1）由第一个表格说明：方程的一个根满足：
（2）利用第二个表格计算，说明方程的这个根的十分位上的数是 2．已知x=-2是方程2
20x x k ++=的一个根，则k 的值是 ，
3．某大学为改善校园环境，计划在一块长80，宽60的长方形场地的中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为35002
m ，四周为宽度相等的人行走道，若设人行道的宽度为xm 。
（1）你能列出相应的方程吗？
（2）可能小于0吗？说说你的理由； （3）可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；
（4）你知道人行走道的宽xm 是多少吗？说说你的求解过程。
五、拓展探究：
1．关于x 的方程（k-
2
3）x 2
+(m-3)x-1=0，是一元二次方程。
则k 和m 的取值范围分别为什么？
2．已知两个数的和为10，积为9，求这两个数。
3、方程0222
=--x x 的一较小根为
1x ，对1x 的取值范围估计正确的是
( )
A 、101-<<x
B 、011<<-x
C 、101<<x
D 、211<
<x。