新人教版必修5 数列单元质量评估(一)
高中数学 第一章 数列单元质量评估(一)新人教版必修5
【红对勾】2015版高中数学 第一章 数列单元质量评估（一）新人教版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，则下列说法正确的是( ) A ．0是该数列的一项 B ．4是该数列的一项 C ．6是该数列的一项D ．9不是该数列的一项解析：令a n ＝0,4,6,9，分别解出n ，若n ∈N *，则相应数为数列的一项． 答案：B2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k 等于( ) A ．22 B ．23 C ．24D ．25解析：由等差数列的通项公式得a k ＝(k －1)d ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)d ，∴k ＝22. 答案：A3．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：由等比数列的性质易得a 2·a 6＝a 24＝16. 答案：C4．在等差数列{a n }中，有3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10a 13)＝48，则这个数列的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．52D ．104解析：由3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，利用等差数列的性质化简，得6(a 4＋a 10)＝48，∴a 1＋a 13＝a 4＋a 10＝8，∴S 13＝13a 1＋a 132＝52.答案：C5．等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100等于( )A.b 9a 8 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 8 C.b 10a9 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a10解析：∵{a n }为等比数列，且a 9＋a 10≠0，∴a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100可构成新的等比数列，且公比为b a ，a 99＋a 100是新数列的第10项，故a 99＋a 100＝(a 10＋a 9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9＝b 9a8.答案：A6．一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是( ) A.12或－12 B ．1 C ．1或－1D ．2或－2解析：设这个等比数列首项为a 1，公比为q ，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝2(a 1＋a 1q )， ∴q 2＋q 3＝1＋q ，即(1＋q )·(1－q 2)＝0，∴q ＝±1，故选C. 答案：C7．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝15， ∴a 6＝3.故选A. 答案：A8．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n .若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：由于数列{S n ＋2}是等比数列，则(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，化简得q 2－3q ＝0，又q ≠0，故q ＝3.答案：C9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．21解析：由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，又S n 有最大值，所以数列{a n }是递减数列，于是a 10>0，a 11<0，且S 19＝19a 10>0，S 20＝10(a 10＋a 11)<0，所以n ＝19.答案：C10．(2012·四川卷)设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋a 1－1＋(a 2－3)3＋a 2－1＋…＋(a 7－3)3＋a 7－1＝14，即(a 1－3)3＋a 1－3＋(a 2－3)3＋a 2－3＋…＋(a 7－3)3＋a 7－3＝0，根据等差数列的性质得(a 4－3－3d )3＋(a 4－3－2d )3＋…＋(a 4－3＋3d )3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3－3d )3＋(a 4－3＋3d )3＋(a 4－3－2d )3＋(a 4－3＋2d )3＋…＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，∴2(a 4－3)[(a 4－3)2＋27d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋12d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋3d 2]＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3)[7(a 4－3)2＋84d 2＋7]＝0，∴a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21，故选D. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝36a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝2，所以a 9＝15.答案：1512．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________. 解析：∵S 12＝21， ∴a 1＋a 122×12＝21，∴a 1＋a 12＝72.又∵a 2＋a 11＝a 5＋a 8＝a 1＋a 12＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝7，故填7. 答案：713．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－…＋(－1)n ＋1·n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.解析：当n 为偶数时，S n ＝－n 2；当n 为奇数时，S n ＝n ＋12.∴S 17＋S 33＋S 50＝17＋12＋33＋12－502＝1.答案：114．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝1－a n (n ∈N ＋)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2006－2S 2007＋S 2008＝________.解析：由a n ＋2＝1－a n ＋1＝1－(1－a n )＝a n ，可得数列{a n }的周期为2，且a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－1，…，∴S 2 006＝1 003×(2－1)＝1 003，S 2 007＝2＋1 003×(2－1)＝1 005，S 2 008＝1 004×(2－1)＝1 004，∴S 2 006－2S 2 007＋S 2 008＝1 003－2 010＋1 004＝－3. 答案：－315．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)表示的数字为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…解析：由图形观察得第一行有1项，第二行有3项，第三行有5项，……，每一行的项数成等差数列{b n }，则前9行的项数之和S 9＝(1＋3＋5＋…＋17)＝9×1＋172＝81，即第10行的第1项为a 82，则第12项为a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1393三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n . (1)求a 1及a n ；(2)判断这个数列是否是等差数列．解：(1)当n ＝1时，由S n ＝2n 2－30n ，得a 1＝S 1＝2－30＝－28；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 ①. 因为a 1＝－28也满足①式，所以a n ＝4n －32.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －32－[4(n －1)－32]＝4，是一个与n 无关的常数，依据等差数列的概念可知数列{a n }是等差数列．17．(本小题12分)已知等差数列{a n }的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n }中取出第2项，第4项，第8项……，第2n 项，……，依原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式和前n 项和公式．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝8，得a 1＋d ＝8. 由S 10＝185，得2a 1＋9d 2×10＝185.解得a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，∴b n ＝3×2n＋2， 其前n 项和S n ＝3(2＋22＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为a 1，公比为q (q ≠1)的正项等比数列，前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4，设b n ＝q －S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若能，求出a 1的值；否则，请说明理由．解：(1)由已知得，5×a 11－q (1－q 2)＝4×a 11－q (1－q 4)，又a 1>0，q >0且q ≠1，解得q ＝12. (2)由(1)得S n ＝a 1[1－12n]1－12＝2a 1－a 1·(12)n －1，b n ＝q －S n ＝12－2a 1＋a 1·(12)n －1.若{b n }是等比数列，则12－2a 1＝0，即a 1＝14，此时，b n ＝(12)n ＋1是等比数列，所以存在实数a 1＝14，使数列{b n }是等比数列．19．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)． (1)求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝2n －1·a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，设公差为d .由2a 5＝a 3＋a 7＝18，得a 5＝9，又a 1＝1，故d ＝2，所以a n ＝2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)c n ＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n＝－(2n －3)·2n －3，所以T n ＝(2n －3)·2n＋3.20．(本小题13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型公交车和混合动力型公交车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后每年电力型公交车的投入比上一年增加50%，混合动力型公交车比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设今年为第1年，a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合型公交车的数量，则数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列；数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝256[(32)n－1]；设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝400n ＋12n (n －1)a .经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋12n (n －1)a .(2)若用7年时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，即256[(32)7－1]＋400×7＋21a ≥10000，解得a ≥3 08221，又a ∈N *，所以a 的最小值为147.21．(本小题14分)已知数列{a n }，设S n 是数列的前n 项和，并且满足a 1＝1，对任意正整数n ，有S n ＋1＝4a n ＋2.(1)令b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2,3，…)，证明{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求c n ＝b n3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2) ＝4(a n －a n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)．① 由题意知b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＋1＝a n ＋2－2a n ＋1.∴b n ＋1＝4(a n ＋1－a n )－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )， ∴b n ＋1b n ＝2a n ＋1－2a na n ＋1－2a n＝2(n ∈N ＋)， ∴{b n }是等比数列，公比q ＝2. 又∵S 2＝4a 1＋2，∴a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴1＋a 2＝4＋2，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝5－2＝3， ∴b n ＝b 1·qn －1＝3·2n －1.(2)∵c n ＝b n3＝2n －1，∴1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1＝1n ＋1n ＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。
高中数学 第一章 数列单元质量评估(一)新人教版必修5
【红对勾】 版高中数学 第一章 数列单元质量评估（一）新人教版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，则下列说法正确的是( ) A ．0是该数列的一项 B ．4是该数列的一项 C ．6是该数列的一项D ．9不是该数列的一项解析：令a n ＝0,4,6,9，分别解出n ，若n ∈N *，则相应数为数列的一项． 答案：B2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k 等于( ) A ．22 B ．23 C ．24D ．25解析：由等差数列的通项公式得a k ＝(k －1)d ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)d ，∴k ＝22. 答案：A3．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：由等比数列的性质易得a 2·a 6＝a 24＝16. 答案：C4．在等差数列{a n }中，有3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10a 13)＝48，则这个数列的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．52D ．104解析：由3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，利用等差数列的性质化简，得6(a 4＋a 10)＝48，∴a 1＋a 13＝a 4＋a 10＝8，∴S 13＝13 a 1＋a 13 2＝52.答案：C5．等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100等于( )A.b 9a 8 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 8 C.b 10a9 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a10解析：∵{a n }为等比数列，且a 9＋a 10≠0，∴a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100可构成新的等比数列，且公比为b a ，a 99＋a 100是新数列的第10项，故a 99＋a 100＝(a 10＋a 9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9＝b 9a8.答案：A6．一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是( ) A.12或－12 B ．1 C ．1或－1D ．2或－2解析：设这个等比数列首项为a 1，公比为q ，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝2(a 1＋a 1q )， ∴q 2＋q 3＝1＋q ，即(1＋q )·(1－q 2)＝0，∴q ＝±1，故选C. 答案：C7．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝15， ∴a 6＝3.故选A. 答案：A8．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n .若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：由于数列{S n ＋2}是等比数列，则(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，化简得q 2－3q ＝0，又q ≠0，故q ＝3.答案：C9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．21解析：由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，又S n 有最大值，所以数列{a n }是递减数列，于是a 10>0，a 11<0，且S 19＝19a 10>0，S 20＝10(a 10＋a 11)<0，所以n ＝19.答案：C10．(2012·四川卷)设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋a 1－1＋(a 2－3)3＋a 2－1＋…＋(a 7－3)3＋a 7－1＝14，即(a 1－3)3＋a 1－3＋(a 2－3)3＋a 2－3＋…＋(a 7－3)3＋a 7－3＝0，根据等差数列的性质得(a 4－3－3d )3＋(a 4－3－2d )3＋…＋(a 4－3＋3d )3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3－3d )3＋(a 4－3＋3d )3＋(a 4－3－2d )3＋(a 4－3＋2d )3＋…＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，∴2(a 4－3)[(a 4－3)2＋27d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋12d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋3d 2]＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3)[7(a 4－3)2＋84d 2＋7]＝0，∴a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21，故选D. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝36a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝2，所以a 9＝15.答案：1512．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________. 解析：∵S 12＝21， ∴a 1＋a 122×12＝21， ∴a 1＋a 12＝72.又∵a 2＋a 11＝a 5＋a 8＝a 1＋a 12＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝7，故填7. 答案：713．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－…＋(－1)n ＋1·n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.解析：当n 为偶数时，S n ＝－n 2；当n 为奇数时，S n ＝n ＋12.∴S 17＋S 33＋S 50＝17＋12＋33＋12－502＝1.答案：114．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝1－a n (n ∈N ＋)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2006－2S 2007＋S 2008＝________.