高中数学课时跟踪训练九椭圆的几何性质苏教版选修1_1

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高一数学课时跟踪检测(全一册) 苏教版必修

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABCA′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCDA1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二）圆柱、圆锥、圆台和球层级一学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图．解：作法：(1)画六棱锥P ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ABCDEF 的直观图六棱锥P A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

高级技术培训作业1苏教版普通高中课程实验教科书数学选修1-1《椭圆的几何性质》

十、教学反思
本节课中，通过创设情境、探究活动、交流展示等一系列体验式活动的设计，教师引导学生循序渐进的学习椭圆的几何性质，让学生在探究活动中获得椭圆的几何性质，深刻理解椭圆的几何性质。充分发挥了学生的主观能动性，调动了学生的学习积极性。学生从课前准备，课堂练习，探究椭圆圆扁程度时无不体现动手能力，能准确画出图形对分析、解决问题有很大的帮助。做练习时有的同学作图不规范，或者不美观。这方面还需要练习，要加强检查力度。
c
学生听讲。
教师给出表格，学生完成 y2 x2 1(a b 0) a2 b2 的几何性质。
利用 a、b、c 的数量关系解答。
这是对学生来说是个难点，教师要讲解透彻，学生要专心听讲。
培养学生用类比思想解决问题的能力。
学生在练习本上答题，进一步巩固椭圆的几教师用班级优化大师何性质，方程思想、点名随机抽取学生练分类讨论思想。同时习，用实物展台投影让学生学会交流与分抽到学生的作业，大列条件的椭圆的标准方程. （1）经过点 P（-3,0）， Q（0，-2）；（2）焦点在 y 轴，长轴长是短轴长的 3 倍，且椭圆经过点 P（3,0）；（3）长轴长等于 20，离
心率 e 4 ； 5
本课小结
（4）椭圆 x 2 y 2 1 ， 4m
离心率 e 1 ，求实数 2
五、教学方式选择与规划
本项目的学习采用自主学习与合作交流相结合的方法来研究椭圆的简单几何性质，使学生经历数学发现的过程，培养学生探究能力和逻辑思维能力。实施前，分好小组，各小组成员分工明确。实施中，在椭圆的范围、椭圆的对称性、椭圆的顶点研究中，都是从椭圆方程出发开展研究活动，培养学生利用方程研究曲线性质的能力。实施后，设计学习过程评价量规和电子档案袋等形式对学生进行实时评价。

苏教版数学高二-苏教版选修1-1第二章导学案椭圆的几何性质1

2.2.2 椭圆的几何性质一、学习目标1．掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；2．明确标准方程中a ，b 的几何意义.二、自我构建若椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)． 1．范围：方程中x 、y 的取值范围分别为______________．2．对称性：从图形上看，椭圆关于________、________和________对称，_______是椭圆的对称轴，_______是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做________________．3．顶点：椭圆的四个顶点坐标为_______________________________．长轴长为________，短轴长为________．三、学以致用例1.求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．．例2.求符合下列条件的椭圆的标准方程(焦点在x 轴上）：（1）焦点与长轴较接近的端点的距离为（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0）．四、总结提高 1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．五、同步反馈1.椭圆22194x y +=的长轴长为________，短轴长为______，焦点坐标为____________，顶点坐标为____________.2．点A （3a ，1）在椭圆22192x y +=的外部，则a 的取值范围是 . 3．根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 ;（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4 ;（3）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为 1 ;（4）中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程为4.已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________．5．设0<k<9，则椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的________． 6．已知点(m ，n )在椭圆9x 2＋3y 2＝81上，求2m ＋4的取值范围。

苏教版高中数学选修1-1《椭圆的几何性质》教学教案1

椭圆的几何性质学习目标：1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

学习重点、难点：重点：掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；难点：从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。

学习策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在学习过程中根据实际情况及时地调整学习方案。

学习过程：创设问题情景，学生自主探究：方程221625400x y +=表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程：情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出c b a ,,，联想椭圆画法，利用绳子做图；情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。

教师点评：（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。

教师板书：椭圆的简单几何性质一、引导评价，引入课题：设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程22221(0)x y a b a b+=>>有什么特点？（1）椭圆方程是关于y x ,的二元二次方程；（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数1；（3）方程中2x 和2y 的系数不相等；设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：学生活动过程：情形1：12222=+b y a x 变形为：a x a a x a x a x b y ≤≤-⇒≤⇒≤≥-=22222201，这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围：a x a ≤≤-同理，我们也可以得到y 的范围：b y b ≤≤-情形2：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122≤ax ，同理可以得到y 的范围设计意图：（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征（1）和（2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。

