2021版高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量及其分布列教学案理北

第6讲 离散型随机变量及其分布列一、知识梳理1．随机变量的有关概念(1)随机变量：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1，2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1，2，…)，或把上式列成表：X ＝a i a 1 a 2 … P (X ＝a i )p 1p 2…称为离散型随机变量X 的分布列，并记为X ～⎝ ⎛⎭⎪⎫12p 1 p 2….(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ＞0(i ＝1，2，…)； ②p 1＋p 2＋…＝1． 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中M (M ≤N )件次品，从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 常用结论1．随机变量的线性关系若X 是随机变量，Y ＝aX ＋b ，a ，b 是常数，则Y 也是随机变量．2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．二、教材衍化1．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5P112161316p则p ＝解析：由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， 所以p ＝1－34＝14.答案：142．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是________．解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3. 答案：0，1，2，33．设随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512. 答案：512一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)随机变量的概念不清； (2)超几何分布类型掌握不准； (3)分布列的性质不清致误．1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数解析：选C.A ，B 两项表述的都是随机事件，D 项是确定的值2，并不随机；C 项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)＝________．解析：{X ＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：272203．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)＝________．解析：由已知得X 的所有可能取值为0，1，且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案：13离散型随机变量的分布列的性质(典例迁移)设离散型随机变量X的分布列为X 0123 4P 0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1(2)P(1＜X≤4)．【解】由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P 0.20.10.10.30.3(2)P(1＜X0.7.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求|X－1|的分布列．解：|X－1|的分布列：|X－1|012 3P 0.10.30.30.3离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X －10 1P 132－3q q2则q 的值为( ) A ．1 B ．32±336 C.32－336D ．32＋336解析：选C.由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.2．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P (12<X <52)的值为________．解析：由⎝⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，得a ＝54.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56. 答案：56超几何分布(典例迁移)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 的分布列．解：由题意可知X 的取值为1，2，3，4，5，则 P (X ＝1)＝C 16C 44C 510＝142，P (X ＝2)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝3)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝4)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝5)＝C 56C 510＝142.因此X 的分布列为数之差，求X 的分布列．解：由题意可知X 的取值为3，1，－1，－3，－5， 则P (X ＝3)＝C 44C 16C 510＝142，P (X ＝1)＝C 34C 26C 510＝521，P (X ＝－1)＝C 24C 36C 510＝1021，P (X ＝－3)＝C 14C 46C 510＝521，P (X ＝－5)＝C 56C 510＝142.因此X 的分布列为X 3 1 －1 －3 －5 P1425211021521142(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(2020·郑州模拟)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列．解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ，由题意知X 的所有可能取值为0，1，2， P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199，P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199，P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200＝83199， 所以X 的分布列为X 0 1 2 P8319910019916199求离散型随机变量的分布列(师生共研)(2020·安阳模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x 分布在[50，100)内，且销售量x 的分布频率f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧n10－0.5，10n ≤x <10（n ＋1），n 为偶数，n 20－a ，10n ≤x <10（n ＋1），n 为奇数.(1)求a 的值并估计销售量的平均数；(2)若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X 个组，求随机变量X 的分布列及数学期望(将频率视为概率)．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10n ≥50，10（n ＋1）≤100，解得5≤n ≤9，n 可取5，6，7，8，9，结合f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧n10－0.5，10n ≤x <10（n ＋1），n 为偶数，n 20－a ，10n ≤x <10（n ＋1），n 为奇数，得⎝ ⎛⎭⎪⎫610－0.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫810－0.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫520－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫720－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫920－a ＝1，则a ＝0.15. 可知销售量分别在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，所以销售量的平均数为55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81.(2)销售量分布在[70，80)，[80，90)，[90，100)内的频率之比为2∶3∶3，所以在各组抽取的天数分别为2，3，3.X 的所有可能取值为1，2，3， P (X ＝1)＝2C 38＝256＝128， P (X ＝3)＝2×3×3C 38＝1856＝928， P (X ＝2)＝1－128－928＝914. X 的分布列为X 1 2 3 P128914928数学期望EX ＝1×28＋2×14＋3×28＝7.求离散型随机变量X 的分布列的步骤(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：(1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列．解：(1)由题意知105＋107＋113＋115＋119＋126＋（120＋x ）＋132＋134＋14110＝122，解得x ＝8.(2)由题得ξ1的所有可能取值为0，1，2，ξ2的所有可能取值为0，1，2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0，1，2，3，4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P (η＝0)＝C 27C 26C 210C 210＝745；P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 27C 14C 16C 210C 210＝91225； P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 14C 210C 210＝13； P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24C 210C 210＝22225； P (η＝4)＝C 23C 24C 210C 210＝2225.所以η的分布列为η 0 1 2 3 4 P7459122513222252225[基础题组练]1．(2020·河北保定模拟)若离散型随机变量X 的分布列如下表，则常数c 的值为( )X 0 1 P9c 2－c3－8cA.23或13 B ．3 C.13D ．1解析：选C.由随机变量的分布列的性质知，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13.故选C.2．(2020·陕西咸阳模拟)设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝k )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13k，其中k ＝0，1，2，那么a 的值为( )A.35 B ．2713 C.919D ．913解析：选D.因为随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝k )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13k，其中k ＝0，1，2，所以P (ξ＝0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝a ，P (ξ＝1)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝a 3，P (ξ＝2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝a9，所以a ＋a 3＋a 9＝1，解得a ＝913.故选D.3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.4．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )A.B.C.D.解析：选C.随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 24C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110，故选C.5．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%解析：选B.设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－x C 210＝x （10－x ）45＝1645，所以x ＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x ＝2，所以次品率为210＝20%.6．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则P (X ＝2)＝________．解析：由题意知，X 服从超几何分布， 其中N ＝10，M ＝3，n ＝4， 故P (X ＝2)＝C 23C 27C 410＝310.答案：3107．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布， 则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案：458．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.答案：23 [－13，13]9．(2020·宿州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2020年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P (ξ＝3)．(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，所以P (ξ＝3)＝C 18·C 18＋C 124·C 124C 264＝6402 016＝2063. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0， P (η＝50)＝P (ξ＝6)＝C 28C 264＝282 016＝172，P (η＝30)＝P (ξ＝5)＝C 18·C 124C 264＝1922 016＝221，P (η＝10)＝P (ξ＝4)＝C 224＋C 18·C 124C 264＝4682 016＝1356， P (η＝0)＝1－172－221－1356＝83126.所以η的分布列如下：所以Eη＝50×2 016＋30×2 016＋10×2 016＋0×2 016＝63. 10．(2020·三明模拟)为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售．已知该产品第一轮检测不合格的概率为14，第二轮检测不合格的概率为19，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求该产品不能上市销售的概率；(2)如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利50元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损80元(即获利为－80元)．现有这种产品4件，记这4件产品获利的金额为X 元，求X 的分布列．解：(1)记“该产品不能上市销售”为事件A ，则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝13，所以该产品不能上市销售的概率为13.(2)由已知可知X 的取值为－320，－190，－60，70，200.P (X ＝－320)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181， P (X ＝－190)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881， P (X ＝－60)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481＝827， P (X ＝70)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝200)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681. 所以X 的分布列为[综合题组练]1．(2020·唐山模拟)我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表： 空气污染指数 0～50 51～100 101～150 151～200 201～250 251～300>300空气质量优良轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重污染200的称为C 类天．某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：(1)从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；(2)从这18天中任取3天，记X 是达到A 类天或B 类天的天数，求X 的分布列． 解：(1)从这18天中任取3天，取法种数为C 318＝816，3天中至少有2个A 类天的取法种数为C 23C 115＋C 33＝46，所以这3天至少有2个A 类天的概率为23408.(2)X 的所有可能取值是3，2，1，0. 当X ＝3时，P (X ＝3)＝C 38C 318＝7102，当X ＝2时，P (X ＝2)＝C 28C 110C 318＝35102，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 18C 210C 318＝45102＝1534，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 310C 318＝15102＝534.所以X 的分布列为X 3 2 1 0 P71023510215345342.社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计(1)5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)用分层抽样的方法，抽样比是550＝110，所以5人中参与班级宣传的志愿者有20×110＝2(人)，参与整理、打包衣物的志愿者有30×110＝3(人)，故所求概率P ＝1－C 23C 25＝710.(2)X 的所有可能取值为0，1，2， 则P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 112C 18C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，所以X 的分布列为所以X 的数学期望EX ＝0×95＋1×95＋2×95＝5.3．(2020·安徽宿州三调)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列与数学期望．解：(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元， 第三档电价比第一档电价每度多0.3元， 编号为10的用户一年的用电量是4 600度， 所以该户该年应交电费4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)． (2)设取到第二阶梯的户数为X ，易知第二阶梯的有4户，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. P (X ＝0)＝C 04C 46C 410＝114，P (X ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (X ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (X ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (X ＝4)＝C 44C 06C 410＝1210，故X 的分布列是所以EX ＝0×14＋1×21＋2×7＋3×35＋4×210＝5.。