第二章牛顿定律
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物理学第二章牛顿运动定律
l m
l
l
a2
m
a1
m
解：(1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向作匀加速运
动时，分析受力：
在竖直方向小球加速度为零，水平方向的
T1
加速度为a。建立图示坐标系：
利用牛顿第二定律，列方程：
m
x方向： T1sinm1a
y方向： T 1co m s 0 g
解方程组，得到：
mg
直角坐标系中的分量形式
Fx mddvtx mdd2t2x
Fy mddvty
d2y mdt2
Fz mddvtz mdd2t2z
自然坐标系中的分量形式
Ft mat mddvt
Fn
man
mv2
2、牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的动力成正 比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
§2-1 牛顿第一定律和第三定律
1、牛顿第一定律
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其它物 体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。
几点说明和注意
1、第一定律说明任何物体都具有惯性,牛顿第一定律又叫惯性 定律。
2、当物体受到其他物体作用时才会改变其运动状态,即其他物 体的作用是物体改变运动状态的原因。
大小：取决于绳的收紧程度。
T
方向：沿着绳指向绳收紧的方向。
(3)弹簧的弹力；
弹性限度内，弹性 力满足胡克定律：
Fkx
方向：指向要恢复 弹簧原长的方向。
O
x
F
F
3、 摩擦力
摩擦力：两个相互接触的物体在沿接触面相对运动
时，或者有相对运动趋势时，在它们的接触面间所 产生的一对阻碍相对运动或相对运动趋势的力。
第2章 牛顿运动定律
分离变量求定积分，并考虑到初始条件：t=0时v=v0，则有
v dv t μ
dt
v v0
2
0R
即
v
1
v0
v0t
R
将上式对时间积分，并利用初始条件t=0时，s=0得
s
R μ
ln 1
μ R
v0t
15
例题2-2 一条长为l质量均匀分布的细链条AB，挂在半径 可忽略的光滑钉子上，开始时处于静止状态。已知BC段 长为L（l/2<L<2l/3），释放后链条做加速运动，如图所示。 试求BC=2l/3时，链条的加速度和速度。
a0
a0
mg
T -ma0
mg
讨论一种非惯性系，做直线运动的加速参考系，在以恒定
加速度 沿a直0 线前进的车厢中，用绳子悬挂一物体。在地面
上的惯性参考系中观察，牛顿运动定律成立。 在车厢中的参考系（非惯性系）内观察，虽然物体所受张
f μN
µ为滑动摩擦系数，它与接触面的材料和表面状态（如 粗糙程度、干湿程度等）有关；其数值可查有关手册。
10
2.2.2 力学中常见的几种力
3、摩擦力。
当两个相互接触的物体虽未发生相对运动，但沿接触面有 相对运动的趋势时，在接触面间产生的摩擦力为静摩擦力。 静摩擦力的大小可以发生变化。
如图所示，用一水平力F推一放置在粗糙水平面上的木箱，
解：取被抛物体为研究对象，物体运动过程
中只受万有引力作用。取地球为参考系，垂 直地面向上为正方向。物体运动的初始条件
v0
是：t=0时，r0=R，速度是v0。略去地球的公 转与自转的影响，则物体在离地心r处的万有
m
引力F与地面处的重力P之间的关系为
大学物理第二章牛顿定律课件
Fc 2m v
强热带风暴旋涡 34
傅科摆摆面的旋转
傅 科摆 :1851 年傅科在巴 黎（北半球）的一个大厅 里悬挂摆长67米的摆。发 现摆动平面每小时沿顺时 针方向转过1115’角度。
北
西
东
南 35
第二章 牛顿定律 总结
• 概念：惯性系，力，动量，力的叠加原理 ，非惯性系，惯性力
• 牛顿第二定律解题：认物体，看运动，查 受力，列方程。
2-1牛顿定律
1.牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态直到
外力迫使它改变这种状态为止。
数学形式：
v 恒矢量
， F 0
惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。
惯性参考系： 在惯性参考系中，任何不受外力作用的 物体保持静止或匀速直线运动。
第一定律 定义了“惯性”和“惯性参考系”的概念 。
2. 电磁力
电磁力为带电体之间的作用力，磁力和电力都是电磁 力的一种表现。库仑定律给出两个相距 r远的静止的带 电量为q1和q2的点电荷之间的作用力f
f
kq1q2 r2
比例系数 k = 9109 Nm2/C2
静电力与引力比较： 两个相邻的质子之间的静电力是万有引力的1036倍。
电荷之间的电磁力以光子作为传递媒介。
dv k
dx
m
f xv
0
x
dx m dv
k
xmax dx m
0
dv
0
k v0
m xmax k v0
即初例速F2为r 设v空0k、v气抛，对射k抛角为体为比的例阻系.力数求与抛.抛体抛体运体的动的速的质度轨量成迹为正方比m程，.、
解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