高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》

学习目标：1.理解椭圆的第二定义,掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义,进一步理解离心率e 的几何意义.2.进一步全面地理解椭圆的几何性质及其简单应用,加深对两种定义的等价性的理解. 一、巩固练习：1、回忆椭圆的简单几何性质：2、求满足下列椭圆的标准方程：（1）32,8==e c ；（2）过点36),0,3(=e二、自学课本112110-P ,记下重点，并积极思考。

三、自我检测： 1、课本103P 7。

2、求下列椭圆的焦点坐标和准线方程：（1）13610022=+y x ；（2）8222=+y x 。

四、提问答疑：五、例题分析：1、椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离等于25，那么P 到右焦点的距离是。

2、已知椭圆12222=+by a x (a >b >0)上一点P 的横坐标为0x ，两焦点为1F 、2F ，离心率为e ，求||1PF ，||2PF 的长。

六、课外作业：1、椭圆1162522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离等于3，求它到相应准线的距离。

2、点P 与定点)0,2(F 的距离和它到定直线8=x 的距离的比是2:1，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

3、已知地球运行的轨道是长半轴长km a 81050.1⨯=，离心率0192.0=e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最短距离。

4、点P 与椭圆112132222=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为3:2，求点P 的轨迹方程。

5、在椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的3倍，则P 的坐标为。

★6、方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 的曲线是（） A.椭圆 B.线段 C.抛物线 D.无法确定★7、设)3,2(-P ，F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上运动，当||35||MF PM +取得最小值时，求M 点的坐标。

高中数学椭圆的几何性质(1)教案苏教版选修1-1

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

江苏省高级中学(苏教版)高中数学选修1-1学案：2.2.2 椭圆的几何性质

课题：§2.2.2 椭圆的几何性质【学习目标】1.掌握椭圆的简单的几何性质.2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法.3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【学习重点】椭圆几何性质及其简单应用【学习难点】椭圆几何性质及其简单应用【学习过程】一．问题情境1.解析几何研究哪两个问题？2.前面我们学习如何建立椭圆方程，这节课研究椭圆有哪些性质.（离心率对椭圆形状的影响）例2：求下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点(2,0)P -和(0,3)Q -；（2）长轴是短轴的3倍，且过P （3,0）；（3）过点，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点；（4）中心在原点，对称轴都在坐标轴上，且过点)2.3(-,离心率为33。

例3：(1)已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4，求椭圆离心率；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,求此椭圆的,离心率。

（3）已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.例4.椭圆 12222=+by a x )0(>>b a 的两个焦点分别为21,F F ，短轴的一个端点为P.(1) 若21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率；（2）若21PF F ∠为钝角，求椭圆的离心率的取值范围.四．回顾小结五.课堂检测1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4（3）对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6（4）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 2.设F 是椭圆的一个焦点，1B B 是短轴，160B FB ∠=,求椭圆的离心率.3.已知椭圆短轴上的两个三等分点和两个焦点构成一个正方形，求椭圆离心率.4.求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 5. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．。

2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1 课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质

一、填空题二、单选题2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练(九)　椭圆的几何性质
1. 设椭圆C ：(a >b >0)的左、右焦点分别为和，P 是C 上的点．，，则C 的离心率为_______________.
2. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于，则C 的方程是________．
3. 曲线与曲线()的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)
4. 已知
、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．
三、解答题5.
已知椭圆
（）的离心率是，过椭圆上一点M 作直线，分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为，，若点A ，B 关于原点对称，则
的值为（）.A ．B ．C ．D ．
6. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率，经过点
7. 已知椭圆
的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
8. 若椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，点是椭圆上的一点，在轴上的射影恰为椭圆的左焦点，与中心的连线平行于右顶点与上顶
点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于，试求椭圆的离心率及其方程．
，求椭圆的标准方程．
2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练(九)椭圆的几何性质。

