2016年1月丰台区高三期末理科数学试题及答案
2016丰台区高三(上)期末数学(理科)
2016丰台区高三（上）期末数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤20174．（5分）若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．25．（5分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（）A．B．C．D．6．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c7．（5分）若F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B 两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）A． B．C．D．8．（5分）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（2x﹣1）7的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）10．（5分）若x，y的满足，则z=2x﹣y的最小值为．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=．12．（5分）在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（5分）设函数其中a＞﹣1．①当a=0时，若f（x）=0，则x=；②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，AB=12，，，点D在边BC上，且∠ADC=60°．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）求线段AD的长．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．17．（14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1，P2，P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若存在实数x0∈（﹣1，0），且，使得，求实数a的取值范围．19．（13分）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】复数（1+i）（1+ai）=1﹣a+（1+a）i，因为复数是实数，所以1+a=0，解得a=﹣1．故选：D．2．【解答】由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．【解答】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A==，n=2+1=3，…当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．4．【解答】曲线的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线表示以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．∴曲线的圆心到原点得距离为，∴点P与坐标原点的最短距离为．故选：A．5．【解答】由=0得sin2x=﹣cos2x，即tan2x=﹣，即2x=kπ﹣，即x=﹣，∵0≤x≤π，∴当k=1时，x=，当k=2时，x=，则函数f（x）的零点之和为+=，故选：C6．【解答】分别作出函数y=2x，（红色曲线），y=x（绿色曲线），y=log2x（蓝色曲线）的图象，则由图象可知当1≤x≤2时，对应的函数2x＞x＞log2x，即对应的平面的面积依次减小，即c＜b＜a，故选：A7．【解答】∵F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B两点，∴A（a，0），B（0，b），∵线段AB的中点在直线x=c上，∴，∴椭圆的离心率e===．故选：B．8．【解答】①存在一个平面AB1D1与正方体的12条棱所成的角都相等，故①正确；②存在一个平面AB1D1与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；．．③存在一条直线AC1与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；④存在一条直线AC1与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】（2x﹣1）7的展开式中，通项公式为T r+1=•（2x）7﹣r•（﹣1）r，令7﹣r=2，解得r=5；所以展开式中x2的系数为•22•（﹣1）5=﹣84．故答案为：﹣84．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，4），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z．由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．11．【解答】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=42，∴=42，解得a1+a7=12，∴2a1+6d=2（a1+3d）=12，即a1+3d=6，∴a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3（a1+3d）=3×6=18．故答案为：18．12．【解答】在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则=CM•CN•cos＜＞≤•=3，故答案为：3．13．【解答】如图，由三视圆得该几何体由直三棱柱ABC﹣A1B1C1与三棱锥B﹣B1C1D组合而成，其中A1B1DC1是边长为2的正方形，AA1=2，∴该几何体的体积为：V====．故答案为：．14．【解答】①当a=0时，f（x）=，由f（x）=0，可得lnx=0，解得x=1．②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，可得f（x）在x＜1为递增，在x≥1为递增函数，可得a＞﹣1；由增函数的定义可得e﹣1≤ln（1+a），解得a≥e e﹣1﹣1．综上可得a的范围是[e e﹣1﹣1，+∞）．故答案为：1，[e e﹣1﹣1，+∞）．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵AB=12，，，∴根据余弦定理：=．…（6分）（Ⅱ）∵0＜C＜π，∴sinC＞0，．∴根据正弦定理得：，即：=8．…（13分）16．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点M，连接MF，MB，因为M是AP中点，F是PD中点，所以，又因为，所以四边形BCFM是平行四边形，所以FC∥BM，又FC⊄面ABP，BM⊂面ABP所以FC∥面ABP…（5分）（Ⅱ）连接CE，因为在△ABP中，AB=AP=BP，点E是边AB在的中点，所以PE⊥AB且，在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以在△PEC中，，，，所以PE⊥EC又因为AB∩EC=E，AB⊂面ABCD，EC⊂面ABCD所以PE⊥面ABCD…（9分）（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），，A（﹣1，0，0），因为：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，面ABP的法向量为设面ABC的法向量为，，，取x0=1，得，由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ，cosθ==，二面角B﹣PA﹣C余弦值为．…（14分）17．【解答】（Ⅰ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为．（Ⅱ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116．（Ⅲ）由于A团队中，每个人是志愿者的概率为，P3 =•=0.4116，P1＞P3=P2 ．18．【解答】（Ⅰ）f′（x）=ax2+2x，令f′（x）=0得x2=0，．∴函数y=f（x）的极大值为；极小值为f（0）=0．…（8分）（Ⅱ）若存在，使得，则由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）（图1），（图2），于是可得．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．设R的轨迹方程为：y2=2px，，p=2所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（5分）（Ⅱ证明：由条件可知，则．联立，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2），，．因为，所以k AP=k AQ，所以A，P，Q三点共线．…（13分）20．【解答】（Ⅰ）证明：∵a k+1﹣a k=a i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴数列{a n}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜a n．﹣a k=a i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），又∵a k+1﹣a k≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．∴a k+1（Ⅱ）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；∵{a n}是等比数列，∴数列{a n}的公比为2．∵a k﹣a k=a i（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴当i=k时有a k+1=2a k．+1这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．∴．（Ⅲ）证明：∵1=a1=1，2=a2=2，，，…，，由上面n个式子相加，得到：，化简得，∴．。
2016年北京丰台高中三年级二模理科数学试卷与答案
分
（可以简单直观解释，也可以具体：
设 4 类案件的均值为 X ，则 X
2
2
S22 ( x1 x) ( x2 x) ( x3
4
3x x x.