解析：由a n ＋2＝1－a n ＋1＝1－(1－a n )＝a n ，可得数列{a n }的周期为2，且a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－1，…，∴S 2 006＝1 003×(2－1)＝1 003，S 2 007＝2＋1 003×(2－1)＝1 005，S 2 008＝1 004×(2－1)＝1 004，∴S 2 006－2S 2 007＋S 2 008＝1 003－2 010＋1 004＝－3. 答案：－315．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)表示的数字为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…解析：由图形观察得第一行有1项，第二行有3项，第三行有5项，……，每一行的项数成等差数列{b n }，则前9行的项数之和S 9＝(1＋3＋5＋…＋17)＝9× 1＋172＝81，即第10行的第1项为a 82，则第12项为a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1393三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n . (1)求a 1及a n ；(2)判断这个数列是否是等差数列．解：(1)当n ＝1时，由S n ＝2n 2－30n ，得a 1＝S 1＝2－30＝－28；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 ①. 因为a 1＝－28也满足①式，所以a n ＝4n －32.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －32－[4(n －1)－32]＝4，是一个与n 无关的常数，依据等差数列的概念可知数列{a n }是等差数列．17．(本小题12分)已知等差数列{a n }的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n }中取出第2项，第4项，第8项……，第2n 项，……，依原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式和前n 项和公式．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝8，得a 1＋d ＝8. 由S 10＝185，得2a 1＋9d 2×10＝185.解得a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，∴b n ＝3×2n＋2， 其前n 项和S n ＝3(2＋22＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为a 1，公比为q (q ≠1)的正项等比数列，前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4，设b n ＝q －S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若能，求出a 1的值；否则，请说明理由．解：(1)由已知得，5×a 11－q (1－q 2)＝4×a 11－q (1－q 4)，又a 1>0，q >0且q ≠1，解得q ＝12. (2)由(1)得S n ＝a 1[1－ 12 n ]1－12＝2a 1－a 1·(12)n －1，b n ＝q －S n ＝12－2a 1＋a 1·(12)n －1.若{b n }是等比数列，则12－2a 1＝0，即a 1＝14，此时，b n ＝(12)n ＋1是等比数列，所以存在实数a 1＝14，使数列{b n }是等比数列．19．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)． (1)求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝2n －1·a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，设公差为d .由2a 5＝a 3＋a 7＝18，得a 5＝9，又a 1＝1，故d ＝2，所以a n ＝2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)c n ＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n＝－(2n －3)·2n －3，所以T n ＝(2n －3)·2n＋3.20．(本小题13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型公交车和混合动力型公交车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后每年电力型公交车的投入比上一年增加50%，混合动力型公交车比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设今年为第1年，a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合型公交车的数量，则数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列；数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝256[(32)n－1]；设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝400n ＋12n (n －1)a .经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋12n (n －1)a .(2)若用7年时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，即256[(32)7－1]＋400×7＋21a ≥10000，解得a ≥3 08221，又a ∈N *，所以a 的最小值为147.21．(本小题14分)已知数列{a n }，设S n 是数列的前n 项和，并且满足a 1＝1，对任意正整数n ，有S n ＋1＝4a n ＋2.(1)令b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2,3，…)，证明{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求c n ＝b n3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2) ＝4(a n －a n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)．① 由题意知b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＋1＝a n ＋2－2a n ＋1.∴b n ＋1＝4(a n ＋1－a n )－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )， ∴b n ＋1b n ＝2 a n ＋1－2a na n ＋1－2a n＝2(n ∈N ＋)， ∴{b n }是等比数列，公比q ＝2. 又∵S 2＝4a 1＋2，∴a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴1＋a 2＝4＋2，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝5－2＝3， ∴b n ＝b 1·qn －1＝3·2n －1.(2)∵c n ＝b n3＝2n －1，∴1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1＝1 n ＋1 n ＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。
2021年新人教版高一数学必修5第二章数列单元测试及答案
浙江省瓯海中学高一数学必修5第二章《数列》单元测试班级 姓名 座号一、选择题(每小题6分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为( )A ．12-=n a nB ．)12()1(--=n a nnC ．)21()1(n a n n --=D ．)12()1(+-=n a nn2、等比数列2，4，8，16，…的前n 项和为( )A ．121-+nB ．22-nC ．n 2D ．221-+n3、等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．64、等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于( )A ．3B ．23C ．916D ．45、若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n= ( )A ．13B ．14C ．15D ．14或156、等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．2±7、等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是( )A ．130B ．170C ．210D ．2608、 数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为1011，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题(每小题6分)9、等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________ 10、{}a n 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,=++a a a 963 _______11、在等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则113a a += __________12、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______三、解答题13、(本题10分)求数列11111,2,3,424816…的前n 项和。
人教版数学必修五《数列》单元质量评估试题(含解析)
《数列》单元质量评估试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．6722．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大5.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n 2（n ＋1）D.2nn ＋16．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( ) A ．－2 013 B ．－1 017 C ．2 013 D ．1 0077．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－28．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.15810．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5) D ．(－∞，3] 11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( ) A ．d ＜0 B ．d ＞0 C ．a 1d ＜0 D ．a 1d ＞012．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( ) A ．q B ．12q C ．(1＋q )12 D ．(1＋q )12－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________． 14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．15．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________． 16．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5.a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.《数列》单元质量评估试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．672 解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672. 答案：D2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4， 所以a 5＝a 7q 2＝422＝1.答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大． 答案：A5.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n 等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n2（n ＋1）D.2n n ＋1解析：由已知得a n －a n ＋1＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝1.所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以S n ＝n ＋n （n －1）2·1＝12n 2＋12n ，所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.答案：D6．数列{(－1)n·n}的前2 013项的和S2 013为()A．－2 013 B．－1 017C．2 013 D．1 007解析：S2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A．1或2 B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2解析：依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，所以q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.所以q＝－1或q＝2.答案：C8．设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解析：由S5＜S6，得a6＝S6－S5＞0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d＜0.由S7＞S8⇒a8＜0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，即S9＜S5.答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.158 解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3， 又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2. 故a n ＝q ·qn －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4.答案：B11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( ) A ．d ＜0 B ．d ＞0 C ．a 1d ＜0 D ．a 1d ＞0解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n －1)d ，又由于{2a 1a n }为递减数列，所以2a 1a n2a 1a n ＋1＝2－a 1d ＞1＝20，所以a 1d ＜0.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2. 答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63.答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， 所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2a n－1)－(2a n－1－1)；所以a n＝2a n－1，经检验n＝1也符合．所以{a n}是等比数列．所以a n＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．解析：设三边为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，所以q2＝5＋1 2.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q2＝5－12.答案：5－1 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{log2(a n－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n＜1.(1)解：设等差数列{log2(a n－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.所以log2(a n－1)＝1＋(n－1)·1＝n，即a n＝2n＋1.(2)证明：因为1a n＋1－a n＝12n＋1－2n＝12n，所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ·121－12＝1－12n ＜1. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解：因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）. 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)． 所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5.a 3＋a 8＝5.(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－20，d ＝5.所以a n ＝5n －25(n ∈N *)．(2)由(1)a n ＝5n －25，所以b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30， 所以b n ＝10n －30(n ∈N *)．20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2. 当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1， aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ， 两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n ， 此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )． 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )， 解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3， 所以a n ＋12＝32·3n －1， 因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)．(2)由(1)知：a n ＝3n －12，所以1a n ＝23n －1， 因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1， 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ）A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010113．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（ ）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．434．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9005．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年6．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A B C ．14 D ．127．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏8．已知数列{}n a 的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（ ） A ．42B ．43C ．44D ．459．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8B ．16C ．32D ．6411．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-12．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．1024二、填空题13．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 16．数列{}n a 的通项()sin2n n a n n N π*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______17．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______.18．