函数误差与误差合成共86页
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第六章 函数误差与误差合成
h l D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
处的直径测量值
l2 D h 1 3 0 0 m m 0 4 h
l2 D h 4h 5 0 0 m m 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 5 0 m ml
10
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 . 10 . 1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
11
二、函数随机误差计算
12
数学模型
函数的一般形式
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
2
x n
2
或 令
f 2 f 2 f 2 x x y 1 2 x n x x x 1 2 n
f ai xi
a a a
y 2 2 1x 1 2 2 2 x 2
【解】
故有
2 62 2 ( 5 0 m m ) （ 1 1 . 51 0 ） ( 0 . 0 2 9 ) 2 2 2 2 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 2 . 9 n m ) ( 1 6 . 6 n m ) 1 0 0 2 n m
2 2 n x n
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
a a a
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
处的直径测量值
l2 D h 1 3 0 0 m m 0 4 h
l2 D h 4h 5 0 0 m m 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 5 0 m ml
10
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 . 10 . 1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
11
二、函数随机误差计算
12
数学模型
函数的一般形式
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
2
x n
2
或 令
f 2 f 2 f 2 x x y 1 2 x n x x x 1 2 n
f ai xi
a a a
y 2 2 1x 1 2 2 2 x 2
【解】
故有
2 62 2 ( 5 0 m m ) （ 1 1 . 51 0 ） ( 0 . 0 2 9 ) 2 2 2 2 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 2 . 9 n m ) ( 1 6 . 6 n m ) 1 0 0 2 n m
2 2 n x n
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
a a a
第3章误差的合成与分配
2 x2
...xfn
2 xn
令 f /xi ai，则上式可写成
ya 1 2
x 1 2 a 2 2
x2 2 .. .a n 2
2 xn
各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关
系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此上两式是较为常
用的函数随机误差公式。
第20页，本讲稿共85页
当各个测量值的随机误差为正态分布时，上式中的 标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为
值为
0 2 5 9 9 5 2 2 3 2 5 9 9 2 9
第13页，本讲稿共85页
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的 ，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评 定的。因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准
差与各测量值x1,x2,…,xn的标准差之间的关系。前面讲到 的公式
若三角函数为
则三角函数的系统误差s为in f(x1,x2,..xn .),
在角 度s测i量n 中 ， x f1 需 要x 1 求 得 x f的2 误x 差2 不.是. 三. x 角fn函 x 数n误差，而是
所求角度的误差，因此必须进一步求解。
第6页，本讲稿共85页
对正弦函数微分得
d sin cosd d d sin
n
2
f
1ijxi
f xj
xi1xj1
y22
xf1
2
x122
xf2
2
x222
...xfn
2xn22n2 Nhomakorabeaf
1ijxi
f xj
xi2xj2
yN2
xf1
2x1N2
误差原理第三章 误差的传递与合成
第三章 误差的传递与合成
3.1 误差的传递
一.系统误差的传递 在间接测量中，其表达式为
y f (x1, x2L xn)
——式中x1,x2…xn各个直接测量值；
y ——间接测量值。
增量可用函数的全微分表示．则上式的函数增量为
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
L
f xn
dxn
由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差Δy为
一般的极限误差合成公式为
t n ( ai i )2
i 1
ti
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成
采用代数和。
r
aii
i 1
注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果 中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
其系统误差为
求测量结果。
解：函数关系式为 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为 因为 直径D的系统误差为
式中各个误差传递系数为
将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差ΔD，则被测直径的实 际尺寸为
二.随机误差的传递 函数的一般形式为 为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为
Δ=0.0008mm 2. 随机误差：
①读数误差 1 0.8m
②瞄准误差 2 1m
3. 未定系统误差
①阿贝误差
e1
HL 4000
80 50 4000
m
3.1 误差的传递
一.系统误差的传递 在间接测量中，其表达式为
y f (x1, x2L xn)
——式中x1,x2…xn各个直接测量值；
y ——间接测量值。
增量可用函数的全微分表示．则上式的函数增量为