4
2
2
x) ( x4 x)
( x1 x )2 (x 2 x)2 ( x3 x )2 ( x x) 2
4
( x1 x )2 ( x2 x )2 ( x3 x )2
4 ( x1 x) 2 ( x2 x)2 ( x3 x )2
______.
13. 安排 6 志愿者去做 3 项不同的工作，每项工作需要 2 人，由于工作需要， A， B 二人必须做同
一项工作， C， D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有
_________种.
14. 已知 x 1,x 3 是函数 f ( x) sin( x
)(
0) 两个相邻的两个极值点， 且 f ( x) 在 x
3
S12 ）
17. （本小题共 14 分）
P
D
C
D
C
E
A
B
图1
A
图2
B
解：
（Ⅰ）在图 1 中，因为 AB∥ CD， AB=CD，
所以 ABCD为平行四边形，所以 AD∥ BC,
O
因为∠ B=90 , 所以 AD⊥ BE，当三角形 EDA沿 AD折起时， AD⊥ AB， AD⊥ AE，
即： AD⊥ AB， AD⊥ PA，
x , 方差为 S12 ，如果表中 n x ，
表中全部（ 4 类）案件的判决案件数的方差为 S22 ，试判断 S12 与 S22 的大小关系，并写出你的
结论（结论不要求证明） .
2016北京市丰台区高三(一模)数学(理)
2016北京市丰台区高三（一模）数 学（理） 2016.3第一部分 （选择题 共40分）一.选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x x =≤-≥或，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U C A B I 等于（ ）（A ）{}|24x x -<≤ （B ）{}|23x x -<<（C ）{}|21x x -<<-（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<2．在下列函数中，是偶函数,且在0+∞（，）内单调递增的是 （A ）||2x y = （B ）21y x =（C ）|lg |y x = （D ）cos y x =3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h 的概率（A ） 75，0.25 （B ）80,0.35 （C ）77.5,0.25 （D ）77.5,0.354. 若数列{}n a 满足*12(0,)N n n n a a a n +=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a +++L 等于 （A ）2n（B ）21n- （C ）12n - （D ）121n --5. 已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m ⊂α”是“n ⊥m ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ） 72 （B ）54 （C ） 48 （D ） 87.如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB =PA =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是（A）（B ）4,2,侧视图（D）23,2,228. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线为3y x=，那么双曲线的离心率为_________.10. 如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，则AB=________.11. 在ABC∆中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sin cos cosb Ac A a C=+，则sin A=________．12. 在梯形ABCD中，//AB CD,2AB CD=，E为BC中点，若AE x AB y ADu u u r u u u r u u u r=+,则x+y=_______.CBA DO 21单价需求曲线供应曲线21单价需求曲线供应曲线13. 已知,x y 满足0,,.x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩（k 为常数），若2z x y =+最大值为8，则k =________.14.已知函数1(1),()1).x x f x x +≤⎧⎪=>若()(1)f x f x >+，则x 的取值范围是______.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数(=cos (cos )f x x x x ）+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递减区间.16.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求E （X ）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E (Y )，请指出（Ⅰ）②中E （X ）与E (Y )的大小关系.（只写结论,不需说明理由）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2.(Ⅰ)求证： EF //BC ；(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.18.（本小题共14分） 已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-； （Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.已知椭圆G1.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设椭圆G 的短轴端点分别为,A B ，点P 是椭圆G 上异于点,A B 的一动点，直线,PA PB 分别与直线4x =于,M N 两点，以线段MN 为直径作圆C . ① 当点P 在y 轴左侧时，求圆C 半径的最小值；② 问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），11111(1),=(1)n nn n n n n nn a a a a a a aa a --+--⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩.（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;n n n b a a n L -=max{,}m n 为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．9. 2 10. 2 11.14. (0,1] 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x + 1cos2(=sin 222xf x x ）++ 1cos2(2)2x f x x ）++1(=sin(2)62f x x ）π++22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈,由2[0,][,]263k k I πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A. 1()4P A =恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为14.-----4分②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.1(1)4P X ==, 1(2)4P X ==，1(3)2P X ==. 则X 的分布列为：所以：E （X ）=11191234424⨯+⨯+⨯=--------------------------------------11分 (Ⅱ) ()()E X E Y < ------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形所以AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF所以BC ∥面ADEF 且面ADEF I 面BCEF EF =所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为FO ⊥面ABCD 所以FO AO ⊥，FO OB ⊥ 又因为OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD .又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：1(0,1,0),((0,1,0),(22B C D F E ---向量1(2DE u u u r =，向量(1,0)BC u u u r =-，向量(0,BF u u u r =- 设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z u u r=000,0n BC n BF u u u ru u ur ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到000000y y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令0y =时0(n u u r=-设DF u u u r 与0n uu r 所成角为ϕ，直线DE 与面BCEF 所成角为θ.sin θ=|cos |ϕ=00||||||n DE n DE u u r u u u r uu r u u u r ⋅⋅1|((1)1|⨯-+=5 直线EF 与平面BCEF所成角的正弦值为5.--------------------------------------13分 18.设函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为k()ln 1f x x '=+ (1)ln111k f '==+=因为(1)1ln10f =⋅=，切点为(1,0).切线方程为01(1)y x -=⋅-，化简得：1y x =-.----------------------4分 （Ⅱ）要证：()1f x x ≥-只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立， ()ln 11ln g x x x '=+-=当(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立所以()1f x x ≥-.----------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）要使：22ln x x ax a ≥+在区间在(0,)+∞恒成立， 等价于：2ln x ax ax≥+在(0,)+∞恒成立，等价于：2()ln 0h x x ax ax=--≥在(0,)+∞恒成立 因为212()h x a x ax '=-+=2222a x ax ax-++=2212()()a x x a a ax -+- ①当0a >时，2(1)ln10h a a=--<，0a >不满足题意②当0a <时，令'()0h x =，则1x a =-或2x a=（舍）.