已知数列{}n a 的前n 项和()2*32n n n S n +=∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为______．19．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.20．数列{}n a 满足11a =，()*132n n a a n n N ++=+∈，则{}n a 的通项公式为n a =________．三、解答题21．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >，求n 的最小值． 22．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0d <，93n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 23．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和； 24．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T . 25．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ．26．已知数列满足递推关系，且10a =，121n n a a -=+. （1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】 数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=． 故选：C 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.3．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=， 所以至少对折的次数n 是42，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.4．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 5．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元． 故选：C ． 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．6．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 7．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数． 【详解】解：由题意，可知：n a ===1n n =-+． 12n n S a a a ∴=++⋯+1=11n =-+． 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．9．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q--+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.10．B解析：B 【分析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.11．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立，故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.12．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号， 又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．14．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.16．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题解析：5 【分析】利用()sin2n n N π*∈的周期性求解即可. 【详解】()sin 2n n N π*∈的周期2=42T ππ=，当1,2,3,4n =时sin 2n π的值为1,0，-1,0,则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，故答案为：5 【点睛】本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.17．【分析】在已知递推关系中件中令n=1解得在n≥2时根据递推关系利用可得判定数列为公差为1的等差数列进而利用等差数列的通项公式计算【详解】在中令n=1得解得或（舍去）；在n≥2时得到结合得到即因为数列 解析：112【分析】在已知递推关系中件中令n =1,解得132a =,在n ≥2时根据递推关系，利用1n n n S S a --=,可得11n n a a +-=，判定数列{}n a 为公差为1的等差数列，进而利用等差数列的通项公式计算. 【详解】 在()2*324n n n a a S n N +=+∈中令n=1,得21111332244a a S a +=+=+，解得132a =或112a =-（舍去）；在n ≥2时，得到2111324n n n a a S ---+=+，结合1n n n S S a --=, 得到22112n n n n n a a a a a ---+-=,即2211n n n n a a a a ---=+,因为数列{}n a 的各项均为正数，∴10n n a a -+≠，∴11n n a a --=，∴数列{}n a 为公差为1d =的等差数列，又∵132a =，∴513114422a a d =+=+=, 故答案为：112.【点睛】本题考查由数列的递推关系判定数列为的等差数列，并利用等差数列的通项公式求特定项，属中档题.18．【分析】根据可求得的通项公式经检验满足上式所以可得代入所求利用裂项相消法求和即可得答案【详解】因为所以所以又满足上式所以所以所以数列的前10项和为故答案为：【点睛】解题的关键是根据求得的通项公式易错解析：532【分析】根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得n a 的通项公式，经检验，112a S ==满足上式，所以可得n a ，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】因为()2*32n n n S n +=∈N ，所以2213(1)1352(2)22n n n n n S n --+--+==≥， 所以221335231,(2)22n n n n n n n a S S n n -+-+=---≥==，又1131122a S ⨯+===满足上式， 所以()*31,n a n n N=-∈，所以111111(31)(32)3313+2n n a a n n n n +⎛⎫== ⎪-+-⎝⎭-， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为11111111115325582932323232⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：532【点睛】解题的关键是根据1(2)n n n a S S n -=-≥，求得n a 的通项公式，易错点为，若11a S =满足上式，则写成一个通项公式的形式，若11a S =不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.19．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：()11332n n +--【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.20．【分析】先根据条件得隔项成等差数列再根据等差数列通项公式得结果【详解】相减得所以当为奇数时当为偶数时因此故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式根据递推关系求通项公式考查基本分析求解能力属中档题解析：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【分析】先根据条件得隔项成等差数列，再根据等差数列通项公式得结果. 【详解】1+12323(1)2n n n n a a n a a n +++=+∴+=++相减得23n n a a +-=所以当n 为奇数时，111313(1)13(1)222n n n n a a ++-=+-=+-= 当n 为偶数时，2323(1)513(1)222n n nn a a +=+-=-+-=因此n a =()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 故答案为：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【点睛】本题考查等差数列通项公式、根据递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭， 111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．22．（1） 11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈；（2）51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【分析】（1）由123,22,5a a a +成等比数列求得公差后可得通项公式n a ； （2）对23n b b b +++用错位相减法求和．【详解】解：（1）∵123,22,5a a a +成等比数列，∴()2231225a a a +=⋅，整理得2340d d --=，解得1d =-或4d =，当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+； 当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+．所以11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈．（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ， ∵0d <，∴1d =-，11n a n =-+23n nnb -=当1n =时，13n S =， 当2n ≥时，2341012233333n n n S -=++++⋅⋅⋅+ 令34122333n n T -=+++，则45111223333n n T +-=+++ 两式相减可得32345111112111122331333333313n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++⋯+-=-- 整理可得11112423n n T ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭， 则511,212423n n n S n ⎛⎫=+-⨯≥ ⎪⎝⎭ 且113S =满足上式， 综上所述：51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．23．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.24．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--.【分析】（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2nn a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2nn a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2nn a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案； 【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =， 当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =.所以1122,22n nn n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列{}n b 公差为d ， 由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =，即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m mT m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m m T m m +-=-+-+-=-=---.【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法. 25．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+=∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵123n n nn a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n n n T -+=--⋅⋅． 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 26．（1）证明见解析；（2）()12+1nn T n =-⋅.【分析】（1）由121n n a a -=+及等比数列定义得到11121n n a a +-++=即可证明； （2）由（1）知112n n a -+=，所以12n n b n -=⋅，用错位相减法求数列{}n b 的项和n T .【详解】解：（1）由121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+， 所以11121n n a a +-++=， 所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知112n n a -+=，所以()112n n n b a n -=+=⋅.所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，① 则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由①②得0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ ()12212112nn n n n -=-⋅=---， 所以()121nn T n =-⋅+. 【点睛】方法点睛：根据递推关系求通项公式的三个常见方法：（1）对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +=+的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式；（2）对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列()f n 前n 项的积时，采用累乘法求数列{}n a 的通项公式；（3）对于递推关系式形如1(0,1,0)n n a pa q p q +=+≠≠的数列，采用构造法求数列的通项.。
高中数学 第二章 数列单元质量评估测评1(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高中必修5数学试题
第二章单元质量评估(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n －1，…，则21是这个数列的( B ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第21项解析：观察可知该数列的通项公式为a n ＝2n －1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n ＝11，故选B.2．等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝10，则该数列的前11项和S 11＝( B ) A ．58 B ．55 C ．44D ．33解析：由题意得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 3＋a 92＝11×102＝55. 3．一个各项均为正数的等比数列中，每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q ＝( C )A.32B. 5C.5－12D.1＋52解析：由题意知a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝a n q ＋a n q 2，即q 2＋q －1＝0，解得q ＝5－12(负值舍去)，故选C.4．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( A ) A ．8 B ．－8C ．±8D ．以上选项都不对解析：∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，且a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0(q 为公比)，∴a 4＝8.5．已知等差数列共有11项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为25，则a 6为( A ) A ．5 B ．30 C ．15D ．21解析：S 奇－S 偶＝a 6＝5.6．在等比数列{a n }中，a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( C )aa C.b2aD.b a2解析：a 15＋a 16＝q 10(a 5＋a 6)，即q 10＝b a ，∴a 25＋a 26＝q 10(a 15＋a 16)＝b a ·b＝b 2a.7．若数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n，且a 1＝2，则a 2 012等于( D )A ．－1B ．2 C. 2D.12解析：∵a n ＋1＝1－1a n ，a 1＝2，∴a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1－1－1＝2.由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，∴a 2 012＝a 670×3＋2＝a 2＝12.8．数列{a n }中，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *)且n ≥2，则此数列( A )A ．从第二项起为等比数列B ．从第二项起为等差数列C ．等比数列D ．等差数列解析：∵S 1＝1，S 2＝2，∴a 1＝1，a 2＝1.当n ≥2时，S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0⇒(S n ＋1－S n )＋2(S n －1－S n )＝0⇒a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }从第二项起为等比数列．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，要使甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”根据题意，乙得( A )A.76钱 B ．1钱 C.56钱 D.23钱 解析：依题意设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d .又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，d ＝－a 6＝－16，则a －d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝76.故乙得76钱．10．若数列{a n }，{b n }满足a n ·b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{b n }的前10项和为( B ) A.12B.512312解析：∵a n ＝n 2＋3n ＋2，a n ·b n ＝1，∴b n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2.∴{b n }的前10项和为S 10＝12－13＋13－14＋…＋111－112＝12－112＝512.11．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第1个数是( A )A ．34 950B ．35 000C ．35 010D ．35 050解析：前99组中共有1＋99×992＝4 950个数，故第100组中的第一个数为34 950.12．设数列{a n }满足a n ＋1＝－2a n ，a 1＝1，数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则S 2 015＝( A ) A ．22 015－1 B ．22 016－2C ．22 014－1D ．1－22 015解析：本题考查等比数列的定义与前n 项和．方法一：由a n ＋1＝－2a n ，可得a n ＋1a n＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1，所以|a n |＝|(－2)n －1|＝2n －1，所以S 2 015＝1－22 0151－2＝22 015－1.故选A.方法二：由a n ＋1＝－2a n ，可得a n ＋1a n＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1，所以S 2 015＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 015|＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)－(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－41 0081－4－－2×1－41 0071－4＝13×(22 016－1＋2×22 014－2)＝22 015－1.