高中数学椭圆复习课教案苏教版选修1-1

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修1-1教案：椭圆复习课教学目标掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质重点难点椭圆的定义、标准方程及几何性质教学过程【自主梳理】椭圆的定义：平面内一点P 与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数.即|PF 1|+|PF 2|=2a （a>0).(1)若2a>|F 1F 2|,则点P 的轨迹为 ;(2)若2a=|F 1F 2|,则点P 的轨迹为 ;(3) 若2a<|F 1F 2|,则点P 的轨迹为 .2)平面内点P 与定点F 的距离和它到定直线l 的距离d 的比是常数e ∈ 的点的轨迹叫做椭圆.定点F 为椭圆的，定直线l 为椭圆的 .【自我检测】1．已知椭圆满足3,4==b a ，焦点在X 轴上，则其方程为________________.2．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为2/3，短轴长为58，则椭圆方程为________________.3．椭圆400162522=+x x 的长轴长为__________，短轴长为____________，顶点坐标为_____________，焦点为____________，离心率为____________. 4．设椭圆15322=-+-ky k x 的焦点在x 轴上，，则k 的范围为________________. 5．椭圆12522=+k y x 的焦距是4，则k=_______，椭圆1422=+ky x 的离心率12，则k=________________.6．若2,1F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过1F 做直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF ∆的周长为________________.二、课堂活动：【例1】填空题：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0),(4,0)-，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，则椭圆的标准方程是_____________.（2）焦点在坐标轴上，且经过(3,2)A -和(23,1)B -两点的椭圆的标准方程是___________.（3）ABC ∆的两个顶点坐标分别是(0,6)B 和(0,6)C -，另两边,AB AC 的斜率的乘积是49-，则顶点A 的轨迹方程是_______________．（4）一动圆与已知圆221:(3)1O x y ++=外切，圆222:(3)81O x y -+=内切，则这动圆圆心的轨迹方程是_______________．【例2】准备一张纸片（如图1）（其中点表示圆心，点表示圆内除点以外的任意一点。

苏教版高中数学选修(1-1)课件椭圆的几何性质1

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3、判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴，y轴或原点对称
(1)3x 8 y 1
2 2
y (2) x 1 3 2
2
2
(3) x 2 y 1
(4) x 2 xy y 0
2
(5) x 2 xy y 0
2 2
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练习二:
1.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?
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练习一：
1、说出下列椭圆的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x y (1) 1 16 4
2
2
x y (2) 1 9 16
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2
2
x2 y 2 1 2、已知点P2(3 ，6) 2 在上,则() a b
(A)点(-3,-6)不在椭圆上
(B)点(3,-6)不在椭圆上 (C)点(-3,6)在椭圆上 (D)无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上
2
2
A1 A2 F F2 3. 当三等分长轴时 ,求离心率 ; 1,
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x y 2a>b>0 1 ）例1:如图：椭圆（ 2 a b
当为直角三角形时,求其离心率.
B2 F1 F2
2
2
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变式:
(1) 当为正三角形时 ,求其离心率; B 1 B2 F2
F1 B1 F2 B2 (2)当四边形为正方形时 ,求其离心率;
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（3)过作椭圆的焦点作长轴的垂线交椭圆于点P, 若为等腰直角三角形 ,求其离心率; F F P 1 2
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（4）从椭圆上一点Q作长轴的垂线，垂足为焦点，且OQ//A2B2，求其离心率;
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高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练：(九)椭圆的几何性质Word版含解析