第二章 牛顿定律
F0 dF
0
F0
1 1 2 2 m 2 L S xdx S L 2 2
2
负号表示拉力方向与x的正方向相反，即指向转轴。
此拉力的大小是旋翼所受重力的倍数：
F0 2 L ( 2 400 / 60)2 5.97 534 mg 2g 2 9.8
l
m＇
m
F
（1）绳作用在物体上的力
解 设想在点 P 将绳分为两段
其间张力 FT 和 FT＇ 大小相等，方向相反
（1）
m＇
FT0
FT0＇
FT＇
P
FT
F
m
a
F a m＇ m m＇ FT0 F m＇ m
a
FT0 FT0＇
a FT0 m＇
F FT0＇ ma
v vL (1 0.05) 0.95vL
y
F0 b
v
t
一般认为 t 3 m b ,
v vL
o
若球体在水面上是具有竖直向 下的速率 v0 ，且在水中的重力与 浮力相等， 即 FB P . 则球体在 水中仅受阻力 Fr bv 的作用 这种情况下的速度呢？
FB Fr
mg FB 6πrv ma 令 F mg F b 6 πr 0 B
dv F0 bv m dt F0 dv b (v ) dt m b
FB 为浮力
FB Fr
P
v
y
F0 dv b (v ) dt m b
dv b dt v ( F0 b) m
F Ft et Fnen
F ma m(at an )
2牛顿运动定律
第二章 牛顿运动定律（Newton’s Laws of Motion ）§1 牛顿运动定律▲第一定律(惯性定律)(First law ，Inertia law ): 任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
⎩⎨⎧概念定性给出了力与惯性的定义了“惯性系” 惯性系（inertial frame ）：牛顿第一定律成立的参考系。
力是改变物体运动状态的原因，而并非维持物体运动状态的原因。
▲第二定律（Second lawF ρ：物体所受的合外力。
m ：质量（mass ），它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量（inertial mass ）。
若m = const. ，则有：a m F ρρ= a ρ：物体的加速度。
第一定律▲第三定律（Third Law ）：2112F F ρρ-=说明：1.牛顿定律只适用于惯性系；2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
Δ§2 SI 单位和量纲（书第二章第2节）Δ§3 技术中常见的几种力（书第二章第3节）Δ§4基本自然力（书第二章第4节）m 1 m 2 F 12 F 21§5 牛顿定律应用举例书第二章第2节的各个例题一定要认真看，下面再补充一例，同时说明作题要求。
已知:桶绕z轴转动，ω= const.水对桶静止。
求：水面形状（z - r关系）解：▲选对象：任选表面上一小块水为隔离体m ；▲看运动：m作匀速率圆周运动raρρ2ω-=；▲查受力：受力gmρ及Nρ，水面⊥Nρ（∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零）；▲列方程：⎩⎨⎧-=-=-)2(sin)1(cos2rmNrmgNzωθθ向：向：θtg为z（r）曲线的斜率，由导数关系知：rzddtg=θ(3)由(1)(2)(3)得：rgrz2ddtgωθ==分离变量： r r gz d d 2ω= 积分： ⎰⎰=zz rr r g z 002d d ω得： 0222z r g z +=ω（旋转抛物面） 若已知不旋转时水深为h ，桶半径为R ,则由旋转前后水的体积不变，有： ⎰=⋅R h R r r z 02d 2ππ⎰=+Rh R r r z r g 02022d 2)2(ππω 得 g R h z 4220ω-=▲验结果： 0222z r g z +=ω ·单位：[2ω]=1/s 2 ，[r ]=m ，[g ]=m/s 2][m m/sm )/s 1(]2[2222z g ==⋅=ω，正确。
第二章牛顿定律
FT mg ma
选定自然坐标系，将方程写成分量式
方程的分量式为
FT mgcos man —法向分量 mgsin mat —切向分量
FT mgcos mv / l dv mg sin m dt
2
o FT l en
et
v
2.已知运动方程求力 v
r （求导） F a
例1（P38）阿特伍德机 (1) 如图所示滑轮和绳子的 质量均不计，滑轮与绳间的摩擦 力以及滑轮与轴间的摩擦力均不 计．且 m1 m2．求重物释放后， 物体的加速度和绳的张力．
m1
m2
解(1)
以地面为参考系
画受力图，选取坐标如下图 建立方程
Ff0m 0 FN
0 —静摩擦因数
静摩擦力
Ff0≤ Ff0m
一般情况
0，即
滑动摩擦力Ff =最大静摩擦力Ff0m
牛顿定律的应用举例
解题步骤 隔离物体 受力分析 建立坐标系 列方程 解方程（文字求解） 代入数值计算求出结果 1.已知力求运动方程 v
F a r(积分)
如物体在一参考系中不受其它物体作 用，而保持静止或匀速直线运动，这个参 考系称为惯性参考系，即惯性系. 相对惯性系做匀速直线运动的参考系 也是惯性系。
二 牛顿第二定律
1.动量
p mv
动量 p是个矢量，方向与速度 v 的方向相同.
