华南理工大学线性代数期末试卷及解析

华南理工大学期末考试（A 卷）

《2010-11线性代数（上）》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

一、

1．设A 是n m ⨯矩阵，B 是列向量，那么线性方程组B AX =有解的充要条件是： 2．矩阵A 是正定二次型的矩阵的条件是：

3．设)0,16,2,3,1(---=α,)3,0,1,3,2(=β则=)det(αβT 4． 若A 为2011阶正交矩阵，则=))det((det A A T

5．将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵记为))(,(k i j P , 将矩阵A

的第i 列乘k 加到第j 列得到的矩阵=

二、 选择题（共20分）

1．如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 得到的矩阵设为))((k i P ，那么))((k i P 是正交

矩阵的充要条件是： A ， k >0， B ，-1

2．若A 为n m ⨯矩阵，且A T

A 可逆，则

A ，n m >；

B ， n m <；

C ， T A A 也可逆，

D ， 以上都不对。

3．若A ,B 为n 阶可逆方阵，则以下命题哪一个成立

A ，()T T T A

B A B =， B ， ()T T T A B A B +=+

C ， 111()AB A B ---= ，

D ， 111()A B A B ---+=+

4．若A 是n 阶初等矩阵，*

A 是A 的伴随矩阵，则以下命题哪一个不成立：

A ，矩阵T A 为初等矩阵，

B ，矩阵*A 为初等矩阵

C ，矩阵1A -为初等矩阵，

D ，以上都不对

5．如果n （n ＞１）阶矩阵M 的行列式为0，那么：

A ， M 的行向量线性无关，

B ，M 的列向量线性无关

C ， M 的秩为0，

D ，以M 为系数矩阵的线性方程组有非零解

三、判断下面的命题是否正确（每小题4分，共12分）（二学分的只需要给出判

断，三学分的要求说明正确的理由或举出不正确的反例） （1） 已知A ,B 是矩阵。如果)()(B rank A rank =，那么A 可以经过初等变换化

为B 。

（2） 如果一个矩阵的行向量组线性无关，那么它的列向量组也线性无关。

（3） 如果一个对称矩阵A 的行列式大于0，那么它是正定的。

四、解下列各题（每小题8分共16分）

1．求所有的向量β，它与

111

101

313

A

⎛⎫

⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭

的行向量都是正交的。

2. 设n阶方阵

12n

222

12n

n n n

12n

a a...a

a a...a

......

a a...a

A

⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪

⎪

⎝⎭

，计算A

det.

五. 求常数c，使得矩阵

1111

11-1-1

1-11-1

1-1-11

A c

⎛⎫

⎪

⎪

=

⎪

⎪

⎝⎭

的逆矩阵是A.（10分）

六．证明题（6分） 设A ,B 是n 阶方矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，BA AB =.如果

A 可逆，证明**BA

B A =.

七．（6分）证明，对于任何一个二次型f 都存在一个正定二次型g 以及一个整数m ，使得f+mg 是一个正定二次型。

八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的矩阵。

2222

12313121323(,,)+222f x x x x x x x x x x x x =+-+-