所以1(0,)x a ∈-时()0h x '<，()h x 在1(0,)a -上单调递减；1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>，()h x 在1(,)a -+∞上单调递增；当1x a =-时min 11()()ln()12h x h a a =-=-++当1ln()30-+≥时，满足题意所以30e a -≤<，得到a 的最小值为 3e ------------------------------------14分19. 解：1.所以2221,2b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得到21,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩分（Ⅱ）① 设00(,)P x y ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：0011y y x x --=令4x =，得到004(1)1M y y x -=+同理得到004(1)1N y y x +=-，得到08|||2|MN x =- 所以，圆C 半径004|1|(20)r x x =--≤< 当02x =-时，圆C 半径的最小值为3. -----------------------------------9分② 当P 在左端点时，圆C 的方程为：22(4)9x y -+= 当P 在右端点时，设(2,0)P ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：112y x --=令4x =，得到1M y =-同理得到1N y =， 圆C 的方程为：22(4)1x y -+=，易知与定圆22(2)1x y -+=相切, 半径1R =由前一问知圆C 的半径0000041,204|1|41,02x x r x x x ⎧--≤<⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩ 因为004(1)1M y y x -=+，004(1)1N y y x +=-，圆C 的圆心坐标为004(4,)y x圆心距d =000004,2044||,02x x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 当020x -?时，C 内切；当002x <?时，C 外切； 存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(2,0)和半径1R =.(注: 存在另一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(6,0)和半径1R =.得分相同) --------------------------------------------------------------14分20..解：（Ⅰ）452,1a a ==；-------------------------------------------------2分（Ⅱ）*1)k a k N （=∈，假设1k a m +=①当1m =时，依题意有231k k a a ++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ②当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=③当1m <时，依题意有21k a m +=，321k a m +=，41k a m +=，51k a m+=，61k a += 由以上过程可知：若*1)k a k N （=∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为1. -------------------------------6分（Ⅲ）证明：由条件可知1(1,2,3,)n a n >=L ，因为{}n a 中任何一项不等于1，所以+11,2,3,)n n a a n ≠=L （. ①若212n n a a ->，则21n n b a -=.因为212+12=n n na a a -，所以212+1n n a a ->. 若21221n n a a ->，则212+22122n n n n a a a a --=<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n na a -<，则22222+222212121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ----===⋅<<，于是2-12+2n n a a >；若21221n n a a -=，则2+21n a =，于题意不符； 所以212+12+2max{,}n n n a a a ->，即1n n b b +>. ②若212n n a a -<，则2n n b a =. 因为22+1=nn a a ，所以22+1n n a a >；2016北京市丰台区高三(一模)数学(理)11 / 11 11 / 11 因为22+22+1=n n n a a a ，所以22+2n n a a >； 所以22+12+2max{,}n n n a a a >，即1n n b b +>. 综上所述，对于一切正整数n ，总有1n n b b +>，所以数列{}n b 是单调递减数列.。
2016丰台一模理科数学附答案
丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习（一） 2016.3高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x x =≤-≥或，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U C A B I 等于（ ） （A ）{}|24x x -<≤ （B ）{}|23x x -<<（C ）{}|21x x -<<-（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<2．在下列函数中，是偶函数,且在0+∞（，）内单调递增的是 （A ）||2x y =（B ）21y x =（C ）|lg |y x =（D ）cos y x = 3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km /h 的概率（A ） 75，0.25（B ）80,0.35 （C ）77.5,0.25 （D ）77.5,0.35 4.若数列{}n a 满足*12(0,)N n n n a a a n+=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a +++L 等于（A ）2n （B ）21n -（C ）12n -（D ）121n --5. 已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m ⊂α”是“n ⊥m ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ）72（B ）54（C ）48（D ） 87.如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O ，侧面P AB ⊥底面ABC ，AB =P A =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是 （A ）23,2,2 （B ）4,2,22（C ）23,22，2 （D ）23,2,228. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P 1低于均衡价格P 0时，需求量大于供应量，价格会上升为P 2；当产品价格P 2高于均衡价格P 0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P 0.能正确表示上述供求关系的图形是（A ）（B ）（C ）（D ）侧视图zyy xABPC210单价需求曲线供应曲线210单价需求曲线供应曲线第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为y =，那么双曲线的离心率为_________.10.如图，BC 为⊙O 的直径，且BC =6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD =4，则AB =________.11. 在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin cos cos b A c A a C =+，则sin A =________．12. 在梯形ABCD 中，//AB CD ,2AB CD =，E 为BC 中点，若AE x AB y AD u u u r u u u r u u u r =+,则x +y =_______.13. 已知,x y 满足0,,.x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩（k 为常数），若2z x y =+最大值为8，则k =________.14.已知函数1(1),()1).x x f x x +≤⎧⎪=>若()(1)f x f x >+，则x 的取值范围是______.A二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数(=cos (cos )f x x x x ）+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈时，求函数(f x ）的单调递减区间.16.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求E （X ）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y的均值E (Y )，请指出（Ⅰ）②中E （X ）与E (Y )的大小关系.（只写结论,不需说明理由）17.（本小题共13分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2. (Ⅰ)求证： EF //BC ；(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.18.（本小题共14分） 已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.19.（本小题共已知椭圆G1.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设椭圆G 的短轴端点分别为,A B ，点P 是椭圆G 上异于点,A B 的一动点，直线,PA PB 分别与直线4x =于,M N 两点，以线段MN 为直径作圆C . ① 当点P 在y 轴左侧时，求圆C 半径的最小值；② 问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），11111(1),=(1)nnn n n n n nn a a a a a a aa a --+--⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩.（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;n n n b a a n L -=max{,}m n 为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2 10. 2(0,1]三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x +1cos2(22xf x x ）++1cos2(2)2x f x x ）++1(=sin(2)62f x x ）π++22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈, 由2[0,][,]263k k I πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈ 所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A. 1()4P A =恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为14.-----4分②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.1(1)4P X ==, 1(2)4P X ==，1(3)2P X ==. 则X 的分布列为：所以：E （X ）=11191234424⨯+⨯+⨯=--------------------------------------------11分(Ⅱ) ()()E X E Y < ------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形所以AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF所以BC ∥面ADEF 且面ADEF I 面BCEF EF =所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为FO ⊥面ABCD 所以FO AO⊥，FO OB ⊥ 又因为OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ， OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD . 又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：1(0,1,0),((0,1,0),(2B C D F E --向量1(22DE u u u r =-，向量(1,0)BC u u u r =-，向量(0,BFu u u r =- 设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z u u r=000,0n BC n BF u u u ru u ur ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到000000y y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令0y =时0(n u u r=-设DF uuu r 与0n u u r所成角为ϕ，直线DE 与面BCEF 所成角为θ.sin θ=|cos |ϕ=00||||||n DE n DE u u r u u u r uu r u u u r ⋅⋅1|((1)1|-⨯-+=5直线EF 与平面BCEF分18.设函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.解：（Ⅰ）设切线的斜率为k()ln 1f x x '=+ (1)ln111k f '==+=因为(1)1ln10f =⋅=，切点为(1,0).切线方程为01(1)y x -=⋅-，化简得：1y x =-.----------------------------4分（Ⅱ）要证：()1f x x ≥-只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立， ()ln 11ln g x x x '=+-=当(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立所以()1f x x ≥-.--------------------------------------------------------------------------10分 （Ⅲ）要使：22ln x x ax a ≥+在区间在(0,)+∞恒成立， 等价于：2ln x ax ax≥+在(0,)+∞恒成立，等价于：2()ln 0h x x ax ax=--≥在(0,)+∞恒成立 因为212()h x a x ax '=-+=2222a x ax ax-++=2212()()a x x a a ax -+- ①当0a >时，2(1)ln10h a a=--<，0a >不满足题意②当0a <时，令'()0h x =，则1x a =-或2x a=（舍）.所以1(0,)x a ∈-时()0h x '<，()h x 在1(0,)a -上单调递减；1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>，()h x 在1(,)a -+∞上单调递增；当1x a =-时min 11()()ln()12h x h a a =-=-++当1ln()30a-+≥时，满足题意所以30e a -≤<，得到a 的最小值为 3e ------------------------------------14分19. 解：1.所以2221,b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得到21,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆的方程为-----------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）① 设00(,)P x y ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：0011y y x x --=令4x =，得到004(1)1M y y x -=+同理得到004(1)1N y y x +=-，得到08|||2|MN x =-所以，圆C 半径004|1|(20)r x x =--≤< 当02x =-时，圆C 半径的最小值为3. --------------------------------------9分② 当P 在左端点时，圆C 的方程为：22(4)9x y -+= 当P 在右端点时，设(2,0)P ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：112y x --=令4x =，得到1M y =-同理得到1N y =， 圆C 的方程为：22(4)1x y -+=，易知与定圆22(2)1x y -+=相切, 半径1R =由前一问知圆C 的半径0000041,204|1|41,02x x r x x x ⎧--≤<⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩因为004(1)1M y y x -=+，004(1)1N y y x +=-，圆C 的圆心坐标为004(4,)y x圆心距d ==000004,2044||,02x x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 当020x -?时，C 内切；当002x <?时，C 外切；存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(2,0)和半径1R =.(注: 存在另一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(6,0)和半径1R =.得分相同)------------------------------------------------------------------------------------14分20..解：（Ⅰ）452,1a a ==；-----------------------------------------------------2分（Ⅱ）*1)k a k N （=∈，假设1k a m += ①当1m =时，依题意有231k k a a ++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=②当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=③当1m <时，依题意有21k a m +=，321k a m +=，41k a m +=，51k a m +=，61k a += 由以上过程可知：若*1)k a k N （=∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分（Ⅲ）证明：由条件可知1(1,2,3,)n a n >=L ， 因为{}n a 中任何一项不等于1，所以+11,2,3,)n n a a n ≠=L （.①若212n n a a ->，则21n n b a -=. 因为212+12=n n n a a a -，所以212+1n n a a ->. 若21221n na a ->，则212+22122n n n n a a a a --=<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n na a -<，则22222+222212121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ----===⋅<<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n n a a -=，则2+21n a =，于题意不符； 所以212+12+2max{,}n n n a a a ->，即1n n b b +>.②若212n n a a -<，则2n n b a =.因为22+12-1=n n n a a a ，所以22+1n n a a >； 因为22+22+1=n n n a a a ，所以22+2n n a a >； 所以22+12+2max{,}n n n a a a >，即1n n b b +>.综上所述，对于一切正整数n ，总有1n n b b +>，所以数列{}n b 是单调递减数列.-------------------------------------------------------------------------------13分。
2016年1月丰台区高中三年级期末理科数学试题与答案
（Ⅲ）取 CD 中点 N ，以 EB ， EN ， EP 分别为轴 x ， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标
为： B(1,0,0) ， C (1,1,0) ， B(1,0,0) ， P (0,0, 3) ， A( 1,0,0)
因为： BC PE ， AB BC
所以 BC 面 ABP uuur
设 R 的轨迹方程为： y2
p 2px ，
1，
p
2
2
所以 R 的轨迹方程为： y2 4 x .