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
L
f xn
dxn
由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差Δy为
一般的极限误差合成公式为
t n ( ai i )2
i 1
ti
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成
采用代数和。
r
aii
i 1
注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果 中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
其系统误差为
求测量结果。
解：函数关系式为 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为 因为 直径D的系统误差为
式中各个误差传递系数为
将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差ΔD，则被测直径的实 际尺寸为
二.随机误差的传递 函数的一般形式为 为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为
Δ=0.0008mm 2. 随机误差：
①读数误差 1 0.8m
②瞄准误差 2 1m
3. 未定系统误差
①阿贝误差
e1
HL 4000
80 50 4000
m
误差理论第三章误差合成与分配
9
(二）相关系数 若两误差ξ 与η 之间的相关系数为: kξη Dξη
两误差 间的协 方差
ρ=
其取值范围-1 ≤ ρ ≤ +1 的取值也增大。
σ ξση
=
σ ξ ση
两误差 的标准 差
当0 < ρ < +1时，ξ 与η是正相关，即一误差增大时，另一误差 当-1 < ρ < 0时，ξ 与η是负相关，即一误差增大时，另一误差 的取值减少。 当ρ = 1时，为完全正相关；当ρ = −1时，为完全负相关，ξ 与η 之间存在确定线性函数关系。 当ρ = 0时，ξ 与η 之间不相关，即一误差增大时，另一误差可 能增大，也可能减少，但并不表示它们之间不存在其他的函数 关系。
2 2
2
将上式两边同时除以N，则有：
n ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂f ∂f 2 σy = σ x1 + σ x2 + L + σ xn + 2 ∑ ∂x1 ∂x2 ∂xn 1<i < j ∂xi ∂x j 2 2 2
∑δ x
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f ( x1 , x2 ,L , xn ) , 其中，x1，x2， ，xn为直接测量值；y为间接测量值。 L 由高数知，其增量可由微分来表示，即： ∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx2 + L + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn 由于直接测得值的系统误差∆x1，∆x2， ，∆xn皆较小，可用来 L 代替上式中的dxi。
同理可用极限误差来代替上式中的各σ ϕ 和σ xi ,即得到以极限误差来 表示的角度误差。
用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61 例3.3 用弓高弦长法间接测量大直径。见书 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P61 例3.4 用双圆球法检定高精度内锥角。见书
(二）相关系数 若两误差ξ 与η 之间的相关系数为: kξη Dξη
两误差 间的协 方差
ρ=
其取值范围-1 ≤ ρ ≤ +1 的取值也增大。
σ ξση
=
σ ξ ση
两误差 的标准 差
当0 < ρ < +1时，ξ 与η是正相关，即一误差增大时，另一误差 当-1 < ρ < 0时，ξ 与η是负相关，即一误差增大时，另一误差 的取值减少。 当ρ = 1时，为完全正相关；当ρ = −1时，为完全负相关，ξ 与η 之间存在确定线性函数关系。 当ρ = 0时，ξ 与η 之间不相关，即一误差增大时，另一误差可 能增大，也可能减少，但并不表示它们之间不存在其他的函数 关系。
2 2
2
将上式两边同时除以N，则有：
n ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂f ∂f 2 σy = σ x1 + σ x2 + L + σ xn + 2 ∑ ∂x1 ∂x2 ∂xn 1<i < j ∂xi ∂x j 2 2 2
∑δ x
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f ( x1 , x2 ,L , xn ) , 其中，x1，x2， ，xn为直接测量值；y为间接测量值。 L 由高数知，其增量可由微分来表示，即： ∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx2 + L + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn 由于直接测得值的系统误差∆x1，∆x2， ，∆xn皆较小，可用来 L 代替上式中的dxi。
同理可用极限误差来代替上式中的各σ ϕ 和σ xi ,即得到以极限误差来 表示的角度误差。
用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61 例3.3 用弓高弦长法间接测量大直径。见书 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P61 例3.4 用双圆球法检定高精度内锥角。见书
第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差原理第三章误差的传递与合成
误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。
在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。
当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。
为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。
对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。
这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。
最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差独立且不相关的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。
平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差相互关联的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。
实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。