故选A. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝－6. 解析：S 8＝8×a 1＋a 82＝4(a 3＋a 6)，由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.14．已知数列{x n }满足：lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝100.解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n ，得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }为等比数列，公比为10.故x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝10100.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg10100＝100.15．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 中最大的是S 20.解析：由3a 8＝5a 13，得d ＝－2a 139.∵a 1>0，∴d <0，∴令a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝－2n 39a 1＋4139a 1≥0，得n ≤412，又n ∈N *，∴当n ＝20时，a 20>0，而a 21<0，故S 20最大．16．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：则此数阵中第20行从左到右的第10个数是598.a 1 a 2a 3 a 4a 5a 6 a 7a 8a 9a 10… … … … …解析：第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋19×182×1＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6＝16，∴公差d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，∴a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，∴a 200＝3×200－2＝598.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8. (1)求a 4，a 7； (2)求a 1＋a 10.解：(1)由等比数列的性质知，a 4a 7＝a 5a 6＝－8，与a 4＋a 7＝2联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.(2)当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝a 7a 4＝－12，a 1＝a 4q3＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝a 7a 4＝－2，a 1＝a 4q3＝1，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21，则T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n2＋20n ＋3n－12.19．(本小题12分)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：(1)因为(a n ＋1)2＝4S n ，所以S n ＝a n ＋124，S n ＋1＝a n ＋1＋124.所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a n ＋1＋12－a n ＋124，即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．因为a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝12－122n ＋1.∵T n ＋1－T n ＝12－122n ＋3－[12－122n ＋1]＝122n ＋1－122n ＋3＝12n ＋12n ＋3>0，∴T n ＋1>T n .∴数列{T n }为递增数列，∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝13.20．(本小题12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3×22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n－1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.又a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ×22n －1,4·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ×22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)×22n ＋1＋2]．21．(本小题12分)已知数列{a n }为等差数列，b n ＝3a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·b 3·…·b 20；(3)若b 3·b 5＝39，a 4＋a 6＝3，求b 1·b 2·b 3·…·b n 的最大值．22．(本小题12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，令b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)，求数列{b n }的最大项．解：(1)证明：数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＋1a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12.∵a 1＝1，∴a 2＝12，故数列{a 2n －1}是以1为首项，12为公比的等比数列，数列{a 2n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)得T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－12n 1－12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝3－32n .∴b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)＝3n (n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴b n ＋1－b n ＝3(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22－n ＝3(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(2－n )， ∴b 3＝b 2>b 1，且b 3>b 4>b 5>…，故{b n }的最大项是b 2＝b 3＝92.。
人教A版高中数学必修五《数列》单元测验试卷及答案3.docx
《数列》单元测验班别： 学号： 姓名： 一、选择题（8×5=40分）1．在数列{}n a 中，1115,332(),n n a a a n N +==-∈则该数列中相邻两项乘积是负数的项是（ ）（A ）21a 和22a （B ）22a 和23a （C ）23a 和24a （D ）24a 和25a2．数列{}n a 中，372,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =（ ）（A ）0 （B ）12 （C ）23（D ）－13．在等差数{}n a 中，若69121520,a a a a +++=则20S 等于（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）110 （D ）1204．设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2,q =且30123302,a a a a ⋅⋅=L 则36930a a a a ⋅⋅L 等于（ ）（A ）102 （B ）202 （C ）162 （D ）152 5．等差数列{}n a 共有21n +项，其中13214,n a a a ++++=L 2423,n a a a +++=L 则n 的值为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）96．已知数列{}n a 的首项13a =，又满足13,nn n a a +=则该数列的通项n a 等于（ ）（A ）(1)23n n -（B ）2223n n -+（C ）213n n +- （D ）213n n -+7．若 {}n a 是等比数列，47512,a a =-38124,a a +=且公比q 为整数，则10a =（ ）（A ）256 （B ）-256 （C ）512 （D ）-5128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）9．在等差数列{}n a 中，12315,a a a ++=1278,n n n a a a --++=155,n S =则n =_____. 10．在等比数列{}n a 中，已知12324,a a +=3436,a a +=则56a a +=_____________. 11．已知数列{}n a 的通项公式112,n a n =-12,n n S a a a =+++L 则10S =_________ 12. 等差数列{}n a 中, 1239 ,a a a ++=123 15 ,a a a ⋅⋅=则1a ＝ __, n a ＝ .13．已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n nn a a a ，则n a =__ _____14．在数列}{n a 中，已知11=a ，52=a ，)N (*12∈-=++n a a a n n n ，则=2008a _________. 三、解答题15.（12分）已知等差数列{}n a 中, ,d 21= 315,,22k k a S ==-求1a 和k. 16．（12分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18. （14分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（1）证明数列{}n a n -是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．19. （14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．20．（14分）已知数列{}n a 的首项112a =，前n 项和()21n n S n a n =≥．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10b =，()12n n n S b n S -=≥，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：21n n T n <+．理科《数列》单元测验9、10 10、4 11、125 12、51或, ;7n 21n 2+--或 13、32n - 14、-1 15. 已知等差数列{}n a 中, ,d 21=315,,22k k a S ==- 求1a 和k. 15. 解: 2k2a )1k (21a 23d )1k (a a 111k -=⇒-+=⇒-+=3k .10k 030k 7k 215k 2a 1a S 2k k -==⇒=--⇒-=+=(舍去), 3a 1-=16．设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．16、(07全国2文17)解：由题设知11(1)01n n a q a S q-≠=-，，则2121412(1)5(1)11a q a q a q q q⎧=-⎪=⨯⎨--⎪-⎩，． ②由②得4215(1)q q -=-，22(4)(1)0q q --=，(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=， 因为1q <，解得1q =-或2q =-．当1q =-时，代入①得12a =，通项公式12(1)n n a -=⨯-；当2q =-时，代入①得112a =，通项公式11(2)2n n a -=⨯-． 17.用数学归纳法证明： 22211131().2321nn N n n +++++≥∈+L17.1n k =+时，只要证2313(1).21(1)23k k k k k ++≥+++ 23(1)312321(1)k k k k k +--+++Q22(2)0.(1)(483)k k k k k -+=<+++ 18.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．19.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）12n n a S +=Q ，12n n n S S S +∴-=， 13n nSS +∴=．又111S a ==Q ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==g≥， 21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩g， ，，≥． （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++L ， 当1n =时，11T =； 当2n ≥时， 0121436323n n T n -=++++g g L g ，…………①12133436323n n T n -=++++g g L g ，………………………② -①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-L g213(13)222313n n n ---=+--g g11(12)3n n -=-+-g ．1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥．又111T a ==Q 也满足上式， 1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N ． 20．已知数列{}n a 的首项112a =，前n 项和()21n n S n a n =≥．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10b =，()12n n n S b n S -=≥，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：21n n T n <+． 5．解：（Ⅰ）由112a =，2n n S n a =， ①∴ 211(1)n n S n a --=-， ②①－②得：2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，即()1121n n a n n a n --=≥+， 4分 ∵13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅L 12212143(1)n n n n n n --=⋅⋅=++L ，∴1(1)n a n n =+。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ）A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010112．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33B ．72C ．84D ．1894．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2595．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．126．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S7．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n8．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．89．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2110．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ）A ．50B ．51C ．100D ．10111．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．1212．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.15．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为__________．16．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上，11a =，数列{}n a 通项为__________.18．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2015S 的值为___________． 19．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N（1）求证：数列{}3nna 是等差数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.（3）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证：37.324n n S n >- 22．已知n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数且n *∈N 若.130n n a a ++⋅>恒成立，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前n 项和n S .23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.25．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔ （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】 数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=． 故选：C 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.2．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．3．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.4．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.5．D解析：D【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．7．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =， 又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=， 又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．11．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q ==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.12．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列 解析：121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．110【分析】根据题意求出首项再代入求和即可得【详解】是与的等比中项解得故答案为：110【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及等差数列求和是基础题解析：110 【分析】根据题意，求出首项120a =，再代入求和即可得． 【详解】31124a a d a =+=-，711612a a d a =+=-，911816a a d a =+=-，7a 是3a 与9a 的等比中项，()()2111(12)416a a a ∴-=--，解得120a =，()101102010921102S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=．故答案为：110． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．16．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果.【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.17．【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得：∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为：【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中n a 换为1n n s s --，整理得到1{}nS 是等差数列，公差2d =，然后由等差数列的通项公式得答案． 