物理意义：动量是描述物体运动状态的物理量.
2.牛顿第二定律 动量为 p 的物体，在合外力 F ( Fi ) 的作用下，其动量随时间的变化率等于作用 于物体的合外力．
g θ arccos 2 ωl 越大， 也越大
2.第二章牛顿运动定律
例1(补): 复式阿特武德机 三个物体质量已知 滑轮质 补 复式阿特武德机. 三个物体质量已知, 量不计, 轴处无摩擦力.求释放后 求释放后m 量不计 轴处无摩擦力 求释放后 1的加速度 a1和m2对B 的加速度a. 的加速度 解：以地为参照系, 分别建立坐标系 以地为参照系 如图所示
A T1
m1 T2 m2
r r r r F → a,v, r r r r r r →v, a → F
r rr r r a →v, r 重点是a, F
r r r (2)受变力, F(r )(万有引力或弹性力等 , F(t ) 受变力, 受变力 万有引力或弹性力等), 万有引力或弹性力等 r r (碰撞或强迫振动等 ,或 F(v)(粘滞力等 , 碰撞或强迫振动等), 粘滞力等), 碰撞或强迫振动等 粘滞力等
τ v0
n
r N r
rr
R
fµ
t µ dv ∫v0 − v2 = ∫0 Rdt v
v dv −µ = R dt
得
dS Q v= dt S t t Rv0 R t d(R + µv0t) ∫0 dS = ∫0 vdt = ∫0 R+ µv0tdt = µ ∫0 R+ µv0t
R + µ v0t S = ln µ R R
几种常见的力(自学) §2-2 几种常见的力(自学)
力 接触力: 接触力: 弹性力和摩擦力 非接触力(场力): 万有引力, 非接触力(场力): 万有引力, 电力和磁力
1. 万有引力
m1m2 F =G 2 r
m1
r
m2
说明: 两个有一定形状大小的物体间的万有引力, 说明: 两个有一定形状大小的物体间的万有引力,是构成物 体所有质点间的引力的合力. 体所有质点间的引力的合力. 重力: 地球对表面物体的万有引力mg 重力: 地球对表面物体的万有引力
大学物理第2章 牛顿运动定律
1、第一定律(物体在没有外力作用的情况下会保持原有的状态)；
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
第二章-牛顿运动定律
Fi 0
( 静力学基本方程 )
二. 牛顿第二定律
某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上
所有力的合力。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取适当的单位，使 k =1 ，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
m
dv dt
当物体的质量不随时间变化时
Fi
m
dv dt
ma
• 直角坐标系下为
例 一柔软绳长 l ，线密度 ρ，一端着地开始自由下落.
求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？
解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.
取整个绳为研究对象 设压力为 N
N gl dp p p yv
y
dt
N gl d( yv) dy v gt
dt dt
y
l
d( yv) dyv dv y v 2 yg dt dt dt
• 同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
讨论
第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的 两个物体间的相互作用力，由于其相互作用以有限速度传播， 存在延迟效应。
§2.2 力学中常见的几种力
一. 万有引力
质量为 m1、m2 ，相距为 r 的 两质点间的万有引力大小为
m1
F12
r r0
l
λΔ lg
T (l)
T
N
f2
四. 摩擦力
1. 静摩擦力 当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有 相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋 势的力，称为静摩擦力。
说明
静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大 静摩擦力为 fmax=µ0 N ( µ0 为最大静摩擦系数，N 为正压力) 2. 滑动摩擦力 两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。
第二章牛顿定律
第二章 牛顿定律【基本内容】一、牛顿运动定律概述1、牛顿第一定律定律内容：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
定律意义：引入了惯性的概念，惯性——物体保持其原有运动状态的一种属性；定性确定了力的概念，力——是使物体的运动状态发生改变的原因。
2、牛顿第二定律定律内容：运动的变化与所加的动力成正比，且发生在该力所沿的直线上。
定律意义：定量确定了力的概念；引入了质量的概念，质量——是物体惯性大小的量度。
定律的数学形式am F =在直角坐标系下：yyy xxx madtdv m F madtdv mF ====,在自然坐标系下：nn mavmF madtdv mF ====ρττ2,3、牛顿第三定律当物体A 以力1F作用在物体B 上时，物体B 必以力2F 作用在物体A 上，且1F 与2F大小相等、方向相反，并在同一直线上。
二、力学中常见的力1、万有引力2211221/1067.6,kgmN G rm m GF ⋅⨯==-若忽略地球的自转，则地球表面附近的物体所受的万有引力叫重力。
2RM Gg g m P ==2、弹力 包括拉力、支撑力等。
胡克定律 kxf -=，k 叫弹簧的倔强系数。
3、摩擦力 滑动摩擦力：kk k N f μμ,=——滑动摩擦系数。
静摩擦力：ss s N f μμ,max=——静摩擦系数。
注意：静摩擦力)0(N f μ≤≤是一个范围概念，只有最大静摩擦力才能用等式Nf μ=max 表示。
惯性系中，静摩擦力由平衡条件求出。
三、惯性系与非惯性系惯性系：牛顿定律适用的坐标系称为惯性系。
相对于惯性系作匀速直线运动的参照系均为惯性系。
非惯性系：相对于惯性系作加速度运动的参照系为非惯性系。
【典型例题】如物体处于惯性系，首先进行受力分析，根据具体情况将力分解，再运用牛顿定律，写出微分方程并求解；如物体处于非惯性系，首先引入惯性力（或利用加速度变换将非惯性系转化为惯性系），再按上面步骤求解。
第二章 牛顿定律
Mm P G 2 (1 0.0035cos 2 ) R =mg
为物体所处的地理纬度角
引力质量＝惯性质量 爱因斯坦创立广义相对论的实验基础
斜塔实验结 论：任何时 刻在地球上 任意地点所 有自由落体 获得地重力 加速度都是 相等
16
17
二、弹性力
•当两宏观物体有接触且发生微小形变时， 形变的物体对与它接触的物体会产生力的 作用，这种力叫弹性力 。 •在形变不超过一定限度内，弹簧的弹性力 遵从胡克定律。
F* m r
2
30
例.已知滑块m在水平园环R滑动,摩擦,求:v,s.
解：用牛顿定律在自然坐标系中的形式
2
俯视图
r v
v r 法向： N m r R r m r dv 联立得： R N n 切向： f N m f dt t 1 1 v dv v0 R t , v d t , 2 v0 v 0 R v v0 R R v0 t
10
10
38
13
电磁力 强力
核子、介子等
15
10 ＊ 1
2
10 m
15
＊ 以距源 10
m 处强相互作用的力强度为 1
12
温伯格
萨拉姆
格拉肖
弱相互作用
电磁相互作用
电弱相互 作用理论
三人于1979年荣获诺贝尔物理学奖 . 鲁比亚, 范德米尔实验证明电弱相互作用， 1984年获诺贝尔奖 .
电弱相互作用
p q
s
m1m2 F G 2 r
Fr G m1m2
2
dim G L M T
3
1
2
10
2-3 几种常见的力 一 万有引力
第2章-牛顿定律
数学形式：
或
F ma
F m dv dt F d(mv) dt
力的叠加原理: 几个力同时作用在一个物体上 所产生的加速度a，等于各个力单独作用时所 产生加速度的矢量和。 在直角坐标系Oxyz中：
Fix ma x Fiy ma y Fiz ma z
T1 m1 g m1a1 (1)
X2方向：
T2 m2 g 解题思路 a2 (2) m2
1. 分析受力情况; 2. 建立坐标系; 不计滑轮质量,有 T1 3. 建立牛顿方程求解;
m3
X3
T2 T
X3方向有： m3 g 2T m3a3 (3) x3 ( x1 x2 ) 2 1 a3 (a1 a2 ) (4) 由 1 -- 4 式可解 2
A
N mg sin m 解题思路
1. 分析受力情况; 2. 建立坐标系; 3. 建立牛顿方程求解;
v
2
n N
R
dv dt
dvds dsdt
v
dv Rd
τ
mg
vdv Rg cos d
v
0
vdv Rg cos d
0
A
1 2
n N
v Rg sin
牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体都将保持静止或匀速直线运动的 状态直到其他物体所作用的力迫使它改变这种
状态为止。
数学形式： v 恒矢量 ， F 0
惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。
牛顿第二定律（牛顿运动方程）
物体受到外力作用时，它所获得的加速 度的大小与合外力的大小成正比，与物体的 质量成反比，加速度的方向与合外力的方向 相同。
3 牛顿运动定律
解出： 解出：
ax = F= m2 g
2 2 m1 − m2 2 2 m1 − m2
( m1 + m2 + M )m2 g
=784N
例3：在倾角为 θ 的圆锥体的侧面放一质量 ： 的小物体， 为m 的小物体，圆锥体以角速度 ω 绕 竖直轴匀速转动。 竖直轴匀速转动。轴与物体间的距离 为 R ，为了使物体能在锥体该处保持 静止不动， 静止不动，物体与锥面间的静摩擦系 数至少为多少？ 数至少为多少？并简单讨论所得到的 结果。 结果。 解： 建立图示坐标系，并作受力分析 建立图示坐标系， 列方程： 列方程：
Rn θ = ω 2 R cosθ + µω 2 R sin θ
∴µ = g sin θ + ω 2 R cosθ g cosθ − ω 2 R sin θ
ω
y
N
讨论： 讨论： 可得： 由µ>0 , 可得：
g cosθ − ω 2 R sin θ > 0 g
fs
x
mg
⇒− ⇒ m V d( mg − F − kV ) m V = − ln( mg − F − kV ) V = t ∫V0 0 k k mg − F − kV
k t ( A−V0 ) V = A−e m −
A=
mg − F k
的小车D，其上有一定滑轮C 例2：水平面上有一质量为 51kg 的小车 ，其上有一定滑轮 ，通过绳在 ： 的物体A 滑轮两侧分别连有质量为 m1=5kg 和 m2=4kg 的物体 和B。其中物体 。 A 在小车的水平面上，物体 被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所 在小车的水平面上，物体B 被绳悬挂，系统处于静止瞬间， 各接触面和滑轮轴均光滑。 示。各接触面和滑轮轴均光滑。 以多大力作用在小车上，才能使物体A 与小车D 之间无相对滑动。 求：以多大力作用在小车上，才能使物体 与小车 之间无相对滑动。 滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动） （滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动） 解： 建立坐标系并作受力分析图： 建立坐标系并作受力分析图：
第2章 牛顿运动定律
1 2 v = Rg sin α 2
v = 2Rg sin α
τ
例3、由地面沿铅直方向发射质量为 的宇宙飞船。 由地面沿铅直方向发射质量为m 的宇宙飞船。 求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（ 。（不 求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不 计空气阻力及其它作用力地球的质量为M 10 计空气阻力及其它作用力地球的质量为 = 5.98 × 24 kg，地球半径为 = 6378 km） ，地球半径为R ）
v R R ∵ds = vdt = Rdα ∴dt = dα
法向分量： 法向分量： − mg sin α = m N
（2） ） A
m
R
α N α mg
代入（ 代入（1）式有: 式有:
0
vdv = Rg cosα dα v α ∫ vdv = ∫ Rg cosα dα
0
v
n
2Rg sin α 代入（ ）式得： 代入（2）式得： N = mg sin α + m = 3mg sin α R
§2-1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态， 任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态， 直到其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 直到其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 数学形式： 数学形式： 说明： 说明： (1) 惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。质 惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。 量是物体惯性大小的量度。 量是物体惯性大小的量度。 (2) 其它物体的作用力是迫使物体改变运动状态的原因。 其它物体的作用力是迫使物体改变运动状态的原因。 (3) 惯性系：牛顿定律成立的参考系。 惯性系：牛顿定律成立的参考系。
大学物理 第二章牛顿运动定律
gravitational force
赵 承 均
万有引力定律 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比， 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比，与其距离的 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。
r m1m2 r F = −G 3 r r
赵 承 均
&& mx = p sin ωt
o
v Fx
x
x
即：
m
dv = p sin ωt dt
重 大 数 理 学 院
r r F ( t ) = ma ( t ) r & = mv ( t ) r && ( t ) = mr
此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。 此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。
赵 承 均
牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于宏观低速情况， 牛顿第二定律适用于宏观低速情况，而在微观 ( l ≤ 1 0 − 1 0 m 情况与实验有很大偏差。 高速 ( v ≥ 1 0 − 2 c ) 情况与实验有很大偏差。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。
赵 承 均
牛顿第二定律 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。
r r F = ma
在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m 在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m（米）， kg ），长度的单位为 时间的单位为s ），这些是基本单位。力的单位为N 牛顿）， 这些是基本单位 ），是 时间的单位为s（秒），这些是基本单位。力的单位为N（牛顿），是导 出单位： 出单位： =1kg× 1N =1kg×1m/s2
赵 承 均
万有引力定律 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比， 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比，与其距离的 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。
r m1m2 r F = −G 3 r r
赵 承 均
&& mx = p sin ωt
o
v Fx
x
x
即：
m
dv = p sin ωt dt
重 大 数 理 学 院
r r F ( t ) = ma ( t ) r & = mv ( t ) r && ( t ) = mr
此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。 此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。
赵 承 均
牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于宏观低速情况， 牛顿第二定律适用于宏观低速情况，而在微观 ( l ≤ 1 0 − 1 0 m 情况与实验有很大偏差。 高速 ( v ≥ 1 0 − 2 c ) 情况与实验有很大偏差。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。
赵 承 均
牛顿第二定律 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。
r r F = ma
在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m 在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m（米）， kg ），长度的单位为 时间的单位为s ），这些是基本单位。力的单位为N 牛顿）， 这些是基本单位 ），是 时间的单位为s（秒），这些是基本单位。力的单位为N（牛顿），是导 出单位： 出单位： =1kg× 1N =1kg×1m/s2
大学物理第二章牛顿定律
2-2
几种常见的力
m1 r m2
一, 万有引力
mm2 F =G 12 r
引力常数 重力 地表附近
−11
G = 6.67×10 N⋅ m ⋅ kg
2
−2
P= mg,
Gm g ≈ 2E ≈ 9.80m⋅s-2 R
Gm g = 2E r
二. 弹性力 由物体形变而产生的． 由物体形变而产生的． 常见弹性力有：正压力、张力、弹簧弹性力等． 常见弹性力有：正压力、张力、弹簧弹性力等． 弹簧弹性力
3 dimG = L M−1T−2
o
dv t ↑ v↑ ↓, dt mg − F = =恒 量 kA
讨论潜艇运 动情况： 动情况：
t = 0 v = 0, t →∞ v = vmax
极限速率（收尾速率） 极限速率（收尾速率）
例3：一小钢球，从静止开始自光滑圆柱形轨道的顶 ：一小钢球， 点下滑。 小球脱轨时的角度θ 点下滑。求：小球脱轨时的角度
三. 力学相对性原理 (1)在有些参照系中牛顿定律成立，这些系 在有些参照系中牛顿定律成立， 在有些参照系中牛顿定律成立 称为惯性系。 (2) 凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切 ) 参考系都是惯性系．作加速直线运动为非惯性系 速直线运动为非惯性系. 参考系都是惯性系．作加速直线运动为非惯性系 (3) 对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有 ) 对于不同惯性系， 相同的形式， 相同的形式，与惯性系的运动无关 伽利略相对性原理． 伽利略相对性原理．
F f c mg
o
dv mg − F −kAv = m dt v t mv d ∫ mg −F −kAv = ∫dt 0 0
+
m m -F g -kA v − =t l n kA m −F g m − F −kA g v =e m −F g
第二章 牛顿定律
r rr FT1 FFT2 T3
m1 g − FT1 = m1a1 m 2 g − FT2 = m 2 a 2 FT3 − m 3 g = m 3 a 3
(1) (2) (3)
m2
m1
找关系：力方面 找关系： 加速度方面
FT2 = FT3 FT1 = FT2 + FT3 = 2FT2
(4) (5)
m 2和m 3相对于滑轮 B的加速度大小 r 相等， 相等，设为 a ；由于B以加速度a1向 上运动， 上运动，故它们相对于 地面的加速
r r F = ma
2.说明：①只适用于质点，惯性系。 说明： 只适用于质点，惯性系。 说明
r r 可取分量形式。 ②对矢量式 F = ma可取分量形式。
平面直角坐标系: 平面直角坐标系
Fx = ma x F y = ma y
自然坐标系: 自然坐标系
Fn = ma n =t = m dt
mg
r y a
0
O
α
r a′
α
r a
x
④取坐标，列方程：取坐标系xoy如图所示。 取坐标，列方程： 如图所示。 加速度分量式： 加速度分量式：
o
Ff0 = F sin 30o − mg = 5.2N
FN o 30 r r mg F r F f0
A
⑤圆锥摆作水平面的匀速率圆运动，摆受哪些力， 圆锥摆作水平面的匀速率圆运动，摆受哪些力， 它的切向力与法向力是如何提供的？ 它的切向力与法向力是如何提供的？
切向力： 切向力： Ft = 0 法向力： 法向力： Fn = FT sin θ
19世纪下半叶：1867年马赫首次给出质量的定义 世纪下半叶： 世纪下半叶 年马赫首次给出质量的定义 两个相互作用着的物体加速度的负比值
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N
f
2 2 V dv dv v V v tt dv v dv dv m m m dt dt mm 2 V0 v2 00 R V v dt R R 0 v dtdt R Rv Rv 0 0 0 v vv R V v0 RR V t t 0 0 Rv v R vv Rv R R 00 0 Rv 0 0 0 Rv0Rv0 (2) v 0 v 0 R t R t t tt t v0 v 0 22 R v t R v 2 R v t v 0 0 0 v 0 2 2 R R v0 t0 t v 0 v0 s ts Rv0 t Rv0 s t Rv 又 ds vdt ds dt s t s t 0 Rv0 Rv 又 ds vdt ds dt 0 0 0 R 又 ds vdt ds dt v t ds vdt ds dt 0 又又 ds vdt 0 0 dt R v t 0 00 ds 0 0 0R 0 v t R v t Rv 0 0 t 0 R R s R R R ln 2 s lnln 22 ss ln s ln 22
m1 r
m2
重力mg : 地表附近物体与地球间的万有引力。
( r 地球半径R )
重力加速度g : 在重力作用下，物体具有的加速度。
( r 地球半径R )
二、弹性力
物体因形变而产生的欲使物体恢复形变的力称弹 性力，如弹簧的弹力等。 弹簧振子 胡克定律: F = -kx
二、摩擦力
0
x
相互接触的物体间,由于相对运动或相对运动趋势 而产生的与相对运动或相对运动趋势方向相反的力.
dt mvdv m2g m dy H ln dv dy 0 v 0 mg kv 2 mg mg kv m k dt dt
182 (m)
例2 光滑水平桌面上放一半径为R的圆环,物体在圆 环的内侧作圆周运动,已知摩擦系数为 ,初速度为 v0 .求:(1)t 时刻物体的速度.(2)当物体速度由v0 减 1 到 v 0时,物体所经历的时间及经过的路程.(P662-13)
0 0
v 2gl sin
T 3mg sin
O
H
l
r
解：设小球所在处圆锥体的水平截面半径为r
T sin N cos ma m r
