江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编19：函数的极值与导数

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编19：函数的极值与导数

一、填空题

1 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数()2(1)ln f x f x x '=-,则()f x 的极大

值为________.

【答案】2ln 22-

2 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x

=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______. 【答案】21(,]

e e -∞+ 3 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）对于三次函数

32()f x ax bx cx d =+++,定义''()y f x =是函数'()y f x =的导函数.若方程''()0f x =有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数32()26322013sin(1)g x x x x x =-+++-, 则 (2011)(2010)(2012)g g g -+-+++…(2013)g 的值为_______________.

【答案】4025

二、解答题

4 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知函数

()223241234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减,在区间

[]2,1上单调递增. (1)求实数a 的值;

(2)若关于x 的方程()m f x =2有三个不同的实数解,求实数m 的取值范围;

(3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,求实数p 的取值范围.

【答案】解:(1)由 ()2

101'=⇒=a f 经检验符合 ;(不写检验扣1分) (2)()()()()211'-+--=x x x x f 易知函数在()()()()↓+∞↑↓-↑-∞-,22,11,1,1,

所以,函数有极大值()()382,1251-=-=-f f ,有极小值()12

371-=f , 结合图像可知:⎪⎭

⎫ ⎝⎛--∈38,1237m ; (3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,则必须有

()()⎩⎨⎧=+>+无解有解10p x f p x f ,即()[]()⎩⎨⎧+=>+的值域内

不在p x f y p x f 10max

而()[]p p x f +-=+125max ,函数()p x f y +=的值域为⎥⎦

⎤ ⎝⎛+-∞-p 125, 所以有:⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+->>+-p p 12510125,解之得:1217125<

(1)当0a ＞时,求函数()f x 的单调区间;

(2)若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒,且函数

21()()()2

g x x nx mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值,其中()f x '为()f x 的导函数,求m 的取值范围;

(3)若函数()y f x =在区间1(3)3，内的图象上存在两点,使得在该两点处的切线相互

垂直,求a 的取值范围.

【答案】解:(1)(1)()(0)a x f x x x

-'=＞, 当0a ＞时,令()0f x '＞得01x ＜＜,令()0f x '＜得1x ＞,

故函数()f x 的单调增区间为(01)，

，单调减区间为(1)+∞，; (2)函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒,

则(2)1f '=,即2a =-; 所以212()(2)2g x x nx m x

=++-，所以322222()m x nx m g x x n x x ++'=++=， 因为()g x 在1x =处有极值,故(1)0g '=,从而可得12n m =--, 则32222

2(1)(22)()x nx m x x mx m g x x x ++---'==，又因为()g x 仅在1x =处有极值, 所以2220x mx m --≥在(0)+∞，

上恒成立, 当0m ＞时,由20m -＜,即0(0)x ∃∈+∞，

,使得200220x mx m --＜, 所以0m ＞不成立,故0m ≤,

又0m ≤且(0)x ∈+∞，

时,2220x mx m --≥恒成立, 所以0m ≤;

(注:利用分离变量方法求出0m ≤同样给满分.)

(3)由(1)()(0)a x f x x x

-'=＞得(01)，与(1)+∞，分别为()f x 的两个不同的单调区间, 因为()f x 在两点处的切线相互垂直,

所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内

故可设存在的两点分别为1122(,())(,())x f x x f x ，

，其中121133x x ＜＜＜＜, 由该两点处的切线相互垂直,得1212

(1)(1)1a x a x x x --⋅=-,