【详解】由题意可得：()24,241nn n S a n S =≥- ∴()214,241nn n n S S S n S --=≥-， ∴1140n n n n s s s s ---+=．两边除以1n n s s -，并移向得出1114,(2)n n n S S --=， 1{}nS ∴是等差数列，公差4d =， 11111S a ==． ∴114(1)43nn n S =+-=-， 故143n S n =-． ∴当2n 时，()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----． 当1n =时，11a =不符合上式．()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩． 故答案为：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了运算求解能力，属于中档题．18．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】 由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254． 【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．19．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）233nn a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用已知条件通分计算或者直接整理，证明11133n nn n a a ++-=，即证结论； （2）利用（1）求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即求得{}n a 的通项公式； （3）结合（2）的结果，利用错位相减法求得n S ，并计算整理3n n S ，根据7043n>⨯即证得结论. 【详解】解：（1）解法1：由()1*133n n n a a n N ++=+∈，得111111333313333n n n n n n nn n n n a a a a a a ++++++-+--===. 又11133a =，故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以1为公差的等差数列. 解法2：由()1*133n n n a a n N ++=+∈，得11133n nn n a a ++=+，即11133n n n n a a ++-=. 又11133a =，故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）得()111133n n a n =+-⨯，*N n ∈， 即233n n a n =-，故233n n a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知()121222213231333333n nn S n n -⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭① ()2312222313231333333n n n S n n +⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭②由①②得1112397723133262n n n n S n n +++-⎫⎫⎛⎛=-⨯--=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 故17732124n n n S +⎫⎛=-⨯+ ⎪⎝⎭，从而1737377372123343244324n n n n n n n S n n +⎫⎛-⨯ ⎪⎫⎛⎝⎭=+=-+>- ⎪⨯⨯⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：利用等差数列和等比数列前n 项和公式进行计算即可；（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.22．（1）*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩；（2）2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【分析】 （1）先令12n nx t =，根据所给方程，得到()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，构造函数()()214log 2n g x x n x +=+，确定122n n n t +<<，再讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，结合题中条件，即可求出数列的通项；（2）根据（1）的结果，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，利用分组求和的方法，结合等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根，令12n n x t =，则12n nx t =， 所以()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，记()()214log 2n g x x n x +=+，显然()g x 单调递增，且2221log 32n n g n n n n n n n +⎛⎫=+<+<+ ⎪⎝⎭，()()222111log 13132n n g n n n n n n n ++⎛⎫=+++=++>+ ⎪⎝⎭， 所以122n n n t +<<， 当*21()n k k N =-∈时，2112n k k t k --<<<，则[]11122n n n n a t k x ⎡⎤-===-=⎢⎥⎣⎦； 当*2()n k k N =∈时，21122n k k t k +<<=+，则[]122n nn n a t k x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦； 综上，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩； （2）由（1）可得，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩， 当*21()n k k N =-∈时，()()1352461......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++211121002412461122222......22222222224n n n n n n n +---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当*2()n k k N =∈时，()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++2220024224622222 (222)22222224n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 综上，2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于由n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，求出12n x 的范围，利用12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，通过讨论n 的奇偶，得出数列通项，即可求解.23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．（1）12n n a ；（2）证明见解析.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-消去n S ，得到{}n a 为等比数列，公式法求通项公式； （2）把12n n a 代入()()111n n n n a b a a +=++，用裂项相消法求出n T ，再证明12n T <.【详解】解：（1）∵11n n a S +=+，∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=，即∴12(2)n n a a n +=≥. 又21111a S a =+=+，2123S a a =+=∴11a =，22a =，∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥. ∴{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n na（2）由（1）知()()()()11112111121212121n n nn n n n n n a b a a ---+===-++++++.∴1201121111111212121212121n n n nT b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111121212212n n=-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法． 25．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式； （2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =， 故()13132n a n n =+-=-. （2）()()111111323133231n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 26．（1）()*21n a n n N =-∈，()1*3n nbn N -=∈；（2）()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈.【分析】（1）首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式，再根据条件求等比数列{}n b 的基本量，求数列{}n b 的通项公式；（2）()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，利用错位相减法求和. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当1n >时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；当n=1时符合上式， ∴()*21n a n n N=-∈；∴111b a ==，359==b a ， ∴数列{}n b 的公比3q =， ∴()1*3n n b n N -=∈；（2）由（1）可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②，整理得()*(1)31nn T n n N =-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。
(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。
人教A版高中数学必修五《数列》单元质量检测题1.docx
高二数学单元检测卷 (数列一)一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．1．数列252211L ，，，，的一个通项公式是A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+ 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．313.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9- 4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=LA.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n- D.1(41)3n-6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a aa+++=LA ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的 前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 100009.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64 11.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列 一共有 项. 14.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④ {}lg n a15. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，则n a =__________.16.在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数. 18．（12分）.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，（1）求证：{}1n a +是等比数列； （2）求这个数列的通项公式n a .19．（12分）在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+；（1）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。
高中数学第二章数列单元质量测评新人教A版必修5
高中数学第二章数列单元质量测评新人教A 版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2 答案 C解析 此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差为d ＝3，设3n ＋6是第x 项，则3n ＋6＝0＋(x －1)×3⇒x ＝n ＋3.2．已知等差数列{a n }的公差为1，且S 99＝99，则a 3＋a 6＋…＋a 96＋a 99的值是( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．0 答案 B解析 设A ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，B ＝a 2＋a 5＋…＋a 98，C ＝a 3＋a 6＋…＋a 99，A ＋B ＋C ＝S 99，B －A ＝33，C －B ＝33，∴A ＝C －66，故C －66＋C －33＋C ＝S 99＝99，∴C ＝66.3．已知{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2020，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．672 D ．674 答案 D解析 由2020＝1＋3(n －1)，解得n ＝674.4．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝1，q ＝2，且第m 项至第n (m <n )项的和为112，则m ＋n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 B解析 由已知，得1×1－2n1－2－1×1－2m －11－2＝112，即2m －1·(2n －m ＋1－1)＝24×7，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＝24，2n －m ＋1－1＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝7，所以m ＋n ＝12，故选B.5．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＋a 21＝a 12，那么S 27＝( ) A ．2015 B ．2014 C ．2013 D ．0 答案 D解析 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 5＋a 21＝a 12， ∴2a 1＋24d ＝a 1＋11d ，∴a 1＋13d ＝0，即a 14＝0.∴S 27＝27a 1＋a 272＝27×2a 142＝27a 14＝0.故选D.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由S 11－S 8＝3，得a 11＋a 10＋a 9＝3,3a 10＝3，a 10＝1，所以a 1＋9d ＝1，a 11－a 8＝3d ＝3，所以d ＝1，于是a 1＝－8，从而a n ＝－9＋n >0的最小正整数n 的值是10.7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 10＝( )A ．2B ．3C ．－1 D.12答案 D解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－2＝－1，同理可得：a 3＝2，a 4＝12，…，∴a n ＋3＝a n .∴a 10＝a 3×3＋1＝a 1＝12.故选D.8．设等差数列{a n }的公差为2，前10项和为490，等差数列{b n }的公差为4，前10项和为240.以a k ，b k 为邻边的矩形内的最大圆的面积记为S k ，若k ≤18，则S k ＝( )A ．π(2k ＋1)2B ．π(2k ＋3)2C ．π(k ＋1)2D ．π(k ＋18)2答案 A解析 由10a 1＋10×10－12×2＝490，得a 1＝40，∴a n ＝40＋2(n －1)＝2n ＋38.由10b 1＋10×10－12×4＝240，得b 1＝6，∴b n ＝6＋4(n－1)＝4n ＋2.∵a k －b k ＝(2k ＋38)－(4k ＋2)＝36－2k ，∴当k ≤18时，36－2k ≥0，即2k ＋38≥4k ＋2，∴以a k 和b k 为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k ＋1，则该最大圆的面积S k ＝π(2k ＋1)2.9．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在答案 B解析 依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13. ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项 答案 C解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1.则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.12．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为( )A ．1008B ．1009C ．1007或1008D ．1008或1009答案 A解析 由题意，a 2017＝a 1a 2…a 2017， ∴a 1a 2…a 2016＝1，∴a 1a 2016＝a 2a 2015＝a 3a 2014＝…＝a 1007a 1010＝a 1008·a 1009＝1，∵a 1>1，q >0，∴a 1008>1,0<a 1009<1， ∴前n 项积最大时n 的值为1008. 故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.答案 14解析 ∵a 2a 4＝a 23＝12，∴a 1a 23a 5＝a 43＝14.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 答案 73解析 因S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 11－q 61－q ×1－q a 11－q3＝1＋q 3＝3， 即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 11－q 91－q ×1－q a 11－q 6＝1－231－22＝73.15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．答案 n 2＋n解析 由题中数表，知第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .16．已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d >0 ②a 4<0 ③a 5>0 ④S 7<0 ⑤S 8>0 答案 ①②③④解析 由已知条件得a 5>0，a 4<0，则d >0，故①②③正确． 因为S 7＝7a 1＋a 72＝7a 4<0，故④正确．S 8＝8a 1＋a 82＝4(a 4＋a 5)无法判断其正负，故⑤错误．综上可得结论正确的有①②③④.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式．解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q >0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， ∴S n ＝2S n －1＋2n －1，① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22， (1)该数列前多少项的和最大？最大和是多少？ (2)求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53，令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }前17项的和最大．S max ＝S 17＝17×50＋17×8×(－3)＝442.(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n ， ∴当n ≤17，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝32n 2－1032n ＋884，当n ≥18，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为32n 2－1032n ＋884.20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＋S 4＝0，b 9＝a 1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝1b n ＋16b n ＋18，求数列{c n }的前n 项和W n .解 (1)∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1. ∴a 1＝1且a n ≠0，∴a n a n －1＝2，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－2n1－2＝2n－1.设{b n }的公差为d ，b 1＝－S 4＝－15，b 9＝－15＋8d ＝1，∴d＝2，∴b n ＝－15＋(n －1)×2＝2n －17. (2)c n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴W n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12－14n ＋2＝n 2n ＋1.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N *，求T n .解 (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13，∴a n ＋1＝12a n ＋13.∵a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＝23＋12n .(2)∵c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ＝n 2n ，∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n2n ，①。
2018-2019学年高二数学人教版必修五专题深化与整合+单元质量评估(一)
单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·广州高二检测)在△ABC中,若a=3,c=7,∠C=60°,则边长b为( ) A.5 B.8 C.5或-8 D.-5或8【解析】选B.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,所以49=9+b2-3b⇒(b-8)(b+5)=0.因为b>0,所以b=8.【补偿训练】在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC= ( )A.4B.2C.D.【解析】选B.在△ABC中,由正弦定理知=,所以AC===2.2.在△ABC中,a=4,b=, 5cos(B+C)+3=0,则B的大小为( )A. B. C. D.【解析】选A.由已知得cos(B+C)=-,A+B+C=π,所以cos A=-cos(B+C)=,所以A∈,所以sin A==.由正弦定理得sin B===,又因为b<a所以B∈,所以B=.3.(2018·韶关高二检测)在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2-b2的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定【解析】选C.因为B=120°,所以cos B=-,所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac,所以a2+ac+c2-b2=0.【补偿训练】在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于 ( )A.60°B.45°C.120°D.150°【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc,所以cos A==-,所以A=150°.4.(2018·三明高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则满足b=2a,A=25°的△ABC的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.过点C作CD⊥AB,垂足为点D.则CD=ACsin 25°=2a·sin 25°<2a·sin 30°=a,即CD<BC<AC,所以满足条件的△ABC的个数是2.【补偿训练】符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )A.a=1,b=2,c=3B.a=1,b=,A=30°C.a=1,b=2,A=100°D.b=c=1, B=45°【解析】选D.A选项中,a+b=c,这样的三角形不存在.B选项中,由正弦定理易知这样的三角形有2个.C选项中,a<b,A=100°,则B为钝角,所以这样的三角形不存在.D选项中,易得A=90°,a=,所以这样的三角形有且只有一个.5.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是( )A.-B.-C.-D.-【解析】选C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A===-. 【补偿训练】在△ABC中,a=7,b=4,c=,则最小角为( )A. B. C. D.【解析】选B.根据三角形中小边对小角,大边对大角可知最小角为角C,由余弦定理得cos C===,又0<C<π,所以C=. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B= ( )A.-B.C.-1D.1【解题指南】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决.【解析】选D.由acos A=bsin B可得sin Acos A=sin2B,所以sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.7.在△ABC中,若==,则△ABC是 ( )A.正三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.有一内角为60°的直角三角形【解析】选B.根据正弦定理结合==得,==,所以tan B=tan C=1.又0<B<π,0<C<π,所以B=C=,所以△ABC是等腰直角三角形.8.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若直线bx+(a-c)y+1=0与直线(a-b)x-(a+c)y+1=0垂直,则角C的大小为( )A. B. C. D.【解析】选B.由已知条件得b(a-b)-(a-c)(a+c)=0,即a2+b2-c2=ab,所以cos C===.又0<C<π,所以C=.9.(2018·承德高二检测)在△ABC中 ,若=2,b2-a2=ac,则cosB= ()A. B. C. D.【解析】选C.因为=2,并运用正弦定理可得,c=2a,将其代入b2-a2=ac可得,b2-a2=a×2a=3a2,即b2=4a2,所以b=2a,由余弦定理可得,cos B===.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且=,则角C 的值为( )A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】选C.由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,所以cosA==,所以A=60°,又=,所以=,所以sin B=sin A=×=,所以B=30°,所以C=180°-A-B=90°.11.(2018·武汉高二检测)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acos A,则sin A∶sin B∶sin C为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4【解析】选D.因为A>B>C,所以a>b>c,设a=b+1,c=b-1,由3b=20acos A得3b=20(b+1)·, 化简得7b2-27b-40=0,解得b=5或b=-(舍去),所以a=6,c=4,所以sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.12.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点 A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A 地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为( )A.210(+)米B.140米C.210米D.210(-)米【解题指南】利用余弦定理求|AC|,再利用正弦定理求仪器的垂直弹射高度CH. 【解析】选B.由题意,设|AC|=x,则|BC|=x-40,在△ABC内,由余弦定理得|BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|·|CA|·cos∠BAC,即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.∠CHA=90°-30°=60°,在△ACH中,|AC|=420,∠CAH=30°+15°=45°,由正弦定理:=,可得|CH|=|AC|·=140米.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等腰三角形ABC中,已知sin A∶sin B=1∶2,底边BC=10,则△ABC的周长是________.【解析】由正弦定理得BC∶AC=sin A∶sin B=1∶2,又因为BC=10,所以AC=20.所以AB=AC=20,所以△ABC的周长是10+20+20=50.答案:5014.(2018·福州高二检测)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于________.【解题指南】先由面积为求得AC,然后再用余弦定理求得AB.【解析】在△ABC中,由面积公式得S=BC·AC·sin C=×2·AC·sin 60°=AC=,所以AC=2,再由余弦定理,得AB2=BC2+AC2-2AC·BC·cos C=22+22-2×2×2×=4,所以AB=2.答案:215.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,且AB的距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度大小为________.【解析】如图,设我舰在C处追上敌舰,速度为v,则在△ABC中,AC=10×2=20(海里),AB=12海里,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=784.所以BC=28海里,所以v=14海里/小时.答案:14海里/小时16.(2018·宁波高二检测)有一道解三角形的题,因为纸张破损,在划横线地方有一个已知条件看不清,具体如下:在△ABC中角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知角B=45°,a=,________.求角A.若已知正确答案为A=60°,且必须使用所有条件才能解得,请写出一个符合要求的已知条件.【解析】在△ABC中,若已知B=45°,a=,A=60°,则C=180°-45°-60°=75°.由正弦定理得AB====,所以已知条件可填AB=,另外,若填C=75°则未使用所有条件,若填AC的长度,求出A=60°或120°,不合题意.答案:AB=三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2018·蚌埠高二检测)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且有2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C.(1)求角A的大小.(2)若b=2,c=1,点D为BC的中点,求AD的长.【解析】(1)由题意知,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B,因为sin B≠0,所以cos A=.由于0<A<π,故A=.(2)因为a2=b2+c2-2bccos A=4+1-2×2×1×=3,所以a2+c2=b2,所以B=.因为点D为BC中点,所以BD=,AB=1,所以AD==.18.(12分)(2018·温州高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,A=,sin B=.(1)求cos B的值.(2)若2c=b+2,求边长b.【解析】(1)因为sin B=<=sin A,所以B<A ,所以B为锐角 ,所以cos B=.(2)sin C=sin(A+B)=×+×=.由正弦定理得=,又c=+1,故=,解得b=.19.(12分)在锐角三角形ABC中,边a,b是方程x2-2x+2=0的两根,角A,B满足:2sin(A+B)-=0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积.【解析】由2sin(A+B)-=0,得sin(A+B)=,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B=120°,C=60°.又因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以a+b=2,a·b=2,所以c2=a2+b2-2a·bcos C=(a+b)2-3ab=12-6=6,所以c=,S△ABC=absin C=×2×=.20.(12分)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶.若甲船速度是乙船速度的倍,则甲船应取什么方向才能追上乙船?追上时甲船行驶了多少海里?【解析】如图所示,设到C点甲船追上乙船,乙到C地用的时间为t,乙船速度为v,则BC=tv,AC=tv,B=120°,由正弦定理知,=,所以=,所以sin∠CAB=,所以∠CAB=30°,所以∠ACB=30°,所以BC=AB=a,所以AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 120°=a2+a2-2a2·=3a2,所以AC= a.答:甲船应按北偏东30°方向才能追上乙船,追上时甲船行驶了a海里. 21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A.(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.【解题指南】(1)选择将已知条件3cos(B-C)-1=6cos Bcos C化简,先求得cos(B+C),再求得cos A.(2)结合余弦定理,选择合适的△ABC的面积公式,建立关于b,c的方程组,解得b,c的值.【解析】(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C,所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1,所以3cos(B+C)=-1,所以cos(π-A)=-,所以cos A=.(2) 由(1)得sin A=,由面积公式bcsin A=2可得bc=6①,根据余弦定理得cos A===,则b2+c2=13②,①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.22.(12分)某观察站C在A城的南偏西20°方向,由A城出发的一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D地,此时CD距离为21千米.(1)此人还需走多少千米才能到达A城?(2)在如图所示的平面内,若以A为圆心,AC为半径作圆交BA于E点,在劣弧CE 上有一动点P,过P引平行于AC的直线和AE交于点F,试求△APF面积的最大值. 【解题指南】(1)分别在△ACD和△ABC中,利用余弦定理建立关于AD,AC的方程组,解方程组求出AD.(2)建立△APF的面积关于∠PAF的函数,求函数的最大值.【解析】(1)设AD=x,AC=y.因为∠BAC=20°+40°=60°,所以在△ACD中,有x2+y2-2xycos 60°=212,即x2+y2-xy=441. ①而在△ABC中,(x+20)2+y2-2(x+20)ycos 60°=312,即x2+y2-xy+40x-20y=561. ②②-①得y=2x-6,代入①得x2-6x-135=0,解得x=15(千米),y=24(千米),即还需走15千米才能到达A城.(2)如图所示,因为FP∥AC,所以∠PFA=120°,设∠PAF=θ,由题意得AP=AC=24,在△APF中,由正弦定理得=,所以=,所以FP=sin θ.又=,所以AF=sin(60°-θ),因此△APF的面积为:S=PF·AFsin 120°=·sin θ·sin(60°-θ)×=48×4×sin θ=48,故当θ=时,S取得最大值为48.【方法技巧】解三角形应用题常见的情况(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解.有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.。
人教版高中数学必修五单元质量评估(一)含解析.doc
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单元质量评估（一）（第一章）（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 如图,在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45。
,在它的南偏 东60。
的B 处测得塔顶的仰角为30。
，若A,B 的距离是20V7m,则塔 咼为（）A. 24mC. 12v7m 【解析】选B.设塔高CD 二xm, 则 AD=xm, DB=v3xm.4^ A ABD 中，ZADB=150° ,根据余弦定理得，（20 V7） 2=x 2+ （V3x ） 2-2 V3X 2COS 150° , 解得x 二±20 （负值舍去）,故塔高为20m.2. （2016 •鞍山高二检测）在AABC 中，角A, B, C 的对边分別为a, b, c.B. 20m D. 36m已知a=v'2, b=v3, A=45°，则角B 大小为（ ）75°【解析】选C.由正弦定理可得:二二二，sin4□- sinB由此可得sinB=],因为b>a,故B 二60。
或120。
・3. 在AABC 中，若 a=5, c=13, sinA 二*,则ZXABC 的面积为（） A ・t B. 30 C. 35 D. 782 【解析】选B.由正弦定理可求得sinOl,所以三角形为直角三角形， 其中c 为斜边，所以b=Vc 2 -a 2=12,则三角形面积S=4b=30,故选B.4. （2016 •杭州高二检测）在AABC 中，若 1 ga-lgc=lgsinB=-1 g v'2且 B 岂财）,则AABC 的形状是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】选 D.因为 lga-lgc=lgsinB=lg （\'2）T,所以 又因为 b 2=a 2+c 2-2ac •cosB=a 2+2a 2-2a • \2a • -^=a 2,即 a 二b,■所以AABC 为等腰直角三角形.5. 已知AABC 中,AB=1, BC=2,则角C 的取值范围是A. 60°B. 120°C. 60° 或 120°D. 15 ° 或 a v'2A. 0〈CW ；6 B. 0〈C 〈二 即c・?<C<-D. 7<c^7【解析】选人•因为益益所以盧血'所以s i nC=-s i nA,因为0<s i nAW1,21所以O〈sinCW-.2因为AB<BC,所以C〈A,所以C为锐角, 所以（KCW：6【一题多解】选A.A\如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC上的点外, 都可作为A点.从点C向圆B作切线，设切点为片和A?,当A与人或A? 重合时，角C最大，易知此时:BC二2, AB=1, AC 丄AB,TT II所以C二-，所以CKCW-.6.在AABC 中,AB=2, AC=3, AB • AC二5,则BO （）A. V3B. V7C. 2\;2D. V23【解析】选 A.因为AB • AC二| AB11 AC |cos〈AB, AC>=I AB | | AC | cosA二6cosA二5,所以cosA二由余弦定理可得：6BC2二AC2+AB2-2AC • ABcosA二9+4-2X2X3X、3,所以BC=V3.67.（2016 •黄冈高二检测）设a, b, c为AABC的三边长，若c2=a2+b2,且V-3sinA+cosA=y l；2,则角B 的大小为（）B.-【解析】选D. c2=a2+bMC=-,■V3s i n A+cosA 二*V2=>s i n（A + 扌）二二。
高中数学 第二章 数列单元质量测评(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题
