华东师大版九年级上册数学24.4第1课时解直角三角形及其简单应用
(秋)九年级数学上册 24.4 解直角三角形教案 (新版)华东师大版
课题
24.4解直角三角形(1)
课型
新授课
第1课时
教学
目标
知识与能力
理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形养学生分析问题解决问题的能力
情感态度与价值观
在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法
解：（略）
五、归纳小结、巩固练习
1、解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程
2、解直角三角形的类型：1、已知两条边2、已知一条边和一个角
3、在解题前：（1）图形（2）根据已知分清类型
4、练习：书113EX1、2
板书
24.4解直角三角形(1)
引入解直角三角形例1：
探究例2：
解直角三角形的类型
两锐角互余：（角与角的关系）
锐角三角函数：sinA= cosA= tanA=
sinB= cosB= tanB= (边角关系)
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形
二、提出问题、探索新知
在解直角三角形中，只有下面2种情况：
1、已知两条边
2、已知一条边和一个角
（交流讨论如何解直角三角形）（分类讨论思想）
作业设计
:1、书117习题1题
2、练习册69-70页
教后
反思
试一试：
在RT△ABC中，∠C=90°，由下列条件解RT△ABC：
（1）
（2）∠A=30°，a=106
三、合作交流、尝试练习
例1：如图(书112图24.4.1)一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？
分析：图形已知2边，求第三边（勾股定理）
华东师大版 九年级上册 24.4 解直角三角形 (18张PPT)
夹角BCA 600 ,测得BC 7m,则桥长AB ____ 米（结果精确到1米）
A
D
A
B 2019/11/18
300 C
B
C
A
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东300 方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔P的南偏东450
方向上的B处，海轮所在的B处与 P
想一想：已知两边怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
C
AA
2019/11/18
例2:虎门威远的东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入 侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台 B测得敌舰C在它的正南方，试求: (1)敌舰C与炮台A的距离; (2)敌舰C与炮台B的距离.(精确到1米）
（sin 500 0.7660; cos500
0.6428; tan 500 1.1918)
想一想：已知一边一锐角怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
2019/11/18
勾股定理
解 已知两边
直 角
边角关系
三
角
两锐互余角
形 已知一边 关系
一锐角 边角关系
2019/11/18
第三边
至
少
一
锐角度数 个
条
另一锐角 件
是
边
另两边
1.如图，AC是电线杆的一根拉线，测得AB 8米，ACB ,
则A C的长是 _______.B C的长是 _____
(用含的三角函数表示）
A
12
2019/11/18
B
C
2.某海船以32.6海里 / 时的速度向正北方向航行， 在A处看灯塔Q在海船的北偏东300 方向处，半 小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的 距离最短.求灯塔Q到B的距离.(画出图形后计算， 精确到0.1海里）
九年级数学上册24.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用习题华东师大版
出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)， D 则四名同学所放的风筝中最高的是( )
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线 140 m 100 m 95 m 90 m 长 线与地面夹 .甲 B．乙 C．丙 D．丁 30° 角 45° 45° 60°
16．一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 40 2海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30
九年级上册数学（华师版）
第24章 解直角三角形
24．4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其简单应用
知识点一：已知两边解直角三角形 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 7，AC＝ 21，则∠A 的度 数为(
D
)
A．75° B．60° C．45° D．30° 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 BC∶AC＝3∶4，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，则 tan∠DBC 的值为( B ) 1 1 3 4 A.3 B.2 C.5 D.5
(40＋40 3) °方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为______________海
里．(结果保留根号)
17．如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求 AB 的长．
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∴∠ADC＝∠ BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝ 45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2 3， ∴CD＝ 3， ∴BD＝CD＝ 3， 由勾股定理得 AD ＝ AC2－CD2＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3
C
)
A．asin40°米 B．acos40°米 a C．atan40°米 D. tan40°米
华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形的方法口诀
解直角三角形的方法口诀
口诀(一)