在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。
在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。
总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。
第三章 误差的合成与分配
2
2
交叉相乘项
将方程组中各方程相加，可得：
y12 y2 2 , ... yn12
2 2
合并，提出误差 传递系数
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x , ..., x ) ( x21 x22 , ..., x2 N ) 11 12 1N x1 x 2
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
15 15
函数随机误差公式
N f 2 f 2 f 2 f f 2 σy σ σ , , σ 2 ( ij xi xj ) x x1 x x2 x xn 1i j xi x j 1 2 n 2 2 2
第三章 误差的合成与分配
主要内容 §3.1 函数误差 §3.2 随机误差的合成 §3.3 系统误差合成
§3.4 系统误差与随机误差的合成 §3.5 误差分配
§3.6 微小误差取舍准则 §3.7 最佳测量方案的确定
第三章 误差的合成与分配
1 1
§3.1 函数误差
间接测量 通过直接测量与被测的量有一定 h 函数关系的其他量，然后按照已 知的函数关系式计算出被测的量。 函数误差
8 8
s2 D= +h 4h
h 50mm , h 0.1mm s 500mm , s 1mm
误差传递系数为:
s2 ( h) 2 2 f s 500 4 h 2 1 1 24 2 h h 4h 4 50 s2 ( h) f s 500 4h 5 s s 2h 2 50 f f D s h 7.4mm 直径的系统误差: s h
误差的合成与分配
（1） 观察法 用多组测量的两误差对应值(ξi, ηi)作图，将它与标准图形相 比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA,u 0.1V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。
解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W
注意：在函数式中各观测值是否相互独立？
例：z=x+y，y=3x，求
2 z
。
由于没有考虑x，y之间的相关性，结果错误。
考虑了x，y之间的相关性，结果正确
第二节 随机误差的合成
解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成 的方法，其中还要考虑到误差传播系数。
标准差合成 极限误差合成
随机误差的合成
对n个变量各测量N次，其相应的随机误差为：
将右侧方程组中的每个方程两边平方, 可得
将方程组两边相加可得
将上式等号两边除以N, 根据
12
2 2
L
2 n
可得函数标准差
n
y2
f x1
2
2 x1
f x2
2
x
2 2
L
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差 第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差 和 随机误差的合成 第四节误差分配 第五节 最佳测量方案的确定
1. 基本概念
直接测量 直接得到被测量值的测量
间接测量 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算 出被测量。
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA,u 0.1V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。
解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W
注意：在函数式中各观测值是否相互独立？
例：z=x+y，y=3x，求
2 z
。
由于没有考虑x，y之间的相关性，结果错误。
考虑了x，y之间的相关性，结果正确
第二节 随机误差的合成
解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成 的方法，其中还要考虑到误差传播系数。
标准差合成 极限误差合成
随机误差的合成
对n个变量各测量N次，其相应的随机误差为：
将右侧方程组中的每个方程两边平方, 可得
将方程组两边相加可得
将上式等号两边除以N, 根据
12
2 2
L
2 n
可得函数标准差
n
y2
f x1
2
2 x1
f x2
2
x
2 2
L
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差 第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差 和 随机误差的合成 第四节误差分配 第五节 最佳测量方案的确定
1. 基本概念
直接测量 直接得到被测量值的测量
间接测量 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算 出被测量。
误差的合成与分配
二、随机误差的合成 ➢标准差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量 的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的 合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系 数和误差间的相关性影响。
标准差的合成 若有q个单项随机误差，它们的标准差分别为：
其相应的误差传递系数为：
这些误差传递系数是由测量的具体情况来确定的，例如 对间接测量可按式（3-13）来求得，对直接测量则根据各个 误差因素对测量结果的影响情况来确定。
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
若函数形式为线性公式：
则函数的系统误差为：
当
时，则有：
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差 也为各测量值系统误差之和。
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关 系为三角函数式，对于三角函数的系统误差，可按 上述同样方法进行计算。
若三角函数为：
s
过函数关系计算求得直径。
D
如果：
求测量结果。
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来 评定的,对于函数的随机误差,也是用函数的标准差 来进行评定.因此,函数随机误差计算,就是研究函 数y的标准差与各测量值标准差之间的关系。
➢函数：
➢多元函数增量 ➢随机误差：：
➢系统随机误差 ：
误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系， 这种依赖关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一 个误差的取值完全决定了另一个误差的取值，此时两误差 间具有确定的线性函数关系。当两误差间的线性依赖关系 最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是 互不相关的情况。
一、函数误差 ➢误差间的相关
第三章误差的合成与处理-精品文档
第3章
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
太原工业学院
误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
太原工业学院
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
太原工业学院 误差理论与数据处理
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
太原工业学院
误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
太原工业学院
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
太原工业学院 误差理论与数据处理
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
误差分析6章函数误差与误差合成
误差分析6章函数误差与误差合成在现实生活中，我们经常需要通过各种方法来测量和估计一些物理量或现象。
然而，由于测量工具的限制性和环境的干扰等原因，我们所获得的测量结果往往会有一定的误差。
因此，误差分析对于准确测量和数据处理是非常重要的。
了解函数误差的传播规律是进行误差分析的关键。
根据误差传播规律，我们可以通过对各个误差的合成和分析，来估计函数误差的大小和分布。
常用的误差合成方法有两种：线性误差合成和非线性误差合成。
线性误差合成是最简单和常用的误差合成方法。
它假设函数误差是一个线性函数，即函数误差与输入变量之间存在线性关系。
在线性误差合成中，我们可以通过计算输入变量的误差对函数输出的影响来估计函数误差的大小和分布。
具体而言，我们可以利用一次导数来估计函数误差的传播规律。
例如，对于一个函数f(x) = ax + b，如果输入变量x的误差为Δx，那么函数输出的误差可以用Δf = aΔx来估计。
非线性误差合成是对于一些非线性函数而言的，它考虑了输入变量之间的相关性和非线性关系。
非线性误差合成方法相对较复杂，需要结合数值方法和统计方法来进行分析。
其中，常用的方法有蒙特卡洛法、雅可比矩阵法和高斯-牛顿法等。
这些方法通过对各个输入变量的误差进行采样和组合，来计算函数输出的误差，并估计函数误差的大小和分布。
误差合成的目的是对函数的误差进行估计和控制。
通过合理选择测量方法、改进数据处理算法以及优化输入变量的选择，可以有效地减小函数误差，提高数据分析的准确性和可靠性。
此外，误差合成还可以帮助我们识别和排除一些异常值和离群点，从而提高数据处理的鲁棒性。
函数误差与误差合成
an
2
x1
kp
y
a12
2 x1
a22
2 x2
L
an
2
2 xn
▪ x第i i个直接测得量 的xi极限误差
例
令有xp
p1x1 p2 x2 L
n
pn xn ，
pi
i 1
求加权平均值x
p的标准偏差
x
p
和各x
的关系。
p
xp =
x1
p1
n
pi
, xp x2
=
p2
n
pi
,L
, xp xn
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
f xn
2 xn
令
f xi
ai
y
a12
2 x1
a22
2 x2
L
an2 xn2
三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
sin f (x1, x2,..., xn )
函数随机误差公式为
2
2
2
1
cos
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
L
f xn
V dh 10 10 157.1mm2
d 2
2
V d 2 10 2 78.6mm 2
h 4
4
sc (V ) 157.12 0.00152 78.62 0.00182 0.27mm3
例
直径d 10.085 10.085 10.090 10.080 10.085 10.080 高度h 10.105 10.115 10.115 10.110 10.110 10.105
误差的合成与分配全
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其 它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。 研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。 对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算
在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
若在测量过程中，有r个单项已定系统误差，其误差值分别为 V 1 ,
V2,...,Vr，相应的误差传递系数为 a1,a2,...,ar ，则按代数和法合成
的总的已定系统误差为：
r
V a i Vi
i1
在实际测量中，已定系统误差应用修正值去消除。若由于某种 原因未被消除，则应用代数和法合成。一般情况下，最后测量结 果不应含有已定系统误差。
22
二. 未定系统误差
定义： 未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，而 只能或只需估计出其不致超过某一极限范围 e i 的系统误差。
1. 未定系统误差的特征及其评定
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测 量时其值固定不变，因而不具有抵偿性。所以利用算术平均 值法不能减少它对测量结果的影响。这是它与随机误差的重 要差别。
(i )(i )
(i )2 (i )2
(xi , xj )
(xik xi )(x jk x j )
k
(xik xi )2 (x jk x j )2
k
k
（5）理论计算法： 有些误差的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求的。
16
第二节 随机误差的合成
随机误差具有随机性，其取值不可预知，用测量的标准差 或极限误差表征其取值的分散程度。
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其 它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。 研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。 对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算
在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
若在测量过程中，有r个单项已定系统误差，其误差值分别为 V 1 ,
V2,...,Vr，相应的误差传递系数为 a1,a2,...,ar ，则按代数和法合成
的总的已定系统误差为：
r
V a i Vi
i1
在实际测量中，已定系统误差应用修正值去消除。若由于某种 原因未被消除，则应用代数和法合成。一般情况下，最后测量结 果不应含有已定系统误差。
22
二. 未定系统误差
定义： 未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，而 只能或只需估计出其不致超过某一极限范围 e i 的系统误差。
1. 未定系统误差的特征及其评定
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测 量时其值固定不变，因而不具有抵偿性。所以利用算术平均 值法不能减少它对测量结果的影响。这是它与随机误差的重 要差别。
(i )(i )
(i )2 (i )2
(xi , xj )
(xik xi )(x jk x j )
k
(xik xi )2 (x jk x j )2
k
k
（5）理论计算法： 有些误差的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求的。
16
第二节 随机误差的合成
随机误差具有随机性，其取值不可预知，用测量的标准差 或极限误差表征其取值的分散程度。
函数误差与误差合成
6
pi 20
i
计算加权算术平均值
6
pii
i1 6 pi i 1 75 1806 10 5 4 4 2 210 27 63 20
75 1806 4 75 1810
2、求加权算术平均值的标准偏差 计算残差
v1 1 75 1806 75 1810 4
v2 0, v3 2, v4 6, v5 3, v5 1
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
【例】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量得 弓高 h 50mm，弦长l 500mm ，工厂 检验部门又用高准确度等级的卡尺量 得弓高 h 50.1mm，弦长 l 499mm 试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
6、计算粗大误差剔除后的算术平均值和单次测量的标准差
7、计算算术平均值的标准差
8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度）s( x
)
s( x) n
9、写出最后测量结果
(x) t s / n
直接测量结果的数据处理实例
对某一轴径等权测量10次 （mm），求测量结果
解：1、计算算术平均值
n
s9
1 9 1
(xi x )2 0.12μm
计算结果
残差和统计法
1 0 0.2 0.1 0 0.1 2 0.1 0 0.1 0.1 0.1 1 2 0.1 0.1 0 2 9s9 0.72
故可判断无显著的线性系统误差。
小样本序差统计法 8
B (i i1)2 0.22 0.32 0.12 0.22 0.32 0.12 0.12 0.22 0.33
pi 20
i
计算加权算术平均值
6
pii
i1 6 pi i 1 75 1806 10 5 4 4 2 210 27 63 20
75 1806 4 75 1810
2、求加权算术平均值的标准偏差 计算残差
v1 1 75 1806 75 1810 4
v2 0, v3 2, v4 6, v5 3, v5 1
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
【例】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量得 弓高 h 50mm，弦长l 500mm ，工厂 检验部门又用高准确度等级的卡尺量 得弓高 h 50.1mm，弦长 l 499mm 试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
6、计算粗大误差剔除后的算术平均值和单次测量的标准差
7、计算算术平均值的标准差
8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度）s( x
)
s( x) n
9、写出最后测量结果
(x) t s / n
直接测量结果的数据处理实例
对某一轴径等权测量10次 （mm），求测量结果
解：1、计算算术平均值
n
s9
1 9 1
(xi x )2 0.12μm
计算结果
残差和统计法
1 0 0.2 0.1 0 0.1 2 0.1 0 0.1 0.1 0.1 1 2 0.1 0.1 0 2 9s9 0.72
故可判断无显著的线性系统误差。
小样本序差统计法 8
B (i i1)2 0.22 0.32 0.12 0.22 0.32 0.12 0.12 0.22 0.33
误差的合成与分解
1 f f f f f ( x1 x2 x3 x4 xn ) cos x1 x2 x3 x4 xn
同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。书中 59 页。 例题 3-1/p59 例题 3-2/p59
【例 6-1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓 高 h 50mm ，弦长 l 500mm ，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量
其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 ）
（一）函数系统误差的计算
在间接测量中，函数的基本形式主要为初等函数，而且一般为多元函数，其
表达式为：
y f x1 , x2 , x3 ... xn
式中 x1,x2,…,xn -----各个直接测量值； y ----间接测量值。 对于多元函数，其增量可用函数的全微分来表示，则上式的函数增量 dy 为
dx3 ---- dxn ，从而可近似的得到函数的系统误差为：
y
f f f f f x1 x2 x3 x 4 x n x1 x 2 x3 x4 x n
（6-2）
式（6-2）称为函数系统误差公式，而 f / xi 为各个直接测量值的误差传递 函数。有些情况下的函数公式较简单，则可直接求得函数的系统误差。 例如：若函数形式为线性公式
直径的系统误差
f f l h 7.4mm l h 故修正后的测量结果 D D0 D 1300 7.4 1292.6mm D
二、函数随机误差的计算 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随误差， 也是用函数的标准偏差来评定。因此，函数的随机误差的计算，就是研究函 y 的标准偏差与各测量值 x1,x2,…,xn 的标准偏差之间的关系。 函数的一般形式为：y=f(x1,x2,…xn) 设对各测量值各进行 N 次等精度测量，其测量值为： 对 x1:x11,x12,…,xN 对 x2:x21,x22,…x2N ┆ 对 xn:xm,xn2,…xnN σ σ
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31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
函数误差与误差合成
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生