PF2 F1F 2PF 1F 2 30CF(1,0)2 2x y- 12592 X21(k<9)(25 k9 k)2 2a b a b1(a>b>0).6 ~3MMA MBA Bk 1 k 2A Bk 1•(2 F 1 F 22 2 E x2七 a b1(a b0)P3ax230EXe 3 5A 专2)x 2 (m 3)y 2m(m>0)xPO帧V 522C X 2 b 21(a>b>0)F iF2 P1C2345 F 2PF 1678答案1.解析：法一：由题意可设|PF 2|= m ,结合条件可知|PF 1|= 2m , |F 1F 2|= ,3m ，故离心率 e _ c _ 2c ____ FF2 _______ 如 _^3a 2a |PF i |+ |PF 2| 2m + m 3 -b 2法二：由PF 2丄F I F 2可知P 点的横坐标为c ,将x = c 代入椭圆方程可解得 y =里，所 a2 -以 |PF 2| = b•又由/ PF I F 2= 30° 可得 |F i F 2|= ,3|PF 2|,故 2c = .3 b ,变形可得3(a 2— c 2)= 2ac ,a a 等式两边同除以a 2,得、J3(1 -e 2)= 2e ,解得e =£或e = —-J 3(舍去).3答案：132.解析: 2 2依题意，设椭圆方程为 1(a > b > 0)，所以c = 1, c = 1 a = 2， 2 2 2c = a — b ,解得a 2 =4, b 2= 3.2答案：7 +1 = 14 32 y_3.解析：c 2= 25 — k — (9 — k) = 16, c = 4•故两条曲线有相同的焦距. 答案：焦距4.解析：设点2 22 2 b X 2 2M(x , y), A(X 1, y”, B( — X 1,—y”，贝U y = b — _T , y 2= b — ~2 a a越所以 2 2 y —y ik 1 k 2= j 宁=r 一x — X 1 x + X 1 x — X 12 2 %=1 = e 2— 1 = — ■，即卩 k 1 k2 的值为一~.3a5.解析：设直线x =罗与x 轴交于点M ，则/ PF 2M = 60 °.由题意知，F 1F 2= PF ?= 2c ,F 2M =岁—c.在 Rt A PF 2M 中，F 2M =評2,即即号—c = c.「. e =f = 3答案：3 46.解：设椭圆的标准方程为xxiy 2 75 4孑+ 孑=1(a>b>0)，贝U 4^2+ b^= 1.①由已知 e = 5, • a = 5, • c = |a.• b 2= a 2— c 2= a 22,即b2 =紧2②75 4 x 25把②代入①，得害+击=1 , 解得a 2= 25,「. b 2= 16,「.所求方程为2 27.解：椭圆方程可化为m +—汁=1,m + 3• a 2= m , b 2 = ^^m + 3'm + 2 3=_ ,解得 m = 1 , m + 3 22•椭圆的标准方程为x 2+y = 1.4• a = 1, b =1, c=^' 2' 2 -•••椭圆的长轴长为 2,短轴长为1, 两焦点坐标分别为 F 1A 2(1,0),B 1 0, — 1 , B 2 0,• b = c.而 a 2= b 2 + c 2= 2C 2,「. a = 72C ,.・.e = :=^・又T a — c = ,10— ,5，解得 a =[110, c = ■ 5,「. b = ；5,2 2x- y- 1 10 5顶点坐标分别为 A i ( — 1,0),2占=1(a > b > 0),2x &解：令x = — C ,代入孑+2b 4得 y 2= b 2(1 — j)=孑，• y =±".、几b 2设P( — c ,；),椭圆的右顶点 A(a0)，上顶点B(0, b).b 2•「OP // AB , • k op = k AB ,b ac a '2 2x- + y- = 1. 25 16• c = a 2— b 2=m m + 2 m + 3 .由e =于得 2.。

【数学】高中苏教版选修1-1课时训练222椭圆的几何性质.doc

・、填空题X X 1X V1. 若椭圆应+?= 1的离心率&=§，则&的值为2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在/轴上，长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是 _____________・3. 己知椭圆的焦点在/轴上，长、短半轴之和为10,焦距为4书，则该椭圆的标准方程为4. 设椭圆的两个焦点分別为斤、F2,过尺作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P •若\F\F2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ________ •5. 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为 _________ .2 2 2 26. 已知两椭圆合+彳=1与古+#7=1⑼，则它们有相同的 ____________________ •2 27. ____________________________________________________________________ 若尽用是椭圆C ：专+寸=1的焦点，则在Q 上满足/竹丄处的点/啲个数为 ___________________2 28. 若椭圆宇+$=1（曰>方>0）焦距的一半为c,直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则该椭圆的离心率为 ________ ・9. 已知点（/〃，刀）在椭圆8/+3/=24±,则2/〃+4的取值范围是 ______________ . 10. 一条线段的长等于10,两端点力、〃分别在“轴和y 轴上滑动，点〃在线段力〃上且AM = 4MB ,则点於的轨迹方程是 _____________2 211. F （C,O ）是椭圆4 + 4 = l （d > b > 0）的一个焦点，尸与椭圆上点的距离的最大值为/〃,0 lrI rB 是圆F ：卜二+卄4 （尸为圆心）上-动点，线段初的垂直平分线交〃F 于点P,则动点"的轨迹方程为椭圆的几何性质m 4- n最小值为"则椭圆上与点尸距离为丁的点坐标是 _______________12.已知 --,02二、解答题13.如图，椭圆花+寸=1的左、右焦点分别为幷、用，一条直线/经过幷与椭圆交于力、〃两点.⑴求△/!阴的周长；(2)若直线/的倾斜角为45°,求△/!处的面枳.w 6X V14.如图，点畀、〃分别是椭圆—=1长轴的左、右顶点，点厂是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA丄PF.(1)求Q点坐标；⑵设対是椭圆长轴肋上的一点，〃到直线〃的距离等于MB,求椭圆上的点到点肘的距离〃的最小值.2 215.已知半椭圆二+ ¥ = 1()70)和半圆x2 + y2=/72(y<0)组成曲线C ,其中少a2 2a>b>0；如图，半椭圆^- +2_ = i(y>0)内切于矩形ABCD,且CD交y轴I T crC 点P是半圆x2 + y2=b2(y<0)±异于A、B的任意一点,当点P位于点M(*A A 时，AAGP的面积最大。

椭圆的几何性质-苏教版选修1-1同步分层练习

(七)椭圆的几何性质(建议用时：45分钟) ［基础达标练］F i 、F 2为椭圆的两个焦点，以 F 2为圆心作圆F a ,已知圆F 2经过椭圆的中心, 且与椭圆的一个交点为 M 若直线MF 恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率 e 为【解析】由题意知圆F 2的半径为C ,在Rt△ MFF 2中, |MF | = c , I MF I = 2a - c , | F 1F 2I = 2c 且 MF 丄 MF . 所以(2 a — c )2+ c 2= 4c 2,一、填空题 1.已知椭圆C:^2= 1(a >b >0)的离心率为1焦距为2,则C 的方程为[:95902097】【解析】根据已知条件知 c 1 __________________ 2 2 2 —=-，又 2c = 2,得 a = 2，又 b = a — c = 4 — 1= 3,椭圆方 a 21.【答案】2•设【答案】 ■73-13.直线2 2x y_ y = k ( x — 2) + 1与椭圆+肖=1的位置关系是16 9[:95902098】【解析】直线y = k (x — 2) + 1过定点R2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得16+9< 1,16 9••• P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【答案】相交X 2 V 2\［34.已知椭圆C ：孑+ 皆1( a >b >0)的左、右焦点为 F 1、F 2，离心率为专，过F 2的直线I交C 于A 、B 两点，若△ AFB 的周长为4^3,则C 的方程为【解析】根据条件可知号二申，且4a = 4品 ••• a =^/3, c = 1, b = \/2,2 2X y椭圆的方程为；+:= 1.9’ 4 = 1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为【解析】方法一：易知直线MN 的斜率存在，设为k 则其直线方程为y — 1 = k (x — 1),5.已知椭圆的短半轴长为1，离心率ovew %3.则长轴长的取值范围为[:95902099】【解析】 2 21■/ b = 1, • c 2= a 2— 1，又字=a1 1 • a 2A 4, 2 2 ••• a <4,又••• a2—1>0, • a >1,•••1<a w2,故长轴长 2<2a w4.【答案】 (2,4]6.已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点在 y 轴上，且长轴长为 112,离心率为3,则椭圆方程为【解析】因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设椭圆的方程为 a b 2=1(a >b >0).f2a= 12, 由紀[a 3' 由a 2= b 2+ C 2，得b 2=32.故椭圆的方程为：36+32=1.【答案】 3^32= 17.椭圆2鲁=1的左焦点为 4 3F ,直线x = m 与椭圆相交于点 A B.当△FAB 的周长最大时，△ FAB 的面积是[:95902100】【解析】如图, 解得 y =± 3，•丨 AB = 3. ••• S = 1X 3X 2= 3.【答案】 3&已知椭圆方程是当直线由|X =1, 2y 3=1,得(4 + 9k )x — 18k (k — 1)x + 9k — 18k — 27 = 0,又设直线与942,解得k =— 4，则所求的直线方程为y — 1 = — 9(X — 1),即 4x + 9y — 13= 0.2 2X 1 y 1方法二：设 Mx 1, y 1) , N (X 2, y 2)，则-+ : = 12 2X 2 y 2—+ — = 1 9十4 '①—②得X 1十X^1— X 2= — y 1十河—y 2y 1 — y 2 4X 1 十 X 2 4x2 4 X 1 — X 2 9y 1 十 y 29X29.•••直线 I 的方程为 y — 1 = — 4(x — 1)，即 4X + 9y — 13= 0.9 【答案】 4x + 9y — 13 = 0 二、解答题9. (1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率.⑵若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.e=¥椭圆的交点为 Mx i , y i )、N X 2, y 2),则x i 、X 2是方程的两个根,于是X i + X 2=18k k —[ 4+ 9k【解】(1)由题意得:b =c ,⑵由题意得：2b = a + c ,• 4 b 2= (a + C )2.2222' 又••• a = b + C ,• 4( a 2 2 2)=a 十 2ac 十22即 3a — 2ac — 5C =22•3-a —5・ £)=0,即 5・(a )+a —3=c 3」e= a= 5.2 2X y10.过椭圆一+十=1内点M 2,1)引一条弦，使弦被 M 平分，求此弦所在直线的方程[:95902101】【解】方法一：依题意，该直线 I 的斜率存在•设所求直线方程为y — 1 = k (x — 2),代入椭圆方程并整理，得 (4 k 2+ 1)x 2— 8(2 k 2— k )x + 4(2 k — 1)2— 16= 0.又设直线与椭圆的交点为 A (X 1, y 1)、B (X 2, y 2)，贝U X 1、X 2是方程的两个根，于是X 1 +82k 2— kX 2=汞匚1.2又M 为AB 的中点，••• 筈兰=攀二匚2，解之得24k 十 I故所求直线的方程为 x + 2y — 4 = 0. 方法二：设直线与椭圆的交点为 A (X i , y i )、政X 2,M 2,1)为AB 的中点.二X i + X 2 = 4, y i + y 2= 2.又A B 两点在椭圆上，则两式相减得（X ?— X 2） + 4（ y i — y 2） = 0.于是（x i + X 2）（ x i — X 2）+ 4（ y i + y 2）（ y i — y 2）= o..y i — y 2_ x i 十 X 2 _ 1 X i — X 2 4y i 十 y 2^i即k AB = — 2故所求直线方程为 X + 2y — 4 = 0.［能力提升练］2 2X yi •已知椭圆一+£= i(a >b >0)的左顶点为 A,左焦点为F ,上顶点为B,若/ BAOF / BFOa b=90°,则椭圆离心率为所以/ BAO / BF O= 902222% / 5 1•••（ a , b ） •（ c ，— b ） = ac — b = ac — a + c = 0,得 e + e — 1 = 0，求得 e = —【答案】号2 22.如图2-2-3 , P 是椭圆名+ J = 1在第一象限上的动点，F i,F 2是椭圆的焦点，M 是/ F i PF25 16k =-2.X 2 + 4y 11= 16, X 2+ 4y 2= 16.yfNdF OF /【解析】令右焦点为F ' ，连结 BF ，由题意得 A — a,0)，B (0，b )，F'( c, 0)，由椭圆的对称性知/ BF(=/ BFO 又/ BAOH / BFO- 90°,的平分线上的一点，且F a M- M F= 0(1)求椭圆C 的标准方程;(3)设直线y = X + k 与椭圆C 相交于A, B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求【解析】而 a — c <PF 2<a , 【答案】 [:95902102】延长F 2M 交PF 于点N,由已知条件可知 OM t 畀日=2( PF — PF 2) = a — PF , 所以 OM (0 , C )，即OM (0,3).(0,3)2 23.已知椭圆36+ 9 =i以及椭圆内一点 R4,2) ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为【解析】设弦的端点 A (x i , y i )，B (X 2, y 2),2 2< X i y i 则 x i + X 2 = 8, y i + y 2 = 4, { 一+ —= i36 92 2X 2 y 2 136 ‘ 6两式相减,l 36+n = 1,x i + X 2X i — X 2 y i + y 2y i —讨2得 ---- - --- + ------ ----- = 0, 36 2x i — X 24y i — yX i — X 22'【答案】 -4.如图2-2-4，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x yC ：孑+合=i(a > b > 0)的左、右焦点分别为F i , F 2，点P (3,1)在椭圆上,⑵若点Q 在椭圆C 上，且/F i Qf 2= n7，求 QF • QF 的值;3实数k的值.[:95902103】【解】（1）•••椭圆过点 R3,1）,9 1• a2+b2=j1又S^p F F2= 2" e x 1= 2寸2，解得c= 2©又a2= b2+ c2,解得a2= 12, b2= 4,2 2•椭圆的标准方程为12+鲁=1.⑵当/ F1QF=n^时,jQF + QF= 2a = 4p3,^Q F + Q F— 2QF • QF cos 专=1 32c 2= 32,16QF • QF=—.(3)设A(x i, y i), 0X2, y2),”2 2二+y-= 1 由“2 4，!y = X + k,2 2得 4x + 6kx + 3k —12 = 0.故X1 + X2= —3k,2 23k — 12 k — 12 X1X2= 一4一, y1y2=—4—•••以AB为直径的圆经过坐标原点,••• OA SB= X i X2 + y i y2= k2— 6= 0 解得k =±窃，•••此时△ = 120>0，满足条件，因此k=±76.。