已知一边一锐角，求其余边和余角．
求出它们很是绕，概括三句口诀妙．
求直角边用乘，求斜边用除灵．
是对边用正，是邻边用余．
有斜边用弦，无斜边用切．
[注]：余边、余角即其余边和其余角．已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除．当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦．已知一直角边求另一直角边用正切和余切．
口诀(二)——选用关系式
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便．
已知直边求直边，正切余切理当然．
已知两边求一边，勾股定理最方便．
已知两边求一角，函数关系要选好．
已知锐角求锐角，互余关系要记牢．
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
计算方法要选择，能用乘法不用除．
1 / 1。
华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形教学设计
4.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解题能力。
5.注重知识间的联系，引导学生将解直角三角形与勾股定理、相似三角形等知识进行整合，形成完整的知识体系。
（三）情பைடு நூலகம்态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的欲望。
3.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
难点：激发学生的创新思维，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设与学生生活密切相关的问题情境，引导学生主动探究解直角三角形的原理和方法。
（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题，通过合作、讨论、探究等方式解决问题，培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
2.教学内容：针对学生的个体差异，进行个性化辅导。
教学过程：关注学生的解题过程，针对不同学生的需求，给予个性化的辅导和指导。鼓励学生提问，解答学生的疑惑，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的重点知识进行梳理和总结。
教学过程：教师带领学生回顾本节课所学的知识点，如解直角三角形的原理、三角函数的应用、计算器使用等。通过提问、解答等方式，强化学生对知识点的记忆。
（3）优秀学生：完成课本习题24.4第5题，并撰写解题报告，探讨解直角三角形在实际问题中的应用。
5.预习作业：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，规范书写，确保解题过程的准确性。
2.鼓励学生在解题过程中相互讨论、交流，提高解题效率。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用教案新版华东师
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用教案新版华东师大版12第1课时 解直角三角形及其简单应用1．理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点)2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝ac，即c ＝acos B＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123；(2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝ab ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．【类型二】 构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BMtan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210.方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．探究点二：解直角三角形的简单应用 【类型一】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB AC，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.答：AB 的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．【类型二】 求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt △ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153cm ，∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的简单应用.本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.。
24.4解直角三角形第1课时课件华东师大版九年级数学上册
B
53°7′ C
1．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝
AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为
（ C）
（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．8.10cm
B．11.22cm
C．9.18cm
D．16.02cm
D
B
本题是已知两直 解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的角长边度，为 求斜边.
13 + 5 = 18（米）. 答：大树在折断之前高18米.
在直角三角形中，由已知元素求 出未知元素的过程，叫做解直角 三角形.
如图，在相距2 000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C， 在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C 在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
∴ BC = AB • tan ∠CAB = 2 000 × tan 50°≈ 2 384（米）.
本题是已知两直 角一边、一锐角，
求其他两边.
总结归纳
解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角.