………………………… 5 分
（Ⅱ）由条件可知 C( b ,0) ，则 Q ( b ,0) .
k
k
联立
y y2
kx b , 消去 y 得 k 2 x 2 4x
(2 bk
4) x
b2
0，
(2bk 4) 2 4b2 k2 16(1 bk ) 0 .
12. 在 ABC 中 ， AC 1, BC 3 , 点 M , N 是 线段 AB 上的 动点 ，则
uuuur uuur CM CN 的最大值为 _______.
2
2
13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
.
2
ex a( x 1),
14. 设函数 f ( x)
其中 a 1 .
ln( x a)( x 1).
（ D）2
结束
5. 函数 f (x)= sin 2x+ 3 cos2 x 在区间 [0, ] 上的零点之和是
（ A） 2 3
（ B） 7 12
6. 若 a
2 2x dx ， b
2
xdx ， c
1
1
（C） 7 6
（D） 4 3
丰台区高三期末(数学理)有答案.doc
正视图俯视图丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）201X.1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．集合2{90}P x x =-<，{13}Q x x =∈-≤≤Z ，则P ∩Q =A ．{33}x x -<≤B ．{13}x x -≤<C ．{10123}-，，，，D ．{1012}-，，，2．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A3225+π B．3225π C．3225π D．12825π 3．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀>，210x -≤ C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤4．如果向量(,1)a k =与(61)b k =+，共线且方向相反，那么k 的值为 A ．-3B ．2C ．17-D ．175．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有 A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种6．设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数，且(2)(4)0f f ⋅<，那么下列四个命题中一定正确的是A ．(3)(5)0f f ⋅≥B ．(3)(5)f f ->-C ．函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k < D ．函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥7．程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中*n ∈N 且2010n ≤．那么数列{}n a 的通项公式为A ．123n n a -=⋅B ．31nn a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+8．用m a x {}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A ．3512B ．5924 C ．578D ．9112二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．复数21ii+= ． 10．在△ABC 中，如果::3:2:4a b c =，那么cos C = ．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ．12．过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 ．13．已知x ，y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，， 那么3z x y =+的最小值为 ．14．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x=，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分 15.（本小题共13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．16.（本小题共14分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，点D 在AB 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ；（Ⅲ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．17.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二AA 1BC DB 1C 1题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响． （I ） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18.（本小题共13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（I ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．19.（本小题共14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a <2时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．20.（本小题共13分）已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ； （Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末理科参考答案及评分标准201X.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
丰台区高三数学理期末试卷及答案
丰台区—学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 第一部分（选择题共分）一、 选择题共小题，每小题分，共分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （）{1,0,1}- （）{1,0,1,2}- （）{1,0,1,2,3}-（）{|22}x x -≤≤．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a =（）（）13（）13-（）3-．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）34 （）45 （）56（）67．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前项和等于（） （） （）（）．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为（）（）（）．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的 （）充分而不必要条件 （）必要而不充分条件 （）充分必要条件（）既不充分也不必要条件．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为，则所得双曲线的离心率为（）65 （）54 （）32 （）52．如图，在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分C 1A 1俯视图侧（左）视图正（主）视图别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（）（）（）2第二部分（非选择题共分）二、填空题共小题，每小题分，共分。
．在极坐标系中，圆：2sin =ρθ的圆心到点(1,0)的距离为．．5(21)x -展开式中2x 的系数为．．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba ，则>b a ”是假命题的一组整数,a b的值依次为．．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =-的最大值为．．动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转，秒旋转一周.已知时间0t =时，点A的坐标是1)2，则当06t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t（单位：秒）的函数的值域为．．已知函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥ ①若0a =，则函数()f x 的零点有个；②若存在实数m，使得函数()y f x m=+总有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题共小题，共分。
2016丰台高三一模理科数学
丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习（一） 2016.3高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x x =≤-≥或，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U C A B 等于（ ）（A ）{}|24x x -<≤ （B ）{}|23x x -<<（C ）{}|21x x -<<-（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<2．在下列函数中，是偶函数,且在0+∞（，）内单调递增的是 （A ）||2x y = （B ）21y x =（C ）|lg |y x = （D ）cos y x = 3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km /h 的概率（A ） 75，0.25 （B ）80,0.35 （C ）77.5,0.25 （D ）77.5,0.35 4. 若数列{}n a 满足*12(0,)N n n n a a a n+=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a +++ 等于（A ）2n （B ）21n - （C ）12n - （D ）121n -- 5. 已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m ⊂α”是“n ⊥m ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ） 72 （B ）54 （C ） 48 （D ） 87.如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O ，侧面P AB ⊥底面ABC ，AB =P A =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是 （A ）（B ）4,2,侧视图（C ），2 （D ）8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P 0时，需求量大于供应量，价格会上升为P 2；当产品价格P 2高于均衡价格P 0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P 0.能正确表示上述供求关系的图形是（A ）（B ）（C ） （D ）第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为y =，那么双曲线的离心率为_________.10. 如图，BC 为⊙O 的直径，且BC =6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD =4，则AB =________.11. 在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3s i n c o sc o s b A A a C =+，则s i n A =________．12. 在梯形ABCD 中，//AB CD ,2AB CD =，E 为BC 中点，若AE x AB y AD =+,则x +y =_______.13. 已知,x y 满足0,,.x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩（k 为常数），若2z x y =+最大值为8，则k =________.14.已知函数1(1),()1).x x f x x +≤⎧⎪=>若()(1)f x f x >+，则x 的取值范围是______.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数(=cos (cos )f x x x x ）+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递减区间.16.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求E （X ）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E (Y )，请指出（Ⅰ）②中E （X ）与E (Y )的大小关系.（只写结论,不需说明理由）17.（本小题共13分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2. (Ⅰ)求证： EF //BC ；(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.18.（本小题共14分） 已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.19.（本小题共14已知椭圆G1.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设椭圆G 的短轴端点分别为,A B ，点P 是椭圆G 上异于点,A B 的一动点，直线,PA PB 分别与直线4x =于,M N 两点，以线段MN 为直径作圆C . ① 当点P 在y 轴左侧时，求圆C 半径的最小值；② 问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），11111(1),=(1)nnn n n n n nn a a a a a a aa a --+--⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩.（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;n n n b a a n -=max{,}m n 为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2 10. 2 11. 14. (0,1]三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x +1cos2(22xf x x ）++1cos2(2)2x f x x ）++1(=sin(2)62f x x ）π++22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈,由2[0,][,]263k k πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分 16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A. 1()4P A =恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为14.-----4分 ②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.1(1)4P X ==, 1(2)4P X ==，1(3)2P X ==. 则X 的分布列为：所以：E （X ）=1234424⨯+⨯+⨯=--------------------------------------------11分(Ⅱ) ()()E X E Y < ------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形所以AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF所以BC ∥面ADEF 且面ADEF面BCEF EF =所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为FO ⊥面ABCD 所以FO AO ⊥，FO OB ⊥ 又因为OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ， OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD .又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：1(0,1,0),((0,1,0),(2B C D F E --向量1(2DE =-，向量(1,0)BC =-，向量(0,BF =- 设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z =000,0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到000000y y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令0y =时0(n =-设DF 与0n 所成角为ϕ，直线DE 与面BCEF 所成角为θ.sin θ=|cos |ϕ=00||||||nDE n DE ⋅⋅=1|((1)1|-⨯-+直线EF 与平面BCEF 所成角的正弦值为5.----------------------------------------13分 18.设函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.解：（Ⅰ）设切线的斜率为k ()ln 1f x x '=+(1)ln111k f '==+=因为(1)1ln10f =⋅=，切点为(1,0).切线方程为01(1)y x -=⋅-，化简得：1y x =-.----------------------------4分 （Ⅱ）要证：()1f x x ≥-只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立， ()ln 11ln g x x x '=+-=当(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立所以()1f x x ≥-.--------------------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）要使：22ln x x ax a ≥+在区间在(0,)+∞恒成立， 等价于：2ln x ax ax≥+在(0,)+∞恒成立，等价于：2()ln 0h x x ax ax=--≥在(0,)+∞恒成立 因为212()h x a x ax '=-+=2222a x ax ax -++=2212()()a x x a a ax-+-①当0a >时，2(1)ln10h a a=--<，0a >不满足题意②当0a <时，令'()0h x =，则1x a=-或2x a =（舍）.所以1(0,)x a ∈-时()0h x '<，()h x 在1(0,)a -上单调递减；1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>，()h x 在1(,)a -+∞上单调递增；当1x a =-时min 11()()ln()12h x h a a =-=-++当1ln()30a-+≥时，满足题意所以3e a -≤a 3e -分19. 解：1.所以2221,b ca a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得到21,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ -----------------------------------------------------------3分（Ⅱ）① 设00(,)P x y ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：0011y y x x --=令4x =，得到004(1)1M y y x -=+同理得到004(1)1N y y x +=-，得到08|||2|MN x =- 所以，圆C 半径004|1|(20)r x x =--≤<当02x =-时，圆C 半径的最小值为3. --------------------------------------9分② 当P 在左端点时，圆C 的方程为：22(4)9x y -+= 当P 在右端点时，设(2,0)P ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：112y x --=令4x =，得到1M y =-同理得到1N y =， 圆C 的方程为：22(4)1x y -+=， 易知与定圆22(2)1x y -+=相切, 半径1R =由前一问知圆C 的半径0000041,204|1|41,02x x r x x x ⎧--≤<⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩因为004(1)1M y y x -=+，004(1)1N y y x +=-，圆C 的圆心坐标为004(4,)yx圆心距d =000004,2044||,02x x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 当020x -?时，C 内切；当002x <?时，C 外切； 存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(2,0)和半径1R =.(注: 存在另一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(6,0)和半径1R =.得分相同) ------------------------------------------------------------------------------------14分20..解：（Ⅰ）452,1a a ==；-----------------------------------------------------2分（Ⅱ）*1)k a k N （=∈，假设1k a m +=①当1m =时，依题意有231k k a a ++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=②当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=③当1m <时，依题意有21k a m +=，321k a m +=，41k a m +=，51k a m+=，61k a += 由以上过程可知：若*1)k a k N （=∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分（Ⅲ）证明：由条件可知1(1,2,3,)n a n >=，因为{}n a 中任何一项不等于1，所以+11,2,3,)n n a a n ≠=（. ①若212n n a a ->，则21n n b a -=. 因为212+12=n n na a a -，所以212+1n n a a ->. 若21221n n a a ->，则212+22122n n n naa a a --=<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n na a -<，则22222+222212121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ----===⋅<<，于是2-12+2n n a a >；若21221n n a a -=，则2+21n a =，于题意不符； 所以212+12+2max{,}n n n a a a ->，即1n n b b +>. ②若212n n a a -<，则2n n b a =. 因为22+12-1=nn n a a a ，所以22+1n n a a >； 因为22+22+1=nn n a a a ，所以22+2n n a a >； 所以22+12+2max{,}n n n a a a >，即1n n b b +>.综上所述，对于一切正整数n ，总有1n n b b +>，所以数列{}n b 是单调递减数列.-------------------------------------------------------------------------------13分。
期末丰台区2017届高三上学期期末考试数学理试题
丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是 （A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸 （B ）81.4寸 （C ）82.0寸 （D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．DCBA三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B . （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C --求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．CBPGF DE QA18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CD AC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r=,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u ruur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n ……………….11分 解得a =2,所以2PD =． ……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x x h x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2017届高三数学上学期期末考试试题理
丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么AB 等于（A ）{2101}，，，--（B ）{210}，，--（C ）{21}，--（D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=，则|A B |等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是DCBA____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B = （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C， 求四棱锥PABCD 的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．CBPGF DE QA（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π；．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ， 因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，ADBC .因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD . 又因为EC ‖AD 且12EC AD ， 所以GH ‖EC ，GHEC ，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC . 又因为EG平面PDCQ ，HC平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ平面ABCDCD ，PDDC ，PD 平面PDCQ ，所以PD 平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PDa ，则 00002201P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，10 PF ,,a 120 FB ,,,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角PBF C， 所以得cos <,>||||⋅==m nm n m n (11)分解得a =2,所以2PD ． ……………….13分因为PD 是四棱锥PABCD 的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--，24(2,)FT y =--，则12164FS FT y y ⋅=+． ……………….9分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-440=-=． 所以，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.aa 显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾； 所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.……………………10分 （Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）欢迎您的下载，资料仅供参考！。
丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习2016.01
丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习 高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共 40 分）2016.01一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数 f ( x) log0.5 ( x 1) 的定义域为 （A） ( 1, ) （B） (1, ) （C） (0, ) （D） ( , 0)2.在复平面内，复数 z (1 i)(2 i) 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3． “ x 1 ”是“ x2 1 0 ”的 （A）充分必要条件 （C）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件4.已知向量 a (3,-4) ， b ( x, y) ，若 a // b ，则 （A） 3x 4 y 0 （B） 3x 4 y 0 （C） 4 x 3 y 0 （D） 4 x 3 y 05.已知圆 O： x 2 y 2 1 ，直线 l 过点（-2，0） ，若直线 l 上任意一点到圆心距离的最小值等于 圆的半径，则直线 l 的斜率为 （A） 3 3（B） 3（C） 2（D） 16. 函数 f ( x)=sin2x cos 2 x 的一个单调递增区间是 （A） [3 , ] 4 4（B） [ 34 , 4]（C） [3 , ] 8 8（D） [ 38y P,8]7.如图，在圆 x2 y2 4 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的 垂线段 PD ， D 为垂足.当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是矚慫OMDx润厲钐瘗睞枥。
1 / 15（A） （C）1 2（B） （D）1 42 23 28. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年 1 月 1 日至 12 月 31 日)为周期执行居民阶梯电价，即： 一户居民用户全年不超过 2880 度 （1 度=千瓦时） 的电量， 执行第一档电价标准， 每度电 0.4883 元；全年超过 2880 度至 4800 度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电 0.5383 元；全 年超过 4800 度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电 0.7883 元.下面是关于阶梯电价 的图形表示，其中正确的有聞創沟燴鐺險爱氇。
丰台区高三期末(数学理)有答案
正视图俯视图21.62 1.5丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）姓名：_________班级：________ 得分：________一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．集合2{90}P x x =-<，{13}Q x x =∈-≤≤Z ，则P ∩Q =A ．{33}x x -<≤B ．{13}x x -≤<C ．{10123}-，，，，D ．{1012}-，，，2．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ．3332225+π B ．323325+π C ．329325+π D ．1289325+π 3．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀>，210x -≤ C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤4．如果向量(,1)a k =与(61)b k =+，共线且方向相反，那么k 的值为 A ．-3B ．2C ．17-D ．175．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种6．设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数，且(2)(4)0f f ⋅<，那么下列四个命题中一定正确的是A ．(3)(5)0f f ⋅≥B ．(3)(5)f f ->-C ．函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k <D ．函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+2010n >是 否7．程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中*n ∈N 且2010n ≤．那么数列{}n a 的通项公式为A ．123n n a -=⋅B ．31nn a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+8．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{}f x x x =，1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A ．3512B ．5924C ．578D ．9112二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．复数21ii+= ． 10．在△ABC 中，如果::3:2:4a b c =，那么cos C = ．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ． 12．过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 ．13．已知x ，y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，， 那么3z x y =+的最小值为 ．14．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分 15.（本小题共13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．16.（本小题共14分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，点D 在AB 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ；（Ⅲ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．17.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（I ） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18.（本小题共13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点． （I ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．AA 1BC DB 1C 119.（本小题共14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a <2时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．20.（本小题共13分）已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ； （Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末理科参考答案及评分标准2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
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丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 2016.01第一部分 （选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-12.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图,计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤ 4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A ）21- （B ）2+1 （C ）2 （D ）2 5.函数()=sin 2+3cos2f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是（A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212x a dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b +=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为 （A ）32 （B ）12 （C ）22（D ）338.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答）10.若,x y 的满足30,30,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为 .11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值为_______.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .14.设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题13分）如图，在ABC ∆中，=12AB ，=36AC ，=56BC ，点D 在边BC 上，且60O ADC ∠=.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）求线段AD 的长.222俯视图侧视图主视图16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，BC =1，PC =5.（Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者. （Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.18.（本小题13分）已知函数321()(0)3f x ax x a =+>. （Ⅰ）求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，求实数a 的取值范围.19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.20.（本小题13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n - （Ⅰ）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=- （； （Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n丰台区2015-2016年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 12345678答案 D B C A C A B D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13．16314．1 , [)1,e -+∞ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题共13分)解：（Ⅰ）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅222(36)(56)121323656+-==⋅⋅ ………6分（Ⅱ）因为0C π<<，所以sin 0C > 22122sin 1cos 1()33C C =-=-=根据正弦定理得：sin sin AD ACC ADC =∠ sin sin AC C AD ADC⋅=∠8= ……………13分 16．(本小题共14分)解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ，因为M 是AP 中点，F 是PD 中点， 所以1,2MF AD MF AD =， 又因为1,2BC AD BC AD =， 所以四边形BCFM 是平行四变形,FC BM FC ⊄ 面ABP ，BM ⊂面ABP所以FC 面ABP …………………………5分 （Ⅱ）连接CE ，因为在ABP ∆中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点， 所以PE AB ⊥且22213PE =-=，在Rt BEC ∆中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ∆中，3PE =，2EC =，5PC =，所以PE EC ⊥ 又因为,AB EC E AB =⊂ 面ABCD ，EC ⊂面ABCD 所以PE ⊥面ABCD ……………………9分（Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B ，(0,0,3)P ，(1,0,0)A - 因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP面ABP 的法向量为(0,1,0)BC =设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =(1,0,3)AP = ，(2,1,0)AC =200002030200AP n x z x y AC n ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩23(1,2,)3n =--由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ 12123cos ||||||2n n n n θ⋅==⋅ 二面角B PA C --余弦值为：12123cos ||||||2n n n n θ⋅==⋅ ………………………14分 17．(本小题共14分)解：（Ⅰ）1337141012C C P C ⋅== 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12………5分 （Ⅱ）1132437()()0.41161010P C =⋅= 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12…………………………10分（Ⅲ）132P P P >> …………………………14分 18．(本小题共13分)解：（Ⅰ）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32x a=-. x2(,)a-∞-2a -2(,0)a- 0 (0,)+∞/()f x+0 _0 +()f x极大值极小值∴函数()y f x =的极大值为32221224()()()33f a a a a a-=⋅-+-=； 极小值为(0)0f =. …………………………8分 (Ⅱ) 若存在011(1,)(,0)22x ∈---，使得01()()2f x f =-，则xyz NFE ADB CP由（Ⅰ）可知，需要21221,1(1)()2aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）.（图1）（图2）于是可得18(,4)(4,6)7a∈ . …………………………13分19．(本小题共13分)（Ⅰ）有题意可知：RN RM=，即点R到直线1x=-和点M的距离相等.根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点.设R的轨迹方程为：22y px=，12p=，2p=所以R的轨迹方程为：24y x=. …………………………5分（Ⅱ）由条件可知(,0)bCk-，则(,0)bQk.联立24y kx by x=+⎧⎨=⎩,消去y得222(24)0k x bk x b+-+=，222(24)416(1)0bk b k bk∆=--=->.设112212(,),(,)()A x yB x y x x<，则22(,)P x y-12242bkx xk-+=，1242412bk bkxk---=，2242412bk bkxk-+-=.因为1212122()28112APy y k x x b kkx x bk bkk+++-===----，yxOQPCBA11110()2(11)22[(1)1]12AQ y k kx b bk kk b kx b bk bk bk x k k-+--====------- 所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . …………………………13分 20. （本小题共13分）（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=- 0（，所以数列{}n a 是递增数列，即231n a a a <<<< .又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=- （， 所以111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=- （. …………………………3分 （Ⅱ）解：因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2.因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=- （，所以当=i k 时有1=2k k a a +. 这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12n n a -=. …………………………8分 （Ⅲ）证明：因为11=1a =，22=2a =，2332a ≤≤， 3442a ≤≤… 12n n n a -≤≤ 由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤ 1，化简得 1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<- （（所以12)1(21-≤≤+n n S n n . ………13分。