第二章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1答案 B解析 由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n＋1．(或特值法，当n ＝1时只有B 项符合．)2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3． 3．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12．∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列．∴a 101＝2＋12×(101－1)＝52．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( ) A ．45 B ．50 C ．75 D ．60 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118，∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50，∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 答案 C解析 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0． ① 又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8． ②由①②，得d ＝2，a 1＝－3． 所以S 10＝10a 1＋902d ＝60．故选C ．6．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项 答案 C解析 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43．故选B ．8．已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26 答案 A解析 因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1．又因为S n ＝3n，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，得m ＝29，故选A ．9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．32B ．62C ．27D ．81答案 B解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ， 又a 1＝2，则a 2＝2q ，a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4， ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4， ∴2(q 3＋1)＝q (q 3＋1)，由q ＞0，解得q ＝2， ∴S 5＝21－251－2＝62．故选B ．10．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)，∴S 14＝7×(1－5)＝－28，a 15＝60－3＝57， S 22＝11×(1－5)＝－44， S 30＝15×(1－5)＝－60， a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61． ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，f x －1＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝n －2(n ∈N *) 答案 C解析 令2x－1＝x (x ≤0)，易得x ＝0． 当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ， 即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1．当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ， 即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ，故2x －2＋1＝x ，则x ＝2．因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2， 结合各选项可知该数列的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( ) A ．3690 B ．1830 C ．1845 D ．3660 答案 B解析 ①当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2n －1，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得 a n ＋2＋a n ＝2；②当n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，故S 60＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 60)＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58) ＝30＋4×450＝1830．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －12，则它的前n 项和S n 的最大值为________．答案 105解析 ∵a n ＋1－a n ＝－12，∴d ＝－12，又a 1＝10，∴a n ＝－n 2＋212(n ∈N *)．∵a 1＝10>0，d ＝－12<0，设从第n 项起为负数，则－n 2＋212<0(n ∈N *)．∴n >21，于是前21项和最大，最大值为S 21＝105．14．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．答案 2解析 ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1＞0，∴q ＞1． 又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ．∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2．15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．答案 676解析 当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于________．答案 7解析 设该设备第n 年的运营费用为a n 万元，则数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝3n －1．设该设备使用n 年的运营费用总和为T n ， 则T n ＝n 2＋3n －12＝32n 2＋12n ． 设n 年的盈利总额为S n ，则S n ＝21n －⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 2＋12n －9＝－32n 2＋412n －9． 由二次函数的性质可知，当n ＝416时，S n 取得最大值，又n ∈N *，故当n ＝7时，S n 取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 是实数，3a ，4b ，5c 成等比数列，且1a ，1b ，1c成等差数列，求a c ＋c a的值．解 ∵3a ，4b ，5c 成等比数列，∴16b 2＝15ac ． ① ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c． ②由①，得4b2·15ac ＝64． ③将②代入③，得1a ＋1c2·15ac ＝64，∴1a 2＋1c 2＋2ac ac ＝6415． ∴c a ＋a c ＝3415． 18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1．(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12．又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1， 即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ，a n －1＝1－12n －1．故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n ． 又b 1＝a 1＝12也适合上式，∴b n ＝12n ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2．∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n－1．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n －1)米至50n 米的扇环面记为第n 区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克) (2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n 较大时，可用(1－x )n ≈1－nx 进行近似计算． 解 (1)设第n 区的火山灰为每平方米a n 千克， 依题意，数列{a n }为等比数列，且a 1＝1000(千克)， 公比q ＝1－2%＝0．98， ∴a n ＝a 1×qn －1＝1000×0．98n －1．∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a 25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n 区的火山灰总质量为b n 千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n 区的面积为14π{(50n )2－[50(n －1)]2}＝625π(2n －1)， ∴b n ＝625π(2n －1)×a n ．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，解得49．5≤n ≤50．5．∵n ∈N *， ∴n ＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n ． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，∵当n ＝1时，a 1＝4－2＝2也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝4n －2， 即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列． 设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14．故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1．即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1．(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n．两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．22．(本小题满分12分)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg (1＋a n )}是等比数列； (2)设T n ＝(1＋a 1)·(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n ；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并证明S n <1．解 (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，∴lg (1＋a n ＋1)＝2lg (1＋a n )， ∴{lg (1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋a n )＝2n －1·lg (1＋a 1)＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1，∴1＋a n ＝32n －1，∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n ) ＝320·321·322 (32)n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n－1．(3)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)．∴1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1， ∴b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1a n ＋1a n －2a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2⎝⎛1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n－1，∴S n ＝1－232n －1．32n－1>32－1＝8>2，∴0<232n－1<1．∴S n <1．。
(完整版)高二数学必修5数列单元质量检测题及答案
高二数学必修5《数列》单元质量检测题（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计60分）1.数列252211L ，，，，的一个通项公式是（ ）A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-3. 2005是数列7,13,19,25,31,,L 中的第（ ）项.A. 332B. 333C. 334D. 3354. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ）A.45B.75C. 180D.3005. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－56. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则da 1等于( ) A. 21 B.2 C. 41D.4 7. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列｛a n ＋b n ｝的前100项之和是( )A.1000B.10000C.1100D.110008.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于( )A.97B.95C.93D.919.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.1210. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( )A. 21B. 31C.2D.311. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( )A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( ) A.32 B. 149 C. 3120 D. 1711 二、填空题（每小题4分，共计16分）13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 .14. 已知｛na 1｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ .16. 数列121，241，341，4161，…的前n 项和为 . 三、解答题：17.（本小题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n .18.（本题满分12分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围.19. （本题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，a 1＝29，S 10＝S 20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.（本题满分12分）设a 1＝5，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，求｛a n ｝的通项公式.21.（本题满分12分）求和：1＋54＋257＋…＋1523--n n22.（本题满分14分）已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1，2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)求证｛b n ｝是等比数列；(2)设c n ＝n n a 2(n ＝1，2…)求证｛c n ｝是等差数列；(3)求数列｛a n ｝的通项公式及前n 项和公式.。
新课标必修五数学单元检测(数列)
新课标必修五数学单元检测（数列）2010-09-07姓名 班级 得分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项1、在数列1，1，2，3，5，x ，13，21，34，55中的，x 等于（ ）A 、5B 、7C 、8D 、112、等差数列{a n }中，已知a 1+a 4+a 7=39,则a 4=( )A 、13B 、14C 、15D 、163、等比数列{a n }中，已知，a 2=9，公比q 为3，则a 4=( )A 、27B 、81C 、243D 、192 4、12+与12-的等差中项是（ ）A 、1B 、-1C 、2D 、1±5、公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 6、=+-+⋯+⨯+⨯)13)(23(1741411n n （ ） A 、13+n n B 、131++n n C 、1312+-n n D 1322+-n n7、在等差数列{a n }中，a 5＝33，公差d=3，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．63 8、设a 1=2，a n =3+11-n a ，则a 5=（ ） A ．76251 B ．3 C ．2376D ．7 9、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=10,S 5=55,则过点P(n,)和Q(n+2,)(n ∈N +)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ）A ．（2，）B ．（）C ．(,-1) D ．(-1,-1)10已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于( )A.13-B.3-C.13D.3二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11、等差数列{a n }中，a 3=3，a 8=33，则{a n }的公差为 。
12、2与8的等比中项为 。
人教版高中数学高二必修5练习 单元评估验收(一)
单元评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三角形的边长分别为32、6、310，则它的最大内角的度数是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 解析：由大边对大角得：cos θ＝（32）2＋62－（310）22×32×6＝－22⇒θ＝3π4.答案：C2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝( ) A ．30°或150° B ．60°或120° C ．60°D ．30°解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝ab sin B ＝22sin 45°＝12，又因为b ＞a ，故A ＝30°. 答案：D3．在△ABC 中，若a ＝52 b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53 B.54 C.55 D.56解析：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，所以sin 2B sin B ＝52，所以cos B ＝54.答案：B4．已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( ) A ．30°或150° B ．30°或60° C ．60°或120° D ．60°或150°解析：根据正弦定理得a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝12，因为0°＜A ＜180°， 所以A ＝30°或150°. 答案：A5．在△ABC 中，已知cos A cos B ＞sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos A ·cos B － sin A sin B ＝cos (A ＋B )＞0，所以A ＋B ＜90°，所以C ＞90°，C 为钝角． 答案：C6．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5B. 5C ．25或 5D ．以上都不对解析：因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以5＝15＋c 2－215×c ×32. 化简得c 2－3 5 c ＋10＝0， 即(c －25)(c －5)＝0， 所以c ＝25或c ＝ 5. 答案：C7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m ＞0)，因为⎩⎨⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，即⎩⎨⎧m （2k ＋1）＞2mk ，3mk ＞m （k ＋1），所以k ＞12.答案：D8．△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D ．9 2解析：设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，所以x 2＝9，所以x ＝3. 设cos θ＝13，则sin θ＝223.所以2R ＝3sin θ＝3223＝924.答案：B9．在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin Csin A ，由正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，即a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )⇒a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形． 