在电线杆离地面8 米高处向地面拉一条缆绳，缆绳和地面成53°7′ 角，求该缆绳的长及缆绳地面固定点到电线杆底部的距离.（精确 到0.1米）
定义
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程
解
三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）
直
角
依据
锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90º
三
角
形
情况
（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
九年级数学上册24.4.1解直角三角形及一般应用学案华东师大版
解直角三角形及一般应用一、学习目标1.理解直角三角形中六个元素之间的关系？2.知道什么是解直角三角形，解直角三角形的工具是什么以及怎样应用？ 二、学习重点重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、自主预习 （一）旧知回顾 1.特殊角的三角函数？四、合作探究 （一）定义1.什么是解直角三角形？2．在三角形中共有几个元素？3．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=ba (2)三边之间关系a 2+b 2=c 2(勾股定理) (3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°（二）已知直角三角形两边解直角三角形例1.在直角三角形中，∠C=90°，c=34,32 a 解这个直角三角形？（三）已知直角三角形的一边和一个锐角解直角三角形例2.在直角三角形中，∠C=90°，∠B=60，a=8求这个直角三角形的其他边和角？（四）利用直角三角形的知识解决非直角三角形例3.如图所示，在三角形ABC 中，∠B=45，∠C=30，BC=333 ，求AB 的长？五、巩固反馈1.在等腰三角形ABC 中，AC=AB, ∠A=30,AB=12，则AB 边上的高为（ ） A.6 B.36 C.32 D.不能确定2.在三角形ABC 中，AB=2，AC=2,∠B= 30则∠BAC=____________.3.如图三角形ABC 中∠A=45,∠B=30,BC=8，求∠ACB 的度数及AB 、AC 的长。
AC BCB A中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7【答案】C【解析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．【详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．2．关于x的不等式2(1)4xa x＞＜-⎧⎨-⎩的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3D．a≤3【答案】D【解析】分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，解不等式a-x＜0，得：x＞a，∵不等式组的解集为x＞3，∴a≤3，故选D．点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．3．下列计算或化简正确的是（）A．= BC 3=-D 3=【答案】D【解析】解：A ．不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B =，故B 错误；C 3=，故C 错误；D 3===，正确． 故选D ．4 ） A ．±4 B ．4C ．±2D ．2【答案】B表示16的算术平方根，为正数，再根据二次根式的性质化简．4=， 故选B ． 【点睛】本题考查了算术平方根，本题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数算术平方根有一个，而平方根有两个．5．下列计算正确的是（ ） A ．（a+2）（a ﹣2）＝a 2﹣2 B ．（a+1）（a ﹣2）＝a 2+a ﹣2 C ．（a+b ）2＝a 2+b 2 D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2【答案】D【解析】A 、原式=a 2﹣4，不符合题意； B 、原式=a 2﹣a ﹣2，不符合题意； C 、原式=a 2+b 2+2ab ，不符合题意； D 、原式=a 2﹣2ab+b 2，符合题意， 故选D6的值在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【答案】B【解析】分析：直接利用23，进而得出答案．详解：∵2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，故选B．点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出7的取值范围是解题关键．7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【答案】B【解析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴1.5 150.5x，解得x=45（尺），故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．8．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是()A．B．C．D．【答案】B【解析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B ． 【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.9．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（ ） A ．0.96a 元 B ．0.972a 元C ．1.08a 元D ．a 元【答案】B【解析】提价后这种商品的价格=原价×（1-降低的百分比）（1-百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．【详解】第一次降价后的价格为a×（1-10%）=0.9a 元， 第二次降价后的价格为0.9a×（1-10%）=0.81a 元， ∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）=0.972a 元， 故选B ． 【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．10．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2ba＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×1． 【解析】将9600000用科学记数法表示为9.6×1． 故答案为9.6×1．12．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm ． 【答案】1．【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r ， 根据题意得1πr=0208161π⨯，解得r=1，即圆锥的底面圆半径为1cm ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．13= . 【答案】２【解析】根据算术平方根的定义，求数a 的算术平方根，也就是求一个正数x ，使得x 2=a ，则x 就是a 的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.【详解】∵22=4【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.14．二次函数()2y ax bx c a 0=++≠中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：则2ax bx c 0++=的解为________． 【答案】x 2=-或1【解析】由二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x 轴的另一个交点．继而求得答案. 【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2）， ∴此抛物线的对称轴为：直线x=-12， ∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x 轴的另一个交点为：（-2，0）， ∴ax 2+bx+c=0的解为：x=-2或1． 故答案为x=-2或1.【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键. 15．如图，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ．若S 1表示以PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB 、宽是PB 的矩形的面积，则S 1_______S 2.（填“＞”“="”“" ＜”）【答案】=．【解析】黄金分割点，二次根式化简．【详解】设AB=1，由P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ， 根据黄金分割点的，51-，BP=51351--= ∴21151353535S S 12222⎛⎫-===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭S1=S1． 16．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 【答案】四【解析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n 边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：设边数为n ，根据题意，得 （n-2）•180=360， 解得n=4，则它是四边形． 