苏教版高中数学选修(1-1)课件椭圆的几何性质(1)1

解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的
坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是
椭，圆故的 a＝顶3点，，b＝于2是，焦所点以在椭x圆轴的上标，准且方点程P、为Qx92分别y42 是 1椭圆长轴与短轴的一个端点
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心Biblioteka 。a[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆
B1
3、椭圆的顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？
令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a2=b2+c2
标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤a,|y|≤b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)

2019-2020学年苏教版数学选修【1-1】导学检测案：2.2.2椭圆的几何性质(2)

2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：2.2.2椭圆的几何性质（2）导学案班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1．能运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；2．会运用几何性质求离心率；3．能解决与椭圆几何性质有关的实际问题；4．了解椭圆的第二定义及焦点与准线间关系．【课前预习】1．与椭圆012222b a by ax 共焦点的椭圆系方程：2.通径：3.第二定义：[来源:]3. 焦准距：4. 21F PF S【课堂研讨】例1．点y x M ,与定点0,4F 的距离和它到直线425:xl 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹.例2．求与椭圆369422yx有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程1F 2F OxyP[来源:][来源:]例3.13422yx内一点)1,1(P ，F 为右焦点，在椭圆上求一点,M 使MFMP2最小，则M的坐标为__________,最小值为_________．[来源:]【学后反思】课题：2.2.2 椭圆的几何性质2检测案班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1.点P 与定点0,1的距离与它到直线5x 的距离的比是31，则P 点的轨迹方程是______ 2.已知点P 是椭圆14522yx上的一点，且以点P 及焦点1F 、2F 为顶点的三角形面积为1，则点P 的坐标3．已知椭圆1244922yx上一点P 与椭圆的两焦点1F 、2F 的连线的夹角为直角，则||||21PF PF =_______________．4．过点），（23且与14922yx有相同焦点的椭圆的方程是__________________．5．过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是____ __．【课后巩固】1.已知椭圆012222ba by ax 的短轴长为22，焦点0,c F 到相应准线的距离为c 21，则该椭圆的离心率是______．2.设012222b a by ax 的左准线上点1,3P，过P 且斜率为25的光线，经过2y 的反射后过椭圆的左焦点，则该椭圆的离心率是______．3. 椭圆141622yx的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F 为钝角时，点P 的横坐标的取值范围_______________．4.P 为1204022yx上的一点，则21PF F 为直角的点P 有_____个．5.)40,0(14022m mm yx上有4个点,M 使21MF F 为直角，则m 范围_6.1F 是15922yx的左焦点，P 为椭圆上的动点，)1,1(A 则1PF PA的最小值____________,最大值______________．7. 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一点，6021PF F ⑴求椭圆离心率的范围；⑵求证：21PF F 的面积只与短轴长有关．[来源:www ]8.点B A,分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，P 为椭圆上的一点，且位于x 轴上方，PF PA ．⑴求点P 的坐标；⑵设M是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．。

2019-2020学年苏教版选修1-1课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质作业

课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．答案：33 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是____________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝1 3.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为____________．解析：设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连结PF 1，如图所示．由F (－25，0)，得c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF 1，知PF 1⊥PF .在Rt △PF 1F 中，由勾股定理，得PF 1＝F 1F 2－PF 2＝ ()452－42＝8.由椭圆定义，得PF 1＋PF ＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1. 答案：x 236＋y 216＝1 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a 2. 所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1 ＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13. 答案：－135．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：设M (x ，y )，因为1MF ·2MF ＝0，所以M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为圆直径．由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设P 为椭圆上任一点，则OP ＞c 恒成立，而OP ≥b ，所以b ＞c ，所以c 2＜b 2＝a 2－c 2，所以a 2＞2c 2，所以⎝⎛⎭⎫c a 2＜12，所以0＜e ＜22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 6．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，求|1PF ＋2PF |的最小值．解：设P (x 0，y 0)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．则1PF ＝(－1－x 0，－y 0)，2PF ＝(1－x 0，－y 0)，所以1PF ＋2PF ＝(－2x 0，－2y 0)，所以|1PF ＋2PF |＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 20≤1，所以当y 20＝1时，|1PF ＋2PF |取最小值为2.7．已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)若M 是椭圆的长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由已知可得点A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则AP ＝(x ＋6，y )，FP ＝(x －4，y )．由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，得2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6(与点A 重合，舍去)．因为y ＞0，所以y ＝532，所以点P 的坐标是⎝⎛⎫32，532. (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M (m,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，所以|m ＋6|2＝|m －6|. 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d ＝(x －2)2＋y 2＝ x 2－4x ＋4＋20－59x 2 ＝ 49⎝⎛⎭⎫x －922＋15. 因为－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取到最小值15. 8．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零过D (－1,0)的直线与椭圆分别交于点E ，F ，若ED ＝2DF ，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且DP ＝DQ ，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1. (2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)，代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．则ED ＝(－1－x 1，－y 1)，DF ＝(x 2＋1，y 2)．由ED ＝2DF ，得－y 1＝2y 2，由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3， y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3，得⎝⎛⎭⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，所以m ＝1，m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.(3)记P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0 (*)，由Δ＝(12k )2－4(3k 2＋1)×9>0，得k >1或k <－1.x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1. 由DP ＝DQ ，得DM ⊥PQ ，所以k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，所以3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13，但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根，所以满足条件的k不存在．。

苏教版高中数学选修1-1椭圆的几何性质(1)

椭圆的几何性质（1）教学目标（1）掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；（2）掌握椭圆标准方程中a 、b 、c 、e 的几何意义及相互关系；（3）感受如何运用方程研究曲线的几何性质．教学重点，难点运用方程研究曲线的几何性质．教学过程一．问题情境1．情境：复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a 、b 、c 的关系2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？二．学生活动学生通过椭圆的标准方程，以及椭圆的图象尝试观察a 、b 、c 在图象中的体现．三．建构数学１．范围由方程22221x y a b +=可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式222211x y a b=-≤，即22x a ≤，所以 x a ≤．同理可得y b ≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内．2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称．从方程22221x y a b+=上看：（1）把x 换成x -方程不变，说明当点(,)P x y 在椭圆上时，点P 关于y 轴的对称点(,)P x y '-也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y 轴对称；（2）把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于y 轴对称；（3）把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称．综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．３．顶点：在方程22221x y a b+=中，令0x =，得y b =±，说明点1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点．(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；(2)长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ；(3) a 、b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长．４．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =，叫做椭圆的离心率．说明：（１）因为0,a c >>所以01e <<．（２）e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就接近于圆；（３）当且仅当a b =时，0c =，这时两焦点重合，图形变为圆，但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线，有些书将圆看成特殊的椭圆；（４）试让学生通过探究b a 的大小变化来发现＂扁＂的程度．四．数学运用 1．例题：例1．求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．分析：由椭圆的标准方程221259x y +=可知5a =，3b =，则椭圆位于四条直线5x =±，3y =±所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象．解：根据椭圆的方程221259x y +=，得5a =，3b =，2594c =-=．因此，长轴长210a =，短轴26b =．焦点为1(4,0)F -和2(4,0)F ，顶点为1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,3)B -，2(0,3)B ．离心率40.85c e a ===．将方程变形为23255y x =±-，根据23255y x =-算出椭圆在第一象限的几个点的坐标： x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0保证图形的准确性．②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．例２．求符合下列条件的椭圆标准方程：（１）焦距为8，离心率为0.8．（２）焦点与长轴较接近的端点的距离为105-，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．解：（１）由题意：因为28c =，所以4c =；又因为0.8c a=，所以5a =，所以29b =，焦点在x 轴上时椭圆标准方程：221259x y +=；焦点在y 轴上时椭圆标准方程：221259y x +=．（２）由题意：105a c -=-，b c =，222a b c =+，所以解得210a =，25b =，焦点在x 轴上时椭圆标准方程：221105x y +=；焦点在y 轴上时椭圆标准方程：221105y x +=．五．回顾小结：1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2．椭圆标准方程中a 、b 、c 、e 的几何意义及相互关系．。

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课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x2a2＋y2b2
＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12
，则C 的方程是________________________________________________________________________．
3．曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k ＋y29－k
＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)
4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率是63
，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．
5．设F 1，F 2是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2
上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．
6．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32
，－2)，求椭圆的标准方程．
7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32
，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于
10－5，试求椭圆的离心率及其方程．
答案
课时跟踪训练(九)
1．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率
e ＝c a ＝2c 2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m 2m ＋m ＝33
. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b2a
，所以|PF 2|＝b2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b2a
，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33
或e ＝－3(舍去)．答案：3
3 2．解析：依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，c a ＝12，c2＝a2－b2，
解得a 2＝4，b 2＝3.
答案：x24＋y23＝1。