2
T cos N sin mg 0 r l sin ( 1 ) N mg sin m 2 l sin cos
T mg cos m l sin
dp x Fx ma x dt dp y Fy ma y dt dpz Fz ma z dt
FF F F F ma ma ma F ii F jj F ma ii ma jj ma zk zk xx yy zk xx yy zk
d Ft ma t m dt
一、解题步骤
1. 根据题意，选择研究对象。
2. 建立坐标系。
3. 受力分析，画受力图，列方程。 4. 统一单位，用代数符号解方程，最后带入数字, 计算结果。
两类常见问题
已知力求运动方程
已知运动方程求力
F a r r a F
二、应用举例
例1 质量为45kg的物体，由地面以初速 v0 60m s 1 f kv , k 0 . 03 kg s 竖直向上发射，空气阻力 求（1）发射到最大高度所需的时间;（2）最大高度。 （P56 2-16) y 解： (1) 建立坐标系，受力分析如图所示， mg f f ma mg f ma mg ma 由牛顿第二定律建立t 与v 的关系: dv v dv dv mg kv m mg f ma mg kv mmg kv m
2 2
T
mg
N
O
( 2 ) c
N 0
T mg / cos
H
l
c g / l cos
r
例4 质量为m的小球，线长为 l ，求摆下 角时 小球的速率和线的张力。
d 分析运动状态 v l ; t 0, 0, v 0 dt 分析受力 l
选择坐标系 列方程 mg cos m dv dt 2 T mg sin m v l v l d（运动学条件） dt （初始条件） t 0, 0, v 0
dtdt dt t t 0 dv 0 mdv mdv t 0 mdv mg dt kv m mg dt 00 v dt f dt 0v 0 mg kv mg kv v0 mg kv t 0 mmdv mg mg m m mg dt t ln ln 6 .11 () s) t 6 . 11 ( s t ln 6 . 11 ( s ) 0 v 0 mg kv mg kv kk mg kv 0 0k mg kv
d p d ( mv ) dv F m ma dt dt dt
注意
1.上式是一个瞬时关系式，即等式两边 的各物理量都是同一时刻的物理量。
2.F 是作用在质点上各力的矢量和。
3.在一般情况下 F 是一个变力。 4.要注意定律的矢量性。
直角坐标系中（低速宏观）: 牛顿第二定律的分量式 牛顿第二定律的矢量式： 自然坐标系中（低速宏观） :
第2章 牛顿运动定律
Isaac Newto律
2-1 牛顿定律 一、牛顿第一定律(惯性定律）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
F 0 v 恒矢量
二、牛顿第二定律
pv pm
动量为 p的物体，在合外力 F 的作用下其动量 随时间的变化率等于作用于物体的合外力。 宏 观 运 动 中 m 视 为 宏观低速 m 为常量 宏低 观速 低 速 运 动 中 m常 视量 为常量 ddP d p d F ＝ m vv )) ma m a F＝ (( m ＝ ＝ dt dt dt dt
滑动摩擦力： f
N
0 N
运动速度不太大时
最大静摩擦力： f 0
0
四、流体曳力
定义：一物体在流体中相对流体运动时，该物体会受 到流体的阻力。 公式：
f kv
空气情形：
1 2 f d C Av 2
终极速率：有重力与空气曳力相等得：
2mg vt C A
2-3 牛顿定律的应用
三、牛顿第三定律
2 Fn ma n m
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相 等的，而且指向相反的方向。 F 1 F 2
2-2 几种常见的力
一、万有引力
m1m2 F G 2 r 11 2 2 G 6.67 10 N m / kg
Mm mg G 2 R M gG 2 R
m
T
ˆn e
v
mg
ˆt e
dv mg cos m dt 2 T mg sin m v l d vl dt t 0, 0, v 0
求解微分方程： g cos dv d dv v dv , g cos d 1 v dv dt d t d l d l v g cos d 1 vdv, gl sin 1 v 2 2 l
例3 顶角为2 的直圆锥体，底面固定在水平面上， 如图所示。质量为m 的小球系在绳的一端，绳的另 一端系在圆锥的顶点，绳长为l，且不能伸长，质量 不计。圆锥面是光滑的，今使小球在圆锥面上以角 速度 绕OH 轴匀速转动，求：
(1) 锥面对小球的支持力N 和细绳的 张力T ； (2) 当 增大到某一值 c 时，小球 将离开锥面，这时 c 及T 又各是多 少？
2
解: 建立自然坐标系,以运动方向为正方向
(1) 由牛顿第二定律 dv f ma t mdv dv ff dt t m ma ma t m dt dt 2 2 v v 2 F N m v F N m R F N m R R f NN f f N
0
1
m
mg
0
0
dv (2) 建立H 与 v mg 的关系 kv m dt dv dvdy dy dv dv mg kv mkv m m mv mg dt dy dtdt dy dt dv
mg kv m
H 0
2 182 mv 0 m 2 g m (m) g mg mvdv m H H dy2 ln H 0 ln 0 k v mg kv k mg k2 0 mg 0kv