故填：四. 【点睛】此题主要考查已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．17．如果点P 1(2，y 1)、P 2(3，y 2) 在抛物线22y x x =-+上，那么 y 1 ______ y 2.（填“>”，“<”或“=”）. 【答案】>【解析】分析：首先求得抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=1，利用二次函数的性质，点M 、N 在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，得出答案即可．详解：抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=﹣22-=1．∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，1＜2＜3，∴y 1＞y 2．故答案为＞．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．18．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．【答案】1【解析】根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算即可．【详解】∵a+b＝3，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC5=，tanB12=，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．求证：AB为⊙C的切线．求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)1-π.【解析】（1）解直角三角形求出BC，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CF，根据切线的判定得出即可；（2）分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积，即可得出答案．【详解】（1）过C作CF⊥AB于F．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC5=，tanB12ACBC==，∴BC＝25，由勾股定理得：AB22AC BC=+=1．∵△ACB的面积S1122AB CF AC BC=⨯⨯=⨯⨯，∴CF5255⨯==2，∴CF为⊙C的半径．∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE219025252360π⨯=⨯⨯-=1﹣π．【点睛】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．20．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．求出y与x之间的函数关系式；写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：1205014030k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：1170kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+170；（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W有最大值2．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．21．先化简，再求值：2214422x x xx x x x-÷-++++，其中21．21．【解析】试题分析：试题解析：原式=2221 (2)2x x xx x x+-⨯-++=122 x xx x--++=12 x+当x=21-时，原式=121 212=--+.考点：分式的化简求值．22．解方程：252112xx x+--＝1．【答案】12 x=-【解析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解.【详解】原方程变形为253 2121xx x-=--，方程两边同乘以（2x﹣1），得2x﹣5＝1（2x﹣1），解得12x=-．检验：把12x=-代入（2x﹣1），（2x﹣1）≠0，∴12x=-是原方程的解，∴原方程的12x=-．【点睛】本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根. 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．求证：DE是⊙O的切线；若AD＝16，DE＝10，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15.【解析】（1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连结OD，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∵∠ADE=∠A，∴∠ADE+∠BDO=90°，∴∠ODE=90°．∴DE是⊙O的切线；（2）连结CD，∵∠ADE=∠A，∴AE=DE．∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．∴EC是⊙O的切线．∴DE=EC．∴AE=EC，又∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，22-=201612设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴22+=.12915【点睛】考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.24．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求证：∠EAC ＝∠DEB ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）用“SSS”证明即可；（2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB ＝∠EAC ，再利用三角形内角和定理求出∠DEB ＝∠DAB ，即可说明∠EAC ＝∠DEB ．【详解】解：（1）在△ABC 和△ADE 中AB AD AC AE BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABC ≌△ADE （SSS ）；（2）由△ABC ≌△ADE ，则∠D ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ．∴∠DAE ﹣∠ABE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，即∠DAB ＝∠EAC ．设AB 和DE 交于点O ，∵∠DOA ＝BOE ，∠D ＝∠B ，∴∠DEB ＝∠DAB ．∴∠EAC ＝∠DEB ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用．25．有A 、B 两组卡片共1张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【答案】（1）P （抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P=13； （2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=42 63 =，乙获胜的情况有2种，P=21 63 =，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．26．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长.【答案】（1）证明见解析；（2）BP=1.【解析】分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．详（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴AP AOAD AB=，即1241BP+=，∴BP=1．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某青年排球队12名队员年龄情况如下：年龄18 19 20 21 22人数 1 4 3 2 2则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A．20，19 B．19，19 C．19，20.5 D．19，20【答案】D【解析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为20202=1．故选D．【点睛】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．2．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【答案】B【解析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B．3．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．12B．24C．14D．13【答案】D【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=13 CDBD=，∴tanB′=tanB=13．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．4．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AG BF BE=，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴2∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．5．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<【答案】D【解析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，∴r 的取值范围是3＜r ＜4，故选：D ．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 6．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h 与t 的关系变为先快后慢．【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t 之间的关系分为两段，先快后慢。