答案：C10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，由⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和是π矛盾．若△A 2B 2C 2是直角三角形，设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，所以A 1在(0，π)范围内无值，所以△A 2B 2是钝角三角形．答案：D11．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 解析：A 中，因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，所以B ＝90°，即只有一解；B 中，因为sinC ＝20sin 60°18＝539，且c ＞b ，所以C ＞B ，故有两解；C 中，因为A ＝90°，a ＝5，c ＝2， 所以b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D. 答案：D12．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( )A.21B.106C.69D.154 解析：设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a 2×4×cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2×cos ∠AMB ②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a 2，所以a ＝106.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝________．.解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0， 得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab 2ab ＝13，所以cos C ＝13.答案：1314．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0＜C ＜π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B . 所以B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a ＜b .所以A ＝π6，C ＝π2.所以sin C ＝1.答案：116．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.解析：如图所示，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km.由正弦定理得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB，所以BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．答案：36三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝45，若b ＝2，△ABC 的面积为3，求tan C .解：由cos A ＝45＞0，知sin A ＝35，△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝3，得c ＝5，由正弦定理得：csin C ＝2sin B，sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以5⎝⎛⎭⎪⎫35cos C ＋45sin C ＝2sin C ，得2sin C ＝－3cos C ，所以tan C ＝－32.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2 A ＝sin B ·sin C ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理得，a 2＝b ·c ，又2a ＝b ＋c ，所以4a 2＝(b ＋c )2，所以4bc ＝(b ＋c )2，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ， 又2a ＝b ＋c 得2a ＝2b ，所以a ＝b ， 即a ＝b ＝c .所以△ABC 为等边三角形．19．(本小题满分12分)已知△ABC 的面积为10 3 cm 2，a ＋b ＝13，C 为60°，求这个三角形的各边长．解：S ＝12ab ·sin C ，所以103＝12ab sin 60°，即ab ＝40，因为a ＋b ＝13，所以a ＝5，b ＝8或a ＝8，b ＝5， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝49， 所以c ＝7.故三角形三边长为a ＝5，b ＝8，c ＝7或a ＝8，b ＝5，c ＝7. 20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17，(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． 解：(1)在△ADC 中，因为 cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝432×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3414437＝3， 在△ABC 中由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49， 所以AC ＝7.21．(本小题满分12分)如图所示，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看塔在正东方向，在点C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离．解：由题意∠CMB ＝30°，∠AMB ＝45°，因为AB ＝BC ＝1，所以S △MAB ＝S △MBC ，即12MA ·MB ·sin 45°＝12MC ·MB ·sin 30°，所以MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理AC 2＝MA 2＋MC 2－2MA ·MC ·cos 75°，所以MA 2＝43－2 2 cos 75°， 设M 到AB 的距离为h ，则由△MAC 的面积得12MA ·MC ·sin 75°＝12AC ·h ， 所以h ＝2MA 22·sin 75°＝22·43－22cos 75°·sin 75°＝7＋5313(km)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B cos C －sin B sin C ＝12. (1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)因为cos B cos C －sin B sin C ＝12， 所以cos(B ＋C )＝12，又因为0＜B ＋C ＜π，所以B ＋C ＝π3，即A ＝2π3. (2)根据余弦定理，得(23)2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，所以12＝b 2＋c 2＋bc ，即12＝(b＋c)2－bc.又b＋c＝4，所以12＝42－bc⇒bc＝4.所以S△ABC＝12bc sin A＝12×4×32＝ 3.。
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数列单元质量评估（一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2，则下列说法正确的是( )A．0是该数列的一项B．4是该数列的一项C．6是该数列的一项D．9不是该数列的一项解析：令a n＝0,4,6,9，分别解出n，若n∈N*，则相应数为数列的一项．答案：B2．在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k等于( ) A．22 B．23C．24 D．25解析：由等差数列的通项公式得a k＝(k－1)d＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)d，∴k＝22.答案：A3．等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于( )A．4 B．8C．16 D．32解析：由等比数列的性质易得a2·a6＝a24＝16.答案：C4．在等差数列{a n}中，有3(a3＋a5)＋2(a7＋a10a13)＝48，则这个数列的前13项之和为( )A．24 B．39 C．52 D．104解析：由3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，利用等差数列的性质化简，得6(a4＋a10)＝48，∴a1＋a13＝a4＋a10＝8，∴S 13＝a1＋a132＝52.答案：C5．等比数列{a n}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于( )A.b9a8B.⎝⎛⎭⎪⎫ba8C.b10a9D.⎝⎛⎭⎪⎫ba10解析：∵{a n}为等比数列，且a9＋a10≠0，∴a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100可构成新的等比数列，且公比为b a ，a 99＋a 100是新数列的第10项，故a 99＋a 100＝(a 10＋a 9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9＝b 9a8.答案：A6．一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是( ) A.12或－12 B ．1 C ．1或－1D ．2或－2解析：设这个等比数列首项为a 1，公比为q ，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝2(a 1＋a 1q )， ∴q 2＋q 3＝1＋q ，即(1＋q )·(1－q 2)＝0，∴q ＝±1，故选C. 答案：C7．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝15， ∴a 6＝3.故选A. 答案：A8．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n .若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：由于数列{S n ＋2}是等比数列，则(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，化简得q 2－3q ＝0，又q ≠0，故q ＝3.答案：C9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．21解析：由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，又S n 有最大值，所以数列{a n }是递减数列，于是a 10>0，a 11<0，且S 19＝19a 10>0，S 20＝10(a 10＋a 11)<0，所以n ＝19.答案：C10．(2012·四川卷)设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋a 1－1＋(a 2－3)3＋a 2－1＋…＋(a 7－3)3＋a 7－1＝14，即(a 1－3)3＋a 1－3＋(a 2－3)3＋a 2－3＋…＋(a 7－3)3＋a 7－3＝0，根据等差数列的性质得(a 4－3－3d )3＋(a 4－3－2d )3＋…＋(a 4－3＋3d )3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3－3d )3＋(a 4－3＋3d )3＋(a 4－3－2d )3＋(a 4－3＋2d )3＋…＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，∴2(a 4－3)[(a 4－3)2＋27d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋12d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋3d 2]＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3)[7(a 4－3)2＋84d 2＋7]＝0，∴a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21，故选D. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝36a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝2，所以a 9＝15.答案：1512．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________. 解析：∵S 12＝21， ∴a 1＋a 122×12＝21，∴a 1＋a 12＝72.又∵a 2＋a 11＝a 5＋a 8＝a 1＋a 12＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝7，故填7. 答案：713．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－…＋(－1)n ＋1·n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.解析：当n 为偶数时，S n ＝－n 2；当n 为奇数时，S n ＝n ＋12.∴S 17＋S 33＋S 50＝17＋12＋33＋12－502＝1.答案：114．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝1－a n (n ∈N ＋)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2006－2S 2007＋S 2008＝________.解析：由a n ＋2＝1－a n ＋1＝1－(1－a n )＝a n ，可得数列{a n }的周期为2，且a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－1，…，∴S 2 006＝1 003×(2－1)＝1 003，S 2 007＝2＋1 003×(2－1)＝1 005，S 2 008＝1 004×(2－1)＝1 004，∴S 2 006－2S 2 007＋S 2 008＝1 003－2 010＋1 004＝－3. 答案：－315．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)表示的数字为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…解析：由图形观察得第一行有1项，第二行有3项，第三行有5项，……，每一行的项数成等差数列{b n }，则前9行的项数之和S 9＝(1＋3＋5＋…＋17)＝＋2＝81，即第10行的第1项为a 82，则第12项为a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1393三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n . (1)求a 1及a n ；(2)判断这个数列是否是等差数列．解：(1)当n ＝1时，由S n ＝2n 2－30n ，得a 1＝S 1＝2－30＝－28；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 ①. 因为a 1＝－28也满足①式，所以a n ＝4n －32.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －32－[4(n －1)－32]＝4，是一个与n 无关的常数，依据等差数列的概念可知数列{a n }是等差数列．17．(本小题12分)已知等差数列{a n }的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n }中取出第2项，第4项，第8项……，第2n 项，……，依原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式和前n 项和公式．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝8，得a 1＋d ＝8. 由S 10＝185，得2a 1＋9d 2×10＝185.解得a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，∴b n ＝3×2n＋2，其前n 项和S n ＝3(2＋22＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为a 1，公比为q (q ≠1)的正项等比数列，前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4，设b n ＝q －S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若能，求出a 1的值；否则，请说明理由．解：(1)由已知得，5×a 11－q (1－q 2)＝4×a 11－q (1－q 4)，又a 1>0，q >0且q ≠1，解得q ＝12. (2)由(1)得S n ＝a 1[1－12n]1－12＝2a 1－a 1·(12)n －1，b n ＝q －S n ＝12－2a 1＋a 1·(12)n －1.若{b n }是等比数列，则12－2a 1＝0，即a 1＝14，此时，b n ＝(12)n ＋1是等比数列，所以存在实数a 1＝14，使数列{b n }是等比数列．19．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)． (1)求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝2n －1·a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，设公差为d .由2a 5＝a 3＋a 7＝18，得a 5＝9，又a 1＝1，故d ＝2，所以a n ＝2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)c n ＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n＝－(2n －3)·2n －3，所以T n ＝(2n －3)·2n＋3.20．(本小题13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型公交车和混合动力型公交车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后每年电力型公交车的投入比上一年增加50%，混合动力型公交车比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设今年为第1年，a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合型公交车的数量，则数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列；数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝256[(32)n－1]；设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝400n ＋12n (n －1)a .经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋12n (n －1)a .(2)若用7年时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，即256[(32)7－1]＋400×7＋21a ≥10000，解得a ≥3 08221，又a ∈N *，所以a 的最小值为147.21．(本小题14分)已知数列{a n }，设S n 是数列的前n 项和，并且满足a 1＝1，对任意正整数n ，有S n ＋1＝4a n ＋2.(1)令b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2,3，…)，证明{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求c n ＝b n3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2) ＝4(a n －a n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)．① 由题意知b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＋1＝a n ＋2－2a n ＋1.∴b n ＋1＝4(a n ＋1－a n )－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋1－2a na n ＋1－2a n＝2(n ∈N ＋)，∴{b n }是等比数列，公比q ＝2. 又∵S 2＝4a 1＋2，∴a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴1＋a 2＝4＋2，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝5－2＝3， ∴b n ＝b 1·qn －1＝3·2n －1.(2)∵c n ＝b n3＝2n －1，∴1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1＝1n ＋n ＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。