华师大版九年级数学上册课件：24.4解直角三角形(1)
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向
航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处
半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船
的距离最短，求 (1)从A处到B处的距离;
B
Q
(2)灯塔Q到B处的距离
（画出图形后计算，
精确到 0.1 海里）
30°
北
西
东
A
南
小结
①定义：在直角三角形中，由已 知元素求出 未知元素的过程，叫做解直角三角形;
②在解决实际问题时,应“先画图,再求解”
③解直角三角形，只有下面两种情况可解： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角。
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午6时6分41秒18:06:4122.4.12
24.4 解直角三角形
三边之间关系 锐角之间关系
图 19.3.1
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
边角之间关系
sin
A
A的对边 斜边
BC AB
cos
A
A的邻边 斜边
AC AB
(以锐角A为例)
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
cot
A
A的邻边 A的对边
AC BC
练习:
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,
AB=13,则有
①根据勾股定理得:
A
BC=__1_3_2_-_1_2_2 _=___5___
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灿若寒星
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素．
A
b
c
Ca B
灿若寒星
当堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC
α =75°
A
C
A B 90 B 90 A 90 75 15 .
灿若寒星
在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？ B
AB2 AC2 BC2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5
灿若寒星
对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地
面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC
＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于 cos a AC 2.4 0.4 AB 6
B
利用计算器求得 a≈66°
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子 与地面所成的角大约是66°.
问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，
斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
B
由 sin A BC 得
AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
cos A AC cos A 2.4 0.4 A 66
AB
6
6
α A 2.4 C
A B 90 B 90 A 90 66 24
灿若寒星
问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地 面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
所以∠A≈5°28′
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
灿若寒星
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多 少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
解： sin B b c
b c sin B 14 sin 72 13.3
cos B a c
a c cos B 14 cos 72 4.33
A 90 72 18
灿若寒星
A c=14 b B aC
4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾 斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米?
灿若寒星
a
tanA=____b_.
灿若寒星
讲授新课
一 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用
比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直
中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点
C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝
54.5m.
CB
sin A BC 5.2 0.0954 AB 54.5 A
B
解：根据勾股定理
c a2 b2 302 202 10 13
tan A a 30 3 1.5 b 20 2
A 56.3 B 90 A 90 56.3 33.7
c a=30
A b=20 C
灿若寒星
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14.
这个直角三角形.
A
6 ,解
解： tan A BC 6 3
AC 2
A 60
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
灿若寒星
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线 AD 4 3 ，解这个直角三角形.
B
B的对边 斜边
b c
Ca
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
灿若寒星
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出 直角三角形.
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
CAD 30
A 6 43
因为AD平分∠BAC
CD
B
CAB 60, B 30
AB 12, BC 6 3
灿若寒星
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
α
A
C
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
灿若寒星
二 已知一边和一锐角解直角三角形
在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
sin A BC BC AB sin A 6 sin 75 AB
B 6
cos A AC AC AB cos A 6 cos 75 AB
灿若寒星
导入新课
观察与思考
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中 ∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
(1) 三边之间的关系:a2+b2=___c_2_；
B
c
a
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=__9_0_°_； A
bC
a
b
(3)边角之间的关系：sinA=___c__，cosA=___c__，
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
九年级数学上（HS） 教学课件
24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其简单应用
灿若寒星
学习目标
1.会运用勾股定理解直角三角形；（重点） 2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三
角形；（重点） 3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点）
解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时， A
B
C
答：梯子的长至少3.5米
灿若寒星
课堂小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a2
b2c来自2（勾股定理） A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin